FUNZIONI
E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
di Carmine De Fusco1
(ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC "DERIVE")
I N D I C E
Funzioni ...............................................................................................pag. 2
Funzioni del tipo y = Kx ........................................................................... 4
Funzioni crescenti e decrescenti ..............................................................10
Rette che non passano per l'origine degli assi .................................... 11
Rette parallele ............................................................................................12
Punto in cui la retta incontra le ascisse ................................................13
Conversione di temperature centigrade in temperature
fahrenheit e viceversa ...............................................................................15
Rette perpendicolari ...................................................................................16
Funzioni del tipo y = K/x ...........................................................................18
Funzione quadratica .................................................................................. 20
Diagramma del moto accelerato (caduta di un corpo) ......................... 24
Cenni su altre funzioni .............................................................................. 25
Equazione della retta passante per due punti noti ................................26
Equazione del fascio di rette passante per un punto ...........................28
Esercizi di riepilogo ....................................................................................29
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1
FUNZIONI
Le funzioni sono delle relazioni matematiche che esprimono un legame tra variabili.
Queste relazioni particolari associano ad ogni elemento di un certo insieme uno ed
un solo elemento di un altro insieme.
Una generica funzione viene indicata con la scritta y = f(x), dove la x è considerata
variabile indipendente mentre la y è la variabile dipendente.
L'insieme di tutti i valori della variabile indipendente che definiscono la funzione, si chiama
dominio mentre l'insieme di tutti i corrispondenti valori della variabile dipendente si
chiama codominio della funzione.
Funzioni del tipo y = f(x) le ritroviamo in molte situazioni:
1) Lunghezza del lato di un quadrato e suo perimetro
2p = f(l);
2) Costo di una certa merce acquistata ad un tanto al Kg e suo peso
C = f(P);
3) .....................................................................................................................................
4) .....................................................................................................................................
5) .....................................................................................................................................
In generale quindi una funzione tra due insiemi è una relazione che associa ad ogni
elemento del 1° insieme uno ed un solo elemento del 2° insieme.
Esempi di funzioni:
I)
A
a
1
2
b
d
3
II)
B
c
A
B
1
a
3
2
III)
b
A
B
1
a
3
b
2
c
In questi tre esempi abbiamo due casi particolari.
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2
Nell'esempio II) siamo in presenza di una funzione costante, infatti i tre elementi (1, 2, 3)
dell'insieme A hanno come corrispondente un valore fisso ( a ) nell'insieme B.
Nell'esempio III) il dominio A e il codominio B sono caratterizzati dallo stesso numero di
elementi ed ogni elemento di A ha una ed una sola immagine (corrispondente) in B e
viceversa. In questo caso abbiamo una relazione molto particolare: una corrispondenza
biunivoca. Le corrispondenze biunivoche vengono anche chiamate biezioni e
corrispondono al predicato a due posti " ....... tanti quanti ....... ".
Però non è detto che una relazione tra due insiemi contenenti lo stesso numero di
elementi sia sempre una funzione o una biezione.
Esempi :
IV)
A
1
2
b
3
d
4
V)
1
A
B
a
c
a
B
2
b
3
c
La IV) non è una funzione né una biezione, mentre la V) è una funzione ma non una
biezione.
In conclusione, dati due insiemi, affinché si abbia una funzione occorre che tra i due
insiemi ci sia una relazione ovunque definita e funzionale.
Infatti se la relazione è ovunque definita vuol dire che ogni elemento del dominio ha
almeno un corrispondente nel codominio (da ogni elemento del dominio parte almeno
una freccia); ma se è anche funzionale vuol dire che ogni elemento del dominio ha al
più un corrispondente nel codominio (da ogni elemento del dominio parte al più una
freccia).
Mettendo insieme i due tipi di relazioni (almeno una e al più una vuol dire una ed una
sola) si hanno le funzioni, caratterizzate dalla partenza, da ciascun elemento del dominio,
di una e una sola freccia verso un qualunque elemento del codominio.
