1
SISTEMI DI
RAPPRESENTAZIONE
DI NUMERI
indice sistemi posizionali
rappresentazione di numeri
sistema unario
storia dei sistemi di numerazione
il sistema latino
codici posizionali in varie basi
un quiz
somme numeri in base 2, 3, ..
prodotto in binario
base sedici (esadecimale)
cambio base
esercizi
frazioni
0,1 da base 10 a base due
limiti e overflow
2
indice capitolo numeri con segno:
NUMERI CON SEGNO
numeri con segno
numeri in complemento a uno
somme con segno
complemento a due
rappresentazione in eccesso di k
esercizi sui numeri con segno
3
indice capitolo numeri in virgola mobile :
NUMERI IN VIRGOLA MOBILE
rappresentazione di n.i grandi/piccoli
precisione
limiti
esercizio
somma in floating point
overflow
standard IEEE 754 floating point
esercizi
fine parte numeri
4
rappresentazione di numeri
codifica dei numeri
5
rappresentazione di numeri
6
i primi codici numerici codificavano un numero = il dato
numerico in "unario": per rappresentare n si usa un
simbolo ripetuto n volte (unario: c’e’ un solo simbolo, l’uno)
uno
due
tre
quattro
cinque
dieci
I
II
III
IIII
IIIII
III II III II
venti
||||| |||||
||||| |||||
trenta
||||| |||||
||||| |||||
sei
sette
otto
nove
III III
IIII III
IIII IIII
III III III
e poi?
||||| |||||
ma...
per “scrivere” cento oppure mille ... e’ un’impresa !!
rappresentazione di numeri
7
unario: per codificare n uso un solo simbolo ripetuto n volte:
uno
I
sei
III III
...
...
quattro
IIII
nove
III III III
cinque
IIIII
…
la rappresentazione unaria va bene per numeri piccoli,
oppure per situazioni teoriche (casi particolari di alcune
macchine di Turing … lo vedremo in seguito)
non va bene per la scrittura abituale
non va bene per il calcolatore
...
e l'umanita' se ne e' accorta abbastanza presto !
rappresentazione di numeri
8
per semplificare la rappresentazione di numeri
circa 5000 anni fa in Egitto, Mesopotamia, poi India,
Cina, piu’ tardi in America (centro e sud),
per evitare la ripetizione eccessiva nel caso di numeri
maggiori di 10
si introdusse una codifica piu' economica:
si usarono dei simboli diversi per indicare
un gruppo di 10, 20, 30, 100, 500, 1000 simboli ecc
Il sistema inizialmente non prevedeva un simbolo per
indicare il numero zero, ne' per indicare la cifra zero;
per un sistema posizionale la cifra zero e' importante (indica
la mancanza di numeri di quel peso) e fu introdotto
abbastanza presto nel sistema babilonese (600 anni p.c.), poi
reinventato in india, e poi ritornato nei paesi arabi e in
Europa.
rappresentazione dei numeri : i sumeri e i babilonesi
sono considerati i piu' antichi i sistemi sumero-babilonesi e egiziani anche perche' poco e'rimasto delle prime civilta' indu' preindoeuropee
wedge=cuneo
9
numeri egiziani
10
numeri egizi
11
bastone
osso del tacco
rotolo di corda
girino
numeri egizi
12
un esempio di scrittura di un numero grande:
46206 =
4 x 10.000 (dito indice ripetuto 4 volte)
+ 6 x 1000 (6 fiori di loto)
+ 2 x 100
( 2 rotoli di corda)
+ 6 unita'
(6 barre)
(nessuna decina)
(scritto da destra verso sinistra, ma si legge anche se cambia l'
ordine di scrittura: quello che conta e' il simbolo,non la posiz)
13
codifica numeri
nell'antichita' i numeri erano usati per memorizzare
quantita' di oggetti e date di trattati o donazioni e eventi
memorabili,
e - dove richiesto - posizioni e date di eventi astronomici (a
uso di predizione per agricoltura o per uso del re...)
molti popoli hanno sviluppato piu' o meno autonomamente
vari sistemi di numerazione, di cui ci interessano alcuni:
* babilonesi (base sessanta, posizioni in gradi sessagesimali
delle stelle e misura del tempo in ore, minuti e secondi)
* egiziani (da cui poi i greci e poi i..) ==>> romani
... di seguito cenni dei sistemi di numerazione
* greci e romani
* maya (i primi a inventare lo zero, senza effetti
successivi sul resto del mondo)
* indu' (brahmi->devanagari->arabi occidentali->europa
numerazione greca
14
gli antichi Greci erano bravissimi in geometria,
ma usavano un sistema di scrivere numeri non posizionale;
Euclide, Archimede, Tolomeo ecc scrivevano i numeri con il
sistema greco (da cui il sistema romano);
i numeri "importanti" erano indicati con le lettere iniziali
della parola usata per indicare tale numero
(penta,deka,hekta, ... vedi pagina seguente
i matematici greci non usarono il sistema posizionale:
un sistema di numerazione efficiente non era importante per
gli studi di geometria;
gli astronomi greci adottarono dai babilonesi l'uso dello zero
(lo zero nel sistema posizionale Babilonese, usato come
marcatore di posizione zero, esso era noto a Ptolomeo, ma
non era considerato un numero, e fu dimenticato)
numerazione greca
15
numerazione greca
16
in seguito, per economia di scrittura, furono adottati in
Grecia dei
simboli singoli
per indicare i numeri "piu' usati",
da 1 a 1000;
i simboli usati erano semplicemente quelli dell'alfabeto;
per i numeri dopo il 1000 si usava una codifica per il peso
mille e una codifica diversa per il peso 10.000 ma il sistema non era posizionale,
e cosi' rimase per i latini
numerazione greca
17
numerazione greca
18
per scrivere numeri molto grandi i greci usavano un sistema
misto del simbolico non posizionale puro e con due pesi
(mille e diecimila)...
rappresentazione di numeri
19
Dai sistemi di numerazione babilonesi ... greci deriva il
sistema di numerazione romano. Il sistema latino e' un
codice non posizionale (ibrido): il valore numerico associato
ad un simbolo dipende in minima parte dalla sua posizione
ed e' in gran parte fisso: (nota semplificazione 4: da IIII a IV)
1
2
3
4
5
20
30
40
50
I
II
III
IV
V
6
7
8
9
10
XX
XXX
XL
L
VI
VII
VIII
IX
X
e, ancora, ->
11
12
13
14
15
XI
XII
XIII
XIV
XV
rappresentazione di numeri
sistema romano:
1
I
4 IV
10 X
20 XX
30 XXX
40 XL
50 L
100
200
300
400
500
....
C
CC
CCC
CD
D
20
5
V
60
70
80
90
LX
LXX
LXXX
XC
600
700
800
900
1000
DC
DCC
DCCC
CM
M
numeri - il sistema romano
21
le operazioni aritmetiche con il sistema di numerazione
romano o latino sono "piuttosto scomode" …
Si provi ad es. verificare che
MCMXCVI piu’ IV
=
MM (*)
oppure :
X LVI I I
________
volte
XIX
=
CMXII
(*) 1000+900+90+6 piu' 4 = 1996 piu' 4=2000
(+) 48 * 19 = 912
(+)
rappresentazione di numeri
per semplificare le operazioni di addizione
(e le altre operazioni aritmetiche)
si ricorreva al pallottoliere (abaco)
il pallottoliere e' rimasto in uso in molti paesi fino a
pochi decenni fa (Russia, Cina, Giappone)
dove il suo uso era insegnato a scuola
(talvolta lo e' ancora)
il sistema romano era una via poco praticabile e fu
abbandonato anche se solo dopo piu' di mille anni ...
tracce di uso rimangono in varie situazioni e in vari paesi ...
22
numeri indiani
23
Il sistema posizionale decimale fu inventato in India:
duemila anni prima il sistema di numerazione posizionale fu
inventato dai sumeri e babilonesi, ma con base 60;
gli indu' ripresero il sistema posizionale, con base 10
(non noto se lo ripresero dai babilonesi attraverso le prime
culture proto-indu' di Harappa e Mohendjo Daro, (culture
distrutte dagli indo-europei) o se lo reinventarono)
Laplace scrive:
Laplace sul sistema indo-arabo
24
Laplace:
il sistema ingegnoso di esprimere ogni numero
possibile con l'uso di soli dieci simboli (assegnando ad
ogni simbolo un valore di posizione e un valore
assoluto) nasce in India.
Oggi l' idea sembra tanto semplice che il suo
significato e la sua profonda importanza non sono piu'
apprezzati. Il sistema ha portato ad una tale
semplificazione dei calcoli da portare l'aritmetica tra le
invenzioni piu' utili per l'umanita'.
Si comprende l'importanza di questa invenzione se si
considera che essa non fu alla portata dei matematici
maggiori dell'antichita' come Euclide, Archimede o
Apollonio...
(a difesa di quelli si ricorda che gli interessi dei matematici dell'
antichita' era volto verso la geometria, meno verso i calcoli numerici)
numeri indiani
25
nota l'evoluzione del 2 da || e del 3 da |||
numeri indiani
26
Sulle origini dei numeri Brahmi (da cui derivano i numeri
Devanagari, i numeri arabi (piu'varianti) e infine i numeri
come oggi li usiamo) si sa poco;
poco si sa anche sulle cause che portarono all'invenzione del sistema
posizionale;
gli studi numerologici in India furono motivati dall'astrologia e dal
fascino per i numeri grandi tipico della cultura dell'India
( racconto del 2 secolo d.c. sul dialogo tra Boddishatva e il suo maestro
di matematica su come si ottengono dei numeri molto grandi;
Boddishatva arriva ad un dato dell' ordine di grandezza di 10^450 ! )
numeri indo-arabi
27
numeri cinesi
28
numeri giapponesi
29
numeri ...
si potrebbe continuare
l'elenco di sistemi di numerazione,
menzioniamo solo un esempio ancora,
che e' circa contemporaneo ai numeri Brahmi,
ma di tutt'altra regione ...
30
Numerazione Maya
31
le culture del continente africano erano a contatto con l'area
mediterranea e dell'india;
le culture del continente australiano (condizioni climatiche
diverse) non hanno dato luogo a organizzazioni statali
complesse che richiedessero archivi e corrispondenza...
le culture del continente americano hanno avuto uno
sviluppo separato nell'arco di 10.000 anni (seconda ondata di
popolazione del continente, attraverso la Siberia e l'Alasca),
e sono arrivate alla scrittura e ai sistemi di numerazione con
uno sviluppo autonomo; la maggior parte del sapere delle
culture del continente americano e' stata distrutta dai
colonizzatori spagnoli.
segue un cenno al sistema di numerazione Maya, sviluppato
molti secoli prima dell'arrivo degli spagnoli.
Numerazione Maya
32
Numerazione Maya
proviamo scrivere 508:
ricorda che la base e' 20,
quindi 508 va pensato e
riscritto come:
8 unita' (=8 decimale)
5 ventine (=100 decimale)
1 ventina al quadrato
(=20*20 = 400 decimale)
quindi
50810 = 158 20 che in Maya
scriviamo .
...
33
numeri maya
qualche esempio di numeri maya:
34
sullo zero
L'introduzione del sistema posizionale porto' alla scoperta
dello zero;
si noti che i sistemi "additivi" come l'antico egiziano o il
sistema romano non richiedono l'uso dello zero:
2040 si scrive MMXL, 24 si scrive XXIV ...
in un sistema posizionale lo zero e' importante:
devo distinguere tra
24, 204, 240, 2004, 2040, 2400, 20004, 200400, 24000 ...
quindi come codice di "posizione vuota" lo zero appare
assieme al sistema posizionale,
mentre il NUMERO ZERO appare secoli dopo,
con la generalizzazione delle regole di aritmetica di somma,
prodotto, moltiplicazione e divisione ...
35
storia numeri indu'
36
200 d.c.: cifre Brahmi,
500: sistema posizionale e introduzione della cifra zero
(non come numero, ma come marcatore di posizione vuota),
630: zero come numero: il matematico Brahmagupta si occupa
dell'uso dello zero nelle operazioni aritmetiche:
Br. scrive [[se z sta per zero, n per negativo, p per positivo, nn
per numero negativo, np per numero positivo]] :
addizione: la somma di z e di un nn e' n, la somma di un np con
z e' p, la somma di z con z e' z;
sottrazione: un nn (o np) sotratto dallo z e' p (o n), z sotratto da
un np (o nn) e' p (o n), z sotratto da z e' z;
moltiplicazione: ... np moltiplicato per z e' z, ...,
divisione: z diviso un np o un nn e' zero, z diviso z e' z, (!!)
np o nn diviso zero e' una frazione con zero come denominatore
(tautologia !!) -> non riesce a risolvere il x/0 ...
1130 Bhaskara: un np diviso per z e' una frazione chiamata
frazione infinita, che e' tale che f.i.+n e' f.i., e f.i.-n e' f.i. ...
numeri cinesi
37
il sistema di numerazione indu', posizionale decimale, con lo
zero, era ben sviluppato nel 800 d.c., e dall' India si diffuse
all'est - in Cina:
i matematici Cinesi del 1200 descrivono il sistema posizionale
decimale con l'uso della cifra e anche del numero zero;
e sempre dall'India si diffuse all'ovest, nei paesi arabi, e
quindi in Italia: Fibonacci, "Liber abaci" dove usa anche il
"segno" zero (ma non il numero zero)
il numero zero entro' nell'uso comune dei matematici Europei
appena dopo il rinascimento (1600);
... Gli autori J.J. O'Connor, E.F.Robertson, dell' articolo sullo
zero, scrivono: ma lo zero e'ancora problematico ;-) si
consideri ad esempio la data del "millenio", 1 gennaio 2000,
che era la fine di 1999 anni del nostro sistema di contare gli
anni, e non di 2000 anni...
(vedi: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html)
numeri indo-arabo-europei:
I numeri standardizzati con l'introduzione della stampa (1500-1600):
38
rappresentazione di numeri
39
CODICI NUMERICI POSIZIONALI
Un numero e' codificato (rappresentato) da una sequenza di
simboli, dove ogni simbolo ha un valore numerico definito
dalla posizione del simbolo nella sequenza:
1984
rappresenta un valore dato dalla somma di
1 migliaia
9 centinaia
8 decine
4 unita'
1984 rappresenta 1000 * 1 + 100 * 9 + 10 * 8 + 1
rappresentazione di numeri
40
CODICI NUMERICI POSIZIONALI
Un numero e' codificato (rappresentato) da una sequenza di
simboli, dove ogni simbolo ha un valore numerico definito
dalla posizione del simbolo nella sequenza.
