Stage scienza e realtà 2011
Il finzionalismo di Harty Field
Tutor: Flavio Zelazek
Relatori (in ordine di presentazione):
Francesco Antilici
Laura Lestini
Giacomo Gusella
Maria Teresa Cipollone
Marco Pietrosanto
Rocco Gerace
I.
Introduzione
P1) Se gli asserti matematici, presi alla lettera, sono veri, allora
esistono oggetti matematici astratti
P2) Non esistono oggetti matematici astratti (nominalismo)
C) Gli asserti matematici, presi alla lettera, non sono veri
(finzionalismo)
P1) Se gli asserti matematici, presi alla lettera, sono veri, allora
esistono oggetti matematici astratti
"Vi è un uomo politico onesto "
è vera se e solo se
Esiste almeno un oggetto che sia un uomo, sia un politico, e sia onesto.
P1) Se gli asserti matematici, presi alla lettera, sono veri, allora
esistono oggetti matematici astratti
"Vi è un numero primo pari"
è vera se e solo se
Esiste almeno un oggetto che sia un numero, sia primo, e sia pari.
C) Gli asserti matematici, presi alla lettera, non sono veri, oppure lo
sono vacuamente.
"Per ogni x, se x è un numero primo allora x è dispari"
A
B
A>B
V
V
V
V
F
F
A = "x è un numero primo"
B = "x è un numero dispari"
F
V
V
F
F
V
A > B può essere vera anche se B è falsa !
C) Gli asserti matematici, presi alla lettera, non sono veri, oppure lo
sono vacuamente.
In un senso non letterale, gli asserti
matematici possono essere veri: ad
esempio sono veri secondo la matematica
standard, così come gli asserti su
personaggi fittizi sono veri secondo la
storia cui fanno riferimento.
Dilemma di Benacerraf
buona semantica
buona epistemologia
P1
P2
Finzionalismo
Dilemma di Benacerraf (Laura)
Argomento dell'indispensabilità (Giacomo)
Conservatività (Maria Teresa)
Nominalizzazione (Marco)
Argomento del miracolo (Rocco)
II.
Il Dilemma di Benacerraf
Il dilemma di Benacerraf
o
Il problema di Platone
o
I numeri naturali che oggetti sono?
o
E’ importante capire che tipo di oggetti siano?
o
Che rapporto hanno con la nostra conoscenza?
Benacerraf (1965)
o
•
I numeri naturali sono insiemi?
Benacerraf: i numeri naturali risultano differenti se
considerati attraverso gli insiemi di Zermelo o di von
Neumann e, poiché l’aritmetica non ci offre ragioni per
stabilire quale dei due insiemi siano,
i numeri naturali non sono insiemi.
Dire esattamente cosa i numeri siano,
o cosa non siano, è come cercare di
stabilire quale è stata la vita adulta
di Cappuccetto Rosso (Wagner 1982,
Field 1989)
Ma allora cosa sono?
o
o
Benacerraf conclude che i numeri naturali non
sono né insiemi né oggetti
Field propone la spiegazione più naturale del
finzionalismo: abbiamo una buona storia sia per i
numeri naturali sia per gli insiemi, ed è del tutto
irrilevante, all’interno della storia, se
identifichiamo i numeri naturali con gli insiemi o
meno.
Benacerraf (1973)
Locus classicus: come possono gli enti matematici
platonici, indipendenti dal linguaggio, dagli enti
fisici e fuori dallo spazio-tempo, produrre
conoscenza?
Contro l’intuizione matematica:
un’intuizione matematica, che dà pieno accesso al
“reame” dei numeri, sarebbe uguale a un’intuizione
speciale che ci dice cosa accade esattamente in un
remoto villaggio del Nepal:
se i matematici accettano ‘p’, allora p (Field 1989)
Prima richiesta: una teoria della verità
“La teoria della verità matematica deve essere conforme
con una teoria generale della verità, che certifichi che la
proprietà degli asserti detta ‘verità’ sia veramente la
verità”
‘Vi sono almeno tre numeri
perfetti maggiori di 17’
‘Vi sono almeno tre grandi
città più antiche di New York’
sono veri se esistono oggetti con proprietà
rilevanti indipendentemente da ogni
nostra giustificazione
496
Seconda richiesta:
il problema dell’accesso
Conoscenza si produce quando un soggetto
conosce che p solo se vi è qualcosa che rende
vero che p e il soggetto è in relazione con
questo qualcosa che gli permetta di stabilire se
le condizioni di verità di p sono soddisfatte.
