L'ANGOLO
MATEMATICO
di fan Stewart
La grande rapina nella fognatura
ntrando nell'alloggio di Holmes,
lo trovai che preparava i bagagli.
«Watson, dobbiamo partire im·
mediatamente per Ghastleigh Grange. Il
Duca di Ghastleigh è in grave pericolo:
Hugh Dunnett, l'ex maggiordomo, è e­
vaso dalla prigione in cui si trovava per
aver ucciso una cameriera,»
Durante il viaggio sfogliai attenta­
mente un libretto di enigmi matemati­
ci. «Holmes, senta questo interessante
rompicapo. Se un uomo si trova al eco-
E
I 02
LE SCIENZE n. 328, dicembre 1995
tro di un lago e scende la nehbia, qual è
il percorso più breve che deve scegliere
per raggiungere la riva? A quanto pare
non lo sa nessuno. Qui, però, si dice che
bisogna andare diritti per un certo tem­
po, fare una brusca svolta a sinistra,
procedere diritti per un poco, compiere
un giro e poi andare di nuovo diritti.»
«Davvero affascinante» rispose Hol­
mes nascondendo a stento il sarcasmo.
«Guardi: siamo arrivati,»
II duca aveva un'aria stravolta. «Hol-
mes, temo che sia stata rubata la Capra
di Ghastleigh.» L'animale in questione,
un bronzo lungo circa un metro, era un
cimelio di famiglia; il suo valore venale
era quasi nullo, ma aveva un comparto
segreto pieno di documenti scottanti.
«.I)unnetl» mormorò Holmes. «Pre­
sto, mi mostri dove teneva la capra.»
Il duca ci condusse in una cantina
piena di correnti d'aria. «Lì» disse, in­
dicando una grande cassaforte in un an­
golo. Holmes studiò il pozzo di scari­
co, osservò la griglia di ventilazione e i�
spezionò le serrature della porta e della
cassaforte. In ginocchio, individuò una
fascetta di carta; poi annusò l'aria e si
rimise in piedi.
«È tutto chiaro, Vostra Grazia. li la­
dro è entrato e uscito attraverso la gri­
glia. Ha aperto la cassaforte e sottratto la
capra. Questa, però, non passava per la
griglia, quindi l'ha attaccata a un tubo di
gomma gonfiabile e l'ha calata nelle fo­
gnature per farla uscire galleggiando dal
parco, dove pensava di recuperarla.
<di tubo però deve essersi bucato e la
capra, prima di poter emergere, è affon­
data bloccando la fognatura, come senti­
te dali'odore. I documenti sono nelle fo­
gnature, ma non possiamo trovarli pas­
sando di qui: il pozzo di scolo è troppo
profondo. Dobbiamo penetrare nel sisle­
ma fognario in un punto più adatto.»
«C'è un canale che taglia tutto il prato
davanti alla casa e arriva alle cantine»
suggerì il duca. <<È facile individuarlo
d'estate perché l'erba che lo copre cam­
bia colore. Ora però è nascosto dalla ne­
ve. Se ricordo bene, passa a non più di
cento metri dalla statua della ninfa.»
«Dobbiamo scavare una trincea fino
a questo canale, capire dove sbocca e
trovare la capra prima di Dunnett.»
<<Ma bisogna fare in fretta» sollecitò
il duca.
<ili anche scavare nella direzione giu­
sta» intervenni io. <<Altrimenti potrem­
mo non incontrare affatto il canale.»
«Ciò che dobbiamo sapere» disse
Holmes «è quale sia la trincea più breve
che incontra certamente ogni linea retta
passante entro 100 metri dalla statua.»
(<Potremmo scavare un fossato circo­
lare con un raggio di 100 metri» propo­
se il duca.
«Che sarebbe lungo 20011 metri, os­
sia circa 628 metri» calcolò rapidamen­
te Holmes. «Non ci sarà una soluzione
migliore?»
«Che cosa ne direbbe di una linea
retta, lunga 200 metri, che tagli trasver­
salmente il cerchio proposto dal duca?»
«Eccellente, Watson, ma una trincea
di quel genere mancherebbe numerose
posizioni possibili della fognatura.»
<d)'accordo. Allora due linee dello
stesso tipo, ad angolo retto, per un tota­
le di 400 metri.»
«Stesso problema, WalSOn. Da un
punto di vista matematico, stiamo cer­
cando la curva più breve che incontri
tutte le corde di un cerchio di raggio
100 metri, dove una corda è qualsiasi li-
nea retta che tagli la circonferenza in
«(2 + 1I)r, ossia circa 514 metri, in
questo caso.»
due punti.»
«Ma Holmes, pensi a quante corde
«Si risparmiano comunque 89 metri
dobbiamo prendere in considerazioneh)
rispetto alla mia idea» esclamò il duca.
«Certo, sarebbe bello poter semplifi­
«Non c'è tempo da perdere. Chiamo gli
care le cose. Ah, ci sono. In realtà, Wat­
uomini!»
son, ci basta considerare le tangenti al
Mentre procedeva lo scavo, Holmes
cerchio, cioè le linee che incontrano la
e io continuammo a cercare curve anco­
ra più brevi, ma senza trovarne. «Holcirconferenza in un unico punto. Dopo
tuno, una curva che incontri tutte
le tangenti deve necessariamente
incontrare tutte le corde.
«Scegliamo una corda qualsiasi e consideriamo le due tangenti a essa parallele. La curva in­
contra una tangente nel punto B
e l'altra nel punlo C. In ragione
della continuilà, la parte della
curva che unisce B a C deve in­
tersecare la corda.» Si grattò il
.­
mento. «Ci sono quasi, ma manca
/
qualcosa nel mio ragionamento.»
f
\
«Non abbiamo tempo per oc­
"
cuparci di dettagli, Holmes. Qual
"
"- ......