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FUNZIONI DEL TIPO y = Kx
Considereremo ora funzioni del tipo y = Kx dove K è un numero Reale relativo, x e y sono
le due variabili; la x è la grandezza che si fa variare mentre la y è quella che varia di
conseguenza. La scrittura y = Kx significa che y è funzione di x secondo K.
Se si dispone del programma "Derive" è possibile ottenere facilmente i grafici
corrispondenti alle funzioni.
In questo caso:
1° Accendere il computer
2° Selezionare DERIVE e dare invio
3°
"
AUTORE e dare invio
4° Digitare la funzione, poi dare invio e infine digitare PP per ottenere prima il piano
cartesiano e poi il grafico corrispondente alla funzione.
Funzione y = x
Otteniamo la retta bisettrice del I e III quadrante. Infatti compilando una tabella dei valori di
questa funzione otterremo gli stessi valori per le due variabili:
x
0
1
2
-1
-3
......
......
y
0
1
2
-1
-3
......
......
Punti
A
B
C
D
E
......
......
y
+5
+4
y=x
+3
+2
45°
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
4
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Funzione y = - x
Otteniamo la retta bisettrice del II e del IV quadrante. Compilando un tabella anche per
questa funzione, osserveremo che le due variabili (x e y) hanno valori opposti:
x
0
1
-1
2
-3
......
......
y
0
-1
1
-2
3
......
......
Punti
A
B
C
D
E
......
......
y
+5
y=-x
+4
+3
45°
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
Funzione y = 2x
x
0
1
-1
2
......
......
......
y
0
2
-2
4
......
......
......
Punti
A
B
C
D
......
......
......
5
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y
+5
y = 2x
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
-3
Funzione y = 5x
x
0
1
-1
......
......
......
......
y
0
5
-5
......
......
......
......
Punti
A
B
C
......
......
......
......
y
+5
y = 5x
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
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Osservazioni
Nella funzione y = x, relativa alla retta bisettrice del I e del III quadrante il coefficiente della
variabile x (coefficiente angolare) è 1.
Anche nella funzione y = - x il coefficiente angolare è 1 ma è preceduto dal segno meno.
Nelle ultime due funzioni, invece, il coefficiente della x è rispettivamente 2 e 5. Si può
notare che quando questo coefficiente è > 1 la retta è più vicina all'asse delle ordinate che
non a quello delle ascisse. Inoltre quanto maggiore è il coefficiente angolare, tanto più la
retta si avvicina all'asse delle y. Per valori infinitamente grandi di tale coefficiente la retta
tende a coincidere con l'asse delle ordinate. (Verificalo (al computer o sul quaderno)
anche con funzioni del tipo y = 20x e y = 50x, verifica poi che l'asse delle ordinate
corrisponde alla funzione x = 0).
Per determinare una retta sul piano bastano solo due punti quindi per determinare una
retta sul piano cartesiano bastano le coordinate di due suoi punti (per due punti di un
piano passa una ed una sola retta), perciò le tabelle potranno anche essere ridotte.
Quando il coefficiente angolare è compreso fra 0 e 1
Funzione y = 1/2x
x
0
1
2
4
-2
......
......
y
0
1/2
1
2
-1
......
......
Punti
A
B
C
D
E
......
......
y
+5
+4
+3
+2
y = 1/2 x
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
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Funzione y = 1/4x
x
0
1
5
-10
8
......
......
y
0
1/4
5/4
-10/4
2
......
......
Punti
A
B
C
D
E
......
......
y
+5
+4
+3
+2
y = 1/4 x
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
Osservazioni
Quando il coefficiente è < 1 la retta è più vicina all'asse delle ascisse che non a quello
delle ordinate. Quanto minore è il coefficiente angolare tanto più la retta si avvicina
all'asse delle x.
