Matematica e logica nella cultura
e nella preparazione professionale
del professore di Matematica
Obiettivi
 M e L nella cultura
• Generale
• di laureato in matematica
- Quale idea di logica ha un laureato in matematica?
- Quale idea dovrebbe avere e quali conoscenze?
 M e L nella preparazione professionale
• Che cosa è richiesto dai programmi ministeriali?
• Che cosa manca?
• Che cosa si può proporre?
Struttura della tesi
1. Logica nella scuola
e nella cultura
2. Proposte culturali
1.
2.
3.
Logica nella scuola
Logica nelle università
Logica nella formazione dei
docenti
1.
2.
3.
Cos’è la logica?
Approfondimenti
Letture
1.
3. Proposte didattiche
2.
3.
Stimoli pedagogico didattici
Esempi ed esercizi
Considerazioni conclusive
Riferimenti
 Fonti ufficiali
-
Programmi scolastici
Programmi di concorso
Settori scientifico disciplinari
-
AILA (Associazione Italiana di Logica e
sue Applicazioni)
UMI (Unione Matematica Italiana)
-
Varietà di fonti
 Fonti semi-ufficiali
 Liberi
-
Scelta
A. Marruccelli “Teorie formalizzate e logica
matematica”
F. Speranza “Matematica per insegnanti di
matematica”
Analisi dei riferimenti
• Criteri di analisi
TABELLA DI RIFERIMENTO
• Risultati
• Riflessioni
Ambiti di indagine:
1.1 – Insegnamento
1.2 – Università
1.3 – Formazione docenti
DATI
Scuola primaria
34
Scuola secondaria
44
OSA
73
Classi di concorso
41
Syllabus AILA
80
Altri
Lemmi totali
456
1.1 - Logica nella scuola
Primo ciclo: “Introduzione al pensiero razionale”
 Logica come abilità per:
- Utilizzare in maniera appropriata il linguaggio
- Verificare congetture e riflettere su procedimenti risolutivi
“Forme dell’argomentazione e
 Uniche conoscenze relative a connettivi e teoria degli insiemi
strategie del pensiero matematico”
Secondo ciclo:
“Riflessione critica su alcuni temi della
matematica”
 Conoscenze e abilità negli OSA:
- Logica proposizionale
- Logica dei predicati
- Verità e verificabilità
- Metodo assiomatico
Osservazioni
 Considerazioni pedagogiche (cosa manca?)
a) Mancanza di riferimenti al contesto storico
b) Maggiore attenzione ai dettagli che all’idea generale
della disciplina
c) Omissioni di alcuni argomenti (es. teoria del sillogismo)
 Confronto con i programmi precedenti
Rispetto ai programmi considerati si evidenzia in generale
un crescente interesse verso argomenti di natura logica
(es. attenzione al problema di verità e verificabilità)
1.2 - Logica nelle Università
Riferimenti utilizzati:
• Settori scientifico-disciplinari
• Indagine AILA e proposta di Syllabus
Cosa dicono i dati ufficiali?
PROGRAMMI DELLE CLASSI 32 E 45/S
“I corsi di logica rientrano, sia nelle Lauree Triennali che
nelle Lauree Magistrali, tra le attività formative
caratterizzanti in ambito teorico e dei fondamenti della
matematica”
Situazione attuale nelle università italiane
(dati AILA, a.a. 2004 - 2005)
Su un tot. di 39 sedi
È maggiore il numero di
corsi opzionali rispetto
a quelli obbligatori
40 corsi in L.T.
40 corsi in L.M.
I corsi sono distribuiti in
maniera disomogenea
(da 6 a 0 corsi)
Ne consegue che la situazione attuale rispecchia
le indicazioni sulle classi
Proposta di syllabus AILA
1° CORSO
2° CORSO
• Teoria degli insiemi
• Logica proposizionale
• Logica del primo
ordine
• (logiche non
classiche)
• Verso i teoremi di
incompletezza
• Computabilità
• Teoremi di Gödel
• (complessità
computazionale)
Osservazione: nei corsi presentati molte nozioni
vengono supposte note
1.3 - Logica nella formazione dei docenti
Riferimenti:
-
Programmi delle classi di
concorso del 1998 (C.C.)
