Rappresentazione di
dati numerici
Sistemi numerici
• Si suddividono in:
- Non posizionali : quali ad esempio il sistema di numerazione
romano (i cui simboli sono: I, II, III, IV, V, X, L, C, D, M) oppure
quello egiziano
- Posizionali : quali ad esempio il sistema arabo (decimale) e il
sistema maya (ventesimale).
• Nei sistemi posizionali le operazioni aritmetiche risultano
molto agevoli mentre in quelli non posizionali sono
alquanto complicate.
© Piero Demichelis
2
Sistema posizionale a base fissa
• Nei sistemi numerici a base fissa, un numero N può
essere rappresentato in uno del seguenti modi:
N = dn-1; dn-2 ........ d1; d0; d-1 ........ d-m
N = dn-1· rn-1 + ..... + d0· r0 + d-1· r-1 + ..... + d-m· r-m
N 
n 1

i m
© Piero Demichelis
di  r
i
3
Sistemi numerici
• Proprietà di un sistema numerico a base fissa
- è a rango illimitato : ogni numero intero vi può essere
rappresentato;
- è a rappresentazione unica : ad ogni numero intero
corrisponde un solo insieme ordinato di cifre;
- è irridondante : ad ogni insieme ordinato di cifre
corrisponde un solo numero non rappresentato da altri
insiemi ordinati.
© Piero Demichelis
4
Sistema decimale
• r = 10
• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
- Esempio:
10110 = 1 × 102 + 0 × 101 + 1 × 100
= 100 + 0 + 1
= 10110
© Piero Demichelis
5
Sistema binario
•r=2
• cifre: { 0, 1 }
- Esempio:
1012 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
= 4 + 0 + 1 = 510
© Piero Demichelis
6
Sistema ottale
•r=8
• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
- Esempio:
1018 = 1 × 82 + 0 × 81 + 1 × 80
= 64 + 0 + 1 = 6510
• molto utile per scrivere in modo compatto i numeri binari
(ad ogni 3 cifre binarie corrisponde una cifra ottale)
( 1 1 0 1 1 0 0 0 1) 2 =
( 6
6
1 )8
© Piero Demichelis
7
Sistema esadecimale
• r = 16
• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }
- Esempio:
101H = 1 × 162 + 0 × 161 + 1 × 160
= 256 + 0 + 1 = 25710
• anch’esso utile per scrivere in modo compatto i numeri
binari (ad ogni 4 cifre binarie corrisponde 1 cifra
esadecimale)
( 1 1 0 1 1 0 0 0 1) 2 =
(1
B
1 ) 16
© Piero Demichelis
8
Sistema base 5
•r=5
• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4 }
- Esempio:
1015 = 1 × 52 + 0 × 51 + 1 × 50
= 25 + 0 + 1 = 2610
© Piero Demichelis
9
Sistema binario
• Caratteristiche
- su n cifre si rappresentano 2n numeri; ad esempio su 4 cifre:
0
1
10
11
100
101
110
111
...
...
...
...
...
...
...
...
0
1
2
3
4
5
6
7
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
...
...
...
...
...
...
...
...
8
9
10
11
12
13
14
15
- Prime 16 potenze del 2:
20
21
22
23
24
25
26
27
28
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
2
4
8
16
32
64
128
256
© Piero Demichelis
29
210
211
212
213
214
215
216
...
...
...
...
...
...
...
...
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
10
Sistema binario
• La cifra binaria è detta bit
parola che deriva dall’unione di due elisioni:
binary digit
• I bit estremi di un numero binario si chiamano:
1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
MSB
LSB
(Most Significant Bit)
(Least Significant Bit)
© Piero Demichelis
11
Limiti del sistema binario
• Poiché su n bit si rappresentano 2n numeri, per
rappresentare la stessa grandezza occorrono molte più
cifre rispetto al sistema numerico decimale.
