LE FUNZIONI SENO,
COSENO E TANGENTE
1. LE FUNZIONI SENO E
COSENO
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
DEFINIZIONE
Seno e coseno
Consideriamo
la circonferenza goniometrica
e un angolo orientato a,
e sia B il punto della circonferenza
associato ad a.
Definiamo coseno e seno di a, e
indichiamo con cos a e sen a :
cos a = xB ,
sen a = yB .
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1. LE FUNZIONI SENO E
COSENO
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
Circonferenza di
raggio unitario
Indichiamo con (x; y)
le coordinate di B.
x = cos a
y = sen a
Circonferenza di
centro O e raggio
qualsiasi
Indichiamo con (x';
y') le coordinate di B'.
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Scopriamo che:
e
e quindi sen a e
cos dipendono
a
non
dalla
particolare
circonferenza
considerata,
ma solo dall’angolo
a.
1. LE FUNZIONI SENO E
COSENO
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
Il triangolo OA'B' è un
triangolo rettangolo.
Le proprietà del seno e
del coseno si applicano a
tutti i triangoli rettangoli.
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Triangoli rettangoli
sen a = rapporto tra il
cateto opposto
all’angolo e
l’ipotenusa.
cos a = rapporto tra il
cateto adiacente
all’angolo e
l’ipotenusa.
2. LE VARIAZIONI E IL
GRAFICO DELLE FUNZIONI
SENO E COSENO
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
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PROPRIETÀ
In particolare si verifica
che:
–1 ≤ sen x ≤ 1 ;
–1 ≤ cos x ≤ 1 ;
cos x = cos (–x) ;
sen x = –sen (–x) .
Costruiamo il grafico delle funzioni
y = sen x e y = cos x in [0; 2p]
riportando sull’asse x i valori degli
angoli e sull’asse y le coordinate
dei punti della circonferenza
goniometrica.
3. SINUSOIDE E COSINUSIDE
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
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sen (x + 2p) = sen x = sen (x + 4p) = ... ,
cos (x + 2p) = cos x = cos (x + 4p) = … ,
cioè
sen (x + 2kp) = sen x ,
cos (x + 2kp) = cos x .
Le funzioni seno e coseno sono periodiche di
periodo 2p .
Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della
funzione coseno cosinusoide.
I due grafici differiscono per una traslazione di p/2.
p
2
4. LA PRIMA RELAZIONE
FONDAMENTALE
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
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Prima relazione fondamentale
della goniometria
cos2 a + sen2 a = 1
Da cui, se è noto cos a ,
,
mentre, se è noto sen a ,
.
5. LA FUNZIONE TANGENTE
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
DEFINIZIONE
Tangente
Consideriamo un angolo orientato a,
e sia B il punto della circonferenza
associato ad a.
Definiamo tangente di a il rapporto,
quando esiste, tra l’ordinata e
l’ascissa di B:
.
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5. LA FUNZIONE TANGENTE
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
Circonferenza di
centro O e raggio
qualsiasi
Indichiamo con (x';
y') le coordinate di B'.
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Triangolo rettangolo
Un altro significato
geometrico
tg a = rapporto tra il
cateto opposto
all’angolo e il
cateto adiacente.
Consideriamo il cerchio
goniometrico e la sua
tangente t.
tg a = ordinata di T.
6. LE VARIAZIONI E IL
GRAFICO DELLA FUNZIONE
TANGENTE
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 10 /15
PROPRIETÀ
In particolare si verifica
che:
tg x tende a + o –
quando x si avvicina a p/2,
tg x = – tg (–x).
Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;p]
riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y
l’ordinata del punto T.
7. LA TANGENTOIDE
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 11 /15
tg (a + p) = tg a = tg (a + 2p) = ...
cioè
tg (a + kp) = tg a .
La funzione tangente è periodica di periodo p .
Il grafico completo
della
funzione tangente si
chiama
tangentoide.
8. LA SECONDA RELAZIONE
FONDAMENTALE
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 12 /15
Seconda relazione fondamentale della
goniometria
,
yB = sen a , xB = cos a ,
.
9. ESERCIZI: SENO E COSENO
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 13 /15
Disegna, utilizzando la circonferenza goniometrica, gli angoli a cui corrispondono i seguenti valori.
9. ESERCIZI: SENO E COSENO
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 14 /15
Calcola il valore della funzione indicata, utilizzando le informazioni fornite.
10. ESERCIZI: LA TANGENTE
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 15 /15
Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli.
Per ogni angolo a in figura, individua tg a, quando esiste, sulla retta tangente alla circonferenza.
10. ESERCIZI: LA TANGENTE
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 16 /15
Calcola il valore di tg a, usando le informazioni fornite.