NonsoloMatematica
Tutto quello che ti serve
per eseguire i calcoli di Fisica
Indice
1 Schede di matematica, M2
1.1 Grandezze direttamente proporzionali, M2
1.2 Grandezze con proporzionalità quadratica, M7
1.3 Grandezze inversamente proporzionali, M11
1.4 Arrotondamento, M16
1.5 Potenze e notazione scientifica, M18
1.6 Equivalenze, M25
1.7 Risoluzione di equazioni, M30
1.8 Geometria piana, M34
2.1 Una questione di atteggiamento, M38
2.2 L’approccio iniziale, M39
2.3 Calcolo aritmetico, M40
2.4 Calcolo con numeri in notazione esponenziale, M42
2.5 Formule più complesse, M43
2.6 Funzioni trigonometriche, M45
2.7 La funzione esponenziale yx, M47
3 Come affrontare gli esercizi e i problemi, M48
3.1 Indicazioni metodologiche, M48
3.2 Due esempi, M49
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
2 Fare amicizia con la calcolatrice, M38
M2
1 Schede di matematica
1.1 Grandezze direttamente proporzionali
Devi sapere…
Se una maglia costa 25 Euro, due maglie dello stesso tipo costano 50 Euro, mentre per tre si devono pagare 75 Euro e così via.
Non crediamo che quanto appena detto ti sorprenda più di tanto… Ma possiamo
dire che vi sia una relazione tra il numero delle maglie e il costo complessivo? Prima
di rispondere, organizziamo i dati in questione tramite uno schema. Il numero delle
maglie è arbitrario, nel senso che l’acquirente è libero in teoria di comprare quante
maglie vuole.
Per questo motivo la quantità di maglie è detta variabile indipendente e si indica
con il simbolo X; invece, il costo complessivo corrispondente è una conseguenza di
quante maglie sono state comprate, per cui è detto variabile dipendente e si indica
con il simbolo Y.
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Tabella 1
X
numero maglie
Y
costo
(Euro)
Y/X
costo
numero maglie
1
25
25/1 = 25
2
50
50/2 = 25
3
75
75/3 = 25
4
100
100/4 = 25
...
...
...
Come puoi osservare, nella terza colonna della tabella 1 risulta che il rapporto tra
il costo complessivo delle maglie e il loro numero è costante:
costo
= 25 = costante
numero maglie
NonsoloMatematica
M3
In generale, quando due grandezze X e Y possiedono questa proprietà, si dice che
sono direttamente proporzionali. Conseguentemente, possiamo affermare che il
numero delle maglie e il costo totale sono due quantità tra loro direttamente proporzionali.
1a proprietà
Il rapporto tra due grandezze direttamente proporzionali X e Y è costante:
Y
= K = costante
X
2a proprietà
Due grandezze direttamente proporzionali X e Y sono legate mediante un’equazione
del tipo:
Y = K⋅X
(A partire da
ottiene X ⋅
Y
= K, moltiplicando per X a sinistra e a destra del segno uguale, si
X
Y
= K ⋅ X e, semplificando la X al primo membro, si trova l’equazione
X
cercata).
Sempre con riguardo alla tabella 1, indichiamo ogni singola maglia con un cerchietto ❍ e il prezzo unitario di 25 Euro con un quadratino ❑. I dati possono essere schematizzati secondo quanto riportato in tabella 2.
Tabella 2
X
numero maglie
Y
costo (Euro)
❍
❑
❍❍
❑❑
❍❍❍
❑❑❑
❍❍❍❍
❑❑❑❑
...
...
• se il numero delle maglie raddoppia, anche il costo totale raddoppia;
• se il numero delle maglie triplica, allora il costo totale triplica.
E così via…
Questa è una caratteristica molto importante delle grandezze direttamente proporzionali.
3a proprietà
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se aumentano o diminuiscono allo stesso modo: raddoppiando, triplicando ecc. una grandezza, anche
l’altra raddoppia, triplica ecc.; se una diventa la metà, un terzo…, a sua volta l’altra diventa la metà, un terzo…
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Osservando questa seconda tabella, è facile rilevare visivamente che:
M4
NonsoloMatematica
Completiamo la trattazione parlando del grafico.
Y (Euro)
100
50
O
1
2
3
4
5 X (numero
maglie)
La matematica ci fornisce uno strumento efficace per rappresentare la tabella 1: il
grafico in un sistema di assi cartesiani ortogonali. Si tratta di due rette perpendicolari e orientate, il cui punto di intersezione è detto origine O.
Sulla retta orizzontale (detta asse delle ascisse o asse X) vengono riportati di solito i valori della variabile indipendente, che nel nostro caso è il numero delle
maglie.
Sulla retta verticale (detta asse delle ordinate o asse Y) vengono riportati i valori dell’altra variabile, quella dipendente, cioè il costo totale.
Congiungendo i punti rappresentativi di ogni coppia di valori relativi al numero
delle maglie e al costo corrispondente, si ottiene una retta.
4a proprietà
La rappresentazione grafica di due grandezze direttamente proporzionali è costituita da una retta.
Provaci tu…
Per cominciare a verificare la tua comprensione di questo argomento, segui il percorso guidato, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
2p = 27 cm
2p = 18 cm
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
2p = 9 cm
3 cm
6 cm
9 cm
Se un triangolo equilatero ha il lato che vale 3 cm, il suo perimetro vale 9 cm. Se
il lato è 6 cm, il perimetro diventa 18 cm. Se il lato vale 9 cm, il perimetro cresce
a 27 cm…
NonsoloMatematica
M5
Organizza questi dati, completando la tabella 3. Nella terza colonna calcola, in
corrispondenza di ogni riga, il rapporto Y/X e inserisci i risultati.
Tabella 3
X
lato
(cm)
Y
perimetro
(cm)
Y/X
perimetro
lato
3
9
9/3 = 3
6
...
...
9
...
...
12
...
...
...
...
...
Qual è la variabile indipendente? ……..................……….…… Con quale simbolo è indicata?……..................……….................……
Qual è la variabile dipendente? ……..................……….…… Con quale simbolo è indicata?……..................……….….....................…
1a proprietà
Il rapporto Y/X è ……………….......................………….. Il suo valore è ……………….....…………..
2a proprietà
Le due grandezze sono legate dall’equazione: Y = ……… X
3a proprietà
Se la X raddoppia e passa da 3 a 6, la Y ……………............…… e passa da 9 a ……………...
Se la X triplica e passa da 3 a 9, la Y ……………..................…… e passa da 9 a ……………....
4a proprietà
Esegui la rappresentazione grafica nello spazio qui sotto.
Il grafico è una ………………………………………………………
Al valore 6 cm sull’asse X corrisponde il valore ………….. cm sull’asse Y.
Al valore 18 cm sull’asse Y corrisponde il valore ………… cm sull’asse X.
Y (cm)
36
18
O
3
6
9
12
15
X (cm)
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Al valore 27 cm sull’asse Y corrisponde il valore ………… cm sull’asse X.
M6
NonsoloMatematica
È tutto chiaro?… Controlla!
Svolgi ora da solo gli esercizi proposti qui di seguito.
1 Cerca di riconoscere quali delle seguenti tabelle rappresentano grandezze
direttamente proporzionali e quali no.
In caso di risposta affermativa, verifica le proprietà 1, 2, 3 in modo analogo
a quanto visto nell’esempio e nel percorso guidato e poi esegui la corrispondente rappresentazione grafica.
Tabella A
Tabella B
Tabella C
Tabella D
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
5
3
12
1,5
3
1
4
1/2
10
6
24
3,0
9
2
8
1
15
9
36
4,5
27
3
16
3/2
20
12
48
6,0
81
4
32
4
...
...
...
...
...
...
...
...
Tabella E
Tabella F
Tabella G
Tabella H
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
2
3
25
20
0,2
0,25
0,6
0,5
4
9
50
40
0,4
0,50
1,2
1,0
8
18
75
60
0,6
0,75
1,8
2,0
16
27
100
80
0,8
1,00
2,4
4,0
...
...
...
...
...
...
...
...
2 Completa le seguenti tabelle in modo che X e Y risultino grandezze diretta-
mente proporzionali:
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Tabella A
Tabella B
Tabella C
Tabella D
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
0,4
40
5
1/3
0,8
0,2
200
...
...
...
...
...
...
...
...
16
...
...
...
...
...
...
...
...
1,6
...
...
4/3
...
0,8
...
...
...
...
...
...
...
...
40
...
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M7
1.2 Grandezze con proporzionalità quadratica
Devi sapere…
1m
2m
Se un cubo ha lo spigolo di 1 m, l’area della superficie è data dal prodotto del numero delle sue facce (6) e l’area del quadrato di base di lato 1 m, cioè 6 ⋅ 12 = 6 m2. Se lo
spigolo è invece di 2 m, allora l’area vale 6 ⋅ 22 = 24 m2. Continuando, se è di 3 m, l’area
diventa 6 ⋅ 32 = 54 m2 e così via…
C’è una relazione tra lunghezza dello spigolo e area della superficie del cubo? Proviamo a cercarla organizzando i dati in una semplice tabella.
Dato che lo spigolo può essere scelto arbitrariamente, lo assumiamo come variabile indipendente (X), mentre l’area in questione, essendo una conseguenza della
lunghezza dello spigolo, la consideriamo come variabile dipendente (Y).
Tabella 1
X
lato
(m)
X2
spigolo al quadrato
(m2)
Y
area totale
(m2)
Y/X 2
area
spigolo al quadrato
1
1
6
6 /1 = 6
2
4
24
24/4 = 6
3
9
54
54/9 = 6
4
16
96
96/16 = 6
...
...
...
...
Come puoi osservare, nella quarta colonna si ha che il rapporto tra l’area della
superficie del cubo e il suo spigolo al quadrato è costante:
In generale, quando due grandezze X e Y possiedono questa proprietà, si dice che
tra di loro vi è una relazione di proporzionalità quadratica. Perciò, nel nostro
caso, possiamo dire che tra il lato del cubo e la sua area superficiale esiste una
relazione di proporzionalità quadratica.
1a proprietà
Due grandezze sono legate da una proporzionalità quadratica quando il rapporto
tra una grandezza e il quadrato dell’altra è costante (oppure, con lo stesso significato: quando una grandezza e il quadrato dell’altra sono direttamente proporzionali):
Y
= K = costante
X2
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
area
= 6 = costante
spigolo al quadrato
M8
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2a proprietà
L’equazione che rappresenta due grandezze con proporzionalità quadratica è:
Y = K⋅X2
Y
= K,
X2
si ha X 2 ⋅ Y = K ⋅ X 2 . Semplificando la X 2 al primo membro, si trova l’equazione
X2
scritta prima.)
(Moltiplicando per X 2 a sinistra e a destra del segno uguale la relazione
Ritornando alla tabella 1, indichiamo lo spigolo di 1 m con un cerchietto ❍ e
l’area di 6 m2 della superifice del cubo che ha tale spigolo con un quadratino ❑.
Possiamo riassumere i risultati nella maniera seguente:
Tabella 2
X
lunghezza spigolo
(m)
Y
area
(m2)
❍
❑
❍❍
❑❑❑❑
❍❍❍
❑❑❑❑❑❑❑❑❑
❍❍❍❍
❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑
...
...
Dalla tabella 2 si deduce chiaramente che:
• se la lunghezza dello spigolo raddoppia, l’area superficiale del cubo quadruplica;
• se lo spigolo triplica, allora l’area risulta moltiplicata per 9. E così via…
Questa è la proprietà che caratterizza le grandezze che si trovano tra loro in una
relazione di proporzionalità quadratica.
3a proprietà
Si dice che due grandezze X e Y sono legate da una relazione di proporzionalità
quadratica se, moltiplicando la X per 2, 3, 4 ecc., la Y viene moltiplicata per 22, 32, 42
ecc. Invece, se la prima diventa la metà, un terzo ecc., la seconda diventa 1/4, 1/9, …
Vediamo le conseguenze a livello grafico della proporzionalità quadratica.
Riportiamo sull’asse delle ascisse (X),
come si fa solitamente, i valori della variabile indipendente, che nel nostro caso è la
lunghezza dello spigolo del cubo. Sull’asse
delle ordinate (Y) riportiamo i valori
dell’altra variabile, quella dipendente, cioè
l’area della superficie del cubo.
