La ricerca didattica di fronte ai problemi e
sfide che incontra oggi l’insegnamento
delle matematiche
Michèle Artigue
Université Paris 7 & IREM
Convegno di Didattica della Matematica
Piazza Armerina (Enna, Italia) 16-19 settembre 2004
Problemi e sfide
Discorsi e atti poco coerenti:
 L’affermazione della necessità per tutti oggi di
una cultura matematica solida che vada ben
al di là del tradizionale “saper contare” ;
 ma parallelamente una riduzione generale
delle ore di matematica e dei responsabili che
si vantano di non aver mai compreso niente
di matematica.
Problemi e sfide


Una massificazione dell’insegnamento che la
pone davanti ad un nuovo pubblico, meno
adatto culturalmente con i valori tradizionali
della scuola, ed a una più grande
eterogeneità.
Una evoluzione delle relazioni sociali tra
bambini, giovani e adulti che destabilizza le
basi delle relazioni didattiche tradizionali.
Problemi e sfide


Una istituzione scolastica che si deve adattare
a una evoluzione tenologica i cui tempi sono
molto più corti che i propri.
Una istituzione scolastica che comincia a mala
pena a saper profittare delle calcolatrici
grafiche e dei software di geometria
dinamica, nello stesso tempo Internet e le
tecnologie dell’informazione e della
comunicazione che modificano oggi
profondamente il dato tecnologico.
Problemi e sfide
Tutto questo:
 In un mondo nel quale l’immagine della
scienza si é fortemente degradata, meno
studenti;
 In un mondo dove l’educazione é presentata
come un valore fondamentale ma dove si
tende, ogni giorno di più, a concepirla come
un mercato ordinario.
Che cosa può dare la ricerca in didattica
per affrontare questi problemi e queste
sfide ?
Evoluzioni promettenti :
 Una evoluzione dei quadri teorici che permetta
una migliore articolazione della micro-didattica e
della macro-didattica ;
 Una evoluzione con lo sguardo rivolto
all’insegnante ;
 Una più grande attenzione rivolta agli strumenti
materiali e simbolici delle attività matematiche, al
loro ruolo nell’apprendimento delle matematiche,
uno sguardo più lucido e meglio attrezzato per
approcciare le conseguenze strumentali
dell’evoluzione tecnologica.
L’evoluzione dei quadri teorici
sapere
allievo
insegnante
L’evoluzione dei quadri teorici
sapere
allievo
insegnante
La didattica francese ai suoi inizi

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
Un approccio cognitivo portato dalla teoria dei campi
concettuali (Vergnaud)
Ma, anche, una teoria delle situazioni didattiche dove
l’oggetto centrale non é l’allievo ma la situazione
(sociale) in cui questo allievo interagisce con gli altri
e con le matematiche (Brousseau),
Ed una teoria della trasposizione didattica che discute
in modo originale il sapere (Chevallard).
E quindi, un disequilibrio evidente
Lo sviluppo della teoria
antropologica: una nuova visione



Una visione macro-didattica dove l’oggetto
centrale diviene l’istituzione.
Dei saperi che sono visti come degli oggetti
relativi che emergono dalle pratiche
istituzionali.
Delle istituzioni che creano dei sistemi di
valori e delle norme in relazione ai saperi e
definiscono, ciascuno alla sua maniera, quello
che significa conoscere un oggetto
matematico
Ma una visione che non si sostituisce
all’esistente ma l’arricchisce, la
completa e s’articola con essa.
Un esempio : la tesi di B.
Grugeon
Il problema iniziale: l’insuccesso
di certi corsi di adattazione
Spiegazioni seducenti
Un cambiamento di problematica
Un problema di transizione
istituzionale
Il liceo
professionale
Il liceo
generale
Due istituzioni che hanno dei rapporti istituzionali
all’algebra differenti
Le differenze più problematiche sono le differenze
istituzionali sugli oggetti comuni; sono sorgente di
malintesi tra professori ed allievi
A che cosa bisogna attribuire il disagio di questi allievi?
Il lavoro di ricerca in questa
nuova problematica

La costruzione di una griglia multidimensionale
di analisi della competenza algebrica che porta a
mettere in evidenza coerenze curriculari o
cognitive e includono :




una dimensione aritmetico-algebrica,
una dimensione sulla formazione e sul trattamento
delle espressioni algebriche
una dimensione funzionale dell’algebra ed una
razionale
una dimensione che articola tra quadri e registri
semiotici del lavoro algebrico.
I risultati
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

