Esercitazioni elementari
su probabilità e associazioni
di oggetti vari
Proposta a utenti da 9 a 12 anni
uso di carta, penna, modellini vari
Si propone un problema , si fornisce una soluzione per confronto
Si forniscono essenziali formule e terminologie per eventuali
approfondimenti con insegnante
Urna con 10 palline : 5 rosse e 5 blu :S 10, R 5, B 5
Prima estrazione , con reinserimento
E1 = esce pallina rossa
P(E1) = 5 / 10 = 1 / 2
E2 = esce pallina blu
P(E2) = 5 /10 = 1 / 2
Esce rossa o blu, poi reinserita
seconda estrazione : condizioni immutate rispetto alla prima
E1 = esce pallina rossa
P(E1) = 5 / 10 = 1 / 2
E2 = esce pallina blu
P(E2) = 5 /10 = 1 / 2
Probabilità immutate
Eventi E1 e E2 indipendenti, non correlati
Urna con 10 palline : 5 rosse e 5 blu : S 10 , R 5, B 5
Prima estrazione , senza reinserimento
E1 = esce pallina rossa
P(E1) = 5 / 10 = 1 / 2
E2 = esce pallina blu
P(E2) = 5 /10 = 1 / 2
Uscita pallina rossa
seconda estrazione :condizione modificata rispetto alla prima: S 9 , R 4, B 5
E1 = esce pallina rossa
P(E1) = 4 / 9
E2 = esce pallina blu
P(E2) = 5 /9
Probabilità modificate p(E2) > p(E1)
E1 e E2 correlati :
2 Urne con 10 palline : 5 rosse e 5 blu : S 10, R 5, B 5
estrazione da urna 1
estrazione da urna 2
E11 = esce rossa
P(E11) = 5 / 10 = 1 / 2
E21 = esce blu
P(E21) = 5 /10 = 1 / 2
E12 = esce rossa
P(E12) = 5 / 10 = 1 / 2
Uscita pallina rossa
E22 = esce blu
P(E22) = 5 /10 = 1 / 2
Estrazione seconda pallina : da urna 1 con condizione modificata,
S 9 ,R 4 , B 5: cambia anche la probabilità p(E11) < p(E21)
Estrazione seconda pallina : da urna 2 con condizione immutata
S 10 , R 5, B 5 :la probabilità rimane immutata p(E12) = p(E22)
E11 , E21 non correlati con E12, E22
Lancio di un dado: E12= uscita numero dispari o 2
E1 = [1,3,5)
E2 = [2)
1 3 5
2
p(E1)= 3 / 6
p(E1) = 1 /6
Nessun elemento in comune : incompatibili
E12= [1,3,5,2]
P ( E1 U E2 ) = p(E1) + p(E2)
E1 ∩ E2 = Ø
P(E12) = 4 / 6 = 2 /3
La probabilità della unione di due eventi incompatibili è uguale alla
somma delle probabilità dei singoli eventi
Lancio dado: E12 = uscita numero pari, minore di 5: (E1 U E2)
E1 = [1,2,3,4]
p(E1) = 4 /6
E2 = [2,4,6]
P(E2) = 3 / 6
1 2 3 4
2 4 6
1 3 2 4
1 3
2
2 4 6
4
6
E1 ∩ E2 = [2,4] = 2 ≠ Ø: compatibili
P(E1 ∩ E2) = 2 / 6
P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 ) = 4 & / + 3 /6 – 2 / 6 = 5 /6
La probabilità della unione di due eventi compatibili è uguale alla
somma delle probabilità dei singoli eventi – la probabilità della
loro intersezione
Lancio di due dadi :S = 36
x
2
B : la somma di due esiti verificata sia 5
Probabilità che un dado fornisca esito A = 2 essendo verificato B: (A|B)
Esito A condizionato dall’esito B
B =[14,23,32,41] = 4 eventi favorevoli per ottenere 5 : p(B) = 4/36
A =[12,22,32,42,52,62,21,23,24,25,26] = 11 eventi che forniscono 2: p(A)=11/36
14, 23, 32, 41
12,22,32,42,52,62,21,23,24,25,26
14,41, 23, 32
32, 23 , 12, 22, 42, 52, 62, 21, 24, 25, 26
14, 41
23, 32
12, 22, 42, 52, 62, 21, 24, 25, 26
A ∩ B = (23, 32) = 2
2 eventi forniscono 5 come somma di 2 esiti e contengono 2
P(A | B) = ( A ∩ B ) / B = 2 / 4 = 1 /2
A = uscita del numero 2 (11) : p(A)= 11/36
B = somma numeri = 5 (4) .p(B) = 4 /36
Se B verificato, A cambia spazio campioni (da 36 a 4) e numero
coppie contenenti 2 (da 11 a 2): p(A) = 2/4 = 1/2
P(A|B) = (A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1 /2
Probabilità di sopravvivenza di un topo attaccato da un gatto che deve
nutrire la cucciolata di 4 gattini, catturando ogni volta un topo da una
gabbia che contiene n topi
Può essere catturato
sopravvive
10
1 / 10
9/10 =0.9
1/10 99/100=0.99
9
1/9
8 /9 = 0.88
1/99 98/99 = 0.9898
1/8
7/8=0.87
1/98 97/98 = 0.9897
6/7=0.85
1/97 96/97 = 0.9896
8
7
6
1/7
Evidentemente la probabilità di sopravvivenza aumenterebbe
se la popolazione di topi iniziale fosse maggiore e viceversa
Hai 4 manichini da rivestire usando
calzoni(blu, verde), camicia(rossa,gialla)
Dn,k = n^k = 2^2 = 4
Hai 4 manichini da rivestire usando
calzoni(blu, verde), camicia(blu,verde)
Dn,k = n^k = 2^2 = 4
Hai 27 manichini da rivestire con calzoni, camicia, cappello in modo
che ogni manichino abbia qualche elemento che lo distingue dagli altri
Colori blu, rosso, giallo per ogni indumento
Dn,k = D3,3= 3^3=27
27 possibili associazioni per manichini
27 possibili associazioni per manichini
Hai 3 gatti e 3 topi : associa nei modi possibili topi e gatti
in modo che ogni coppia sia diversa per la composizione
(n+k-1)*n / k! (2+2-1)*2 /2! = 3
Hai 2 topi e 2 gatti
crea coppie possibili con la stessa composizione e diverso ordine
n ! = 2! 2
Hai 10 topi, 10 gatti, 10 alligatori
crea tutti i gruppi possibili a triplette, con diverso ordine, composizione
(n+k-1)*(n+k-2)n / k! (3+3-1)*(3+3-2)3 /3! = 5*4*3/6 = 10
Hai 6 topi, 6 gatti, 6 alligatori
crea tutti i gruppi possibili che contengano
1 topo, 1 gatto, 1 alligatore in diverso ordine
n ! = 3! = 1*2*3 = 6
Formare associazioni con tre individui ,diversi;
con tutti i possibili ordinamenti
n ! = 3! = 1*2*3 = 6
Hai 18 modelli : 6 topi, 6 gatti, 6 alligatori
crea tutte le coppie possibili , diverse per composizione, ordine
Dn,k = D3,2 = n^k = 3^2 = 9
Hai 6 topi, 6 gatti, 6 alligatori, 6 pupazzi: crea tute le coppie possibili
con diversi ordinamenti, o diversa composizione
Dn,k = D,4,2 = n(n-k+1) = 4(3) = 12
Hai 18 topi, 18 gatti, 18 alligatori, 18 pupazzi:crea triplette con diversa
composizione o diverso ordinamento