TQuArs – a.a. 2010/11
Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale
Giuseppe A. Micheli
LEZIONE A.9
La standardizzazione
In questa lezione..
In questa lezione vedremo alcuni problemi legati a trasformazioni
lineari di una variabile statistica, e in particolare vedremo una
trasformazione molto utile – che chiameremo standardizzata - per
comparare v.s. con medie e varianze differenti.
In sequenza vedremo:
Cosa succede alla media e alla varianza di una v.s. trasformata
Come si può ‘normalizzare’ un indicatore
Come si può ‘normalizzare’ una varianza
Cos’è un carattere ‘trasferibile’
Come si può ‘standardizzare’ una variabile
Che limite si può dare alla frequenza di casi lontani dalla media
Trasformare una variabile:
stirare una molla
Supponete di avere in mano un
nastro a molla come questo.
Spostate il nastro verso destra. La collocazione sul piano di
ogni punto del nastro si sposta
sul piano in ugual misura: così
pure il baricentro. Ma la lunghezza del nastro non cambia. Anche
la distanza di ogni punto dal centro è insensibile alla traslazione.
Provate ora a stirare la molla.
La collocazione del ‘centro’ del
nastro si sposterà in proporzione.
Anche la distanza di ogni punto
dal centro crescerà: ma in che
misura?
Media e varianza di una v.s.
spostata o ‘stirata’
xi
ni
0
4
mX= 4
4
2
VX= 12,8
8
4
X= 3,58
6
10
wi
ni
0
4
La v.s. W ha identica distribuzione di
frequenza di X, ma è una trasformazione lineare di X, in cui è trasformata l'unità di misura: W=2X.
Si vede che:
4
2
0
0
mW= 8
6
8
2
VW= 51,2
4
16
4
W= 7,16
2
10
0
vi
ni
60
5
4
mV= 9
9
2
VV= 12,8
13 4
V= 3,58
10
M(w)=2M(x); V(w)=4V(x); w=2X
Anche la v.s. V ha identica distribuzione di frequenza di X, ma è una
trasformazione lineare di X, in cui è
effettuata una traslazione dell’origine: V=5+X. Si vede che:
M(v)=5+M(x); V(v)=V(x); V=X
4
Possiamo trarre una
regola generale?
2
0
0
Media aritmetica ‘operatore
lineare’
Per M(x) valgono queste proprietà:
Se Y = a + X  M(y)=a+M(x)
[traslazione dell'origine]
Se Y = b  X  M(y) = b  M(x)
[cambiamento di unità di misura]
Se Y=a+bX  M(y)=a+bM(x)
[trasformazione lineare completa]
Una trasformazione lineare di una variabile è perfettamente riflessa nella media aritmetica
della trasformata.
Si dice che la media aritmetica è un
operatore lineare.
Dimostrazione:
«M(y) = a + b  M(x)»
Sia Y = a + b  X
allora:
p
p
i 1
i 1
M ( y )   yi  f i   a  b  xi   f i 
p
p
i 1
i 1
  a  f i   b  xi  f i 
p
p
i 1
i 1
 a   f i  b   xi  f i 
 a 1  b  M ( x)  a  b  M ( x)
Varianza insensibile alla
traslazione ma..
Anche la varianza è un operatore
lineare, ma con qualche differenza
di comportamento:
Se Y = a + X  V(y) = V(x)
[traslazione dell'origine]
Se Y = b  X  V(y) = b²  V(x)
[cambiamento di unità di misura]
Se Y=a+bX  V(y) = b²  V(x)
[trasformazione lineare completa]
La varianza di una (qualunque)
trasformata lineare è insensibile
alla traslazione dell'origine e risente in misura quadratica di un
cambiamento di unità di misura.
«V(y) = b²  V(x) »
Sia Y = a + b  X
k
allora
V ( y )    yi  M ( y )  f i 
2
i 1
k
  a  b  xi  a  b  M ( x )   f i 
2
i 1
k
  b  xi  b  M ( x )  f i 
2
i 1
k
  b   xi  M ( x )   f i 
2
i 1
k
  b2  xi  M ( x )  f i 
2
i 1
k
 b   xi  M ( x )  f i  b2  V ( x )
2
i 1
2
Normalizzare un indicatore
La normalizzazione (o standardizzazione) di una misura è una
procedura con due significati diversi tra loro connessi.
Nel primo significato, un indicatore è normalizzato se è "ricondotto
a norma", sterilizzando l'effetto di alcuni fattori di disturbo.
Per esempio, abbiamo visto come la varianza è una misura di variabilità
influenzata dall'ordine di grandezza del fenomeno osservato.
Un primo, grezzo modo per ‘normalizzare’ la varianza consiste quindi
nello sterilizzare l'unità di misura del fenomeno, definendo una quantità
adimensionale (o numero puro) detta coefficiente di variazione:
cv =  / m
Tra poco vedremo una procedura più drastica di riconduzione a norma,
applicata all'intera variabile statistica.
Coefficiente di variazione: un
esempio
Dalla Survey Lombarda stimiamo che la deviazione standard dei redditi
familiari a Milano è XMIL=1,85. Nei piccoli comuni la stessa misura è XPIC
=1,28, assai minore.
Possiamo davvero dedurne che c’è meno dispersione di redditi in
provincia che non nella grande città?