La conferma dell’esistenza delle differenze nei rapporti
istituzionali relativi a degli oggetti comuni, e della loro
“invisibilità”.
La messa in evidenza, grazie al test associato alla griglia, delle
coerenze di funzionamento presso gli allievi che gli permettano
di dare una immagine più positiva.
L’identificazione di leve più adatte a questi allievi per migliorare
in algebra e superare le loro difficoltà, utilizzando meglio la loro
cultura anteriore: arricchendo il lavoro sulle formule ed una
artcicolazione con il mondo funzionale.
Una ingegneria didattica che permetta a questi allievi di uscire
dall’insuccesso e di costruire progressivamente un rapporto con
l’algebra idoneo al rapporto istituzionale definito dal liceo
generale tecnologico.
Un nuovo sguardo sull’insegnante



All’inizio, un insegnante che non é
considerato come un attore problematico
della relazione didattica.
Poi, difficoltà resistenti nell’articolazione tra
teoria e pratica che conducono ad uno
sviluppo delle ricerche sull’insegnante.
Una prima fase: studio delle concezioni, delle
credenze degli insegnanti sulle matematiche,
sul loro insegnamento ed apprendimento.
Un nuovo sguardo sull’insegnante

I limiti di questo modo di vedere e lo sviluppo
dei nuovi approcci portano a:



Identificare i determianti dell’azione didattica e a
comprendere il ruolo esatto che giocano in queste
concezioni e credenze determinanti.
Identificare i differenti gesti professionali e i
differenti tipi di conoscenze che vi sono
soggiacenti.
Identificare le conoscenze necessarie all’esercizio
del mestiere e i loro modi di sviluppo.
L’appoggio teorico a questo
programma di ricerca



La teoria delle situazioni e quindi la strutturazione
verticale del “millieu” (Margolinas) e il
raffinamento della nozione “contratto”.
La teoria antropologica: mezzi per descrivere,
valutare le pratiche matematiche e didattiche
(compiti, tecniche, tecnologie, teorie)
Il “doppio approccio” ergonomico e didattico:
l’insegnante percepito come un professionista che
esercita in un ambiente dinamico e aperto di cui
cerca di provar a comprendere la coerenza.
(Robert, Rogalski)
La tesi di E. Roditi



Professori della scuola media si confrontano su di
un nuovo compito: l’insegnamento della
moltiplicazione dei decimali.
Una prima fase: analizzare il problema didattico e
le differenti risorse didattiche esistenti (risultati di
ricerca, ignegnerie didattiche).
Una seconda fase: analizzare il lavoro pratico di 4
insegnanti che lavorano in condizioni comparabili.
Cosa ne può venire fuori ?
La tesi di E. Roditi


Una grande convergenza di quattro progetti al livello
globale dove si manifesta il peso degli obblighi istituzionali
e della cultura.
Una diversità locale che mostra l’esistenza di un margine di
manovra che ogni insegnante sfrutta seguendo la sua
logica personale:




Scelta di tipi di compiti, legami tra compiti ed istituzionalizzazioni;
Responsabilità matematica data agli allievi e mediazioni diverse.
Una organizzazione didattica di fasi fatte di episodi corti
che permettano di segnare i successi della tappa.
Un gran numero di incidenti (circa 40 per fase)
Strumenti dell’attività matematica e
processi di strumentazione
Una attenzione crescente che si può relegare:
 All’evoluzione dei quadri teorici verso dei
paradigmi di natura socio-culturale e
antropologica;
 All’evoluzione tecnologica che conduce
l’insegnamento delle matematiche ad
utilizzare degli strumenti sempre più
sofisticati.
Differenti approcci




R. Duval: focalizzazione sui registri semiotici e ruolo che
gioca nella concettualizzazione l’articolazione dei registri
semiotici.
Y. Chevallard et M. Bosch : focalizazione sulla dialettica tra
ostenìsivo e non ostensivo.
M. Bartolini Bussi, M.A. Mariotti, F. Arzarello et al.:
prospettive Vigostkiane, teoria dell’attività e mediazione
semiotica.
J.D. Godino: teoria delle funzioni semiotiche
Ma una costante: il ruolo fondamentale che giocano
gli artefatti materiali e simbolici nel lavoro
matematico e nel processo di apprendimento.
Un esempio: lo sviluppo dell’approccio
strumentale nelle ricerche sulle tecnologie
informatiche.