Per valori infinitamente piccoli, la retta tende a coincidere con l'asse delle ascisse
(verificarlo al computer con le funzioni y = 1/20x e y = 1/50x ; ricordiamo che il valore di
una frazione, con numeratore costante uguale a 1, diventa sempre più piccolo a mano a
mano che aumenta il denominatore: 1/20 > 1/50 > 1/500 > 1/2000 ecc.)
Verifica che l'asse delle ascisse corrisponde alla funzione y = 0x cioè y = 0.
Poiché l'asse delle x è dato dalla funzione y = 0, considerando funzioni del tipo y = b (con
b = 0) avremo un insieme di rette parallele a quest'asse (e ovviamente perpendicolari
all'asse delle ordinate).
Disegna, dopo aver costruito le relative tabelle, le funzioni:
y=1
y=2
y=-1
y=-2
y = 3/2
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Allo stesso modo, sapendo che l'asse delle ordinate corrisponde alla funzione x = 0,
considerando equazioni del tipo x = a (con a = 0) avremo un insieme di rette parallele
all'asse delle y.
Funzioni del tipo y = Kx, quelle esaminate fino adesso, vengono dette della
proporzionalità diretta in quanto tra le due variabili (o grandezze) x e y esiste una
corrispondenza tale che quando una grandezza aumenta (diventando doppia, tripla ecc.) o
diminuisce (diventando la metà, la terza parte ecc.) anche l'altra diventa rispettivamente il
doppio, il triplo, la metà, la terza parte ecc..
K rappresenta la costante di proporzionalità diretta ed è data dal rapporto fra il
valore della variabile dipendente e quello della variabile indipendente: K = y/x.
Quindi se due grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto fra un qualsiasi
valore della prima ed il corrispondente valore della seconda è costante.
Una funzione di questo tipo, come abbiamo già visto, ha per grafico una retta passante per
l'origine degli assi cartesiani e il coefficiente di proporzionalità coincide con il coefficiente
angolare. Variando il rapporto di proporzionalità (o coefficiente angolare) K abbiamo avuto
rette con diverse inclinazioni rispetto agli assi ma tutte passanti per l'origine.
Esempi di grandezze direttamente proporzionali:
Quantità di penne (di uno stesso tipo) acquistate e costo complessivo.
Numero di giorni di noleggio di un'automobile e costo.
Chilometri percorsi con un'automobile (che fa 15 Km con 1 litro di benzina) e quantità di
benzina consumata (a velocità costante).
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
Alcuni esercizi sulla proporzionalità diretta
1) Rappresenta al computer le funzioni a)y = 8x, b)y = x, c)y = 1/8x. Cosa osservi
confrontando i tre grafici? Per ciascuna funzione individua il coefficiente angolare e il
rapporto di proporzionalità.
2) La retta r del disegno alla pagina seguente è la rappresentazione di una proporzionalità
diretta ? Scrivi l'equazione della retta.
Scrivi l'equazione di una retta s simmetrica di r rispetto alla retta di equazione y = x.
3) Rappresenta, sul tuo quaderno, una retta passante per l'origine degli assi e che formi
un angolo di 30° con l'asse delle ascisse. Individua la corrispondente equazione e
rappresentala al computer (In caso di difficoltà ricordare che la retta di equazione y = x è
bisettrice del I e III quadrante, cioè forma angoli di 45° con gli assi).
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4) Rappresenta sul tuo quaderno una retta passante per l'origine degli assi e che formi un
angolo di 75° con l'asse delle x. Individua la corrispondente equazione e rappresentala al
computer.
5) La formula S = vt è quella del moto uniforme, cioè del moto di un corpo che percorre
spazi uguali in tempi uguali (in pratica senza subire accelerazioni o decelerazioni). S
rappresenta lo spazio percorso dal corpo nel tempo t mentre v è la velocità del moto
uniforme. Secondo te, la funzione S = vt è del tipo y = Kx? Perche?
