I vettori
Grandezze scalari e grandezze vettoriali
Vettore: ente matematico caratterizzato da tre quantità
modulo
direzione
verso
I vettori sono applicati in un punto (esiste un numero infinito di
vettori equipollenti, cioé con modulo, direzione e verso uguali,
ma applicati in punti diversi).
Equazioni scalari
}
B
non vanno mescolate
Equazioni vettoriali
A
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
1
Somma di vettori
Equazione vettoriale che definisce
il vettore somma
r r r
s = a +b
Proprietà commutativa
r
r
r
r
a + b = b + a
Proprietà associativa
r
r
r
r
r
r
(a + b ) + c = a + (b + c )
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
2
r
−b
è un vettore con
modulo e direzione
r
uguali al vettore b , ma orientato in verso
opposto, quindi
r
r
b + (− b ) = 0
Possiamo ora definire la differenza di
due vettori come la somma di un vettore
con l’opposto dell’altro
r
r
r
r
r
d = a − b = a + (−b )
r
r
r
r
r
R = a + b + c + d
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
3
Calcolo del vettore somma
E
α
A
a
c
β
θ
B
C ( A C )2 = ( A D )2 + ( D C ) 2
A D = A B + B D = a + b cos θ
b
D C = b sin ϑ
D
c 2 = (a + b cos θ
)
2
+ b 2 sin
2
θ = a 2 + b 2 + 2 ab cos θ
La direzione di cr è determinata dall’angolo α
c sin α = b sin θ
c
b
a
=
=
sin θ
sin α
sin β
r
c =
tg α
A.A. 2004/05
r
a
=
2
r
+ b
b
a
Fisica Generale I
2
r
r
Se a e b sono ⊥
4
Vettori e loro componenti
La componente di un vettore è la sua proiezione su un asse; ax e
ay. Scomposizione di un vettore.
y
ay
a x = a cos θ
a
a y = a sin θ
θ
a =
tg θ =
O
A.A. 2004/05
ax
a x2 + a 2y
ay
ax
x
Fisica Generale I
5
Vettori unitari
Un vettore unitario è detto versore ed è un vettore di modulo = 1,
utilizzato per individuare una particolare direzione.
Sistema destrorso di coordinate cartesiane ortogonali
y
i, j, k individuano
le tre direzioni x, y, z
j
k
i
x
z
A volte vengono anche utilizzati i nomi ux, uy, u z
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
6
Prodotti di vettori
•Prodotto di un vettore per uno scalare → vettore
•Prodotto tra vettori
Prodotto scalare → scalare
Prodotto vettoriale → vettore
Prodotto di un vettore per uno scalare
Moltiplicando un vettore a per uno scalare s, si ha un nuovo vettore b,
multiplo di a, con direzione uguale a quella di a e verso determinato
dal segno di s.
b = sa
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
7
Prodotto scalare
Il prodotto scalare dei vettori a e b è uno scalare definito dall’espressione
b
a•b = abcosθ
θ
a
La scelta dell’angolo è irrilevante essendo cosθ uguale a cos(2π – θ).
Il p. s. può essere visto come il prodotto del modulo del vettore a per la
proiezione del vettore b lungo la direzione di a e viceversa.
Perpendicolarità di due vettori → a•b = 0 se a ⊥ b
Modulo del vettore → a•a = a2
Non ha senso iterare il prodotto scalare
Proprietà commutativa → a•b = b•a
Proprietà distributiva → a•R = a•(b+c) = a •b +a •c
Se c = a +b → (teorema di Carnot o del coseno)
(
) (
)
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
s
r
c2 = a + b • a + b = a • a + a • b + b • a + b • b =
r
r
= a 2 + b 2 + 2 a • b = a 2 + b 2 + 2 ab cos θ
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
8
Possiamo ora esprimere un vettore qualunque come somma delle sue
componenti secondo un dato sistema di riferimento
r
r
r
r
a = axi + a y j + az k
r
r
r
r
b = b x i + b y j + bz k
r
a xi
r
r
, a y j e a z k sono dette componenti vettoriali di a
scalare è invariante rispetto al sistema di riferimento
vettore è invariante rispetto al sistema di riferimento
Le componenti di un vettore non sono invarianti
Esse non variano per traslazione, si trasformano per rotazione → non
sono né vettori né scalari*
r
r
r
Scelta arbitraria del sistema di riferimento
c = a +b
Invarianza delle leggi fisiche
cx = ax + bx
Per la somma di due vettori a e b otteniamo
cy = ay + by
c z = a z + bz
*Le componenti sono dei veri e propri vettori quando sono visti di per sé, senza relazione con il vettore
originario, come vedremo per il moto dei proiettili.
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
9
Infine, utilizzando le componenti, otteniamo
(
) (
)
r
r
r
r
r
r
r r
a • b = a xi + a y j + azk • bxi +b y j + bzk =
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
= a x i • b x i + a x i •b y j + a xi • bz k + a y j • b x i + a y j • b y j +
r
r
r
r
r
r
r
r
+ a y j • b z k + a z k • bx i + a z k •b y j + a z k • b z k =
r r
r r
r r
r r
= a x bx i • i + a x b y i • j + a x bz i • k + a y b x j • i +
r r
r r
r r
r r
a y b y j • j + a y bz j • k + a z b x k • i + a z b y k • j +
r r
+ a zbzk • k = a xbx + a yb y + a zbz
Quindi
a•b = axbx + ayb y +azbz
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
10
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale dei vettori a e b è un vettore c il cui modulo è
definito dall’espressione
b
θ
|c | = |a×b| = absinθ
a
La scelta dell’angolo è rilevante essendo sinθ = – sin(2π – θ).
La direzione del vettore risultante c è determinata con la regola della
mano destra:
il pollice coincide con il vettore c, l’indice con il vettore a e il medio
con il vettore b. Il vettore risultante c è sempre perpendicolare al
piano determinato dai vettori a e b
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
11
Proprietà del prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale può essere visto come l’area del parallelogramma
di lati a e b → area può essere vista come un vettore
Parallelismo di due vettori → a×b = 0 se a è || a b
E’ anticommutativo → a×b = - b×a
Proprietà distributiva → a×R = a×(b+c) = a×b +a×c
Proprietà associativa → a ×(b ×c) ≠ (a ×b) ×c
quindi ha senso iterare il prodotto vettoriale, ma la proprietà
associativa non vale.
A.A. 2004/05
Fisica Generale I
12
Infine, utilizzando le componenti, otteniamo
(
) (
)
r
r
r
r
r
r
r
r
r
c = a × b = a xi + a y j + a zk × bxi + b y j + bz k =
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
= a xi × bxi + a xi × by j + a xi × bzk + a y j × bxi + a y j × by j +
r
r
r
r
r
r
r
r
+ a y j × bzk + a zk × bx i + a zk × by j + a zk × bz k =
r
r
r
r
r
r
= a xby k − a xbz j − a y bx k + a ybzi + a zbx j − a zby i =
r
r
r
a y b z − a z b y i + (a z b x − a x b z ) j + a x b y − a y b x k
(
)
Infatti è
Ovvero
(
r
i
r
i
r
j
r
k
r
× i
r
× j
r
× k
r
× i
r
r
= 0, j × j
r
r
= − j × i
r
r
= − k × j
r
r
= − i × k
r
r
= 0, k × k = 0
r
= k
r
= i
r
= j
r
i
r
r
r
c = a × b = ax
bx
A.A. 2004/05
)
r
j
a
b
Fisica Generale I
y
y
r
k
az
bz
13