Il punto di partenza: ricerche
sull’integrazione nell’insegnamento
secondario di ambienti di calcolo formale
(CAS)
Un contrasto evidente tra il discorso sulle
potenzialità del CAS per l’apprendimento
delle matematiche e la realtà del
funzionamento delle classi osservate.
Alcune contraddizioni
L’affermazione che il lavoro con le tecnologie libera l’allievo
dei compiti tecnici e favorizza in questo modo un lavoro
più strategico e concettuale.
Ma
 Un lavoro tecnico modificato ma sempre presente,
 Una economia di lavoro che non favorisce necessariamente
il concettuale del fatto particolare:



Della diversità e del debole costo delle azioni possibili in rapporto
al costo cognitivo allievo dell’interpretazione delle retroazioni dei
CAS,
Dell’insufficiente familiarità degli allievi con la tecnologia che gli fa
facilmente perdere il filo del loro lavoro matematico.
Un esempio illustrativo


Una situazione paradigmatica per degli
allievi che entrano nel mondo funzionale al
liceo in Francia, attraverso dei problemi di
variazione ed ottimizzazione scelti per
mostrare l’interesse della nozione di
funzione ma senza calcolo differenziale.
Una situazione che illustra bene il ruolo che
può giocare la tecnologia.
Il quadrilatero che gira
Il quadrilatero che gira
Il quadrilatero che gira
Il quadrilatero che gira
Una potenzialità certa della
tecnologia



Per esplorare un problema geometrico,
fomulare e testare le congetture
Per superare i limiti delle competenze
tecniche degli allievi all’inizio del liceo in
algebra
Per lavorare su delle funzioni fondamentali
dell’algebra: provare e generalizzare
Ma una attualizzazione di queste
potenzialità in classe che non ha
niente di evidente



Una familiarità necessaria dell’insegnante e
degli allievi con la tecnologia
Una articolazione dialettica complessa tra
lavoro tecnico e concettuale
Una ripartizione ottimale di responsabilità
matematiche tra insegnate ed allievi che
non é facilmente assicurata
Una sensibilità crescente


Alle relazioni tra lavoro tecnico e
concettuale
Alle questioni delle strumentazioni
Come uno strumento matematico
diviene artefatto??
Come gestire processi di
strumentazione
nella classe ?
Un doppio appoggio teorico


L’ergonomia cognitiva (Rabardel) che propone
degli strumenti per rendersi conto della
complessità dei processi di strumentazione
La teoria antropologica che propone strumenti
per rendersi conto della dimensione istituzionale
della strumentazione ed i problemi delle norme
ed i valori associati
Risultati interessanti




Sui processi di genesi strumentale e la loro complessità
non supposta
Sulle conoscenze matematiche e tecnologiche soggiacenti
Sulla difficoltà che hanno gli insegnanti ad accompagnare
la costruzione di queste conoscenze ed a dare uno statuto
adeguato alle tecniche strumentali nel quadro degli
obblighi istituzionali attuali
Sulla profonda inadeguatezza delle partiche di formazione
degli insegnanti in questo campo, pratiche più mlitanti che
scientifiche
In conclusione
Tre temi sono stati trattati:



Il teorico, perchè lavora le nostre problematiche, le
nostre metodologie e, attraverso esse, i risultati
stessi che possiamo ottenere
L’insegnante, perchè é la chiave di ogni azione sul
sistema educativo e di ogni evoluzione
Gli strumenti di lavoro matematico ed il ruolo della
tecnologia
In conclusione
In tutti questi settori,
 Ho provato a mostrare delle evoluzioni di problematiche di
ricerca che permettano di meglio abbordare la complessità
dei sistemi studiati, che divengono più sensibili ai diversi
obblighi che s’impongono all’azione didattica e sono più
rispettosi di tutti gli attori di questa azione
 Ho provato a far condividere la mia convinzione che la
ricerca didattica, anche se il suo potere é limitato in
quanto i sistemi di decisione vi sfuggono, può aiutare a
riflettere sui problemi difficili che si pongono oggi, a
rigettare le idee naïve e pericolose, a pensare le direzioni
di azione possibili, ad accompagnare queste azioni e a
valutare i loro effetti.