Processi di burning
in stelle compatte
Irene Parenti
Dipartimento di Fisica e INFN di Ferrara
“Scuola di Fisica Nucleare R. Anni”
Otranto, 1 Giugno 2006
Otranto, 1 Giugno 2006
Irene Parenti
Cosa vedremo
- perché studiare i processi di combustione
- fluidodinamica:
- superficie di discontinuità
- onde di shock
- teoria della combustione non relativistica
- teoria della combustione relativistica
- calcoli numerici sulla natura della transizione da
materia nucleare a materia di quark in stelle
compatte.
- convezione
- c’e’ convezione nelle stelle di neutroni?
- calcoli numerici di velocità convettive
- conclusioni
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Irene Parenti
Perché studiarli?
Processo di conversione di una stella di neutroni in una
stella ibrida o in una stella a quark.
Tempo di conversione?
Importante per:
●Esplosioni di Supernovae
●Gamma Ray Burst
●Kick NS
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Superficie di discontinuità
Superficie attraverso la quale alcune quantità caratteristiche del fluido cambiano in maniera discontinua.
Mettiamoci nel sistema di riferimento di un elemento
di superficie. L’asse x avrà direzione perpendicolare
alla superficie.
P2, e2, r2
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P1, e1, r1
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Condizioni al contorno
Quantità che si conservano attraverso la superficie:
flusso di massa
flusso di energia
flusso d’impulso
 vx   0

1 2

  v x  2 v  w   0



p   v   0
2
x
 v v   0
x
y
 vx vz   0
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Prima soluzione
Non c’e’ flusso di massa attraverso la superficie:
1v1x   2v2 x  0
v1x  v2 x  0
p1  p2  0
Le quantità vy, vz e ρ possono essere discontinue.
Questo tipo di soluzione viene detta discontinuità
tangenziale.
Questa discontinuità è completamente instabile e rende
il fluido turbolento.
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Seconda soluzione
C’è flusso di massa attraverso la superficie:
i  0  vix  0
v1 y  v2 y
v1z  v2 z
Le condizioni al contorno diventano allora:
v x   0
1 2

v

w
2 x
0


p  v x2  0


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Una discontinuità di questo tipo
viene detta onda di shock
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Onda di Shock
Introduciamo adesso il volume specifico:
e il flusso della densità di massa:
V
j  v
1

Le condizioni sul fronte, riscritte in termini di queste
quantità, diventano:
v1  j V1 , v2  j V2
j   p2  p1  V1  V2 
2
1
w1  w2  V1  V2  p2  p1   0
2
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Adiabatica di shock
(detta anche adiabatica di Hugoniot)
soluzione stabile solo
per:
p p
p
V2, p2
2
1
V1  V2
j2
con
V1, p1
v1  c1
v2  c2
V
NB: il passaggio di un’onda di shock è un processo
irreversibile. Deve quindi essere soddisfatta anche la
relazione:
s2  s1
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Weak shock
• discontinuità in tutte le quantità è piccola
• sviluppo attorno al punto 1 rispetto a s e p.
 w 
 w 
 s2  s1   
  p2  p1 
w2  w1  
 s1  p
 p1  s
1  2w 
1  3w 
2
3







 
p

p

p

p
2
1
2
1
2  p12  s
6  p13  s
 T1 s2  s1   V1  p2  p1 
1  V 
1   2V
2
  p2  p1   
 
2  p1  s
6  p12
 V 
1   2V
  p2  p1   
V2  V1  
2  p12
 p1  s
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
  p2  p1 3
s

  p2  p1 2
s
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w1  w2 
1
V1  V2  p2  p1   0
2
w1  w2 
1
2V1  V2  V1  p2  p1   0
2
V1  p2  p1  
1
V2  V1  p2  p1   w2  w1
2
1  V 
1   2V
2
  p2  p1   
V1  p2  p1   
2  p1  s
4  p12

  p2  p1 3
s
1  V 
1   2V
2
  p2  p1   
 T1 s2  s1   V1  p2  p1   
2  p1  s
6  p12
1   2V

s2  s1  
12 T1  p12
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
  p2  p1 3
s

  p2  p1 3
s
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• ricordiamoci che
  2V

2

p


  0
s
pV   cost
• adiabatica di Poisson: ha la forma
s2  s1  0
è isoentropica
• se p2>p1 allora sulle due adiabatiche abbiamo s2>s1 H
s2=s1 P
da cui otteniamo che: V2H>V2P (l’opposto per p2<p1)
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nel punto 1 le due curve hanno un contatto di secondo
grado. Se rimaniamo vicini al punto 1 possiamo scrivere:
 p 
 p 
j 2  





 V 
 V  s
Calcoliamo le velocità:
 p 
 p 
2  p 
v1  v2  v  j V  V  
  V 
     cs
 V  s
 V  s
   s
Importante:
• s2>s1
• dal grafico:
 p 

j  
 V1  s1
2
• analogamente:
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p2>p1
 p 
 p 
  
  c1
j V  v1  V 
 V1  s1  1  s1
2
2
1
v2<c2
2
1
v1>c1
v1>v2
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Combustione lenta
• La velocità delle reazioni chimiche dipende più o meno
fortemente dalla temperatura.
• Reazioni endotermiche: serve un continuo apporto
termico dall’esterno per fare andare avanti la reazione.
• Reazioni esotermiche: se l’energia rilasciata è
abbastanza grande allora la reazione si autoalimenta (in
questo caso si parla di “combustione lenta”).
•Processo
di
combustione
è
necessariamente
accompagnato dal moto della materia stessa.
PROCESSO CHIMICO + PROCESSO DINAMICO
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• La parte combusta e la parte ancora da bruciare sono
separate da uno strato di transizione (flame) dove le
reazioni stanno avvenendo.
• La dimensione δ di questo strato è strettamente
legata alla distanza media su cui il calore rilasciato
viene trasferito durante la durata della reazione
stessa.
• δ non dipende quindi dalle dimensioni ℓ del problema
ma dalle caratteristiche della reazione.
•Se ℓ » δ allora i due problemi (chimico e dinamico)
possono essere trattati separatamente.
• trascuriamo δ e consideriamo lo strato di transizione
come una superficie di separazione.
superficie di discontinuità
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Esempio
• Prendiamo una reazione chimica autoalimentata dove il
trasferimento di calore avviene per conduzione termica.
• X
•τ
conducibilità termica
tempo caratteristico della reazione
 
