Riemann vs Lebesgue
Se potessimo disporre sott’acqua (al centro di ogni piano della torre) di
un oscilloscopio da 50k€, di potenza illimitata, di banda infinita, di ampi
spazi … , allora tutto quel che segue sarebbe perfettamente inutile.
M. Bonori
NEMO Technical Board
Roma 16-dicembre-2009
1
Riemann vs Lebesgue
Cosa si è fatto
(Integrazione alla Riemann)
M. Bonori
NEMO Technical Board
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2
Riemann vs Lebesgue
I PMT sono rivelatori “quantistici” ed i segnali da essi forniti sono
descrivibili con grandezze statistiche (distribuzioni di ampiezza,
larghezza, forma...)
PMT pulse
1.1
PMT pulse
1
Impulso “tipico” da singolo fotone
0.9
norm. val.
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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3
Riemann vs Lebesgue
PMT Iout
Iout PMT (norm)
Iout PMT (smpld)
Iout (PMT)
1
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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4
Riemann vs Lebesgue
Filtered Iout
Vout Filter (norm)
Iout PMT (norm)
Iout (PMT)
Vout (Filter)
1
0.5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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5
Riemann vs Lebesgue
Filtered Iout
Vout Filter (norm)
Vout Filter (smpld)
Iout PMT (norm)
Iout PMT (smpld)
Iout (PMT)
Vout (Filter)
1
0.5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
time [ns]
M. Bonori
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6
Riemann vs Lebesgue
Segnale acquisito con la FEM attuale
Fitted filtered PMT pulse
Vout conv. A/D
0.06
0.04
0.02
0
 0.02
0
4.6310
8
9.25910
8
7
1.38910
1.85210
7
2.31510
7
time [s]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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7
Riemann vs Lebesgue
Riemann sampling
Dai campioni alle aree
PMT pulse
1.1
PMT pulse
1
0.9
norm. val.
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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8
Riemann vs Lebesgue
Riemann integral
Dai campioni alle aree
Filtered Iout
Vout Filter (norm)
Vout (Filter)
1
0.5
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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9
Riemann vs Lebesgue
Sequenza “random” di segnali simulati
PMT mult. pe
5
norm. val.
4
3
2
1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
n*tc [s]
M. Bonori
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10
Riemann vs Lebesgue
Sequenza “random” di segnali simulati e filtrati
PMT mult. pe ; Filtered PMT mult. pe
5
Filt. PMT
Unfil. PMT
norm. val.
4
3
2
1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
n*tc [s]
M. Bonori
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11
Riemann vs Lebesgue
Sequenza “random” di segnali simulati filtrati e campionati
Filtered PMT mult. pe ; 5ns sampled
5
norm. val.
4
3
2
1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
n*tc [s]
M. Bonori
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12
Riemann vs Lebesgue
“A Midsummer Night's Dream ” of a Physicist’s
norm. val.
PMT mult. pe
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
n*tc [s]
M. Bonori
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13
Riemann vs Lebesgue
Riemann integral
Dai campioni (ogni tc) alle aree
PMT pulse
1.1
PMT pulse
1
0.9
norm. val.
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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14
Riemann vs Lebesgue
Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata
dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento
M. Bonori
NEMO Technical Board
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15
Riemann vs Lebesgue
Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata
dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento
M. Bonori
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16
Riemann vs Lebesgue
Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata
dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento
M. Bonori
NEMO Technical Board
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17
Riemann vs Lebesgue
Cosa si tenta di fare
(Integrazione alla Lebesgue)
M. Bonori
NEMO Technical Board
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18
Riemann vs Lebesgue
Lebesgue sampling
PMT pulse
1.1
PMT pulse
1
0.9
norm. val.
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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19
Riemann vs Lebesgue
Lebesgue integral
PMT pulse
1.1
PMT pulse
1
0.9
norm. val.
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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20
Riemann vs Lebesgue
Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe)
norm. val.
100
50
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time n[s]
M. Bonori
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21
Riemann vs Lebesgue
norm. val.
Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe) Lebesgue integral
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
