Digital Image Processing, 2nd ed.
Wavelet
Cenni di Jpeg 2000
Livio Tenze
[email protected]
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
www.imageprocessingbook.com
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Testi utilizzati
• “Wavelet transform”, Sheng
• R. C. Gonzales and R. E. Woods. Digital Image
Processing. Prentice Hall
• http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html
• Signal Processing Magazine, Review on JPEG
2000
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Argomenti del seminario 1/2
• Introduzione all'analisi tempo-frequenza
– Confronto con Fourier, Short time Fourier transform
(STFT)
– Wavelet continua
– Dal continuo al discreto
• Wavelet partendo dalla multirisoluzione
– Funzioni di scala e proprietà necessarie
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Argomenti del seminario 2/2
– Funzioni wavelet
– Fast wavelet transform (FWT)
– Trasformata wavelet in 2 dimensioni
• Cenni alla compressione Jpeg 2000
– Perché una nuova trasformata per la compressione
di immagini
– Descrizione generale dello standard Jpeg 2k
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Analisi tempo-frequenza
• La trasformata wavelet di un segnale 1-D è una
funzione 2-D nello spazio tempo-scala
• La rappresentazione tempo-scala è molto simile alla
rappresentazione tempo-frequenza familiare nella
trasformata Short Time Fourier Transform (STFT)
• La wavelet è di particolare interesse per analizzare
segnali non stazionarî (come i segnali vocali, radar,
sonar, sismici, elettrocardiografici, musicali, torsionali
e motoristici) ed è un’alternativa alla classica STFT o
alla trasformata di Gabor
• La wavelet è locale sia in tempo che in frequenza!
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Analisi tempo-frequenza
• Un esempio di rappresentazione tempo-frequenza è lo
spartito musicale
• L’analisi è limitata dal principio di indeterminazione o
disuguaglianza di Heisenberg:
1
t 
2
Un segnale non può essere rappresentato su un piano tempofrequenza come un punto, si può unicamente determinare la sua
posizione all’interno di un rettangolo.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Limitazioni di Fourier
• La trasformata di Fourier non è sufficiente per
segnali tempo varianti.
• Fourier fornisce una perfetta località in
frequenza, ma una “globalità” nel tempo.
• Inoltre non fornisce alcuna informazione sulla
variazione temporale del segnale sotto esame.
• La STFT, la Gabor transform, la distribuzione
di Wigner e l’ambiguity function sono delle
soluzioni per l’analisi di segnali tempo-varianti.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Short Time Fourier Transform
Gabor introdusse nel 1940 la STFT che è nota anche come sliding
window Fourier Transform ed è definita come segue:


 
'
*
'
S
(
,
)

f
(
t
)
g
(
t

)
exp(

j
t
)
dt
f

dove g(t) è una funzione finestra scelta opportunamente.
•Vengono definite come funzioni di Gabor:
'
g
(t
)exp(

j
t)
È richiesto inoltre che
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
 g(t) dt1
2
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Short Time Fourier Transform
• Risoluzione tempo-frequenza
2
t
g(t) dt

2

t 
2
g(t) dt
2
2
2

G
(

)
d


2


2
(

)d

G
• Finestra gaussiana
1
1 
t2
22


G
(

)

exp

s

/
4

g
(
t) exp

2

s  s
s


La finestra gaussiana fornisce il minimo prodotto tempobanda determinato dal principio di indeterminazione.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelet continua
• Analisi wavelet utile per segnali non stazionari
– rispetto alla STFT, la wavelet fornisce Q costante
• Le basi sono generate da una funzione madre
mediante dilatazione e traslazione
• L'”ammissibilità“ assicura l'esistenza
dell'inversa
• La “regolarità” fornisce la località in frequenza
e nel tempo
• Per ridurre il prodotto tempo-larghezza di banda
si ricorre alla DWT
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelet continua
• La trasformata ortonormale viene ottenuta in un
ambiente multirisoluzione partendo dalle
funzioni di scala (cfr subband coding, QMF)
– Fast wavelet transform (FWT): algoritmo ad albero
• Applicazioni:
– Analisi di segnali sismici, radar, sonar,
elettrocardiografici, transitori motore
– Compressione dei dati
– Filtraggio
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelet continua
Sia data f(t) in L l’insieme delle funzioni misurabili e di quadrato
integrabili, si definisce la trasformata wavelet come:
*
W
(
s
,