• Il Landau insegna:

•ma anche la velocità del flame dipenderà da τ e da δ:

v1 




• la conducibilità non e’ altro che:
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   vT
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• con λ cammino libero medio delle molecole e vt
velocità termica.

• definendo come “tempo libero medio”  fr 
vt
otteniamo:
   vt   fr v
2
t
Poiche’ la velocità termica è dello stesso ordine di
grandezza della velocità del suono:
vt ~ c1
v1

c1
da
τfr « τ


2
 c1
 fr

otteniamo:
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v1 « c1
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Sulla superficie di discontinuità che sostituiamo alla
zona di combustione varranno ancora una volta le
equazioni di conservazione del flusso di massa, energia
e impulso:
1v1   2 v2
w1  w2
p1  p2
dove abbiamo trascurato i termini in v2.
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Detonazione
Nella combustione lenta il meccanismo che permette
l’avanzamento del fronte di combustione è il
trasferimento di calore dalla zona combusta a quella
ancora da bruciare.
Ma esiste anche un altro meccanismo, completamente
diverso, che si basa sull’utilizzo delle onde di shock.
Un’onda di shock quando attraversa la materia le cede
anche calore, facendo così aumentare la sua
temperatura.
Se quest’onda e’ abbastanza energetica questo aumento
di temperatura può essere sufficiente per dare inizio
alla combustione.
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L’onda di shock quindi “accenderà” la combustione mano
a mano che attraversa la materia e quindi la velocità
del fronte di combustione sarà la stessa dell’onda.
Questo meccanismo di propagazione viene chiamato
“detonazione”.
Una volta passata l’onda di shock le reazioni chimiche
innestate continueranno per un tempo τ caratteristico
delle reazioni stesse. L’onda sarà allora seguita da uno
strato di materia, che si muove con essa, dove
avvengono le reazioni di combustione.
Se le dimensioni del sistema sono abbastanza grandi
possiamo considerare onda di shock e strato di
combustione come una singola superficie di discontinuità
che separa le due fasi e che viene detta “onda di
detonazione”.
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Conservazione dei flussi di massa, energia e impulso
portano agli stessi risultati ottenuti per l’onda di shock
v1  j V1 , v2  j V2
j 2   p2  p1 V1  V2 
flusso di massa
1
e1  e2  V1  V2  p2  p1   0 adiabatica di detonazione
2
p
adiabatica di
detonazione
v2  c2
bb cc
v1  c1
adiabatica di
shock
j2
O
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dd
aa
O
V
Punto di Jouguet
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Adiabatica di combustione
Le equazioni della adiabatica di combustione sono la
conseguenza delle equazioni di continuità.
Tutti i punti corri- P
v1>c1
spondenti ai prodotti
detonation
v2<c2
della combustione
devono rispettare le
stesse equazioni per
v1>c1
O
fast detonation
qualsiasi altro modo di
v2>c2
combustione in cui la
A
v1<c1
zona di reazione viene
A’
v2<c2
trattata come una
slow combustion
1
v1<c1
superficie di
instable
v2>c2
discontinuità.
O’
V
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Teoria della combustione Relativistica
Tensore Energia-Impulso per una porzione di fluido in
movimento.
e 0 0 0 


0 p 0 0 
Nel sistema proprio:
T  
0 0 p 0


0 0 0 p


In generale:
T  wu u   pg
NB: Per tutte le quantità termodinamiche (entalpia,
energia e entropia) viene preso il valore per unità di
volume del sistema proprio.
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Nel sistema di riferimento solidale al fronte di combustione e nel caso unidimensionale:
v
quadri-velocità
u
 v
1 v2
T0 x  w u
Txx  wu 2  p
Tensore Energia-Impulso
Equazioni di conservazione:
Ti k
0
k
x
 ( nu i )
0
i
x
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i

u
p
k
k p
wu
  i  ui u
k
x
x
x k
Le 3 componenti spaziali di questa equazione
non sono altro che la versione relativistica
dell’equazione di Eulero
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Nel sistema di riferimento solidale al fronte diventano:
n1u1  n2u 2  j
Flusso Barionico
p1  w1u12  p 2  w2u 22
Txx
w1 1u1  w2 2u 2
T0x
Definiamo il volume generalizzato:
( p2  p1 )
j 
( X 2  X1)
2
w
X 2
n
flusso barionico
Adiabatica di detonazione:
X 2 w2  X1w1  ( X1  X 2 )( p2  p1 )
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Teoria della combustione R
P
v1>c1
v2<c2
detonation
O
fast detonation
v1<c1
v2<c2
A
1
A’
v1>c1
v2>c2
slow combustion
instable
O’
v1<c1
v2>c2
X
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Le equazioni si possono riscrivere come:
( p2  p1 )(e2  p1 )
v 
(e2  e1 )(e1  p2 )
2
1
( p2  p1 )(e1  p2 )
v 
(e2  e1 )(e2  p1 )
2
2
(e2  p2 )(e2  p1 )
n n
(e1  p2 )(e1  p1 )
2
2
2
1
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Irene Parenti