VETTORI
In Fisica un vettore è:
• Una grandezza dotata di
– modulo
– direzione
– verso
• Esempi:
– velocità del vento
– campo elettrico
• Geometricamente:
– Un segmento orientato
Spazi Euclidei
R indica il prodotto cartesiano R  R,
2
ovvero l' insieme di tutte le coppie di numeri reali.
R indica il prodotto cartesiano R  R  R,
3
ovvero l' insieme di tutte le terne di numeri reali.
R indica il prodotto cartesiano R  R    R,
ovvero l' insieme di tutte le n - uple di numeri reali.
n
(3,-2): coppia di numeri reali (elemento di R2)
(4,-5,1): terna di numeri reali (elemento di R3)
In MATEMATICA:
Un VETTORE è:
una coppia di numeri reali (in R2), oppure
una terna di numeri reali (in R3), oppure
…
una n-upla di numeri reali (in Rn)
Gli elementi di R non si dicono vettori ma scalari
ESEMPI
In
R
2
u  (3,2), v  (1,3)
v
u
MODULO (O NORMA)
Si indica come | | oppure come || ||
Radice quadrata della somma dei
quadrati delle componenti
u  (3,2), v  (1,3,2)
u  3  2  13
2
2
v  (1)  3  (2)  14
2
2
2
SOMMA (E DIFFERENZA) DI VETTORI
Si sommano (o si sottraggono) tutte le singole componenti
Il numero di componenti deve essere lo stesso
u  (3,2), v  (1,4)
z  u  v  (3  1,2  4)  (2,6)
v
z
u
Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
è una dilatazione o contrazione del vettore
v=(v1,v2): vettore
a: scalare
w  av  (av1, av2 )
v
a=2
0
a = -1
w1 = 2 v2
u= -v
w=2v
DISTANZA TRA VETTORI
La distanza tra due vettori è la norma della loro
differenza (distanza euclidea tra punti)
u  (3,2),
v  (1,3)
u  v  (3  (1), 2  3)  (4,1)
u  v  (3  (1))  (2  3)  17
2
v
2
u
PRODOTTO SCALARE
Operazione tra due vettori che si indica
col simbolo •
È la somma dei prodotti delle componenti
corrispondenti
u  (3,2), v  (1,4)
u  v  3  (1)  2  4  5
PRODOTTO SCALARE
u  (u1 , u 2 ,  , u n ),
v  (v1 , v2 ,  , vn ),

n
u v 
i 1
ui vi
PRODOTTO SCALARE
u  u u
Se il prodotto scalare tra due vettori è uguale a zero
i due vettori sono ortogonali (perpendic olari)
Esempio : u  (1,3), v  (6,2)
(-6,2)
(1,3)
COMBINAZIONE LINEARE
DI SCALARI
u1, u2 ,, un
Considero n numeri reali 1, 2 ,..., n
n
Combinazio ne lineare :  iui  1u1  2u2  ...  nun
i 1
COMBINAZIONE LINEARE
DI VETTORI
u1, u 2 ,, u n
Considero n numeri reali 1, 2 ,..., n
n
Combinazio ne lineare :  i u i  1u1  2 u 2  ...  n u n
i 1