Vettori
Dott. Daniele Gregori
Corso di Fisica LA
Facoltà di Ingegneria
Aerospaziale e Meccanica
Università di Forlì
Le grandezze fisiche
Lo scopo della fisica è quello di ricavare le leggi che
legano le varie grandezze fisiche.
Le grandezze fisiche sono le quantità che si possono
misurare.
Durante il corso incontreremo due diversi tipi di grandezze
fisiche: quelle scalari definite univocamente da un solo
numero con unità di misura e quelle vettoriali definite da
direzione, verso e modulo con la sua unità di misura.
Grandezze scalari sono la massa, l’energia, l’entropia,…
Grandezze vettoriali sono la forza, il momento angolare,
l’impulso,…
Vettori nel piano
y
Coordinate cartesiane
yP
V
P ≡ (ρ,θ) ≡ (xP,yP)
y P   sin 
ρ
ĵ
O
Coordinate polari
θ
iˆ
xP   cos 
xP
i e j sono i versori ovvero i vettori unitari
diretti lungo gli assi x e y

V  xP iˆ  y P ˆj   e i
Unità immaginaria
x
  xP 2  y P 2
yP
  arctan
xP
Rappresenta il modulo del vettore
e si indica anche con la lettera del
vettore senza la freccia: V
Vettori nello spazio
z
Coordinate cartesiane
zP

V
xP   sin  cos 
P≡(ρ,θ,φ)≡(xP,yP,zP)
y P   sin  sin 
z P   cos 
ρ
k̂
θ
ĵ
O
iˆ
xP
Coordinate polari
yP
y
  xP 2  y P 2  z P 2
φ
x
modulo
  arccos
versore


2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
V  xP i  y P j  z P k  V  V    xP  y P  z P
zP

y
  arctan P
xP

V
 Vˆ  
V
Con:
0<φ<2π
0<θ<π
Somma di vettori nel piano
Abbiamo 2 vettori V e W di cui sono noti i moduli (o ampiezze) e l’angolo θ che
formano. Calcolare il vettore somma (modulo e angolo che forma con uno i due
vettori).
π-θ
V
V
φ
θ
O
S
W
O
W
Somma di vettori nel piano
Per rispondere ai due quesiti precedenti si usano il teorema di Carnot e il
teorema dei seni:
Teorema di Carnot:
a
c  a  b  2ab cos 
2

b


c
2
2
Teorema dei seni:
a
b
c


sin  sin  sin 
Nota:
sin   sin    
cos    cos   
Somma di vettori nel piano
Tornando al nostro problema:
π-θ
V
S
φ
O
NOTA: non usiamo più la freccia
perchè stiamo considerando i
moduli dei vettori
W
S 2  V 2  W 2  2VW cos(   )  V 2  W 2  2VW cos 
W

W sin      S sin     arcsin  sin  
S

Somma e differenza di vettori con le
componenti cartesiane
Consideriamo due vettori nel piano di cui sono note le componenti cartesiane.

V1  x1iˆ  y1 ˆj

V2  x2iˆ  y2 ˆj
  
S  V1  V2  x1  x2 iˆ   y1  y2  ˆj
  
D  V1  V2  ( x1  x2 ) iˆ  ( y1  y2 ) ˆj
y
Esempio:
S
V1
D
V2
x
-V2

V  3iˆ  4 ˆj

W  2iˆ  3 ˆj
  
S  V  W  iˆ  7 ˆj
  
D  V  W  5iˆ  ˆj
Somma e differenza di vettori con le
componenti cartesiane
Consideriamo due vettori nello spazio di cui sono note le componenti cartesiane

V1  x1iˆ  y1 ˆj  z1kˆ

V2  x2iˆ  y2 ˆj  z 2 kˆ
Ricaviamo la somma e la differenza come:
  
S  V1  V2  ( x1  x2 )iˆ  ( y1  y2 ) ˆj  ( z1  z 2 )kˆ
  
D  V1  V2  ( x1  x2 )iˆ  ( y1  y2 ) ˆj  ( z1  z 2 )kˆ
Esercizio: ricavare la somma e la differenza tra


V1  3iˆ  7 ˆj  2 zˆ V2  5iˆ  2 ˆj  3kˆ
Nota: è facile verificare che
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1
iˆ  ˆj  iˆ  kˆ  0
Prodotto scalare
ˆj  kˆ  0
Il prodotto scalare associa a due vettori un numero reale
 