“ non è possibile tenere conto della connessione
fra le condizioni di verità degli asserti
dell’aritmetica e ogni evento rilevante connesso
con coloro che sono supposti avere conoscenza
matematica ” (Benacerraf)
Il dilemma di Benacerraf
Buona semantica  Cattiva epistemologia
(es. Gödel: viola la seconda richiesta)
Buona epistemologia  Cattiva semantica
(es. Quine: viola la prima richiesta)
Le risposte di Hartry Field
Finzionalismo
Platonismo
Indispensabilità
Dispensabilità
Verità
Conservatività
Aritmetica
Nominalizzazione
III.
L'argomento di indispensabilità
Argomento dell’indispensabilità
Una delle caratteristiche più interessanti della
matematica è la sua applicabilità alle scienze
empiriche.
Partendo dall’utilità della matematica alcuni filosofi
hanno concluso, tramite un’inferenza, l’esistenza di
oggetti matematici.
Cosa sostiene: esistono gli oggetti matematici
Come lo giustifica: esistono perché la matematica
entra in maniera indispensabile nelle spiegazioni
dei fenomeni fisici.
Il presupposto dell'argomento di indispensabilità è un'inferenza alla migliore
spiegazione.
Supponiamo che:
a)Abbiamo delle credenze su certi fenomeni ai quali non siamo disposti a
rinunciare
b)Questa classe di fenomeni è ampia e complessa
c)Abbiamo una spiegazione abbastanza precisa di questi fenomeni
d) Una delle assunzioni che appaiono in questa spiegazione è l’asserto S e non
è possibile nessuna spiegazione dei fenomeni che faccia a meno di S
Abbiamo forti ragioni per credere nell’asserto S
Attacchi di Field all’indispensabilità
• Nominalizzazione
Le teorie fisiche si possono nominalizzare, spogliare di
qualsiasi riferimento alla matematica
• Ruoli diversi
Le entità matematiche, rispetto alle entità fisiche, hanno un
ruolo completamente diverso all’interno delle teorie
scientifiche
• Spiegazioni intrinseche
Sono preferibili le spiegazioni intrinseche in quanto sono
quelle che si avvicinano di più ai fenomeni e sono le più
illuminanti
Il ruolo degli enti matematici nelle spiegazioni del mondo
fisico è del tutto diverso dal ruolo delle entità fisiche nelle
medesime spiegazioni.
Le entità fisiche, osservabili o non osservabili, hanno un
ruolo CAUSALE, sono sottoposte a leggi di causa-effetto e
producono gli effetti che le leggi fisiche cercano di spiegare.
Le entità matematiche vengono considerate come oggetti
inerti, come oggetti ACAUSALI, senza alcun ruolo nelle
interazioni dei fenomeni fisici.
Come possono queste entità acausali avere un ruolo
indispensabile per spiegare le entità causali?
VI.
CONSERVATIVITA'
“On this account truth isn’t required for goodness (no
necessary truth isn’t required either); what is required
instead is something called conservativeness, which
embodies some of the features of necessary truth
without involving truth”
H. Field “realism, mathematics and modality” 1989 p.4
• COS’È / COSA NON È
NON È un 'surrogato' del concetto di verità.
NON È la sola proprietà di una teoria matematica: esitono
'virtù secondarie' -eleganza, semplicità etc.- che possono
contribuire a determinare la bontà della teoria.
Una teoria matematica S è conservativa rispetto ad una teoria
nominalista N se ogni enunciato nominalista che è una
conseguenza di N+S è una conseguenza di N solo.
Questa definizione è piuttosto vaga e fa sorgere
un
PROBLEMA:
Se N è una teoria nominalista
allora potrebbe asserire qualcosa
che ESCLUDE L’ESISTENZA DI ENTITÁ
ASTRATTE
e quindi ‘N + S’ SAREBBE INCOERENTE!
... PROVIAMO AD ESSERE PIU’ PRECISI
Sia A un qualsiasi asserto
nominalista, sia N un qualsiasi
corpo di tali asserti; A* non è
una conseguenza di N* + S a
meno che non sia una
conseguenza di N* solo.
... DI COSA STIAMO PARLANDO?!