Es: codice numerico posizionale con 4 simboli (cifre) :
abcd
(o qualunque altri 4 simboli)
Ad ogni simbolo si associa un valore numerico, ad es.:
a =3,
b = 2,
c = 1,
d = 0,
Una stringa di tali simboli e' un codice di un numero:
ad esempio abbac:
abbac rappresenta un valore numerico dato da:
n = a * p1 + b * p2 + b * p3 + a * p4 + c * p5
dove p1, p2, p3, p4 e p5 sono valori numerici o "pesi"
associati alle posizioni nella stringa.
rappresentazione di numeri - un codice ... strano :
41
cont. es 4 simboli, a b c d a cui associamo i valori numerici
a =3, b = 2, c = 1, d = 0,
una stringa di tali simboli:
abbac
rappresenta un
valore numerico ottenuto dai simboli (cifre) moltiplicando
ogni cifra per un peso diverso (i pesi sono convenzionali) e
poi sommando:
n = r * p1 + t * p2 + r * p3 + r * p4 + s * p5
es. con i pesi
(NON usuali! - anzi, decisamente strani...)
p1 = 222, p2 = 55, p3 = 17, p4 = 6,
p5 = 1
il codice
abbdc ovvero 32201 con tale sistema vale
3*222 + 2*55 + 2*17 + 0*6 + 1*1 = 666+110+34+0+1 = 811
(sistemi simili sonostati usati per le monete di antichi paesi)
rappresentazione di numeri
42
esempio: rappresentazione di numeri con 4 cifre
a,b,c,d
(leggi: zero, uno, due, tre)
ca rappresenta il valore c * peso1 + a * peso0
bacabb rappresenta un valore numerico ottenuto dai
simboli (cifre) moltiplicando ogni cifra per un peso diverso e
poi sommando:
scelta abituale: i pesi associati alle posizioni
sono convenzionali ma NON sono arbitrari:
sono le potenze di una costante detta base del sistema,
in un sistema a 4 cifre, base 4, si assume convenzionalmente
peso0 = uno,
peso1 = quattro
ca = c * peso1 + a * peso0 quindi ca = c * quattro + a * uno
rappresentazione di numeri
nel sistema in base 4 o "quaternario" abbiamo 4 cifre:
a,b,c,d (leggi : zero, uno, due, tre),
la codifica abbac
rappresenta un valore numerico
ottenuto dai simboli (cifre) moltiplicando ogni cifra per un
peso diverso (i pesi sono convenzionali) e poi sommando:
n = a * p1 + b * p2 + b * p3 + a * p4 + c * p5
per il nostro sistema, una scelta e':
p5 (ultimo peso a destra)vale 1 (unita') cioe' 4 alla 0
p4 (penultimo peso a destra) vale 10 (quartine) = 4 alla 1
p3 vale 100 (sedicine) = 4 alla due, ecc
ba (vale b*p4+a*p5 = una quartina,zero unita')
bd (vale b*p4+d*p5 = una quartina,tre unita')
bac (vale b*p3 + a*p4 + c*p5=
una sedicina + zero quartine + due unita')
43
rappresentazione di numeri
sistema "quaternario", base 4, con 4 cifre:
a(zero), b(uno), c(due), d(tre)
scelta abituale: i pesi associati alle posizioni sono le
potenze di una costante detta base del sistema,
per il nostro sistema, con n= a*p1+b*p2+b*p3+a*p4+c*p5
una scelta potrebbe essere p5 vale 1 (unita'); p4 vale 10
(quartine), p3 vale 100(sedicine) ecc;
0) a
1) b
2) c
3) d
i primi 20 numeri
4) ba
5) bb
6) bc
7) bd
si scrivono
8) ca
9) cb
10) cc 11) cd
cosi' (es. cinque cioe'
12) da 13) db 14) dc 15) dd
un 4 piu' un 1 si scrive
16)baa 17)bab 18)bac 19)bad
bb , 12 cioe' tre 4 piu'
20)bba 21)bbb 22)bbc 23)bbd
zero 1 si scrive ca, ecc)
ancora: bbd =b*sedicine+b*quartine+d*unita' =
scritto in decimale: 16+4+3 = 23
44
rappresentazione di numeri
45
riscriviamo il sistema quaternario, base 4, con 4 cifre:
al posto di a, b, c, d scrivo 0 1 2 3
per il nostro sistema, una scelta dei pesi (abituale):
p5 vale 1 (unita'); p4 vale 4 (quartine), p3 vale 16(sedicine)
diremo il sistema posizionale con base 4,
e per contare in base 4 avremo:
0) 0
4) 10
8) 20
12) 30
16)100
20)110
1) 1
5) 11
9) 21
13) 31
17)101
21)111
2) 2
3) 3
6) 12 7) 13
10) 22 11) 23
14) 32 15) 33
18)102 19)103
22)112 23)113
i primi 20 numeri
si scrivono
cosi' ...
ad es : 113 =1*sedicine+1*quartine+3*unita' =
riscritto in base dieci abituale: 113 = 16+4+3 = 23
rappresentazione di numeri
46
il nostro sistema numerico e' posizionale con base dieci:
1187
rappresenta
1*10^3 +9*10^2 +8*10^1 +7*10^0 =
1*1000 +1*100 +8*10
+7*
per un codice numerico posizionale in base b
uso un insieme di b cifre (simboli):
{ s1,s2,s3,... sb }
Un dato di n+1 cifre
c(n) c(n-1) c(n-2) c(n-3)...c(1) c(0)
rappresenta il numero (indico con b^k = b elevato alla k)
c(n)*b^n + c(n-1)*b^(n-1) + ... + c(1)*b^1 + c(0)*b^0
cioe’ (in base b): c n * 10..00 + .. + c 2 * 100 + c 1 * 10 + c 0 * 1
rappresentazione di numeri
47
si noti che nel sistema numerico posizionale con base dieci:
1187
rappresenta
1*10^3 +9*10^2 +8*10^1 +7*10^0 =
1*1000 +1*100
+8*10
+7* 1
questo si puo' scrivere anche cosi'
(con basi a fattore comune) :
( ( ( ( ( 1*10 ) + 1 ) * 10 + 8 ) * 10 ) + 7 )
rappresentazione di numeri
riprendiamo il sistema con 4 simboli (cifre),
e i pesi saranno le potenze di 4:
p4..p0=
256
64
16
4
48
base = 4,
1
e quindi
d
b
d d c
con
(d =3, c = 2, b = 1, a = 0) rappresenta:
3*p4
+ 1*p3
3 * 10000 + 1 * 1000
3*4^4
+ 1*4^3
3*256
+ 1*64
+ 3*p2
+ 3 * 100
+ 3*4^2
+3*16
+ 3*p1 + 2*p0 =
+ 3 * 10 + 2 * 1 (in base 4) =
+ 3*4^1 + 2*4^0 = (base 10)
+ 3*4 + 2*1 =
768 + 64 + 48 + 12 + 2 = 832 + 62 = 894 in base 10
rappresentazione di numeri
49
I primi venti numeri sono rappresentati in base 4 come
segue (riportati numero in decimale e in base quattro):
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
10
11
12
13
20
21
22
<-
<-
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
23
30 <31
32
33
100 <- (non 40! ;-)
101
102
103
110 <-
rappresentazione di numeri
50
es: base 4:
1323
rappresenta (e' la codifica di) :
1 * base^3 + 3 * base^2 + 2 * base ^1 + 3 * base^0
1 * 4*4*4 + 3 * 4*4
+2* 4
+3*1
ovvero:
1*64 + 3 * 16 + 2 * 4 + 3
….
e 1987 cosa rappresenta in base 4 ?
;-)
<<==
rappresentazione di numeri
...
in base quattro il numero
51
1987 ...
... non rappresenta nulla
perche' 9,8,7 non sono cifre in base quattro in base b
le cifre vanno da 0 a b-1 !!
in ogni caso la base si scrive 10
e rappresenta il numero b (tranne in unario)
Es. in ottale ovvero con base otto le cifre sono:
0
1
2
3
e la base otto si scrive 10 !!
4
5
6
7
rappresentazione di numeri
ancora, in ottale (base otto)
il valore numerico della base e' otto, dove
otto in base 8 si scrive 10
in genere in ogni sistema posizionale con base b,
la base b si scrive 10
otto in base 8 si scrive 10, e si indica con: 108
dato che si indica otto in base 10 con 810
quindi
108 = 810
come 103 = 310 , e 106 = 610 e 107 = 710 e 1016 = 1610
52
rappresentazione di numeri
53
in ottale (base otto) si conta:
0
1
10(*) 11
20
21
30
2
3
4
5
6
7
12
22
13
23
14
24
15
25
16
26
17 (*) 108 = 810
27
65
66
67
75
76
77
...
...
...
...
73
74
a cui segue ->
70
71
72
-> 7*8+7 =63
100
101
102
107
110
....
111
112
117 -> 64+8+7 =79
rappresentazione di numeri
54
ad es. in base 12 ho dodici cifre,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
dieci e undici in base 12 sono cifre, indicate con A e B !
quindi i primi 36 numeri - conto da 0 a 35 (35 in base 10):
0
10
20
30
40
50
60
1
11
21
31
41
...
...
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4 5 6 7 8 9 A B ( B vale 11)
36 ...
19 1A 1B (1B vale 23)
35 ...
29 2A 2B (2A vale 34)
34 ...
39 3A 3B (39 vale 45)
44 ...
49 4A 4B
(4B vale 4*12+B=48+11)
rappresentazione di numeri
55
ad es. in base 16 ho sedici cifre,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
dieci, undici,.. quindici in base 16 sono cifre,
indicate con A,B,.. F
quindi i primi 20 numeri - conto da 0 a 20 (20 in base 10):
0 1 2 3 4 5
8 9 A B C D
10 11 12 13 14 15
18 19 1A 1B 1C 1D
6
E
16
1E
7 (da 0 a 7 come in decimale)
F (B vale 11, F vale 15)
17 (10 vale 16 in base 10)
1F (1E vale 30 in base 10)
rappresentazione di numeri
CONVERSIONE
da base b generica a base 10,
e da base 10 a base generica
56
rappresentazione di numeri
CONVERSIONE da base b generica a base 10, esempio:
da base 8 a base 10, per definizione:
17 = 1*8+7 =15,
20 = 2*8 = 16,
76 = 7*8+6 = 62,
100 = 1*64 = 64 ecc
Per decodificare in base 10 un numero rappresentato
in base 8 basta ricordare la definizione:
ad es.
5 1 5 ( in base 8) vale in base 10:
5*100 + 1*10 + 5*1
(in base 8)
5 * 64 + 1 * 8 + 5*1
(in base 10)
= 320 + 8
+5
= 333
(in base 10)
57
rappresentazione di numeri
ancora un es:
il numero 3 7 1 3 in base 8 diventa in base 10:
3 * 1000 + 7 * 100 + 1 * 10 + 3 * 1
tutto in base 8, che in base 10 diventa:
= 3*512 + 7 * 64 + 1 * 8 + 3 * 1
= 1536 + 448
+ 8
+ 3
= 1995 10
58
rappresentazione di numeri
un es. in base 3 ... (cifre 0,1,2 ):
come si conta in base tre ?
0
1
2
10
11
12
che sono tre, quattro e cinque,
cioe' una terna piu' zero, uno e due,
poi
20
21
22
che sta per sei, sette e otto, ovvero
due terne piu' zero, uno e due,
cui segue nove ovvero tre terne
cioe' una (terna)2 piu'zero terne
piu' zero unita'
100
e poi?
59
rappresentazione di numeri
60
in base tre ... (cifre 0,1,2 ):
contare in base tre:
0
1
2
100 101 102
200 201 202
1000 …
10
110
210
11
111
211
12
112
212
20
120
220
21 22
121 122
221 222
che corrispondono ai numeri in base 10:
0
9
18
27
1
10
19
…
2
11
20
3
12
21
4
13
22
5
14
23
6
15
24
7
16
25
8
17
26
rappresentazione di numeri
61
esercizio:
quanto vale 1 2 2 1 0 1 (dato in base 3) = in base dieci ?
122101=
in base tre il significato e' noto:
1 * 100000 + 2* 10000 + 2 * 1000 + 1 * 100 + 0 * 10 + 1 * 1
tutto in base tre ...
vediamo di riscrivere in base dieci
ricorda come si conta in base tre:
0
1
2
10 11 12 20
0
1
2
3
4
5
6
21
7
22 100 ovvero,
8
9 in base 10,
rappresentazione di numeri
62
esercizio:
quanto vale 1 2 2 1 0 1 (dato in base 3) = in base dieci ?
in base tre il significato e' noto:
122101=
1 * 100000 + 2* 10000 + 2 * 1000 + 1 * 100 + 0 * 10 + 1 * 1
che diventa in base dieci:
1*35 +2*34 +2*33 +1*32 +0*31 +1*30 =
1 * 243 + 2 * 81
+ 2 * 27
= 243 + 162
+ 54
= 469 10 = 122101 3
+ 1*9
+9
+ 0 * 3 + 1* 1
+1
63
e finalmente arriviamo
al sistema usato dai calcolatori:
numeri in base 2
due cifre sole, 0 e
1
rappresentazione di numeri
In base due abbiamo due cifre 0 1
(cifre binarie,BInary digiT = BIT)
per rappresentare i due numeri zero e uno, e 10 per
rappresentare il numero due; i primi 20 numeri in binario:
1
1
11
10112
2
102
12
11002
3
112
13
1101
4
100
14
1110
5
101
15
1111
6
110
16
10000
7
111
17
10001
8
1000
18
10010
9
1001
19
10011
10
10102
20
101002
nota: 101 = 4 +1=5; 110 = 4+2=6; 1101 = 8+4+1=13 ecc
64
rappresentazione di numeri
65
ricorda alcune potenze di due in binario:
2 = 2 alla 1;
16 = 2 alla 4;
128 = due alla 7;
1024 = 2 alla 10;
32768 = 2 alla 15;
4= 2 alla 2;
32 = 2 alla 5;
256 = 2 alla 8;
2048=2 alla 11;
65536 = 2 alla 16; ...
1024 = 2 alla 10 ... = 1 Kilo
1 048 576 = 2 alla 20
= 1 Mega
1 073 741 824 = 2 alla 30 = 1 Giga
8 = due alla 3;
64 = 2 alla 6;
512 = 2 alla 9;
4096=2 alla 12;
... e un Tera ?
in base due scrivo le potenze di due come:
2 ->102
4->100 2
8->1000 2
16->10000 2
32->10 00002 64->100 0000 2 128->1000 0000 2
256->1 0000 0000 2 ecc
rappresentazione di numeri
66
es. il numero
1011012
rappresenta (tutto in binario):
1*1000002 + 0*100002 + 1*10002 + 1*1002 + 0 *102 + 12
ovvero (in decimale):
1* 3210
= 4510
+ 0*1610
+ 1* 810
+ 1 * 410 + 0 * 210 + 1
rappresentazione di numeri
67
conversione da base 2 a base 10 -basta ricordare le potenze
di due ed il significato del codice,
4096 2048 1024 512 256 128 64
32 16
8
2^12 2^11 2^10 2^9 2^8 2^7 2^6 2^5 2^4 2^3
4
2
2^2 2^1
1
2^0
ad es 10000 2 = 2 alla 4 = 16
per cui 10100 = 1*2^4 +0*2^3 +1*2^2 +0*2^1 +0*2^0
rappresenta
1*16 +0*8
+1*4 +0*2
+0*1 = 20
rappresentazione di numeri
conversione da base 2 a base 10 -basta ricordare le potenze
di due ed il significato del codice,
4096 2048 1024 512 256 128 64
32
16
8
2^12 2^11 2^10 2^9 2^8 2^7 2^6 2^5 2^4 2^3
4
2
2^2 2^1
1
2^0
esercizio ... convertire in base dieci il numero dato in base
due (qui inseriti tre spazi per migliore lettura):
101 0110 0110 01012
68
rappresentazione di numeri
69
soluzione esercizio " convertire in base dieci il numero dato
in base due "
101 0110 0110 0101
onm lkji hgfe dcba
ricordando i pesi che sono: 1 per l’ultima cifra a destra, a,
poi due per la penultima cifra b, poi 4 per c, poi 8 per d, ecc,
e 1024 per la decima cifra k, 2048 per l, 4096 per m(12a
cifra) 8192 (13.a cifra n), 16384 per la 14.a cifra o,
quindi (tolte le cifre zero, restano le cifre uno),
in notazione mista:
o
+m + k
+j
+g +f
+c +a
16384 +4096 +1024 +512 + 64 + 32 + 4 + 1
= 22117
rappresentazione di numeri
70
soluzione esercizio " convertire in base dieci il numero dato
in base due "
101 0110 0110 0101
un po' piu' veloce se raggruppo a 4 a 4 i bit, e ricordando i
pesi di questi gruppi, che sono le potenze di 16
(un gruppo di 4 cifre binarie permette di contare da 0 a 15),
1 per l’ultimo a destra, 16 per il penultimo a destra, 256 per
il terzultimo a destra (il secondo) e infine 4096 per il primo
quindi (in notazione mista):
101*4096 + 0110*256 + 0110*16 + 0101*1
ricordando la tabellina dei primi 16 numeri in binario,
101 = 5, 0110 = 6, 0101 = 5, quindi:
5*4096 + 6*256 + 6*16 + 5 = 20480 + 1536 + 96 + 5 = 22117
esercizio (quiz)
quale numero segue nella sequenza, e perche' ?
(ovvero: come e’ costruita questa sequenza?)
10 11 12 13 14 20 22 101 ?
71
quiz
un aiuto ...
dieci in base dieci si scrive dieci piu' zero, cioe' 10,
dieci in base nove si scrive nove piu' 1, cioe' 11
dieci in base otto come si scrive?
72
rappresentazione di numeri - tabella di corrispondenza
num\ base 2
3
4
5
6
7
----------------------------------------------------------------------------------------
uno
1
1
1
1
1
1
due
10
2
2
2
2
2
tre
11
10
3
3
3
3
quattro
100
11
10
4
4
cinque
101
12
11
10
5
sei
110
20
12
11
10
sette
111
21
13
12
11
otto
1000 22
20
13
12
nove
1001 23
21
14
13
dieci
1010 101
22
20
14
73
nota: in base 4
quattro scrivo 10,
cinque scrivo 11
ecc
nota la diagonale
4 in tabella in cor5 rispondenza della
6 riga = colonna =
base,
10 e le diagonali
11 immediatam.
sopra e sotto...