bit
simboli
4
8
16
32
16
256
65,536
4,294,967,296
val. minimo val. massimo
0
0
0
0
© Piero Demichelis
15
255
65,535
4,294,967,295
12
Conversione da binario a decimale
• Si applica direttamente la definizione effettuando la
somma pesata delle cifre binarie:
1012 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
=
4
=
5
+
0
+
1
1101.12 = 1  23 + 1  22 + 0  21 + 1  20 + 1  2-1
=
8 + 4
+ 0
+ 1 + 0.5
= 13.510
© Piero Demichelis
13
Conversione da binario a decimale (2)
B) Metodo consigliato: da
V ( N )  d n 1r n 1  d n 2 r n 2  ...d 2 r 2  d1r  d 0
mettendo in evidenza i fattori comuni, si ricava:
V ( N )  d n 1r n 1  d n 2 r n 2  ...  d 2 r 2  d1r  d 0 
 ( d n 1r n 2  d n 2 r n 3  ...  d 2 r  d1 ) r  d 0 
 .......... . 
 (...( d n 1r  d n 2 ) r  d n 3 ) r....  d 2 ) r  d1 ) r  d 0
© Piero Demichelis
14
Conversione da binario a decimale (3)
Si deduce il seguente algoritmo:
1.
2.
3.
4.
Si
Si
Si
Si
parte dalla cifra più significativa
moltiplica per la base
somma la cifra successiva
ripete da 2. fino ad arrivare a d0
Esempio: 10102 = ((1*2+0)*2+1)*2+0 = 1010
© Piero Demichelis
15
Conversione da decimale a binario
N = dn-1· rn-1 + ..... + d0· r0 + d-1· r-1 + ..... + d-m· r-m
• Consideriamo la sola parte intera e riscriviamo il numero binario nel
modo seguente:
N = d0 + 2 · (d1 + 2 · (d2 + ...... + dn-1))
• Si può osservare che dividendo N per la base 2, si ottiene un
quoziente (d1 + r · (d2 + ...... + dn-1)) e un resto d0, che costituisce
proprio la cifra meno significativa del numero nella base 2.
• Dividendo successivamente il quoziente per la base 2 si trova ancora
un quoziente e un resto d1, che è la cifra di peso uno cercata, e così
via.
© Piero Demichelis
16
Esempio
• Esempio:
13
1
d0
6
0
d1
3
1
d2
1
1
d3
0
quozienti
resti
1310 = 11012
© Piero Demichelis
17
Numero di bit della
rappresentazione binaria
Problema: dato N10, quanti bit (n) occorrono
per rappresentarlo in base 2 ?
Con n bit il massimo numero rappresentabile è:
n 1
N max   2i  2 n  1
i 0
Con n-1 bit il massimo numero rappresentabile è:
n2
N
'
max
  2i  2 n 1  1
i 0
© Piero Demichelis
18
Numero di bit della
rappresentazione binaria (2)
Pertanto per rappresentare un numero x tale che x  2n-1
e x > 2n-1-1 occorrono n bit.
Esempio: 3=22-1 < 5 < 7=23-1: 5 si rappresenta su 3 bit
(infatti 510 = 1012).
Ora:
2n-1-1 < x  2n-1
2n-1 < x+1  2n
n-1 < log2(x+1)  n
© Piero Demichelis
19
Numero di bit della
rappresentazione binaria (3)
n = log2 (x+1)
k = intero superiore o uguale a k
In generale, per una base r:
n = logr (x+1)
© Piero Demichelis
20
Numero di bit della
rappresentazione binaria (4)
Dato N, il rapporto tra cifre decimali e bit occorrenti per
rappresentarlo:
D / B = log10(N+1) / log2(N+1)
non è costante al variare di N.
Si può però osservare che:
210 = 1024 @ 1000 = 103  10 bit ogni 3 cifre decimali.
Questo rapporto si mantiene per un largo intervallo di
valori.
© Piero Demichelis
21
Numero di bit della
rappresentazione binaria (5)
210 = 1024 @ 103 → Kilo
220 = 1.048.576 @ 106 → Mega
230 = 1.073.741.824 @ 109 → Giga
© Piero Demichelis
22
Conversione da decimale a binario
• Dato un numero frazionario:
N = a-1 2-1 + a-2 2-2 + ...... + a-m 2-m
• moltiplicando N per la base 2, si ricava come parte intera
la cifra a-1, cioè la prima cifra binaria.
