Lezione 10
• Parità
• Parità intrinseca
• Isospin
• Multipletti di isospin
PARITÀ
L’operatore di inversione spaziale è una trasformazione discreta che inverte il
segno delle tre coordinate spaziali:
P

x, y, z
-x, -y, -z
(x, y, z)  ’ (x, y, z) = P (x, y, z) = (-x, -y, -z)
La trasformazione è detta di PARITÀ; essa è discreta perchè nessuna
trasformazione continua può trasformare un sistema di riferimento destrorso in
uno sinistrorso. Essa equivale ad una riflessione del sistema in uno specchio (che
inverte la destra con la sinistra) e una rotazione di  intorno all’asse ortogonale
allo specchio (che inverte l’alto con il basso).
z
y
x
-x
-y
-z
L’operatore di parità è unitario. Infatti:
P2 (x, y, z) = P (-x, -y, -z) = (x, y, z)
 P2 = 1
 P = +1, -1
Gli autovalori di P definiscono la parità del sistema.
La parità è un numero quantico moltiplicativo. Pertanto, preso un sistema composto
da più particelle, la parità globale del sistema sarà dato dal prodotto delle parità
delle sue parti. Come vedremo tra poco, le parità che descrivono ogni sistema
dotato di spin o composto da parti dotate di spin è dato dal prodotto delle parità
intrinseche delle particelle che lo compongono per la parità legata al momento
angolare orbitale relativo tra le particelle:
P ( a b ) = P(a) P(b) PL
Con la notazione JP si indica lo stato di momento angolare totale e di parità del
sistema.
Se la Hamiltoniana del sistema è invariante per trasformazioni di parità: [H, P]=0,
allora la parità del sistema è un buon numero quantico, cioè essa è una costante
del moto, è conservata nelle interazioni. In tal caso le autofunzioni della
Hamiltoniana hanno parità definita. Ad esempio:
(x) = cos (x)
parità definita positiva
perchè P (x) = cos (-x)= cos(x) = (x)
(x) = sin (x)
 P = +1
parità definita negativa
perchè P (x) = sin (-x)= - sin (x) = -(x)  P = -1
Al contrario:
(x) = A cos (x) + B sin (x) parità non definita
perchè P (x) = A cos (-x) + B sin(-x) = A cos(x) - B sin (x)  (x)
Come vedremo la parità è conservata (è una costante del moto) nelle interazioni
elettromagnetiche e in quelle forti, ma è violata in quelle deboli.
PARITÀ DELLE ARMONICHE SFERICHE
Uno stato avente momento angolare orbitale L definito, cioè con L2 ed Lz
costanti del moto, potrà essere scomposto sulla base delle armoniche
sferiche Ylm(,). Tradotto in coordinate polari, l’operatore di parità
genera la seguente trasformazione:
P

x, y, z
equivalente a:
P
rr
P
-x, -y, -z
 -
P
+
Pertanto applicando P alle armoniche sferiche avremo:
P Ylm(,) = Ylm( - ,  + ) = (-1)l Ylm(,)
Le armoniche sferiche sono autostati di parità associati all’autovalore P=(-1)l.
Ricordiamo infatti l’espressione delle prime armoniche sferiche e vediamo come
si trasformano per effetto dell’operazione di parità, ricordando che:
P:
 π 
  π 
cos( )  cos(π   )   cos( )
sin( )  sin(π   )  sin( )
e i

e i(π )

 e i
e 2i

e 2i(π )

e 2i
3
cos( )
4π
3
Y11  
sin( ) e i
8π
5 3
1
2
Y20 
 cos ( )  
4π  2
2
15
Y21  
sin( ) cos( ) e i
8π
1 15
Y22 
sin 2 ( ) e 2i
4 2π
Y10 
L1
P Y10   Y10
L1
P Y11   Y11
L2
P Y20  Y20
L2
P Y21  Y21
L2
P Y22  Y22
PARITÀ DI UN VETTORE POLARE
Per effetto dell’operatore di parità un vettore polare viene mandato nel vettore
polare opposto:
r
p
P


r
P


p
PARITÀ DI UNO SCALARE
Lo scalare può essere pensato come il prodotto scalare di due vettori polari,
pertanto per effetto dell’operatore di parità lo scalare viene mandato in se
stesso. Infatti:
 
a  u v



 a'  (u)  ( v)  a
P
PARITÀ DI UN VETTORE ASSIALE
Il vettore assiale risulta dal prodotto vettoriale di due vettori polari (es. il momento
angolare) . Pertanto per effetto dell’operatore di parità il vettore assiale viene
mandato in se stesso. Infatti:
  




P
L r p 
 L'  ( r )  ( p)  L


P
σ


σ
PARITÀ DI UNO PSEUDOSCALARE
Lo pseudoscalare è il risultato del prodotto scalare tra un vettore polare e uno
assiale, pertanto per effetto dell’operatore di parità lo pseudoscalare viene
cambiato di segno. Infatti:
 