12
13
rappresentazione di numeri
74
aritmetica elementare, date tabelle di addizione base 2 e 3 :
0 1
0 1 2
------------0 0 1
0 0 1 2
1 1 10
1 1 2 10
2 2 10 11
0+1=1 1+1=10 (binario)
1+1=2 2+1=10 (ternario)
da cui le somme in base 2,3,10 (stessi dati in basi diverse):
1 1 0 1
1 1 1
1 3
+
1 0
+
2
+
2
--------------1 1 1 1
1 2 0
1 5
2
3
10
rappresentazione di numeri ... ancora somme:
nove piu' cinque (decimale) in base 2 e 3:
1 0 0 1
1 0 1
------1 1 1 0
2
1 0 0
1 2
----1 1 2
9
5
-14
3
10
----------------------------------------------------------------------------------------------------
undici e cinque (decimale) in base 2 e 3:
1 0 1 1
1 0 2
11
1 0 1
1 2
5
-----------1 0 0 0 0
1 2 1
16
2
3
10
-
75
rappresentazione di numeri ... ancora somme:
quindici piu' uno (decimale) in binario e ternario :
1 1 1 1
1
-------1 0 0 0 0
2
1 2 0
1
----1 2 1
3
15
1
-16
10
76
rappresentazione di numeri
77
addizione in base otto
-----------------------------------------------------
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
5 6 7 10
6 7 10 11
7 10 11 12
1 5
+ 2
--1 7
8
13
+ 2
-15
10
4
5
6
7
10
11
12
13
5
6
7
10
11
12
13
14
6
7
10
11
12
13
14
15
1 3
5
--2 0
8
7
10
11
12
13
14
15
16
da cui ad
es. 7+1=10
11
5
-16
10
ottale /
decimale
rappresentazione di numeri
PRODOTTO: base 2 e 3:
0 1
--0 0 0
1 0 1
0 1
2
----------0 0 0
0
1 0 1
2
2 0 2 11
base 2
1*0=0
1*1=1
base tre
1*2 = 2
2*2 =11
78
rappresentazione di numeri
PRODOTTO:base 2 e 3:
0 1
---
0
1
2
---------
0 0 0
0 0
0
0
1 0 1
1 0
1
2
2 0
2 11
79
es. (12*13=156)
in base due:
1 1 0 0 * 1 1 0 1
-----------------1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 0 0
1 1 0 0
--------------1 0 0 1 1 1 0 0
in base 10:
128 +16+8+4 = 156
rappresentazione di numeri
PRODOTTO: base 2 e 3:
0 1
--0 0 0
1 0 1
0 1 2
----------0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 11
base 2
1*0=0
1*1=1
base tre
1*2 = 2
2*2 =11
80
base 3
[ 12*16=192 ]
1 1 0 * 1 2 1
---------------1 1 0
2 2 0
1 1 0
----------2 1 0 1 0
che e'
2*81+1*27+0*9+1*3+0*1 =
=162+27+3 = 192
esercizio: prodotto
81
esercizio: calcolare 18 * 5 in base due
( 18 * 5 = 9 * 10 = 90 in base 10,
in base 2: 90 = 64 + 16 + 8 + 2 =
= 1*64 + 0*32 +1*16 +1*8 +0*4 +1*2 + 0*1
ovvero
1 0 1 1 0 1 0
con i pesi
64 32 16 8 4 2 1 )
se passo prima in binario, e poi faccio il prodotto in binario:
18 = 16 + 2 = (in base 2) = 10000 + 10 = 10010
5 = 4 + 1 = (in base 2) = 101
cont.esercizio prodotto
82
continua esercizio: calcolare 18 * 5 in base due
18 = 16 + 2 = (in base 2) = 10000 + 10 = 10010
5 = 4 + 1 = (in base 2) = 101
quindi
10010 x 101
-----------1 0 0 1 0
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
---------------------1 0 1 1 0 1 0 =
64 + 16 + 8 + 2
rappresentazione di numeri
tavola delle moltiplicazioni
in base otto:
PRODOTTO: 2*4=10,3*5=17
1
2 3
4 5
6
7
-------------------------0 0
0 0
0 0
0
0
1 1
2 3
4 5
6
7
2 2
4 6 10 12 14 16
3 3
6 11 14 17 22 25
4 4 10 14 20 24 30 34
5 5 12 17 24 31 36 43
6 6 14 22 30 36 44 52
7 7 16 25 34 43 52 61
==========================
83
1 4 * 1 5
------(base 8)
1 4
7 4 (o)
-----2 3 4
(o) nb:
4*58=248 ho 48,
riporto 28,poi
1*58=5+2(rip)=7..
(in base 10:
12 * 13 =
36
------156
esadecimale (base 16)
84
In base 16 si usano 16 cifre, normalmente indicate con:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
leggi: zero, uno, .. nove, dieci, undici, dodici, ... quindici)
I primi 20 numeri in base 16 sono(base10/base16):
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
base 10
base 16
11 12 13 14 15 16 17 18 19
B C D E F 10 11 12 13
20
14
base 10
base 16
esercizi: 1) quanto vale C * D in base 16 ?
2) costruire la tabella di moltiplicaz. per base 16.
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE
(rip.) per decodificare in base 10 un numero scritto in una
base generica e' sufficiente ricordare la definizione. Es:
dato (in binario):
1 0 0 0
7 6 5 4
128 64 32 16
=
=
1*2^7 +
+
1*128 +
+
1 1
3 2
8 4
0*2^6
1*2^2
0*64
1*4
+
+
+
+
1 1 (cifre)
1 0 (rango)
2 1 (peso)
.. 1^2^3
1*2^1 + 1*2^0 =
.. + 1*8
1*2
+ 1*1
= 143
anche cosi':
= ((( ((( 1*2+0)*2+0)*2+0)*2 +1)*2+1)*2+1)*2+1
dove il primo 1 viene moltiplicato per 2^7, il secondo (zero)
per 2^6 ecc
85
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE - dal BINARIO->
86
Raggruppando le cifre binarie (bit) a tre a tre, partendo da
destra verso sinistra, si converte la rappresentazione da base
due a base otto:
il dato di partenza 143 (base 10) ovvero in base due
10 00 11 11 vale (cifre bin. a tre a tre):
010 001 111
(1*2+0) * 2^6 +
= 2 * 64
= 2 * 8^2
(0*4+0*2+1) * 2^3 +
+ 1 * 8
+ 1 * 8^1
(1*4+1*2+1) * 2^0
+ 7 *1
=
+ 7 * 8^0 = 2 1 7
in base 8, che vale
= 2 * 64 + 1 * 8 + 7 = 128 + 8 + 7 = 143 in base dieci
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE - dal BINARIO->
87
per passare da base due a base sedici e' sufficiente
raggruppare i bit a quattro a quattro:
lo stesso dato 143 che in base due si scrive: 10 00 11 11
vale
1000 1111
(1*8+0*4+0*2+0) * 2^4 +
= 8 * 16 + 15 * 1 =
= 8 F in base sedici
(1*8+1*4+1*2+1*0) * 2^0
= 8 * 16 + 15
= 128 + 15 = 143 in base 10
NOTA: l’esadecimale si usa solo come rappresentazione piu’
concisa del binario [ raggruppiamo il binario a 4 a 4 cifre
partendo da destra e abbiamo l’ esadecimale ]
.. il binario perche’ e’ usato dal calcolatore ...
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE
Ricordiamo ancora la tabella di
corrispondenza dei codici
numerici da 1 a 15 nelle basi
(10)(16)(8)(2):
0 0 0 000
8 8 10 1000
1 1 1 001
9 9 11 1001
2 2 2 010
10 A 12 1010
3 3 3 011
11 B 13 1011
4 4 4 100
12 C 14 1100
5 5 5 101
13 D 15 1101
6 6 6 110
14 E 16 1110
7 7 7 111
15 F 17 1111
________________________________
88
il numero 10
(base 10) in base
otto si scrive 12, e
in base 2 si scrive
1010;
il numero 14 in
base 8 e' 16 e in
base 2 e' 1110
...
RAPPRESENTAZIONE BIN ... ultimi 4 esempi ...
89
- due es da base 2 a base 8 o 16:
per passare da base 2 a base 8 prendo i bit a tre a tre,
da base 2 a base 16 prendo i bita a 4 a 4
(sempre da destra verso sinistra):
dato 10 00 11 11 =
= 10 001 111 = 2 1 7 base 8
= 1000 1111 = 8 F base 16
nota: il raggruppamento
inizia da destra verso sin.
dato 10 10 10 10 10 =
= 1 010 101 010 = 1 2 5 2 base 8, bit a tre a tre;
=
10 1010 1010 = 2 A A base 16, bit a 4 a quattro
RAPPRESENTAZIONE BIN ... ultimi 4 esempi ...
... e due es. da base 16 a base 8 (uso base 2):
7B5C
dato in base 16 =
= 0111 1011 0101 1100 cambio raggruppamento:
= 0 111 101 101 011 100
= 0 7
5
5 3 4 (in base 8)
1991 dato in base 16 =
= 0001 1001 1001 0001 cambio raggruppamento:
= 0 001 100 110 010 001
= 0 1
4
6
2
1 (in base 8)
90
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE DA DECIMALE ... 91
procedimento per passare da base 10 ad altra base: richiede
un po' piu' lavoro, ma e' ancora basato sulla definizione:
L'ultima cifra di un codice numerico posizionale in
base b e' sempre il resto della divisione per b
[“cio’ che resta dopo aver raggruppato gli oggetti a b
a b"],
quindi: dato un numero in base 10 ad es. 152,
l'ultima cifra "a" della sua rappresentazione in base b ,
...fedcba, e' data da (13 MOD 5 = resto di 13 diviso 5 = 3 !!):
n MOD b = 152 MOD b = (...fedcba) MOD b = a
ad es. se b=8 allora la cifra a = n MOD 8;
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE DA DECIMALE ... 92
(ripeto..) dato numero n in base 10, l'ultima cifra "a" della sua
rappresentazione in base b , ...fedcba, e' data dal resto della divisione di
n per la nuova base b:
n MOD b = (...fedcba) MOD b = a
per passare da codifica da base 10 (es. 152) in base 8, calcolo
le singole cifre (dall'ultima in poi) dividendo ripetutamente
(ad ogni passo prendo come dividendo il quoziente del passo
precedente) per la base nuova (qui otto) e mi segno i resti
(ottengo per prima l'ultima cifra)
152 = 19 * 8 + 0 ->
19 = 2 * 8 + 3 ->
2 = 0 * 8 + 2 ->
0 = 0 * 8 + 0 ->
a questo punto smetto,
quindi 15210 = 2308
resto
resto
resto
resto
0
3
2
0
->
->
->
->
"a"
"b"
"c"
"d"
=0,
=3,
=2,
=0,
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE DA DECIMALE ... 93
ancora, lo stesso dato in base 4:
152
38
9
2
0
= 38 * 4 + 0
= 9 * 4 + 2
= 2 * 4 + 1
= 0 * 4 + 2
= 0 * 4 + 0
quindi
152
10
= 2120
4
->
->
->
->
->
resto
resto
resto
resto
resto
0
2
1
2
0
->
->
->
->
->
"a"
"b"
"c"
"d"
"e"
=
=
=
=
=
0,
2,
1,
2,
0,
... ricordiamo che era:
152 = 230
10
8
verifica (da ottale in base 4, passando per il binario):
2 3 0 = 010 011 000 = 0 10 01 10 00 = 2120
8
2
2
4
esercizi:
94
calcolare 11011 + 110111 in base 2 <<<
quanto fa 322 + 123 in base 4 ?
quanto fa 322 + 123 in base 5 ?
<<<
quanto fa 304 + 552 in base 6 ?
calcolare 701 + 77 in base 8
calcolare 1202 x 22 in base 3
<<<
esercizi:
calcolare 11 011 + 110 111 in base 2
1 1 0 1 1 addendo
1 1 0 1 1 1 addendo
------------ passo 1
1 0 1 1 0 0 somme1
1 1 1 riporti1
1 0 1 1 0 0 somme2
1 1 1 riporti2
------------ passo 2
0 0 1 0 1 0 somme3
1 0 0 1 0 0 riporti 3
0 0 1 0 1 0 somme3
1 0 0 1 0 0 riporti 3
------------ passo 3
1 0 0 0 0 1 0 somme4
1
riporti4
1 0 0 0 0 1 0 somme4
1
riporti4
------------ passo 4
1 0 1 0 0 1 0 somma finale
riporti finali
verifica: 110112 = 16+8+3=2710 ; 110 111 = 32+16+7=5510 ;
27+55= 8210 ;
8210 = 64+16+2=1 010 010
95
esercizi:
96
quanto fa 322 + 123 in base 4 ?
322
1 2 3 (n.b: 2+3=11) |
-----| in breve:
0 0 1 somme parziali | 3 2 2
1 1 1 riporti
| 123
-----| ------1 1 1 0 somma finale | 1 1 1 1
quanto fa 322 + 123 in base 5 ?
in breve:
322
123
-----1000
esercizi:
97
quanto fa 304 + 552 in base 6 ?
304
552
1300
Ricorda (parto dalla colonna a destra):
4+2 = 610 , quindi 106 , scrivo cifra 0 riporto 1
0+5+1 = 610 , quindi cifra 0 e riporto 1,
3+5+1=910 = 136 , scrivo cifra 3 riporto 1
0+0+1=110 = 16 , e abbiamo finito
verifica:
3046 = 3*36+4 = 108+4=11210; 5526=5*36+5*6+2=180+30+2=21210;
quindi 11210+21210 = 32410 = 1*216+ 3*36+0*6+0*1 = 13006
esercizi:
98
calcolare 701 + 77 in base 8
701
77
1000
(7018 = 7*6410 +1 = 44810 +1=449; 77 = 8*7+7 = 56+7 = 6310,
44910+6310 = 51210 = 10008 )
calcolare 1202 x 22 in base 3
1 3 9 27 81 243 ..
1 8 64 512 4096
(0, 3, 6, 9, 12 bit)
1202x22
10111
10111
111221
verifica: 12023=27+2*9+2=4710; 223=6+2=810; prodotto: 47*8= 37610
376:3=125,r 1; 125:3=41,r 2; 41:3=13,r 2; 13:3=4,r 1; 4:3=1,r 1;
1112213 =1*243+1*81+1*27+2*9+2*3+1=243+81+27+18+6+1=37610
esercizi
99
verificare:
1a) 1984 (base 10)
1b)
= 2201111 (base 3)
= 3700
(in base 8)
2)
2576 in base 8
= 010101111110 (in base 2)
3)
14 + 15
4)
C*D
=
=
31 (base 8)
9C (base 16)
(segue soluzione)
1a) 1984 (base 10) = 2201111 (base 3)
1984/3 = 661 resto 1
18
04 661/3 = 220 resto 1
1 6
01 220/3 = 73 resto 1
10
1 73/3 = 24 resto 1
13
1 24/3 = 8 resto 0
0
8/3 = 2 resto 2
verifica:
2
2201111 3 vale in base 10:
2/3 = 0 resto 2
(((((2*3+2)*3+0)*3+1)*3+1)*3+1)*3+1=
(((( 8*3+0)*3+1)*3+1)*3+1)*3+1=
((( 24*3+1)*3+1)*3+1)*3+1= ((73*3+1)*3+1)*3+1 =
(220*3+1)*3+1 = 661*3+1= 1983+1 = 1984
100
esercizi
101
1b) 1984 (base 10) = 3700 (in base 8)
1984/8 = 248, resto 0
38
64 248/8 = 31, resto 0
0
31/8 = 3, resto 7
3/8 = 0,
resto 3
Verifica:
3*8^3 + 7*8^2 +0 +0 = 3*512 + 7*64
= 1536 + 448 = 1984
esercizi
2)
2576 in base 8
102
= 010101111110 (in base 2)
basta espandere le cifre ottali in gruppi di 3 bit,
Ricordando la tabellina di corrispondenza binario - ottale:
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
da cui:
2 5 7 6
010 101 111 110
che e' il risultato richiesto ..
esercizi
3) 14 + 15 =
103
31 (base 8) .. ricorda la tabella di addizione
-------------------------- da cui:
0|0 1 2 3 4 5 6 7
14
1 | 1 2 3 4 5 6 7 10 + 1 5
2 | 2 3 4 5 6 7 10 11 -----3 | 3 4 5 6 7 10 11 12
21
4 | 4 5 6 7 10 11 12 13
<-1
5 | 5 6 7 10 11 12 13 14 -----6 | 6 7 10 11 12 13 14 15
31
7 | 7 10 11 12 13 14 15 16
verifica: 148+158=1210+1310=2510 = 318
8 9 10 11 12 13 14 15 16
10 11 12 13 14 15 16 17 20
17 18 19 20 21 22 23 24 25
21 22 23 24 25 26 27 30 31
esercizi
104
4) C * D = 9C (base 16)
C = 12
D = 13
(ricorda: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)
12 * 13 =
-------12
36
-------156 10 =
15610, divido ripetutamente per 16:
156/16 = 9 (16*9= 144, 156-144=12=resto=C)
9/16=0, resto 9, quindi 15610 = 9C16
frazioni
FRAZIONI:
3,14 10 = xxxx,yyyyyyy k in base k
0,0005 10 = aaaa,bbbbbb k in base k
2007,9797 10 = cccc,dddddd k in base k
105
FRAZIONI
106
conversione di FRAZIONI
Cosa significa / come si interpreta in base 4 :
2321,0222
Oppure:
come si trasforma la codifica
39,71
da base 10
in base generica ?
FRAZIONI
nota: il significato delle cifre dopo la virgola in base B e'
il contributo al valore complessivo dato dal prodotto della
cifra volte il peso associato alla posizione:
i pesi sono ora 1/(potenza della base):
0,abcde... in base B
rappresenta il numero:
a
b
c
d
e
--- + --- + --- + --- + --- + ...