Congiungendo i punti rappresentativi di
ogni coppia di valori relativi al lato e
all’area corrispondente, otteniamo una
parabola.
Y (m2)
90
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
60
30
O
1
2
3
4
X (m)
4a proprietà
La rappresentazione grafica di due grandezze tra cui vi è una proporzionalità quadratica è un tratto di parabola.
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M9
Provaci tu…
Per consolidare quanto hai or ora letto, svolgi il percorso guidato che segue, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
s
s
1,25 m
s
5,00 m
11,25 m
Mentre una palla rotola senza attrito lungo una discesa, vengono scattate delle
fotografie ogni secondo. Misurando in ognuno di tali intervalli di tempo lo spazio
percorso, si trova che la palla ha compiuto 1,25 m dopo 1 s, quindi 5,00 m dopo
2 s, poi 11,25 m dopo 3 s e, infine, dopo 4 s il percorso totale risulta di 20,00 m.
Organizza i dati nella tabella 3, inserendo i valori corretti negli spazi lasciati liberi.
Tabella 3
X
tempo
(s)
X2
tempo al quadrato
(s2)
Y
spazio
(m)
Y/X 2
spazio
tempo al quadrato
1
1
1,25
1,25/(1)2 = 1,25
2
4
...
...
3
9
...
...
4
16
...
...
...
...
...
...
Dopo aver completato la terza colonna in base al testo, calcola relativamente a
ogni riga il rapporto Y/X 2 e inserisci i risultati nella quarta colonna.
Qual è la variabile indipendente? ………...….....................……. Con quale simbolo è indicata?………...….....................…….
Qual è la variabile dipendente?
………...….....................…….
Con quale simbolo è indi-
cata?………...….....................…….
Questa stessa proprietà può essere enunciata dicendo che …........… e
direttamente proporzionali.
…........…
sono
2a proprietà
Le due grandezze sono legate dall’equazione: Y = ……… ⋅ X…
3a proprietà
Se la X raddoppia e passa da 1 a 2, la Y ……………..........…………………… e passa da 1,25
a ……......……....
Se la X triplica e passa da 1 a 3, la Y ……………..........……....……………… e passa da 1,25
a ……......……....
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1a proprietà
Il rapporto Y/X2 è …………………………. Il suo valore è …………………………..............………….
M10
NonsoloMatematica
4a proprietà
Esegui la rappresentazione grafica qui sotto.
Il grafico è una ………………………………………………………
Al valore 4 s sull’asse X corrisponde il valore ….....… m sull’asse Y.
Al valore 11,25 m sull’asse Y corrisponde il valore ….....… s sull’asse X.
Al valore 20,00 m sull’asse Y corrisponde il valore ….....… s sull’asse X.
Y (m)
O
1
2
3
4
X (s)
È tutto chiaro?… Controlla!
Se hai capito bene le caratteristiche della proporzionalità quadratica, puoi tentare di svolgere gli esercizi.
1 Individua quali tra le seguenti tabelle rappresentano grandezze X e Y legate fra
loro da una relazione di proporzionalità quadratica e quali no. In caso di risposta affermativa, verifica le proprietà 1, 2 e 3 in modo analogo a quanto visto
nell’esempio e nel percorso guidato e poi esegui la rappresentazione grafica.
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Tabella A
Tabella B
2
Tabella C
X
Y
X2
Y/X 2
...
0,5
0,8
...
...
...
...
1,0
1,6
...
...
27
...
...
1,5
2,4
...
...
12
48
...
...
2,0
3,2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
X
Y
X
2
X
Y
X2
Y/X 2
...
3
9
...
...
1/2
0,1
...
...
...
...
6
81
...
...
1
0,4
...
...
90
...
...
9
729
...
...
3/2
0,9
...
...
20
160
...
...
12
6561
...
...
2
1,6
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
X
Y
X
1
2
...
2
8
3
Y/X
2
2
X
Y
X
...
3
3
...
...
...
6
12
18
...
...
9
4
32
...
...
...
...
...
...
X
Y
X
2
5
10
...
10
40
15
Tabella D
Y/X
2
Tabella E
Y/X
2
Tabella F
Y/X
2
NonsoloMatematica
M11
2 Completa le seguenti tabelle, nell’ipotesi che X e Y siano grandezze che hanno
fra loro una relazione di proporzionalità quadratica.
Tabella A
Tabella B
Tabella C
Tabella D
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
2
1
3
6
1/2
10
120
72
...
...
3/2
...
...
...
60
...
6
...
...
2/3
...
90
...
8
...
16
3/4
...
2
...
30
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1.3 Grandezze inversamente proporzionali
Devi sapere…
4 × 12 = 48
8 × 6 = 48
16 × 3 = 48
Riesci a intuire quale relazione lega la base del
rettangolo all’altezza, nel caso in cui l’area
rimanga comunque costante? Riordiniamo i
dati secondo una tabella. La scelta della base è
arbitraria (variabile indipendente X), mentre
l’altezza viene determinata di conseguenza
(variabile dipendente Y).
Come puoi osservare, nella terza colonna si ha
che il prodotto tra la base e l’altezza non cambia mai:
base ⋅ altezza = 48 = costante
Tabella 1
X
base
(cm)
Y
altezza
(cm)
Y◊X
base ◊ altezza
(cm2)
1
48
1 ⋅ 48 = 48
2
24
2 ⋅ 24 = 48
3
16
3 ⋅ 16 = 48
4
12
4 ⋅ 12 = 48
...
...
...
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Un rettangolo ha un’area fissa di 48 cm2. Se la sua base misura 4 cm, l’altezza è di
12 cm; se la base è di 8 cm, allora l’altezza deve essere di 6 cm; se vale 16 cm, allora l’altezza diventa 3 cm…
M12
NonsoloMatematica
In generale, quando due grandezze X e Y possiedono questa proprietà, vengono
dette inversamente proporzionali.
Dunque, la base e l’altezza dell’esempio da noi proposto sono inversamente proporzionali.
1a proprietà
Il prodotto tra due grandezze inversamente proporzionali è costante:
X ⋅ Y = K = costante
2a proprietà
La rappresentazione matematica di due grandezze inversamente proporzionali ha
come equazione:
Y=
K
X
(Si può ricavare l’equazione così scritta da X ⋅ Y = K, dividendo per X a sinistra e a
destra dell’uguale: X ⋅ Y = K . Semplificando poi la X al primo membro, si ottiene
X
X
l’equazione voluta).
Rielaboriamo la tabella 1, indicando la lunghezza da 1 cm della base con un cerchietto ❍ e la lunghezza da 4 cm con un quadratino ❑. Otteniamo in questa
maniera la tabella 2.
Tabella 2
X
base
(cm)
Y
altezza
(cm)
❍
❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑
❍❍
❑❑❑❑❑❑
❍❍❍
❑❑❑❑
❍❍❍❍
❑❑❑
...
...
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Puoi constatare visivamente in modo immediato che:
• se la lunghezza della base raddoppia, l’altezza diventa la metà;
• se la lunghezza della base triplica, allora l’altezza diventa un terzo.
E così via.
Questa è la caratteristica fondamentale delle grandezze inversamente proporzionali.
3a proprietà
Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando… una, l’altra diventa la metà, un terzo… E se una diventa la metà, un
terzo…, a sua volta l’altra diventa il doppio, il triplo…
NonsoloMatematica
M13
Esaminiamo le conseguenze grafiche di questo tipo di proporzionalità.
Y (cm)
56
52
48
44
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
O
1
2
3
4
X (cm)
Sulla retta orizzontale (detta asse delle ascisse o delle X) riportiamo di solito i valori della variabile indipendente, che in questo caso è la lunghezza della base.
Sulla retta verticale (detta asse delle ordinate o delle Y) disponiamo i valori
dell’altra variabile, quella dipendente, vale a dire la lunghezza dell’altezza.
Congiungendo i punti rappresentativi di ogni coppia di valori relativi alla base e
all’altezza, tracciamo una curva che viene denominata ramo di iperbole.
4a proprietà
La rappresentazione grafica di due grandezze inversamente proporzionali è un
ramo di iperbole.
Provaci tu…
In un negozio specializzato ci sono numerose confezioni di caramelle. Abbiamo a
disposizione complessivamente 30 Euro. Se scegliamo la confezione più piccola,
che costa 2,50 Euro, possiamo comprare 12 confezioni. Se ci orientiamo su quella da 5 Euro, riusciamo a comprarne 6. Ma se ci facciamo tentare da quella il cui
prezzo è 7,50 Euro, scendiamo a 4 confezioni, e solo a 3 se desideriamo la confezione da 10 Euro…
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Completa il percorso guidato nella pagina seguente inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
M14
NonsoloMatematica
Completa la tabella 3, che serve per riassumere le varie possibili combinazioni ora
espresse.
Tabella 3
X
costo
(Euro/confezione)
Y
numero di
confezioni
Y◊X
costo◊ numero
(Euro)
2,50
12
2,5 0 ⋅ 12 = 30
5
...
...
7,50
...
...
10
...
...
...
...
...
Nella terza colonna calcola, in corrispondenza di ogni riga, il prodotto X ⋅ Y e inserisci i risultati.
Qual è la variabile indipendente? ………..................………. Con quale simbolo è indicata?……............………
Qual è la variabile dipendente?
………..................……….
Con quale simbolo è indica-
ta?………............……
1a proprietà
Il prodotto X ⋅ Y è …………………………... Il suo valore è ……………………………………..
2a proprietà
Le due grandezze sono legate dall’equazione: Y =
.....
X ....
3a proprietà
Se la X raddoppia e passa da 2,50 a 5 Euro, la Y ………………............…… e passa da 12
a ……............…...
Se la X triplica e passa da 2,50 a 7,50 Euro, la Y ………………............…… e passa da 12
a ……............…...
4a proprietà
Esegui la rappresentazione grafica nello spazio fornito sotto.
Il grafico è una …………………………………………………...
Al valore 5 Euro sull’asse X corrisponde il valore …....… sull’asse Y.
Al valore 4 sull’asse Y corrisponde il valore …....… Euro sull’asse X.
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Al valore 3 sull’asse Y corrisponde il valore …....… Euro sull’asse X.
Y (numero di
confezioni)
O
5
10
15
20 X (Euro/
confezione)
NonsoloMatematica
M15
È tutto chiaro?… Controlla!
Ti proponiamo di mettere alla prova la tua comprensione sulla proporzionalità
inversa con i seguenti esercizi.
1 Individua quali tra le tabelle riportate qui sotto rappresentano grandezze
inversamente proporzionali e quali no. In caso di risposta affermativa verifica
le proprietà 1, 2, 3 in modo analogo a quanto visto nel percorso guidato e poi
esegui la corrispondente rappresentazione grafica.
Tabella A
Tabella B
Tabella C
Tabella D
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
5
24
10
1
6
1/2
5
1,6
10
12
9
2
8
3/8
10
0,8
15
8
8
3
10
3/10
15
0,4
20
6
7
4
12
1/4
20
0,2
...
...
...
...
...
...
...
...
Tabella E
Tabella F
Tabella G
Tabella H
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
0,1
1/4
3
15
25
40
0,3
4
0,2
1/8
6
7,5
50
20
0,6
8
0,4
1/16
9
5
75
10
0,9
12
0,8
1/32
12
3,75
100
5
1,2
16
...
...
...
...
...
...
...
...
2 Completa le seguenti tabelle in modo che X, Y risultino grandezze inversa-
mente proporzionali:
Tabella B
Tabella C
Tabella D
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
0,2
15
5
4/5
0,8
96
210
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
0,8
...
...
1/5
...
24
...
...
...
...
...
...
...
...
42
...
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Tabella A
M16
NonsoloMatematica
1.4 Arrotondamento
Devi sapere…
Non sempre – anzi, quasi mai! – i risultati finali o intermedi dei calcoli danno
valori numerici con un numero di cifre limitato. Al contrario, capita con una certa
frequenza di avere a che fare con numeri con molte o, in teoria, infinite cifre
(prendi per esempio il valore di π) e di ritrovarsi quindi con la necessità di arrotondarli. Prendiamo il caso della divisione:
0,2/22,8 = 0,00877192825
È evidente che non ci servono tutte le cifre, per cui ricorriamo all’arrotondamento matematico.
