Cambiamento del Sistema di Riferimento
• Il moto dipende dal sistema di riferimento dal quale viene osservato:
– Un viaggiatore seduto sul sedile di una carrozza ferroviaria non si muove
rispetto al vagone
– Se osservato dal marciapiede della stazione, egli invece percorre diversi
metri al secondo.
– Il viaggiatore, se lascia cadere un oggetto nel vagone, descriverà il moto
come un moto rettilineo (uniformemente accelerato)
– Lo stesso moto apparirà parabolico (moto del proiettile) ad un osservatore
sul marciapiede della stazione.
• Come si fa a trasformare le grandezze
cinematiche, posizione , velocità,
accelerazione da un sistema di
riferimento ad un altro?
P
z
z'
r
O
y'
r'
O
O'


r  r'  OO'
O
y
x'
x
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Sistemi di riferimento in moto traslatorio
trasformazioni della posizione
y'
y
Studieremo il caso molto particolare in cui gli assi del
sistema O’x’y’z’ sono costantemente paralleli a quelli
corrispondenti nel sistema Oxyz e l’origine O’ del
secondo sistema si muove sull’asse delle x.
r
O
z
z
r'
O'
xx'
z'


r  r'  OO'
r  xi  yj  zk
x  x' x o'
r'  x' i '  y' j' z' k'  x' i  y' j  z' k  y  y'

z  z'
OO'  xO' i
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Sistemi di riferimento in moto traslatorio
trasformazioni della velocità
dr d xi  yj  zk dx
dy
dz
v


i
j k
dt
dt
dt
dt
dt
dr' dx' i' y' j' z' k'  dx'
dy'
dz'
v' 


i
j
k
dt
dt
dt
dt
dt
y'
y
r
O
z
z
r'
O'
xx'
z'
d OO' d xO' i  dxO'



i
dt
dt
dt

v O'



d r'  OO' 
 dr' d OO' dr'
dr
v




 v O'
dt
dt
dt
dt
dt
v  v' v O'
v x  v' x'  vx O'
 v y  v' y'
vz  v' z'
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Sistemi di riferimento in moto traslatorio
trasformazioni dell’accelerazione
dv dv' vO'  dv' dvO' dv'
a




 a O'
dt
dt
dt
dt
dt
a  a' a O'
y'
y
r
a x  a' x' a x O'
a y  a' y'
O
z
z
a z  a' z'
r'
O'
xx'
z'
Solo se ao=0 l’accelerazione nei due sistemi di riferimento
è la stessa!
 a'aa
a O'  0 a
O'a'
a x  a' x' a x O'
a y  a' y'
a z  a' z'
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Tasformazioni di Galilei
y'
y
Se O’ si muove lungo l’asse x con velocità costante
e O’ coincide con O a t=0:
r
x  x'  vx O' t
y  y'
z  z'
v x  v' x' vx O'
v y  v' y'
v z  v' z'
a x  a' x'
a y  a' y'
a z  a' z'
O


r  r'  OO'
z
z
r'
O'
xx'
z'
v  v' v O'
a  a'
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Un camion ed un’automobile sono partiti insieme da un semaforo e
percorrono una strada rettilinea a velocità costante (va=80km/h,
vc=60km/h). Come appare il moto dell’automobile rispetto al camion?
Applica
zione
• Consideriamo un sistema di riferimento con l’origine O nel semaforo e
l’asse x lungo la strada rettilinea orientato nel verso del moto dei due
veicoli.
x a  vxat
• Le rispettive leggi orarie saranno:
x  v t'
c
xc
• Per studiare il moto dell’automobile rispetto al camion, consideriamo un
secondo sistema di riferimento con l’origine O’ coincidente con il
camion e l’asse x’ diretto come l’asse x (vxO’=vc).
• Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei
x  x'  vx O' t
y  y'
z  z'
v x  v' x' vx O'
v y  v' y'
v z  v' z'
x' a  xa  vx O' t  va t  v ct  (va  vc )t
Si tratta di un moto che avviene lungo l’asse x’
(rettilineo) a velocità costante data da va- vc.
Alla stessa conclusione si arriva usando le
trasformazioni della velocità.
v' x'  v x  vx O'
 v' a  va  vc
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La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A
quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve per
il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h?
Applica
zione
• Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al suolo co n
l’asse x diretto lungo la strada e il sistema O’x’y’z’ fermo rispetto al
guidatore.
• il sistema O’x’y’z’ si muove con velocità costante rispetto al sistema
Oxyz
v  v' v O'
• Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei:
y
km
1000m
50
 50
 13,9m / s
h
3600s
y’
v
v O'
• La velocità dei ficchi di neve rispetto alla
macchina (sistema O’x’y’z’ ) sarà:
 vO' 
v'  v  vO'
v' v
O
tan  
O’
x’
x
v a 13.9

