Settima Lezione
Differenze finite per equazioni differenziali, la
corrente, legge di Ohm, Campo magnetico e forza
di Lorentz, Effetto di Hall
Riassunto della lezione precedente






Energia e densità di energia nei condensatori
Interpretazione fisica matrice di capacità
Equazioni di Laplace e di Poisson
Le funzioni complesse analitiche: come
rappresentano possibili soluzioni di Laplace in
2D; lo spigolo a lama di coltello
Unicità della soluzione eq di L e P
Soluzione eq L. e P con separazione delle
variabili e serie
Metodi numerici: differenze finite



Una tecnica di “discretizzazione” molto diffusa: discretizzare:
sostituire a equazioni differenziali/integrali, equazioni algebriche
Costruiamo una griglia di punti, ed in alcuni dei punti il
potenziale sia assegnato (condizioni al contorno). Siano i
quadretti distanziati h
Possiamo espandere in serie di Taylor il potenziale in un
intorno del punto (x,y)
x, y  h 2  2 x, y 
x  h, y   x, y   h

x
2
x 2
x, y  h 2  2 x, y 
x  h, y   x, y   h

x
2
x 2

Combinando le due si ottiene
 2 x, y  x  h, y   2x, y   x  h, y 

2
x
h2
Metodi numerici: differenze finite
h 2
x  h, y   x  h, y   x, y  h   x, y  h   4x, y   

Per ogni punto della griglia (x0,y0) possiamo rimpiazzare l’equazione
differenziale con il suo equivalente alle differenze finite: in esse non
compaiono più derivate ma solo (x0,y0), che divengono le incognite di un
sistema ad n incognite ed n equazioni, n è il numero di punti considerato

(x0,y0)
(x0+h,y0)


Un modo approssimato: notate che, dato un punto ed i 4 confinanti, l’eq di
Laplace è soddisfatta se il punto centrale ha un potenziale pari alla media dei
punti confinanti
Sul sito http://www.av8n.com/physics/laplace.html due file Excel (versione
“base” e “avanzata” -con un metodo più veloce-) che implementano quest’ultima
strategia
Corrente elettrica

Abbiamo visto che in un buon conduttore anche a temperatura
ambiente una notevole quantità di elettroni è disponibile per il
fenomeno della conduzione

Si muovono caoticamente a velocità grandi
(ordine 106 m/s), ma data una sezione,
statisticamente tanti elettroni entrano quanti
escono, ed il flusso medio di carica è nullo
Se si applica un campo elettrico, il loro moto
caotico trasla lentamente, in direzione
opposta al campo, così da aversi un flusso
netto di carica: velocità di “deriva”;
calcoliamola; seconda legge di Newton
Definiamo
 t tempo medio tra due collisioni

E
vd  e t
m



E
ae
m

Corrente elettrica
In un istante dt quanti portatori attraversano una sezione A?
immaginiamo di avere n densità volumetrica di
 elettroni di
conduzione e calcoliamo il flusso N  ndt  v  nds
I
v dt
+
+
+
+
+
+
+
A
+
+
v
E
+
+
+
j
A
Definiamo la corrente
Densità di corrente [A]/[m2]
Se consideriamo v uniforme tutto
ortogonale ad A possiamo
scalarizzare e togliere l’integrale:
N  nvAdt
Quanta carica portano?
dQ  qN  qnvAdt
 dQ
I
 qnvA Misura in
dt
Ampère [C/s]
I 
 J  qnv
A
Legge di Ohm

Inserendo nella definizione di J il valore della velocità di
deriva:




et Conducibilità:

et 


qn
J  qnv d qn E  J  E
m Siemens/metro [S/m]
m
oppure
l
I


 E  J

A
V
 I  JA  EA  A
V
l

 1 / 
Resistività: Ohm metro
[W m]
Applichiamo una ddp V ad un tratto di
conduttore: con un flusso di corrente
uniforme, E e J saranno uniformi:
V 
l
A
I  RI
Legge di Ohm
V
l
A
I  RI
Unità di misura R nel sistema SI: ohm= volt/ampère (W)
Unità di misura G [1/R] nel sistema SI: siemens=
ampère/volt (S)
I
V
(1826, George Simon Ohm)
Semiconduttori intrinseci


Abbiamo visto che la conduzione avviene
per due contributi: elettroni e lacune
Si
La velocità dei portatori è legata al campo
da un fattore (di solito dipendente dal
campo) definito mobilità




vl   pE
v e  nE
Posto:
n (m-3) = concentrazione degli elettroni
p (m-3) = concentrazione delle lacune


J  q n n  p p E



Si
Si
Si
Si
Si
Si
Gap piccolo:
salto termico
(rottura
legame)
Per semiconduttori intrinseci n=p
Semiconduttori
Semiconduttori Drogati
Si
Si
Si
Si
Si
P
Si
Drogati n
donatori
Si
Si
Si
Si
Si
B
Si
Drogati p
++++++
accettori
----------
Giunzione p-n (diodo)


Semiconduttore drogato n: eccesso elettroni
Semiconduttore drogato p: eccesso lacune
E
p




-- +
-- +
-- +
n
Le lacune diffondono in n e gli elettroni in p, lasciando atomi
ionizzati (regioni ”svuotate”)
Gli atomi ionizzati producono un campo che impedisce
ulteriore diffusione
La corrente può riprendere solo se si applica una ddp esterna
che cancella tale campo elettrico: effetto soglia
Se la ddp esterna produce un campo nella stessa direzione di
quello prodotto dagli ioni, aumentano le regioni svuotate
Soluzione diretta Poisson in giunzione p-n

