STORIA DELL’ALGEBRA
C. S. Roero
 ALGEBRA RETORICA xviii
2006-07
a. C.-III
 ALGEBRA SINCOPATA III-XVI Diofanto
 ALGEBRA SIMBOLICA XVI- Viète
Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’lmuqabala
Operazione del “completamento”,
trasferimento di termini da un membro
all’altro
Arte di trasformare un’equazione in un’altra
ad essa equivalente
INCOGNITA
Say’ =cosa
Res latino
arte cossica, arte dei cossisti
Coss tedesco
algebra
Fino alla metà del XIX sec. l’Algebra era lo
studio delle equazioni
Serret 1866 Traité d’algèbre superieure
LAGRANGE 1770
Proprietà di simmetria delle radici
RUFFINI 1799
ABEL 1823
eqz di 5° non risolubile
GALOIS 1830
teoria dei gruppi – strutture algebriche
EGITTO EQUAZIONI LINEARI 1 incognita
Una quantità cui viene aggiunto un
1
x  x  19
suo settimo diventa 19. Assumi come
7
falsa risposta 7. Aggiungi 1/7 di essa
x'  7
alla medesima quantità e hai come
1
risultato 8. Poi tante volte 8 deve
7 7 8
7
essere moltiplicato per dare 19,
19 : 8  x : 7
quante 7 per dare il numero
corretto. Così dividi 19 per 8.
1 1
19 : 8  2  
Ottieni 2+1/4+1/8. Ora moltiplica
4 8
questo per 7. La risposta è
1 1
1 1 133
16+1/2+178. Prendi 1/7 di questa
x  (2   )7  16   
4 8
2 8 8
quantità e aggiungilo alla medesima,
133 1 133
il risultato è il richiesto 19.
verifica

 19
8
7 8
EGITTO EQUAZIONI

1 grado
Metodo di falsa posizione
1
x
x  19
7
x'  7
1
7
78
7
19 : 8  x : 7
1
1
19 : 8  2 

4
8
1
1
1
1
133
x  (2 
 )7  16 


4
8
2
8
8
MESOPOTAMIA

Incognita lunghezza uš
 Larghezza say Area a-šà volume sahar
 Tavoletta
 1-7
BM 13091
risoluzioni di equazioni 2° ad 1 incognita
 8-14 sistemi di 2 equazioni in 2 incognite
(nella prima compare la somma dei quadrati,
nella 2a la somma o la differenza o il rapporto
o il prodotto delle incognite)
 15-24 esercizi e applicazioni , con numero
qualsiasi di incognite
MESOPOTAMIA
Metodi utilizzati
 Completamento del quadrato
 Semisomma e semidifferenza
delle incognite
Problema 1 tavoletta BM 13901







Ho addizionato la
Completamento del quadrato
superficie e il lato del
quadrato 0;45
3
2
x x
Tu porrai 1 l’unità
4
Tu dividerai in due l’unità:
2
2
0;30 e la moltiplicherai per
1
3 1

2
0;30: 0;15.
x  x    
4 2
2
Tu aggiungerai 0;15 a
0;45: 1
1
3 1
E’ il quadrato di 1.
x 

Tu sottrarrai 0;30 che hai
2
4 4
moltiplicato da 1: 0,30.
1
1
È il lato del quadrato.
x  1 
2
2
Completamento del quadrato
x  px  q
2
2
 p
 p
x  px     q   
2
2
2
2
p

 p
x   q 
2

2
2
p
 p
x    q 
2
2
2
2
Si basa sull’identità
a  b2  a 2  2ab  b2
analogamente
x 2  px  q
a  b2  a 2  2ab  b 2
Semisomma e semidifferenza
problema 9 tavoletta BM 13901
Ho sommato la superficie di due
quadrati: 21,40, l’uno supera
l’altro di 10
Tu dividerai in due 21,40,
scriverai 10,50
Dividerai in due 10: 5
Moltiplicherai 5 per 5: 25
Sottrarrai 25 da 10,50: 10,25
Questo è il quadrato di 25
Scriverai 25 due volte
Aggiungerai il 5 che hai
moltiplicato al primo 25: 30, è
il primo quadrato
Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20, è
il secondo quadrato
 x 2  y 2  1300

 x  y  10
x2  y2
 x y
 650

5
2
 2 
 x y

  25
 2 
2
x y
 x y

  625
2
 2 
2
2
2
x2  y2  x  y 

  25
2
 2 
x y x y

 30
2
2
x y x y

 20
2
2
2
Semisomma e semidifferenza delle incognite
x y
 x y  x y

 

