Un po’ di storia
1629 A. Girard afferma che
ogni equazione algebrica di
grado n possiede n radici.
(Teorema fondamentale
dell’algebra)
1799 Gauss lo dimostra
Prova a scomporre queste
equazioni. Cosa succede?
x3 - 9x = 0
x3 - 3 x2 + 3x - 1 = 0
x3 - 8 = 0
x4 - 16 = 0
2x3 - 3 x2 - x + 2 = 0
Se non sei riuscito, ti aiuto io!!
x3 - 9x = 0
x3 - 3 x2 + 3x - 1 = 0
x3 - 8 = 0
x4 - 16 = 0
2x3 - 3 x2 - x + 2 = 0
raccoglimento totale
cubo di binomio
differenza di cubi
differenza quadrati
raccoglimento
parziale o Ruffini
Analizziamone una
x3 - 9x = 0
x (x2 - 9) = 0
x (x - 3) (x + 3) = 0
Cosa succede applicando la legge
dell’annullamento del prodotto?
La soluzione è questa:
Possiamo porre uguale a zero ciascun
fattore. Le soluzioni saranno quindi:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = - 3
E cosa succede se l’equazione
non è scomponibile?
x4 + 16 = 0
Prova a pensare!!!
Quale numero positivo (è x4 !!) aggiunto a
16 può dare come risultato 0?
Nessuno!!
Quindi
L’equazione è impossibile, cioè non
ammette soluzioni reali.
Vediamo graficamente cosa
significa
Parabola quartica
35
30
25
20
y
y=x^4+16
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
E cosa succede graficamente se
l’equazione ha soluzione?
Parabola cubica
40
30
20
10
y
0
-6
-4
-2
-10
f(x)=x^3-9x
0
-20
-30
-40
x
2
4
6
Vediamo altri esempi:
Che cosa hai notato?
Le soluzioni delle equazioni
coincidono con le intersezioni
con l’asse delle x
x4 - 7x2 - 2 = 0
x6 +3x3+ 5 = 0
3x8 + 5x4 + 6= 0
Cosa hanno in comune le
precedenti equazioni?
Suggerimento
Prova a sostituire al posto di:
x2 = t
x3 = t
x4 = t
Otteniamo un’equazione di secondo grado
in t
Regola generale
a (xn)2 + b (xn) + c = 0
poniamo
otteniamo
(xn) = t
a t2 + b t + c = 0
Ancora più in generale
a[f(x)]2 + b [f(x)] + c = 0
poniamo
otteniamo
[f(x)] = t
a t2 + b t + c = 0