)

f
(
t
)
h
f
 s,(t)dt
dove
1 t


h
(
t
)

h


s
,
ss
Per valori s>1 la funzione si contrae, mentre per valori 0<s<1 si
dilata. Vale inoltre la normalizzazione dell’energia:
2
t
)dt

(
t
)dt

1
(
h
h
2
h
,
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelet continua
Si ottiene quindi:


1
t



*
W
s
,)

f
(
t
)
h
dt
 
f(
s
s


 

La trasformata di Fourier della wavelet risulta essere
1
t




H
(
)

h
exp

j
t
dt

s
H
(
s
)
exp

j
)


s
,

s
s


Una contrazione nel tempo corrisponde ad una dilatazione in
frequenza.
Si fa notare che le funzioni base non vengono specificate!
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelet continua
• Le funzioni base vengono scelte sulla base di alcune
proprietà fondamentali. Le principali sono l’ammissibilità e
la regolarità delle funzioni.
– Ammissibilità: la wavelet deve oscillare per avere il valor
medio nullo
– Regolarità: le wavelet devono avere un decadimento
esponenziale con i momenti di ordine basso uguali a 0
– In altre parole la funzione oscilla e decresce
• Le wavelet possono essere continue o discrete, ortonormali
o non ortonormali, analitiche o numeriche
• Se la funzione scelta soddisfa le due condizioni
fondamentali, si ha che la trasformata possiede delle
caratteristiche di località nel tempo.
• Il fattore 1/s assicura che i coefficienti divengano piccoli al
crescere della frequenza. Ciò significa avere località in
frequenza.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Multirisoluzione wavelet
• La trasformata wavelet risulta essere la
correlazione tra una funzione e la wavelet
dilatata
• Ad una data risoluzione la trasformata viene
calcolata mediante un filtro la cui risposta in
frequenza è scalata come h(t/s)
• Quando la scala è piccola, la funzione è
concentrata nel tempo
• Quando la scala è grande, la wavelet è dilatata
nel tempo.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Fidelity analysis
La versione contratta della wavelet permette di analizzare
le discontinuità e le singolarità con un supporto
temporale piccolo.
Allo stesso modo è possibile sfruttare una versione
dilatata della wavelet per avere una visione globale del
fenomeno.
La STFT non possiede le proprietà precedentemente
elencate.
Si può dimostrare che il rapporto tra la frequenza centrale di
analisi e la larghezza di banda (noto come fattore Q) nell’analisi
wavelet risulta essere:

)s
1 (



Q 1
/s
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Esempi di wavelet
2
t



h
(
t
)

exp(
j

t
)
exp

0
2

 
Esempio matlab
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
t

h
(
t
)
(
1

t2)
exp



2

2
1 0t1/2

h
(t)
1 1/2t1
0 altrimen

Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Passaggio dal continuo al discreto
•La trasformata wavelet continua rappresenta un segnale monodimensionale
in termini di tempo-scala: ridondante!
•Risulta quindi che il prodotto tempo-larghezza di banda è il quadrato di
quello del segnale di partenza
•L’uso di wavelet discrete può ridurre tale prodotto:



i
/
2 
i
i
h
(
t
)

s
h
s
(
t

k

s
)
i
,
k
0
0
00
  k 0s0i
s0  1
si noti che il fattore di traslazione dipende dal valore di s0 (che
usualmente è pari a 2 => espansione diadica) e dal valore i che determina
la scala che si sta analizzando.
•Analogia con il microscopio …
Si può dimostrare che la trasformata wavelet ortonormale produce un
prodotto tempo-frequenza identico a quello del segnale di partenza.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Passaggio dal continuo al discreto
•Se il segnale di partenza è continuo ed anche le funzioni wavelet sono
continue nella scala e nel tempo, si ottiene la trasformata wavelet
continua.
•Quando il segnale in ingresso è continuo, ma le funzioni wavelet sono
discrete in tempo e scala, si ottiene la scomposizione in serie wavelet.
•La teoria delle wavelet usando l’analisi dello spazio delle funzioni dimostra
che l’espansione in serie e la ricostruzione delle funzioni continue possono
essere calcolate con un approccio a multirisoluzione con filtri discreti.
Quando la trasformata wavelet è calcolata con il calcolatore, il segnale in
ingresso ed i filtri da iterare sono discreti: in questo senso si parla di
discrete wavelet transform.
Analogie con trasformata di Fourier
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelet partendo dalla
multirisoluzione
• La multirisoluzione incorpora e unifica tecniche
provenienti da discipline diverse: subband coding,
quadrature mirror filtering, scomposizione piramidale
• Consiste nell’analizzare e nel rappresentare i segnali a
più risoluzioni
• Esistono varie vie per introdurre le wavelet, forse la
più agevole è quella che parte dall’MRA
• Idea di fondo:
– oggetti di piccole dimensioni e di basso contrasto sono più
visibili a risoluzioni elevate
– Il viceversa vale per gli oggetti di grandi dimensioni
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
Es: l’immagine
possiede una statistica
locale variabile
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Multirisoluzione: concetti base
Un segnale f(x) può essere analizzato come una combinazione lineare di
funzioni:
f(x
)