 1.737
v
8.0
  60
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Le cause del moto: la situazione prima di
Galilei e di Newton
• Ogni elemento ha una sua posizione
naturale: la terra e l’acqua sotto, l’aria e il
fuoco sopra.
• Ogni elemento cerca di raggiungere la sua
posizione naturale dopo di che rimane in
quiete
• Lo stato naturale dei corpi è la quiete
• Per far muovere un corpo o per mantenerlo
in moto occorre esercitare un’azione su di
esso!
• Il moto dei corpi celesti era assicurato da
schiere di angeli(o dei) che spingevano i
pianeti, il sole (Apollo con il carro) e le
stelle nel loro moto attorno alla terra.
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III legge di Newton
II legge di Newton
• La visione attuale è condensata
nelle tre leggi di Newton.
• Questi vanno considerati come
dei postulati, dei principi
fondamentali, non dimostrabili,
formulati sulla base delle
intuizioni di grandi fisici,
Galilei, Newton, da cui si
possono far discendere tutte le
altre leggi che descrivono i
fenomeni particolari.
• E’ dunque il confronto delle
previsioni dedotte dai principi
fondamentali con i risultati di
esperimenti che ci permette di
apprezzare la correttezza dei
postulati iniziali.
I legge di Newton
Le cause del moto: la visione attuale
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La prima legge di Newton
o legge di inerzia
• I corpi isolati conservano il loro stato di moto rettilineo
uniforme
• o di quiete (caso particolare del moto rettilineo uniforme)
• Lo stato naturale dei corpi non è la quiete ma il moto rettilineo
uniforme (a velocità costante): non è necessaria alcuna azione per
mantenere in moto (rettilineo uniforme) un corpo.
• Se non ci sono interazioni con altri corpi (oggetto isolato) non c’è
alcuna possibilità di cambiare la sua velocità.
• Solo le interazioni con altri corpi possono far cambiare la velocità (il
suo modulo o la sua direzione) di un corpo.
• Se mi accorgo che un corpo cambia il suo stato di moto (la sua velocità
cambia in modulo o in direzione) allora vuol dire che nell’ambiente
circostante esiste almeno un altro corpo che sta esercitando un’azione
sul corpo sotto osservazione.
• Le azioni esercitate dagli altri corpi, capaci di far cambiare la velocità
di un corpo, si chiamano forze.
• I corpi possiedono l’inerzia (la massa) : la capacità di resistere a
cambiamenti del loro moto.
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Definizione operativa della massa
inerziale
• La massa inerziale misura la capacità di un corpo di opporsi a
cambiamenti del suo stato di moto (cambiamenti di velocità).
•
Prendiamo due corpi e provochiamo delle variazioni del loro stato di moto
v1
v2
molla
Osservazione sperimentale
• Ragionamento
v1i = v2i = 0
Dv1= v1f - v1i = v1f
Dv2 = v2f-v2i = v2f
Dv1
 cos tan te
Dv2
– I due corpi subiscono una differente variazione di velocità perché hanno
una diversa capacità di opporsi a cambiamenti del loro stato di moto (una
diversa massa inerziale)
m2 Dv1 Relazione inversa: Il corpo con massa maggiore