• Eliminata questa parte intera, moltiplicando quanto resta
ancora per 2, si ricava come parte intera a-2, ecc.
• Le parti intere, scritte nel medesimo ordine con cui sono
state ricavate, rappresentano il numero frazionario binario
cercato.
© Piero Demichelis
23
Esempio
• Regola: si moltiplica per due la parte frazionaria e si
prende la cifra intera prodotta dal risultato proseguendo
fino alla precisione richiesta.
- Esempio:
0.34 x
2
0.3410 = 0.01012
0.68 x
2
1.36 x
2
0.72 x
2
1.44 ecc.
© Piero Demichelis
13.3410 = 1101.01012
24
Per convertire un numero con parte intera e parte
frazionaria, si convertono separatamente le due parti e
poi si giustappongono.
Esempio: 25.812510 = (?)2
2510 = 110012 (metodo delle divisioni successive)
0.812510 = 0.11012 (metodo dei prodotti successivi)
25.812510 = (11001.1101)2
© Piero Demichelis
25
Conversioni tra sistemi in base qualsiasi
• E’ ovvio che le regole di conversione decimale-binario
sono del tutto generali e valgono qualsiasi siano i sistemi
numerici coinvolti.
• Ad esempio per convertire il numero decimale 365 in
base 7 si divide per 7:
365
1
52
3
7
0
1
1
0
36510 = 10317
© Piero Demichelis
26
Operazioni aritmetiche
• Le operazioni aritmetiche in un qualsiasi sistema
numerico si possono eseguire nello stesso identico modo
che conosciamo così bene per il sistema numerico
decimale.
• L’avvertenza è solo quella di costruire la “tabellina”
opportuna per quel particolare sistema numerico: si
ricordi che la tabellina per il sistema numerico decimale
ce la siamo studiata a memoria sin dall’infanzia!!!!
• Il nostro interesse è però particolarmente concentrato sul
sistema numerico binario e sono proprio le operazioni
aritmetiche in binario che affronteremo ora.
© Piero Demichelis
27
Somma in binario
• Regole
0 +
0 +
1 +
1 +
base:
0 =
1 =
0 =
1 =
0
1
1
0
con riporto (carry) di 1
• Si effettuano le somme parziali tra i bit dello stesso peso,
propagando gli eventuali riporti:
1 1
0 1 1 0 +
0 1 1 1 =
1 1 0 1
6+
7=
13
© Piero Demichelis
28
Somma completa
• La somma completa (full addition) tiene conto del riporto
per cui si sommano due bit ed un carry ottenendo come
risultato un bit di somma e un bit di riporto
A
B
Carry
S
Rip
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
© Piero Demichelis
29
Sottrazione in binario
• Regole base:
0–0=0
0–1=1
1–0=1
1–1=0
con prestito (borrow) di 1
• Si eseguono le sottrazioni bit a bit tenendo conto dei
prestiti:
1
1 1 0 0 1 0 1 0 =
0 0 1 0
12 10 =
2
© Piero Demichelis
30
Sottrazione completa
• Analogamente alla somma, è possibile definire la
sottrazione completa (sottrazione tra due bit ed un
borrow )
A
B
Borrow
S
Prest
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
© Piero Demichelis
31
Moltiplicazione in binario
• Il prodotto tra due numeri binari si può calcolare con la
tecnica già nota per i numeri in base 10, detta della
somma e scorrimento.
- Esempio:
1011 x
101 =
1011
0000
1011
110111
11 x
5=
55
• Nella pratica si usano accorgimenti particolari basati
sull’operazione di scorrimento (shift ).
© Piero Demichelis
32
Divisione in binario
• Come per le altre operazioni applichiamo le stesse regole
che usiamo col sistema decimale:
- Esempio:
1
0
1
0
0101
0
01
11
100
11
0011
11
00
11
0111
© Piero Demichelis
21 / 3 = 7
33
L’operazione di shift
• Equivale ad una moltiplicazione o divisione per la base.