Costruisci la tabella e il grafico della funzione S = 1/5 t. [Attenzione ! far notare, dopo
l'esecuzione, che lo spazio e il tempo non possono avere valori negativi e quindi il grafico
non può essere una retta passante per l'origine ma una semiretta uscente dall'origine].
6) Costruisci le tabelle e i grafici delle funzioni S = 1/2 t, S = t, S = 5 t e scrivi le tue
osservazioni.
y
+5
+4
+3
+2
y = .........
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
-3
Funzioni crescenti e decrescenti
Dal coefficiente angolare dipende la pendenza o inclinazione della retta rispetto
all'asse delle ascisse.
Una funzione come y = 3x è una funzione crescente, cioè tale che, quando aumenta il
valore della variabile indipendente (x), aumenta anche quello della relativa ordinata (o
variabile dipendente y).
Questo accade quando il coefficiente angolare è > 0.
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Viceversa, quando abbiamo funzioni come y = -1/2 x (cioè con il coefficiente angolare < 0),
all'aumentare del valore dell'ascissa diminuisce quello della relativa ordinata. In questo
caso, quindi, la funzione risulta decrescente.
Rette che non passano per l'origine degli assi
Rappresentiamo i grafici delle seguenti funzioni :
y = 2x+1
y
+5
y = 2x + 1
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
y = 5x- 3
y
+5
+4
y = 5x - 3
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
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y = 8x+2
y
+5
y = 8x + 2
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
-3
Osservazioni
Quando alla funzione y = Kx viene aggiunto o tolto un termine n (chiamato termine noto),
abbiamo di nuovo l'equazione di una retta che però non passa per l'origine degli assi. Le
nuove funzioni sono del tipo "y = Kx + n" e "y = Kx - n" dove n è un numero razionale
(intero o frazionario) qualsiasi. Il coefficiente angolare K ci dà sempre l'inclinazione della
retta rispetto all'asse delle ascisse mentre il termine noto n ci dice in quale punto la
retta incontra l'asse delle ordinate (nei tre esempi precedenti questo avveniva
rispettivamente nei punti +1, -3, e +2).
Esegui un'ulteriore verifica con le funzioni:
y=x+4
y = x -1/2
y = 5x + 1/3
Rette
parallele
Abbiamo appena visto che l'equazione generale di una retta qualsiasi è data dalla
funzione y = Kx + n, (alcuni usano la forma y = mx + n).
Consideriamo ora le seguenti funzioni:
y = 2x
y = 2x + 1
y = 2x + 2
y = 2x - 2
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Osservazioni:
Poiché il coefficiente angolare è costante (+2) e ciò che cambia è solo il termine noto
avremo un insieme di rette parallele fra di loro, con lo stesso angolo α (alfa) rispetto
all'asse delle ascisse, che incontrano l'asse delle ordinate rispettivamente nei punti
0, +1, +2, -2.
Esercizi
1) Verifica subito quali delle seguenti equazioni individuano delle rette parallele fra di loro
e rappresentale al computer o sul quaderno: a) y = 1/2 x - 1;
b) y = x - 1;
c) y = 0,5 x + 3;
d) y = 3/6 x;
e) y = 8/4 x + 1;
f) y = 5/10 x - 2;
g) y = 1/4 x + 2.
2) Per ciascuna delle rette dell'esercizio precedente scrivi le coordinate del punto in cui la
retta incontrerà l'asse delle ordinate.
3) Scrivi le funzioni di tre rette parallele fra loro e costruisci le tabelle e i relativi grafici.
Punto in cui la retta incontra le ascisse
Consideriamo di nuovo le funzioni del tipo y = Kx + n che, sappiamo, rappresentano rette
che non passano per l'origine degli assi e che incontrano l'asse delle ordinate nel punto n.
Come possiamo determinare il punto in cui una tale retta incontra l'asse delle ascisse?
