La dimensione storica delle idee matematiche
LE CURVE PARABOLICHE NELLA RISOLUZIONE DI
UN PROBLEMA CLASSICO DELL’ANTICHITA’
LA
DUPLICAZIONE DEL CUBO
U.D. Matematica
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Premessa
Struttura dell’unità didattica
Destinatari
Def. dei pre-requisiti
Eventuale recupero
Test pre-req.
Obiettivi specifici
Obiettivi generali
Metodi
Strumenti
Tempi
Contenuti
Criteri di
valutazione
(c.di classe)
Formative
Verifiche
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Sommative
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LA DUPLICAZIONE DEL CUBO
Destinatari:
classe 2^
Prerequisiti:
1
Sistemi di equazioni
2
Concetti generali sulle coniche
3
L’ambiente “Derive”
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OBIETTIVI GENERALI
1. Inserire il “fatto” matematico nel contesto storico
2. (Ri)scoprire l’attualità di metodi semplici
3. Valorizzare i percorsi problematici della conoscenza
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OBIETTIVI SPECIFICI
1. Analisi intuitiva del tema (induzione)
2. Conoscenza, comprensione, e analisi teorica
del tema
(sapere)
3. Costruzione geometrico/algebrica delle curve risolutrici con
metodi tradizionali e con software dedicato (es. Derive)
(saper fare)
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METODI
1. Brevi comunicazioni “frontali” per l’introduzione del
tema e l’esposizione dei livelli di prestazione richiesti
2. Lettura di testi che trattano “storicamente” l’argomento
3. Spiegazione (intuitivo/comunicativo/funzionale) delle
procedure (anche con tecniche m.m)
4. Sviluppo e sistemazione logico/teorica del tema
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STRUMENTI
1. Laboratorio
2. 1 Floppy disk (contenente in forma m.m. il tema oggetto della
lezione) per ogni alunno.
3. Video proiettore (per l’esposizione in laboratorio)
4. Fotocopie (per i collegamenti di carattere storico)
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TEMPI
1. Test pre-requisiti: 1 h
Recupero (eventuale): 4 h
2. Presentazione - Lezioni frontali - : 3 h
3. Laboratorio: 2 h
4. Test di verifica formativa: 1 h
5. Test di verifica finale: 2 h
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CONTENUTI
CENNI STORICI
I greci si posero, fin dalle prime speculazioni
(filosofiche prima che geometriche), la questione di
quali strumenti potessero essere legittimamente usati
nella risoluzione dei problemi geometrici
La risposta che essi diedero fu molto semplice e rigorosa:
potevano essere utilizzati soltanto una riga (senza alcuna
graduazione) ed un compasso.
Erano quindi tracciabili segmenti di retta e circonferenze: curve
elementari e perfette, da cui tutte le altre costruzioni geometriche
dovevano discendere
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Una volta stabilite le “regole del gioco” i geometri greci si
dedicarono alla studio di tre problemi (in questa sede
analizzeremo la “duplicazione del cubo”), che sono noti
come i tre (gli altri due sono la quadratura del cerchio e la
trisezione dell’angolo) problemi classici dell’antichità. Per
ironia della sorte, nessuno dei tre poteva essere risolto con
riga e compasso
Veramente diaboliche le due caratteristiche dei tre grandi problemi
dell’antichità : non era possibile risolverli con riga e compasso, né
era possibile accorgersi di tale impossibilità!
E’ ammirevole questa sorta di codice comportamentale, che
i greci adottarono senza alcuna perplessità in nome di un
concetto di assoluta purezza e di una semplicità di indagine
che si ispiravano ai canoni della filosofia platonica
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U.D. 1- LA DUPLICAZIONE DEL CUBO
Apollo, al quale nell’isola di Delo era stato dedicato un altare a
forma cubica, chiese agli abitanti di raddoppiarne il volume,
mantenendone tuttavia la forma.
Secondo un’altra leggenda era stato Minosse re di Creta a voler
raddoppiare la tomba a forma di cubo, eretta per suo figlio Glauco.
In
casi iamatematici
arrendersi:
il problema
In entrambi
genere si itende
rispondere dovettero
(con una certa
sicurezza
!), che
non
è risolubile
con
riga edeve
compasso;
la soluzione
il cubo
di volume
doppio
avere ileppure
lato ancora
doppio , ma
algebrica
assolutamente
evidente, se8ilvolte
cubomaggiore
ha (p.es.)diil quello
lato
in questo ècaso
il volume risulterebbe
uguale
a 1 (cioè
1),1 ilsecubo
doppio
deve
precedente:
V1 =volume
L1 · L1 =· L
L2 = di2 volume
· L1 allora
risulterebbe
avere
alla
cubica
di12.
V2 = Lil2lato
· L2uguale
·L2 = 2L
2L1 · 2L
·L1·L1) = 8V1 (e non 2V1)
1 · radice
1 = 8(L
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In altri termini, se per semplicità, supponiamo che il
cubo da “duplicare” abbia lato unitario (L1 = 1) allora:
V2 = 2
V1 = 1
L1 = 1
L2 =
3
2
Infatti se moltiplichiamo tre volte L2 per se stesso otteniamo
proprio il volume V2 = 2
3
2 ·
3
3
3
2 · 2 = 2 2 2  2
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Menecmo trovò un metodo adatto alla soluzione del
problema. Egli però fu costretto a rinunciare al
metodo della riga e del compasso
Ragionando in termini moderni si consideri la
parabola:
y = x2
E la parabola:
x = ½ y2
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Le due curve si intersecano (oltre che nell’origine) in un
punto P la cui ascissa è proprio uguale alla radice cubica di
2, cioè al lato del cubo di volume doppio; con una semplice
sostituzione, e qualche passaggio algebrico, si ottiene la
soluzione:
y = x2
y = x2
x = ½ y2
x = ½ (x2)2
x =
x = ½ x4
3
1 = ½ x3
x3 = 2
2
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Costruzione (con Derive) della parabola y = x2
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Costruzione (con Derive) della parabola x =1/2 y2
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Le due parabole si intersecano in P
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Il segmento OQ (l’ascissa di P) è il lato del cubo di
volume doppio.
O
Q
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L’Unità Didattica di Matematica termina qui.
Grazie e buon lavoro!
scegliere
Benvenuti
al corso di informatica
(prof. M. Fanton)
diapo-avvio
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