Laboratorio di El&Tel
Elaborazione numerica dei segnali: analisi delle
caratteristiche dei segnali ed operazioni su di essi
Mauro Biagi
Outline
• Dall’analogico al digitale
• Quantizzazione dell’informazione
• Trasformate di Fourier
• Filtraggio digitale
• Conclusione
Elaborazione numerica dei segnali
21/12/2015
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Dall’analogico al digitale
 Un segnale x(t) rappresenta la variazione temporale di
una grandezza fisica (tensione, corrente, temperatura)
 Formalmente x(t) è una funzione
x(t) : T  D
Elaborazione numerica dei segnali
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Dall’analogico al digitale
D  [5,5] e T  [0,10]
Analog signal (example)
x(t)
5
0
10
t
-5
D  {1,1} e T  [10,10]
Digital signal (example)
1
x(t)
10
-10
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t
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Dall’analogico al digitale
 Segnali analogici:
o
o
Audio (voce, musica)
Video (TV analogica)
t
 Segnali numerici (sequenze di digit):
o
o
o
o
Audio e video digitalizzati
Immagini Digitali
Sequenze di immagini (videoclip, TV digitale, …)
Dati (documenti word/excel, files, …)
Reti analogiche: Broadcast radio/TV, cellulare TACS, cordless analogico
Tutte le altre reti sono numeriche (audio e video vengono digitalizzati)
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Dall’analogico al digitale
Sequenza dei suoi campioni: x(n)  x(t ) t nT
Segnale analogico x(t )
x ( 0)
   T
t


2T
x(1)
T
intervallo di campionamento (sec)
Campionatore:
x(t )
Elaborazione numerica dei segnali
1
fc 
T

T

....

t
frequenza di campionamento (Hz)
fc
x(n)
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Trasmissione a distanza,
o immagazzinamento
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Dall’analogico al digitale
Se x(t ) è limitato in banda, con banda
±W intorno allorigine, e se
f c  2W (criterio di Nyquist), allora il segnale ricostruito xR (t )
risulta uguale all’originale, ossia:
xR (t )  x(t )
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per
f c  2W
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Dall’analogico al digitale
Spiegazione intuitiva: se x(t ) varia lentamente, e se la si osserva
abbastanza frequentemente, allora il suo andamento completo è
perfettamente ricostruibile tramite interpolazione delle osservazioni
{x(nT ), n  0, 1, 2,...}
Elaborazione numerica dei segnali
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Dall’analogico al digitale
La proprietà fondamentale che sta alla base del teorema
del campionamento è la seguente:
n
 
 1 
FT   (t  nT )    ( f  )
T
n 
 T n 
9
Dall’analogico al digitale
Nel dominio
della frequenza:
X(f)
f
2W
1
X '( f )   X ( f  k / T )
T k
 2 fc
f
 fc
XR( f )  X ( f )
fc
2 fc
H( f )
f c  2W
f W
 c
2
W fc
2
f

1
2T
10
Dall’analogico al digitale
X(f )
f
2W
X '( f )
Sotto-campionamento:
f c < 2W
 fc
XR( f )
f
 c
2
fc
2
fc
f
1) Manca una parte dello spettro
2) La parte mancante si “ripiega”
e si somma al resto
f
c’è dell’altro (“alias”)
nello spettro ricostruito
11
Dall’analogico al digitale
Ricostruzione, con treno di impulsi matematici:
x '(t ) 

 x(nT )(t  nT )
n 
x(t )
x ( 0)
x(1)
x' (t )
T
T
2T
t
Filtro LP:
H( f )
xR (t )
Segnale
ricostruito
x(1)
12
Dall’analogico al digitale
Ricostruzione ideale, con treno di impulsi matematici:
x' (t )   x(n) (t  nT )
n
H ( f )  T rect 1/ T ( f )
h(t )  sinc (t / T )
T
1

2T
1
2T
f

 
 2T
T
 
T
2T

t
13
Dall’analogico al digitale
xR (t ) 
x ( 0)
x(1)



 x(nT )sinc((t  nT ) / T )
n 
x(1)



x (3)
x ( 2)
14
Quantizzazione dell’informazione
fc
x(n)
1
x(t )
Q
Sampling
0
b bit, che rappresentano:
x̂( n )  x( n )
Quantizer
ADC: Analog-to-Digital Converter
x̂( n )  x( n )  q( n )  x( n )
q(n): errore di quantizzazione, che svanisce all’aumentare di b,
ovvero del numero di bit impiegati nella conversione A/D
15
Quantizzazione dell’informazione
xˆ ( n )
xmax= xq(L-1)
-xmax



xmax
xq(2)

Passo di
quantizzazione
xq(i)
Livello di
restituzione
rappresentato
con b bits
L
Numero dei livelli
di quantizzazione
x(n)
xq(1)
-xmax=xq(0)
16
Quantizzazione dell’informazione
b bits
Generatore
di livelli di
restituzione
x̂( n )rectT ( t  nT )
x̂( n )
Generatore
di forma
d’onda
DAC: Digital-to-Analog
Converter
x̂( n )
nT
t
T
17
Quantizzazione dell’informazione
f c  2W
x(t )
flusso binario
b bits
Campionatore
+
quantizzatore
P/S
f b  bf c (bits/sec)
Trasmissione
Convertitore
parallelo/serie
b bits
flusso binario,
f b bit/sec
S/P
f c  2W
Convertitore
analogicodigitale
Filtro LP
Con banda
[-W,W]
xR (t )
Convertitore
serie/parallelo
18
Quantizzazione dell’informazione
x(t )
 xMAX L  1 L intervalli di quantizzazione,