• Consiste nel “far scorrere ” i bit (a sinistra o a destra)
inserendo opportuni valori nei posti lasciati liberi.
• In decimale equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o
dividere (shift a destra) per 10.
• In binario equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o
dividere (shift a destra) per 2.
© Piero Demichelis
34
Shift a sinistra
• Si inserisce come LSB un bit a zero
• Equivale ad una moltiplicazione per due
0011 « 1 = 0110 ( 3  2 = 6 )
0011 « 2 = 1100 ( 3  22 = 12 )
0011 « 3 = 11000 ( 3  23 = 24 )
0
0
0
1
1
0
1
1
0
« 1 (shift a sinistra di 1 posizione)
© Piero Demichelis
35
Shift a destra
• Si inserisce come MSB un bit a zero
• Equivale ad una divisione per due
0110 » 1 = 0011
0110 » 2 = 0001
(6:2=3)
( 6 : 4 = 1 ) troncamento!
0
1
1
0
0
1
1
0
» 1 (shift a destra di 1 posizione)
0
© Piero Demichelis
36
Moltiplicazioni
• Una qualsiasi moltiplicazione tra due numeri può essere
trasformata in una serie di shift e di somme, operazioni
che vengono eseguite molto velocemente dai
microprocessori.
• Ad esempio il prodotto 14 x 13 diventa:
14 · 13 = 14 · (8 + 4 + 1) = 14 · 8 + 14 · 4 + 14 · 1
1410 = 11102
1111
1110000 +
1110 « 3 + 1110 « 2 + 1110
111000 +
1110 =
10110110
© Piero Demichelis
37
Limiti della rappresentazione
• Quando scriviamo sulla carta non ci preoccupiamo quasi
mai della grandezza dei numeri (a meno di particolari
necessità).
• Nelle macchine numeriche un numero deve essere
rappresentato in un particolare dispositivo elettronico
interno che si chiama registro ed è paragonabile ad una
cella di memoria.
• Caratteristica fondamentale di questo dispositivo è la sua
dimensione (numero di bit) stabilita in sede di progetto:
ovvero in un elaboratore potremo rappresentare solo una
quantità limitata di numeri.
© Piero Demichelis
38
Limiti della rappresentazione
• Ad esempio se il nostro contenitore (registro) è lungo 5
bit:
potremo rappresentare solamente i numeri binari
compresi tra 0
0
0
0
0
0
e 31
1
1
1
1
1
• Inoltre dovremo in qualche modo introdurre il segno dei
numeri!
© Piero Demichelis
39
I numeri con segno
• Oltre al problema relativo al valore del numero bisogna
trovare il modo di rappresentare il segno.
• Il segno dei numeri può essere solo di due tipi:
positivo ( + )
negativo ( - )
• Sembrerebbe quindi facile rappresentarlo in binario,
tuttavia la soluzione più semplice (1 bit riservato al
segno) non è sempre conveniente.
• Per tener conto del segno anziché il sistema numerico
binario si utilizzano dei codici binari che hanno tuttavia
come base, ovviamente, il sistema numerico binario.
© Piero Demichelis
40
Modulo e segno
• Su N bit, un bit è destinato al segno (in binario 0 = +,
1 = -) e N-1 bit al valore assoluto (anche detto modulo)
S modulo
• E’ un codice che ricorda molto il nostro modo di
rappresentare i numeri sulla carta.
• Presenta però gravi svantaggi dovuti alla doppia
rappresentazione dello zero (esistono e sono leciti infatti
sia + 0, che - 0) e alla complessità delle operazioni
aritmetiche.
© Piero Demichelis
41
Modulo e segno
• Esempi - usando una codifica su quattro bit:
+ 310
 0011MS
 310
 1011MS
• Si ha una doppia rappresentazione dello zero:
0000MS + 010
1000MS  010
• In generale su N bit sono rappresentabili i valori:
- ( 2N-1 - 1 ) x + ( 2N-1 - 1 )
8 bit
16 bit
=>
=>
[ -127 ÷ +127 ]
[ -32.767 ÷ +32.767 ]
© Piero Demichelis
42
Complemento a 1
• Considerando numeri binari di n bit, si definisce
complemento a uno di un numero A la quantità:
A = 2n - 1 – A
• Viene anche detto semplicemente complemento.