2
 2   2 
2
2
2
x  y 
2

 x  y   2 x  y
2
x y x y

x
2
2
x y x y

y
2
2
2
2
2

Euclide Elementi libri II VI
 Algebra
geometrica
 Applicazione
aree
delle
Elementi
ab
a2
b2
ab
II.4
Se si divide a caso una linea retta, il
quadrato di tutta la retta è uguale
alla somma dei quadrati delle parti e
del doppio del rettangolo compreso
dalle parti stesse.
a  b
2
 a  2ab  b
2
2
Applicazione delle aree ed equazioni
Applicazione parabolica (applicazione)
Costruire un rettangolo di area data S su una base data b
Applicazione ellittica (mancanza)
Costruire un rettangolo di area data S su una parte di un
segmento dato b, in modo che l’altezza sia la parte
rimanente del segmento
Applicazione iperbolica (eccesso)
Costruire un rettangolo di area data S su un segmento dato
b più un segmento aggiuntivo, in modo che l’altezza sia
uguale al segmento aggiunto.
Applicazione parabolica (applicazione)
Costruire un rettangolo di area data S su una base data b
S
bx  S
x
b
Applicazione iperbolica (eccesso)
(b  x) x  S
S
x
bx  x  S
Applicazione ellittica (mancanza)
(b  x) x  S
2
b-x
S
b+x
x
x
bx  x  S
2
Elementi
b
II.5
b2
a2
a-b
a
a+b
Se si divide una retta in
parti uguali e disuguali,
il rettangolo compreso
dalle parti disuguali
della retta insieme col
quadrato della
differenza fra le due
parti, è uguale al
quadrato della metà
della retta.
a  b  a  ba  b
2
2
Elementi
II.5
Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il
rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta
insieme col quadrato della differenza fra le due parti, è
uguale al quadrato della metà della retta.
D
AD  x, DB  a  x
a
CB  AC 
2
CD  AD  AC  x 
A
a
2
a

a
x(a  x)   x     
2

2
2
2
a
a
x    S
2
2
a-x
B
K
2
a

a
S x   
2

2
C
2
2
L
H
E
G
ADHK applicazione ellittica
Forma geometrica della formula
risolutiva dell’equazione di 2°
M
F
Elementi
VI.27 in forma più generale e
separando i casi in cui è possibile risolvere il problema
Tra tutti parallelogrammi costruiti su uno stesso segmento e
mancanti di parallelogrammi simili a quello descritto sulla metà
del segmento dato è massimo quello costruito sulla metà del
segmento dato ed è simile al parallelogramma mancante
L
D
G
E
F
ACDL>AKFG
A
N
C
K
M
B
L
D
G
N
M
F
C
A
K
Diorisma: l’area da applicare
non deve superare il quadrato
costruito su metà base
Elementi
E
VI.27
B
AB  a
KB  x
AKFG  S
(a  x) x  S
x  ax  S  0
2
2
a
   S 0
2
DIOFANTO III sec. d. C.
ARITHMETICA 13 libri
problemi determinati e indeterminati
I.27 Trovare due numeri tali che la loro somma e il loro
prodotto siano numeri dati
x  y  20
Condizione necessaria:
Il quadrato della
semisomma supera di un
quadrato perfetto il
prodotto
xy  96
x  y  2d due aritmi 10  d , 10  d
x y x y
x

 10  d
2
2
x y x y
y

 10  d
2
2
10  d 10  d   96
xy  100  d 2  96  d  2
x  12, y  8
Diofanto Arithmetica
I.27
Condizione necessaria: Il quadrato della semisomma
supera di un quadrato perfetto il prodotto
 x y

  xy  quadrato
 2 
x y a
xy  b
corrispond e alle soluzioni razionali  0
2
2
a
a
   b
2
2
Diofanto Arithmetica III.4
Problema indeterminato
Trovare tre
numeri tali che
se il quadrato
della loro somma
è sottratto da
ciascuno di essi,
il resto sia un
quadrato.
Poniamo che la somma
sia un aritmo x
X  ( X  Y  Z )2  α2
Y  ( X  Y  Z )2  β2
Z  ( X  Y  Z )2  γ 2
X Y  Z  x
( X  Y  Z )2  x 2
pone X  2 x 2 , Y  5 x 2 , Z  10 x 2
che verifican o le tre equazioni
α2  x2 , β2  4x2 , γ2  9x2
sostituisc e ora in X  Y  Z  x trovando
2 x 2  5 x 2  10 x 2  x
17 x 2  x
1 2
1
2
5
10
x  ,x 
,X 
,Y 
,Z 
17
289
289
289
289
Diofanto Arithmetica
Algebra sincopata abbreviazioni per incognite
x
S
 x2
y
 x3
Ky
 x4
y
 Il resto è scritto a parole, ad esempio
K
β

γ
S
α

μοριω
2 x  3x  x
γ
2
α
x  2x 1
 αS β M
parte di
γ
3
2
γ
Confini dell’impero abbaside al tempo di Harun al-Rashid
storia
CALIFFI – biblioteche, arabi
chiedono ai bizantini libri come
indennità di guerra
MANSUR 754-775 chiede a
Bisanzio trattati matematici
Euclide
HARUN AL-RASHID 786-809
incoraggia scienziati e traduzioni
in lingua araba e siriaca
Mille e
una notte
MAMUN 813-833 sogno - Baghdad
la casa della saggezza
Le scienze arabe VIII-XVI
Scienze fisiche:
medicina – botanica –
veterinaria – agraria
Filosofia:
logica – metafisica –
fondamenti
Matematica:
aritmetica – geometria
Astronomia
Musica
traduzioni
Scienze religiose
Geografia
Scienze linguistiche
Scienze storiche
Scienze giuridiche:
diritto – computo di eredità,
…
Astrologia
Teologia e filosofia
Retorica
TRADUZIONI di opere matematiche IX sec.
Euclide Elementi
Data
scritti di ottica
di meccanica, …
Archimede tutte le
opere
Apollonio Coniche
De sectione rationis
Pappo
Diofanto Arithmetica
Nicomaco di Gerasa
Erone di Alessandria
Scienze matematiche
contributi principali
Algebra
Teoria delle equazioni di 2° e 3° grado
Algebra dei polinomi
Geometria
V postulato di Euclide
 Costruzioni con riga e compasso
Teoria delle coniche
Aritmetica - numerazione posizionale
indiana
Trasmissione di opere classiche
790 - 850 AL-KHWARIZMI
padre dell’algebra
 Algoritmi
de numero indorum
 Al-kitab
al-muhtasar fi hisab algiabr wa’l-muqabala
Breve opera sul calcolo di spostare e
raccogliere
Problemi su contratti commerciali
 Teoria equazioni di 1° e 2° grado
 Geometria e algebra
 Divisione di eredità