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22
Riemann vs Lebesgue
Non linear Lebesgue integral
norm. val.
Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe) Lebesgue integral
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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23
Riemann vs Lebesgue
PMT pulse
1.1
1
0.9
norm. val.
0.8
0.7
0.6
1.32ns
3.96ns
8.00ns
0.5
0.4
1 pe
100 pe
0.3 pe
thr. 0.3 pe
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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24
Riemann vs Lebesgue
Cosa si propone
di fare
(Integrazione alla Riemann
a finestra mobile)
Running Window Integration
M. Bonori
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25
Riemann vs Lebesgue
Anziché acquisire il valore del campione si acquisisce il valore dell’area
sottesa dalla curva e delimitata da due campioni successivi e questo
valore si aggiorna istante per istante (tempo continuo).
Pulse; ...integrals...
1
pulse shape
run. wnd. cont. int.
0.9
0.8
norm. val.
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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26
Riemann vs Lebesgue
Windowed Running Integration
Pulse; ...integrals...
1
pulse shape
run. wnd. cont. int.
0.9
0.8
norm. val.
0.7
0.6
0.5
Pulse; ...integrals...
0.4
1
0.3
pulse shape
run. wnd. cont. int.
0.9
0.2
0.8
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
norm. val.
0.7
0
9
10
0.6
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
24
1
0.4
pulse shape
run. wnd. cont. int.
0.9
0.3
0.8
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
norm. val.
0.7
0.1
0
23
Pulse; ...integrals...
time [ns]
0.5
22
0.6
11 0.512
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.4 [ns]
time
0.3
0.2
0.1
0
0
1
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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27
24
Riemann vs Lebesgue
La larghezza dell’RWI, praticamente, coincide con quella del segnale
Pulse; ...integrals...
1
pulse shape
run. wnd. cont. int.
0.9
0.8
norm. val.
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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28
Riemann vs Lebesgue
Confronto tra il segnale e i due metodi di filtraggio (RWI e tradizionale)
Filtered Iout
Vout Filter (norm)
Iout PMT (norm)
Vout Wnd Int (norm)
Iout (PMT)
Vout (Filter)
1
0.5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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29
Riemann vs Lebesgue
Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta
M. Bonori
NEMO Technical Board
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30
Riemann vs Lebesgue
Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta
M. Bonori
NEMO Technical Board
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31
Riemann vs Lebesgue
Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta
M. Bonori
NEMO Technical Board
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32
Riemann vs Lebesgue
Ulteriori notevoli proprietà del metodo RWI
La somma dei campioni, dal primo all’ultimo diversi
da zero, è invariante rispetto alla loro posizione
relativa all’uscita dell’integratore.
I campioni, dal primo diverso da zero all’ultimo prima
del massimo, forniscono un eccellente “nonio” per
stimare il tempo (assoluto) d’inizio dell’impulso in
uscita dal PMT.
M. Bonori
NEMO Technical Board
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33
Riemann vs Lebesgue
Segnale random originale e corrispondente segnale RWI
PMT mult. pe
5
5
norm. val.
Iout PMT
Vout Wnd Int
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
n*tc [s]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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34
Riemann vs Lebesgue
Particolare, espanso, dei due segnali
PMT mult. pe
5
5
norm. val.
Iout PMT
Vout Wnd Int
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n*tc [s]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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35
Riemann vs Lebesgue
I due segnali normalizzati alle stesse ampiezze
(tranne il ritardo, per costruzione, di un tc, i due segnali coincidono)
PMT mult. pe
5
5
norm. val.
Iout PMT
Vout Wnd Int
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
n*tc [s]
M. Bonori
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36
Riemann vs Lebesgue
Somma e differenza dei campioni RWI
(con semplici operazioni è possibile estrarre le informazioni di interesse)
RWI Iout ; Sum RWI ; Sub RWI
30
RWI Iout
Sum RWI
Sub RWI
25
2
Rel. Val.
20
15
0
10
2
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100105110115120
n*tc [s]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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37
Riemann vs Lebesgue
Che significa eseguire, su di una funzione un
“integrale a finestra (rettangolare) mobile ?”
M. Bonori
NEMO Technical Board
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38
Riemann vs Lebesgue
La forma generale è la seguente :
frwi ( t)