B
B^2
B^3
B^4
b^5
107
FRAZIONI
Cambio base:
29,45 = 29 + 0,45
per cambiare base trasformo separatamente
la parte intera e separatamente la parte fratta:
Per la parte intera sappiamo gia' come fare
29 (base 10) = xxx (base b)
Per la parte fratta:
0,45 = 0,abcdef... in altra base b ?
108
FRAZIONI
109
Per la parte fratta:
0,45 = 0,abcdef... in altra base b ?
ricorda la definizione:
0,45 = 4/10 + 5/100
... e :
0,abcde in base b significa ovviamente
a/10 + b/100 + c/1000 + d/10000 + e/100000
essendo 10, 100, 1000 ecc espressi nella nuova base,
ovvero b, b^2, b^3, ecc
FRAZIONI
110
Ancora:
0,5 in base 10 vale 0,1 in base 2 (un mezzo)
-- ovvero:
5/10 (base 10) = 1/2 in base 10 = 1/10 (base 2)
quindi
0,510 = 0,12
Ancora:
0,125 in base 10 = 1/8 in base 10 = 1/100 in base 2
quindi
0,12510 = 0,0012
conversione di base per frazioni
111
0,45 = 0,abcdef... conversione da base 10 a base 5
se moltiplico entrambe le parti per b :
0,45 * 5 = 0,abcdef... * 5
ottengo:
2,25
= a,bcdef...
devono essere separatamente uguali la parte intera e la
parte fratta, quindi
2 = a
ottengo la prima cifra della parte fratta moltiplicando il
dato di partenza (in base 10) per la base nuova b (qui
cinque);
ripeto con solo la parte fratta:
0,25 * 5 = 0,bcdef * 5 ottengo:
1,25
= b,cdef...
e quindi
1=b
FRAZIONI
0,4510 = 0,abcdef... b da base 10 ad altra base b
procedimento per calcolare le cifre abcdef...
della parte fratta nella nuova base:
moltiplico entrambe le parti per b 0,xxx * b = 0,abcdef... * b
ottengo a sinistra e a destra una cifra intera,
y,zzz
= a,bcdef...
devono essere uguali sia la parte intera che la parte
fratta, separatamente, quindi ottengo la prima cifra
della parte fratta !
y = a
... e poi ripeto ...
112
conversione di base per frazioni
0,45 = 0,abcdef... conversione da base 10 a base 5
moltiplico ripetutamente entrambe le parti per b,
ad ogni passo ottengo una cifra della parte fratta in
base b, e poi ripeto con solo la parte fratta rimasta:
0,45 * 5 = 0,abcdef... * 5 ottengo:
2,25 = a,bcdef...
quindi a = 2; ripeto:
0,25 * 5 = 0,bcdef... * 5 ottengo:
1,25 = b,cdef...
e quindi b = 1; ripeto:
0,25 * 5 = 0,cdef... * 5 ottengo:
1,25 = c,def...
e quindi c = 1; ripetendo,
0,4510 = 0,211111... 5 in base 5 (periodico)
113
conversione di base per frazioni
114
2) esempio: trasformare 0,71 da base 10 in base 5,
cioe' trovare le cifre a,b,c,d,... della parte fratta in base 5.
0,71 = 0,abcdefg.. ==>> moltiplico ripetutamente per 5:
/ in base 10 \
/ parte in base 5 \
0,71 * 5 = 3,55 = a,bcdefg... quindi a = 3
0,55 * 5 = 2,75 = b,cdefg.... quindi b = 2
0,75 * 5 = 3,75 = c,defg..... quindi c = 3
0,75 * 5 = 3,75 = d,efg...... quindi d = 3
(periodico)
quindi
0,7110 = 0 , 3 2 3 3 3 35 cioe'
7
1
3
2
3
3
--- + --- = --- + --- + --- + --- + ...
10
100
5
25
125
625
nota: spesso ottengo un numero periodico nella nuova base!
conversione di base per frazioni
115
3) es.: trovare la rappresentazione di 0,45 (dato in base 10)
in base 8, ovvero trovare le cifre a,b,c,d,e,f,g, ... tali che
0,4510 = 0,abcdefg ... 8
Moltiplico per la base nuova ripetutamente
ParteFratta 0,45*8
0,6 *8
0,8 *8
0,4 *8
0,2 *8
0,6 *8
0,8 *8
=3,6
=4,8
=6,4
=3,2
=1,6
=4,8
=6,4
=
=
=
=
=
=
=
a,bcdefg->
b,cdefg...
c,defg...
d,efg...
e,fg...
f,g...
g,...
la sequenza 4 6 3 1 si ripete, quindi:
0,45 (base 10) = 0,3 4631 4631 4631 ...
a=3
b=4
c=6
d=3
e=1
f=4
g=6
nota sul cambio di base
116
Entrambi i procedimenti di conversione
(parte intera e parte fratta)
sono basati sul fatto che:
dividere (o moltiplicare) per la base b
significa
spostare la virgola (di base b) di una posizione
a sinistra (o a destra) (come ovvio in base 10);
Esempi in binario:
11 x 10 = 110 (3 x 2 = 6) 101 x 10 = 1010 (5 x 2 = 10)
110 x 10 = 1100 (6 x 2 = 12) 111 x 10 = 1110 (7 x 2 = 14)
1110 : 10 = 111 (14 : 2 = 7) 1010 : 2 = 101 (10 : 2 = 5 )
1000 : 10 = 100 (8 : 2 = 4) ecc
Note sul cambio base
117
Come si scrive
0,1 (base dieci)
in base due?
ovvero - se scrivo 1/10 in base due, lo scrivo in forma
di somma di termini 1/( 2^n ), con n=1,2,3,4, ovvero:
1/10 = a/2 + b/4 + c/8 + d/16 + …
quanto valgono a, b, c, d ecc?
vediamo …
118
come si scrive 1/10 (decimale) in base due?
0,110 = 0,abcde...2
dalla definizione, per la prime cifre della frazione:
1) moltiplico la equazione di sopra per due, e ottengo
(ricorda: moltiplicare per la base 2 significa spostare
la virgola binaria di una posizione a destra)
0,2 = a,bcde
devono essere separatamente uguali parte intera
qui zero, e quindi a=0, e la parte fratta, e quindi
resta:
0,2 = 0,bcde
2) ripeto per la parte fratta residua: moltiplico per
due e ho:
0,4 = b,cde
devono essere separatamente uguali parte intera
quindi b=0, e la parte fratta: 0,4 = 0,cde
0,110 = 0,abcde...2
per la prime cinque cifre della frazione:
1) moltiplico la equazione di sopra per due, e ottengo
0,2 = a,bcde
separatamente uguali parte intera quindi a=0,
e parte fratta, e quindi
resta 0,2 = 0,bcde
2) ripeto per la parte fratta residua: moltiplico per
due e ho: 0,4 = b,cde
devono essere separatamente uguali parte intera
quindi b=0, e la parte fratta: resta 0,4 = 0,cde
3) 0,4*2=0,8  c=0, resta 0,8 = 0,def..
4) 0,8*2=1,6  d=1, resta 0,6 = 0,ef..
5) 0,6*2=1,2  e=1, resta 0,2 = 0,f...
quindi le prime cinque cifre sono abcde = 00011
0,110 = 0,a bcde = 0,0 00112
rimane da calcolare 0,2 = 0,fghi che e' la stessa
situazione di 0,2 = a,bcde
119
quindi 1/10 (decimale) in base due
con moltiplicazioni per due ripetute: 0,1=
0,abcdefghi...
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
0,1*2=0,2
0,2*2=0,4
0,4*2=0,8
0,8*2=1,6
0,6*2=1,2
0,2*2=0,4
0,4*2=0,8
0,8*2=1,6
0,6*2=1,2









a=0,
b=0,
c=0,
d=1,
e=1,
f=0,
g=0,
h=1,
i=1,
resta
resta
resta
resta
resta
resta
resta
resta
resta
0,2=
0,4=
0,8=
0,6=
0,2=
0,4=
0,8=
0,6=
0,2=
120
0,bcdefghi
0,cdefghi
0,defghi..
0,efghi...
0,fghi...
0,ghij...
0,hijk...
0,ijkl...
0,jklm...
0,110=0,a bcde fghi jklm
0,110=0,0 0011 0011 00112 la sequenza 0011 si ripete
all'infinito (frazione periodica), e quindi
0,110=0,0 0011 0011 0011 0011 0011 0011 ..2
come si scrive 1/10 (decimale) in base due?
abbiamo visto come si ricava 0,1 = 0,abcdefghi...
0,110= 0,0 0011 0011 0011 0011 0011 00112
con 5 addendi (approssimazione di 1/10 con 5 bit):
0.1=1/10 (base10) = 0/2 + 0/4 + 0/8 + 1/16 + 1/32 +
trascuto i termini seguenti + 0/64+0/128 + 1/256 + 1/512
+ 0/1024 + 0/2048 + 1/4096+..
e quindi 0/1010 = 0,000112 (approssimazione a 5 cifre) ->
0,000112
= 0,0625 + 0,03125 + 0,00390625 + 0,001953125 +
+ 0,00024414062
= 0,0998535...10 che e' DIVERSO da 0,1 !
121
come si scrive 1/10 (decimale) in base due?
122
passando da base 10 a base 2 la frazione 0,1 (1/10 in base 10)
diventa una frazione periodica ovvero con infinite cifre,
0,110= 0,0 0011 0011 0011 0011 0011 00112
0.1=1/10 (base10) = 1/16 + 1/32 + 1/256 + 1/512 + 1/4096+..
e quindi con 12 cifre binarie della frazione (5 addendi) :
0,000110011001 = 0,0625 + 0,03125 + 0,00390625 +
0,001953125 + 0,00024414062 = 0,099853516 ... non e' 0,110 !
.. e in generale con un numero limitato (es.24 cifre binarie)
ottengo una rappresentazione APPROSSIMATA di 0,1 
Si noti che 1/10 = 0,1 in base 10 NON e' rappresentabile
esattamente in base due con un numero finito di cifre, (si
DEVE fare un troncamento -> in ogni caso ho un errore !! )
frazioni
Anche la trasformazione opposta,
da base generica in base dieci,
si basa sulla definizione:
es per base 2:
dato 0,1011 in base due,
0,1011 = 1/2 + 0/4 + 1/8 + 1/16 ... in base 10,
quindi
= 0,5 + 0,0 +0,125 + 0,0625 =
= 0,6875 in base 10
123
frazioni
base 16 - ogni cifra esadecimale usa 4 bit;
il numero di bit usati per le potenze di 16: nr.bit
1)1016 = 1610 = 16^1
......... 4
2)10016 = 25610 = 16^2 ......... 8
3)100016 = 409610 = 16^3 ...... 12
4)
65 536 = 16^4
........ 16
5)
1048 576,
..... 20 (un mega)
6)
16 777 216, ..... 24
7)
268 435 456,
... 28
8)
4 294 967 296, ... 32 (4 giga)
per scrivere un valore di 4G devo usare 32
bit (un indirizzo di 4G usa 32 bit; per
indirizzi oltre 4G devo usare piu' di 32
bit -> 64 bit; ritorneremo su questo in HW
124
conversione di frazioni: da base 16 a base 10
es 0,5A5116
(4 cifre esadecimali = 16 bit)
= 5/1610 + 10/25610 + 5/409610 + 1/6553610
= 0,312510 + 0,039062510
+ 0,001220703110 + 0,000015258789..10
= 0,35278320312.. 10
( se converto da base 16 a base 10 un numero con k
cifre (k limitato) - il numero di cifre del risultato in
base 10 e' finito o no? ;-)
125
frazioni
126
quando si converte una frazione con un n umero di cifre
limitato da base generica a base dieci,
il calcolo da fare e' la somma di termini del tipo
k/(bn)
dove 1/(bn) in genere NON e' rappresentabile con un numero
di cifre finito in base 10, es. banale:
0,1 3 = 1/3 = 0,33333...10
.....................................
MA per le basi 2,4,8,16, ecc. il numero 1/x = (con x=b^n) =
= 1/(b^n)
( con b = 2 oppure 4 oppure 8 ecc )
e' sempre rappresentabile esattamente con un numero di
cifre finito ... basti pensare alla sequenza
0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 ecc
frazioni
127
nota:
una frazione con un numero fisso di cifre in binario si
converte sempre in una frazione in decimale con un numero
di cifre limitato,
perche' 1/(2 k) ovvero ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32
ecc hanno un numero di cifre decimali limitato:
1/2 0,5
1/512
0,001953125
1/4 0,25
1/1024
0,0009765625
1/8 0,125
1/2048
0,00048828125
1/16 0,0625
1/4096
0,000244140625
1/32 0,03125
1/8192
0,0001220703125
1/64 0,015625
1/16384
0,00006103515625
1/128 0,0078125
1/32768
0,000030517578125
1/256 0,00390625
1/65536
0,0000152587890625
....
1/2n
0,00000000..abcd..gh25
limiti
rappresentazione dei numeri
NEL calcolatore:
i limiti dei formati standard (fissi)
128
rappresentazione di numeri
129
nel calcolatore i codici per rappresentare i numeri sono in
generale fissi – questo perche'
le celle di memoria centrale dove sono memorizzati i numeri
(quando usati da un programma)
sono a formato fisso (ad es. 16 bit, 32 bit, 64 bit)
e i circuiti che eseguono le operazioni aritmetiche
(sia per interi che per virgola mobile)
sono a formato fisso;
seguono due pagine di richiamo di nozioni sulla
memoria centrale e sull' unita' centrale, che saranno trattate
meglio in seguito...
rappresentazione di numeri
130
memoria: insieme di celle ( o voci ) numerate: ciascuna ha -
un indirizzo (numero della cella)
(indirizzi da 0 a max, numeri da N bit,
gli indirizzi oggi (2006) arrivano oltre il Gbyte, sono
numeri a 16 bit (anni 80) poi 32 bit ('90), oggi a 64 bit,
che permette di contare oltre 10 18 (miliardo di miliardi) !!
e un contenuto = valore o codice del dato memorizzato
nella cella: K bit, dove
K e' una potenza di 2: 8 (8bit=1byte), 16, 32, 64 bit:
questo e' fisso per tutte le celle del calcolatore;
la circuiteria elettronica che gestisce la memoria svolge la
funzione di accesso alla memoria:
leggi un dato ( di K bit) dalla cella di memoria di
indirizzo I (di N bit)
scrivi un dato ( di K bit) nella cella di memoria di
indirizzo I (di N bit)
rappresentazione di numeri
l'UC esegue le istruzioni dei programmi
la parte dell'unita' centrale che esegue le operazioni
aritmetiche (+ - * /) e' detta unita'aritmetica, ed e' quasi
sempre sdoppiata in
* unita' per aritmetica intera
* unita' per aritmetica in virgola mobile
entrambe le unita' aritmetiche hanno i canali (bus)
di ingresso dati e
di uscita dati (risultati)
a formato fisso, ad es. 32 oppure 64 bit
(ma anche piu', 80 bit, 128 bit)
==>>
i dati interi e in virgola mobile sono a formato fisso
(quasi sempre)
131
rappresentazione di numeri
132
agli inizi sono stati usati sistemi di codifica di numeri
di tipo diverso :
* per soddisfare le esigenze di calcolo scientifico e
* e per soddisfare le esigenze delle applicazioni
commerciali:
per il calcolo scientifico furono adottati due formati
di codifica:
numeri interi con segno, es.: +06220716
numeri in virgola mobile con segno, es.: +3,1415927E-0
entrambi a formato fisso (es. sopra, otto cifre)
i primi 15 anni esistevano calcolatori con codifica di
numeri a lunghezza variabile e HW opportuno per
trattarli; oggi esistono codifiche a lunghezza
variabile ma sono in generale gestite da software;
133
rappresentazione di numeri
* per esigenze delle applicazioni commerciali esistono
linguaggi di programmazione e sistemi software con
codifica di numeri a lunghezza variabile, di tre tipi:
interi
numero alberi (pini) davanti l'edificio C0 (Tutankamen): uno;
numero anni galera per falso in bilancio: 0
numero esami di fondamenti di informatica 1 nel 2007: 91
numero lingue ufficialmente riconosciute: 5000
numero testate atomiche USA+Russia+Cina+GB+Francia+Israele al 2002: 10500
numeri con virgola fissa es:
indennità mensile (netto) di un senatore in Italia +diaria+rimborsi: 12.138,30 euro
deficit bilancia imp/exp al luglio 05 degli USA : 59 500 000 000 , 00 $
numeri con virgola mobile
velocita' della luce : 299792,458 km/sec ("grande")
massa elettrone: 9.10938188 × 10-31 kilo ("piccolo")
rappresentazione di numeri
134
nel calcolatore i codici per rappresentare i numeri sono
in generale a formato fisso: il formato fisso impone dei
limiti ai codici utilizzabili e quindi all' insieme di
numeri rappresentabili

l' insieme dei numeri rappresentabili (interi e in
virgola mobile) e' limitato
i numeri fuori dei limiti NON sono rappresentabili !
un'operazione aritmetica che produce un valore fuori
di questi limiti da'un errore di overflow/traboccamento (il programma si blocca per errore di aritmetica
floating, rilevato HW "eccezione o interrupt")
rappresentazione di numeri - casi particolari :
talvolta e’ richiesta una rappresentazione esatta dei numeri,
qualunque sia il loro valore
es. bilancio di una ditta (pubblico o riservato)
devo rappresentare i dati esattamente ...
che sono appunto tipiche applicazioni commerciali :
per molte applicazioni di tale tipo la rappresentazione dei
numeri non e' a formato fisso, ma con sequenze di cifre di
lunghezza non fissa, delimitate con codici particolari …
(es. Linguaggio di programmazione Cobol)
alcuni calcoli tecnico/scientifici particolari richiedono una
numero di cifre molto grande (illimitato in pratica):
l'aritmetica in tal caso e' gestita a livello SW.