Consideriamo alcuni dei punti che formano l'asse delle x, qual è la loro ordinata? Hanno
tutti il valore dell'ordinata uguale a zero.
y
M = (- 4; 0)
N = (+ 2; 0)
P = (+ 5; 0)
+5
+4
+3
+2
M
+5
-4 -3 -2
+6 x
+1
N
-1
+1 +2 +3
P
+4
-1
1
2
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Allora qualunque retta che incontri l'asse delle ascisse avrà, nel punto d'incontro, l'ordinata
uguale a zero! Quindi se vogliamo il punto in cui la funzione y = Kx + n incontra l'asse
delle x basta porre y = 0 e avremo 0 = Kx + n, cioè Kx + n = 0 da cui x = -n/K che è il
punto cercato.
Esempi:
1) Dove incontrerà l'asse delle ascisse la retta di equazione y = 2x - 10?
Ponendo y = 0 otteniamo 2x - 10 = 0, quindi 2x = 10,
cercavamo.
x = 10/2 ,
x = 5 è il punto che
2) Dove incontrerà l'asse delle ascisse la retta di equazione y = -1/2 x - 6?
Poniamo y = 0 ottenendo -1/2 x - 6 = 0,
x = -12.
1
-1/2 x = 6,
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x = 6/(-1/2),
x = 6 * (-2),
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Conversione di temperature centigrade
in temperature fahrenheit e viceversa
Sappiamo che nella scala Fahrenheit (F), usata nei Paesi anglosassoni, allo 0 e al 100
della scala centigrada (C) corrispondono 32° e 212°. Quindi lo spazio 32-212 risulta diviso
non in 100 parti uguali, com'è nella scala centigrada, ma in 180 parti uguali (212 - 32 =
180).
Perciò per passare dalla temperatura centigrada a quella fahrenheit bisogna prendere i
180/100 (= 9/5) di C e aggiungervi 32.
In tal modo otteniamo la relazione F = 9/5 C + 32 che è una funzione.
Per rappresentare il grafico di questa funzione sul piano cartesiano indichiamo F con y e
C con x ottenendo y = 9/5 x + 32.
Costruiamo una tabella e rappresentiamo il diagramma su un foglio di carta millimetrata.
x
y
C
F
0
32
5
41
10
50
50
122
- 20
-4
.......
.......
FAHRENHE
y
F = 9/5 C + 32
+ 50
+ 40
+ 30
+ 20
+ 10
- 40 - 30 - 20 - 10
+50
x
+10CENTIGRA
+20 +30 +40
-10
- 20
Il grafico ottenuto consente a prima vista, senza alcun calcolo, di convertire in modo
approssimativo le temperature centigrade in quelle fahrenheit corrispondenti e viceversa.
La relazione matematica inversa che consente di calcolare i gradi centigradi conoscendo
quelli fahrenheit si ottiene dalla precedente isolando la variabile C:
F = 9/5 C + 32
infine:
quindi:
5/9 * (F - 32) = C
F - 32 = 9/5 C
C = 5/9 * (F - 32)
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1
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Rette
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perpendicolari
Riprendiamo le funzioni y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x + 2, y = 2x - 2, che rappresentano
l'insieme di rette parallele già esaminate.
Se vogliamo che queste rette non siano più parallele, cosa bisogna fare? Basterà
cambiare i coefficienti angolari e fare in modo che siano tutti diversi tra loro. In questo
caso le rette non saranno più parallele ma incidenti, cioè avranno un punto in comune.
Ora noi non vogliamo che due rette qualsiasi siano solo incidenti, ma vogliamo ottenere
un particolare tipo di incidenza: la perpendicolarità.
Quando due rette sono perpendicolari? Ricordiamo che due rette sono perpendicolari
se hanno un punto in comune e se questo punto comune è il vertice di quattro
angoli retti.
Abbiamo già considerato due rette perpendicolari fra di loro anche se non abbiamo detto
che lo erano, qualcuno ricorda quali sono?