σ p
h 
p


σ  (p)
P


h'    h
p
PARITÀ INTRINSECA DEI FERMIONI
È un fenomeno puramente quantistico. Nella teoria di Dirac, vedremo che un
fermione senza struttura di spin ½ è descritto da una funzione d’onda 
dipendente dal quadrimpulso e dalla quadriposizione, che si può esprimere come
il prodotto di uno spinore a quattro componenti u(p) e di un esponenziale:



i(px Et)
ψ(p, E, x)  u( p, E)e
Per effetto dell’operatore di parità, la funzione d'onda  si trasforma nel modo
seguente:






i((  p)(  x)  Et)
i(px  Et)
Pψ (p, E, x)  Pau( p, E)e
 Pau( p, E)e
Nel sistema di riferimento in cui la particella è a riposo, la funzione (0,x) diventa
autofunzione dell’ operatore di parità. Il numero quantico associato è detto parità
intrinseca della particella:


ψ (0, m, x)  u( 0, m)e  imt



 imt
Pψ(0, m, x)  Pau( 0, m)e
 Pa ψ(0, m, x)
Si può dimostrare che delle due soluzioni dell’ equazione di Dirac che sono
associate rispettivamente al fermione e all’antifermione, una è associata
all’autovalore di parità +1 e l’altra all’autovalore -1.
Benchè sia arbitraria l’assegnazione della parità positiva al fermione e di quella
negativa all’antifermione, rimane tuttavia assoluto il fatto che essi hanno parità
opposta uno all’altro. Pertanto, prendendo il sistema formato da un fermione e da
un antifermione, se il loro momento angolare orbitale relativo è nullo, la parità di
tale sistema sarà negativa:
P(e+e-) = P(e+) P(e-) (-1)L = -1
Per convenzione assumiamo positiva la parità del fermione:
P( f ) = +1 P( f ) = -1
P( f f ) = -1
Nella categoria dei fermioni cadono ovviamente anche i quark e gli antiquark,
pertanto anche la parità di un sistema quark-antiquark è negativa se L=0:
P(q q ) = P(q) P(q) (-1)L = -1
PARITÀ INTRINSECA DEI MESONI
Un mesone è composto da un quark e un antiquark ( M= qq ). Dotati di momento
angolare relativo L. Pertanto la sua parità intrinseca è data da:
q
P( M ) = P( q q ) = P( q ) P( q ) (-1)L = (-1) (-1)L = (-1)L+1
L
Per i mesoni degli stati fondamentali L=0 e pertanto avremo:
P( M ) = -1
q
I mesoni a energia più bassa avranno L=0 e gli spin del quark e dell’antiquark
antiparalleli. Pertanto:
S=0
P = -1
JP = 0-
e sono detti mesoni pseudoscalari. Es.: 0, +, -, K0, K+, K0, K- ,0, 0’
Stati eccitati del sistema quark-antiquark avranno L=0 ma gli spin del quark e
dell’antiquark paralleli a dare spin S=1. Pertanto:
S=1
P = -1
JP = 1-
e sono detti mesoni vettori. Es.: 0, +, -, K*0, K*+, K*0, K*- ,0, 0
PARITÀ INTRINSECA DEI BARIONI
Un barione è composto da tre quark. Chiamiamo L12 il momento angolare della
coppia q1-q2 e L3 il momento angolare del terzo quark q3 rispetto al centro di
massa del sistema q1-q2. Pertanto la parità intrinseca del barione sarà data da:
P(B) = P(q1q2q3) = P(q1) P(q2) P(q3) (-1)L12 (-1)L3 = (+1) (-1)L12+L3 = (-1)L12+L3
q2
Per un barione nello stato fondamentale avremo:
L12
L12 = L3 = 0. Pertanto:
L3
P(B) = +1
q1
Questa parità è convenzionale, in quanto è convenzionale l’attribuzione della
parità positiva ai quark, ma non è convenzionale il fatto che l’antibarione
rispettivo ha parità opposta a quella del barione (come è per un fermione con
il suo antifermione). Pertanto porremo:
Pp = Pn = P = +1
q3
PARITÀ INTRINSECA DEL FOTONE
Possiamo dedurre la parità intrinseca del fotone dal fatto che il fotone è
rappresentato dal potenziale vettore A tale che:
  
B A
Il campo magnetico B è uno pseudovettore cioè ha parità positiva; infatti esso
può essere espresso come il seguente prodotto vettoriale tra vettori polari:

 
B  qv  r


 
P( B)  P(q v  r)  1
Da questo possiamo dedurre la parità di A (cioè se A sia un vettore polare o
assiale):
 