Per tagliare un numero in corrispondenza di una determinata cifra, si osserva la
cifra immediatamente successiva (cioè alla sua destra): se quest’ultima cifra va da
0 a 4, allora si arrotonda il numero per difetto, vale a dire che il numero viene
ARROTONDAMENTO scritto immutato fino alla cifra scelta, eliminando semplicemente quelle successiMATEMATICO ve; se, invece, la cifra alla quale si vuole interrompere la scrittura del numero è
seguita da una cifra che va da 5 a 9, in tal caso l’arrotondamento viene fatto per
eccesso, per cui si incrementa di 1 la cifra alla quale si vuole interrompere il
numero e, come prima, si taglia la parte restante.
Arrotondamento per difetto
Esempio 1
Supponi di volere riportare il numero 0,00877192825 solamente con cinque cifre
decimali. Devi scrivere il numero fino alla cifra che ora indichiamo in grassetto (il
secondo 7 dopo la virgola):
0,00877192825
Dunque, va eliminata la parte alla destra del 7. La prima cifra a destra del 7 è quella che riportiamo in rosso:
0,00877192825
Dato che tale cifra è compresa tra 0 e 4, l’arrotondamento va eseguito per difetto.
Trovi in conclusione:
0,00877192825
→
0,00877
Arrotondamento per eccesso
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Esempio 2
Ricorda!...
Dopo averlo arrotondato, il
numero non deve cambiare
ordine di grandezza. Se cioè
arrotondi 0,006658, non
puoi trovare 0,67 o 67.
Così come, se arrotondi
34589, non puoi avere alla
fine 346 (bensì 34 600!).
Supponi di volere riportare il numero 0,00877192825 solamente con quattro cifre
decimali.
Il numero va scritto fino alla cifra indicata in grassetto (il primo 7 dopo la virgola):
0,00877192825
Devi eliminare la parte alla destra del 7. La cifra successiva rispetto al primo 7
dopo la virgola la indichiamo in rosso:
0,00877192825
Dato che tale cifra in questione si trova tra il 5 e il 9, è necessario arrotondare per
eccesso, aumentando il 7 di 1 e portandolo a 8. Alla fine hai:
0,00877192825
→
0,0088
NonsoloMatematica
M17
Provaci tu…
Verifica se hai capito come arrotondare i numeri, svolgendo il percorso degli
esempi sottostanti, completando le parti in cui compaiono i puntini.
1 Arrotonda il numero 0,00877192825 scrivendolo con sei cifre decimali.
Sulla base di quanto visto, puoi evidenziare la cifra interessata:
0 , 0 0 8 7 7 ..................
Dopodiché, evidenzi la cifra immediatamente alla sua destra, che è:
0 , 0 0 8 7 7 ..................
Dato che quest’ultima cifra è compresa fra .................. e .................., si deve arrotondare per .................................... Il risultato finale è perciò:
0 , 0 0 8 7 7 ...
2 Arrotonda il numero 0,00877192825 scrivendolo con sette cifre decimali.
Come prima cosa, evidenzi la cifra in questione:
0 , 0 0 8 7 7 1 ..................
Dopodiché, evidenzi la cifra successiva, vale a dire:
0 , 0 0 8 7 7 1 ..................
Poiché quest’ultima cifra è compresa fra ........................ e ......................., l’arrotondamento va eseguito per .................................... Il numero arrotondato è quindi:
0 , 0 0 8 7 7 1 ...
È tutto chiaro?… Controlla!
1
0,97531
9
0,00045083
2
6,12068
10
93,087
3
43,9487
11
0,004415
4
79322
12
125,525
5
0,0022642
13
954
6
0,083691
14
7891
7
0,59701
15
33488
8
2785
16
133330
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Arrotonda per eccesso o per difetto, a seconda dei casi, i seguenti numeri, scrivendoli fino alla cifra (compresa!) riportata in grassetto.
M18
NonsoloMatematica
1.5 Potenze e notazione scientifica
Potenze
Devi sapere…
Nella tabella 1 riassumiamo, con i rispettivi esempi, le proprietà sulle potenze che
devi ripassare.
Tabella 1
proprietà delle potenze
53 ⋅ 57 = 5 3 + 7 = 510
a m : a n = a m − n (2)
78 : 72 = 7 8 − 2 = 76
(a m )n = a m ⋅ n
(3)
(94)3 = 94 ⋅ 3 = 912
(4)
2−5 n
a− n =
m+n
esempio di applicazione
(1)
a ⋅a = a
m
1
an
1
25
Provaci tu…
Completa il percorso guidato che segue (tabella 2), inserendo i risultati al posto dei
puntini.
Tabella 2
passaggi
(1)
= [(2..... : 26)2 : 25]−2 =
(2)
= [(2..... )2 : 25]−2 =
(3)
= [2..... : 25]−2 =
(2)
= [2..... ]−2 =
(3)
= 2− ..... =
(4)
1
1
=
2... 64
È il risultato cercato.
3
=
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proprietà da applicare
5 −2
[(2 ⋅ 2 : 2 ) : 2 ] =
7
6 2
È tutto chiaro?… Controlla!
Applicando le proprietà delle potenze risolvi i seguenti esercizi:
1 102 ⋅ 103 : 104
2 (24)3 ⋅ 2−6 : (22 ⋅ 22)
3 [(53 ⋅ 55 : 54)3 : (52)5]−1
[101 = 10]
[22 = 4]
1⎤
⎡ −2 1
⎢⎣5 = 52 = 25 ⎥⎦
NonsoloMatematica
M19
Notazione scientifica
PREMESSA
Non è raro avere a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli.
L’hard disk di un computer può avere
una memoria di 80 000 000 000 di byte.
La traccia dei compact disk ha
una larghezza all’incirca di
0,000001 m.
Scrivere dei numeri con molti zeri è scomodo e non facilita la comprensione. Per
ovviare a questo inconveniente, si utilizza la notazione scientifica, che è una
scrittura impostata nel modo seguente:
A,bcd… ◊ 10n
dove A è un numero intero compreso fra 1 e 9, bcd… sono le cifre decimali e 10n rappresenta una potenza con base 10 ed esponente intero n. Vediamo come si procede.
NUMERI MAGGIORI DI 1
Devi sapere…
Supponiamo di avere un numero scritto normalmente, cioè nella notazione decimale, e di doverlo riscrivere ricorrendo alla notazione scientifica:
notazione decimale
→
notazione scientifica
Scriviamo, usando la notazione scientifica, il numero 1 250 000 000.
1 250000000
Isoliamo la prima cifra (1) dal resto del numero.
1 250000000
Contiamo quante sono le cifre rimanenti dopo di essa (9).
1, 250000000
Mettiamo la virgola dopo la prima cifra. Infine, moltiplichiamo 1,25 per 10 elevato 9.
1,25 ◊ 109
È il risultato cercato.
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Esempio 1
M20
NonsoloMatematica
Ma può capitare di avere il problema inverso e di dover passare da un numero
in notazione scientifica al numero scritto secondo la consueta notazione decimale:
notazione scientifica
→
notazione decimale
Vediamo concretamente come è necessario procedere.
Esempio 2
Scriviamo, ricorrendo alla notazione decimale, il numero 8,92175 ⋅ 102.
892175
Scriviamo il numero (8,92175) che moltiplica la potenza del
10, togliendo la virgola.
8,92175 ⋅ 102
Dall’esponente del dieci (2) sottraiamo il numero di cifre
decimali, cioè dopo la virgola (5) ⇒ 2 − 5 = − 3.
892,175
Questa differenza (− 3), avendo segno negativo, esprime il
fatto che le ultime 3 cifre (175) rimangono a destra della
virgola.
892,175
È il risultato cercato.
In questo esempio possiamo constatare come il risultato in effetti non porti ad altro
che a spostare la virgola verso destra di un numero di posizioni pari all’esponente
del 10:
8,92175 ⋅ 102
→
892,175
Provaci tu…
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Consolida quanto appreso con il percorso guidato, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
1 Scrivi in notazione scientifica 7 594 000 000 000.
... 594000000000
Isola la prima cifra ( ...) dal resto del numero.
7 .......................
Conta quante sono le cifre rimanenti dopo
di essa (..........).
...,.......................
Metti la virgola dopo la prima cifra. Infine,
moltiplica ............... per 10 elevato.....
7,594 ⋅ 1012
È il risultato cercato.
NonsoloMatematica
M21
2 Scrivi in notazione decimale 5,416 ⋅ 107.
5 ..........
Scrivi il numero (............) che moltiplica la
potenza del 10, togliendo la virgola.
5,416 ...
Dall’esponente del dieci (...) sottrai il numero di cifre decimali, cioè dopo la virgola (...)
⇒ ... − ... = 4.
5416.........
Aggiungi, dopo il numero riportato senza
virgola, tanti zeri quanti indicati dalla differenza appena trovata (...).
54 160 000
È il risultato cercato.
È tutto chiaro?… Controlla!
Prova ora ad allenarti senza nessun aiuto tramite gli esercizi che seguono.
• Scrivi in notazione scientifica:
1 700 = ............................................................
2 3150 = ..........................................................
3 42 000 = ......................................................
4 50 000 000 000 = ......................................
5 100 000 = ....................................................
6 7193 = ..........................................................
7 57 572 = ......................................................
8 900 000 000 000 = ....................................
• Scrivi in notazione decimale:
9 3 ⋅ 102 = ........................................................
10 7,12 ⋅ 104 = ..................................................
11 6 ⋅ 103 = ........................................................
13 3,34185 ⋅ 103 = ..........................................
14 78 ⋅ 105 = ......................................................
15 1 ⋅ 107 = ........................................................
16 2,6934 ⋅ 102 = ..............................................
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12 9,543 ⋅ 102 = ................................................
M22
NonsoloMatematica
NUMERI MINORI DI 1
Devi sapere…
Ipotizziamo di avere un numero molto piccolo in notazione decimale e di volerlo
riportare facendo uso della più comoda notazione scientifica:
notazione decimale
→
notazione scientifica
Come prima, vediamo che cosa è necessario fare, esaminando degli esempi.
Esempio 1
Scrivi in notazione scientifica 0,0002.
0,0002
Conta le cifre decimali (4), cioè a destra della virgola, fino
alla prima cifra diversa da zero (in questo esempio c’è solo
il 2), che va contata.
2
Scrivi da sola, eliminando tutti gli zeri che la precedono, la
cifra in questione.
10− 4
Prendi la potenza di 10 con esponente pari al numero di
cifre decimali (4) contate in precedenza, con il segno però
negativo (− 4).
2 ⋅ 10- 4
È il risultato cercato.
Esempio 2
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Riporta in notazione scientifica il numero 0,0000839.
0, 00008 39
Conta il numero delle cifre decimali (5), cioè a destra della
virgola, fino alla prima cifra (8) diversa da zero.
839
Scrivi il numero eliminando tutti gli zeri che precedono la
prima cifra non nulla (8).
8,39
Metti la virgola subito a destra della prima cifra (che è sempre 8).
10− 5
Prendi la potenza di 10 con esponente pari al numero di
cifre decimali (5) contate in precedenza, con il segno però
negativo (− 5).
8,39 ⋅ 10- 5
È il risultato cercato.
NonsoloMatematica
M23
Anche nel caso di numeri molto piccoli può succedere di volere passare da un numero in notazione scientifica al suo corrispondente riportato in notazione decimale:
notazione scientifica
→
notazione decimale
Ecco che cosa è necessario fare.
Esempio 3
Scrivi in notazione decimale il numero 4 ⋅ 10−5.
In sostanza la conversione consiste nell’esecuzione di una moltiplicazione. Infatti,
moltiplicare per 10−5 equivale a dividere per 105, vale a dire dividere per 100 000.
4
Scriviamo il numero (4) che moltiplica la potenza del 10.
10− 5
Considera l’esponente della base 10, non tenendo conto del
segno (5).
00000 4
A sinistra del numero scritto prima (4), inseriamo tanti zeri (5)
fino a raggiungere il valore senza segno dell’esponente di 10.
0,00004
Inserisci la virgola subito a destra del primo zero.
0,00004
È il risultato cercato.
Ti facciamo rilevare che, come nel risultato finale della conversione, la prima cifra
diversa da zero (4) occupa la quinta (5) posizione dopo la virgola, così tale cifra
coincide con il valore dell’esponente di 10 (segno a parte).