f (  )  g ( t   ) d

se la finestra d’integrazione
è rettangolare :
g ( t)
 ( t)   ( t  ti)
Integration Window
g(t) [dimensionless]
1.5
l’integrale assume la forma
particolarmente semplice :
1
0.5
0
1
0
1
2
3
frwi ( t)
t ti
f (  ) d
t
n*tc
M. Bonori



NEMO Technical Board
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39
Riemann vs Lebesgue
Come si realizza questo integrale ?



frwi ( t)
t ti
f (  ) d
t
Lo si può discretizzare pensando
di ritardare con “n” linee di
ritardo il segnale, ognuna lunga
tc/n, e sommare tutte le uscite :
M. Bonori
NEMO Technical Board
frwi ( m)
 (f (n) g(m  n))
n
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40
Riemann vs Lebesgue
+
Realizzazione di principio con 10 linee di ritardo in serie
ognuna lunga Tc/10
+
La realizzazione appare fattibile ma complessa
M. Bonori
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41
Riemann vs Lebesgue
Realizzazione di principio con 10 linee di ritardo in parallelo
ognuna lunga i*Tc/10 (con i = 1,2,…,10)
-
+
+
Realizzazione ancora più complessa
M. Bonori
NEMO Technical Board
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42
Riemann vs Lebesgue
Tornando al tempo continuo, si
può osservare come la finestra
d’integrazione rettangolare :
 ( t)   ( t  ti)
abbia un interessante corrispettivo
(trasf . di Laplace) nel dominio della
frequenza complessa (s = j ω) :
Integration Window
1.5
g(t) [dimensionless]
g ( t)
1
L [g(t)] =
0.5
1  e s  ti
s
0
1
0
1
2
3
n*tc
M. Bonori
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43
Riemann vs Lebesgue
La funzione (di trasferimento) G(s) è il prodotto
tra un integratore ideale ed un “produttore
infinito di zeri” :
Ii ( s)
 s  ti

Piz ( s )  1  e
1
s  ti
 s  ti
1e
G ( s)
G ( s)
s  ti
Ii ( s )  Piz ( s)
10
0
dB
 10
 20
 30
 40
20log[|Ii(f)|]
20log[|Piz(f)|]
 50
110
7
110
8
110
9
110
10
f [Hz]
M. Bonori
NEMO Technical Board
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44
Riemann vs Lebesgue
Dopo qualche ….. riflessione ….. si è giunti al circuito seguente :
+
+
-
V
+
La cui funzione di trasferimento
è esattamente quella cercata :
M. Bonori
NEMO Technical Board
G ( s)
1  e s  ti
s  ti
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45
Riemann vs Lebesgue
Paragone tra il segnale, il suo integrale continuo, il RWI e la somma
discreta (con n linee di ritardo)
Pulse; ...integrals...
1
pulse shape
run. wnd. discr. int.
continous. int.
run. wnd. cont. int.
0.9
0.8
norm. val.
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
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19
20
21
22
23
24
time [ns]
M. Bonori
NEMO Technical Board
Roma 16-dicembre-2009
46
Riemann vs Lebesgue
Simul. TINA-8
Il circuito (di principio)
mostrato è stato simulato
nella sua forma definitiva
considerando i modelli dei
componenti reali.
Ideal RWI
0
 20
dB
Simulazione con tutti
componenti reali
tranne l’amplificatore
che è il componente
più critico (forse si
potrà togliere).
Funz. di Trasf. teorica
 10
 30
 40
 50
7
110
110
8
110
9
10
110
f [Hz]
M. Bonori
NEMO Technical Board
Roma 16-dicembre-2009
47
Riemann vs Lebesgue
Conclusioni
Il metodo RWI consente :
la misura “teorica” della carica dei segnali,
un’ottima misura dei tempi di arrivo (err. < 1ns),
una dinamica aumentata rispetto alla soluzione precedente,
la disambiguazione dei segnali ai limiti delle caratteristiche del PMT,
la trattazione estremamente semplificata dei dati a terra (oper. algebr.),
probabilmente una circuiteria estremamente semplice,
un consumo identico all’attuale (già molto basso),
un costo trascurabile.
In definitiva il RWI estrae al meglio, dal PMT, tutte le caratteristiche
necessarie, a chi si occupa di trigger, per la ricostruzione degli eventi.
Il metodo è intrinsecamente generale e permette di essere associato a
qualsiasi PMT presente e futuro.
M. Bonori
NEMO Technical Board
Roma 16-dicembre-2009
48