•S-> una qualsiasi teoria matematica;
•A-> un qualsiasi asserto nominalista;
•N-> un qualsiasi corpo di asserti nominalisti A;
•M(x) significa che x è un oggetto matematico;
•A* -> un qualsiasi asserto nominalista I CUI
QUANTIFICATORI SONO RISTRETTI A ¬M(x);
•N* -> il corpo degli asserti A*.
•A COSA SERVE?
Il concetto di conservatività viene introdotto da Hartry Field per
mostrare che non serve pensare la matematica come vera in
senso platonista per spiegare la sua applicabilità al mondo fisico.
“It seems to me that the only non-question-begging arguments
against the sort of nominalism sketched here (that is, the only
non-question-begging arguments for the view that mathematics
consists of truths) are based on the applicability of mathematics
to the physical world.”
H. Field Science without numbers”1980 p.4
Inoltre negare la pretesa di
indispensabilità della
matematica, non significa
negarne anche l’utilità
pratica. L’introduzione del
concetto di conservatività
consente quindi a Field di
riconoscere come
perfettamente legittimo
l’uso della matematica
anche da una prospettiva
finzionalista.
“[…]If we had a nominalistic
theory , than we would be
legitimate to introduce
mathematics as an auxiliary
device that aid us in drawing
inferences […] and its
usefulness as an auxiliary
device is no ground for
supposing that it consists of a
body of truths.”
Field 1980 p.41
VERITA'
QUELLA DEI REALISTI...
Secondo il realismo matematico gli enti matematici astratti- (numeri, insiemi, funzioni etc) esistono
indipendentemente dalla mente e dal linguaggio umani
e vanno dunque considerati veri rispetto al loro valore
facciale, ovvero, gli asserti matematici vanno
considerati come LETTERALMENTE VERI.
… E QUELLA DEI FINZIONALISTI!
Al contrario essere finzionalisti, secondo Field, non significa
negare agli asserti matematici la pretesa di essere “VERI IN
UN QUALCHE SENSO”; tuttavia il senso in cui ‘2+2=4’ è
vero è lo stesso in cui lo è la proposizione ‘Oliver Twist è
nato a Londra’. La seconda è vera “according to a wellknown story” la prima “according to standard mathematics”.
QUAL È IL SENSO DI TUTTO CIÒ?
IL 'NUCLEO' DI UNA TEORIA FISICA, ciò che in essa è
davvero IMPORTANTE, È L'INSIEME DEGLI ASSERTI
NOMINALISTI N.
Questi costituiscono le PREMESSE dalle quali si
ricavano CONSEGUENZE -anch'esse nominalisteovvero PREDIZIONI.
Dunque, tutto IL 'POTERE PREDITTIVO' DI
UNA TEORIA FISICA STA INTERAMENTE
NEL SUO 'NUCLEO‘ nominalista.
LA MATEMATICA GIOCA UN RUOLO
MERAMENTE ACCESSORIO: E' UNO
STRUMENTO CHE FACILITA LE INFERENZE DA
N ALLE SUE CONSEGUENZE.
V.
Nominalizzazione
Il programma di nominalizzazione
L'obbiettivo di Field
Quali ?
In che modo?
eliminare qualsiasi referenza ad
entità matematiche
Quelle relative alle
applicazioni al
mondo fisico
mostrando che è possibile
una formulazione della
scienza che non necessiti
di matematica
Postula l'esistenza di punti nello spazio-tempo
xyz A-Cong tuv
x Bet yz
x
t
z
x
y
y
x
y
z
w
xy Cong zw
z v
u
• 1) per ogni x,y,z e w, xy Cong
zw se e solo se d(x,y) = d(z,w);
• 2) per ogni x,y e z, y Bet xz se e
solo se d(x,y)+d(y,z)=d(x,z);
c’è un punto x tra a1 e a2 (x Bet a1a2) tale che xa1 Cong cd a xa2 Cong cd
VI.
L'argomento del miracolo
L'argomento del miracolo
L'argomento del Miracolo dice che il realismo della
scienza è la migliore spiegazione del successo della
scienza, che altrimenti sarebbe 'miracoloso'.
WIGNER
PUTNAM E IL REALISMO
SCIENTIFICO
FINZIONALISMO
WIGNER
The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in
the Natural Sciences" (L'Irragionevole Efficacia della
Matematica nelle scienze naturali) 1960
"L'enorme utilità della matematica nelle scienze
naturali è qualcosa che rasenta il misterioso di cui
non c'è alcuna spiegazione razionale".