Non posso dirlo con certezza, perché la deviazione standard sale con
l’ordine di grandezza del carattere studiato. Sappiamo infatti che:
Se Y=a+bX  V(y)=b²V(x) e quindi
Y= (b²V(x))=b. X
E il reddito medio è più alto a Milano (mxMI=3,3438) che fuori
(mxPIC=2,8025).
Posso allora confrontare le deviazioni standard se le depuro dell’effetto
dell’ordine di grandezza. Trovo così che:
CVxMI = 1,85/3,3438 = 0,553 > CVxPIC = 1,28/2,8025 = 0,457
E’ quindi confermata la maggiore dispersione dei redditi a Milano.
Coefficiente di variazione: due
altri esempi
Un esempio macro. Tra USA e Italia il reddito medio (non ponderato con
le rispettive popolazioni) è 22135 $, la deviazione standard è 1185. Tra
Egitto e Etiopia il reddito medio è 370 $, la deviazione standard è 250. La
misura di dispersione tra i due paesi occidentali è quasi 5 volte superiore:
possiamo dire che tra di loro la variabilità dei redditi nazionali è
nettamente superiore a quella riscontrata tra i PVS?
In realtà è vero proprio il contrario! Infatti CVxPSA=1185/22135=0,053 che
è addirittura 13 volte inferiore a CVxPVS=250/370=0,676.
Un esempio micro. Gli stipendi di tre anziani amici erano di 1000, 1500
e 2000 lire nel 1950, e le loro pensioni nel 2000 erano di 2,0 2,5 e 3,0
milioni di lire. La variabilità tra i loro redditi era aumentata o diminuita?
Al 1950 le misure erano: mx1950=1500 x1950=408,25
CVx1950=0,272
Al 2000 le misure erano: mx2000=2500000, x2000=408250, CVx2000=0,163
Morale: gli stipendi sono incredibilmente cresciuti, ma alla fine le distanze
tra le pensioni sono dimezzate!
Normalizzare un indicatore tra
zero e uno
C’è un secondo modo per intendere il concetto di normalizzazione.
Un indice è normalizzato se è compreso tra un minimo e un
massimo convenzionale, di facile percezione. Per esempio
0I1
Questo rende possibili i confronti.
Se per un indice I si individuano un minimo e un massimo (IminIImax),
l’indice è sempre trasformabile nel suo equivalente normalizzato
I*= I-Imin/Imax-Imin
0  I*  1
Esempio: Pippo si è diplomato al Liceo nel ‘94 con I1=40/60, suo fratello
Pippetto pochi anni dopo con I2=65/100. Come confrontare i due risultati?
I*1=I1-Imin/Imax-Imin=40-36/60-36=0,167;
I*2=65-60/100-60=0,125
Han fatto schifo tutti e due, ma Pippetto (anche se 65>40) ha fatto peggio!
Normalizzare la varianza
È normalizzabile la varianza?
Mica tanto. Infatti è vero che cresce con l’ordine di grandezza (quindi in
funzione di M(x), ma non è possibile definirne un massimo, salvo
che si faccia una ipotesi (talora realistica, talora no) sul fenomeno
studiato e si adotti un criterio particolare. Il criterio è:
“Confrontare una v.s. osservata esclusivamente con quelle altre
v.s. che abbiano la stessa intensità totale T=xi ni”.
0
x1 x2 .. xi .. xk
X=
T=xi ni
X=
n1 n2 .. ni .. nk
T=xi ni e
m=T/N
N-1
T=xi ni e
1
m=T/N
La distribuzione comparabile Xmax a massima varianza è quella in
cui (N-1) osservazioni hanno valore x=0, l’ultima ha valore xN=T
Distribuzione massimante
Esempio: un distretto industriale è composto di tre soli paesi, uno di 10 (mila)
abitanti, uno di 20 (mila), uno di 60 (mila). La popolazione media è m=30, la
varianza è 2=466,7, lo sd è =21,6. Come normalizzare 2 e ?
Calcoliamo m e  per alcune varianti di X con popolazione totale costante.
X = {15, 15, 60}
T=90
m=30
2=450
=21,21
X = {5, 5, 80}
T=90
m=30
2=1250
=35,35
Xmax = {0, 0, 90}
T=90
m=30
2=1800
=42,43
Nessuna distribuzione – a parità di T – ha varianza maggiore di Xmax.
Chiamiamo Xmax “distribuzione massimante”.
Il rapporto tra la varianza della v.s. osservata e quella della corrispondente distribuzione massimante è una misura di Varianza
normalizzata:
0  V* = V/Vmax  1
Nell’esempio V* = 466,7/1800=0,259
e
0  * =  / 
e
max
1
* = 21,6/42,43=0,509 = V*.
Varianza della distribuzione
massimante
Nell’esempio svolto c’è un particolare curioso. La varianza della
distribuzione
massimante
è
2=1800 = 2 x 900 = (N-1) x m2.
E’ un caso? No, è un risultato
generale che possiamo anche
dimostrare:
2
max
= (N-1)
max = (N-1)
x
x
m2
m
Ora possiamo normalizzare :
2 = /max = /((N-1)xm)=
= (/m)/(N-1)=CV/(N-1)
Ma allora il CV non era poi così male..
0
Xmax
T=xi ni
Distribuzione massimante
N-1
1
m= [0x(N-1)]+[Tx1]/N=T/N
m2=[02x(N-1)]+[T2x1]/N=T2/N
V ( X *)  m2 ( x*)  m1 ( x*) 
2
T2 T 
N T 2  T 2