1 Igin
2 Andras
3 Ormis
4 Arbas
5 Quinas
6 Calcus
7 Zenis
8 Temenias
9 Celentis
0 Zephir
Evoluzione delle cifre indo-arabiche
Algoritmi de numero indorum
B. Boncompagni Algoritmi de numero indorum (Roma 1857)
K. Vogel Mohammed ibn Musa Alchwarizm’s Algorithmus (Aalen 1963)
Algoritmus  algoritmo
Al-kitab al-muhtasar fi hisab
al-giabr wa’l-muqabala
Breve opera sul calcolo di spostare e
raccogliere
opera che racchiude le più raffinate e le
più nobili operazioni di calcolo di cui gli
uomini hanno bisogno per la ripartizione
delle loro eredità e delle loro donazioni,
per le divisioni e i giudizi, per i loro
commerci e per tutte le operazioni che
essi hanno fra loro relative agli strumenti,
alla ripartizione delle acque dei fiumi,
all’architettura e ad altri aspetti della vita
civile
dirham (moneta greca dracma) numero
say’ cosa o gizr radice
incognita res
mal bene quadrato dell’incognita census
EQUAZIONI
6 tipi canonici
ax2 = bx
2. I quadrati sono uguali a numero
ax2 = c
3. Le radici sono uguali a numero
ax = c
4. I quadrati e le radici sono uguali a numero ax2 + bx = c
5. I quadrati e i numeri sono uguali alle radici ax2 + c = bx
6. Le radici e i numeri sono uguali ai quadrati bx + c = ax2
l. I quadrati sono uguali alle radici
operazioni
al-jabr completamento, riempimento restauratio
al-muqabala messa in opposizione, bilanciamento
oppositio
al-hatt coefficiente dell’incognita ridotto all’unità
x2 + (10 – x)2 = 58
2x2 + 100 – 20x = 58
con l’al-jabr
2x2 + 100 = 20x + 58
con l’al-muqabala
2x2 + 42 = 20x
e infine l’al-hatt dà
x2 + 21 = 20x
che riconduce l’equazione di partenza al tipo 5
Algebra retorica
l. I quadrati sono uguali alle radici
2. I quadrati sono uguali a un numero
3. Le radici sono uguali a un numero
ax2 = bx
ax2 = c
ax = c
x2 = 5x
“La radice del quadrato è 5 e 25 costituisce il suo
quadrato”
1/2 x = 10  x = 20
x2 = 400
Formula per radicali
Tipo 4
x2
+ 10x = 39
x2 + px = q
2
 p p
x  q  
2 2
Dimostrazione geometrica
Quadrato x2
4 rettangoli
10/4 x
4 quadratini che completano
x
x
2
10/4
 10 
39  4    64
4
10
x2 8
4
x=3
il quadrato
Completamento del quadrato
x2 + px = q
2
 p   p
 p
x  4 x   4   q  4  
4  4
4
2
x
x
10/4
2
p

 p
 x  2   q  4 
4

4
2
p
 p
x  2  q  4 
4
4
2
2
Tipo 4
x2 + 10x = 39
x2 + px = q
x2 + 2·5x
5
39+25=64
x
5+x=8
5
x=3
2
 p   p
 p
x  2 x      q   
2  2
2
2
2
2
 p
 p
x   q 
 2
2
2
Quadrati e numeri uguali a radici
Il seguente esempio è un’illustrazione di
questo tipo: un quadrato e 21 unità
uguali a 10 radici.
La regola risolutiva è la seguente:
dividi per 2 le radici, ottieni 5.
Moltiplica 5 per se stesso, hai 25.
Sottrai 21 che è sommato al quadrato,
resta 4. Estrai la radice, che dà 2 e
sottrai questo dalla metà della radice,
cioè da 5, resta 3. Questa é la radice del
quadrato che cerchi e il suo quadrato è
9. Se lo desideri, aggiungi quella alla
metà della radice. Ottieni 7, che è la
radice del quadrato che cerchi e il cui
quadrato è 49.
x2 + 21 = 10x
10 : 2 = 5
5 · 5 = 25
25 – 21 = 4
4
42
5–2=3
x = 3 x2 = 9
2+5=7
x=7
x2 = 49
x2 + q = p x
discussione sulle radici
Se tu affronti un problema che si riconduce a
questo tipo di equazione, verifica l’esattezza della
soluzione con l’addizione, come si è detto. Se non
è possibile risolverlo con l’addizione, otterrai
certamente il risultato con la sottrazione. Questo è
il solo tipo in cui ci si serve dell’addizione e della
sottrazione, cosa che non trovi nei tipi precedenti.
Devi inoltre sapere che se in questo caso tu dividi
a metà la radice e la moltiplichi per se stessa e il
prodotto risulta minore del numero che è aggiunto
al quadrato, allora il problema è impossibile.
Se invece risulta uguale al numero, ne segue che la
radice del quadrato sarà uguale alla metà delle
radici che sono col quadrato, senza che si tolga o
si aggiunga qualcosa.
> 0
due radici
distinte
(p/2)2 < q
<0
(p/2)2 = q
=0
due radici
coincidenti
x2
Tipo 5
+ 21 = 10x
x2 + q = p x x < p/2
p
x