“Il miracolo dell'appropriatezza del linguaggio
della matematica per la formulazione delle leggi della
fisica è un dono meraviglioso che noi non
comprendiamo né meritiamo. Dovremmo esserne grati
e sperare che esso rimarrà valido nelle ricerche future e
che si estenderà, nel bene o nel male, a nostro
piacimento, anche se forse anche a nostro turbamento,
alle più ampie branche del sapere.”

PUTNAM E IL REALISMO SCIENTIFICO
“Scientific Realism is the only philosophy that doesn't make the succes of
science a miracle" (1975:73)
1)La Verità delle teorie matematiche spiegherebbe il loro
successo predittivo
2)Non c'è nessun'altra spiegazione plausibile di questo
successo predittivo.
3)La scienza ha successo.
Pertanto si conclude che le nostre teorie sono vere.
LA RISPOSTA DI FIELD E DEL FINZIONALISMO:
NOMINALIZZAZIONE E ADEGUATEZZA NOMINALISTA.
T->Teoria fisica che usa la matematica
T'->Teoria altenativa a T non fisica che esprime il contenuto
nominalista presente in T.
T è estensione conservativa di T'
Anche se la parte matematica di T è letteralmente falsa ci aspettiamo
che abbia conseguenze nominalistiche (osservabili) vere.
OBIEZIONI:
1) Circolarità della spiegazione
2) Spiegare come si può credere nelle conseguenze di T se non si
crede a T
RISPOSTE:
1) Problema anche dei realisti
2) C'è qualcosa di intrinseco e nominalista nelle teorie T e in particolare
nel rapporto tra gli elementi non matematici che possiamo estendere
con la conservatività alla matematica senza la verità.
TRE PUNTI FORTI PER IL FINZIONALISMO
Un precedente
Considerare l'ipotesi che il successo predittivo delle teorie
matematiche non dipenda dalla loro verità(matematica).
-Il Finzionalismo sostiene che il successo predittivo delle teorie
matematiche che usano la fisica dipende da ragioni diverse dal
fatto che queste teorie siano corrette nelle relazioni tra
oggetti matematici e non matematici.
- Dipende dalle sole regolarità tra oggetti non matematici.
Un precedente?
La teoria della gravitazione di Newton.
Falsa nella sua
porzione matematica
Vera nominalisticamente.
Le regolarità nella parte nominalistica della teoria garantiscono il
successo predittivo di questa.
Fatti esplicativi fondamentali
Meccanica quantistica->manca la “versione nominalizzata”
O la teoria è vera
O coincidenza
Obiezione Finzionalista
1)La verità della teoria sostenuta dal realista spiega davvero perchè le
regolarità osservabili concordano con le previsioni della teoria?
2) Può il realista affermare che a causa della verità della teoria la sue
predizioni si avverano?
3) Perchè dovremmo pensare che il rapporto tra gli oggetti nonmatematici di una teoria dipenda dalle relazioni acausali con gli oggetti
matematici e non da motivi intrinsechi di adeguatezza nominalista?
Perchè gli oggetti non-matematici sono tali da rendere una teoria
vera?
Costruzione di teorie
Asserti sulle relazioni tra oggetti matematici e non matematici che la teoria
pone sono immaginari
Si suppone come una finzione che gli oggetti non matematici si possano
raccogliere in insiemi che soddisfano gli assiomi della nostra teoria
degli insiemi
se tali asserti immaginari ricadono sotto questa supposizione, allora
rispetteranno qualunque relazione che di fatto intercorre tra ogg. non
matematici.
Perchè la nostra teoria è nominalisticamente adeguata senza essere vera?
Assiomi di una teoria con urelementi-> ipotesi generative di una finzione.
Bibliografia
Balaguer M. (2008). Fictionalism in the Philosophy of Mathematics. In Zalta N.
E. (a cura di), The Stanford Encyclopedia of Philosophy,
http://plato.stanford.edu/entries/fictionalism-mathematics/.


Field H. (1980). Science without numbers. Basil Blackwell, Oxford.

Field H. (1989). Realism, mathematics and modality. Basil Blackwell, Oxford.

Leng M. (2010). Mathematics and reality. Oxford University Press, Oxford.

Panza M. e Sereni S. (2010). Il problema di Platone. Carocci, Roma.
Sito del gruppo
http://finzionalismo.wordpress.com