È un caso semplice in cui possiamo trovare la soluzione analitica
E
-- +
-- +
-- +
p
n
x
-dp



dA
Supponiamo “svuotamento completo”: nella regione p
  eN A
essendo NA densità accettori
Integriamo l’eq di Poisson, che in questo caso è monodimensionale, tra -dp
ed x d 2  eN A
d
d
eN A
dx

2



dx

x
dx

 dp

(x  d p )
Avendo assunto zero il campo all’esterno della regione di carica;
integriamo di nuovo, assumendo zero anche il potenziale in x=-dp (tanto
contano le differenze….)  In particolare in zero avremo quelle che
saranno le condizioni al contorno per la
eN A
2
  ( x) 
(x  d p )
eN A
eN A
regione n:
2 d
2
 (0) 
2
(d p ) ;
dx


dp
Soluzione diretta Poisson in giunzione p-n


Nella regione p l’eq sarà analogamente
d 2
eN D


dx 2

Che, integrata due volte come abbiamo appena fatto, e con le condizioni
poste per x=0, danno
eN A 2 
x
x 2 
 ( x) 
d p 1 2 


2
d
d
d
p
n
p


Nell’ottenere l’eq di sopra abbiamo aggiunto l’ulteriore vincolo della
conservazione della carica: dopo la migrazione la quantità totale di carica
positiva uguaglia quella negativa, cioè N D d n  N A d p


Vedete che la differenza di potenziale massima si ha per x=dn, cioè
eN A 2  d n
   (d n ) 
d p 1
 d
2
p


 eN A 2  N A 


d p 1 
 2
 ND 

In assenza di potenziale esterno applicato, tale differenza dipende dalla
diffusione, ed è chiamato potenziale di “built-in”. Applicando un potenziale
esterno si può modificare la posizione di dp (e dn)
Soluzione diretta
E
-- +
-- +
-- +
p
-dp
(x)
n
x
dA
eND
eNA
d/dx
x)
Potenza
Applicata una ddp V scorre una corrente I
Il campo, nello spostare la carica dq, compie il lavoro
dU  Vdq
 VIdt  P 
dU
 VI Potenza: Watt=Volt Ampère
dt
2
V
Nei conduttori:  P  VI  RI 2 
R
Effetto Joule
Conservazione della carica



Se in un volume V la carica diminuisce dobbiamo dedurre che c’è
un flusso di cariche (corrente) che esce da tale volume
quindi
 
dQ
 J  nds   dt
S
Se applichiamo tale principio ad un volume infinitesimo, in modo
analogo con quanto facemmo per la legge di Gauss, otteniamo la
legge di conservazione di carica in forma differenziale

d
J  
dt
Conservazione della carica: 1a
legge di Kichhoff

Dato un insieme di conduttori che confluiscono in un nodo, ovvero
un punto privo di fenomeni di accumulo di carica, il principio di
conservazione della carica può essere riscritto convenientemente
 
dQ
J

n
ds

I
i i  
0

dt
S
i I i  0
S
Gli esperimenti di Oersted: il Campo
Magnetico
Hans Christian Oersted, in Danimarca il 4
settembre del 1820 scoprì che un filo
percorso da una corrente elettrica
deviava l’ago di una bussola.
Non riuscì a dare alcuna spiegazione al
fenomeno, anche considerato che l’ago
non veniva né attratto né respinto, ma si
disponeva ad angolo retto con il filo
Un passo avanti nella comprensione
del Campo Magnetico: gli esperimenti
di Ampère
André Marie Ampère capì immediatamente
l’importanza dell’esperimento di Oersted:
•intuì che una medesima forza dovesse agire
tra due fili percorsi da corrente
•che un ago magnetizzato poteva essere
usato per misurare la corrente (concetto che
in seguito portò a realizzare il galvanometro)
•postulò che i magneti naturali contenessero piccoli circuiti
con correnti in permanente movimento
Pubblicò i risultati il 6 novembre dello stesso anno!
Forza di Lorentz
•Corrente = cariche in movimento
•Le cariche, una volta in movimento, producono una forza
addizionale: il campo di forza magnetico
•Tale forza è a sua volta rivelato solo da cariche in movimento
•…Ma il movimento di chi rispetto a cosa?? E’ una forza che
dipende dal sistema di riferimento
Definiamo un campo vettoriale B, che chiameremo
densità di flusso magnetico o induzione magnetica, per
mezzo della forza esercitata su una carica in movimento

 
F  qv  B
B   F   
 qv 
F  qvBsin 
E  VT 
 2 
1 
LT

 L 
B si misura in Tesla [Vs/m2]
= Weber / m2
oppure Gauss (10-4 T)
Il Campo Magnetico: qualche risultato
in “dettaglio”
Data una carica in moto, cosa “vede” un osservatore in P?
La risposta viene dalle
trasformazioni relativistiche che

restituiscono:  v  E
B 2
P
c
E
u
Se si sostituisce in E il valore di
B
campo prodotto dalla carica e si
v
definisce 1 
7
1



4

10
Hm
0
 0c 2


 0 q  
Si ha B 
v  u ovvero B  0 H (nel vuoto)
2
4r
H è “l’intensità del Campo Magnetico” e si misura in
Ampère/metro
Effetto di Hall
I
Sia un conduttore percorso da corrente
in un campo magnetico
Gli elettroni subiscono una deviazione
-F
dovuta alla forza di Lorentz
Cariche negative si accumulano da un lato e richiamano cariche positive sull’altro
F  envB
Le cariche accumulate inducono un campo
elettrico, fino a compensare la forza magnetica
(e quindi riprendere il normale moto rettilineo)
E  vnB V  LE  nLvB
Nota: forza e spostamento ortogonali:
Lavoro Nullo
+
+
+
+
+
+
+
+
L
B