Programmi scolastici (OSA)
Syllabus AILA
FATTORE CULTURALE
PROFESSIONALE
Considerazioni:
1)
2)
3)
4)
I programmi per insegnanti si rivelano poco dettagliati
Mancano alcuni argomenti di rilievo negli OSA (es. problema della
verità)
Mancano riferimenti al contesto storico e agli sviluppi moderni della
logica
Emerge l’importanza di presentare esempi
2. PROPOSTE CULTURALI
Cos’è la logica?
“Quadro d’attualità”
“Quadro storico”
Esistono diversi punti di vista sulla logica:

In filosofia:

In matematica: lo studio delle operazioni logiche
lo studio delle funzioni proprie della
struttura e dell’attività del pensiero in sé, oppure dei
procedimenti seguiti dal pensiero in riferimento ai
diversi contenuti cui può applicarsi
che le formalizza in linguaggio matematico
2.1 - Quadro storico
• Logica classica
Logica aristotelica
•- Logica
classica (384- 322 a.C.)
• Logica matematica
- Logica megarico-stoica (V-III sec. a.C.)
- Logica medioevale (XI- XIV sec. d.C.)
• Logica matematica
- Calcolo logico (Leibniz-Boole)
- Crisi dei fondamenti del XIX sec.
- Programma di Hilbert e sviluppi
- Logiche moderne
2.2 - Approfondimenti
 TEORIA DEL SILLOGISMO
 LOGICHE NON
CLASSICHE
Limiti
della logica classica
 FALLACIE
1)
2)
3)
•
•
•
Ipotesi di bivalenza
Ipotesi di vero-funzionalità
Ipotesi dell’estensionalità
Teorie non classiche degli operatori logici fondamentali
(es. logica intuizionista, logica quantistica)
Teorie di operatori logici speciali (modali, temporali, …)
Teorie del significato
Cambia il livello degli studi:
METALOGICA
METAMETALOGICA
2.3 - Antologia
1)
2)
3)
4)
Logica aristotelica
I sillogismi con i diagrammi di Eulero
Logica stoica
Logica intuizionista
3.1 - Proposte pedagogico-didattiche
-
Perché insegnare
logica?
-
Consapevolezza e rigore nell’utilizzo del
linguaggio;
Sviluppo delle capacità di argomentare e
dimostrare;
Interazioni e applicazioni ai vari rami della
matematica applicata e dell’informatica
Che cosa insegnare?
Quale idea di logica trasmettere?
Come insegnarla?
Proposta di syllabus
Raccolte di esercizi ed esempi
“Insegnamento dinamico”
Come prepararsi ad insegnarla?
Proposte culturali
Proposta di syllabus (1°e 2° ciclo)
FINALITA’
• Superare le “lacune” dei
programmi ministeriali
1.
2.
3.
Quadro d’insieme
Contestualizzazione storica dei
risultati fondamentali
Elenco dettagliato dei concetti
• Preparare alle richieste universitarie
STRUTTURA:
0.
1.
2.
3.
4.
Quadro generale
Teoria degli insiemi
Calcolo proposizionale
Logica del primo ordine
Metodo ipotetico deduttivo
3.2 - Qualche esempio
tratti da “Quesiti e questionari per stimolare riflessioni sulla matematica”
1) Qual è la negazione di “Tutti gli italiani hanno i capelli neri”?
Risposte corrette: 70 %
2) “Se Mario ama Vera le farà un regalo”. Sapendo che “Mario ha fatto
un regalo a Vera”, cosa si può dedurre?
Risposte corrette: 39 %
Osservazione: altri quesiti sono proposti nel “test di autovalutazione”
del Syllabus UMI (1999)
3.3 – Considerazioni conclusive
La presente ricerca ha evidenziato l’importanza di
proporre ad insegnanti :
•
Approfondimenti culturali
•
Riflessioni di carattere pedagogico-didattico