V1 V2  V1V2 cos 
V1
θ
O
V2
Notiamo che il prodotto scalare vale zero
se i due vettori sono ortogonali ovvero se
cos θ =0 .
Se sono date le componenti cartesiane si calcola come
 
V1  V2  ( x1  x2 )  ( y1  y2 )  ( z1  z 2 )
Esercizio: Stabilire quali dei seguenti vettori sono ortogonali fra loro:


V1  3iˆ  7 ˆj  2 zˆ V2  5iˆ  2 ˆj  3kˆ V3  6iˆ  9kˆ
Prodotto vettore
Dati due vettori complanari, si può definire il prodotto vettore (o prodotto esterno)
  
come il vettore
W  V1  V2  V1V2Wˆ sin 
Versore
ortogonale al piano e il cui verso è pari al verso di avanzamento di una vite
per portare il primo vettore sul secondo descrivendo l’angolo minore possibile
(angolo θ).

Vale la proprietà antisimmetrica:
W
 


V1  V2  V2  V1
y
θ

V1
x
Nota: il prodotto esterno vale
zero quando i due vettori sono
allineati (θ=0°, θ=180°)

V2
Vettori
paralleli
Vettori
antiparalleli
Nota: è facile verificare che
Il prodotto vettore in
componenti cartesiane
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0
iˆ  ˆj  kˆ
iˆ  kˆ   ˆj
ˆj  kˆ  iˆ
Date le componenti cartesiane dei vettori:

V1  x1iˆ  y1 ˆj  z1kˆ

V2  x2iˆ  y2 ˆj  z 2 kˆ
Il prodotto esterno si calcola come:
iˆ
  
W  V1  V2  x1
x2
ˆj
y1
y2
kˆ
z1  iˆ y1 z2  z1 y2   ˆj x1 z 2  z1 x2   kˆx1 y2  y1 x2 
z2
Esercizio: calcolare il prodotto dei due vettori e verificare che risulta ortogonale
ai due vettori e determinarne il versore

V1  3iˆ  7 ˆj  2 zˆ

V2  5iˆ  2 ˆj  3kˆ
Svolgimento
Dati i due vettori:

V1  3iˆ  7 ˆj  2 zˆ  3,7,2

V2  5iˆ  2 ˆj  3kˆ  5,2,3
Il prodotto vettore risulta:
iˆ ˆj
kˆ
  
W  V1  V2  3 7  2  17iˆ  19 ˆj  41kˆ  17,19,41
5 2 3
Verifichiamo che è ortogonale ai primi due vettori:
 
W V1  17  3  (19)  7  (41)  (2)  51  133  82  0
 
W V2  17  5  (19)  (2)  (41)  3  85  38  123  0
Svolgimento

Ricaviamo il versore Ŵ del vettore W  17,19,41
Per prima cosa determiniamo il modulo

W  W  17 2  (19) 2  (41) 2 
2311
Quindi il versore risulta essere

W
ˆ
W 

W

1
17iˆ  19 ˆj  41kˆ
2311

Derivata di vettori
Dato un vettore consideriamo le sue componenti, in un sistema di riferimento
dato, dipendenti da un parametro.

W (t )  x(t ) iˆ  y (t ) ˆj  z (t )kˆ
Possiamo definire la derivata delle componenti rispetto a quel parametro:
d 
d
d
d
ˆ
ˆ
W (t )  x(t ) i  y (t ) j  z (t )kˆ
dt
dt
dt
dt
Esempio, sia dato il vettore

S (t )  at iˆ  bt 2 ˆj  ct 3 kˆ  at , bt 2 , ct 3

Calcolare le derivate prima e seconda

Svolgimento
Possiamo calcolare la derivata rispetto al parametro t:

d 
S (t )  V (t )  aiˆ  2bt ˆj  3ct 2 kˆ
dt
E allo stesso modo procedere per calcolare la derivata seconda:

d2 
d 
ˆj  6ct kˆ
S
(
t
)

V
(
t
)

a
(
t
)

2
b
dt 2
dt
Altro esempio, consideriamo il seguente vettore spostamento (deve avere le
dimensioni di una lunghezza):