  

2
N N 
N
T 2  N  1 N 2  mx2*  N  1



2
2
N
N
 mx2*  N  1
2
Quando la distribuzione
massimante ha senso
Ricapitoliamo. Il massimo della varianza per caratteri trasferibili è quello
che si ottiene simulando la distribuzione di massima variabilità o
massimante: quella in cui (N–1) unità hanno intensità 0 del carattere e
solo l'ultima unità (N–esima) concentra su di sé l'intensità totale T.
Per distribuzioni a pari Intensità totale T si trova che: 0x(N–1)mx
E si può quindi calcolare la deviazione standard normalizzata:
0  * 


cv


1
 max mx  N  1
N 1
Naturalmente la normalizzazione della varianza ha senso quando ha senso
ancorarsi alla Intensità totale T come ‘funzione obiettivo’, e immaginare di
‘trasferire’ parti dell’intensità totale T da una unità di osservazione
all’altra. Ha senso, insomma, per caratteri trasferibili.
Trasferibile è ogni carattere quantitativo non negativo per cui
abbia senso variare la distribuzione di frequenza osservata conservando comunque immutata T.
Quali caratteri sono
trasferibili
Quali caratteri sono trasferibili? Per
quali caratteri l’intensità totale ha
un senso? Per esempio:
Quali caratteri non sono trasferibili?
Per quali caratteri l’intensità totale
non ha senso? Per esempio:
Redditi pro capite (PIL)
Stature dei coscritti alla visita di
leva
Popolazione per province (Popolazione di una regione/nazione)
Q.I. di una classe
Tempo a disposizione per Banca
del tempo (‘capitale’ della Banca)
Numero di denti cariati rilevati ad
un ambulatorio
Ore di lezione per docente (monte
ore di didattica)
Struttura
per
età
popolazione di immigrati
Metri cubi di acqua erogata a ogni
abitante (totale acqua erogata)..
Distribuzione dei voti a un test di
ammissione..
di
una
Ma attenzione: anche se normalizzare la varianza vale in senso stretto solo
per caratteri trasferibili, la si usa più in generale (almeno per caratteri non
negativi). E’ infatti troppo comoda per comparare!
Distribuzione massimante
vincolata
Certo che la distribuzione massimante – ipotizzando che N-1 unità siano
ridotte a zero e l’ultima ‘arraffi tutto il piatto’ – non è molto realistica! Noi
ce la teniamo stretta perché la sua varianza è davvero semplice.
Ma potremmo cercare una più realistica
L
distribuzione massimante ‘vincolata’, in cui cioè
l
le modalità si polarizzano tra le due modalità X "  
minima (l) e massima (L) effettivamente
nl nL  N  nl
osservate: l  xi  L.
l  nl  L  n L
m