Esempio 4
792
Scrivi il numero che moltiplica la potenza di 10, senza la
virgola (792).
10− 4
Considera l’esponente della base 10, non tenendo conto del
segno (4).
0000 792
A sinistra del numero scritto prima (792), inseriamo tanti
zeri (4) fino a raggiungere il valore senza segno dell’esponente di 10.
0,000792
Inserisci la virgola subito a destra del primo zero.
0,000792
È il risultato cercato.
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Scrivi in notazione decimale il numero dato in notazione scientifica 7,92 ⋅ 10−4.
M24
NonsoloMatematica
Provaci tu…
Segui adesso il percorso guidato, costituito da due esercizi, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
1 Scrivi in notazione scientifica il numero 0,00000093.
0,....................3
Conta il numero delle cifre decimali ( ...),
cioè a destra della virgola, fino alla prima
cifra (...) diversa da ……
0,000000 ..........
Scrivi il numero eliminando tutti gli zeri
che precedono la prima cifra non nulla (...).
... , ...
Metti la virgola subito a destra della prima
cifra (che è ...).
10− ...
Prendi la potenza di 10 con esponente pari
al numero di cifre decimali (...) contate in
precedenza, con il segno però negativo (–...).
9,3 ⋅ 10- 7
È il risultato cercato.
2 Scrivi in notazione decimale il numero scritto in notazione scientifica
5,812 ⋅ 10 −5.
Devi fondamentalmente effettuare una moltiplicazione. Moltiplicare per 10 −5 equivale a dividere per 10…, ovvero dividere per 1………
.............
Scrivi il numero che moltiplica la potenza di
10, senza la virgola (………).
10− ...
Considera l’esponente della base 10, non tenendo conto del segno (...).
0 ........... ..........
A sinistra del numero scritto prima
(………), inserisci tanti zeri (...) fino a raggiungere il valore senza segno dell’esponente di 10.
0, ....................
Inserisci la virgola subito a destra del primo
zero.
0,00005812
È il risultato cercato.
È tutto chiaro?… Controlla!
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Seguono gli esercizi necessari a verificare la tua padronanza su questo argomento.
• Scrivi in notazione scientifica:
• Scrivi in notazione decimale:
1 0,5 = …………..............…..................…...
7 2 ⋅ 10 −2 = ………….............................…….
2 0,0021 = …………........................……...
8 4,39 ⋅ 10 −5 = ………….......................……
3 0,0000573 = …………................……...
9 5 ⋅ 10 −3 = ………….............................…….
4 0,00000009 = …………..............……...
10 7,4388 ⋅ 10 −2 = ………….................…….
5 0,00002 = ………….....................……...
11 2,53172 ⋅10 −3 = …………...............…….
6 0,8126 = …………........................……...
12 37 ⋅ 10 −5 = …………..........................…….
NonsoloMatematica
M25
1.6 Equivalenze
In Fisica, così come in altre discipline scientifiche, ti capiterà spesso di dover
riportare i dati in una differente unità rispetto a quella con cui vengono forniti.
È più comodo esprimere la massa trasportata da questo grosso TIR in kilogrammi
oppure utilizzando un suo multiplo come la tonnellata (che equivale a 1000 kg)?
Multipli
Devi sapere…
I multipli e i sottomultipli delle unità di misura vengono indicati facendo precedere
il nome dell’unità considerata da un particolare prefisso, al quale corrisponde un simbolo letterale che a sua volta viene abbinato a quello che rappresenta l’unità stessa.
Nella tabella 1 riportiamo i prefissi dei multipli, il simbolo con cui viene rappresentato, l’operazione che bisogna effettuare rispetto all’unità di base e la potenza
del 10 corrispondente. In colore rosso sono segnalati quelli di maggiore uso e che
devi imparare: vi riconoscerai una terminologia familiare, in parte a causa della
pratica quotidiana (il kilometro, per esempio) e in parte grazie all’informatica, in
cui è normale parlare di megabyte.
(Se sulle potenze hai delle difficoltà, puoi consultare la precedente scheda di
matematica Potenze e notazione scientifica).
Tabella 1
multipli
simbolo
operazione
potenza di 10
tera
T
◊ 1 000 000 000 000
◊ 1012
giga
G
◊ 1 000 000 000
◊ 109
mega
M
◊ 1 000 000
◊ 106
kilo
k
◊ 1 000
◊ 103
etto
h
◊ 100
◊ 102
deca
da
◊ 10
◊ 101
Vediamo alcuni esempi. (Non preoccuparti se non conosci tutte le unità di misura: concentrati piuttosto sui loro prefissi).
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prefisso
M26
NonsoloMatematica
Ricorda!...
OPERAZIONI DIRETTE
Quando passi da un multiplo all’unità di base, il
numero che ottieni al termine dell’equivalenza
deve essere più grande:
5,379 → 5379.
Esempio 1
Quanti metri (m) corrispondono a 5,379 kilometri (km)?
Come vedi dalla tabella 1, il prefisso «kilo» significa che devi moltiplicare per
1000:
5,379 km = 5,379 ⋅ 1000 = 5379 m
OPERAZIONI INVERSE
Ricorda!...
Esempio 2
Quando passi da un’unità
di base a un suo multiplo,
il numero che ottieni al
termine dell’equivalenza
deve essere più piccolo:
145 → 1,45.
Quanti ettogrammi (hg) corrispondono a 145 grammi (g)?
Dato che per trasformare gli ettogrammi in grammi è necessario moltiplicare per
100 (vedi tabella 1), allora per passare dai grammi agli ettogrammi devi dividere
per 100:
145 g =
145
= 1, 45 hg
100
Provaci tu…
Effettua adesso i due seguenti percorsi guidati per verificare quanto hai appreso,
inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
1 Trasforma 33 megawatt (MW) in watt (W).
Facendo riferimento alla tabella 1, puoi constatare che il prefisso «mega» vuol
dire moltiplicare per ………………:
33 MW = 33 ⋅ ……………… = ……………… W
Quando compaiono tanti zeri, ovviamente conviene utilizzare i multipli. Oppure,
si fa ricorso alle potenze del 10, scrivendo semplicemente:
33 MW = 33 ⋅ 106 W
2 Trasforma 48 200 000 byte (b) in gigabyte (Gb).
Dal momento che «giga» vuol dire moltiplicare per …………………, dovendo effettuare il passaggio inverso, devi dividere per tale numero:
48200000 b =
48200000
................
=
……………… Gb
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Per una scrittura più compatta, talvolta è opportuno utilizzare le potenze del 10
con esponente negativo:
……………… Gb
= 4,82 ⋅ 10− 2 Gb
Sottomultipli
Devi sapere…
Nella tabella 2 sono indicati i prefissi dei sottomultipli, il loro simbolo, l’operazione che è necessario effettuare per passare all’unità di base e la potenza del 10 relativa. In rosso sono segnalati quelli di maggiore uso e che devi ricordare: anche qui
ritroverai dei termini conosciuti (come il centimetro), mentre altri ti capiterà di
incontrarli proprio nello studio della Fisica.
NonsoloMatematica
M27
(Se con le potenze hai qualche problema, prima di continuare leggi la scheda di
matematica Potenze e notazione scientifica).
Tabella 2
sottomultipli
prefisso
simbolo
operazione
potenza di 10
deci
d
: 10
◊ 10-1
Ricorda!...
centi
c
: 100
◊ 10-2
milli
m
: 1000
◊ 10-3
micro
m
: 1 000 000
◊ 10-6
nano
n
: 1 000 000 000
◊ 10-9
pico
p
: 1 000 000 000 000
◊ 10-12
Non cadere nella trappola
di pensare che deci, centi,
milli... vogliano dire “per
dieci”, “per cento”, “per
mille”... perché al contrario significano “diviso
dieci, cento, mille”...
OPERAZIONI DIRETTE
Ricorda!...
Esempio 3
Quando passi da un sottomultiplo all’unità di base, il
numero che ottieni, una
volta effettuata l’equivalenza, deve essere più piccolo: 125 → 0,125.
Quanti grammi (g) corrispondono a 125 milligrammi (mg)?
Come vedi dalla tabella 2, il prefisso «milli» significa che devi dividere per 1000:
125 mg = 125 : 1000 = 0,125 g
OPERAZIONI INVERSE
Esempio 4
Ricorda!...
Quanti nanosecondi (ns) corrispondono a 9,723 secondi (s)?
Dato che per trasformare i secondi in nanosecondi bisogna dividere per
1 000 000 000 (vedi tabella 2 in corrispondenza del prefisso «nano»), ne segue che
per il passaggio inverso devi moltiplicare per 1 000 000 000:
Quando passi dall’unità di
base a un sottomultiplo, il
numero trovato a conclusione dell’equivalenza
deve essere più grande:
9,273 → 9 723 000 000.
9,723 s = 9,723 ⋅ 1 000 000 000 = 9 723 000 000 ns
Provaci tu…
Completa ora i seguenti percorsi guidati per controllare ciò che hai imparato,
inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
3 Trasforma 75 milliampere (mA) in ampere (A).
Facendo riferimento alla tabella 2, puoi notare che il prefisso «milli» vuol dire
dividere per …………...........:
Se preferisci utilizzare le potenze del 10 con esponente negativo, puoi anche scrivere: 75 mA = 75 ⋅ 10 −3 A.
4 Trasforma 0,000169 farad (F) in microfarad (mF).
Dato che «micro» vuol dire dividere per ………….................., dovendo effettuare il passaggio inverso, è sufficiente che moltiplichi per ……….....…......:
0,000169 F = 0,000169 ⋅ …….....…...... = …………................ μF
Facendo uso della notazione scientifica, avresti:
0,000169 F = 1,69 ⋅ 10 − 4 F = 1,69 ⋅ 10 2 μF
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
75 mA = 75 : ….....……… = ……….....… A
M28
NonsoloMatematica
Equivalenze miste
Devi sapere…
Può risultare necessario dover passare da un multiplo dell’unità di base a un sottomultiplo (dai kilometri ai centimetri), oppure da un sottomultiplo dell’unità di
base a un suo multiplo (per esempio, dai decigrammi agli etti). Per fare questo,
non serve nessuna conoscenza ulteriore rispetto a quanto già visto, ma basta combinare i passaggi dal multiplo all’unità di base e quindi da quest’ultima al sottomultiplo; o viceversa…
Passiamo perciò direttamente agli esempi pratici.
OPERAZIONI DIRETTE
Esempio 5
Quanti centimetri (cm) corrispondono a 0,24 kilometri (km)?
Per passare dai kilometri ai metri bisogna moltiplicare per 1000, ovvero per 103;
mentre per passare dai metri ai centimetri si deve moltiplicare per 100, ovvero per
102. Dunque:
0,24 km = 0,24 ⋅ 1000 m = 0,24 ⋅ 1000 · 100 cm = 0,24 ⋅ 100 000 cm = 24 000 cm
Oppure, usando le potenze del 10:
0,24 km = 0,24 ⋅ 103 m = 0,24 · 103 ⋅ 102 cm =
= 0,24 ⋅ 103 + 2 cm = 0,24 ⋅ 105 cm = 24 000 cm
In definitiva, è sufficiente moltiplicare per una potenza di 10 pari ai passaggi presenti dai kilometri ai centimetri:
km → hm → dam → m → dm → cm
1
2
3
4
5
OPERAZIONI INVERSE
Esempio 6
Quanti megahertz (MHz) corrispondono a 133 300 000 000 millihertz (mHz)?
Per trasformare i millihertz in hertz devi dividere per 1000, o in altri termini moltiplicare per 10− 3; dopodiché, per avere i megahertz, devi dividere ancora per
1 000 000, vale a dire moltiplicare per 10 − 6:
133 300 000 000 mHz = 133 300 000 000 : 1000 Hz =
= (133 300 000 000 : 1000) : 1 000 000 MHz =
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
= 133 300 000 000 : 1 000 000 000 MHz = 133,3 MHz
Altrimenti:
133 300 000 000 mHz = 133 300 000 000 ⋅ 10- 3 Hz =
= 133 300 000 000 · 10− 3 ⋅ 10- 6 MHz =
= 133 300 000 000 ⋅ 10- 3 - 6 MHz =
= 133 300 000 000 ⋅ 10- 9 MHz = 133,3 MHz
In sostanza, quello che è necessario fare è moltiplicare per una potenza di 10 con
esponente negativo pari ai passaggi presenti dai millihertz ai megahertz, che sono
nove (tre dai millihertz agli hertz e sei dagli hertz ai megahertz).