S (t )  6a iˆ  2bt 2 ˆj  5ct 3kˆ
con :
 a  0.5m

2
b

2
m
/
s

 c  1m / s 3

Svolgimento
1) Quanto vale il modulo della velocità per t=2s ?
2) Quanto vale il modulo dell’accelerazione per t=2s ?
3) Scrivere i versori
4) Che angolo formano velocità e accelerazione ?
Per prima cosa ricaviamo le componenti di velocità e accelerazione:

d 
S (t )  V (t )  4bt ˆj  15ct 2 kˆ
dt

d2 
d 
ˆj  30ct kˆ
S
(
t
)

V
(
t
)

a
(
t
)

4
b
dt 2
dt
Ora sostituendo a t il valore 2 s e alle costanti b,c i loro valori otteniamo

V (2)  (16 ˆj  60 kˆ) m / s

a (2)  (8 ˆj  60kˆ) m / s 2
Svolgimento
Il modulo quadro della velocità al tempo t=2s vale:
V 2 (2)  162  602  3856 (m / s) 2
Il modulo quadro dell’accelerazione a t=2s vale:
a 2 (2)  82  602  3664 (m / s 2 ) 2
I versori sono:
Vˆ ( 2) 
ˆ ( 2) 
a

1
16 ˆ
j  60kˆ
3856
1
8ˆ
j  60kˆ
3664


Abbiamo ambiguità sul segno giusto
Tuttavia l’angolo è trovato.

Per ricavare l’angolo fra accelerazione e velocità al tempo t=2s possiamo
considerare il prodotto scalare e il prodotto vettore fra i due versori che
ci forniscono rispettivamente cos θ e sin θ.

16  8  60  60
ˆ
ˆ
V a 
 0.991812  cos     0.128050rad
3856  3664
Svolgimento
Anche se l’angolo è stato trovato, ricaviamo il seno dal prodotto vettore:
iˆ ˆj kˆ
1
iˆ(8  60  16  60)
aˆ  Vˆ 
0 8 60 
 0,127701iˆ 
3856  3664
14128384
0 16 60
 sin   0.127701  1  0.128050 rad
,
 2    1  3.26964 rad
Verificare se calcolavo Vˆ  aˆ avrei ottenuto la prima soluzione col segno
cambiato.
In questo caso possiamo dare l’angolo che formano i due vettori in modulo,
per tanto è:
  0.128rad
Integrali
Come nel caso precedente possiamo definire l’integrale delle componenti di
un vettore

w(t )  x(t ) iˆ  y (t ) ˆj  z (t )kˆ

 
 




W (t )   w(t ) dt  C  C1   x(t ) dt iˆ  C2   y (t ) dt ˆj  C3   z (t ) dt kˆ
Costante adittiva che possiamo
ricavare dalle condizioni iniziali
Esercizio *
Un punto si muove su una traiettoria rettilinea, con accelerazione costante
a=2m/s2, partendo da fermo. Calcolare:
1) Qual è la velocità del punto dopo 5s
2) Qual è la velocità media nell’intervallo di tempo da 0s a 5s
Il punto parte da fermo quindi v(0)=0
t
v(t )  v(0)   a(t ) dt
NOTA: Il moto è unidimensionale e in questo caso non
è necessario mettere la freccia sopra ai vettori.
0
Nel nostro caso a(t) è una costante e l’espressione precedente diventa:
v(t )  2t m / s  v(5)  10 m / s
Per calcolare la velocità media ricordo che il valore medio di una funzione in un intervallo
(a,b) è dato da:
b
1
f 
f ( x) dx

ba a
* L’esercizio è tratto da: C. Mencuccini, V. Silvestrini “Fisica I”
Svolgimento
Il calcolo del valore medio è:
1
1 2 5 25  0
v 0   2t dt  t 
 5 m/ s
o
50
5
5
5
5
Domanda: sapendo inoltre che il punto partiva nella posizione s(0)=0m a che
Distanza dall’origine si trova per t=4s?
t
t
0
0
s(t )  s(0)   v(t ) dt   2t dt  t 2 m  s(4)  16m
Domanda: se il punto fosse partito con velocità iniziale pari a 1m/s quale sarebbe
il valore medio della velocità nell’intervallo tra 2s e 5s ?