In questo caso, per mantenere il vincolo della costanza di T,
x"
N
si ricavano le frequenze della distribuzione massimante e Var(X”) diviene
Var(X") = (L – mx")
x
(mx" – l)
Se poi l = 0 e L = N  m = T si ritorna a:
Var( X " )  N  mx"  mx "   mx "  0  N  mx "  mx "   mx "  N  1  m 2
x"
‘Ricondurre a norma’ una
variabile
Fin qui abbiamo imparato a ‘normalizzare’ un singolo indicatore di sintesi
di una v.s., come la varianza. Ma possiamo ora radicalizzare l’operazione.
Una v.s. è "standardizzata" se è stata "ricondotta a norma", sterilizzando l'influenza di due fattori di disturbo: l'ordine di grandezza e l'unità di misura/dispersione. Per esempio, due distribuzioni
di frequenza f(x) e f(y), apparentemente diverse, possono rivelarsi simili
una volta che si prescinda dall'ordine di grandezza e dall'unità di misura.
La standardizzazione è dunque un'operazione che consente la comparazione della forma di diverse distribuzioni di frequenza, prescindendo
da ordine di grandezza e dispersione. Sappiamo che la media misura
l’ordine di grandezza di una v.s. quantitativa, e che la deviazione standard X misura l’unità standard di dispersione intorno alla media.
Chiamiamo standardizzazione di
una v.s. X l'affiancamento alla
sua legge di distribuzione di una
trasformata Z:
 xi
X 
n i

x  mx

 zi  i
Z 
x

ni

Una trasformata molto dotata
Si dimostra che, qualunque sia la v.s. X, la sua standardizzata Z =
(X – mx) / x ha sempre media nulla e varianza unitaria.
«mz=0». Sia z i 
q
xi  m x
x
q
m z  E ( Z )   zi  f i  
i 1

1
x
allora:
xi  m x
i 1
x
q
   xi  m x   f i 
i 1
q
q


   xi  f i   m x  f i  
 x  i 1
i 1

1

 m x  m x   0
1
x
 fi 
«Varz=1». Sia z i 
q
xi  m x
x
q
allora:
Vz   zi  m z   f i   zi  f i 
2
2
i 1
i 1
2
 xi  m x 
  f i 
  