Riconsidera i grafici delle funzioni y = x e y = - x, quali osservazioni abbiamo fatto e quali
possiamo ancora fare?
y
+5
y=-x
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
90°
-2
y=x
-3
Osservazioni:
Poiché la retta y = x è bisettrice del I e III quadrante, in ognuno di essi forma due angoli di
45° ciascuno mentre la retta y = - x forma sia nel II sia nel IV quadrante due angoli di 45°.
Si nota facilmente che le due rette sono perpendicolari tra di loro, infatti hanno in comune
il punto del piano di coordinate (0,0) che è l'origine degli assi e formano quattro angoli retti
(ciascuno è dato dalla somma di metà quadrante con la metà del quadrante adiacente
(45° + 45°). Le bisettrici di ciascuno di questi angoli retti formati sono gli assi cartesiani
stessi.
E' come se avessimo fatto ruotare di 45° gli assi cartesiani intorno all'origine.
I coefficienti angolari delle funzioni che rappresentano queste due rette, sono opposti
(rispettivamente +1 e -1).
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Rappresentiamo altre rette con coefficienti angolari opposti:
a) y = 3x
e
y = -3x
y
+5
y = - 3x
y = 3x
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
-3
b) Prova tu con le funzioni: y = 1/5 x + 2
e
y = -1/5 x + 1.
Abbiamo ottenuto coppie di rette perpendicolari tra loro? No, quindi affinché due rette
siano perpendicolari non basta che i coefficienti angolari siano opposti.
Proviamo allora a ragionare sui coefficienti delle rette precedenti: +1 e -1. Questi due
numeri sono solo opposti o possono anche essere qualche altra cosa?
Non sono anche reciproci? (Sono reciproci 5 e 1/5, 1/3 e 3, 3/4 e 4/3, ecc. ma anche
1 e 1/1) Quindi 1 è il reciproco di se stesso.
Rappresentiamo adesso funzioni con il coefficiente angolare opposto e anche reciproco
(cioè opposto del reciproco):
c) y = 3x
e
d) y = 2/5 x e
y = -1/3 x
y = -5/2 x
Abbiamo ottenuto rette perpendicolari tra loro? Allora per ottenere due rette
perpendicolari nell'origine degli assi occorre che il coefficiente angolare delle loro
funzioni sia l'uno l'opposto del reciproco di quello dell'altra.
In generale sono perpendicolari nell'origine degli assi le rette y = mx e y = -1/m x.
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Funzioni del tipo Y = K / X
Consideriamo le grandezze "numero di operai" e "tempo impiegato per eseguire un certo
lavoro" e costruiamo la relativa tabella.
Osserviamo che fra l'insieme dei
valori della x e l'insieme dei valori
della y esiste una corrispondenza
biunivoca (uno a uno) tale che
raddoppiando o triplicando il valore
della x, quello della y diventa
rispettivamente 1/2, 1/3. In questo
caso si dice che le grandezze x
(numero di operai) e y (tempo
impiegato) sono inversamente
proporzionali.
x = n. operai
1
2
3
5
10
....
....
y = tempo
30 gg
15 "
10 "
6 "
3 "
....
....
E' importante notare che il prodotto di un valore dell'insieme x per il corrispondente
valore dell'insieme y è costante (1 * 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = ................).
In generale tra due grandezze o tra due insiemi esiste una proporzionalità inversa quando
esiste una corrispondenza biunivoca e se il prodotto di un qualsiasi elemento del 1°
insieme per il corrispondente elemento dell'altro insieme è costante. Il valore costante del
prodotto di due elementi corrispondenti si chiama coefficiente di proporzionalità inversa
( nell'esempio considerato tale coefficiente è 30 , per cui abbiamo x•y = 30 e ricaviamo la
funzione y = 30 / x ).
Quindi la formula generale della legge di proporzionalità inversa è rappresentata
dalla funzione y = K / x cioè x•y = K dove K è il coefficiente di proporzionalità
inversa.
