ARGOMENTI DELLA LEZIONE
• equazioni tensione-potenza dell’nbipolo
• la ripartizione dei flussi di potenza
in una rete
• metodi di soluzione del sistema di
equazioni tensione-potenza
• la soluzione approssimata della
ripartizione dei flussi di potenza
attiva
Problema :
conoscere le potenze attive e reattive
fluenti nei componenti il sistema
Quando si
presenta:
Pianificazione
Progettazione e
Sviluppo del sistema
Esercizio del siste
Analisi
“a posteriori”
tempo
presente
Previsione di esercizio
a medio termine (un
anno)
tempo
Previsione di esercizio
a breve termine (un giorno)
Controllo
in linea (10 minuti)
equazioni tensionepotenza dell’n-bipolo
n
1
Ii i
Vi
k Ik
Vk
7
1
6
5 Ik
Vk
2
Ii
Vi
4
3
7
6
1
3
2
4
5
|I|=|Y||V|
r
i
I =I +jI
r
i
V=V +jV
I
r
V
r
I
i
V
i
I
r
V
r
I
i
V
kV
A
i
MW
MVAR
V
I
P Q
(VI)2=
=P2+Q2
V 
P Q
1
n
k
i
Vi i P Q
i
i
Vk k
Pk Qk
P,Q,V,
N=P+jQ
*
N=VI
Ni=ViIi*
|I|=|Y||V|
Ii=VkYik
k
*
Ni=ViIi
Ii=VkYik
k
Ni=ViVk* Yik*
k
Ni=
k
*
*
ViVk Yik
Ni=
k
*
*
ViVk Yik
V = Ve j
Y = Ye
j
Ni=ViVkYik e
k
j(
i -
k -
ik
Ni=ViVkYik e
N=P+jQ
e
j(
i -
k -
ik
jcos+
j sen
+
Pi+jQi=
V
V
Y
{
cos(
-
-
)
i k ik
i
k ik
k
+jsen(i-k-ik
Pi+jQi=
V
V
Y
{
cos(
-
-
)
i
k
ik
i
k
ik
k
+jsen(i-k-ik
Pi=
V
V
Y
cos(
-
-
)
i
k
ik
i
k
ik
k
{ Q =V V Y
i
k
i
k
ik sen(i-k-ik
Pp= Pi
Qp= Qi
Pi=
V
V
Y
cos(
-
-
)
i
k
ik
i
k
ik
k
{ Q =V V Y
i
k
i
k
ik sen(i-k-ik
2n equazioni
4n variabili
2n variabili note
2n variabili incognite
>> in genere come variabili note si
assumono le seguenti:
1 valore di  ( le  sono tipicamente
incognite; una di esse deve essere fissata come
riferimento )
n-1 valori di P ( le P sono tipicamente
note; una di esse non può esserlo perchè le
perdite non sono note )
il nodo in cui viene fissato  è detto
di saldo o nodo “slack”
>> in genere come variabili note si
assumono le seguenti:
1 valore di  ( le sono tipicamente
incognite; una di esse deve essere fissata
come riferimento )
n-1 valori di P ( le P sono tipicamente
note; una di esse non può esserlo perchè
le perdite non sono note )
n-s valori di Q
s valori di V ( le Q e le V sono forte2n
mente interdipendenti; s non può essere
nè troppo grande nè troppo piccolo)
Dispacciamento della potenza generata
( dispatching )
G
P1
P
2
G
G
Pn
Modello “sbarra”
L
(carico)
n
Pi = L + l p

i=1
lp (perdite di sistema
stimate)
La potenza totale necessaria per alimentare il carico e le
di sistema è ripartita (dispacciata) tra i generatori in ese
modo da rendere minimo il costo dell’energia prodotta n
dei vincoli di sicurezza della produzione e di qualità del
Limiti di impiego dei componenti :
curve di “capability”.
P
Limite di statore
Limite del motore primo
n
Limite di rotore
Minimo
tecnico
Q
Limite di statore in sotto eccitazione
la ripartizione dei flussi
di potenza in una rete
(load flow)
P1 Q1
V6 6
V7 7
V1 1
V5 5
P5 Q5
a
V2 2P Q
2
2
?
P4 Q4
P3 Q3
V4 4
V3 3
Pi=
ViVkYik cos(i-k-ik)
k
{ Q =V V Y
i
k
i
k
ik sen(i-k-ik
2
Pa
Pa1 Qa1
1
2
Qa
2
Va1 a1
a
Va1 a1
2
{
Pai=k=1
VaiVakYaik cos(ai-ak-aik)
2
Qai=k=1
VaiVakYa1k sen(ai-ak-aik)
V6 6
2
Pa2 Qa2
Pa1 Qa1
1
Va1 a1
a
Va1 a1
V3 3
Va1= V3
 a1 =  3
V a2 = V 6
 a2 =  6
metodi di soluzione del
sistema di equazioni
tensione-potenza
{
{
Pi=
V
V
Y
cos(
-
-
)
i
k
ik
i
k
ik
k
Qi=
V
V
Y
sen(
-
-

i
k
ik
i
k
ik
k
Pi - 
V
V
Y
cos(
-
-
)
=
0
i
k
ik
i
k
ik
k
Qi - 
V
V
Y
sen(
-
-

i
k
ik
i
k
ik
k
r = 1....2n
i = 1......n
fr(Pi,Qi,Vi,i)=0
prima degli anni ‘60
MODELLI DI RETE
modelli analogici in corrente
alternata dei diversi componenti
collegabili tra loro a comporre
il sistema in studio
f(x)
r=1....2n
i=1......n
fr(Pi,Qi,Vi,i)=0
f(x)=0
xo
Converge alla soluzione
f(x)
f(x)=0
x’o x’’o xo
x’’’o
Non converge alla soluzione per errata scelta
del punto iniziale
f(x)
f(x)=0
x’’o
x’o
xo
Non esiste la soluzione
f(x)
f(x)=0
x’o
x’’o
x’’’o
la soluzione
approssimata della
ripartizione dei flussi di
potenza attiva
{
Pi=
ViVkYik cos(i-k-ik)
k
Qi=
V
V
Y
sen(
-
-

i
k
ik
i
k
ik
k
Pi=Vi Yiicosii+ViVkYik cos(i-k-ik)
2
k°i
prima ipotesi
ik= 
Pi = - ViVkYik sen(i-k)
k°i
seconda ipotesi
Pi= -V
2
Vi=Vk=V

Yik sen(i-k)
k°i
terza ipotesi
2
Pi= -V
sen(i-k)=(i-k)

Yik (i-k)
k°i
2
Pi= -V

Yik (i-k)
k°i
Yik= -yik
yik
k
i
Pi=V
2

yik (i-k)
k°i
2
Pi= V
(i) 1
yik (i-k)
k°i
y12
2 (k)
2
P1= V y12 (1-2)= -P2
2
Pik= V yik (i-k)= - Pki
Pi=V
2

yik (i-k)
k°i
2
Pi= V (i yik- yikk )
k°i
k°i
y*ii=yik ; y*ik=-yik
k°i
Pi= V
2

y*ikk
k
(k=1..n; i=1..n)
Pi= V
2
 y*ikk
P1= -Pi ;
Pi= V
2
 y*ikk
(k=1..n; i=1..n)
1= 0
(i=2..n; k=2..n)
2
|P|= V |y*||| (matr ord n-1)
2
||= V |y*|-1|P| (matr ord n-1)