x 
i 1 
q
1
2
 2    xi  m x   f i 
q
x
i 1
 x2
 2 1
x
[  z  1]
Come standardizzare una
variabile
xi
fi
xi fi
xi2 fi
zi =(xi–mx)/X
fi
zi fi
zi2 fi
x1
f1
x1 f1
x12 f1
z1=(x1–mx)/X
f1
z1 f1
z12 f1
x2
f2
x2 f2
x22 f2
z2=(x2–mx)/X
f2
z2 f2
z22 f2
x3
f3
x3 f3
x32 f3
z =(x3–mx)/X
f3
z3 f3
z32 f3
x4
f4
x4 f4
x42 f4
z4=(x4–mx)/X
f4
z4 f4
z42 f4
x5
f5
x5 f5
x52 f5
z5=(x5–mx)/X
f5
z5 f5
z52 f5
1
mX
m2X
1
0!!
1!!
Standardizzare una variabile è operazione semplice. Basta sostituire alle modalità xi le corrispondenti modalità trasformate zi =(xi–mx)/X.
Ad esse si affiancano le stesse numerosità (e
frequenze) che non vengono toccate.
Potete verificare che m(x) è nulla, e che V(X),
calcolata come (zi2-0)fi=zi2fi, è proprio 1.
Attenti! Se la
v.s. è per classi
le frequenze non
cambiano, ma le
densità di
frequenza sì.
Perché?
Una verifica
xi
ni
0
4
mX= 4
4
2
VX= 12,8
8
4
6
X= 3,58
10
4
2
xi
ni
zi=(xi - mX )/ X
0
4
(0-4)/3,58=-1,1173
4
2
(4-4)/3,58=0
8
4
(8-4)/3,58=+1,1173
0
wi
ni
0
4
mW= 8
8
2
VW= 51,2
4
4
16
4
W= 7,16
2
2
10
0
0
vi
ni
60
5
4
mV= 9
9
2
VV= 12,8
13 4
V= 3,58
10
zi2 .fi
-0,447
0,5
0
0
0,447
0,5
0!!
0
6
zi.fi
1!!
6
-1,1173
0
1,1173
La nuova v.s. ‘standardizzata’ Z è
ora ‘centrata’ sul baricentro Z=0, e
ha media nulla e varianza (e sd)
unitaria: M(z)=0; V(z)=Z=1
4
2
0
0
Normalizzare ,
standardizzare X
Normalizzare un indicatore sintetico di una v.s. (per es. calcolando E* o
CV) permette di confrontare tra loro popolazioni eterogenee nel complesso.
Standardizzare una v.s. invece consente di confrontare la posizione di
distinte unità all’interno di due o più variabili (caratteri) distinti. Consente
di rispondere a esigenze di confronto e a esigenze di associazione:
Confronto: Tizio ha avuto 50/60 al test intermedio, 52/60 al test
finale. Quando è andato meglio, tenuto conto dell’esito di tutti gli
esaminati nel complesso?
Associazione: alcuni hanno performances basse ai test. Avrà qualcosa
a che fare con il loro basso tasso di tiroidina nel sangue?
Nel primo caso l’obiettivo è micro: il bersaglio da valutare è la singola
unità di analisi.
Nel secondo caso invece lo scopo è, sì, spiegare la defaillance di Caio
(obiettivo micro), ma così facendo si punta ad associare due variabili tra
loro: performance e capacità fisica di concentrazione (obiettivo macro).
Un esempio
Popolazione (x000) per età–Piemonte,1979
età
xi
ni
xi n i
xi2
0-6
3
322
966
9
6-14
10
507
5070
100
14-21
17,5
477
8347
306
21-25
23
218
5014
529
25-45
35
1282
44870
1225
45-65
55
1087
59785
3025
>65
75
703
52725
5625
4596
176777
Popolazione (x000) per età - Campania
xi2 ni
età
Com
ple
tate
voi i
cal
coli
di
que
sta
co
lon
na
0-6
6-14
DOMANDA: In Piemonte l’età media è
mP=38,5 e P=22,5. In Campania mP=32
e P=22. E‘ più giovane un 25enne
piemontese o un 20enne campano?
xi
ni
xi n i
3
603
1809
9
10
827
8270
100
14-21 17,5
808
14140
306
21-25 23
351
8073
529
25-45 35
1366
47810
1225
45-65 55
1038
57090
3025
>65
531
39825
5625
5524
177017
75
xi2
xi2 ni
Com
ple
tate
voi i
cal
coli
di
que
sta
co
lon
na
Se xP=25 zP=(25-38,5)/22,5=-0,60
Se xC=20 zC=(20-32)/22= -0,55
Il 25enne P ha età ‘relativamente’ minore
Un secondo esempio
xi
niMI
ziMI
0,4
4
-1,591
1,0
1
-1,267
1,4
7
-1,051
1,8
10
-0,834
2,2
9
-0,618
2,6
23
-0,402
3,0
11
-0,186
3,4
15
0,030
3,8
8
0,246
4,2
6
0,463
4,6
3
0,679
5,0
3
0,895
5,6
3
1,220
7,0
8
1,976
10,0
3
3,598
114
mxMI=3,3438
mxPIC=2,8025
xMI=1,85
xPIC=1,28
Esempio: Mario Rossi, abitante a
Milano, ha 12(mila) euro di entrate
mensili, Paolo Verdi, di Misinto, ha
