UNIVERSITÀ DI PISA
Facoltà di Ingegneria — Corso di Laurea in
Ingegneria Civile, dell’Ambiente e del Territorio
Geometria — Scritto del 17/9/10 — Quesiti
Nome
Cognome
Matricola
µ
¶
2 5
1. Trovare gli autovalori di
e una base che la diagonalizza.
6 1
2. Quali sono gli autovalori di una proiezione associata a una somma diretta?
µ
3. Per quali z ∈ C la matrice
iz
z
1/z −13
¶
ammette autovalori reali e una base ortonormale di C2
che la diagonalizza?
µ
2
4. Determinare un vettore di C unitario, ortogonale a
1−i
2+i
¶
e con somma delle coordinate reale.
5. Determinare il tipo affine della quadrica 3x2 − 3y 2 − z 2 − 2xz + 4yz + x + 6y − 4z = 3.
Geom
Geom
6. Determinare l’intersezione tra l’insieme dei punti all’infinito della quadrica xy−yz+z 2 +6x−5y =
e l’insieme {[29 − t : 1 + 2t : 2 − 3t] ∈ P2 (R) : t ∈ R}.
7. Calcolare
R
√
7
2
x ex y (2y dx + x dy) con α : [0, 1] → R2 data da α(t) = (1 − t2 , 1 − t3 ).
α
GAII
GAII
8. Sapendo che il polinomio 6z 3 − (17 + 14i)z 2 + (1 + 39i)z + 10(1 − i) si annulla in z = 2i, trovare i
suoi altri zeri.
9. Data la base B = (−e1 + 2e2 + 4e3 , 4e1 + e2 − e3 ) di V = {x ∈ R3 : 2x1 − 5x2 + 3x3 = 0}, verificare
che v = e1 + e2 + e3 appartiene a V e trovare [v]B .
Le risposte devono essere sinteticamente giustificate
Deve essere esibito il libretto o un documento. I telefoni devono essere mantenuti spenti. Questo foglio deve essere intestato
immediatamente con nome, cognome e matricola. Questo foglio va consegnato alla fine della prima ora. Durante la prima ora non è
concesso alzarsi né chiedere chiarimenti. Durante la prima ora sul tavolo è consentito avere solo i fogli forniti e la cancelleria.
1. ♠ 2. ♥ 3. ♠ 4. ♣ 5. ♦ 6. ♠ 7. ♣ 8. ♥ 9. ♣ 10. ♦
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Geometria — Scritto del 17/9/10 — Esercizı̂


k 2 + k + 3 −k − 2
0
2 + k + 1 1 − 2k 1 − k 

k
1. Al variare di k ∈ R considerare la matrice Ak =
.
−k 2 − 2
k+2 k+1
(A) (3 punti) Sapendo che per ogni k ∈ R la matrice Ak ha l’autovalore 1 + k 2 , determinare gli altri
due autovalori in funzione di k.
(B) (5 punti) Discutere la diagonalizzabilità di Ak al variare di k ∈ R.
(C) (1 punto) Determinare i valori di k per i quali Ak non è iniettiva.
(D) (3 punti) Per ciascuno dei valori di k del punto precedente determinare un vettore di R3 unitario
e ortogonale all’immagine di Ak .
³ √
´
3
2 2
3
Geom 2. Considerare la curva α : [0, 1] → R data da α(t) =
2 t ,1 − t ,t + t .
(A) (2 punti) Provare che si tratta di una curva regolare e semplice.
(B) (4 punti) Calcolare curvatura e torsione di α nel suo secondo estremo.
R
(C) (3 punti) Calcolare ((16(y + z) − 3).
α
R
(D) (3 punti) Calcolare (z dy − y dz).
α
GAII
3. Considerare V = {x ∈ R4 : 2x1 + 3x2 = 5x3 + 2x4 }.
(A) (3 punti) Trovare tutti i vettori di V con due coordinate nulle e le altre due intere prime tra loro,
con la prima delle due positiva.
(B) (3 punti) Ordinare i vettori del punto precedente per norma crescente e, a parità di norma, per
prima coordinata crescente, quindi estrarre una base B di V .


0
3 −1 1
−1
0 −1 1 

provare che la formula f (v) = A · v definisce un’ap(C) (3 punti) Posto A = 
−1 1
0 1 
0 −1 0 1
plicazione lineare f : V → V .
(D) (3 punti) Determinare [f ]BB .
Deve essere esibito il libretto o un documento. I telefoni devono essere mantenuti spenti. Sul tavolo è consentito avere solo i
fogli forniti e la cancelleria. Dall’inizio della seconda ora si può usare anche un foglio manoscritto contenente enunciati e formule.
Si può uscire solo in casi eccezionali. Ogni foglio consegnato deve recare nome e numero di matricola. La soluzione di ogni
esercizio deve essere consecutiva su un solo foglio. La minuta non va consegnata. Per risolvere un punto di un esercizio è sempre
lecito utilizzare gli enunciati dei punti precedenti, anche se non si è riusciti a risolverli.
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Geometria — Scritto del 17/9/10 — Quesiti
Risposte esatte
5. ♦
µ
1. 7, −4;
1
1
¶ µ
¶
−5
,
6
2. 0 e 1
3. z = ±i
µ
¶
4 − 3i
1
√
4. 35
1 − 3i
5. Paraboloide iperbolico
6. {[30 : −1 : 5], [408 : −49 : 119]}
7. 1 − e
8. z = 52 , z = 13 (1 + i)
µ ¶
1
1
9. 3
1
1. ♠ 2. ♥ 3. ♠ 4. ♣ 5. ♦ 6. ♠ 7. ♣ 8. ♥ 9. ♣ 10. ♦