• Regola pratica:
il complemento a uno di un numero binario A si ottiene cambiando il
valore di tutti i suoi bit (complementando ogni bit)
- Esempio:
A = 1011  A 0100
© Piero Demichelis
43
Complemento a 2
• Considerando numeri binari di n bit, si definisce
complemento a due di un numero A la quantità:
A = 2n – A
Regola pratica:
il complemento a due di un numero binario A si ottiene sommando
uno al suo complemento (a uno)
- Esempio:
A = 1011

A = 0100  A 0101
© Piero Demichelis
44
Complemento a 2
• E’ usato per rappresentare numeri relativi:
(A0)
(A<0)
0 A2 (= AMS)
complemento a 2 di A
• In questo modo l’MSB indica il segno: 0 = +, 1 = • Regola alternativa per la determimazione del
complemento a due:
si parte da destra, si lasciano inalterati tutti gli zeri fino al primo uno
che si lascia inalterato, si complementano tutti gli altri bit
• Esempio:
A = 001101001000;
A = 110010111000
© Piero Demichelis
45
Complemento a 2
• Esempio - usando una codifica su 4 bit:
+ 310  0 ( 32 )
- 310  - 0011


0011CA2
1100 + 1  1101CA2
• In generale su N bit sono rappresentabili i valori:
- ( 2N-1 ) x + ( 2N-1 - 1 )
8 bit
16 bit
=>
=>
[ -128 ÷ +127 ]
[ -32.768 ÷ +32.767 ]
© Piero Demichelis
46
Somma e sottrazione in complemento a 2
• La somma si effettua direttamente, senza badare ai segni
degli operandi, come fossero due normali numeri binari.
• La sottrazione si effettua sommando al minuendo il
complemento a 2 del sottraendo:
A – B  A + (- B)
ovvero: A + B
• Esempio:
01010 +
10100 =
11110
10 +
- 12 =
- 2
© Piero Demichelis
47
Overflow
• Si usa il termine overflow per indicare l’errore che si
verifica in un sistema di calcolo automatico quando il
risultato di un’operazione non è rappresentabile con la
medesima codifica e numero di bit degli operandi.
• Nella somma in binario puro si ha overflow quando si
opera con un numero fisso di bit e si genera un riporto
(carry) sul bit più significativo (MSB, quello più a sinistra).
Esempio: somma tra numeri di 4 bit in binario puro
0101 +
1110 =
overflow!  1 0 0 1 1
© Piero Demichelis
48
Overflow in complemento a 2
1. Operandi con segno discorde:
- non si può mai verificare overflow!!!!!
2. Operandi con segno concorde:
- c’è overflow quando il risultato ha segno discorde da quello dei
due operandi
3. In ogni caso, si trascura sempre il carry (riporto) oltre il MSB
Esempi:
0101 +
0100 =
1001
overflow!
1110+
1101=
11011=
carry, risultato OK
© Piero Demichelis
49
Fixed-point
• Si usa un numero fisso di bit per la parte intera e per
quella frazionaria (e non si rappresenta la virgola!)
• Ad esempio (4 + 4 bit, binario puro):
15.9375 =
0.0625 =
11111111
00000001
virgola sottintesa
© Piero Demichelis
50
Fixed-point
• Vantaggi:
- gli operandi sono allineati per cui le operazioni aritmetiche
risultano facili ed immediate;
- la precisione assoluta è fissa
• Svantaggi:
- l’intervallo di valori rappresentati è assai modesto
- la precisione dei numeri frazionari rappresentati molto scarsa
• Utilizzo tipico:
- DSP (Digital Signal Processor)
- Sistemi digitali per applicazioni specifiche (special-purpose)
- Numeri interi nei calcolatori
© Piero Demichelis
51
Rappresentazione di numeri interi
• A causa dell’estrema semplicità che presentano le
operazioni aritmetiche in complemento a 2, in tutte le
macchine numeriche i numeri interi vengono rappresentati
in questo codice.