135
rappresentazione di numeri
136
altri esempi di dati di tipo intero:
*numero abitanti di Villalta di Porpetto,
*numero abitanti di Cheng-du (Cina),
*paga operaio di 9 anni di una fabbrica Nike in Marocco,
*numero studenti del corso di fondam. di inform. del 1996,
*numero CD della biblioteca comunale del popolo di Udine,
*ammontare di una consulenza dell’ avvocato Schwindler,
*patrimonio complessivo di Bill Gates (in dollari),
*numero dei granelli di sabbia della riviera di Lignano,
... vediamo ora " un altro tipo di dati " ...
rappresentazione di numeri
in molti casi interessa di un dato
** solo un certo numero di cifre di un dato
tipicamente per grandezze che hanno orgine
da misure tecniche o scientifiche, ad es.
* distanza terra - luna, (precisione di 10 cifre) oppure
* diametro cilindro della moto Honda Goldwing
(precisione di 4 cifre, al 1/100 di mm)
* quantita’ media di birra e di caffe’ (bevuta
da un tedesco medio) precisione di 2 cifre
** e l’ordine di grandezza ...
in unita' di misura appropriate,
come anni luce, chilometri, millimetri, piedi, pollici,
klaftre, galloni, barili, miglia marine,
137
rappresentazione di numeri
Per dati che hanno origine da misure (direttamente o
attraverso calcoli) viene usato
il formato in virgola mobile (*)
che specifica le cifre e l'ordine di grandezza con due interi
separati:
+3,14159265 E+00
dove i due numeri interi hanno un formato fisso (k1 e k2
cifre, qui k1=9 cifre e k2=2 cifre)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(*) formato in virgola fissa significa un intero che
rappresenta anche cifre decimali, ad es.: dati di 15 cifre:
00001 234 56 00000 rappresenta 1234, 56
00123 456 78 91230 rappresenta 123456,7891230
09999 999 00 00000 rappresenta 9999999
00000 000 00 23456 rappresenta 0,0023456
era usato nelle macchine calcolatrici elettromeccaniche
138
rappresentazione di numeri
tutte queste esigenze hanno risposte oggi standard
nell’ambito della rappresentazione di numeri all’interno del
calcolatore, e nei limiti di queste rappresentazioni.
altri es
numero soci della Miracle.com
30.402.002,0 (unita')
altezza del tavolo
82,5 centimetri (valore approssimato a 3 cifre)
lunghezza delle coste marine italiane
9,532543E+3 chilometri ( ... falso, non so il valore vero;-)
valore di pi
3,14159265E+00 (approssimato a 8 cifre)
per capire meglio cos’e’ un oggetto tipo “numero” per il
calcolatore, studieremo di seguito i vari sistemi di
rappresentazione di numeri.
139
rappresentazione di numeri
140
tutti i dati / tutti i tipi di informazione per il calcolatore
si riducono sempre a codici numerici;
es.: le immagini fotografiche o televisive o del cinema che
tradizionalmente nascono "analogiche" (segnale continuo) e
vengono "usate" ancora analogiche
si possono trasformare in dati numerici (in formato digitale)
analogamente i suoni (di vario genere) si possono codificare
numericamente (suono digitale)
si noti che la precisione (e quindi la qualita') ottenibile con
metodi analogici e' in generale minore rispetto la qualita' di
segnali codificati numericamente
vedremo ...
rappresentazione di numeri
141
tutti i dati / tutti i tipi di informazione per il calcolatore
si riducono a codici numerici; es.:
gli attributi di un punto dell’ immagine sullo schermo
(un elemento dell’immagine = Picture Element = PIXEL)
come intensita’ luminosa, tonalita’ di colore, saturazione,
oppure intensita’ dei colori primari che lo compongono
Rosso, Verde e Blu)
sono rappresentabili con valori numerici,
un pixel si codifica con "un" numero (una terna di num.)
l'immagine sullo schermo e'un insieme di numeri
(quanti – dipende dalla precisione immagine, va da 25 x 80
a 480 x 640 (VGA) a 1000 x 1600, 2000 x 3000 ecc ...
limiti della codifica nel calcolatore
in un calcolatore i numeri sono codificati in binario con un
numero fisso di bit (una potenza di 2: 8, 16, 32, 64, 96) e solo un numero limitato di interi e' rappresentabile.
Ad esempio, gli interi sono rappresentati con (*)
8 bit, da 0 a
255 oppure da -128 a +127
(in C: short int) (+)
16 bit da 0 a 65 535 oppure da -32 768 a 32 767
(in C: int)
32 bit, da 0 a 4 294 967 295 oppure da -2G a + 2G,
(in C: long int)
64 bit, long long int
80 bit ... ecc
________________________________________________________________________________________________
(*) 4 bit: 0..15; 8 bit: 0..255; 10 bit: 0..1023; 12 bit: 0..4095,..
(+) int, short int = nomi di tipi di variabili nel linguaggio
di programmazione C
142
limiti della codifica nel calcolatore - esempio:
143
con 4 bit, sono rappresentabili 16 numeri senza segno:
00
00
00
00
00
01
10
11
=0
=1
=2
=3
01
01
01
01
00
01
10
11
=4
=5
=6
=7
10
10
10
10
00
01
10
11
=8
=9
=10
=11
11
11
11
11
00=12
01=13
10=14
11=15
e i numeri da 16 in poi NON sono piu' rappresentabili.
se uso sempre 4 bit, un'operazione aritmetica puo' dare un
risultato non rappresentabile con tale formato:
1010
+ 111
----------
10001
ovvero
10
+7
--------
17
il risultato esce dall' insieme dei numeri rappresentabili, ->
errore di troncamento o traboccamento = "overflow"
limiti della codifica nel calcolatore
144
Analogamente (o peggio) per le frazioni:
ricordiamo solo il numero 1/1010, cioe'
0,110= 0,0 0011 0011 0011 0011 0011 0011...2
0,1=1/10 (base10) = 1/16 + 1/32 + 1/256 + 1/512 + 1/4096+..
e quindi con 12 cifre binarie dopo la virgola ( 5 addendi )
0,0001 1001 1001 = 0,0625 + 0,03125 + 0,00390625 +
+ 0,001953125 + 0,00024414062
= 0,099853516 che e' diverso dal dato 0,1 !!
con formato fisso di 8 bit la rappresentazione di 0,1 diventa:
0,0001 1001 = 1/16 + 1/32 + 1/256 =
0,0625+ 0,03125+ 0,00390625 = 0,09765625
che e' (ovviamente) anora peggio (piu' diverso da 0,1) !
145
rappresentazione di
numeri con segno
RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI CON SEGNO
con 3 bit rappresento 8 oggetti diversi,
(ad esempio con 3 bit posso contare fino a 7, quindi
rappresento otto numeri da 0 a 9);
finora abbiamo visto la codifica per numeri senza segno,
ma posso rappresentare con gli stessi codici anche numeri
negativi,
di solito si associa la meta' dei codici ai numeri positivi, e
meta' dei codici ai numeri negativi:
esempio con 2 bit ho:
00 = 0
01 = 1 10 = 2
11 = 3
oppure
00 = 0
01 = 1 10 = -1 11 = -1
146
147
RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI CON SEGNO
con 3 bit rappresento 8 oggetti diversi, (es.otto numeri);
posso rappresentare con gli stessi codici anche numeri negativi,
(di solito meta' codici per positivi, meta' per negativi),
come in figura:
000 0
000 -4
000 0
000 -1
001 1
001 -3
001 1
001 -2
010 2
010 -2
010 -1
010 -3
011 3
011 -1
011 2
011 -4
100 4
100 0
100 -2
100 0
101 5
101 1
101 3
101 1
110 6
110 2
110 -3
110 2
111 7
111 3
111 4
111 3
senza
con
con
con
segno
segno/a
segno/b
segno/c
... in quanti modi posso associare 8 simboli a 8 codifiche?
... in quanti modi posso associare 8 simboli a 8 codifiche?
quante codifiche binarie diverse posso avere per 8
simboli ? dati 8 simboli ( a, b, c, d, e, f, g, h ),
dati 8 codici binari a 3 bit, es.
( 111 110 101 100 011 010 001 000 )
posso associare al primo simbolo a uno qualunque dei 8
codici a 3 bit, ad es. a = 011 (A) (8 scelte possibili);
al secondo simbolo posso associare uno qualunque dei 7
codici rimasti, ad es. b = 110 (B) in totale per i primi due
simboli posso fare 8*7 scelte per le due codifiche:
a, b, c, d, e, f, g, h
(A)
(B)
111 110 101 100 011 010 001 000
148
... in quanti modi posso associare 8 simboli a 8 codifiche?
149
dati 8 simboli ( a, b, c, d, e, f, g, h ), dati 8 codici binari
a 3 bit, ( 111 110 101 100 011 010 001 000 )
posso associare al primo simbolo "a" uno qualunque dei 8
codici a 3 bit, ad es. a = 011 (8 scelte possibili);
al secondo simbolo "b" posso associare uno qualunque dei 7
codici rimasti, ad es. b = 110, (7 scelte);
al terzo simbolo "c" posso associare un codice dei 6 codici
rimasti, es. c= 000 (6 scelte)
poi 5 scelte per il quarto, 4 scelte per il quinto simbolo,
in totale per 8 simboli posso fare 8*7*6*5*4*3*2*1 scelte;
per 8 simboli con un codice a 3 bit posso fare 8 !
(8 fattoriale) scelte, cioe' 40320 scelte.
Codifica numeri interi con segno
150
Dati 8 codici binari posso scegliere 8! modi per usarli nella
rappresentazione di 8 numeri interi con segno, meta' positivi
e meta' negativi (qui 5 dei 8! = 40320 possibili codici diversi )
codice num1 num2 num3 num4 num5 …
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
-3
-2
-1
-0
+1
+2
+3
+4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0 0
1 -0
2 1
3 -1
-3 2
-2 -3
-1 3
-0 -4
cont. RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI CON SEGNO
151
per rappresentare numeri negativi con n bit (ad es. 4 bit),
uso delle regole convenzionali di rappresentazione;
caso piu' semplice: un bit per il segno, il resto rimane uguale;
2 possibilita’: rappresento segno meno con bit 1 o con bit 0:
000 0 +0
-0
001 1 +1
-1
RAPPRESENTAZIONE :
010 2 +2
-2
GRANDEZZA CON UN BIT
011 3 +3
-3
PER IL SEGNO
100 4 -0
+0
101 5 -1
+1
questa codifica non e’ usata ;-)
110 6 -2
+2
(richiede una logica piu' complicata
111 7 -3
+3
per la realizzazione circuitale)
vediamo ora le 3 codifiche piu’ usate per i numeri con segno:
complemento a uno, complemento a due, con eccesso di 2^(k-1)
numeri con segno : il complemento a uno
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
+0
+1
+2
+3
-3
-2 <--1
-0
152
RAPPRESENTAZIONE
DI NUMERI CON SEGNO
IN COMPLEMENTO A UNO
QUI CON 3 BIT + 1 BIT SEGNO
in complemento a uno la codifica di un numero negativo si
ottiene scambiando uni e zeri, rango per rango, ovvero
facendo il complemento bit per bit:
codice di +2 = 0 10 -->> cod.di -2 = 1 01
dove il primo bit e’ il bit del segno, gli altri codificano il num
numeri con segno : il complemento a uno
in complemento a uno la codifica di un numero negativo
si ottiene scambiando uni e zeri, rango per rango, ovvero
facendo il complemento bit per bit:
il primo bit e’ il bit del segno,
gli altri codificano il numero
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
+0
+1
+2
+3
-3
-2 <--1
-0
codice +2 = 0 10
codice -2 = 1 01
codice +3 = 0 11
codice -3 = 1 00
153
numeri con segno : il complemento a uno
154
in complemento a uno: -x e' rappresentato con il
complemento di x bit per bit, cioe' da: (2 n -1) -x (*)
-5 in un codice a 4 bit in complemento a uno e’ dato da:
(24 -1) -x = (16-1 -5) = (15 - 5)10 = (10000 - 1)2 - 1012 =
1111 - 0101 = 1010 = complemento bit per bit di 0101
-3 in un codice a 4 bit in complemento a uno e’ dato da:
(24-1) - x = (10000 -1 ) -3 =
1111 - 0011 = 1100 da cui la tabella gia’ vista..
(*) nota: se uso n bit, 2 n non e’ rappresentabile
ad es. se uso 3 bit, 2 3 = 8 = 1000 non e’ rappresentabile;
il numero piu’ grande rappresentabile con n bit e’ 2n -1,
che e' il codice con tutti i bit messi a 1 !!
ad es. con 3 bit e’ 111 = 1000 - 1 = 8 - 1=7 )
numeri con segno : il complemento a uno
complemento a uno: -x e' rappresentato con il compl. di x
bit per bit, cioe' -x e’ rappresentato da (2 n -1) - x = 11..11 - x
es -5 codifica con 4 bit in complemento a uno:
(2 4 -1) -x = (10000 - 1) - 5 = 1111 - 0101 = 1010
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
000
001
010
011
100
101
110
111
+0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
|
|
|
|
|
|
|
|
1
1
1
1
1
1
1
1
111
110
101
100
011
010
001
000
-0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
si noti: la codifica e’ simmetrica, i numeri rappresentabili
con 4 bit vanno da -7 a +7, vi sono due codifiche dello zero!
155
numeri con segno : il complemento a uno
con 4 bit (numero bit n=4) ho:
0 0 000
+0
|
1 111
-0
1 0 001
+1
|
1 110
-1
...
..
|
...
..
6 0 110
+6
|
1 001
-6
7 0 111
+7
|
1 000
-7
[n = 4, n-1 = 3 bit per il dato -> per i positivi da 0 a 7, per i
negativi, da - 0 a - 7] in generale in complemento a uno
con n bit rappresento i numeri da - (2n-1-1 ) a + (2n-1-1 )
il num. piu’ positivo x ha il codice (2n-1-1 ) = 23 -1 = 1000-1 = 0111 = 7,
il numero piu’ negativo -x e’ rappresentato (ha il codice) da
( 2n -1 - x) = ( (2n -1) - (2n-1 - 1 )) = (2n-1 +2n-1 -1) - (2n-1 -1 )) =
= 2n-1 + 2n-1 -1 - 2n-1 + 1 = 2n-1 -1 +1 =
= 2n-1 = ( se n=4) = 8 = 1000 = rappresentazione di -7...