2
2
 p
  q
2
GCDE = px
GCDE=ABCD+GBAE
L
M
E
I
K
H
A
p/2
F
B
GBAE=(p–x)x = q
GFKM= (p/2)2
IHKL = (p/2  x)2
D
x
G
ABCD = x2
C
EILM = FBAH
IHKL= GFKM – GBAE
(p/2x)2 = (p/2)2  q
IH = AH
 p 22  q
2
p
 p
AD = HD–AH = x      q
2
2
Tipo 5
x2 + 21 = 10x
x2 + q = p x
A
E
D
L
ABCD=x2 GF=FC=p/2
AL=BF=x-p/2
BFHI=(x-p/2)2
GFKM = (p/2)2
GBLM+IHKL=GBAE = q
K
M
x2
(p/2)2
2
p  p
BC=BF+FC=     q
2
2
H
I
p/2
x - p/2
G
B
x > p/2
F
C
2
Tipo 6
3x + 4 = x2
M
B
x
q
N
R
C
K
H
(p/2)2
p
L
G
T
p/2
A
x
p  p
x     q
2 2
px+q=x2
ABCD=x2 ARHD = px
RBCH = x2 – px = q
quadrato TKHG = (p/2)2
TL = CH = MN = x – p
GL=CM=CG,
GL=GT+LT=GH+HC
LNKT=RBMN
NMCH+BMNR=RBCH=q=gnomone
NMCHGTKN
D
LMCG=TKHG+q=(p/2)2+q
CG =  p   q
2
2
2
p  p
CD = CG+GD =x      q
2 2
Abu-Kamil (850-930)
Libro sull’al-jabr e l’almuqabala
elevato livello teorico - tendenza all’aritmetizzazione
cubo x3
quadrato-quadrato x4
quadrato-quadrato-cosa x5
espressioni con irrazionali
a  b  a  b  2 ab
regole per la determinazione immediata di x2 sotto forma di
radicali
2
2
2
2


2
2
2
p
p

2
p
p 
2
2
 p2  x2 


p2


q


p
q
2
2
x  q p q
x  q p q 
 2 


2
 2 
2
2
2
 
 
 
Ogni regola è dimostrata geometricamente e si prescinde dall’omogeneità dimensionale
Abu-Kamil (850-930)
Dividere 10 in due parti x e 10 – x tali che
2  5 x
2


 100  20  500 x
x
10  x

 5
10  x
x
moltiplicata per
5  2 diventa x 2  50000  200  10x
(10 – x)/x = y è trasformata in
y 2 1  5 y
y  1 1 4 1 2
10  x
1 1
 1 
x
4 2
x
20
5 1
Elevando al quadrato giunge a un’equazione di 2° di soluzione
1
1
10  x  1  x  x
4
2
x  125  5
X-XII sec.
due correnti

indirizzo aritmetico-algebrico
X sec.
traduzione araba dell’opera di Diofanto
961-976 Abul-Wafa
Libro sull’aritmetica necessaria
agli scribi e ai mercanti

indirizzo geometricoalgebrico
965-1093 ibn al-Haytham
Al-hazen
973-1048 Al-Biruni
1048-1123 Omar al-
Khayyam
XI sec al-Karagi Al-Fahri
Sulle dimostrazioni dei problemi
di algebra e almuqabala
XI-XII sec
as-Samaw’al
Libro luminoso sull’aritmetica
XII sec. Sharaf al-din al-Tusi
Teoria delle equazioni
Algebra e Aritmetica
al-Khwarizmi
regola di approssimazione radice quadrata di
N = a2 + r
r
N a
2a
al-Uqlidisi (morto intorno al 952)
r
N a
2a  1
r 1
N  a 
2a 2
al-Karagi
Algebra e Aritmetica
al-hisabi maestro di aritmetica

Manuale sulla scienza
dell’aritmetica
 Al-Fakri
scopo dell’algebra
Potenze
x5 = x2 x3 quadrato-cubo
x6 = x3 x3 cubo-cubo
1:x=x:x2=x2:x3=x3:x4=...
1 1 1 1
: 2  2 : 3  ...
x x x x
tabella dei coefficienti di
(a + b)n fino a n = 12
Algebra e Aritmetica
AL-KARAGI
Al-Fakri
l’algebra è l’aritmetica dell’incognita
ax2n + bxn = c
ax2n + c = bxn
bxn + c = ax2n
ax2m+n = bxm+n + cxm
Algebra e Aritmetica
al-Karagi Manuale sulla scienza dell’aritmetica