NonsoloMatematica
M29
Provaci tu…
Per verificare di avere compreso correttamente quanto esposto, affronta i due
esempi guidati che seguono, completando i percorsi risolutivi là dove compaiono
i puntini.
5 Converti 0,963 kilovolt (kV) in millivolt (mV).
Basandoti sui casi esaminati prima, puoi procedere così:
0,963 kV = 0,963 ⋅ .......... V = 0,963 ⋅ .......... ⋅ .......... mV = 0,963 ⋅ .......... mV = .......... mV
Ovviamente, se non vuoi riportare tanti zeri, puoi scrivere:
Ricorda!...
0,963 kV = 963 ⋅ 103 mV
o usare anche la notazione scientifica:
0,963 kV = 9,63 ⋅ 105 mV
6 Converti 348,5 centigrammi (cg) in ettogrammi (hg).
Se vuoi dividere, ti basta fare questi passaggi:
348,5 cg = 348,5 : .......... g = (348,5 : ..........): .......... hg = 348,5 : .......... hg = .......... hg
Nel caso tu voglia fare ricorso alle potenze di 10 con esponente negativo, dovrai
moltiplicare:
348,5 cg = 348,5 ⋅ .......... g = 348,5 ⋅ .......... ⋅ .......... hg = 348,5 ⋅ .......... hg = .......... hg
Con la notazione scientifica, avresti:
Nel Sistema Internazionale la massa è l’unica
grandezza che ha una
unità di misura fondamentale con un prefisso:
il kilogrammo, appunto,
anziché semplicemente il
grammo. Questo è dovuto a motivi storici. Cerca
di non fare confusione,
perché qui abbiamo fatto
i diversi passaggi in relazione al grammo, dato
che ci interessava l’aspetto delle equivalenze da
un punto di vista esclusivamente matematico.
348,5 cg = 3,485 ⋅ 10 − 2 hg
È tutto chiaro?… Controlla!
1 28 kilowatt
→
……….............
watt
2 3,60 ettolitri
→
……….............
litri
3 94 400 000 hertz
→
……….............
megahertz
4 465 metri
→
……….............
decametri
5 950 centivolt
→
……….............
volt
6 84,2 centimetri
→
……….............
metri
7 0,005 861 farad
→
……….............
millifarad
8 0,000 777 secondi
→
……….............
microsecondi
9 0,443 kilometri
→
……….............
millimetri
10 136 500 centigrammi
→
……….............
kilogrammi
11 25 ettogrammi
→
……….............
decigrammi
12 0,043 kilowatt
→
……….............
milliwatt
13 784 decimetri
→
……….............
kilometri
14 300 centilitri
→
……….............
decalitri
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Risolvi le seguenti equivalenze:
M30
NonsoloMatematica
1.7 Risoluzione di equazioni
Devi sapere…
Le equazioni sono delle uguaglianze tra due espressioni algebriche del tipo:
6⋅X + 2
=
1° membro
X − 10
2° membro
A seconda del numero che sostituisci al posto della X, l’uguaglianza può risultare
vera o falsa.
Per esempio, se al posto di X metti 5, avrai:
Ricorda!...
Risolvere un’equazione
significa trovare un valore
da attribuire all’incognita (X) in modo tale che
l’uguaglianza risulti vera.
6 ⋅ X + 2 = X − 10
6 ⋅ 5 + 2 = 5 − 10
30 + 2 = 5 − 10
32 = −5
Ma 32 = −5 non è vero, per cui sostituire 5 alla X rende falsa l’uguaglianza.
Dato che non è per niente comodo cercare mediante tentativi il valore che soddisfa l’uguaglianza, per trovare una soluzione è preferibile seguire una particolare
tecnica.
Esaminiamo i casi di maggiore utilità per noi.
Incognita in un solo membro
Risolviamo, per iniziare, un tipo molto semplice di equazione:
5 ⋅ X + 4 = 24
1° membro
2° membro
che cosa fare
5⋅X + 4
24
Porta al 2° membro tutti i termini senza incognita, ricordando di cambiare segno.
5⋅X
24 − 4
Esegui le operazioni di somma o di sottrazione al 2°
membro.
5⋅X
20
Dividi ambo i membri per il coefficiente dell’incognita X:
in questo caso 5.
5 ⋅X
5
20
5
Semplifica opportunamente...
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
X=4
È il risultato cercato.
Tieni presente che scrivere 5 ⋅ X + 4 = 24 oppure 24 = 5 ⋅ X + 4 è la stessa cosa, per
cui puoi scambiare fra loro i due membri, se ciò ti facilita la risoluzione dell’equazione.
NonsoloMatematica
M31
Incognita in entrambi i membri
Vogliamo trovare la soluzione dell’equazione:
2 ⋅ X + 4 = 7 ⋅ (5 ⋅ X − 1)
1° membro
2° membro
che cosa fare
2⋅X + 4
7 ⋅ (5 ⋅ X − 1)
Esegui le operazioni che si possono eventualmente
svolgere (potenze, prodotti e divisioni, somme e sottrazioni), sia al 1° sia al 2° membro.
2⋅X + 4
35 ⋅ X − 7
Porta tutti i termini con l’incognita al 1° membro, ricordando di cambiare segno a quelli che si trovavano al
2° membro.
2 ⋅ X + 4 − 35 ⋅ X
−7
Porta tutti i termini senza incognita al 2° membro, ricordando di cambiare segno a quelli che si trovavano al
1° membro.
2 ⋅ X − 35 ⋅ X
−4−7
− 33 ⋅ X
− 11
Dividi ambo i membri per il coefficiente dell’incognita X:
in questo caso − 33.
− 33
⋅X
− 33
− 11
− 33
Semplifica opportunamente...
X=
1
3
Somma i termini simili in ciascun membro.
È il risultato cercato.
Formule inverse
Anche le formule possono essere pensate come equazioni. Osserva la formula per
calcolare l’area A di un rettangolo di base b e altezza h:
A = b⋅h
Supponi di dover calcolare la base b, noti A e h. Ora la b prende il posto dell’incognita X vista negli esempi precedenti.
1° membro
2° membro
che cosa fare
A
b⋅h
Dividi sia al 1° sia al 2° membro per il termine (in questo caso h) che moltiplica la variabile da determinare
(cioè la b).
A
h
b⋅ h
h
A
h
b
A
h
Dopodiché scambia l’ordine dei due membri...
È il risultato cercato.
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
b=
Semplifica la h al 2° membro.
M32
NonsoloMatematica
Formule inverse con termini quadratici
Data la formula:
A=
B 2
⋅D
C
intendiamo ricavare D.
1° membro
2° membro
che cosa fare
A
B 2
⋅D
C
Sia al 1° sia al 2° membro dividi per B e contemporaneamente moltiplica per C: in altre parole moltiplica
C
per
, che è in sostanza il reciproco del termine che
B
moltiplica D2 (il quadrato di D che dobbiamo ricavare).
A⋅
C
B
C ⋅ B ⋅ D2
B C
A⋅
C
B
D2
Poi scambia l’ordine dei due membri.
C
B
Infine, estraendo la radice quadrata...
A⋅
D2
A⋅C
B
D= ±
Semplifica al 2° membro.
È il risultato cercato.
Provaci tu…
Seguendo i suggerimenti via via forniti, risolvi le equazioni proposte nei due esercizi che seguono, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
1 Ricava l’incognita X nell’equazione:
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
5 ⋅ (X − 2) = 3 ⋅ (4 ⋅ X − 1) + 2
1° membro
2° membro
che cosa fare
5 ⋅ (X − 2)
3 ⋅ (4 ⋅ X − 1) + 2
Esegui le operazioni (potenze, prodotti e divisioni,
somme e sottrazioni) che compaiono nei due membri.
5 ⋅ X − 10
..........................
Porta al 1° membro i termini con l’incognita che si trovano al 2° membro, ricordandoti di cambiare il segno.
5 ⋅ X − 10 − ........
..........................
Porta al 2° membro i termini senza incognita che si trovano al 1° membro, ricordandoti di cambiare il segno.
5 ⋅ X − 12 ⋅ X
..........................
Somma i termini simili.
− 7⋅X
..........................
Dividi ambo i membri per il coefficiente dell’incognita X,
cioè..........
−7
.......
.......
⋅X
− .......
X =−
9
7
Semplificando opportunamente ricavi...
È il risultato cercato.
NonsoloMatematica
M33
2 Determina l’altezza h di un triangolo, conoscendo l’area A e la base b, sapendo
che l’area del triangolo è data dalla formula:
A=
b⋅ h
2
Adesso è la h a svolgere il ruolo di incognita, mentre il 2 prende il posto di una lettera.
1° membro
2° membro
che cosa fare
A
..........
Sia al 1° sia al 2° membro dividi per ......... e contemporaneamente moltiplica per 2: in altre parole moltiplica
per ....... che è in sostanza il reciproco del termine che
.......
moltiplica h).
A⋅
.......
.......
....... b ⋅ h
⋅
....... 2
A⋅
.......
.......
h
h=
2 A
b
Semplifica al 2° membro.
Scambia quindi l’ordine dei due membri.
È il risultato cercato.
È tutto chiaro?… Controlla!
• Risolvi le seguenti equazioni:
1 7 − 4 · (X + 1) = 3 · X − 2 · (X − 3)
[X = − 3/5]
2 6 · X − 2 + 3 · (X − 3) = 5 · X − 2 · (7 · X + 1)
[X = 0,5]
3 2 · X · (X − 1) + 5 · X − 3 = X · (2 · X + 2) − 7 · X + 5
4 2 · (X − 4) − 6 · (X + 1) − 3 = 7 · (X − 2) + 3 · (5 − X)
[X = 1]
[X = − 9/4]
5 X + 3 − 2 · (3 · X − 6) = − (− 2 · X + 9) + 5 · X
[X = 2]
• Nelle seguenti formule ricava la/e lettere indicate tra parentesi:
A=
7
d = L⋅ 2
(D)
[2⋅A/d]
(L)
[d ⋅
8 A = 4 ⋅ π ⋅ r2
(r)
±
4
⋅ π ⋅ r3
3
(r)
⎡3 3 ⋅ V ⎤
⎢
⎥
⎣ 4⋅π⎦
9
V=
⎡±
⎣
2/2
1
2
]
A
π
I 2 − C22 ⎤
⎦
10 I 2 = C12 + C22
(C1)
11 h = C1 ⋅ C2
(I)
12 A = B ⋅ D
(B, C, D)
[A ⋅ C/D;…;…]
B
D⋅C
(B, C, D)
B
⎡
⎤
⎢⎣…; A ⋅ D ;…⎥⎦
I
C
13 A =
⎡ C1 ⋅ C2 ⎤
⎢⎣ h ⎥⎦
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
D⋅d
2
6
M34
NonsoloMatematica
14 A = B
2
⎡…, ±
⎣
(B, C)
C
15 A ⋅ B = C
D
B / A⎤
⎦
C ⎤
⎡
⎢⎣…; …; …; A ⋅ B ⎥⎦
(A, B, C, D)
1.8 Geometria piana
Devi sapere…
Sintesi di geometria piana.
Tabella 1
figura
area
proprietà
C
AB = b
h
CH = h
90°
H b
B
triangolo scaleno
A
C
AC = c1
c1 90° c2
CB = c2
90°
A H
B
triangolo rettangolo
C
60°
h
CB = l
HB = l/2
l
90°60°
H l/2 B
triangolo equilatero
60°
A
D
b h AB CH
=
2
2
teorema di Pitagora
c c
AC CB
area = 1 2 =
2
2
2
l
3
4
CB 2
area =
3
4
area =
AB =
AC 2 + CB2
AC =
AB2 − BC 2
triangolo HBC
(30° – 60° – 90°)
l
3
2
2 h
l=
3
h=
C
AB = b
h BC = h
AC = d
90°
B
b
rettangolo
d
A
D
d
90°
l
B
quadrato
45°
A
area = b h
area = AB BC
C
45°
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
area =
AB = l
AC = d
cerchio
AC =
AB2 + BC 2
triangolo ABC
(45° – 90° – 45°)
area = l 2
area = AB2
r
O
diagonale
area = π r 2
d = l 2
d
l=
2
lunghezza della circonferenza
(contorno del cerchio)
L = 2 π r
NonsoloMatematica
M35
Provaci tu…
Dopo avere ripassato le principali regole di geometria piana, ti proponiamo due
percorsi guidati.
