Equazioni differenziali lineari
e modelli per l’ecologia
' rbrx xx0 0
axxx'
a x"  b x ' c x  0
Crescita di
batteri
equazione differenziale lineare
integrale particolare
F( t )  e F' ( t )  e F" ( t )   e
2 t
t
t
a xe"  bx
e ' c x
e  0
t
t
a   b   c  e
2
2
t
a  b  c  0
2
equazione caratteristica
0
t
Esercizio
Risolvere la seguente equazione differenziale:
x"  5x '  6x  0
Equazione caratteristica : 2  5  6  0
5  25  24
 1, 2 
2
5 1

2
1= 2 , 2 = 3
F1(t) = e2t
, F2(t) = e3t
G(t) = c1
2t
e
+ c2
3t
e
Teorema fondamentale dell’algebra
Ogni equazione algebrica
di grado n > 0
a coefficienti complessi
ha esattamente n soluzioni in C
Inoltre,
se i coefficienti sono tutti reali,
allora le soluzioni
sono coniugate a due a due.
1    i  2    i
RADICI COMPLESSE CONIUGATE
G( t )  A e
Bc2esin t 
 t  t iit t
t iti t
esercizio
eA e(Aee BBee e )
t
e A (cos t  i sin t )  B (cos t  i sin t ) 
t
e (A  B) cos t  i (A  B) sin t 
t
e c1 cos t  c2 sin t 
 t (  i ) t
e c1 cos t
(  i) t
Esercizio
m x"
m x"  b x'  k x  0
m x"  b x'  k x  0
crescita di una popolazione isolata
in un ambiente con risorse limitate
x'  r x
x'  r(x) x
tasso potenziale di crescita
Ex
x'  a
x
E
integrale generale:
E
x(t) 
a t
1 K e
condizione iniziale:
E
1 K 
xo
t=0
E
xo 
1 K
E
K
1
xo
x
E
x(t) 
a t
1  Ke
curve logistiche
t
DUE POPOLAZIONI CONVIVENTI
 x '  1 ( x, y)

 y '  2 ( x , y )
condizioni iniziali :
integrale particolare :
  (1 , 2)
campo vettoriale
2
2
:R R
x(0) = xo , y(0) = yo
 ( t )  x( t ) , y( t ) 
y
(xo,yo)
(xo,yo)
piano delle fasi
x
DUE POPOLAZIONI CONVIVENTI
 x '  1 ( x, y)

 y '  2 ( x , y )
  (1 , 2)
campo vettoriale
2
2
:R R
punti di equilibrio:
(t )  x(t ) , y(t )  (x o, yo )
orbita costante
x ' ( t )  0 , y' ( t )  0
 1 ( x, y)  0

 2 ( x , y)  0
caso lineare
a b
 x '  ax  by
 ax  by  0
A 



c d
 y'  cx  d y
cx  d y  0
Det ( A)  0  unico punto di equilibrio : (0,0)
x 'ax
y
b
x"ax'
y' 
b
x"ax'
x 'ax
 cx  d
b
b
x"(a  d ) x '(ad  bc) x  0
x"Tr ( A) x ' Det ( A) x  0
2  Tr ( A)  Det ( A)  0
autovalori di
A
autovalori reali 1  2
1t
2t
x ( t )  c1e  c2e
x ' ( t )  ax( t )
y( t ) 
b
1  0 e 2  0
nodo repulsivo
1  0 e 2  0
nodo attrattivo
1 e 2 discordi
punto di sella
autovalori complessi :
1    i ,  2    i
x ( t )  et (c1 cos t  c2 sin t )
x ' ( t )  ax( t )
y( t ) 
b
0
centro
0
fuoco repulsivo
0
fuoco attrattivo
Esercizi a pag. 516
Prossima lezione:
Integrali di linea,
di superficie,
di volume