3
i

i




i 1
 i 1 
n
n
D
2
quadrato
Gnomone (rettangoli uguali di lati n
e 1+2+3+...+n)
C
n2
E
F
Area gnomone
2n(1+2+...+n) – n2 = n3
Essendo
S
1+2+3+...+n =n(n+1)/2
A
R
G
B
da cui
13+23+ …+n3 = (1+2+ …+n)2
XI-XII sec as-Samaw’al
Libro luminoso sull’aritmetica
Regole da usare coi negativi
4 3
2
1
0
1
2
3
4
______________________________________
x4
x3
x2
x
1
1/x 1/x2
Algoritmo per la divisione dei polinomi
Algoritmo per l’estrazione di radici quadrate di
polinomi
...
indirizzo geometrico-algebrico
equazioni cubiche - problemi classici
duplicazione del cubo Menecmo parabola x2 = ay
iperbole xy = ab
problema di Archimede
“Dividere una sfera data in modo tale che il rapporto fra i
volumi dei segmenti ottenuti sia uguale ad un rapporto
dato”
965-1093 ibn al-Haytham Al-hazen
973-1048 Al-Biruni trisezione dell’angolo
Rubaiyyàt
Ogni mattina che il volto del tulipano si
riempie di rugiada,
la corolla della viola si incurva sul prato.
in verità, mi piace il boccio della rosa
Che si raccoglie attorno il lembo della sua
veste.
Sotto specie di verità, non di metafora,
noi siamo dei pezzi da gioco, e il cielo è il
giocatore.
Giochiamo una partita sulla scacchiera della
vita,
e ad uno ad uno ce ne torniamo nella
cassetta del Nulla
Questa volta del cielo in cui noi ci troviamo
smarriti,
ci appare a somiglianza di una lanterna
magica.
Il sole è la candela, il mondo la lanterna,
e noi siam come le immagini che vi vanno
intorno rotando.
Omar al-Khayyam
1048-1122
Poeta matematico
astronomo
Rubaiyyàt
Giacché non si può contar sulla vita
dalla sera al mattino,
bisogna in conclusione seminare ogni
seme di bontà.
Giacché a nessuno lasceranno in
possesso questo mondo,
bisogna almeno sapersi serbare il cuor
degli amici.
Dicono dolce l’aria di primavera
dolce la corda del liuto e la flebile
melodia,
dolce il profumo della rosa, il canto
degli uccelli, il roseto…
O stolti, tutto ciò sol con l’Amico è
dolce!
Omar al-Khayyam
1048-1122
Rubaiyyàt
Ci troviamo a vivere sotto questa volta del
cielo piena di frottole.
L’anima è una caraffa, la morte una pietra,
il cielo un pazzo.
La coppa della mia vita è giunta ai settanta:
e quegli la romperà appena essa sia colma.
Il cielo versa dalle nuvole petali candidi.
Diresti che si sparge sul giardino una
pioggia di fiori.
Nella coppa pari a un giglio io verso il vino
rosato,
ché dalla nuvola color di viola scende una
pioggia di gelsomini.
Omar al-Khayyam
1048-1122
Omar alKhayyam
Sulle dimostrazioni dei problemi di
al-jabr e al-muqabala
l’algebra è la teoria delle equazioni
Non riesce a trovare la soluzione per
radicali
delle equazioni cubiche
“Forse uno di quelli che verranno dopo
di noi riuscirà a trovarla.”
classifica 14 tipi di equazioni cubiche
risoluzione con l’intersezione di coniche
Omar al-Khayyam
Sulle dimostrazioni dei problemi di
al-jabr e al-muqabala
quadrinomie
14 tipi di equazioni
cubiche
binomia
trinomie
x3=a.
x3+bx=a
x3+a=bx
bx+a=x3
x3+cx2=a
x3+a=cx2
x3=a+cx2
tre termini positivi uguali ad un
termine positivo
x3 + cx2 + a = bx
x3 = a + bx + cx2
x3 + a + bx = cx2
x3 + bx + cx2 = a
due termini positivi sono uguali a due
positivi
x3 + cx2 = bx + a
x3 + a = cx3 + bx
x3 + bx = cx2 + a
Omar al-Khayyam
Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e
al-muqabala
x3 + p2x =p2 q
Cerchio
x2+y2=qx
Parabola
x2=py
Fine XII
Sharaf Al-Din al-Tusi
Teoria delle equazioni cubiche
sviluppa lo studio delle curve
discussione sistematica dell’esistenza delle radici
positive, legata al ruolo del discriminante
b3
a2

0
27
4
Teoria delle equazioni
Soluzioni approssimate
Sharaf Al-Din al-Tusi
Teoria delle equazioni
soluzioni approssimate
x3+px=N
x3+36x=91 750 087
x = x1+x2+x3
x1 = a∙102
x2 = b∙10
x3 = c
x3=(x1+x2+x3 )3
36x= 36x1+36x2+36x3
x3=a3106+3a2b105+3ab2104+3a2c104+6abc103+b3103+3ac2
102+3b2c102+3bc210+c3
36x=36a102+36b10+36c
Si cerca a tale che a3<91 si trova a=4
tabella
N
91750087
x13 36x1
64
144
N1
27735687
N1= 91750087-64000000-14400=27735687
N - x13· 106 - 36x1·102
Sharaf Al-Din al-Tusi
Teoria delle equazioni
soluzioni approssimate
Si cerca b tale che 3a2b<277 cioè 3·16 b<277 trova
b=5
N1
x23
27735687
125
3x1x22+ 3x2x12+36x2 2 7 0 0 1 8 0
N2
608887
N2 = N1 – 3a2b·105 – 3ab2104 – b3103 – 36b10
Si cerca c tale che 3a2c<60 cioè 3·16 c<60 trova c=1
x = 4·102 + 5·10 + 1= 451
Equazioni di terzo grado
Leonardo Fibonacci Pisano Flos 1225
3
2
x  2 x  10 x  20
Fornisce una soluzione approssimata in
forma sessagesimale 1; 22, 7, 42, 33, 4, 40
Paolo Gherardi Libro di ragioni 1328
classifica 9 casi e le formule risolutive
sono errate perché generalizzazioni della
formula di secondo grado
ax  bx  c
3
ax  bx  c
3
2
2
b
 b  c
x
   