Completali, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
1 Formule dirette. Completa la tabella 2.
Tabella 2
figura
dati
trova
svolgimento
C
AB = b
h
CH = h
90°
H b
B
triangolo scaleno
A
C
AC = c1
c1 90° c2
CB = c2
90°
A H
B
triangolo rettangolo
AB = 10 cm
CH = 8 cm
AC = 15 cm
BC = 20 cm
area =
l’area
=
=
AC 2 + ... =
..... + ..... =
= 25 cm
...
3=
2
...
= 3 = 6 3 cm
2
...2
b)area =
3=
4
...2 3
=
=
4
= 36 3 cm2
a ) CH =
C
60°
h
CB = l
HB = l/2
l
AB = 12 cm
90°60°
H l/2 B
triangolo equilatero
a) l’altezza
b) l’area
60°
A
.....
= 40 cm2
2
AB =
l’ipotenusa
AB ...
=
2
D
C
AB = b
h BC = h
AC = d
90°
B
d
A
b
AB = 15 cm
BC = 8 cm
la diagonale
AB = 7 cm
la diagonale
AC = ... + BC 2 =
=
..... + ..... = 17 cm
rettangolo
C
45°
d
45°
A
l
90°
B
AB = l
AC = d
AC = ... 2 =
= ... 2 cm
quadrato
r
O
r = 16 cm
a) la lunghezza della
circonferenza
b) l’area del cerchio
a ) L = 2 π ... =
= 2 π ... = 32 π
b )area = π ... =
= π .... = 256 π cm2
cerchio
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
D
M36
NonsoloMatematica
2 Formule inverse. Completa la tabella 3.
Tabella 3
figura
dati
trova
C
AB = b
h
CH = h
90°
H b
B
triangolo scaleno
A
C
AC = c1
c1 90° c2
CB = c2
90°
A H
B
triangolo rettangolo
C
60°
h
60°
l’altezza CH
AB = 15 cm
AC = 9 cm
il cateto CB
CB =
CH =
..... − ..... = 12 cm
=
il lato
=
4 ...
3
=
4 ..... 3
3
= 1296 cm2
=
AB = ..... = 36 cm
m
triangolo equilatero
D
AB2 − ... =
CB2 =
area = 324 3 cm2
90°60°
H l/2 B
A
area = 175 cm
AB = 25 cm
2 area
=
...
2 ...
14 cm
=
...
2
CB = l
HB = l/2
l
svolgimento
C
AB = b
h BC = h
AC = d
90°
B
d
b
A
...
=
h
576
=
= 32 cm
18
b=
area = 576 cm2
h = 18 cm
la base
area = 2025 cm2
il lato
rettangolo
D
C
45°
d
90°
45°
l
A
B
quadrato
AB = l
AC = d
= ..... = 45 cm
r=
r
O
l = ... =
area = 784 π cm2
il raggio
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
=
cerchio
...
=
π
..... π
= 28 cm
π
NonsoloMatematica
M37
È tutto chiaro?… Controlla!
Svolgi senza guida i seguenti esercizi.
Formule dirette
1 In un triangolo scaleno la base è 25 dm e l’altezza 32 dm. Calcola l’area.
[400 dm2]
2 In un triangolo rettangolo un cateto misura 16 m e l’altro 30 m. Calcola la
misura dell’ipotenusa.
[34 m]
3 Il lato di un triangolo equilatero misura 14 cm. Calcola l’area.
⎡49 ⋅ 3 cm2 ⎤
⎣
⎦
4 Un rettangolo ha dimensioni 24 cm e 45 cm. Calcola la misura della diagonale.
[51 cm]
5 Il lato di un quadrato misura 22 m. Calcola la misura della diagonale.
⎡22 ⋅ 2 m⎤
⎣
⎦
6 In una circonferenza il raggio è 36 cm. Calcola la lunghezza della circonferen-
za e l’area del cerchio.
[72 ⋅ π cm; 1296 ⋅ π cm2]
Formule inverse
7 L’area di un triangolo scaleno è 900 cm2 e la base 75 cm. Calcola l’altezza.
[24 cm]
8 In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 25 m e un cateto 15 m. Calcola la
misura dell’altro cateto.
[20 m]
9 In un triangolo equilatero l’area è 36 ⋅ 3 dm 2 . Calcola la misura del lato.
[12 dm]
10 L’area di un rettangolo è 1881 dm2 e la base misura 57 dm. Calcola la misura
11 L’area di un quadrato è 3844 mm2. Calcola la misura del lato.
[33 dm]
[62 mm]
12 L’area di uno scavo archeologico circolare è 441 ⋅ π m2. Calcola la misura del
raggio e poi determina la lunghezza della circonferenza.
[21 m; 42 ⋅ π m]
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
dell’altezza.
M38
2
Fare amicizia...
con la calcolatrice
2.1 Una questione di atteggiamento
Capita spesso che nell’effettuare i conti con l’indispensabile (per lo meno a scuola)
calcolatrice, tu sia animato da una fiducia cieca in questo prezioso strumento.
Salvo pensare a chissà quale spirito malintenzionato che si nasconde al suo interno, quando ti accorgi che un compito in classe è andato male a causa dei calcoli
errati. Così finisci per attribuire alla calcolatrice la colpa di tutti i tuoi sbagli!
Ovviamente si tratta di una reazione irrazionale…
Non bisogna farsi prendere da una euforia incondizionata nei confronti di questa
deliziosa macchinetta. È assai più proficuo convincersi che:
• La calcolatrice fa solamente quello che tu le fai fare!
Naturalmente c’è calcolatrice e calcolatrice, alcune funzionano in un modo e altre in
modi differenti, alcune hanno molte possibilità (funzioni) mentre altre si limitano
alle quattro operazioni e nulla più… In ogni caso, l’importante è capirne per bene
caratteristiche e potenzialità.
• È buona norma leggere attentamente il libretto delle istruzioni o, perlomeno, non buttarlo via subito!
Qui ti diamo alcuni suggerimenti per usare la calcolatrice, al fine di pervenire
sempre al risultato corretto, indipendentemente dal tipo e dalla marca.
display
attivazione delle
funzioni alternative
riportate in genere
subito sopra i tasti
scelta delle modalità
(per esempio, tra la
notazione decimale
e quella scientifica)
accensione della
calcolatrice
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
radice quadrata,
quadrato
ed elevazione
a potenza
funzioni
trigonometriche
parentesi
(necessarie per fare
eseguire le operazioni
di un’espressione
nell’ordine voluto)
le quattro
operazioni
algebriche
tasto
di esecuzione
virgola scrittura esponenziale
NonsoloMatematica
M39
2.2 L’approccio iniziale
La prima verifica da fare è vedere qual è lo stile della tua calcolatrice nella scrittura dei numeri. Infatti, ci sono modalità diverse con le quali si può scrivere uno stesso numero, di solito chiamate Norm, Fix e Sci, alla cui attivazione è spesso predisposto il tasto MODE .
Eseguiamo la divisione 7:1230. Sul display il risultato può apparire con scritture
tra loro differenti.
funzione
descrizione
esempio
Norm
Questa modalità (detta normale) consiste nella scrittura del numero così com’è, con tutte le cifre che il
display mette a disposizione.
0,005691057
Fix
La seconda modalità (detta fissa) permette di scrivere un
dato valore numerico con solo una parte delle cifre decimali (dopo la virgola), per esempio cinque, scelta da te.
0,00569
Sci
La terza (detta scientifica) consente di utilizzare la
notazione scientifica, per la quale si scrive sempre una
sola cifra significativa a sinistra della virgola e si moltiplica il numero per una appropriata potenza del 10, in
cui la base 10 viene in realtà sottintesa, scrivendo unicamente l’esponente (per cui 5,691056911−03 equivale in realtà a 5,691056911◊ 10−03)
5,691056911−03
(Può capitare che la tua calcolatrice di sua iniziativa, cioè per default, scelga la
modalità scientifica, procurandoti problemi nella comprensione del numero da
leggere. Fai allora una prova e imposta sulla tua calcolatrice, dopo avere premuto
il tasto ON , se ancora non l’hai fatto, la divisione proposta prima:
7
∏
1
2
3
0
=
Se, una volta premuto il tasto = , sul tuo display compare proprio 0,005691057
allora puoi stare tranquillo, perché i numeri saranno sempre scritti in modalità
normale.
Se invece appare qualcosa del tipo 5,691056911− 03, eventualmente con più o meno
tasto relativo, e scegli Norm tra le varie opzioni. Il numero verrà subito riportato
come 0,005691057.
(Nell’eventualità in cui la tua calcolatrice non abbia tale funzione, vai a leggere
pazientemente le istruzioni là dove si parla, per quanto riguarda i numeri, di formato o cifre significative o notazione esponenziale).
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
cifre decimali, e che non sai ben interpretare, attiva subito MODE , premendo il
M40
NonsoloMatematica
2.3 Calcolo aritmetico
Devi sapere…
Purtroppo le calcolatrici in commercio non operano in maniera omogenea per quanto riguarda l’effettuazione dei calcoli. Cerchiamo di chiarire con un esempio che
cosa intendiamo dire.
Immagina di dover calcolare la velocità di un corpo tramite la formula (che ti
diventerà familiare in seguito…):
v=
s − s0
t
Non è il caso ora di soffermarci sul significato delle varie lettere (che rappresentano delle grandezze fisiche). Qui ci interessano semplicemente come numeri per
trovare quanto vale v, sapendo che:
s0 = 5 dm
s = 15 dm
t = 2,5 s
A questo punto può capitare, a seconda della calcolatrice di cui si dispone (ti
ricordiamo che la virgola per rappresentare i numeri decimali corrisponde al
punto), che digitando la sequenza:
1
5
s
-
5
s0
∏
◊
2
5
t
=
si ottengano due risultati completamente diversi:
13
Ricorda!...
L’uso di uno strumento
che ti aiuti nei calcoli,
non deve indurti a mettere da parte le capacità
intellettive di cui disponi:
spetta pur sempre a te la
valutazione della plausibilità di un certo risultato!
4
Evidentemente, solo uno di questi due valori, se espresso nella giusta unità di
misura (dm/s), può essere quello corretto. Non è quindi un particolare di poco
conto… Fai la prova con la tua calcolatrice. Che cosa ottieni, 13 o 4? Verifica ora
«manualmente» qual è il risultato corretto; dovresti scoprire che è 4.
Cerchiamo di capire la ragione per cui certe calcolatrici all’apparenza forniscono
risultati “sbagliati”. Modifica la sequenza precedente in questo modo:
1
5
-
5
=
∏
2
◊
5
=
o, meglio ancora, se il tuo strumento prevede l’uso delle parentesi:
(
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
oppure
1
5
-
5
)
∏
2
◊
5
=
In entrambi i casi trovi il valore corretto, che è 4 (dm/s).
Che cosa succede allora quando la calcolatrice fornisce invece 13 (dm/s)? Avendo
una certa possibilità di conservare dei dati provvisori in memoria, e quindi credendo di aiutarti, al termine della digitazione del simbolo di divisione:
1
5
-
5
∏
non effettua subito la sottrazione (come fanno al contrario le calcolatrici di qualità inferiore, che immediatamente riportano 10), ma attende la conclusione
NonsoloMatematica
M41
dell’immissione dei dati, cioè la digitazione dell’ = . Di conseguenza, poiché
tiene conto della corretta priorità delle operazioni (cosa che tu invece non hai fatto!),
la calcolatrice svolge prima la divisione e poi la sottrazione, calcolando in definitiva:
s−
s0
t
che è tutt’altra cosa rispetto a v.
Vediamo un altro caso analogo e piuttosto frequente come tipologia. Considerata
la legge:
F = K ⋅ (L − L0)
si vuole trovare quanto vale F, sapendo che i dati sono:
K = 50 N/m
L0 = 30,2 cm
L = 32,7 cm
Se puoi fare ricorso alle parentesi, non c’è problema, in quanto puoi riscrivere la
formula così com’è, mettendo i dati al posto dei simboli. Se però non hai questa
possibilità, per evitare errori ti conviene impostare prima la sottrazione e quindi
effettuare la moltiplicazione, secondo la seguente sequenza:
◊
3
2
7
L
-
◊
3
0
2
L0
=
¥
5
0
K
=
In questa maniera ottieni il risultato corretto, che è 125 (N).
