TANGENTI DA UN PUNTO AD UNA CIRCONFERENZA
Consideriamo il punto P( x0 , y 0 ) e la circonferenza di equazione x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
L’equazione della retta generica per P( x0 , y 0 ) è y − y 0 = m(x − x0 ) (1)
Nella (1) x0 e y 0 sono noti, mentre non si conosce il parametro m.
Per determinare, se esistono, le equazioni delle tangenti si pone a sistema l’equazione
della circonferenza con l’equazione (1) della generica retta per P.
 x 2 + y 2 + ax + by + c = 0

 y − y 0 = m( x − x 0 )
Si applica il metodo di sostituzione e ricava l’equazione risolvente del sistema.
Tale equazione, nell’incognita x oppure nell’incognita y, è di secondo grado ed i suoi
coefficienti sono funzioni del parametro m.
Si calcola il discriminante ∆ dell’equazione risolvente, e si pone
∆ = 0 (condizione di tangenza)
ottenendo così un’equazione nell’incognita m. Indicheremo con ∆1 il suo
discriminamte.
A questo punto si possono presentare i seguenti casi:
PRIMO CASO
L’equazione ∆ = 0 è di secondo grado
con discriminante ∆1
Il punto P è esterno alla circonferenza;
vi sono dunque due tangenti distinte di
coefficienti angolari m1 ed m2 , le cui
equazioni sono:
Se ∆1 è positivo
L’equazione ∆ = 0 ha due soluzioni
m1 ed m2 distinte
y − y 0 = m1 ( x − x0 )
e
y − y 0 = m2 ( x − x0 )
Il punto P appartiene alla circonferenza;
vi è quindi una sola retta tangente di
equazione:
y − y 0 = m1 ( x − x0 )
Se ∆1 è nullo
L’equazione ∆ = 0 ha due soluzioni
m1 ed m2 coincidenti
Il punto P è interno alla circonferenza;
non esiste alcuna tangente
Se ∆1 è negativo
L’equazione ∆ = 0 non ha soluzioni
SECONDO CASO
L’equazione ∆ = 0 è di primo grado
Il punto P è esterno alla circonferenza; vi sono dunque due tangenti distinte;
-una tangente ha coefficiente angolare m1 e la sua equazione è:
y − y 0 = m1 ( x − x0 )
-l’altra tangente è la retta passante per P e parallela all’asse y, di equazione:
Sia m1 la sua soluzione
x = x0
TERZO CASO
L’equazione ∆ = 0 si riduce ad un’uguaglianza falsa
Il punto P si trova sulla circonferenza; esiste un’unica retta tangente in P parallela all’asse y, la
cui equazione è: x = x0