x
)

k
k(
k
Se l’espansione risulta essere unica, si dice che k(x) sono delle funzioni
base. Le funzioni esprimibili con tale base formano uno spazio di
funzioni V.
Per ogni spazio V esiste un insieme di funzioni duali che possono essere
usate per calcolare i coefficienti k come segue:
~
~



(
x
),
f
(
x
)


(
x
)
f
(
x
)
dx

k
k
*
k
In funzione dell’ortogonalità o meno delle funzioni base è possibile
incontrare vari casi…
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Multirisoluzione: concetti base
Caso 1: le funzioni base formano una base ortonormale per V.
0j

k


(
x
),

(
x
)


1j

k
j
k
jk

Caso 2: le funzioni base formano una base ortogonale per V, ma non
ortonormale. La relazione tra le funzioni base e le funzioni duali è:
0j

k

~

(
x
),

(
x
)


1j

k
j
k
jk

Caso 3: le funzioni base non formano una base ortogonale per V, cioè
esiste più di una n-pla di coefficienti per l’espansione della stessa
funzione f(x). Le funzioni di espansione ed il loro duale sono dette
sovradimensionate o ridondanti.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Multirisoluzione: funzioni di scala
Si consideri ora la famiglia di funzioni ottenute da traslazioni intere e
riduzioni di scala di tipo diadico:
j/2
j

(
x
)

2

(
2
x

k
)
j
.
k
Il valore k imposta la posizione relativa della funzione, mentre il valore j
ne imposta la scala.
Scegliendo opportunamente le funzioni è possibile descrivere
completamente lo spazio L2(R), cioè l’insieme delle funzioni reali
misurabili ed di quadrato integrabili.
Fissando il valore di j=j0 le funzioni di espansione risultanti descrivono
un sottoinsieme dello spazio totale. Indicheremo tale sottospazio come
Vj0.
f(x
)


x
)

k
j0,k(
k
Aumentando il valore di j si aumenta la dimensione dello spazio che
considera delle funzioni con variazioni più piccole e quindi dettagli più
piccoli.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
Aumento di scala
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Richieste fondamentali dell’MRA
• Le funzioni di scala sono ortogonali alle traslazioni
intere
• I sottospazî descritti dalle funzioni di espansione in un
basso valore di scala sono contenuti in quelli descritti
dalle scale più alte
V

...

V

V

...

V



1
0

• La sola funzione comune a tutti i sottospazî Vj è f(x)=0.
V  {0}
• Ogni funzione può essere espressa con una precisione
arbitraria.
V {L2(R)}
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Conclusioni sulle funzioni di scala
Sotto le condizioni appena elencate, le funzioni di espansione del
sottospazio Vj possono essere espresse come la somma pesata delle
funzioni alla scala j+1.

(
x
)


(
x
)

j,k
n
j
1
,n
n
Sostituendo quindi la funzione j+1,n e rinominando i coefficienti n in
h(n) si ottiene:

(
x
)

h
(
n
)
2
(
2
x

n
)


(
j

1
)
/
2
j

1
j
,
k
n
o nella forma più generale nota come refinement equation o dilation
equation:

(
x
)

h
(
n
)2

(
2
x

n
)


n
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Multirisoluzione: funzioni wavelet
•Partendo da una funzione di scala che soddisfi le richieste dell’MRA viste
precedentemente, si definisce la funzione wavelet (x).
•La funzione appena definita assieme alle sue traslazioni intere e le sue
versioni riscalate è in grado di descrivere la differenza tra due sottospazî Vj
e Vj+1.
j/2
j
(
x
)

2
(
2
x

k
)
•Si può definire l’insieme j,k(x):
j
,
k

se f(x) appartiene a Wj

f(x
)


x
)

k
j,k(
k
La relazione tra lo spazio descritto dalla funzione di scala e quello descritto
dalla wavelet risulta essere la seguente:
Vj1 Vj 
W
j
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Multirisoluzione: funzioni wavelet
Dall’ultima espressione si evince che il complemento ortogonale di Vj in
Vj+1 risulta essere Wj e che tutti i “vettori” di Vj sono ortogonali a quelli di
Wj, perciò vale la seguente espressione:

x
),

x
)
0
j,k(
j,l(
Si può quindi esprimere tutto lo spazio delle funzioni misurabili, di
quadrato integrabili come segue:
2
L
(
R
)

V

W

W

...
0
0
1
2
L
(
R
)

V

W

W

...
1
1
2
2
L
(
R
)

...