 


 






L valori (“livelli”) di quantizz.

t
xq(0) ,..., xq( L 1)

 xMAX
0
 b bit per campione  L  2b intervalli di quantizzazione
 ampiezza intervallo:   2 xMAX / L  (2 xMAX )2 b
 l'i-esimo livello quantizzazione x (i)
q è posto al centro dell'i-esimo
intervallo di quantizzazione.
19
Quantizzazione dell’informazione
x̂

campione
quantizzato

x
campione
originale
q
errore di
quantizzazione
• L’errore di quantizzazione può assumere tutti i valori da
• Modello probabilistico: q è una variabile
/ 2 a /2
p (q )
aleatoria con “distribuzione” (densità di
probabilità) uniforme tra
/2
e
 / 2, e a media
nulla
 Il valore massimo del modulo dell’errore q è:
zero al crescere di b

2
 (2 xMAX ) b , e va a

2
2
2

2

 Sul segnale ricostruito l’errore di quantizzazione viene percepito
come un disturbo (rumore) sommato al segnale originale
20
q
Quantizzazione dell’informazione
xˆ  x  q
o Supponiamo che x possa assumere solo valori in [-xmax, xmax]
o Supponiamo che l’intervallo [-xmax, xmax] sia suddiviso in L=2b intervalli di
quantizzazione di estensione
Δ  2 xmax / L  2 xmax / 2b
Si può dimostrare che il valore medio E{q2} del quadrato dell’errore di
quantizzazione q vale
xmax  2b

Δ
E{q } 

2
12
3
2
2
2
Quindi E{q2} va a zero in maniera esponenziale al crescere di 2b
21
Trasformate di Fourier
xn ,
n  0, 1, 2,..
 può essere quantizzata oppure no
 può essere la sequenza dei campioni
xn  x(t ) t  nT  x(nTc )
c
di un segnale analogico
x( t ), oppure può nascere proprio come
sequenza (esempi: indicatori economici, distribuzione di temperatura)
 Sequenza numerica di durata finita (N elementi):
xn ,
n  0, 1, ..., N  1
x0, x1 , ..., x N 1
22
Trasformate di Fourier
Def: Un segnale x(t) è impulsivo se

 x(t) dt 

 j 2ft
dt  FT x( t ),
FT : X ( f )   x( t )e
FT-1 :

x(t )   X ( f )e j 2ft df  FT 1X ( f ),

   f  
   t  
X(f) è una rappresentazione di x(t) nel dominio della frequenza
(dominio “spettrale”) anziché del tempo
23
Trasformate di Fourier
X(f) = R(f) + j I(f) = M(f)e j
x(t ) 

f
M ( f )e j ( 2ft  ( f )) df
M(f)
R(f)
f
f
(f)
I(f)
f
f
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Trasformate di Fourier
x (t ) segnale reale:




X ( f )   x(t ) cos(2ft)dt  j  x(t ) sin( 2ft)dt
Simmetria coniugata:
R( f )  R( f )
I ( f )   I ( f )
M ( f )  M ( f )
 ( f )   ( f )
X ( f )  X * ( f )
25
Trasformate di Fourier

DFT: Discrete Fourier Transform
N -1
X k = å xn e
- j 2p
n
k
N
X
n=0
k  0, 1, ...., N  1
0,
X1 ,..., X N 1
k
0
N 1
26
Trasformate di Fourier

La DFT {Xk,k=0,…,N-1} costituisce una
rappresentazione di
 xn  nel dominio k delle
frequenze discrete. Infatti vale la seguente formula
di ricostruzione
1 N 1  j 2  N n
xn   X k e
N k 0
k
DFT -1
n  0, ..., N  1
27
Filtraggio digitale
La convoluzione discreta è data dalla seguente relazione
yn 

xh
m 
m nm
, n  0, 1, 2,...
si può procedere al calcolo o passare per il dominio della
frequenza (discreta)
Teorema della convoluzione.
Yk=HkXk
28
Filtraggio digitale
 Def: un filtro numerico è detto FIR se la sua risposta impulsiva {hn,n=0,…,L-1} ha
lunghezza finita L
xn
h0
Ritardo di
1 passo
(delay)
xn 1
Ritardo di
1 passo
(delay)
Ritardo di
1 passo
(delay)
…..
h1

xn L 1
Linea di
ritardo
digitale
hL1
L 1
yn   hm xn  m
m 0
y n all’ ”istante” n è pari alla combinazione lineare di L valori
di ingresso xn , ..., xn L 1 immagazzinati nella linea di ritardo digitale
L’uscita
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Filtraggio digitale
 Un filtro è detto IIR (Infinite Impulse Response)
se la sua risposta impulsiva {hn} è non nulla in
un numero infinito di istanti.

yn   hm xm  n 
m 0
n
x
m  
h
m nm
hn  a n
a 1
0
n
30
Conclusione
Che cosa fare in laboratorio?
• Matlab…..->…Matlab….->Matlab
• Filtraggio passa basso e passa alto
di un segnale
• Filtraggio notch e ‘isolatore’
• Effetto dell’echo (multipath!)
Elaborazione numerica dei segnali
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