156
numeri con segno : il complemento a uno
157
il codice (complemento a uno) di un dato negativo e' dato dai
bit del dato (positivo), complementati uno per uno:
0110 sei,
1001 meno sei,
0101 cinque, 1010 meno cinque
questo codice permette di fare l' ARITMETICA di numeri
con segno in modo semplice : 3 - 4 = -1
in codice binario con complemento a uno?
la rappresentazione in complemento a uno
e' consistente con le operazioni di aritmetica,
ovvero posso sommare i codici di un numero positivo e di un
numero negativo e ottenere il codice corretto del risultato.
vi sono tre casi da considerare a seconda dei riporti riguardo
il bit del segno (nessuno, uno, due riporti) ... vediamo ...
aritmetica in complemento a uno
158
la rappresentazione in complemento a uno e' consistente con
le opera- zioni di aritmetica: si sommano i codici dei numeri
con segno e e si ottiene il codice corretto del risultato:
due casi senza riporto al- o dal- bit del segno:
1) caso di risultato positivo
3+2 = +5
0011 3
0010 2
-------- -0101 5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) caso di risultato negativo
3+ [(24-1)-4]= (24-1)-1 =
che e' la codifica di -1
3-4 = -1
0011 3
1 0 1 1 -4
-------- -1 1 1 0 -1
159
numeri con segno : il complemento a uno
aritmetica numeri con segno, caso con 2 riporti al/dal segno:
3) caso di risultato positivo
7-4=3
nota: codice di -4 =
24-1 –4 = 1111-0100
Quindi (24-1) + 7-4 =
24 -1 + 3 =
1
24
+ 2 =>
c'e' un riporto a sinistra, dal bit del segno,
il riporto si somma a destra,
ultimo rango a destra, con la
correzione otteniamo 1+2 = 3
0 1 1 1
1 0 1 1
------0 0 1 0
7
-4
-2
+ 1
------1 1
+1
-3
nota che c'e' un riporto anche NEL bit del segno:
vi sono due riporti !
numeri con segno : il complemento a uno
160
3) ancora: caso di risultato positivo 5 - 3 = 2
0 1 0 1
1 1 0 0
------1 0 0 0 1
1
-------1 0
5
-3
-+1
+1
-2
SOMMA DI NUMERI IN
COMPLEMENTO A
UNO:se vi sono due
riporti, uno al
bit del segno e
uno dal bit del
segno, il riporto
da sinistra (dal
segno) si somma a
destra
161
numeri con segno : il complemento a uno
4) caso di risultato negativo, senza riporti: 4-6=-2
se il risultato
e' negativo, e non
vi sono riporti ne'
nel bit del segno,
ne' dal bit del segno,
0 1 0 0
1 0 0 1
------1 1 0 1
allora otteniamo il risultato
direttamente dalla somma dei due
codici
4
-6
--2
162
5) caso di risultato negativo, due riporti:
-1-5 = codici di –1 e –5
in complemento a uno:
[(24-1)-1]+[(24-1)-5]=
[24+(24-1)-7 ] =
il riporto da sinistra
si somma a destra
-1 -5 = -6
1 1 1 0
1 0 1 0
------1 1 0 0 0
+1
--------1 0 0 1
-1
-5
--7
+1
--6
numeri con segno : il complemento a uno
nella somma di due numeri con segno codificati in
complemento a uno si hanno le regole seguenti (regole
realizzate dai circuiti elettronici dell'unita' aritmetica)
* nessun riporto nel / dal bit del segno  ok, niente da
aggiustare
* due riporti (nel/dal bit del segno)  ok, e il
riporto fuori del segno a sinistra si somma a
destra (rango delle unita')
e se c'e' un solo riporto (dal bit del segno oppure nel bit del
segno)  in tal caso il risultato NON e' corretto,
c'e' un errore di trabboccamento (overflow)
vediamo questi casi di risultato errato ...
163
numeri con segno : il complemento a uno
164
7) caso di overflow,dove il risultato NON
e’rappresentabile(un solo riporto al segno)
5
6
-11
0 1 0 1
0 1 1 0
------1 0 1 1
risultato si legge 5+6= -4
[[un solo riporto verso il
bit segno -> errore di
traboccamento->overflow]]
8) caso di overflow
-5
-6
---11
1 0 1 0
1 0 0 1
-------1 0 0 1 1
[[un solo riporto dal bit
del segno -> errore
di overflow ]]
si ottiene: -5-6 = 3
numeri con segno, complemento a uno:
riassumendo, la codifica dei numeri con segno in
complemento a uno (num.negativi rappresentati dal codice
dei numeri positivi complementando i bit uno a uno)
e' un codice consistente con le operazioni aritmetiche, ed
e' un codice simmetrico rispetto lo zero:
+6 codice 0 110
due zeri: +0
0 000
-6 codice 1 001
-0 codice 1 000
limiti simmetrici, per positivi e per negativi,
da 0 a (2^(n-1)) -1 , con n=4 bit il limite e' (2^3-1) cioe':
+7
0 111
-7 codice 1 111
165
numeri con segno, complemento a due:
una codifica oggi piu' usata:
numeri con segno in complemento a due:
e' simile alla codifica in complemento a uno,
ma
con i codici spostati di una posizione
e
con un solo codice per lo zero;
la rappresentazione di un numero negativo in
complemento a due e’ data dal complemento bit per
bit, e poi sommando uno:
+6
-6
codice di +6 e' 0 110,
codice di -6 e' 1 001 +1 = 1 010
166
numeri con segno, complemento a due:
167
un primo esempio con 3 bit per il codice con segno (un bit per il segno,
due bit per il dato)
codifica in compl.a uno | CODICE IN COMPLEM.A DUE:
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
+0
+1
+2
+3
-3
-2
-1
-0
|
|
|
|
|
|
|
|
000
001
010
011
100
101
110
111
+0
+1
+2
+3
-4
-3
-2
-1
<--
<--
la rappresentaz.e di un num. negativo in complemento a due
e’ data dal complemento bit per bit, e poi sommando uno:
+2 = 0 10 -> cod.di -2 = 1 01 +1 = 1 10 =
il primo bit e’ il bit del segno, gli altri codificano il numero
+3 = 0 11 -> cod.di -3 = 1 00 +1 = 1 01 =
-2
-3
RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO A DUE
168
rappresento -x in complemento a due con (2 n - x )
(*)
ad es: -5 e' rappresentato da (24-5) = (10000 - 101) = ((10000 -1) +1 -101 ) =
(1111 - 101 +1) = 1010 + 1 = 1011
un dato negativo in complemento a due si
rappresenta con il codice:
{ [complemento bit per bit del dato] + uno }.
-5 codice ( complemento a uno: +5 e' 0101 quindi –5 e' 1010 )
codice in complemento a due: 1010+1 = 1 011
_____
(*)ricorda codice di –x in complemento a uno (2 n-1)-x
RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO A DUE
169
complem. a due: -x e’ rappresentato da 2 n -x = 100..00 - x
-5 con 4 bit 2 4 -x = 10000 - 0101 = 1011
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
000
001
010
011
100
101
110
111
+0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
|
|
|
|
|
|
|
|
1
1
1
1
1
1
1
1
111
110
101
100
011
010
001
000
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
si noti: la codifica non e’ simmetrica, i num. rappresentabili
vanno da -8 a +7,
e c'e' una codifica dello zero!
RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO A DUE
170
ripetendo ...
caso rappresentazione di numeri negativi in
codifica complemento a due :
-x e’ rappresentato da 2 n -x
i numeri rappresentabili con n bit vanno da..a :
-2 n-1 ... + 2 n-1 -1 (ad es. se n=4, da -8 a +7)
si noti che l' intervallo NON e' simmetrico!
e che
c'e' un unico codice per lo zero.
171
RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO A DUE
codice a 6 bit, 5 bit dato (numeri da 0 a 31), 1 bit segno:
complemento a due :
31 0 11111 -32 1 00000
x = +10 codice 001 010,
30 0 11110 -31 1 00001
x = -10 codice?
29 0 11101 -30 1 00010
-x rappresentato da
28 0 11100 -29 1 00011
...
2 n -x = 2 n -1 -x+1 .. qui n=6,
17 0 10001 -18 1 01110
= 1000 000 - 1 –001010 + 1
16 0 10000 -17 1 01111
= 111111 – 001010 + 1
15 0 01111 -16 1 10000
= compl.bit per bit + 1
...
= 110 110
10 0 01010
...
2 0 00010
1 0 00001
0 0 00000
-10 1 10110
-3 1 11101
-2 1 11110
-1 1 11111
con 6 bit si rappresentano i
numeri da -32 a +31:
-2 n-1 = -2 5 = - 32 = 1 00000
+2 n-1 -1= 25 -1 = +31 = 0 11111
numeri negativi: codifica in complemento a due
-3
+2
--1
1 1 0 1
0 0 1 0
------1 1 1 1
172
ovvero: (2^4-3)+2= 2^4-1
che rappresenta -1
... per definizione
------------------------------------------------------------------
-2
+4
-+2
1 1 1 0
0 1 0 0
------1 0 0 1 0
ovvero (2^4-2)+4 = 2^4+2,
ignoro il riporto a sinist
che e’ dato da 2^4
[[n.b.: due riporti, uno
dal e uno nel bit segno]]
------------------------------------------------------------------
-3
-2
--5
1 1 0 1
1 1 1 0
------1 1 0 1 1
(2^4-3)+(2^4-2)=(2^4-5)+2^4
il riporto (2^4) ignorato[[n.b.: due riporti, uno
dal e uno nel bit segno]]
anche qui il risult. e' ok
numeri negativi: codifica in complemento a due
173
quando il risultato NON e’ rappresentabile:
5
6
-11
-5
-6
---11
0 1 0 1
0 1 1 0
------1 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 0
-------1 0 1 0 1
[[un solo riporto verso il
bit segno -> errore di
traboccamento->overflow]]
[[un solo riporto dal bit
del segno -> errore
di overflow ]]
diversi modi di rappresentare numeri con segno:
a
0
0
0
0
0
0
b
000
011
100
101
110
111
c
=
=
=
=
=
=
d
0
3
4
5
6
7
a
1
1
1
1
1
1
1
1
b
000
001
010
011
100
101
110
111
c
=
=
=
=
=
=
=
=
d
8
9
10
11
12
13
14
15
174
(a = segno, b = cifre dato)
c = codifica senza segno
d = codifica in complemento a uno
e = codifica in comlemento a due
f = codifica in grandezza con segno
<-- fino qui(segno +)come noto,poi:
e
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-0
f
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
codifica complemento
a due (colonna e)
-5 si scrive: 1011
in compl. a uno (col. d)
-5 si scrive: 1010
in grandezza con segno
(colonna f)
-5 si scrive: 1101
cont. RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI CON SEGNO
175
abbiamo visto le due codifiche piu’ usate per rappresentare i
numeri con segno,
codifica in complemento a uno
codifica in complemento a due
vediamo ora due codifiche derivate da queste,
“rappresentazione in eccesso di k”
usate nella rappresentazione dei numeri in virgola mobile
(tipo: 3,77 E-52 )
per la parte dell’esponente...
ancora 2 modi di rappresent. numeri con segno:
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
a
000
001
010
011
100
101
110
111
000
001
010
011
100
101
110
111
b
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
c
0-7
1-6
2-5
3-4
4-3
5-2
6-1
7-0
-8+0
-7+1
-6+2
-5+3
-4+4
-3+5
-2+6
-1+7
de
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
+0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
f
colonna:
a= segno,
b= bit per il dato,
c = decimale,
d = complemento a due
e = rappresentazione
in eccesso di 2^(N-1)
con complemento a uno
f = rappresentazione
in eccesso di 2^(N-1)
con complemento a due
num.positivi segno 1
nota che i numeri
negativi hanno il
bit del segno zero
176
rappresentaz. di numeri con segno con eccesso di k
177
codifica di numeri positivi e negativi con eccesso di 2n-1
ogni dato x (pos.o neg) e’ codificato con: 2(n-1) + x
(con n = numero bit della rappresentaz.)
ad es. per codificare 5 con n = 4 bit abbiamo:
5 -> 2(n-1) + 5 = 23 + 5 = 1000 + 101 = 1101
per rappresentare un numero negativo? -> uso l’aritmetica
con complemento; devo decidere quale rappresentazione
uso per la sottrazione, cioe’ quale codice per il -x; es:
-5 -> 23 - 5 = 1000 + [codice di -5] ->
ora, se rappresento -5 in complemento a uno allora:
2^3 + (-5) = 1000+1010 = 0010 (colonna d)
(ignoro il riporto dal rango del segno!)
codifica num.negativi con eccesso di k
con n bit rappresento x con
2(n-1) + x
con 4 bit ho i codici di +5 e di –5:
5 -> 2(n-1) + 5 = 23 + 5 = 1000 + 101 = 1101
-5 -> 23 - 5 = 1000 + codice di -5 ->
-5 codice con eccesso di 23, complem.a uno:
2^3 + (-5)= 1000 + 1010 = 0010 (colonna d)
-5 codice eccesso di 23, in complem.a due:
2^3 + (-5)= 1000 + 1011 = 0011 (colonna e)
il primo bit e'sempre il segno del dato; con la codifica
in eccesso di k il segno meno corrisp. al bit segno = 0
178
Riassunto 4 codifiche numeri interi con segno
riassumiamo la
rappresentazione di
numeri con segno le 4 codifiche,
caso di codice a 4 bit
(1 bit per segno, 4 bit per dato)
179
0
0
0
0
0
0
0
0
000
001
010
011
100
101
110
111
=
=
=
=
=
=
=
=
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
c= codifica senza 180
segno
d= codice in complem
a uno (due zeri!)
la piu' usata:
e= codifica in complemento a due
(non simmetrica)
1
1
1
1
1
1
1
1
a
000
001
010
011
100
101
110
111
b
=
=
=
=
=
=
=
=
8
9
10
11
12
13
14
15
c
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-0
d
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
e
+0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
f
+0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
g
f= rappresentazione
in eccesso di 2N-1
con compl. a uno
g= rappresentazione
in eccesso di 2N-1,
con complem.a due
codifiche f,g hanno i
num.negat.con segno 0
esercizi aritmetica con segno:
1) esercizio:
calcolare la somma :
+3
-3
in due versioni,
complemento a uno
complemento a due
usare una codifica a 4 bit,
1) 3-3
181
esercizi aritmetica con segno:
1) 3-3, soluzione:
in complem. a uno: complem.bit per bit
+3 -> 0 0 1 1
-3 -> 1 1 0 0
0 0 1 1
1 1 0 0
---------ottengo il codice di -0 1 1 1 1
(ricorda: il riporto da sinistra si somma a destra )
complemento a due:
compl.bit per bit e poi sommo 1
(ignoro i due riporti
nel/dal bit del segno)
3
-3
0 0 1 1
1 1 0 1
--------------1 0 0 0 0
182
2) aritmetica con segno, compl. a 1,esercizi: 6-4, 5-6, -2-3
es.2) calcolare in complemento a uno
con codice a 4 bit:
6 -4
= 0 110 + 1 011 =
5-6
= 0 101 + 1 001 =
-2 -3
= 1 101 + 1 100 =
183
2) aritmetica con segno, compl. a 1,esercizi: 6-4, 5-6, -2-3
184
calcolare 6 - 4 (complemento a uno, codice a 4 bit) :
codice +6 0 110,
codice +4 0 100, codice di -4 1 011, quindi:
+6 0 110
somma : -4 1 011
----10 001 risultato - ma vi sono
due riporti al/dal segno, si somma il
riporto:
0 001
+1
----0 010
ottengo il codice di +2
2) aritmetica con segno, compl. a 1,esercizi: 6-4, 5-6, -2-3
185
calcolare 5 - 6 (complemento a uno, codice a 4 bit):
codice di +5 0 101,
codice di +6 0 110, di -6 1 001,quindi
+5 0 101
somma : -6 1 001
-----1 1 110
nessun riporto al/dal segno, ho direttamente il
risultato meno uno
2) aritmetica con segno, compl. a 1,esercizi: 6-4, 5-6, -2-3
calcolare -2 -3 (complemento a uno, codice a 4 bit)
codice di +2 0 010, di -2 1 101
codice di +3 0 011, di -3 1 100, quindi
-2 1 101
somma : -3 1 100
----11 001
due riporti al/dal segno, sommo il
riporto: 1 001
+1
----1 010 risultato codice di -5
186
3) aritmetica con segno, compl. a 2, esercizi: 6-4, 5-6, -2-3 187
3) stessi esercizi, ma in complemento a due;
6 -4
5-6
-2 -3
ricorda per avere il codice di -3 in complemento a 2 si fa:
parto dal codice di +3, 0 011,
il complemento a uno e’ 1 100, a questo poi sommo uno,
e ottengo
1 101
che e' il codice di -3 in complemento a due;
(vale anche per lo zero: per avere il codice di -0 si fa:
+0 = 0 000, complemento a 1 e' 1 111,
1111 piu' 1 -> ottengo 0 000 )
3) aritmetica con segno, compl. a 2, esercizi: 6-4, 5-6, -2-3 188
6 -4
codice di +6 0 110
codice di +4 0 100, -4: 1011 + 1 = 1 100
somma: +6 0 110
-4 1 100
----+2 10 010
risultato
0 010
(il doppio riporto in e dal bit del segno e' ignorato)
3) aritmetica con segno, compl. a 2, esercizi: 6-4, 5-6, -2-3 189
5-6
codice di 5 0 101
codice +6 0 110,
di -6: 1 001+1=1010
somma:
+5 0 101
-6 1 010
---------1 1 111
-2 -3
codice di 2 0 010,
-2: 1101+1= 1 110
codice di 3 0 011,
-3: 1100+1= 1 101
somma: -2 1 110
-3 1 101
---------5 11 011
ignoro doppio riporto 1,
(nota:1=0001,complem. a 1 (5=0101, -5=1010+1
di -1 e' 1110,poi +1, ottengo =1011=risultato sopra)
1111)
4) aritmetica con segno, codici a 5 bit di -2, -6, -7, -13
4) esercizio: calcolare le codifiche dei numeri:
-2, -7, -9, -13
in complemento a due,
con rappresentazione di 5 bit
(1 bit segno, 4 bit dato)
190
4) aritmetica con segno, codici a 5 bit di -2, -6, -7, -13
4) esercizio: calcolare le codifiche dei numeri:
-2, -7, -9, -13
in complemento a due,
con rappresentazione di 5 bit (1 bit segno, 4 bit dato)
codice di +2 = 0 0010
codice di -2 = 1 1101 + 1 = 1 1110
codice di +7 = 0 0111,
codice di -7 = 1 1000 + 1 = 1 1001
codice di +9 = 0 1001,
codice di -9 da 1 0110 + 1 = 1 0111,
codice di +13 = 0 1101,
codice di -13 = 1 0010 + 1 = 1 0011,
191
FINE CODIFICHE NUMERI NEGATIVI
FINE CODIFICHE NUMERI NEGATIVI
192
floating point = “ float, real, …(*) ”
numeri in virgola mobile numeri molto ...
numeri molto ...
grandi
piccoli
esempio:
velocita' della luce: 299 792 km/sec ("grande")
massa elettrone: 9,109 381 × 10 -31 kilo ("piccolo")
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(*) corrisponde ad un tipo standard di molti linguaggi di
programmazione
193
codifica in virgola mobile
RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI MOLTO
PICCOLI E MOLTO GRANDI --IN VIRGOLA MOBILE (FLOATING POINT)
Possiamo scrivere un dato con parte intera e fratta in molti
modi diversi:
0,314159265 * 101
3,14159265 * 100
314159265
* 10-8
0,0000314159265 * 105
( 314159265, -8 )
ecc
= 0,314159265 * E+1
<<==
= 3,14159265 * E+0
<<==
due forme normalizzate notazione in virgola mobile
3,14159265
=
=
=
=
=
194
codifica in virgola mobile
195
0,314159265 E+1 = forma normalizzata in virgola mobile
le varie parti sono codificate separatamente :
( e' implicita la base dell'esponente , qui 10 )
segno/cifre
/segno esponente/cifre espon.
