UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA
COGNOME e NOME:
Dipartimento di Matematica e Informatica
FIRMA:
docenti: G. Di Fazio
MATRICOLA:
REGOLARITÀ STUDI:
C.d.L. in Ing. Ind. (S–Z), En., Inf. (R–Z), Tel.
Anno Accademico 2010/ 2011
Prova Scritta di Analisi Matematica I del 23/09/2011
In Regola
Ripetente
Fuori Corso
PROGRAMMA DEL PROF.:
CORSO SEGUITO NELL’A.A.:
È vietato l’utilizzo di qualsiasi ausilio cartaceo o elettronico. È vietato comunicare in qualsiasi modalità tranne che con i docenti responsabili dell’esame.
Non saranno dati chiarimenti in merito allo svolgimento degli esercizi. Tempo a disposizione: due ore e trenta minuti. Durante la prova scritta non è
possibile uscire dall’aula, a meno che non si abbia una reale necessità – ed in tal caso, uscendo uno per volta, è necessario lasciare i telefoni cellulari e
l’elaborato sulla cattedra prima di allontanarsi dall’aula – o si decida di ritirarsi. Per svolgere i calcoli in brutta copia è possibile utilizzare tutti i
fogli a quadretti di cui si ha bisogno, e che è possibile prendere direttamente dalla cattedra; vanno però consegnati al massimo due fogli a quadri di bella
copia consegnati dal docente, nei quali deve essere apposto sia il proprio nome e cognome a stampatello che la propria firma autografa: questi saranno
gli unici fogli ad essere corretti; si ricorda poi che è possibile utilizzare solamente penne blu o nere con inchiostro indelebile. Il presente foglio va
comunque riconsegnato debitamente compilato, anche nel caso in cui si decida di ritirarsi, al fine di consentire il riconoscimento del candidato. Verranno
considerati nulli i compiti privi dei dati sufficienti a riconoscere il candidato e la sua regolarità negli studi. La mancata osservanza delle suddette
regole comporta l’annullamento della prova. Per superare la prova scritta occorre affrontare tutti e tre i quesiti e rispondere correttamente alle
domande teoriche. Precisamente, relativamente agli esercizi, occorre svolgere più punti possibile del Quesito 1, occorre svolgere un solo esercizio
dei due proposti nel Quesito 2, ed occorre svolgere un solo esercizio dei due proposti nel Quesito 3; inoltre, relativamente alla teoria, occorre
fornire correttamente tutte e tre le definizioni richieste ed enunciare correttamente almeno due dei tre teoremi richiesti. Si fa presente allo studente
che sia nel Quesito 2 che nel Quesito 3 vengono proposti due esercizi di diverso grado di difficoltà. Per raggiungere la sufficienza, basta svolgere
correttamente qualche punto del Quesito 1 e gli esercizi più facili del Quesito 2 e del Quesito 3. Si ricorda infine che verrà escluso dalla prova
scritta lo studente che, ad una verifica, fosse sprovvisto di un valido documento di riconoscimento e del libretto universitario.
Quesito 1
Detta f = f (x) una delle due seguenti funzioni,
Z x
t log |1 − t| dt ,
i)
ii)
iii)
iv)
v)
1 − log |x|
,
x2
0
determinarne il campo di esistenza e studiarne, ove possibile, il segno e le eventuali simmetrie ;
studiarne i limiti ai bordi del campo, gli eventuali asintoti e le eventuali singolarità ;
studiarne la monotonia ;
studiarne la convessità ;
tracciarne un grafico qualitativo .
Quesito 2
Svolgere uno dei seguenti due esercizi:
a) Studiare la convergenza della serie
+∞
X
n=1
1
n3
sen 2 .
n3 + 7
n
b) Determinare il limite della successione
(
a1 = λ
an+1 = an e−an /3
al variare del parametro reale λ.
Quesito 3
Studiare l’integrabilità della funzione
x
−8
nell’intervallo [4, +∞[ e - nel caso in cui la funzione sia sommabile - calcolarne l’integrale nell’intervallo assegnato.
f (x) =
x3
Definizioni
(enunciare correttamente tutte e tre le seguenti definizioni)
1) Definizione di funzione monotona.
2) Definizione di serie assolutamente convergente.
3) Definizione di funzione limitata.
Teoremi
(enunciare correttamente almeno due dei tre seguenti teoremi)
1) Teorema della radice n-esima aritmetica.
2) Lemma di convessità.
3) Teorema di Bolzano - Weierstrass.