1  P( B)  P(   A)  P( )  P( A)  P( A)

 P( A)  1
La parità intrinseca del fotone è Pg = -1.
PARITÀ INTRINSECA DEI BOSONI
Dalla teoria dei campi consegue che un bosone e il suo antibosone hanno sempre
la stessa parità intrinseca.
P (bosone) = P(antibosone)
Le teorie di gauge ci dicono che tutti i bosoni di gauge (non soltanto il fotone)
hanno parità intrinseca negativa.
Pg = Pg = PW = PZ = -1
PARITÀ INTRINSECA DEL PIONE
Abbiamo detto che:
P()= (-1)L+1  P()= -1 per L=0
Ciò è dimostrato sperimentalmente dalla reazione di cattura del - nel deuterio:
(1) π   d  n  n
OSSERVATO
(2) π   d  n  n  π 0
NON OSSERVATO
Studiamo infatti la parità degli stati iniziale e finale delle due reazioni.
Stato iniziale:
P(π  d)  P(π  )  P(d)  ( 1) L
dove L  L(π  d)
(3)
Parità intrinseca del Pione : JP = 0?  J
=0
Parità intrinseca del Deuterio: JP = 1+  Jdeuterio = 1
e
e
P(-) = ?
P(d) = +1
Nel caso in cui: L(-d) = 0:
P(-d) = P(-) P(d) (-1)L = P(-)
(4)
Momento angolare totale J del sistema (-d):
J(-d) = Jdeuterio = 1 :
J(π - d)  L(π - d)  J deuterio  J π  J deuterio
per L(π - d)  0
Stato finale (1):
P(n 1 n 2 )  P(n 1 )  P(n 2 )  ( 1) Lfin  ( 1) Lfin
(5)
dove Lfin  L(n 1 n 2 )
In che stato relativo di moto si trovano i due neutroni, cioè quanto vale il
momento angolare orbitale relativo L? Sappiamo che essendo i neutroni due
fermioni identici, essi devono soddisfare la statistica di Fermi e cioè la loro
funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica per scambio del primo
neutrone con il secondo:
 (n1, n2) = -  (n2, n1)
dove:
 (n1, n2) = fspazio ( r1, r2 ) spin ( s1, s2 )
(Come vedremo dopo, ci sarebbe anche la parte di funzione d'onda di isospin,
ma questa è per forza simmetrica per scambio di due neutroni.)
Il comportamento della funzione d’onda spaziale per scambio di n1 con n2 è
equivalente a quello di una inversione di coordinate, in quanto:
fspazio( r1, r2 ) = fspazio( r1- r2 ) 
fspazio ( r2, r1 ) = fspazio( r2- r1) = (-1)Lfin fspazio( r1, r2 )
I due neutroni hanno spin 1/2. Pertanto la composizione della parte di spin ci darà
due possibilità:
1) tre stati di tripletto simmetrici a spin Sfin=1
2) uno stato di singoletto antisimmetrico a spin Sfin=0
Il comportamento di (s1, s2) per effetto dello scambio di n1 con n2 pertanto è:
(s1, s2)   (s2, s1) = (-1)Sfin+1 (s1, s2)
Globalmente avremo:
 (n1, n2)   (n2, n1)= (-1)Lfin fL( r1, r2 ) (-1)Sfin+1 (s1, s2) = (-1)Lfin+Sfin+1 
(n1,n2)
ma deve essere anche:
 (n1, n2)   (n2, n1)= -  (n1, n2)
 Lfin+Sfin+1 = dispari  Lfin+Sfin = pari
Ricordando che lo stato iniziale aveva momento angolare totale J(-d) =1 e che lo
stato finale deve avere lo stesso momento angolare totale dello stato iniziale,
vediamo quali combinazioni di Lfin ed Sfin sono accettabili:
Lfin=0 Sfin=0  Jfin = J(n1n2) = 0 NO per la conservazione del momento angolare
Lfin=0 Sfin=1  Jfin = 1
NO perchè L+S deve essere pari
Lfin=1 Sfin=0  JfinJ = 1
NO perchè L+S deve essere pari
Lfin=1 Sfin=1  Jfin = 2, 1, 0
SI perchè il valore J=1 è accessibile e L+S=2=pari
I neutroni sono in uno stato 2S+1LJ=3P1
Pertanto la parità dello stato finale n-n è (formula (5)):
Pn 1 n 2   P(n 1 )  P(n 2 )  ( 1) Lfin  ( 1) Lfin  ( 1)1  1
che deve essere uguale a quella dello stato iniziale (4) (l’interazione è forte):
P(-d) = P(-)
Pertanto la parità intrinseca del pione è negativa. Il suo spin è nullo. Il pione è
uno stato JP = 0- cioè è una particella pseudoscalare.
Isospin
Nel 1932 Heisenberg, sulla base del fatto che il neutrone e il protone hanno
approssimativamente la stessa massa (Mpn = 1.3 MeV rispetto a un valore di
938.272 e 939.565 MeV), suggeri che il neutrone e il protone potevano essere
trattati come differenti stati di carica della stessa particella, il nucleone. In
assenza di interazione e.m. essi avrebbero la stessa massa.
Il nuovo numero quantico associato è l’isospin, di valore I =½ e terza
componente I3=±½ (+1/2 per il protone e -1/2 per il neutrone).
Lo spazio dell’isospin è del tutto analogo a quello dello spin (SU(2) nella sua
rappresentazione più semplice) ed è quello spazio nel quale protone e neutrone
hanno orientazione della terza componente di isospin opposta. Una
trasformazione che trasforma un protone in un neutrone è una rotazione nello
spazio dell’isospin:
1
p   
 0
 0
n   
1
Se la fisica resta invariata per effetto della rotazione, allora i generatori del gruppo
sono quantità conservate e la trasformazione costituisce un gruppo di simmetria.
Gli operatori che introduciamo sono analoghi a quelli introdotti per lo spin:
I2
I1, I 2, I 3
e le rappresentazioni fondamentali nelllo spazio dell’isospin sono date dalle
matrici di Pauli (indicate qui con i anzichè i):
0 1
0  i
1 0 



