Rappresentazione analitica delle preferenze:
la funzione di utilità
Funzione di
utilità
Assegna un numero a ciascun paniere in modo che se un
paniere A P B allora il numero associato al paniere A sarà
maggiore del numero associato al paniere B.
Formalmente
U(x1,y1) > U(x2,y2) se e solo se (x1,y1) P (x2,y2)
U(x1,y1) < U(x2,y2) se e solo se (x2,y2) P (x1,y1)
U(x1,y1) = U(x2,y2) se e solo se (x1,y1) I (x2,y2)
U(x1,y1) ≥ U(x2,y2) se e solo se (x1,y1) R (x2,y2)
U(x1,y1) ≤ U(x2,y2) se e solo se (x2,y2) R (x1,y1)
Rappresentazione analitica delle preferenze: la funzione di utilità
Ordine
Paniere
Utilità
U(x,y)=xy
Utilità
Utilità
U(x,y)=x+y
1º
A (4,5)
20
100
9
2º
B (4,4)
16
10
8
3º
C (2,6)
12
5
8
3º
D (6,2)
12
5
8
4º
E (1,7)
7
1
8
L’utilità ha un significato esclusivamente ordinale
Se una funzione di utilità U(x) rappresenta le preferenze di un
soggetto allora anche una sua qualsiasi
trasformazione monotona positiva di U(x)
rappresenta le stesse preferenze
Data una funzione di utilità U(x,y) una sua trasformazione monotona
F[U(x,y)] sarà una nuova funzione che preserva l’ordine della funzione
originale
Se U(x1,y1) ≥ U(x2,y2) allora F[U(x1,y1)] ≥ F[U(x2,y2)]
U(x,y) e F[U(x,y)] rappresentano le stesse preferenze
Ordine
Paniere
Utilità
U(x,y)=xy
Utilità
1/U(x,y)
Utilità
5+ 10*U(x,y)
1º
A (4,5)
20
0.05
205
2º
B (4,4)
16
0.0625
165
3º
C (2,6)
12
0.0833
125
3º
D (6,2)
12
0.0833
125
4º
E (1,7)
7
0.142
75
Trasformazione
NON monotona
Trasformazione
monotona
Altri esempi di trasformazioni monotone:
2
f [ U( x , y)]  [ U( x , y)]
f [ U( x , y)]  3  2 U( x , y)
2
f [ U( x , y)]  5  log[ U( x , y)]
Se U(x,y) è una funzione di utilità che descrive le preferenze del
soggetto allora l’equazione di una generica curva d’indifferenza sarà
U  U ( x , y)
Fissiamo un livello di utilità e vediamo quali coppie di x e y hanno associato lo
stesso livello di utilità
Questi faranno parte della stessa curva di indifferenza
Se prendiamo la funzione di utilità e calcoliamo il differenziale
totale otteniamo
U
U
dU 
dx 
dy  U x dx  U y dy
x
y
Ux e Uy Utilità Marginale
Ux e Uy derivate parziali della funzione di utilità
Mostrano come varia la utilità al variare del consumo
di un bene
In termini di variazioni finite
Utilità Marginale: la variazione
dell’utilità totale in seguito al consumo
di un unità addizionale di un bene
U
U
dU 
dx 
dy  U x dx  U y dy
x
y
dy
dx
ci
Ux

Uy
U
Ux 
x
U
Uy 
y
Lungo la curva d’indifferenza
dU = 0, risolvendo otteniamo
la pendenza della curva
d’indifferenza:
= MRS
Per l’ipotesi di monotonicità le utilità marginale sono entrambe
positive allora la curva d’indifferenza è inclinata negativamente e la
sua pendenza (MRS) è uguale al rapporto fra le utilità marginali dei
due fattori
Problema consumatore
Massimizzare la Utilità dato il vincolo di bilancio
Se sostituiamo il vincolo di bilancio nella funzione di utilità possiamo
riscrivere il problema del consumatore nel modo seguente
R px
Max U( x, y) dove y 

x
py py
x
La condizione del primo ordine 
da cui si ottiene
dU
p
 Ux  Uy x  0
dx
py
Ux px

Uy py
considerando che
la condizione è identica alla precedente

Ux
 MRS
Uy