Altri esempi di grandezze inversamente proporzionali:
1) Velocità di un'auto e tempo impiegato per percorrere un certo tragitto;
2) Portata di un rubinetto e tempo impiegato per riempire una data vasca;
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
Attenzione! Per rappresentare al computer funzioni che esprimono la legge di
proporzionalità inversa (y = k/x) non usare funzioni con valori elevati di k (superiori a 5 o 6)
altrimenti il grafico non è visibile oppure è poco visibile sul monitor.
Rappresentiamo le funzioni:
a) y = 1 / x
b) y = 2 / x
Prova tu con:
c) y = 3 / x
d) y = 1 / (2x)
e) y = 1 / (3x)
f) y = 1 / (4x)
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y = 1/x
[email protected]
y
+5
y = 2/x
+4
+3
+2
+1
y = 1/x
-4 -3 -2
+5 +6 x
y = 2/x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
Per ogni funzione si ottengono delle coppie di curve, ciascuna chiamata iperbole
equilatera e che ha la massima distanza dagli assi in prossimità dell'origine (0,0),
invece a mano a mano che ci si allontana dall'origine la curva si avvicina sempre più agli
assi.
Osservazioni:
Per k > 1, le curve sono più distanti dagli assi rispetto alla funzione y = 1/x (dove k=1) e
sono esterne rispetto a tale funzione.
Per k < 1 e tendente allo zero (1/4, 1/5, 1/10, ...............) le curve si avvicinano sempre più
agli assi e sono interne rispetto a quella rappresentata dalla funzione y=1/x.
Esercizio: traccia i grafici delle funzioni y = -1/x,
osservazioni.
y = -2/x,
y = -1/(2x) e fai le tue
[R. Se k > 0 (cioè positivo) i due rami di iperbole si trovano nel I e nel III quadrante.
Se k < 0 (negativo) i due rami di iperbole si trovano nel II e nel IV quadrante].
y
+5
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
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Funzione
[email protected]
quadratica
Prendiamo ora in esame l'insieme dei quadrati. Sappiamo tutti che la relazione di
uguaglianza A = l2 rappresenta la formula per il calcolo dell'area del quadrato.
Possiamo dire che l'area è funzione del lato perché ad ogni valore del lato corrisponde
uno ed un solo valore dell'area. Indicando con y l'area e con x il lato avremo che A = l2
diventa y = x2 .
Costruiamo una tabella per il lato e l'area corrispondente:
l (cm) x
A(cm2) y
Punti
0
0
A
1
1
B
2
4
C
3
9
D
4
16
E
5
25
F
-1
1
G
-2
4
H
-3
9
I
Al crescere del lato aumenta anche l'area ma non si tratta di proporzionalità diretta perché
l'area (y) aumenta più rapidamente del lato (x).
Individuiamo sul piano cartesiano i punti ottenuti con la tabella e tracciamo il grafico della
funzione usando poi il computer per il controllo.
La funzione y = x2 definisce una curva chiamata parabola.
y
+5
y = x2
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
La parabola è una curva molto comune:
a) Un pallone lanciato in aria descrive una parabola;
b) Un proiettile sparato da un cannone descrive una parabola;
c) La traiettoria di un missile lanciato in aria per colpire una regione lontana è una
parabola;
d) Molti ponti hanno una forma di parabola;
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
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L'equazione generale della parabola però è del tipo y = ax2+bx+c. Quella che
abbiamo considerato, che ha equazione y = x2, è una parabola particolare perché,
mancando sia il termine noto c sia il termine bx (entrambi uguali a zero), ha il vertice
nell'origine degli assi.
