I sistemi di riferimento
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Consideriamo il moto di un punto materiale
riferito ad un sistema cartesiano S...
• che chiameremo “fisso” o “assoluto”
• …e ad un sistema S’
• che chiameremo “mobile” o “relativo”
• Il sistema S’ si può muovere
• perché si muove la sua origine
• perché i suoi versori fondamentali cambiano di direzione
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Esempio: un aeroplanino che fa le acrobazie, ed
una mosca che si muove dentro la sua carlinga:
– Sistema S: la torre di controllo
– Sistema S’: la carlinga
– Il moto della mosca può essere descritto
• Dalla torre di controllo
• Dal pilota nella carlinga
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Usiamo il FORMALISMO VETTORIALE…
• …sfruttando la sua INDIPENDENZA DAL SISTEMA DI
RIFERIMENTO...
ma
•…
facendo l’ipotesi che la geometria su cui si basa
(euclidea) valga nel nostro Universo
– siamo sicuri che la cosa funzioni?
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Con la descrizione vettoriale del vettore posizione
del punto otteniamo
OP  OO'  O'P
• Abbiamo già fatto implicitamente l’ipotesi che nei
due sistemi valga la geometria euclidea
• In particolare con le stesse unità di misura
– Cosa non ovvia: nella relatività speciale questa ipotesi viene a
cadere
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Esplicitamente
x xˆ  y yˆ  z zˆ
 xO ' xˆ  yO ' yˆ  zO ' zˆ
 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
Attenzione alle funzioni del tempo
ed alle costanti!
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La composizione delle velocità
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• DERIVIAMO!
x xˆ  y yˆ  z zˆ
 xO ' xˆ  yO ' yˆ  zO ' zˆ
 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
x xˆ  y yˆ  z zˆ  Va
– È la velocità nel sistema “fisso”
• Velocità “assoluta”
x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '  Vr
– È la velocità nel sistema“mobile”
• Velocità “relativa”
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• Se la velocità relativa è nulla, la velocità assoluta
è uguale a
x


ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x

y
y

z
z

x
'
x
'

y
'
y
'

z
'
z
'  Vt

O'
O'
O'
– È la velocità di trascinamento
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• Otteniamo così il
TEOREMA DI
COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ
Va  Vr  Vt
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• In realtà, al crescere delle velocità, questo teorema
va sempre più in crisi
• occorre la relatività speciale!
• Sostanzialmente il teorema è falso
• Quindi
– O non si può applicare allo spazio la geometria euclidea (somma dei
vettori con unità di misure uguali nei due sistemi)
– O non si può trattare il tempo come un parametro indipendente
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• Velocità di trascinamento
– Si dimostra che (formule di Poisson)
xˆ '    xˆ ' yˆ '    yˆ ' zˆ '    zˆ '

– Il vettore
è il vettore velocità angolare
• Il modulo è pari al valore della velocità angolare
• La direzione è ortogonale al piano di rotazione
• Il verso è tale da vedere la rotazione avvenire in senso
antiorario
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• Dimostrate le formule di Poisson!
• Tenete presente che la derivata di un versore dev’essere a
questo perpendicolare
– Quindi potete esprimerle come prodotti esterni...
• La somma dei versori fondamentali più i loro incrementi
infinitesimi dev’essere ancora una terna ortogonale
– Quindi i loro prodotti scalari debbono essere nulli a coppie
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Il moto ed i sistemi di riferimento
il teorema di composizione delle velocità
• Con questo
Vt  VO '    O'P
• Il moto di trascinamento è una sovrapposizione
– Di una traslazione
– Di una rotazione
• Quindi è un moto ELICOIDALE
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La composizione delle accelerazioni
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Il moto ed i sistemi di riferimento
la composizione delle accelerazioni
• Deriviamo di nuovo!
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x xˆ  y yˆ  z zˆ
 xO ' xˆ  yO ' yˆ  zO ' zˆ
 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
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Il moto ed i sistemi di riferimento
la composizione delle accelerazioni
• Anche qui abbiamo
– Accelerazione assoluta
x xˆ  y yˆ  z zˆ  a a
– Accelerazione relativa
x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '  a r
– Accelerazione di trascinamento
x
O'
• ciò che resta se il punto è fermo nel sistema S’