• Il numero di bit utilizzati dipende dalla macchina: si tratta
generalmente di 16 bit (interi corti) o 32 bit (interi lunghi).
• La rappresentazione è nota col nome di fixed-point e il
punto frazionario è supposto all’estrema destra della
sequenza di bit (parte frazionaria nulla).
© Piero Demichelis
52
Rappresentazione di numeri reali
• Le rappresentazioni fin qui considerate hanno il pregio di
rappresentare esattamente i numeri (almeno quelli interi)
ma richiedono un numero di bit esorbitante quando il
numero da rappresentare ha valore elevato.
• La rappresentazione dei numeri frazionari che deriva dai
codici precedenti, ovvero in fixed point, a causa delle forti
approssimazioni che impone è usata raramente.
• Generalmente viene utilizzato un apposito codice noto
come floating point che consente di rappresentare in un
numero limitato di bit grandezze di qualsiasi valore anche
se condizionate da approssimazioni più o meno elevate.
© Piero Demichelis
53
Rappresentazione di numeri
in floating point
Realizza un compromesso tra l'intervallo
dei valori rappresentati e la precisione
della rappresentazione.
Utilizza una notazione del tipo mantissa +
esponente dove il numero di bit dedicati
• alla mantissa influisce sulla precisione
• all' esponente influisce sull' ampiezza
dell'inter-vallo di valori rappresentabili
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 54
 A. Valenzano - 1996-2
La notazione scientifica
• Numeri in virgola fissa su 6 cifre
decimali. Intervallo esprimibile:
0  999999 (@ 106)
• Numeri in notazione scientifica su 6
cifre. Forma:
X.YYY10WW
• Dove la parte intera X esprime la
quantità, il numero di cifre della
parte frazionaria YYY la precisione,
l’esponente
WW
l’ordine
di
grandezza.
55
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 55
 A. Valenzano - 1996-2
La notazione scientifica (2)
• Intervallo di valori espressi:
0 (0.000100)  10100 (9.9991099)
• Con 6 cifre, si rappresentano
sempre 106 numeri differenti, ma
– Nella rappresentazione in virgola fissa, sono
equispaziati
– Nella rappresentazione in virgola mobile, non
sono distribuiti uniformemente: vicino allo
zero, i numeri differiscono di 10-3; vicino al
valore massimo, differiscono di 10-31099=
1096.
56
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 56
 A. Valenzano - 1996-2
Standard IEEE P754
Definisce i formati per la rappresentazione
dei numeri in virgola mobile ma anche:
•
le conversioni tra formati floating point
differenti;
•
le conversioni tra numeri f. p. ed interi o
numeri rappresentati in codice BCD;
•
•
i risultati delle operazioni aritmetiche;
i metodi di trattamento di situazioni di
eccezione (es. divisione per zero, errori di
overflow, under-flow etc.).
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 57
 A. Valenzano - 1996-2
Single basic format P754 (32 bit)
I
numeri sono
normalizzata:
pensati
nella
forma
X = (-1)s(1.m)2e
dove:
• s è il bit di segno;
• e è l'esponente rappresentato in codice
eccesso 127 (cioè esponente vero + 127)
su 8 bit ( -126  e  127);
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 58
 A. Valenzano - 1996-2
Single basic format P754 (32 bit)
• m è la mantissa rappresentata in forma
normalizzata su 23 bit in modo che il primo
bit abbia peso 2-1;(il bit 20 sempre uguale
a 1 non viene rappresentato ed è detto
hidden bit)
Esempio:
13.2510
va trasformato nella forma normalizzata:
+1101.012 = +1.10101223
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 59
 A. Valenzano - 1996-2
Struttura della
rappresentazione single
basic format
s
e
m
Esempio: rappresentare 11.7510 in P754 s.b.f.