+ ,314159265
+
1
in binario:
+ ,01010000011...
+
1
ovvero
+ ,10100000110
+
0
(ricorda: 0,001 * 22 = 0,01 * 21 = 0,1 * 20
= 1 * 2 (-1) = 10 * 2 (-2) = ...
0,314E+1-> 314 = cifre = mantissa
E+1 = esponente = caratteristica
codifica in virgola mobile
196
+ 0 , 3141592 E + 01
= forma normalizzata in virgola mobile
Sono in ogni caso presenti 4 compnenti :
il segno del dato
+
le cifre del dato (mantissa) = 3141592 = precisione del dato,
(nota: la posizione della virgola decimale
e' a sinistra della prima cifra non nulla del dato)
il segno dell'esponente +
le cifre dell'esponente (caratteristica) = 01 =
ordine di grandezza del dato.
precisione nella codifica in virgola mobile
+ 0,31415926 E + 01
la virgola (decimale o binaria) si assume generalmente a
sinistra della prima cifra del dato.
...
da ricordare che:
scrittura italiana:
0,314E+1 dato in “virgola mobile”
scrittura anglosassone:
0.314E+1 “floating point” datum"
197
precisione nella codifica in virgola mobile
198
Il numero delle cifre del dato (mantissa) determina la
precisione della rappresentazione:
un dato con precisione di due cifre:
il costo dell'opera sara' 17 milioni di euro
un dato con precisione di 8 cifre:
il valore di π e' 3,1415926
definizione:
precisione
di una codifica
in virgola mobile
=
il numero x piu'
piccolo tale che
1.0 + x <> 1.0
es. alcuni dati con precisione di 4 cifre:
0,005764 chilometri
8012 metri
7542000 quintali
3,141 unita'
172,7 centimetri
1,000 litri
codifica in virgola mobile
precisione
di una codifica
in virgola mobile
=
199
il numero x piu'
piccolo tale che
1,0 + x <> 1,0
ad es. nel caso sopra, assumiamo la codifica con 7 cifre,
allora la precisione e’ data da
+0, 0 0 0 0 0 0 1 E+00 = 1,0E-7
(nota le posizioni
1 2 3 4 5 6 7)
proviamo a sommare
1,0
e
1,0E-7
come sommo
1,0 + 1,0 E-7 ?
somma di due numeri in floating point
200
premessa: per sommare due numeri di tipo:
n * 10 k + m * 10 j es. 0,23 E 3 + 0,55 E 6
devo prima portare i due esponenti allo stesso valore, scelgo
quello piu' grande (*) : ad es. se k>j allora
n*10 k +(m*10 (-k+j) )*10 k = (n + (m*10 (-k+j) ) * 10 k
0,23E 3 + 0,55E 6 = 0,23*(10-3)*E6 + 0,55E 6
= 0,00023E6 + 0,55 E6
metto il fattore E6 = 10 alla 6 in comune:
( 0,00023 + 0,55 ) E6 = ( 0,55023) E6 = 0,55023 E6
(*)ricorda: 0,23E 3 = 0,023E 4 = 0,00023E 6 = 2,3E 2 = 230 E 0
somma di due numeri in floating point
ora sappiamo come sommare due dati a 7 cifre:
1,000000 + 1,000000 E-7
1) porto i due esponenti allo stesso valore,
scelgo quello piu' grande:
1,000000 = 1,000000E+00
1,000000 E-7 = +0,000 000 1000000 E+00
2) poi sommo:
201
codifica in virgola mobile
porto i due esponenti allo stesso valore, quello piu' grande:
1,000000 = 1,000000E+00
1,000000 E-7 = +0,000 000 100000 E+00
1,000 000 0 E+00
+0,000 000 1000 000 E+00
-------- ---------------0,100 000 1000 000 E+00
devo avere il formato fisso a 7 cifre: tronco le ultime cifre,
rimane
0,100 000 1 :
il valore ottenuto 0,1000001E+00 e' diverso da 1,0E+00,
quindi vale appunto che 1.0 + x <> 1.0
==>> vediamo ora con un x piu' piccolo della precisione
202
codifica in virgola mobile
203
Quanto vale (1+x), se x e' piu' piccolo della precisione?
1 e' codificato con:
sommo un x < 1.0E-7,
ad es. 4.0E-8:
0,100 000 0
E+01
4,000 000
E-08
per sommare, devo avere esponenti uguali, uso il piu'grande:
0,100 000 0 E+01
+0,000 000 04 E+01 (e' 4,0E-08 spostato di 8 posiz.
----------------- per avere lo stesso esponente)
0,100 000 04 E+01
codifica in virgola mobile
calcolo (1+x), con x e' piu' piccolo della precisione:
1 e' codificato con:
0,100 000 0
un x < 1.0E-7, ad es. 4.0E-8:
4,000 000
204
E+01
E-08
per sommare, devo avere esponenti uguali, uso il piu'grande:
0,100 000 0 E+01 tutti i dati con 7 cifre;
+0,000 000 04 E+01 (e' 4,0E-08 spostato di 8 posiz.
----------------- per avere lo stesso esponente)
0,100 000 04 E+01
risultato con otto cifre per il dato - ma il formato e' fisso:
il risultato deve avere 7 cifre!
l'ultima cifra viene troncata (arrotondata) e si ottiene:
0,100 000 0 E+01
e quindi ottengo il risultato uguale al primo addendo !!
codifica in virgola mobile, - limiti
205
In virgola mobile posso rappresentare numeri molto piccoli
o molto grandi utilizzando sempre lo stesso numero di cifre
in un formato fisso; vediamo qui un esempio di formato e
i limiti che ne derivano: in tutto 6 cifre, quattro per il dato, 2
per esponente, piu' i due segni (dato,esponente) :
27,53
-> 0,2753 E+02
0,000 000 000 07986 -> 0,7986 E-10 piccolo
12340000 0000 0000 -> 0,1234 E+16 grande
codifico ora i numeri con il formato detto;
i tre dati di sopra codificati diventano :
| + | + | 02 | 2753 | primo dato 27,53
| + | - | 10 | 7986 | 2.o dato 0,7986 E-10
| + | + | 16 | 1234 | 3.o dato 0,1234E+16
limiti codifica in virgola mobile
27,53
0,2753 E+02
0,000 000 000 07986
0,7986 E-10
12340000 0000 0000
0,1234 E+16
4 cifre per il dato,2 cifre per l'esponente
| + | + | 02 | 2753 | primo dato 27,53
| + | - | 10 | 7986 | 2.o dato 0,7986E-10
| + | + | 16 | 1234 | 3.o dato 0,1234E+16
il numero piu' grande rappresentabile con tale formato:
| + | + | 99 | 9999 | = 0,9999 * 10^99
il numero piu' piccolo rappresentabile con tale formato,
con 4 cifre, normalizzato (prima cifra a sin. e' non zero):
| + | - | 99 | 1000 | = 0,1000 * 10^(-99)
il piu' piccolo con 1 cifra sola (non normalizzato) :
| + | - | 99 | 0001 | = 0,0001 * 10^(-99)
= 0,1 * 10^(-102)
206
codifica in virgola mobile
207
nota - la rappresentazione di un numero in floating point
definisce come si codificano
* la parte delle cifre (mantissa)
e
* la parte che da' l'ordine di grandezza (caratteristica)
123,456 si scrivera': 0,123456 E+3
(convenzione: la prima cifra dopo la virgola decimale e' non
nulla, la parte intera e' nulla; usata negli es.seguenti)
oppure (convenzione standard corrente, piu' usata)
1,23456 E+3
la virgola sta dopo la prima cifra non nulla
(che in binario e' sempre 1, e si assume implicitamente senza
memorizzarla)
codifica in virgola mobile - codifica e limiti
seguono esempi in binario su un ipotetico formato a 8 bit:
S
segno dato
Z
segno espon
EE
espon
DDDD
dato
1) Per rappresentare il dato 5,0 avremo in binario :
5 = 101,0 * 2^0 (ora normalizzo ) = 0,1010 * 2 ^ 3 =>
0
0
11
1010
S
Z
EE
DDDD
quindi
00111010 e’ la codifica di
0,101 * 2 ^ 3
2) per rappresentare il dato 0,75 avremo in binario:
0,75 = 0,5 + 0,25 = 1/2+1/4 = 0,11 con esponente 0,
quindi
0
0
00
1100
quindi 00001100 rappresenta 0,11 * 2 ^ 0
208
codifica in virgola mobile es 0,125
209
contin. virgola mobile con codifica a 8 bit
SZEEDDDD (S segno dato, Z segno esponente,
EE esponente, DDDD cifre dato)
3) dato 0,125 = 1/8 = 0,001 = 0,001*2^0 =
{ S=0, Z=0, EE=00, DDD=001 } poi normalizzo,
cioe’ virgola binaria a sinistra della 1.a cifra del dato:
= 0,1*2^(-2)(*) codifico l'esponente negativo ad es.in
compl. a uno, quindi (z=meno,EE=2) -2 diventa: -2= 111010 =101, infine il tutto 0,1000*2^(-2) diventa:
0,125 = S E EE DDDD= 0 1 01 1000= 01011000
_____________
(*) nota: di seguito uso a^b oppure ab per indicare a alla b
codifica in virgola mobile es con soli 8 bit ...
210
cont. codifica in virgola mobile con 8 bit
S segno, Z segno espon,EE espon., DDDD dato
abbiamo visto che 0011 1010 rappresenta 5,0
e che 0,125=1/8=0,0012 si scrive 01011000,
vediamo i numeri piu’piccolo e piu’grande:
il piu'grande: esponente posit.massimo e'3:
0011 1111 = 0,1111*23 = 8 (circa)
il piu'piccolo: espon.piu'piccolo e'-3:
0100 0001 = 0,0001*2-3 = 1,0*2-7 = 1/128
211
vedremo tra poco
lo standard di codifica per i due tipi piu' usati,
FLOATING (32 bit) e DOUBLE (64 bit)
e i limiti che derivano da tale formato
codifica in virgola mobile es con soli 8 bit ...
i dati con segno meno sono rappresentati
complementando tutto, quindi ad es. gli stessi di prima:
+5,0
-5,0
= 0011 1010,
= 1100 0101
0,75
-0,75
= 0000 1100,
= 1111 0011
0,125 = 0101 1000,
-0,125 = 1010 0111
212
nota sulla interpretazione di un dato
quando il calcolatore preleva un dato dalla memoria
il dato sara' poi interpretato a seconda dello stato in cui
si trova l'unita' centrale: senza questa informazione
la codifica di dato qualunque, ad es.:
1011 1111
non dice nulla su come deve essere interpretato:
per interpretare un insieme di n bit correttamente
dobbiamo sapere a priori di che tipo di dato si tratta!!
ad es. il dato qui riportato, 1011 1111,
avra' un valore ben diverso a seconda se lo interpreto come
il codice di un carattere, oppure come codice d intero con
segno oppure come codice di un numero in floating point,
oppure ancora come il codice di un'istruzione macchina!!
213
214
il formato determina
* la precisione dei dati
* i limiti di rappresentazione dei dati
vediamo un esempio semplificato (tutto in base 10)
codifica in virgola mobile: precisione/estensione
215
date n cifre [es. 10 cifre decimali] per rappresentare un dato
in virgola mobile dobbiamo decidere il formato cioe’
dividere le cifre disponibili per le codifiche dei vari pezzi ...
il formato determina l'insieme dei numeri rappresentabili:
* sia per l' estensione dell'intervallo
(ordine di grandezza, num. piu' piccolo/ num. piu' grande)
* sia per la precisione (cifre significative)
nota:
se uso piu' cifre per l'esponente
-> posso rappresentare numeri piu' grandi / piccoli,
-> ma - diminuisce la precisione
(restano meno cifre per il dato)
e viceversa: uso piu’ cifre per dato -> meno cifre per esp.
codifica in virgola mobile: base 1000
216
Possiamo aumentare i limiti di grandezza dei numeri
rappresentabili a pari numero cifre della codifica
cioe' senza aumentare il num.di cifre del codice ... es:
codice con 6 cifre decimali, 2 espon, 4 dato, tutto in base 10
0,50 = 0,50*10^00
=> + +00 5000
3,14 = 3,14*10^00=0,314*10^1 => + +01 3141
0,00123=,123*10^-2
=> + -02 1230
il numero piu' piccolo
+ -99 1000 => 0,1000E-99
il numero piu' grande
+ +99 9999 => 0,9999E+99
NOTA:
qui l' esponente e' con base 10 MA se cambio base ?
codifica in virgola mobile: base 1000
217
riprendiamo il codice detto, con 6 cifre decimali di cui
2 per l' espon, 4 per le cifre del dato, tutto in base 10, .. MA:
cambio base dell’esponente: invece di 10 e’ 1000 allora:
0,50=0,50 *1000^0
=> + +00 5000
il numero piu' piccolo e' ora:
+ -99 1000 = 0,1000*(1000^(-99)) =
= 0,1000*((1000)^(-99)) =0,1000*10^(-297)
= 0,1000 E -297
il numero piu' grande e' ora:
+ +99 9999 = 0,9999*(1000^(-99)) =
= 0,9999*((10^3)^(99)) => 0,9999 E+297
aumentano i limiti di ordine di grandezza !!
codifica in virgola mobile: base 1000
218
codice con 6 cifre decimali, 2 espon, 4 dato, tutto in base 10
cambio base dell’esponente: invece di 10 e’ 1000 allora:
0,50=0,50 *1000^0, codice: + +00 5000
il numero piu' piccolo + -99 1000 = 0,1000 E-297
il numero piu' grande + +99 9999 = 0,9999 E+297
aumentano i limiti di ordine di grandezza
... MA ->perdo cifre, cioe' precisione:
3,14 =3,14 *1000^0 =
se cambio espon.di uno la virgola si sposta di TRE
posizioni (base esponente e' 1000):
= 0,00314*1000^1
0,00123 = ,00123*1000^0
=> + +01 0031
=> + +00 0012
codifica in virgola mobile: base 10 vs. base 1000
219
codifica con 6 cifre decimali, 2 espon, 4 dato, tutto in base 10,
base dell’esponente 10:
3,14 = 3,14*10^00=0,314*10^1=> + +01 3141
se la base dell’esponente invece di 10 e’ 1000 allora abbiamo:
3,14=3,14*1000^0=,00314*1000^1=>+ +01 0031
quindi:
se aumento o diminuisco di 1 l’ esponente con base 1000
devo spostare le cifre del dato di 3 posizioni:
avro’ spesso zeri dopo la virgola decimale normalizzata ->
meno cifre utilizzate -> perdo in precisione
in media perdo 1,5 cifre
codifica in virgola mobile
220
ancora un ese. con mantissa a 3 cifre, esponente a base 10:
93,93 *10^0 =0,9393*10^2 => + +02 939
9,393 *10^0 =0,9393*10^1 => + +01 939
0,9393 *10^0 =0,9393*10^0 => + +00 939
0,09393*10^0 =0,9393*10^-1 => + -01 939
,009393*10^0 =0,9393*10^-2 => + -02 939
,0009393*10^0=0,9393*10^-3 => + -03 939
se la base dell’esponente invece di 10 e’ 1000 allora abbiamo:
93,93 *1000^0 =,09393*1000^1 => + +01 094
9,393 *1000^0 =,009393*1000^1=> + +01 009
0,9393 *1000^0 =,9393*1000^0 => + +00 939
0,09393*1000^0 =,09393*1000^0 => + +00 094
,009393*1000^0 =,009393*1000^0=> + +00 009
,0009393*1000^0=,9393*1000^-1 => + -01 939
codifica in virgola mobile
se la base dell’esponente e’ 1000 (invece di 10) allora
abbiamo (ripeto):
93,93 *1000^0 =,09393*1000^1 => + +01
9,393 *1000^0 =,009393*1000^1=> + +01
0,9393 *1000^0 =,9393*1000^0 => + +00
0,09393*1000^0 =,09393*1000^0 => + +00
,009393*1000^0 =,009393*1000^0=> + +00
,0009393*1000^0=,9393*1000^-1 => + -01
221
094
009
939
094
009
939
perdo cifre significative (in media perdo 1,5 cifre=meta’ cifre
della base)
ma
guadagno in limiti di grandezza:
1000^(-99)-- 1000^99 ( invece di 10^(-99) -- 10^99 )
ovvero 10^(-99*3)-- 1000^(99*3)
codifica in virgola mobile
222
ancora ese. con mantissa a 3 cifre, esponente a base 10:
45678
= 0,45678*10^+5 => + +05 457
0,00712 = 0,712 *10^-2 => + -02 712
0,5555 = 0,5555 *10^-0 => + +00 555
se la base dell’esponente invece di 10 e’ 1000 allora abbiamo:
45678,0 = 0,045678*1000^2 => + +02 045 <<==
0,00712 = 0,00712 *1000^0 => + +00 007 <<==
0,5555 = 0,5555 *1000^0 => + +00 555 <<==
perdo cifre significative, qui in media perdo 1,5 cifre (meta’
cifre della base) guadagno in limiti di grandezza:
ho 1000^(-99)-- 1000^99 invece di 10^(-99) -- 10^99.
esercizio floating point: 7,7E0 in binario ?