2a
 2a  a
Equazioni di terzo grado
Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344
Formule risolutive esatte per particolari
equazioni, ma non svela il procedimento
ax  bx  cx  d
2
3
3
a
d
a


x3    
b c b
Equazioni di terzo e quarto grado
Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344
Qual è l’interesse mensile richiesto a quel tale cui sono state
prestate 100 lire se dopo 3 anni tra capitale e interesse sono state
restituite 150 lire?
3
2
x  60 x  1200 x  4000
( x  20) 3  12000
h(1  x) 3  k
Calcolo degli interessi per un periodo di 4 anni
ax  bx 2  cx 3  dx 4  e
2
a e a
x    
c d c
4
EQUAZIONI
Calcolo degli interessi per un periodo di 5 anni
Piero della Francesca Trattato d’abaco
h(1  x)5  k
x 5  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e
bc
d
3
x
c
a
a
5
Luca Pacioli Summa de arithmetica,
geometria, proporzioni et proporzionalità
1494 Venezia
Equazioni di terzo grado
1530-1534
Cartelli di sfida matematica
Antonio Maria del Fiore sfida
Zuannin de Tonini da Coi
Nicolò Tartaglia
Scipione dal Ferro 1465-1526
Girolamo Cardano
Annibale della Nave
Nicolò Tartaglia 1500-1557
Ms. 595 Biblioteca Universitaria Bologna Pompeo
Bolognetti
Scipione dal
Ferro 1465-1526
Il capitolo di cose e cubo uguale a
numero.
Quando le cose e li cubi si agguagliano al
numero, ridurai la equatione a 1 cubo,
partendo per la quantità delli cubi. Poi
cuba la terza parte delle cose, poi quadra
la metà dil numero, e questo summa con il
detto cubato, et la radice quadra di detta
summa più la metà dil numero fa un
binomio, et la radice cuba di tal binomio
men la radice cuba dil suo residuo val la
cosa.
x 3  px  q
3
2
2
p
p
q
q
 
 

,
 
  
27  2 
4
3
3
q 2 p3 q


4 27 2
x
3
q 3
...  
2
q
... 
2
Tartaglia confida a Cardano la
sua formula sotto giuramento
che non la svelerà
Cardano1501-1576
Tartaglia 1500-1557
Tartaglia
Quando che 'l cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numero discreto
Trovami dui altri, differenti in esso;
Dapoi terrai, questo per consueto,
Che 'l loro produtto, sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto;
El residuo poi suo generale,
Delli lor lati cubi, ben sottratti
Varrà la tua cosa principale.
x  px  q
uv  q
3
 p
uv   
3
3
x u v
3
3
Tartaglia
In el secondo, de cotesti atti
Quando che 'l cubo, restasse lui solo,
Tu osserverai quest'altri contratti
Del numer farai due tal part' a volo,
Che l' una, in l' altra, si produca schietto,
El terzo cubo delle cose in stolo;
Delle quali poi, per commun precetto,
Terrai li lati cubi, insieme gionti,
Et cotal somma, sarà il tuo concetto
x  px  q
uv  q
3
 p
uv   
3
3
x u v
3
3
Tartaglia
El terzo, poi de questi nostri conti,
Se solve col secondo, se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, et non con passi tardi
Nel mille cinquecent' e quattro e trenta
Con fondamenti ben saldi, e gagliardi
Nella Città del mar 'intorno centa.
x  q  px
u  v  q
3
 p
uv   
3
x u v
3
Venezia 1534
3
3
x 3  3 px  2q  0
x yz
Tartaglia
 y  z 3  3 p y  z   2q  0
y 3  z 3  3 yz  y  z   3 p  y  z   2q  0
z
p
, yz  p
y
3
p
y 3  3  2q  0
y
y 6  2qy 3  p 3  0
y3  q  q2  p3 , y  3 q  q2  p3
p3
p3
z  3 
 q  q2  p3 , z  3 q  q2  p3
y
q  q2  p3
3
x  y  z  3 q  q2  p3  3 q  q2  p3
x 3  px  q
Tartaglia
 uv  q

3
 p

uv   3 

u ,v sono radici dell' equazione
3
 p
t  qt     0
3
2
2
q
q
 p
u ,v       
2
2
3
x  3 u 3 v
3
x  px  q
3
Tartaglia
 uvq

3
 p

uv

 

3

3
 p
u , v radici dell' equazione t  qt     0
3
2
2
q
q  p
u, v       
2
2  3 
3
esiste radice reale se 27 q 2  4 p 3  0
x3 u 3 v
x 3  q  px
Tartaglia
 u  v  q

3
 p

uv   3 

3
 p
u , v radici dell' equazione t  qt     0
3
2
2
q
q  p
u, v        
2
2  3 
3
radice reale se 27 q 2  4 p 3  0
x3 u 3 v
Girolamo Cardano 1501-1576

Ars Magna 1545
 Pubblica le soluzioni
dell’equazione di terzo e di
quarto grado
 Mostra di saper eliminare il
termine x n 1
nell’equazione di grado n
con un’opportuna
traslazione
ax3  bx2  cx  d  0
b
x y
3a
CARDANO Ars Magna 1545
x 3  6 x  20
x 3  px  q
3
3

u

v
q
u  v  20 
p


 uv  2
 uv  3
x  u-v
Dimostrazione geometrica
3
3
AC3  BC3  20

 AC  BC  2
Solidi AB3, BC3, 3AB2 BC, 3AB BC2
AB  (AC  BC)  AC  BC  3AC  BC (AC  BC) 
3
3
3
3
 AC3  BC3  3AC  BC  AB  20  6AB
AB3  6AB  20
CARDANO Ars Magna 1545
interpretazione
originale
CARDANO Ars Magna 1545
x 3  6 x  20
3
x3
2
20 3
 6   20 