Provaci tu…
Per cominciare a prendere maggiore confidenza con la tua calcolatrice, prova
adesso a seguire il percorso guidato che ti proponiamo.
• Calcola il valore medio tra 50 e 120.
La formula da usare è, come sai, X M = 50 + 120 . Inserisci gli elementi mancanti
2
dove compaiono i puntini.
Con la calcolatrice devi digitare:
5
0
...
1
2
0
=
...
2
...
Il risultato corretto è 85 e non 110!
È tutto chiaro?… Controlla!
1
95 − 14
45
2
12
5− 2
3
70 − 45
18 − 8
[2,5]
4 (10 + 34) ⋅ 5
[220]
5 6,2 ⋅ (47 − 32)
[1,8]
[4]
[93]
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Dopo quello che ti abbiamo detto, determina tramite la calcolatrice il risultato
delle seguenti espressioni:
M42
NonsoloMatematica
2.4 Calcolo con numeri in notazione
esponenziale
Devi sapere…
Generalmente si incontra qualche difficoltà quando si devono manipolare numeri scritti in notazione esponenziale o scientifica. Immagina di avere
A = 5,4 ⋅ 10 − 6 m2
h = 0,9 ⋅ 10 −3 m
e di dovere determinare il volume V dato da:
V = A ⋅ h = (5,4 ⋅ 10 − 6) ⋅ (0,9 ⋅ 10 − 3)
Non ti conviene far fare alla calcolatrice quello che tu puoi trovare con maggiore inventiva. Infatti, se ti venisse l’idea, apparentemente innocente, di calcolare il prodotto:
0,0000054 ⋅ 0,0009
(essendo 5,4 ⋅ 10 −6 = 0,0000054 e 0,9 ⋅ 10–3 = 0,0009), ti ritroveresti a dovere decifrare
sul display, in relazione al numero massimo di cifre che è in grado di visualizzare,
qualcosa come:
0,000000005
4,68- 09
oppure
di non immediata leggibilità. Ma in virtù delle proprietà sulle potenze (vedi Potenze e notazione scientifica), sai che:
10 −6 ⋅ 10 −3 = 10 −9
Allora, puoi tranquillamente limitarti a calcolare il prodotto tra 5,4 e 0,9:
5
◊
¥
4
◊
9
=
(Ti ricordiamo che non è necessario digitare lo zero prima della virgola: .9 equivale a 0.9). Ottieni così 4,86, che poi moltiplichi per la potenza opportuna di 10, cioè:
V = 4,86 · 10 −9 m3
Per la divisione il criterio da seguire è lo stesso: trovi il rapporto tra i numeri e
quindi applichi alle potenze del 10 la regola corrispondente (vedi sempre la scheda
segnalata sopra).
Provaci tu…
Ecco un percorso guidato per iniziare a verificare la comprensione di quanto
esposto.
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
• Calcola l’area del rettangolo che ha lati 6,5⋅10 −3 m e 13⋅10 −4 m.
Inserisci gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
Con la calcolatrice calcola semplicemente il prodotto:
6
...
5
...
1
3
...
E il risultato (84,5) lo moltiplichi per:
10 −3 ⋅ 10 −4 = 10 −3……= 10……
trovando:
84,5 ⋅ 10 −7 m2
→
8,45 ⋅ 10…… m2
→
8,45 mm2
NonsoloMatematica
M43
È tutto chiaro?… Controlla!
Adesso prova da solo, determinando il risultato delle espressioni che seguono:
1 (3,5 ⋅ 106) ⋅ (7,1 ⋅ 103)
2
7, 5 ⋅105
1, 25 ⋅102
3
(5 ⋅105 ) ⋅ (9 ⋅104 )
1, 5 ⋅1012
[24,85 ⋅ 109 → 2,485 ⋅ 1010]
[6 ⋅ 103]
[30 ⋅ 10 −3 → 3 ⋅ 10 −2]
2.5 Formule più complesse
Devi sapere…
Esaminiamo qui, fra i numerosissimi esempi che si potrebbero ancora mostrare,
un tipo di calcolo che probabilmente incontrerai spesso durante lo studio della
Termologia e dell’Elettricità. Esso riassume, in pratica, entrambe le situazioni
appena affrontate.
Senza preoccuparti al momento di comprendere la formula o le unità di misura
adoperate e piuttosto concentrandoti esclusivamente sugli aspetti di puro calcolo,
immagina di dover determinare la pressione p tramite la legge:
p = p0 ⋅ (1 + α ⋅ t)
I valori da immettere nella formula siano, a titolo esemplificativo:
p0 = 1, 20 ⋅105 Pa
α=
1
°C −1
273
t = 130 °C
Continuando a supporre che tu possieda una calcolatrice dalle scarse potenzialità, e
dopo averti rapidamente ricordato la proprietà commutativa della somma e del prodotto (A + B = B + A e A ⋅ B = B ⋅ A), ecco la sequenza che ti conviene seguire.
a) Concentrati sulle operazioni all’interno della parentesi tonda 1 + α ⋅ t. Dato che
1
130
⋅130 =
, calcola prima questa divisione e somma quindi 1:
273
273
3
0
∏
2
7
3
+
1
=
(Dopo aver introdotto il valore 273, non è in questo caso suggerito l’ =
in
quanto è una procedura corretta che venga calcolata istantaneamente la divisione, quando si digita il + ).
b) Fatto ciò, devi eseguire il prodotto tra il risultato appena ottenuto e p0. Moltiplica 1,476190476 (comparso nel display dopo l’ =
sua volta moltiplica la potenza 105:
¥
1
◊
2
=
) per il numero 1,20 che a
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
1
M44
NonsoloMatematica
c) Scrivi il risultato finale 1,771428571 e moltiplicalo per la potenza 105:
1,771428571 · 105
Arrotondandolo opportunamente, ottieni alla fine:
p = 1,77 · 105 Pa
Provaci tu…
Procedi seguendo il percorso guidato, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
• Determina il valore di 3,5 · 10 −5 · (1 − 0,0005 · 1250).
Dopo avere azzerato il display con il tasto ON/C , digita:
-
◊
0
0
0
¥
...
...
...
...
0
Quindi continua sommando ............. e moltiplicando il tutto per .........................:
+
=
...
¥
...
(Nota che dopo avere premuto il
vo − 0,625.)
◊
...
+
...
compare, giustamente, il numero negati-
Moltiplica quest’ultimo numero per la potenza 10……. Il risultato è:
1,3125 · 10−5
È tutto chiaro?… Controlla!
Trova il risultato delle seguenti espressioni.
1
⎛
⎞
1
0,87 ⋅104 ⋅ ⎜1 +
⋅ 90⎟
⎝ 273
⎠
2
2, 50 ⋅10− 8
1 + 0, 00366 ⋅100
[1,16 · 104]
[1,83 · 10−8]
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
In quest’ultimo caso è necessario ricorrere alle parentesi oppure alla funzione
1/x oppure
x-1 presente in una normale calcolatrice scientifica.
Infatti, dopo aver calcolato nel modo consueto il denominatore 1 + 0,00366 ⋅ 100,
1
premendo il tasto 1/x si ottiene il valore della frazione
, che
1 + 0, 00366 ⋅100
−8
basta poi moltiplicare per il numeratore 2,50 ⋅ 10 …
Altrimenti, ti scrivi su un foglio il risultato 1,366 dell’operazione 1 + 0,00366 ⋅ 100,
effettui la divisione 2,50/1,366 e poi moltiplichi quanto ottenuto per 10 −8.
NonsoloMatematica
M45
2.6 Funzioni trigonometriche
Devi sapere…
Esaminiamo ora un argomento che potrà esserti utile quando studierai la rifrazione (un fenomeno fisico che riguarda le onde) oppure quando approfondirai
con il tuo insegnante alcune definizioni come quella di lavoro o di flusso del
campo magnetico. In ogni caso, a questo punto è indispensabile che tu disponga
di una calcolatrice più completa, con le principali funzioni matematiche tra le
quali quelle chiamate trigonometriche, che trovi indicate sui tasti con le scritte:
SIN
COS TAN
I nomi per esteso di queste funzioni sono rispettivamente: seno, coseno e tangente. Da un punto di vista puramente numerico si tratta di qualche cosa che dipende dall’ampiezza assunta da un certo angolo, per cui sin di 30° (che si scrive
sin 30°) ha un determinato valore, cos di 45° (che si scrive cos 45°) un altro e così
via. Di solito, si inserisce il valore dell’angolo tramite la tastiera, si preme il tasto
desiderato e si perviene al risultato.
Però, prima di fare questo, devi controllare in quale modalità si trova l’impostazione degli angoli nella tua calcolatrice. Ce ne sono infatti tre, che ti vengono
anch’esse mostrate quando usi il tasto MODE oppure che puoi scegliere direttamente con il tasto DRG .
Per quanto ci riguarda, ti devi accertare che nel display da qualche parte in piccolo sia riportata la scritta DEG (o D), la quale ti informa che per gli angoli è in vigore la convenzione di considerare quello giro di 360°, ovvero quello retto di 90°. Se
così non fosse, attiva la funzione MODE e premi il tasto che si trova sotto il
display in corrispondenza dell’indicazione DEG, oppure premi più volte DRG fino
a quando con vedi apparire la scritta DEG.
(Forse questa puntualizzazione ti sembra inutile, ritenendo ovvio che l’angolo
retto valga 90°. Eppure, sappi che con la modalità RAD l’angolo retto vale π/2, mentre con quella GRAD è suddiviso in 100 parti!)
Per verificare di essere effettivamente nella modalità voluta, fai la seguente prova
digitando:
9
0
SIN
6
0
SIN
Il risultato dell’operazione è 0,866025404…
Anche se ti appare strano, tieni presente che la funzione sin, analogamente a cos,
può variare soltanto tra − 1 e 1, estremi inclusi.
Se, invece, devi determinare 2 ⋅ cos 15°, essendo questo tipo di funzioni calcolate
non appena si preme il tasto corrispondente, indipendentemente dalle operazioni
in corso, non dovresti incontrare difficoltà digitando:
2
¥
1
5
COS
=
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Nel caso in cui il risultato che compare nel tuo display sia 1, allora è tutto a posto
e puoi procedere; altrimenti, ripeti la ricerca della modalità DEG.
9
0 renLe calcolatrici di nuova concezione consentono di scrivere SIN
dendo più semplice la digitazione e la ricerca del risultato.
Fatto questo, non ci sono altri problemi di rilievo. Per calcolare sin 60° segui la
sequenza:
M46
NonsoloMatematica
Quando premi COS compare il valore di cos 15°, vale a dire 0,965925826, e
quindi dopo l’ = il risultato finale 1,931851653. Se per caso hai trovato un
numero diverso, allora prova a invertire l’ordine del prodotto:
1
5
COS
¥
2
=
sin 40°
(come appunto può capitarti
sin 35°
nello studio della rifrazione), allora procedi come segue:
Infine, se hai bisogno di sapere quanto vale
4
0
SIN
∏
3
5
SIN
=
Ciò che dovresti ottenere in questa maniera è 1,120665998…
Ribaltando la questione, nella eventualità che tu voglia cioè sapere per quale angolo il sin valga 0,5 (che con il linguaggio della matematica si indica con sin-1 0,5),
è necessario ricorrere alla funzione indicata con SIN–1, per prassi riportata subito
sopra il tasto del SIN e che si attiva premendo dapprima il tasto 2nd (o talvolta SHIFT ):
◊
5
2nd
SIN
Il valore 30 che trovi equivale a 30° ed è l’angolo cercato.
Provaci tu…
Segui il breve percorso guidato relativo alle funzioni trigonometriche, inserendo
gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
• Determina il valore di sin 10°.
Dopo aver verificato di essere in modalità DEG, devi digitare:
...
...
SIN
Hai ottenuto 0,173648178…? Se la risposta è positiva, puoi andare avanti da solo
con gli esercizi, altrimenti è meglio che riveda i passaggi precedenti.