W

W

W

W

W

...

2

1
0
1
2
Nell’ultima espressione è stata eliminata la funzione di scala e la funzione viene
rappresentata in termini di sole funzioni wavelet.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Multirisoluzione: funzioni wavelet
Si noti che se una funzione f(x) appartiene a V1, ma non a V0,
un’espansione che usi la prima “configurazione” vista conterrà
un’approssimazione di f(x) in termini di V0; le wavelet di W0
condificheranno invece la differenza tra la funzione f(x) e
l’approssimazione corrente.
Similmente alle funzioni di scala, anche le funzioni wavelet possono
essere espresse in termini di somma pesata delle funzioni di scala ad una
risoluzione maggiore:

(
x
)

h
(
n
)2

(
2
x

n
)


n
I coefficienti della somma pesata appena vista sono noti come coefficienti
della wavelet. Si può inoltre dimostrare la seguente relazione
n
h
(
n
)
(

1
)
h
(
1

n
)


Si noti la somiglianza con la relazione intercorrente tra i filtri ortonormali del subband coding.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
Applicando
l’ultima
relazione vista, si possono
calcolare i coefficienti di
scala e delle wavelet delle
wavelet di Haar.
Esempio citato precedentemente
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Discrete wavelet transform
Come già accennato precedentemente, se la funzione che viene espansa è
una sequenza di campioni, i coefficienti risultanti sono quelli della DWT.
Le somme prendono il posto degli integrali:

Fattore di normalizzazione
cfr. DFT
1
W
(
j
,
k
)

f
(
x
)j
(
x
)

0
,
k
0
M
x
Cfr. coeff. precedenti
1
W
(
j
,
k
)

f
(
x
)j,k
(
x
)


M
x




1
1
f
(
x
)

W
(
j
,
k
)
(
x
)

W
(
j
,
k
)
(
x
)



0
j
,
k
j
,
k
0
M
M
k
j

j
k
0


La variabile indipendente x risulta essere una variabile a valori interi.
Come indicato prima, nel caso di basi non ortonormali, le funzioni con cui
fare la correlazione risultano essere quelle duali.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Fast wavelet transform (FWT)
• La FWT è una realizzazione efficiente della DWT che
sfrutta la relazione tra i coefficienti della DWT a scale
diverse.
• La FWT è anche nota come Mallat herringbone
algorithm e riutilizza lo schema di scomposizione del
nel subband coding.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
Si fa notare che i coefficienti della
scala più elevata sono quelli della
funzione di partenza.: le iterazioni
successive producono coefficienti
di scala J-1, J-2, et cetera
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
Partendo dalle espressioni precedentemente viste si ottiene facilmente lo
schema di “decodifica” cioè lo schema per il calcolo della FWT inversa.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Estensione al caso 2-D
La trasformata 1-D descritta precedentemente viene facilmente estesa al
caso 2-D (es: immagini).
In 2-D sono necessarie:
•1 funzione di scala 2-D
•3 funzioni wavelet 2-D
Le funzioni ora citate possono essere ottenute utilizzando dei filtri
separabili:

(x
,y
)

(x
)

(y
)

(x
,y
)

(x
)

(y
)
V

(x
,y
)

(x
)

(y
)
H

(
x
,y
)

(
x
)

(y
)
D
Caso immagini: le funzioni wavelet misurano le variazioni dei toni di
grigio lungo direzioni differenti.
Si può quindi ridefinire la DWT in 2-D come indicato in seguito.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
Convoluzione sulle righe
e sulle colonne
Generazione delle “bande in frequenza”
bidimensionali.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
N.B.: utile comando matlab
waveinfo(‘sym’)
help waveinfo
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Esempi applicativi
Andremo ora a considerare due esempi applicativi
delle wavelet 2-D:
• Isolamento dei bordi verticali mediante
filtraggio dei dettagli
• Eliminazione di rumore additivo gaussiano da
un’immagine mediante thresholding.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
Esempio matlab
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Wavelets and Multiresolution Processing
Hard thresholding

x
(
t
) x
(
t
)

y
(
t
)