   
2
3  2 
3
2
20
 6   20 


   
2
3  2 
x  3 108  10  3 108  10
Raffaele BOMBELLI 1530-1572
Opera su l’Algebra 1572
x 3  px  q
2
3
2
q
q
p
q
q
p








3
3
x
     
    
2
2
2  3 
2  3 
3
Il caso irriducibile: q2/4 - p3/27 < 0 porta alla radice
quadrata di un numero negativo, espressione
intrattabile,
“sofistica e lontana dalla natura dei numeri”
Caso irriducibile
x3  9x  8  0
x   4  16  27   4  16  27
3
3
ha 3 radici reali
x3  9x  8  0

x 3  9 x  8  x  1 x 2  x  8
x1  1, x2 ,3
 1  33

2

Bombelli dà un senso
alle radici dei numeri
negativi
Rafael BOMBELLI 1530-1572
Radici quadrate di una quantità negativa
Più di meno
pdm
p d m 10    10
Meno di meno
mdm
m d m 10    10
Più via più di meno fa più di meno
Meno via più di meno fa meno di meno
Più via meno di meno fa meno di meno
Meno via meno di meno fa più di meno
Più di meno via più di meno fa meno
Più di meno via men di meno fa più
Meno di meno via più di meno fa più
Meno di meno via men di meno fa meno
    i    i 
    i    i 
    i    i 
    i    i 
 i    i    
 i    i    
 i    i    
 i    i    
Equazioni di quarto grado
Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano
Luca Pacioli Summa de arithmetica, geometria,
proporzioni et proporzionalità 1494 Venezia
x 4  2 x 3  3 x 2  2 x  81600
x  2 x  3 x  2 x  1  81601
4
x
2
3
2

2
 x  1  81601
x  x  81601  1
2
x
3 1
81601  
4 2
Equazioni di quarto grado
INDIA Bhaskara 115-1178 Vija Ganita
Se sei versato nelle operazioni di algebra, dimmi il numero il
cui biquadrato meno il doppio della somma del quadrato e 200
volte il numero è uguale alla miriade meno uno.
x 4  2( x 2  200 x)  10000  1
x 4  2 x 2  400 x  10000  1
facciamo appello all' ingegno
x  2 x  1  4 x  400 x  10000
4
x
2
2
2
 1  2 x  100 
2
2
x 2  2 x  1  100
( x  1) 2  10 2 ,
x  11
Equazioni di quarto grado
Zuannin de Tonini da Coi (Giovanni Colla) sfida Tartaglia nel 1535
Dividere 20 in tre parti che siano in proporzione continua e tali che
il prodotto delle due minori sia 8
x, y , z
x yz
 x  y  z  20

 x: y  y:z

xy  8

y  8 y  160 y  64  0
4
2
Equazioni di quarto grado
1539 Cardano chiede a Tartaglia di risolvergli un
quesito postogli da Zuannin de Tonini da Coi,
analogo al precedente
“Questo proponeva Zuannin de Tonini da Coi, e
diceva che non era risolubile; io invece dicevo che si
sarebbe potuto risolvere, solo che tuttavia non
sapevo come sino a che non lo risolse FERRARI.”
Ferrari elenca 20 possibili tipi di equazioni di quarto
grado, 14 quadrinomie, 6 trinomie
Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano
Il metodo consiste inizialmente nel cambiare la variabile ed
eliminare il termine di terzo grado
ax4  bx3  cx2  dx  e  0
b
x y
4a
y 4  my 2  ny  p  0
Se non è un quadrato perfetto, lo si rende tale con opportune
aggiunte, in modo da scrivere l’equazione nella forma
y  2ry  r  sy  ty  v
4
y
2
2
2

2
2
 r  w  sy  ty  v  2wy  2wr  w
2
2
2
Ferrari aggiunge alcuni termini così da avere
quadrati perfetti
y
2

2
 r  w  sy  ty  v  2wy  2wr  w
2
2
2
Ora si dovrà scegliere w in modo che il secondo membro
risulti un quadrato ed essendo
(s  2w) y  ty  v  2wr  w
2
2
Si dovrà imporre che il discriminante sia zero, cioè
t  4(s  2w)(v  2wr  w )  0
2
2
Equazione di terzo grado in w, detta risolvente cubica di
Ferrari, una cui soluzione permette di scrivere
w
la soluzione dell’equazione
cubica, per cui si avrà solo da risolvere
un’equazione di secondo grado
Sia


2 

y  r  w   s  2w y  v  2w r  w 


2
2
y  r  w  s  2w y  v  2w r  w
2
2
2
x 4  x 2  12  12 x
esempio
x  x  12  3 x  11  12 x  3 x  11
4
2
2
2
x  1  3x  12 x  11
x  1  w  3x  12 x  11  2 x w  2w  w
x  1  w  (3  2w) x  12 x  w  2w  11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36  (3  2 w)(w 2  2 w  11)  0
2 w3  7 w 2  16 w  69  0
w 3
x
2