11.7510 = 1011.112 = 1.01111*23

s =0
e = 10000010
m = 01111....
0 10000010 01111000000000000000000
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 60
 A. Valenzano - 1996-2
Caratteristiche della
rappresentazione P754 su 32
bit
Range
della
rappresentazione:
si
considerano i valori assoluti dei numeri
normalizzati rappresentabili:
Nmax = 1.111... ·2127 = 3.4 · 1038
Nmin = 1.000... ·2-126 = 1.17 · 10-38
Precisione della rappresentazione: due
valori rappresentabili e consecutivi
differiscono per 2e-23 dove “e” è
l’esponente vero (non in codice eccesso
127)
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 61
 A. Valenzano - 1996-2
Distribuzione dei numeri in
f.p.
1.0..*
0
2
-8
-4
-2
-1
1
1.0..*
1
2
2
1.0..*
2
2
1.0..*
3
2
4
23
2 numeri
8
23
2 numeri
62
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 62
 A. Valenzano - 1996-2
Interpretazione di un numero
f.p.
Sia s il bit del segno, e l’esponente,
f la parte frazionaria.
• Se e = 0 ed f = 0, il valore è (-1)s0,
cioè +0 oppure -0
• Se e = 0 ed f  0, è una forma
denormalizzata
(esempio:
si
possono rappresentare gli interi su
23 bit, ecc.)
63
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 63
 A. Valenzano - 1996-2
Interpretazione di un numero
f.p. (2)
• Se 0 < e < 255, è una forma
normalizzata e il valore è
(-1)s(1.f)2(e-127)
• Se e = 255 ed f  0, si rappresenta
(-1)s()
cioè un numero infinitamente
grande o infinitamente piccolo
64
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 64
 A. Valenzano - 1996-2
Interpretazione di un numero
f.p. (3)
• Se e = 255 ed f = 0, non si tratta di
un numero valido (not a number,
NAN):
permette
di
codificare
condizioni
particolari,
quali
operazione non valida, overflow,
ecc.
65
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 65
 A. Valenzano - 1996-2
Operazioni in f.p.
Gli operandi sono da riportare nella
forma:
1.xxxxx…x2a
1.yyyyy…y2b
dove a e b sono gli esponenti
eccesso 127
SOMMA – SOTTRAZIONE
Si eseguono le operazioni con gli
algoritmi del modulo e segno.
66
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 66
 A. Valenzano - 1996-2
Operazioni in f.p. (2)
Si devono allineare i numeri rispetto
al punto decimale, riportandoli allo
stesso esponente. Si fa scorrere a
destra il valore minore (in modulo)
di un numero di posizioni pari alla
differenza degli esponenti.
La differenza degli esponenti si può
fare direttamente sui valori eccesso
127: (a’+127)-(b’+127) = a’-b’.
L’esponente del risultato è quello
del modulo maggiore.
Potrebbe essere richiesta una ri- 67
Elementi di Informatica
- Aritmetica del calcolatore 67
 A. Valenzano - 1996-2
normalizzazione
del risultato.
Operazioni in f.p. (3)
PRODOTTO
Si
sommano
gli
esponenti
normalizzati e si sottrae 127:
(a’+127) + (b’+127) =
(a’+b’+127)+127.
Si moltiplicano le mantisse di 24 bit,
ottenendo il prodotto su 48 bit: il
risultato deve essere troncato ai 24
bit più significativi (precisione di 223).
Può essere richiesta una rinormalizzazione: 1.x…  1.y… < 1002
68
=
4
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 68
 A. Valenzano - 1996-2
Operazioni in f.p. (4)
DIVISIONE
Si
sottraggono
gli
esponenti
normalizzati e si somma 127:
(a’+127) - (b’+127) = (a’-b’).
Il dividendo, di 24 bit, si estende a
48 bit, inserendo zeri a destra, e si
divide per il divisore, di 24 bit: il
risultato, di 24 bit, ha la precisione
di 2-23.
Può essere richiesta una rinormalizzazione.
69
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 69
 A. Valenzano - 1996-2
Osservazioni sul f.p.
