UNIVERSITÀ DI PISA
Facoltà di Ingegneria — Corso di Laurea in
Ingegneria Civile, dell’Ambiente e del Territorio
Geometria — Scritto del 3/7/09 — Quesiti
µ
1. Posto A =
Nome
Cognome
Matricola
¶
i
ortonormalizzare la base (ie1 , e2 ) di C2 rispetto a h . | . iA .
1
−i 3
µ
2. Trovare gli autovalori di
−2 1
6 3
¶
e una base che la diagonalizzi.
3. Se R2 è identificato a {[x : y : z] ∈ P2 (R), z = 1},
quale luogo si ottiene intersecando R2 con {[t2 : 1 : t] : t ∈ R}?
4. Determinare il tipo affine della conica x2 − 3xy + 2y 2 −
√
3x + 11 = 0.
5. Determinare il tipo affine della quadrica 2xy + y 2 − z 2 − 4x + 2 = 0.
Geom
Geom
6. Calcolare gli autovalori della matrice hessiana nel punto (0, 0)
della funzione f (x, y) = y 2 + exp (2x + sin y).
7. Si fissi una 1-forma ω chiusa su A = R2 \ {(−1, 0), (1, 0)}.
R
Al variare di γ curva semplice chiusa e orientata in A, quanti valori diversi può assumere ω?
γ
GAII
8. Completare il vettore e1 − 3e2 + 2e3 a una base ortogonale di {x ∈ R3 : 4x1 + 2x2 + x3 = 0}
µ
GAII
9. Fissata A =
0 1
1 0
¶
descrivere tutte le matrici B tali che det(A + B) = det(A) + det(B).
Le risposte devono essere sinteticamente giustificate
Deve essere esibito il libretto o un documento. I telefoni devono essere mantenuti spenti. Questo foglio deve essere intestato
immediatamente con nome, cognome e matricola. Questo foglio va consegnato alla fine della prima ora. Durante la prima ora non è
concesso alzarsi né chiedere chiarimenti. Durante la prima ora sul tavolo è consentito avere solo i fogli forniti e la cancelleria.
1. ♠ 2. ♥ 3. ♠ 4. ♣ 5. ♦ 6. ♠ 7. ♣ 8. ♥ 9. ♣ 10. ♦
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Geometria — Scritto del 3/7/09 — Esercizı̂
µ
1. Al variare di k in C si consideri la matrice Ak =
2+k
1 + k − 2i
i(1 − k)
i−2
¶
.
(A) (3 punti) Si verifichi che per k = i esiste un unico c ∈ R positivo tale che c · Ak è unitaria.
(B) (3 punti) Per k = i si trovino gli autovalori di Ak .
(C) (3 punti) Si dimostri che esistono valori di k per i quali Ak ha un solo autovalore di molteplicità
algebrica 2. [Suggerimento: Dimostrare che esistono non significa trovarli.]
(D) (3 punti) Si dimostri che l’unico valore di k per il quale Ak ammette una base ortonormale di
autovettori è k = i.
Geom
Geom
Geom
2. Si consideri α : R → R3 data da α(t) = (tet , t2 , e2t ).
(A) (3 punti) Si provi che α è una curva semplice che ammette ovunque retta tangente.
(B) (3 punti) Si determini l’angolo tra la retta tangente ad α per t = 0 e il piano di equazione
x + y + z = 0.
Geom
(C) (3 punti) Si calcolino curvatura e torsione di α per t = 0.
Geom
R
(D) (3 punti) Indicata con β la restrizione di α all’intervallo [0, 1] si calcoli (y dx +(x + z) dy + y dz).
β
GAII
3. In X = R[t] di consideri il sottospazio Y = {p(t) ∈ X : deg(p(t)) ≤ 3, p(−1) = 0}. Si definisca
inoltre f : X → X come f (p(t)) = t · p0 (t) + p(0) − 12 · p00 (0) + 31 · p000 (0).
GAII
(A) (3 punti) Si calcoli la dimensione di y e se ne esibisca una base B.
GAII
(B) (3 punti) Si provi che f è iniettiva.
GAII
(C) (2 punti) Si provi che f è in realtà invertibile.
GAII
(D) (4 punti) Si provi che f (Y ) ⊂ Y , si definisca g : Y → Y in modo che g(y) = f (y) per ogni y ∈ Y ,
e si determini la matrice che rappresenta g rispetto a B.
Deve essere esibito il libretto o un documento. I telefoni devono essere mantenuti spenti. Sul tavolo è consentito avere solo i
fogli forniti e la cancelleria. Dall’inizio della seconda ora si può usare anche un foglio manoscritto contenente enunciati e formule.
Si può uscire solo in casi eccezionali. Ogni foglio consegnato deve recare nome e numero di matricola. La soluzione di ogni
esercizio deve essere consecutiva su un solo foglio. La minuta non va consegnata. Per risolvere un punto di un esercizio è sempre
lecito utilizzare gli enunciati dei punti precedenti, anche se non si è riusciti a risolverli.
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Geometria — Scritto del 3/7/09 — Quesiti
Risposte esatte
5. ♦
µ
1.
i
0
µ
¶
,
µ
2. 4 e −3;
1
6
¶
−i
1
√1
2
¶
µ
e
1
−1
¶
3. L’iperbole xy = 1
4. Iperbole
5. Iperboloide a una falda
√ ¢
¡
6. 12 7 ± 17
7. Al massimo 7
8. e1 − e2 − 2e3 o un suo multiplo.
µ
¶
a b
9. B =
−b d
1. ♠ 2. ♥ 3. ♠ 4. ♣ 5. ♦ 6. ♠ 7. ♣ 8. ♥ 9. ♣ 10. ♦