2
 4  9 x 2  12 x  4
x
2

 4  3 x  2
2
2
x 2  4  3 x  2 
x1  1, x2  2, x3, 4
 3   15

2
François Viète 1540-1603
In artem analyticem isagoge sursim excussa ex
operae restitutae mathematicae analyseos seu
algebra nova 1591
“L’arte che oggi presento è un’arte nuova, o per lo meno un’arte
talmente degradata dal tempo, talmente sporcata e intricata dai
barbari, che ho creduto necessario, dopo avere eliminato tutte le
proposizioni erronee, … di donarle una forma interamente
nuova. … Tutti i matematici sanno che sotto il nome di Algebra
et Almucabala, che essi vantano e chiamano la Grande Arte, si
nasconde una miniera d’oro di incomparabile ricchezza. Essi
fecero anche delle ecatombe e dei sacrifici ad Apollo quando
avevano trovato la soluzione di uno solo di quei problemi, che io
risolvo spontaneamente a decine, a ventine, un fatto che prova
che la mia arte è il metodo d’invenzione più sicuro in
matematica”.
Viète In artem analyticem isagoge
•logistica numerosa, il calcolo numerico
• logistica speciosa, il calcolo letterale
“Per rendere con un artificio questo metodo più facile,
le grandezze date si distingueranno dalle grandezze
incognite o cercate, rappresentandole con un simbolo
costante, immutabile e ben chiaro, indicando, per
esempio, le grandezze cercate con la lettera A oppure
con un’altra vocale E, I, O, U, Y e le grandezze date con
le consonanti B, D, G, ecc.”.
Terminologia
e simbolismo
latus o radix
quadratum
cubus
incognita x
Aq
Ac
quadrato-quadratum
quadrato-cubus
+addizione, –
in o sub
Rq
Rc
Rqq
aeq.
A
Aqq
Aqc
sottrazione, = minus incertum,
moltiplicazione,---- divisione,
radice quadrata,
radice cubica,
radice quarta,
uguaglianza.
Zetesi
Forma canonica delle equazioni
Le operazioni che riconducono un’equazione alla sua forma
canonica sono:
• l’antitesi (trasposizione), cioè il passaggio dei termini da un
membro all’altro;
• l’hypobabismo (abbassamento), abbassamento della
potenza massima dell’incognita in un’equazione mancante del
termine noto;
• il parabolismo (divisione), che consente di togliere,
mediante divisione, il coefficiente della potenza massima
dell’incognita.
Viète mira a fondere il linguaggio della geometria con
quello dell’algebra, per cui spesso, dopo aver scritto
l’equazione in forma canonica, la mette sotto forma di
analogismo, cioè il primo membro dell’equazione è
uguale al prodotto degli estremi di una proporzione e il
secondo membro al prodotto dei medi.
esempio: l’equazione
Aqq  B in Ac  Dp in Aq  B in Dp in A aeq B in Gs
corrisponde a
x  bx  d 2 x  bd2 x  bg3
4
3
2
Viète la scrive come analogismo, nella forma
Aq  Dp
Gs
aeq
B
Aq  B in A
g3
x2  d2
 2
b
x  bx
Viète De aequationum recognitione
et emendatione 1615
Tramite la ZETESI procede ad un esame diretto delle relazioni
fra l’incognita, i coefficienti e i termini noti dell’equazione
canonica
Interpretazione delle equazioni di secondo e terzo grado come
proprietà di una serie incognita di 3 o 4 grandezze in proporzione
continua
x 2  ax  b 2  0
b 2  x1  x2 ,
a  x1  x2
x1 : b  b : x2
Dati la media proporzionale e la somma degli estremi trovare
le grandezze
Teoria delle equazioni algebriche
2° grado
ax  bx  c  0
2
tipo soluzioni:
 b  b 2  4ac
x
2a
  b  4ac  0
2
2 reali se
2 complesse se
  b  4ac  0
2
legami radici-coefficienti
b
c
x1  x2   , x1 x2 
a
a
Teoria delle equazioni algebriche
3° grado ax3  bx 2  cx  d  0
x 3  px  q  0
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
x3  

3  

2
4 27
2
4 27
tipo soluzioni:
0
q2 p3




0
3 reali se
4 27
1 reale, 2 complesse se Δ>0
legami radici-coefficienti
b
c
d
x1  x2  x3   , x1 x2  x1 x3  x2 x3  , x1 x2 x3  
a
a
a
Teoria delle equazioni algebriche
problemi studiati
esistenza di soluzioni
AA. Girard 1629
ogni eqz di grado n ha esattamente n radici
teorema fondamentale dell’algebra
1799 Carl Friedrich Gauss
Ogni equazione algebrica ammette almeno una
radice reale o complessa
determinazione soluzioni: esatte o approssimate
Teoria delle equazioni algebriche
Dai problemi di calcolo delle radici delle equazioni
algebriche sorti nel Cinquecento, sotto la spinta delle
difficoltà di soluzione delle equazioni di quinto grado,
progressivamente l'attenzione si spostò sulle proprietà
che legano il sistema delle radici al campo dei
coefficienti. La principale di queste proprietà era data
dalle funzioni simmetriche elementari delle radici, che
sono date direttamente, a meno del segno, dai
coefficienti dell'equazione.
equazioni algebriche

1770 J. L. Lagrange Réflexions sur la résolution
algébrique des équations
 1799 Gauss teorema fondamentale dell’algebra
 1799 P. Ruffini
L’equazione di grado 5 non è in generale
risolubile per radicali
 1824 N. Abel
 1829-1832 E. Galois teoria dei gruppi
 1846 ad opera di Liouville è edita sul Journal de
Math. Pure et appl. la teoria di Evariste Galois