τ1  
τ 2  
τ 3  
1 0
i 0 
 0  1
In questo formalismo, la carica dei nucleoni è data da:
Q
1
 I3 
e
2
Q
1

p   I3   p  p
e
2

Q
1

n   I3   n  0 n  0
e
2

Tutte le interazioni conservano la carica. Le interazioni forti non dipendono
dalla carica, cioè dalla terza componente dell'isospin, e conservano l' isospin. Le
interazioni e.m. dipendono dalla carica e possono violare l'isospin.
Tali operatori godono delle stesse proprietà di commutazione degli operatori di
spin:
[ i, j ] = i eijk k
Lo stato di protone e di neutrone sono autostati dell’ operatore I3 = ½ 3 associati
agli autovalori +1/2 e -1/2:
Ι3 p

Ι3 n

1
τ3 p
2
1
τ3 n
2


1  1 0  1 
1 1
1

  
  
p
2  0  1 0 
2 0
2
1  1 0  0 
1 0
1

        n
2  0  1 1 
2 1
2
e sono autostati dell’operatore I2 = ¼ 2 =¾ 12x2 entrambi associati
all’autovalore ¾ :
3
3  1 0  1  3  1  3
Ι p  1 22 p  
      p
4
4  0 1  0  4  0  4
2
Gli operatori I± = I1 + i I2 trasformano un protone in neutrone e viceversa:
0
Ι  n  
0
0
Ι  p  
1
1  0   1 
      p
0  1   0 
0  1   0 
      n
0  0   1 
Gli isospin di più particelle possono essere sommati esattamente con le stesse
regole di somma dei momenti angolari orbitali e di spin:
ITOT = I1 + I2
| I TOT | = | I1 - I2 |, | I1 - I2| +1, . . . , I1 + I2 -1, I1 + I2
ITOT, 3 = I1,3 + I2,3
ESEMPI DI MULTIPLETTI DI ISOSPIN
MESONI
+ | 1 1 


: I=1
0 | 1 0 
BARIONI
p |½½
N: I =½

- | 1 -1
K+ | ½ ½ 
K: I=½
K0 |
:I=0

+ | 1 1 
0 | 1 0 
- |
1 -1
|00
n | ½ -½ 
++ | 3/2 3/2 
+ | 3/2 1/2 
 : I =3/2
0 | 3/2 -1/2 
 |00
: I=1
:I=0
½ -½ 

++ | 3/2 -3/2 
:I=0
: I =1

 |00
+ | 1 1 
0 | 1 0 
- | 1 -1
ESEMPI DI MULTIPLETTI DI ISOSPIN
Se l’ isospin I=1 come nel caso del pione, o della  o della , la rappresentazione
del gruppo SU(2) non sarà più quella fondamentale con le matrici di Pauli (che
sono matrici 2x2) ma sarà quella aggiunta con le seguenti matrici:
 0 1 0

1 
I1 
1 0 1
2

0
1
0


0 - i 0 

1 
I2 
 i 0 - i
2

0
i
0


1 0 0 


I3   0 0 0 
 0 0 - 1


Le autofunzioni di I3 sono i tre stati visti prima:
 1 0 0  1   1 

   

I 3 π   0 0 0  0    0   π 
I 3 π0  0  π0
I 3 π   π
 0 0 - 1  0   0 

   
Avendo definito in analogia con lo spin: I± = I1 + i I2, dimostrate che:
I  π  π0
I  π0  π
I  π  π0
I  π0  π