223
esercizio floating point:
dato il formato:
12 bit divisi come segue:
1 bit segno del dato
1 bit segno dell'esponente (codifica con eccesso di 2^3)
3 bit valore esponente
(e in complemento a uno)
7 bit valore del dato - ma attenz.: vedi nota qui sotto
dove il 1.o bit del dato e' sempre uno, e non e' memorizzato
(ovvero se il dato - parte mantissa - vale 1011 1111, virgola
binaria posta davanti la prima cifra, il dato e' memorizzato
nella parte cifre come 011 1111 (1.o bit 1 implicito)
trovare la rappresentazione di 7,7 E0
esercizio floating point continua
224
esercizio: convertire 7,7E0 in binario, in formato da 12 bit:
1 bit segno dato;
cifre del dato: 7 bit
esponente: 1 bit segno, 3 bit valore (eccesso 2^3, compl. a 1);
devo convertire le cifre del dato e l'esponente;
qui l'esponente e' zero, quindi devo convertire solo le cifre:
convertire 7,7 da base 10 a base 2:
devo convertire separatamente la parte intera,
semplice: 7-> 111, (sono i tre bit iniziali delle cifre del dato)
e separatamente la parte fratta: solo per quattro bit, perche'
con mantissa a 7 bit, 3 bit gia'dati, devo trovare ancora 4 bit
0,7 = 0,abcd (binario) - moltiplicando per due ripetutamente:
1) 0,7*2->1,4; 2)0,4*2->0,8; 3)0,8*2->1,6; 4) 0,6*2->1,2; 5) 0,2*2->0,4;
quindi per la parte fratta le cifre binarie sono 0,10110
(e' un 0,7 approssimato con 5 bit, 0,5+0,125+0,0625=0, 6875)
il dato in binario e' 111,10110 normalizzo: 1,1110110 * 2^2
esercizio floating point: 7,7E0 in binario, continua
1) convertire 7,7E+0 da base 10 a base 2:
(1 bit segno dato; 7 bit cifre del dato;
esponente: 1 bit segno, 3 bit valore (eccesso di 2^3, compl.a 1);
parte intera 7-> 111, poi la parte fratta con mantissa a 7 bit, devo trovare ancora 4 bit:
1) 0,7*2->1,4; 2)0,4*2->0,8; 3)0,8*2->1,6; 4) 0,6*2->1,2; 5) 0,2*2->0,4;
quindi per la parte fratta le cifre binarie sono 0,10110
(e' un 0,7 approssimato con 5 bit, 0,5+0,125+0,0625=0, 6875)
ora il dato in binario e' 111,10110; normalizzo: 1,1110110 * 2^2
quindi: parte cifre 1,1110110, -> sono 8 bit ?! ... MA:
il primo bit poi sara' implicito, quindi restano 7 bit da memorizzare
la parte esponente 2 cioe' 010, con eccesso di 1000: 1000+010=1010
metto insieme e ho:
0 1 010 1110110
= 6,875 E+0
la precisione e' veramente scarsa... visto le poche cifre per il dato ;-)
225
somma in virgola mobile
somma con numeri in virgola mobile:
0,xxx*10^E1 + 0,yyy*10^E2 =
1) se E1 = E2 allora le due mantisse si possono sommare:
(0,xxx + 0,yyy) *10^E1
es.:
0,314 E + 1 + 0,250E + 1 =
( 0,314 + 0,250 ) * 10 ^ 1 =
= 0,564 * 10^1 =
= 0,564 E + 1
226
somma in virgola mobile
227
Per sommare due numeri in virgola mobile,
se E1 <> E2 allora
devo rendere i due esponenti uguali:
porto l'esponente piu' piccolo al valore del piu' grande,
es: formato con 3 cifre per dato, 1 per esponente:
0,222E+1 + 0,333E-1 -> e1<>e2 per cui non posso
sommare direttamente ->
devo aggiustare uno dei due esponenti, cambio l'esponente
piu' piccolo e lo metto al valore del piu' grande, scalando
di uguale misura la mantissa:
0,222E+1 + 0,00333E+1 = 0,222 * 10 + 0,00333 * 10
= (0,222 + 0,00333) * 10 = 0,22533 E+1 <<== RIS.
siccome ho solo 3 cifre disponibili -> si troncano le cifre
= 0,225 E +1
<== inevitabile errore di troncamento !!!
somma in virgola mobile - normalizzare risultato
228
attenz: se la somma delle mantisse fornisce un numero
maggiore di uno allora si deve normalizzare il risultato:
0,966 E+1 + 0,555 E+0 =
0,966 E+1 + 0,0555E+1 = 0,966 * 10 + 0,0555 * 10 =
= ( 0,966 + 0,0555 )* 10 = (1, 0215) * 10
= 1,0215 E+1 = 0,10215 E+2 [esponente normalizzato]
= 0,102E+2
forma normalizzata solo 3 cifre ->
abbiamo di nuovo un errore troncamento !
ancora un es.:
0,997E+1 + 0,00423E+1 = 0,997 * 10 + 0,00423 * 10
= (0,997 + 0,00423) * 10 = 1,00123E+1 = 0,100123E+2
= 0,100E+2
somma in virgola mobile
229
Per sommare due numeri in virgola mobile:
se e1 <> e2 allora devo rendere i due esponenti uguali:
abbiamo visto la somma fatta portando
l'esponente piu' piccolo al valore del piu' grande ...
e se invece porto l’ esponente piu’ grande
al valore del piu’ piccolo?
->
0,997E+1 + 0,423E-1 = 99,7E-1 + 0,423E-1
non cambia molto ... ma ottengo un numero in forma non
normalizzata, devo in ogni caso normalizzare => alla fine
ho lo stesso risultato ...
... non si usa
codifica in virgola mobile : overflow
230
puo’ succedere che
il risultato della somma non sia rappresentabile:
dati: 0,9983E+99 e 0,7044E+98, rappresentati ad
es. formato decimale , 2 cifre per esponente, 4 per dato:
+99
,9983 =
+98
,7044 =
----------------------
99
,9983
99
,07044
----------------sommiamo:
99 1,06874 -> normalizzo 100 ,106874 -> l’esponente e’ > 99
non posso rappresentare l'esponente 100 ->
il risultato esce dai limiti della codifica !
==> errore di traboccamento ==> overflow
codifica in virgola mobile: overflow
231
se l'esponente del risultato di un’operazione aritmetica
non e' rappresentabile allora c’e’ un errore di “overflow”:
// caso di formato decimale, con 2 cifre per esponente e 4 per dato:
+99 9983 =
99
,9983
+98 7044 =
99
,07044
------------ ---------99 1,06874 -> normalizzo 100 ,106874 -> esponente e’ >99
non posso rappresentare l'esponente 100 ! //
nei calcolatori c'e' spesso un meccanismo di controllo
automatico su questo errore:
se c’e’un "floating point overflow" allora il calcolatore
interrompe (HW!) l' esecuzione del programma e segnala
questo fatto in qualche modo.
formato / i
floating point
in molti modelli di calcolatori sono state usati per la codifica
floating diversi formati e basi diverse dalla base due:
ad esempio con base 16, (e quindi - come vedremo l'intervallo di numeri rappresentabili era maggiore)
dal 1985 si usa lo standard IEEE 754
(che vedremo tra poco)
che usa come base per l'esponente il valore 2
232
standard IEEE
233
FORMATI STANDARD IN VIRGOLA MOBILE
(IEEE standard 754 Binary Floating Point Arith del 1985)
s
1,ddd...ddd
E
z ee..ee
=
(segno dato s) * [mantissa 1,dddddd] * parte Esponente
[= segno z esponente * caratteristica = cifre esponente eeee ]
formato a 32 bit,
mantissa dd...dd a 23 bit, esp. zee...ee a 8 bit
formato a 64 bit,
formato a 80 bit,
standard IEEE 754 del 1985
234
formato a 32 bit (single precision)
limiti:
max 3.4 E+38
min 1.5 E-45 non normalizzato positivo
min 1.2 E-38 normalizzato positivo
mantissa: 23 bit con sottinteso un uno davanti alla virgola
binaria, quindi sono 24 bit, precisione di 7,4 cifre decimali
il dato e' sempre espresso in modo che la mantissa e' compresa
tra 1.000..00 e 1.111..11 (dato normalizzato)
esponente binario codice a 8 bit da -126 a +127, con base 2 e
rappresentazione in eccesso di 127 in complem. a due;
formato bit (virgola a dest.della 1.a cifra D)
S
ZEEEEEEE
D,DDD DDDD DDDD DDDD DDDD DDDD
D non e' memorizzato, e' implicito
esempio di codifica float
es.
il dato 42.6875 si codifica come segue:
42.6875 = 101010.1011 = 1.010101011 x 2 5
che per l'esponente da':
127+5 =132=128+4= 10000100 (8 bit)
e per la mantissa
1,01010101100000000000000 (23 bit)
e per il segno
0 (1 bit)
totale: 0 10000100 01010101100000000000000
235
limite float - numero piu' grande
Nota:
il numero piu' grande per un numero in virgola mobile
a 32 bit in formato standard e'
esponente (8 bit, base 2): 127 = 01111111 (*)
mantissa:(2-2^(-23))=1.1111111111111111111111
quindi il valore (massimo) rappresentato e':
max = (2-2^(-23))*2^(127) = 3.403*10^38
ed il valore minimo (piu' piccolo) ?
dato normalizzato, la mantissa piu' piccola e' 1.0
esponente piu' piccolo (base 2) e' -127 = 1000000
___________________
(*)
63=11 1111,64=10 00000,127=111 1111, 128=1000 0000
236
standard IEEE
formato a 64 bit (double precision)
circa 15 cifre decimali e intervallo da 10^-300 a 10^300,
max 1.7 E+308
min 5.0 E-324 non normalizzato posit.
min 2.3 E-308 normalizzato posit.
esponente binario 11 bit da -1022 a +1023 (base 2)
mantissa: 52+1 (bit implicito) bit
cioe' la precisione e' di 15,5 cifre decimali
formato bit:
S EEE EEE EEE EE DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD
DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DDDDD DD
237
standard IEEE
formato a 80 bit (extended)
max 1.1 E+4932
min 1.9 E-4951 non normalizzato posit.
min 1.7 E-4932 normalizzato posit.
precisione: 19,5 cifre
esponente binario 15 bit da -16382 a 16383,
mantissa: 63+1 bit (19,5 cifre decimali)
formato in binario:
S EEEEE EEEEE EEEEE
DDD DD DDD DD
DDD DD DDD DD
DDD DD DDD DD
DDD DD DDD DD
DDD DD DDD DD
DDD DD DDD DD
DDD
238
standard IEEE
quadrupla precisione a 128 bit:
15 bit per l'esponente
111 bit per la mantissa
(normalizzata con 1 davanti la virgola binaria)
massimo esponente 32767 (con base 2, circa 10000 base 10)
239
altre rappresentazioni (non piu'usate)
240
osservazione: gli stessi bit possono essere divisi in molti
modi, e prima dello standard IEEE 754 erano in uso ad es.
l' IBM 370 usava la codifica:
esponente 7 bit, base 16;
mantissa 24 bit (7,5 cifre circa)
quindi il massimo rappresentabile
max = 16^63 * 0,FFFFFF = 0,9999 * E+75
min = 16^(-64) * 0,000001 = 0,1 * E-79
fino agli anni 80 erano in uso molte codifiche diverse, ogni
casa costruttrice usava una sua codifica
(la Digital usava una sua (su VAX),
la Control Data usava una ancora diversa a 60 bit, ecc)
codici floating speciali: codici per infinito / non definito
241
Nota 2) :
lo standard prevede dei codici particolari per indicare
numeri "molto grandi" o "praticamente infiniti", usati per i
risultati di operazioni del tipo:
7,5 / 0.0
e altri codici per indicare numeri "non definiti" usati per il
risultato di un'espress. aritm. del tipo:
infinito * zero
zero / zero
viene poi definita un' aritmetica per questi codici, del tipo:
infinito * x = infinito,
non_definito + x = non_definito
...
unita' aritmetica per interi / per virgola mobile
242
Nota 3): Le operazioni aritmetiche in virgola mobile sono
piu' complesse delle operazioni analoghe su interi, e la
realizzazione hw e' piu' complessa.
Le istruzioni aritm. in virgola mobile sono realizzate (su
calcolatori piccoli) con sequenze di istruzioni apposite
(sottoprogrammi);
L' aritmetica in virgola mobile e' realizzata circuitalmente in
un'unita' di calcolo "floating-point unit", che puo'essere
separata dall'unita' centrale, cosi’ erano (anni 80) l' INTEL
80286 + f.p.u. 80287 o MOTOROLA 68020 + f.p.u. 68882)
oppure fa parte dell'unita' centrale, che diventa un po' piu'
grande; cosi' era per i calcolatori "grandi" (mainframe, es
VAX9000, IBM 370-XA - ma anche nei micro processori
successivi al 1995 per personal, tipo Intel Pentium o Power
PC o ALFA)
tre esercizi
1) e’ dato un formato di numero in virgola mobile (binario)
con 16 bit di cui 10 per le cifre (mantissa) e 5 per l'esponente
(compreso il segno dell'esp. “z”):
S Z E E E E D D D D D D D D D D <= binario
a) trovare la precisione in decimale
(quante cifre decimali, ovvero il numero
x piu' piccolo tale che 1+x <> x)
b) trovare la codifica binaria in tale formato di:
13.5 (in base 8) = 11.625 (in base 10), poi di
6.5 (in base 10), e 5.55 (in base 10) -> per questo valore
trovare poi (dal codice binario in virgola mobile) il valore
corrispondente in decimale: quante cifre sono state perse?
243
tre esercizi
244
2) dato il formato di numero in virgola mobile [formato di
codifica gia' visto] con 16 bit, di cui 10 per le cifre (mantissa)
e 5 per l'esponente (compreso segno dell' espon. “z”):
S ZEEEE DDD DDD DDD D
domanda:
sono rappresentabili esattamente i dati, e se si', quali ?
3.5,
23.0,
555.0, 5252.0,
78951.0 ?
tre esercizi
3) trovare le regole per la
a) moltiplicazione e
b) divisione in virgola mobile
(si usi un formato decimale (tutto in base 10) a 6 cifre,
di cui 2 per l' esponente e 4 per la mantissa)
245
indice sistemi posizionali
rappresentazione di numeri
sistema unario
storia dei sistemi di numerazione
il sistema latino
codici posizionali in varie basi
un quiz
somme numeri in base 2, 3, ..
prodotto in binario
base sedici (esadecimale)
cambio base
esercizi
frazioni
0,1 da base 10 a base due
limiti e overflow
246
indice capitolo numeri con segno:
NUMERI CON SEGNO
numeri con segno
numeri in complemento a uno
somme con segno
complemento a due
rappresentazione in eccesso di k
esercizi sui numeri con segno
247
indice capitolo numeri in virgola mobile :
NUMERI IN VIRGOLA MOBILE
rappresentazione di n.i grandi/piccoli
precisione
limiti
esercizio
somma in floating point
overflow
standard IEEE 754 floating point
esercizi
fine parte numeri
248
fine parte numeri
249
FINE
PARTE
NUMERI