Lezione IX – terza parte
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Riepilogo III
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Le forze d’attrito
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Supponiamo di applicare una forza
perfettamente liscia:
F = F1  a = 0
Aumentiamo la forza:
F2 > F1
Non succede niente !
F3 > F2
F = F3  a = 0
Aumentiamo la forza:
F = F4  a ≠ 0
non
Non succede niente !
F = F2  a = 0
Aumentiamo la forza:
F1 ad un corpo posizionato su di una superficie
Non succede niente !
F4 > F3
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–F1
F1 – F1 = 0, risulta a = 0.
In base alle Leggi di Newton possiamo affermare che esiste una forza eguale a
applicata al corpo cosicché essendo la risultante delle forze
F = F1  a = 0
F = F2  a = 0
F = F3  a = 0
Chiameremo questa forza fs (Forza di attrito Statico)
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Se osserviamo in dettaglio il moto nel caso F4 scopriamo che se manteniamo applicata la
forza, il corpo si muove di moto accelerato
F = F4  a ≠ 0
Tuttavia, se facciamo delle misure scopriamo che
a < F4 / m
Evidentemente, esiste una forza contraria tale che la risultante Fr obbedisce alla relazione
F r= m a
Fr = F4 – fk = m a
Chiameremo questa forza fk (Forza di attrito Dinamico)
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Va da sé che una volta «sbloccato» il corpo dalla posizione di quiete, se vogliamo
semplicemente che mantenga uno stato di moto uniforme (a
= 0), dobbiamo smorzare
la forza F4 fino a eguagliare in modulo fk
F4
= - fk
fk
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Quindi, in sostanza, se misuriamo in funzione del tempo la forza F necessaria per
sbloccare il corpo dalla sua posizione di quiete e poi mantenerlo in uno stato di moto
otteniamo un grafico di questo tipo:
F applicata
= 0),
F > fs
Forza
uniforme (a
fk
2
4
6
8
10
Tempo (s)
12
14
8
Si osserva che la forza di attrito f è proporzionale alla forza normale N che mantiene a
contatto la massa in questione con la superficie su cui si trova.
Di norma l’attrito è quantificato attraverso l’introduzione del cosiddetto coefficiente
d’attrito
μ
Definiremo pertanto il coefficiente d’attrito statico in base alla formula:
fs = μs N
E definiremo il coefficiente d’attrito dinamico (o cinetico) in base alla formula
fc = μc N
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Per pervenire alla formulazioni delle nostre Leggi e per sviluppare un approccio
metodologico che ci consenta di prevedere l’esito degli esperimenti, vi ricordo che
eravamo partiti dallo studio di:
Cinematica e Dinamica che ci hanno anche indirizzato verso applicazioni del
calcolo differenziale (derivate e integrali)
e ci siamo dovuti anche impratichire con altri strumenti di lavoro:
• Algebra vettoriale
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Per pervenire in modo formalmente corretto alle nostre formulazioni:
•
ci siamo dotati di adeguati strumenti di lavoro
• Abbiamo definito le grandezze fisiche fondamentali
• Abbiamo enunciato le leggi fondamentali della dinamica
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GRANDEZZE SCALARI E GRANDEZZE VETTORIALI
Ripensando agli esperimenti che abbiamo immaginato a proposito della quantità di
moto, ci rendiamo conto che in Fisica esistono sia:
grandezze scalari o più semplicemente uno scalare
che
grandezze vettoriali o più semplicemente un vettore
Per grandezza scalare intendiamo una grandezza fisica identificata semplicemente
da un valore numerico: per esempio fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri
esperimenti, la massa. Diremo quindi la massa è uno scalare.
Per grandezza vettoriale intendiamo invece una grandezza fisica che oltre ad un valore
numerico, necessita anche della individuazione di una direzione e un verso, per esempio
fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri esperimenti, la velocità. Diremo quindi che
la velocità è un vettore
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Proprietà dei vettori
Le proprietà dei vettori possono essere facilmente descritte ricorrendo alla loro
rappresentazione grafica. Prendiamo in considerazione il vettore «spostamento»
Supponiamo di muoverci verso Est per 3km a partire da una posizione iniziale «0».
Possiamo indicare questo spostamento nel grafico di seguito come segue:
N
W
O
E
1 km
S
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Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova
direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto
«0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che
abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ?
N
W
30°
O
E
1 km
S
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Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova
direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto
«0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che
abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ?
Ok, graficamente è semplice ma come ricavare la lunghezza (modulo) e l’angolo del
vettore risultante ? (che sono poi le grandezze da comunicare ai nostri corrispondenti!)
N
W
30°
O
E
1 km
S
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Componenti dei vettori
Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzione
e il verso:
y
φ
O
x
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Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzione
e il verso:
y
ay
O
φ
ax
x
Le componenti lungo l’asse x e l’asse y saranno rispettivamente:
ax = a cos ( φ )
ay = a sin ( φ )
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Quindi, conoscendo
a
e
φ
possiamo determinare ax e
ay
ax = a cos ( φ )
ay = a sin ( φ )
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Viceversa, conoscendo ax e ay possiamo determinare
a =
tan
ax 2
+
ae
ay2
= ay / ax
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E torniamo adesso al quesito da cui eravamo partiti: la somma vettoriale
Vogliamo definire il vettore
s = a + b
E’ intuitivo rendersi conto che, posto
Risulta:
N
W
s
=
sx i
+
sy j
sx = ax + bx
sy = ay + by
30°
O
E
1 km
S
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Ecco i dati da comunicare ai nostri corrispondenti fermi al punto «0»
s =
tan
sx 2
+
sy2
= sy / sx
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Vettori unitari (versori)
I versori sono vettori unitari (modulo = 1 ) che hanno direzione e verso di ciascuno
degli assi cartesiani e vengono indicati con i simboli i e j rispettivamente:
y
j
O
x
i
Adottando questo formalismo, possiamo scrive il vettore
a
=
ax i
+
a
come:
ay j
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Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
y
y
φ
O
x
φ
x
O
Moltiplicare un vettore per uno scalare, significa semplicemente variarne il modulo
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Prodotto scalare di due vettori
Dati due vettori A e B:
A
θ
B
Definito θ l’angolo fra i due vettori, di definisce prodotto scalare di A e B
A • B = A x B cos (θ)
Cioè il prodotto del modulo di A per la proiezione di A su B
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Prodotto vettoriale di due vettori
Lo vedremo più avanti quando ne troveremo un’applicazione in Fisica
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