solo 9(mila) euro. Chi è più ricco,
nel proprio contesto?
Se xiMI=12 ziMI=(12-3,344)/1,85=4,68
Se xiPI =9  ziPI=(9-2,802)/1,28=4,84
Dunque, benché Mario Rossi abbia
entrate del 33% superiori a quelle di
Paolo Verdi, quest’ultimo possiede
un reddito ‘standardizzato’ maggiore, se depurato dell’ordine di grandezza e della dispersione del proprio
sottogruppo.
xi
niPIC
ziPIC
0,4
7
-1,877
1,0
9
-1,408
1,4
55
-1,096
1,8
103
-0,783
2,2
88
-0,471
2,6
123
-0,158
3,0
68
0,154
3,4
50
0,467
3,8
30
0,779
4,2
41
1,092
4,6
15
1,404
5,0
11
1,717
5,6
12
2,185
7,0
13
3,279
3
5,623
10,0
628
Quanto possono pesare le
code di una v.s.?
Torniamo alla distribuzione dei
redditi dei piccoli comuni della
provincia di Milano (cap. 3).
Solo il 4,4% delle famiglie intervistate (28 su 628) oltrepassa una soglia di ricchezza
che possiamo situare a m+2
[2,8+(2x1,28)=5,36].
Ma potremmo pensare a una
distribuzione con un peso
molto maggiore sulle code,
cioè oltre le colonne d’Ercole di
m+2 o m+3 ?
Supponiamo di omaggiare 50
delle 123 famiglie con reddito
2,4-2,8, dando loro 7,4(mila)
euro in più. Ora esse entrano
nell’ultima classe. Sopra i 5,36
euro troviamo ora 28+50=78
famiglie, cioè il 12,4%. Ma…
In realtà lo spostamento sulle code è
solo apparente: infatti la nuova distribuzione (potete calcolarla) ha media
m=3,4 (più alta) e =2,33 (quasi il
doppio), così che ora le colonne d’Ercole si spostano a 8,06. Infatti:
55
50
45
40
m+2=3,4+(2x2,33)=8,06
35
Ora sopra la
soglia
stanno
so-lo
in
53,
l’8,4%!
30
25
20
15
Blu = Prima
10
Rosso=Dopo
5
0
0
1
2
3
4
m+2 prima
5
6
7
8
9
10
11
12
m+2 dopo
13
11
(m±k) come ‘colonne
d’Ercole’
Al crescere della dispersione intorno alla media, cresce anche la varianza:
più di tanto quindi non aumenta il peso delle osservazioni che si situano
al di fuori di una sorta di ‘colonne d’Ercole’ che delimitano la regione
compresa tra (m-2) e (m+2), oppure tra (m-3) e (m+3) o anche più.
Ma quanto possono pesare (come frequenza) le osservazioni che
cadono al di fuori delle colonne? E’ una domanda importante, perché
fuori di queste colonne sta la regione dei casi anomali (chiamiamola
regione di rifiuto), e perché – se dobbiamo fare una indagine su una
popolazione e consideriamo un range definito mediante m e  – abbiamo
comunque interesse a inglobare una % la più consistente possibile..
Sarebbe bello avere la certezza che al di fuori
di una certa soglia la frequenza dei casi osservati non superi un tetto, ovvero, se ci suona
meglio, che entro una regione data intorno a
m(x) stia almeno una certa % minima di casi…
m-k
m
m+k
Il teorema di Cebicev
Se di una v.s. conosciamo solo m e  e
non l’intera distribuzione non possiamo certo definire la frequenza di casi
osservati in un certo intervallo centrato sulla media, Freq(m-k<X<m+k):
Freq (|X-m|<k)= ?
Né posso sapere qual è la frequenza di
osservare casi al di fuori dello stesso
intervallo, Freq (|X-m|>k). Ma una
informazione minimale ci viene dal
teorema di Cebicev:
Freq (|X-m|<k)= 1–(1/k2)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
k
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Data una v.s. X di cui conosciamo m e , qualunque sia la forma
della distribuzione, la frequenza di osservare unità comprese in un
intorno della media di ampiezza pari a 2k non può essere
inferiore a 1-(1/k2)
Per es. entro ±2 sta almeno il 75% dei casi
(fuori delle colonne non più del 25%).
Entro ±4,5 sta almeno il 95% dei casi (e fuori
non più del 5% dei casi). Eccetera…
1
f  X  m  k   1  2
k