È tutto chiaro?… Controlla!
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Determina il valore delle espressioni trigonometriche seguenti:
1 cos 75°
[0,258819045…]
2 4,2 ⋅ sin 50°
[3,217386661…]
3 cos−1 0,5
[60°]
4
sin 38°
sin 73°
[0,64379213]
5
sin 45°
cos 45°
[1]
NonsoloMatematica
2.7 La funzione esponenziale y
M47
x
Devi sapere…
Quando l’esponente x di una funzione del tipo yx non è un numero intero, non
puoi pensare di cavartela senza una calcolatrice scientifica. Per fortuna, nella Fisica che affronti nel biennio non sono molti i casi in cui ciò è necessario. Ecco, in
ogni caso, le indicazioni che ti possono risultare utili.
y x , talvolta xy , più spesso ^ .
In alcuni casi questa funzione viene attivata solo dopo avere premuto il tasto
Il tasto corrispondente è solitamente
SHIFT o
2nd .
Supponi di dover trovare il valore di 42,6. I passaggi sono semplici. Ti basta digitare:
yx
4
2
◊
6
=
Il risultato è 36,75834736.
Nell’eventualità che tu debba, invece, determinare
1
1
, considerato che x = y− x ,
1,5
y
10
grazie al tasto +/- , che consente di cambiare il segno di un dato immesso da
tastiera, e tramite la funzione esponenziale puoi trovare direttamente:
1
0
yx
1
◊
5
+/-
=
In questo modo ottieni 0,031622777. Certe calcolatrici consentono di cambiare il
segno usando semplicemente - . Quindi in tal caso il nostro calcolo diventa:
1
0
^
-
1
◊
5
=
Provaci tu…
Segui il breve percorso guidato per consolidare l’uso del tasto y x o ^ , inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.
• Determina il valore di 81,4.
La successione dei tasti da digitare sulla calcolatrice è la seguente:
8
...
...
◊
...
=
È tutto chiaro?… Controlla!
Determina il valore delle seguenti espressioni, in cui è necessario il ricorso alla
funzione esponenziale:
1 90,5
2 121,8
[3]
[87,60446523]
3 0,63,5
4 1/80,07
[0,167312881]
5 1/2,5
6 1 − 1/100,4
[0,021313362]
4,2
[0,864537231]
[0,601892829]
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Se hai trovato 18,37917368 allora hai operato in modo corretto; se così non è, rivedi gli esempi precedenti.
M48
3
Come affrontare
gli esercizi e i problemi
3.1 Indicazioni metodologiche
Le fasi in cui possiamo sintetizzare un percorso efficace per risolvere un esercizio
relativamente complesso sono quelle riportate qui di seguito.
Comprensione del testo
Cerca di capire esattamente la richiesta dell’esercizio.
Schematizzazione
Raccogli, esaminando attentamente il testo dell’esercizio, tutte le informazioni utili
per individuare correttamente l’ambito fisico nel quale si sviluppa il fenomeno
preso in considerazione, cercando, se possibile, di rappresentarlo con uno schema.
Dati
Trascrivi i dati contenuti esplicitamente nel testo.
Ricorda!...
Unità di misura
Qualunque formula utilizzerai, a partire dalle grandezze espresse nelle
unità del SI, otterrai sempre la grandezza finale
espressa nella corrispondente unità del SI.
Assicurati che i dati siano espressi nelle unità di misura del Sistema Internazionale di misura (SI) e, in caso contrario, effettua subito le opportune conversioni.
Talvolta questa azione non sarà strettamente necessaria, ma in generale ti permetterà di evitare numerosi errori legati alle non corrette unità di misura.
Formule utili
Sulla base di quanto analizzato prima, riporta ordinatamente tutte le formule di
cui potresti avere bisogno, in modo da averle sotto gli occhi di continuo.
Dati nascosti
Metti in evidenza gli eventuali dati impliciti (per esempio, quando si parla di caduta
libera, è sottinteso che tutti i corpi in generale cadono in assenza di attrito con
un’accelerazione costante che vale 9,81 m/s2).
Strategia risolutiva
Procedi passo-passo con i tentativi di risoluzione (vedi quanto suggerito più avanti).
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
Calcoli
Svolgi con attenzione i calcoli, ripetendoli almeno una seconda volta.
Analisi del risultato
Valuta criticamente i risultati raggiunti rispondendo, sia pure con un certo grado
di approssimazione, alla domanda se quei risultati sono plausibili (per esempio,
nel caso in cui il calcolo di un errore relativo ti dovesse dare un valore maggiore di
1, allora dovresti essere colto dal dubbio che qualcosa non è del tutto regolare…).
È ovvio che le fasi indicate non sono separate nettamente le une dalle altre. Si possono verificare ripetizioni di momenti già affrontati, salti da un punto a un altro,
e così via. In ogni caso, lo schema costituisce una traccia utile e una buona disciplina metodologica.
NonsoloMatematica
M49
3.2 Due esempi
Addentriamoci nel vivo della questione con un esempio concreto, ripercorrendo le
fasi riportate nelle Indicazioni metodologiche.
Esempio 1
s0 = 0
v0 = 0
t = 12,5 s
v = 135 km/h
s=?
Un’automobile, inizialmente ferma, grazie a un’accelerazione costante lungo una
traiettoria rettilinea raggiunge in 12,5 s la velocità di 135 km/h. Calcola lo spazio
percorso dall’automobile durante tale fase di accelerazione.
Comprensione del testo
Devi trovare la distanza che percorre un’auto durante un certo intervallo di
tempo: s.
Schematizzazione
Dal momento che si parla di accelerazione costante e di corpo inizialmente fermo, ti
rendi conto di avere a che fare con un moto rettilineo uniformemente accelerato con
partenza da fermo. Un disegno molto semplice che riassume la situazione fisica, come quello sopra, può essere utile per visualizzare meglio la situazione concreta.
Dati
I dati non sono molti, ma comunque li raccogli in maniera chiara:
t = 12,5 s
v = 135 km/h
Unità di misura
Mentre il tempo è espresso in secondi, la velocità è in km/h, per cui è opportuno
riportarla in m/s, per avere la coerenza con il SI.
Esegui subito la conversione:
v=
135 ⋅1000 135
=
= 37, 5 m/s
3600
3, 6
Formule utili
Indubbiamente, ti vengono in mente le due leggi orarie studiate per i moti rettilinei, rispettivamente quello uniforme e quello uniformemente accelerato (per
quest’ultimo abbiamo preso il caso più semplice con v0 = 0 ed s0 = 0):
s = v ⋅ t + s0
s=
1
⋅ a ⋅ t2
2
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
t = 12,5 s
M50
NonsoloMatematica
Dati nascosti
Nel caso in questione non ci sono dati impliciti; semmai puoi rilevare che nelle
parole inizialmente ferma, è contenuta l’informazione v0 = 0, che è rilevante per
l’individuazione della corretta legge oraria del moto rettilineo uniformemente
accelerato.
Strategia risolutiva
Scegli tra le due possibilità, considerato che si parla nel testo dell’esercizio di accelerazione costante, la seconda:
s=
1
⋅ a ⋅ t2
2
Il tempo è un dato, per cui non ti resta che determinare l’accelerazione, per la
quale diciamo che hai a disposizione la sua definizione e la formula inversa,
cioè:
a=
v
t
a=
2⋅ s
t2
La tua scelta ricade sulla prima per due motivi: 1) hai a disposizione sia l’intervallo di tempo sia la velocità finale; 2) la formula inversa l’hai ricavata dalla stessa legge oraria che ti serve per trovare s (e dunque non puoi riutilizzarla per trovare a!):
a=
v
t
Il percorso risolutivo è così giunto al termine.
Calcoli
Utilizzando le grandezze espresse nelle unità del SI fai adesso i calcoli.
Analisi del risultato
Cerca di capire se il valore di s trovato è plausibile: in quanto spazio immagini
che un’auto possa raggiungere la velocità di 135 km/h partendo da ferma? In
pochi metri? In svariati kilometri? Pensa magari a qualche prestazione automobilistica alla quale hai assistito e valuta la soluzione trovata.
Infine, ecco come potresti riordinare il tuo operato.
dati
risoluzione
s=?
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
t = 12,5 s
v = 37,5 m/s
s=
1
at2
2
a=?
a=
v
t
calcoli
37 , 5
= 3 m/s 2
12, 5
1
s = 3 (12, 5)2 ≅ 234 m
2
a=
NonsoloMatematica
M51
Esempio 2
v = 18 km/h
m = 350 g
Fc = ?
f = 0,25 Hz
Una sfera di 350 g di massa percorre una traiettoria circolare con modulo della
velocità tangenziale costante e pari a 18 km/h. La frequenza del moto è di
0,25 Hz. Calcola la forza centripeta che agisce sulla sfera.
Comprensione del testo
Dunque, puoi prendere atto che l’esercizio ti chiede di calcolare il valore di una
determinata forza centripeta: Fc.
Schematizzazione
Dato che si parla di velocità tangenziale con modulo costante e di traiettoria circolare, comprendi automaticamente che il fenomeno studiato è un moto circolare
uniforme. Un disegno vero e proprio (così come una ricostruzione mentale) ti
aiuta a visualizzare la situazione fisica.
Dati
A questo punto, raccogli ordinatamente i dati:
m = 350 g
v = 18 km/h
f = 0,25 Hz
Unità di misura
Un campanello d’allarme dovrebbe avere già risuonato nella tua mente, in quanto due delle tre grandezze, cioè la massa e la velocità, non sono espresse nelle
unità di misura fondamentali e derivate del SI. Di conseguenza, effettua immediatamente la conversione:
350
= 0, 350 kg
1000
v=
18
= 5 m /s
3,6
f = 0,25 Hz
Formule utili
Per facilitare la ricerca della soluzione, puoi cominciare a scrivere in un angolo
del foglio le formule che pensi ti potrebbero essere utili. Qui riproduciamo per
semplicità solo quelle riguardanti la forza (le altre le prenderemo in considerazione man mano). Ipotizzando una serie di argomenti standard affrontati dal
tuo insegnante una volta giunti al moto circolare uniforme, hai a disposizione le
formule:
F = K ⋅ ΔL
F=
M
b
F = m⋅a
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
m=
M52
NonsoloMatematica
Dati nascosti
Constata che, nella situazione esaminata, non ci sono valori di riferimento o
costanti (la densità dell’acqua, l’accelerazione di gravità ecc.) che possano essere
incluse tra i dati. Quindi, procedi.
Strategia risolutiva
Sia analizzando i dati sia riflettendo sul fenomeno trattato, scegli di seguire la
strada indicata dal secondo principio della dinamica: F = m · a.
Considerato che il valore della massa è disponibile, resta il problema di determinare l’accelerazione.
Per quest’ultima grandezza hai a disposizione il seguente campionario di formule:
a=
2⋅ s
t2
a=
F
m
ac =
2⋅π ⋅ v
T
Ma anche adesso, i dati forniti, la circostanza di avere a che fare con un moto circolare uniforme, nonché l’inutilità di ricorrere a qualcosa che già stai usando per
trovare la forza (vale a dire a = F/m, che deriva dal secondo principio della dinamica F = m · a), ti indirizzano inevitabilmente verso l’accelerazione centripeta ac,
cioè la terza formula:
ac =
2⋅π ⋅ v
T
Quindi, poiché nell’espressione dell’accelerazione centripeta manca solo il periodo
T, utilizza la relazione tra periodo (da determinare) e frequenza (che è un dato):
T=
1
f
Calcoli
A partire dai dati riportati nelle unità di misura del SI, inizia a fare i calcoli.
Analisi del risultato
Trovato il risultato, prova a valutare che non sia esageratemente piccolo o esageratamente grande.
In definitiva, la pagina finale nella quale riassumi ordinatamente il tuo operato si
potrebbe presentare così:
dati
m = 0,350 kg
S. Fabbri – M. Masini, Phoenomena, SEI © 2010
v = 5 m/s
f = 0,25 Hz
risoluzione
Fc = ?
Fc = m ⋅ ac
ac = ?
ac =
2 π v
T
T=?
T=
1
f
calcoli
1
=4s
0 , 25
2 π 5
≅ 7 , 85 m/s 2
aC =
4
FC = 0 , 350 7 , 85 ≅ 2, 75N
T=