I risultati delle operazioni in f.p.
possono dipendere dall’ordine di
esecuzione.
Esempio
1016 + 2 - 1016
e
1016 - 1016 + 2
danno risultati diversi.
70
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 70
 A. Valenzano - 1996-2
a 24
 2 @ 16  10 6
b
Osservazioni sul f.p. (2)
In generale, in f.p. vale
a+b=a
se
a / b > 224 @ 16106
Esempio:
non ha senso incrementare di uno
un valore positivo a se a è molto
maggiore di 1.
71
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 71
 A. Valenzano - 1996-2
Floating-point
• E’ basata sul formato esponenziale (notazione scientifica)
N = mantissa  base esponente
- Ricorda le notazioni:
standard
scientifico
3.5 × 104
0.35 × 105
3.5E+4
0.35E+5
• Nei sistemi di elaborazione
- Base = 2
- Mantissa ed esponente sono rappresentati in binario
© Piero Demichelis
72
Floating-point
• Vantaggi:
- grande intervallo di valori rappresentabili
- errore relativo fisso
• Svantaggi:
- operandi non allineati per cui le operazioni aritmetiche risultano
molto complesse
- errore assoluto variabile e dipendente dal valore del numero
• E’ la rappresentazione utilizzata da tutti i calcolatori
elettronici per rappresentare i numeri frazionari ed è stata
standardizzata dall’IEEE.
© Piero Demichelis
73
Formato IEEE-P754
• Standard IEEE per il floating-point:
- Rappresentazione binaria di
mantissa
esponente
segno
• Singola precisione: 32 bit (float)
segno
1 bit
esponente
8 bit
mantissa
precisione: circa 7 cifre decimali
23 bit
• Doppia precisione: 64 bit (double)
segno
esponente
mantissa
1 bit
11 bit
52 bit
precisione: circa 17 cifre decimali
© Piero Demichelis
74
Overflow e Underflow
• A causa della precisione variabile è possibile avere errori
di rappresentazione:
- numeri troppo grandi: overflow
- numeri troppo piccoli: underflow
Esempio: IEEE P754
underflow
-1038
-10-38 0 10-38
1038
overflow
© Piero Demichelis
75
Rappresentazioni di dati non numerici
• Qualunque insieme finito di oggetti può essere codificato
tramite valori numerici associando ad ogni oggetto un
codice (ad esempio un numero intero).
• Nel sistema numerico binario per rappresentare K oggetti
distinti occorre un numero minimo di bit pari a:
N = log2 K 
© Piero Demichelis
76
Caratteri
• E’ sicuramente il tipo di informazione più scambiata:
occorre pertanto una codifica standard.
- la più usata fa riferimento al codice ASCII (American Standard
Code for Information Interchange)
- in passato era molto diffuso il codice EBCDIC (Extended BCD
Interchange Code)
- codice UNICODE
© Piero Demichelis
77
Codice ASCII
• E’ usato anche nelle telecomunicazioni.
• Usa 8 bit per rappresentare:
- i 52 caratteri alfabetici (a ÷ z , A ÷ Z)
- le 10 cifre (0 ÷ 9)
- i segni di interpunzione (,;:!?&%=+-/ ecc.)
- un gruppo di caratteri di controllo tra cui:
CR
LF,NL
FF,NP
HT
VT
NUL
BEL
EOT
(
(
(
(
(
(
(
(
13 )
10 )
12 )
9 )
11 )
0 )
7 )
4 )
Carriage Return
New Line, Line Feed
New Page, Form Feed
Horizontal Tab
Vertical Tab
Null
Bell
End-Of-Transmission
© Piero Demichelis
78
Codice ASCII
• Ad esempio per rappresentare il messaggio “Auguri a
tutti!” è necessaria la seguente sequenza:
01000001
01110101
01100111
01110101
01110010
01101001
00100000
01100001
A
u
g
u
r
i
spazio
a
00100000
01110100
01110101
01110100
01110100
01101001
00100001
© Piero Demichelis
spazio
t
u
t
t
i
!
79
Fine Rappresentazione dei dati