Hard
0 altrim

Soft thresholding



sign
(
x
(
t
))
x
(
t
)
x
(
t
)

y
(
t
)


Soft
altr
 0
Esempio matlab
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Cenni di Jpeg2000
• Perché un nuovo standard di compressione? Le immagini
digitali odierne richiedono una qualità sempre maggiore e
risultano essere di risoluzioni sempre più elevate.
• Lo standard Jpeg2k rappresenta gli avanzamenti nella tecnologia
di compressione delle immagini: è stato ottimizzato sia per
efficienza che per scalabilità ed interoperabilità nelle reti e negli
ambienti radiomobili.
• Lo standard è particolarmente indicato per: internet, facsimile a
colori, stampa, scanner, fotografia digitale, applicazioni
radiomobili, immagini mediche, archivi librari, et cetera.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Cenni di Jpeg2000
Caratteristiche principali:
• Superior low bit rate performance
• Continuous-tone and bilevel compression: possibilità di
comprimere immagini da 1 a 16 bit per ogni componente di colore
• Lossless and lossy compression
• Progressive transmission
• Region of interest: spesso alcune parti delle immagini possono
essere di maggior interesse e possono essere trasmesse con
un’accuratezza maggiore
• Open architecture: un decoder può implementare il core del
sistema ed il parser per la corretta interpretazione del flusso di dati
• Robustness: importante nelle trasmissioni senza fili
• Security: watermarking, encryption
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Cenni di Jpeg2000
Nella figura sottostante viene illustrato il diagramma a blocchi del Jpeg2k.
1. Dapprima viene calcolata la trasformata discreta sull’immagine in
ingresso
2. I coefficienti vengono quindi quantizzati
3. Infine si passa alla codifica entropica prima della generazione del
flusso di dati Jpeg2k
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Cenni di Jpeg2000
Sebbene lo schema precedente risulti molto simile a quello del Jpeg
tradizionale, esistono enormi differenze in ognuno dei blocchi funzionali
indicati.
Breve descrizione del sistema di compressione/decompressione:
•L’immagine viene scomposta in componenti
•Le componenti possono venir divise in porzioni (tile) – opzionale
•La trasformata wavelet viene applicata ad ogni porzione, quindi ogni porzione
è “codificata” a diverse risoluzioni
•I coefficienti alle varie risoluzioni vengono divisi in sottoinsiemi in base alle
caratteristiche in frequenza
•I coefficienti delle sottobande vengono quantizzati e riuniti in matrici
rettangolari (code block)
•I singoli bit plane vengono passati al codificatore entropico
•Vengono quindi aggiunti al flusso di dati dei marcatori per la correzione degli
errori.
•Il flusso contiene inoltre un’intestazione in cui viene descritta tutta la struttura
dell’immagine.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Cenni di Jpeg2000
La DWT può essere
reversibile (Le Gall 5/3) o
irreversibile (Daubechies
9/7).
Modalità
di
filtraggio: convolution e
lifting
scheme.
Per
assicurare il filtraggio
dell’intera immagine si
ricorre
all’estensione
simmetrica ai bordi che
risulta essere dipendente
dal filtro usato.
L’immagine originale può venir
divisa in tile che vengono compresse
in modo indipendente: si riduce il
consumo di memoria. Tutte le tile
devono avere la stessa dimensione (a
parte quelle sui bordi), scelta in
modo arbitrario. Considerazioni sulla
qualità.
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Le componenti dell’immagine possono non avere la stessa
profondità di bit e possono essere sia con segno che senza. La
trasformazione delle componenti permette di ottenere
quantizzazioni più agevoli. Esistono nel Jpeg2k 2 operazioni
di trasformazione: ICT (irreversibile) ed RCT (reversibile).
La ICT viene usata con il kernel 9/7 dal momento che la
trasformata è irreversibile, mentre la RCT viene usata con il
5/3 che risulta essere reversibile.
Digital Image Processing, 2nd ed.
Cenni di Jpeg2000
Effetto del tiling nella
compressione Jpeg2k
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
www.imageprocessingbook.com
Digital Image Processing, 2nd ed.
Cenni di Jpeg2000
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
www.imageprocessingbook.com
Digital Image Processing, 2nd ed.
Cenni di Jpeg2000
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
www.imageprocessingbook.com