xˆ  yO ' yˆ  zO ' zˆ   x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '  at
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Il moto ed i sistemi di riferimento
la composizione delle accelerazioni
• Ed a questo punto avanza un pezzo!
 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '   x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '
 2  x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ '   2   x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' 
 2  Vr  ac
– È l’accelerazione complementare o di Coriolis
– Ed alla fine otteniamo il...
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Il moto ed i sistemi di riferimento
la composizione delle accelerazioni
TEOREMA DI COMPOSIZIONE
DELLE ACCELERAZIONI
a a  a r  at  a c
ac  2  Vr
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Le forze apparenti
Dette anche “forze fittizie”
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Dalla relazione
a a  a r  at  a c
otteniamo
M a a  M a r  M at  M a c
SE NEL SISTEMA FISSO VALE LA II LEGGE
DELLA DINAMICA...
F  M a a  M a r  M at  M a c
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• … e quindi nel sistema mobile vale la relazione...
M ar  F   M at  M ac 
... IN GENERALE IN QUESTO SISTEMA
LA II LEGGE DELLA DINAMICA!
NON VALE
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
…a meno che non si introducano ad hoc,
per far tornare i conti,
delle “forze fittizie”
  M at  M ac 
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Attenzione: queste NON hanno la controparte di
reazione!
• Tutto però nel sistema S’ avviene come se
esistessero davvero
– Sono in realtà una manifestazione del principio
d’inerzia
Fapp   M at  M a c
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
In generale, se vogliamo usare le
leggi della dinamica dovremo
aggiungere alle forze reali
anche le forze apparenti
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Un sistema nel quale valga la II legge della
dinamica si dice un
SISTEMA INERZIALE
• Se un sistema è inerziale, anche uno che si muova
con velocità angolare nulla e moto rettilineo
uniforme rispetto ad esso è inerziale
at  a c  0
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Si verifica che un sistema legato alle stelle è inerziale
• Quindi ogni sistema con ω  0 e velocità uniforme
rispetto a questo è inerziale
• Quindi in tutti questi sistemi funziona la dinamica
• Quindi nessuno di questi sistemi può essere privilegiato
È LA RELATIVITÀ GALILEIANA
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Si possono misurare le forze apparenti (nelle 3
componenti)...
• ...e quindi riportare il nostro moto ad un sistema
inerziale
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Forze apparenti notevoli
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ecco le forze apparenti in accelerata o frenata
• Sistema S inerziale fisso
Sistema S’ non inerziale
mobile
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ecco la situazione per la caduta di un grave in un
vagone in moto non uniforme
• Le interpretazioni dei due osservatori sono diverse
• Nel sistema mobile occorre introdurre delle forze
apparenti
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ecco la situazione della forza centrifuga
apparente
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ma esiste una forza centrifuga reale?
– Certo, ma è applicata all’asse, non al corpo...
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Proprietà della forza di Coriolis
– È nulla se è
_   0
– Il moto di trascinamento è solo traslatorio
_
Vr  0
– Il punto è fermo nel sistema mobile
_
  Vr
– La velocità relativa è parallela all’asse di rotazione
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Esempi sulla Terra di forze apparenti:
– forza centrifuga
• si somma vettorialmente alla forza peso
– deviazione dei gravi verso E
• deriva dalla forza di Coriolis
– cicloni ed anticicloni
• deriva dalla forza di Coriolis
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ecco le interpretazioni diverse di un moto
rettilineo uniforme su una piattaforma rotante con
velocità angolare uniforme
• L’osservatore mobile deve introdurre una forza
perpendicolare alla velocità
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ecco la forza di Coriolis applicata a zone di bassa
pressione nell’atmosfera terrestre
– L’aria si trova a passare su zone della Terra con
velocità periferiche diverse
– Noi vediamo apparire una forza perpendicolare al
vettore velocità
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Il moto ed i sistemi di riferimento
le forze apparenti
• Ed ecco un ciclone reale, visto da un satellite
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