– Allora:
m1 Dv2 subisce una minore variazione di velocità
Scegliendo m1 come m  m Dv1  1kg Dv1  Dv1 kg La massa è uno scalare
2
1
Dv2
Dv2 Dv 2
campione di massa:
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La seconda legge di Newton
• La risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla
massa del corpo per l’accelerazione subita
 F  ma
– Poiché l’accelerazione è un vettore e la massa è uno scalare
– La forza è un vettore.
• La seconda legge di Newton è una relazione vettoriale:
F  m a
SI :
kg m
=N
2
s
– Equivalente a tre equazioni scalari:
 F   F
 F   F
 F   F
x
y
z
y
max  ma x
may  ma y
z
maz  ma z
x
 F  ma
 F  ma
 F  ma
x
x
y
y
z
z
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La terza legge di Newton
• Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e
contraria
• Formulazione più professionale:
“Se il corpo C esercita sul
corpo B una forza, FBC ,
allora anche il corpo B
esercita sul corpo C una
forza, FCB . Le due forze
sono uguali in modulo e
direzione, ma opposte in
FBC  FCB
verso”.
• N.B.: L e forze di azione e reazione agiscono sempre su corpi diversi.
– Forze uguali ed opposte, ma agenti sullo stesso corpo, non possono essere
quelle previste dalla terza legge di Newton.
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I sistemi di riferimento inerziali
• In cinematica noi non abbiamo posto molta attenzione al sistema di
riferimento usato per descrivere il moto.
– In genere abbiamo scelto un sistema di riferimento in cui la descrizione
del moto risultava la più semplice possibile.
• I sistemi di riferimento in cui valgono le tre leggi di Newton si
chiamano “Sistemi di riferimento inerziali”.
– Nei “Sistemi di riferimento inerziali” i corpi isolati si muovono di moto
rettilineo uniforme (accelerazione nulla).
• Newton aveva ipotizzato l’esistenza di un sistema di riferimento
assoluto, legato alle stelle fisse, in cui valgono con precisione le leggi
di Newton (i corpi isolati hanno accelerazione nulla).
– La relatività Galileana ci dice che tutti i sistemi in moto traslatorio
uniforme rispetto a quello assoluto (legati cioè a corpi isolati) misurano la
stessa accelerazione, quindi sono anch’essi inerziali.
• Il Sistema del Laboratorio, il sistema geocentrico e quello eliocentrico
non sono inerziali (sono legati a corpi non isolati, che non si muovono di
moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse).
– Per moti di breve durata rispetto al ciclo del sistema, questi sistemi
possono essere considerati inerziali.
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Osservazioni sulla seconda legge di
Newton
• Se si conoscono le forze come funzione del tempo, della
posizione , delle proprietà dei corpi interagenti (massa,
carica, etc.), etc.,
• la seconda legge della dinamica ci permette di determinare
l’accelerazione
• una volta nota l’accelerazione, con i metodi che abbiamo
discusso in cinematica (risoluzione dell’eq. diff.), è
possibile arrivare alla legge oraria
• arrivare a conoscere la posizione del corpo in funzione del
tempo, a descrivere il moto.
• Occorre quindi determinare le espressioni delle forze!
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Ulteriori osservazioni sulla seconda
legge di Newton
• La seconda legge di Newton richiede che tutte le forze
agenti su un corpo siano prese in considerazione.
 F  ma
• Come si fa ad includere tutte le forze?
– Nei sistemi di riferimento inerziali le forze sono dovute ad altri corpi
presenti nell’ambiente attorno al corpo di cui si vuol studiare il moto.
– Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo
che la subisce e qual è il corpo che la genera
• Questo rende più facile anche l’applicazione della terza legge di Newton
– Per ricercare tutte le forze bisognerà cercare i corpi presenti
nell’ambiente circostante e che possono interagire con il corpo sotto
osservazione.
– Alcune forze agiscono a distanza, altre per agire richiedono che ci sia
contatto tra i corpi interagenti.
– Massima attenzione sui corpi a contatto con quello sotto
osservazione.
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Le leggi delle forze: la forza peso
– Galilei ha osservato che tutti i corpi nelle vicinanza della superficie
terrestre cadono verso il basso con la stessa accelerazione g=9,81
m/s-2
– Conosciamo quindi l’accelerazione subita da un corpo quando
agisce la sola forza peso.
– Applicando la seconda legge di Newton possiamo ricavare la forza
subita dal corpo:
P  mg
– il vettore g ha modulo 9,81 m/s-2, direzione verticale e punta verso il
basso.
– Qual è il corpo che esercita la forza peso?
• La forza peso è dovuta alla presenza della Terra, è esercitata dalla Terra ed
è una delle forze che agisce a distanza, non è necessario il contatto del
corpo con la Terra.
– Nel caso di un punto materiale la forza peso si indica con una freccia che parte
dal punto ed è diretta verso il basso
– Per corpi complessi il peso si applica al baricentro (centro di massa)
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La legge della gravitazione universale
• Due masse, m1 ed m2 a distanza d, si attraggono con una forza data da:
m1m2
FG  G 2
d
G  6.67 10
11 m 3
s2 kg
• La forza di gravitazione universale agisce a distanza.
• Se m1 = m2 =1 kg e d=1m, la forza di attrazione è di 6.67x10-11 N (del
tutto trascurabile rispetto alla forza peso 9.81 N)
• Quando consideriamo corpi sulla superficie terrestre, trascureremo
sempre la mutua attrazione tra di essi, perché molto più piccole delle
rispettive forze peso
• Questa forza è importante per lo studio del moto dei pianeti
• Il peso dei corpi può essere derivato da questa forza:
mM T
P  mg  FG  G 2
RT
MT
 gG 2
RT
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La forza elettrostatica o di Coulomb
• Ha una espressione simile a quella di gravitazione universale, ma
coinvolge le cariche.
FC 
1 q1q 2
4 o d 2
 o  8.85  101 2 F m
• Anche la forza elettrostatica agisce a distanza
• ed è abbastanza intensa
• Le differenze con quella di gravitazione universale
– Esistono due tipi di cariche: positive e negative
– Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si
attraggono
• In Fisica I non faremo molto uso della forza elettrostatica, ma le
interazioni elettromagnetiche sono l’origine delle altre forze che ora
introdurremo: la forza elastica, le reazioni vincolari, la tensione nelle
corde, le resistenze passive etc.
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La forza elastica
• I corpi solidi tendono a conservare la loro forma
(pensate alla struttura cristallina)
• Se sono sottoposti ad una sollecitazione subiscono
una deformazione.
• Per conservare la loro forma, applicano, a chi ha
prodotto la deformazione, una forza che, per
piccole deformazioni, è proporzionale alla
deformazione stessa (comportamento elastico).
• Una volta rimossa la sollecitazione ritornano allo
stato normale.
• Il caso della molla:
– k = costante elastica della molla
– La forza elastica agisce per contatto.
– La forza elastica è una forza di richiamo: se
l’estremo libero della molla viene spostato da x=0,
la forza elastica tende a riportarlo in quella
posizione.
asse x
O
Fel
O
F
asse x
x
Fel
F
asse x
x
O
Fel   kxi
Felx  kx
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