è la sua idea generale?»
"
"""
/
,----"""\
«Bene, esiste una classe di cur­
I
f
ve che incontrano automatica­
\
"
mente ogni tangente: quelle che
curiosità, come facciamo a sapere che il
percorso proposto sia realmente il più
breve?»
.
«È stato dimostrato al di là di obfJli
dubbio da numerosi matematici. Le di­
mostrazioni, però, sono terribilmente
complesse. Sarebbe molto interessante
se qualcuno individuasse una dimostra­
zione breve e semplice.»
«Forse io potrei...) iniziò Hol­
mes, quando improvvisamente il
duca lanciò un urlo. J suoi uomini
avevano localizzato la fognatura.
Holmes fece un calcolo a oc­
chio. «Troveremo lo sbocco, e il
ladro, al di là di quel boschetto
laggiù.»
Ci inoltrammo silenziosamen­
te tra gli alberi e ci appostammo
in attesa. Il sole era appena tra­
montato quando sentimmo dei
passi. Holmes si lanciò ad affer­
rare la figura mascherata che era
apparsa. «Ora vedremo» affennò.
«Come avevo dedotto fm dal­
l'inizio, è... chi è lei?»
«Mio Dio, è Lucinda, la came­
riera» disse il duca. «Che cosa ci
fai qui?»
iniziano e terminano ai lati oppo/
....................
/
«Mi scusi, Vostra Grazia. Ieri
sti della stessa tangente, e che si
1 ..............
svolgono intorno al cerchio rima­
dovevo scendere nelle cantine.
........
nendo all'esterno o sulla circon­
La porta era chiusa, quindi mi in­
ferenza. Chiamiamole cinghie, in
trodussi attraverso la griglia. La
quanto serrano una tangente al
cassaforte era aperta e vidi all'in­
terno una strana vecchia statuetta.
cerchio.»)
/
«Vada avanti, vada avanti.»
La tirai fuori per darle un'occhia­
/
«Trovare la cinghia più breve
ta, ma era davvero pesante e mi
/
è facile. Innanzitutto, osserviamo
cadde accidentalmente nel pozzo.
che la cinghia deve toccare la cir­
Due possibili percorsi della fognatura attraverso
Fui presa dal panico. Chiusi la
cassaforte e me ne andai. lnten�
conferenza in qualche punto. Al­
il cerchio evidenziato in rosso.
devo tornare dopo aver... Comun­
trimenti la si potrebbe stringeque, stavo per strisciare lungo la
re ulterionnente e sarebbe quindi
A
D
fognatura a cercarla quando queslo si­
più corta. Supponiamo che incontri la
- ....
"'
. --- - ---- - -----_._-,.,,.gnore - sorrise amabilmente a Holmes circonferenza prima in un punto B e poi
mi è saltato addosso.»
in un punto C. Allora AB e CD devo­
«Quindi la Capra di Ghastleigh è in
no essere linee rette, altrimenti la cin­
ghia potrebbe essere accorciata renden­
fondo al pozzo» rifletté il duca. «Mi ri­
trovo con un fossato lungo 500 metri
do retti questi segmenti. Inoltre, per ra­
nel prato e Dunnett rimane uccel di bo­
gioni analoghe, BC deve essere un uni­
co arco di circonferenza.»
sco.» Lanciò un'occhiata feroce verso
c
Holmes.
«Penso che le linee AB e CD debba­
«È una questione di deduzione logi­
no essere tangenti al cerchio» dissi. «Se
non lo fossero, la curva potrebbe essere
c,m disse Holmes. «Una volta eliminato
l'impossibile, allora queUo che rimane,
accorciata spostando B e C in posizioni
per quanto improbabile... »
in cui siano tangenti.»
«Naturalmente. Ma dove vanno posti
«Sl, Holmes, sI. Vada avanti» incitai.
i punti A e D? lo credo che tanto AB
« ... rimane improbabile» tenninò lui.
quanto CD debbano essere perpendico­
«Ma non mi attribuisca questa frase.»
«Le mie labbra sono sigillate.») Ma
lari alla tangente AD. Se così non fosse,
D fossato più breve che intersechi la
si potrebbe tirare la cinghia fIDO a rag­
il mio taccuino no. Dopo tutto, un bio­
giungere quella posizione, e di nuovo
grafo deve pur campare.
fognatura è dato da una semicircon­
ferenza (DC) e due tangenti (AB e CD).
sarebbe più corta.»
«SÌ» esclamai. «L'arco BC è una se­
micirconferenza. Abbiamo trovato la
curva più breve\)
mes! Ricorda il mio libro?») Lo estras­
<<Purtroppo, abbiamo trovato solo la
CROFT HALLARD T., FALCONER KEN·
si dalla tasca. <<Ascolti. un percorso più
breve che incontra tune le corde di un
cinghia più corta» disse Holmes aggrot­
NETH J. e GUY R1CHARD K., Unsolved
cerchio di raggio r è dato da due seg­
tando la fronte. «Ma non riesco a vede­
Problems in Geometry, Springer-Ver­
menti retti paralleli di lunghezza r e una
re come un'altra curva che soddisfi i
lag, 1991.
semicirconferenza" .»
nostri requisiti possa essere più breve.»
STEWART 1AN, Assassinio a Ghasl­
<<Proprio quello che avevo dedotto.
Restammo in silenzio per qualche mi­
leigh Grange in «Le Scienze» n. 292,
Le confesso, Watson, che avevo sono­
nuto. «Forse non tuno è perduto» dissi
dicembre 1992.
poi. «Quanto è lunga questa cinghia?»
valutato l'utilità del suo volumetto. Per
/?
LE SCIENZE n. 328, dicembre 1995
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