Quindi il valore del termine noto c, quando manca anche il termine bx, ci dice in quale
punto dell'asse delle ordinate la parabola ha il vertice. Per verificarlo, proviamo a
rappresentare le funzioni
y = x2 + 2,
y = x2 + 1,
y = x2 - 1.
y
+5
2
y=x +2
y = x2 + 1
y = x2 - 1
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
Rappresentiamo ora le funzioni complete:
y = x2 + 2x + 1,
y = x2 + x + 1,
y = x2 - x + 1.
y
y = x2
+5
-x+1
2
+4
y = x +2x + 1
2
+3
y=x +x+1
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
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Se compare anche il termine in x, il termine noto (c) non ci indica più il vertice della
parabola ma ci dice solo dove questa incontra l'asse delle ordinate (in questi tre esempi
nel punto +1).
Altre considerazioni importanti riguardano il coefficiente "a" di x2: a questo proposito
rappresentiamo le funzioni y = - x2 + 1 e y = - x2 - 1.
y
+5
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
y = - x2 + 1
2
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
y=-x -1
-3
1) Quando tale coefficiente è positivo (a > 0) la concavità della parabola sarà rivolta verso
l'alto (ad es. nella funzione y = x2);
2) Quando a è negativo (a < 0 ), la concavità sarà rivolta verso il basso (es. y = - x2 - 1);
y = 3x2,
3) Quando a > 1 oppure a < -1 (ad esempio nelle funzioni y = 2x2,
y = -2x2,
y = -3x2,
ecc. ), avremo parabole più "strette" (più vicine all'asse delle
ordinate) rispetto a quelle descritte dalla funzione y = x2 (in cui a = 1);
4) Quando invece -1 < a < 1 (ad esempio nelle funzioni y = 1/2 x2, y = 1/4 x2, y = -1/2
x2,
y = -1/4 x2,
ecc.), avremo parabole più "aperte" rispetto a quelle descritte dalla
funzione y = x2.
Verifica questi casi eseguendo al computer gli esempi fatti.
Naturalmente quella tracciata e stampata è solo una parte della parabola, perché questa
curva si estende all'infinito dalla parte opposta al vertice.
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Esercizi
1) Rappresenta le seguenti funzioni e scrivi le tue osservazioni:
a) y = x2 + 3;
b) y = x2 + 1/2;
c) y = x2 - 1/3;
d) y = - x2 + 5/2;
e) y = - x2 - 2;
f) y = - x2 - 1.
2) Rappresenta funzioni complete del tipo y = ax2 + bx + c e descrivi le relative parabole.
3) Un esempio di legge di dipendenza quadratica è rappresentato della relazione che lega
l'area di un cerchio al suo raggio (A = π • r2). Dopo aver individuato le due variabili e la
funzione, costruisci una tabella e rappresenta la funzione sul quaderno. Usa il computer
per il controllo.
4)
a) Completa le tabelle A e B.
A
x
y
0
0
1
2
2
8
3
18
.....
32
-1
2
-2
.....
.....
.....
x
y
0
0
1
- 1/3
2
- 4/3
3
.....
-1
- 1/3
-2
.....
-3
.....
.....
.....
B
b) Scrivi l'equazione che dà origine alla tabella A e quella che dà origine alla tabella B.
Dopo averle rappresentate sul piano cartesiano, scrivi le coordinate di eventuali punti
comuni alle due funzioni.
5) Determina l'intersezione delle funzioni y = x e y = x2 scrivendo le coordinate dei punti
che eventualmente hanno in comune.
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Diagramma del moto accelerato ( caduta di un corpo )
La terra esercita su tutti i corpi una forza di attrazione chiamata forza di gravità.
Qualunque corpo libero, quindi, cade verso il basso seguendo la direzione del filo a
piombo. Lasciando cadere contemporaneamente da una stessa altezza una biglia
metallica e una piuma, possiamo tutti affermare con certezza che la biglia arriverà al suolo
prima della piuma. Questa differenza è dovuta alla diversa resistenza opposta dall'aria nei
due casi.
Se ripetessimo l'esperienza nel vuoto (in assenza d'aria), ad esempio nel tubo di Newton,
osserveremmo la biglia e la piuma arrivare al suolo contemporaneamente. Già G. Galilei
verificò che lo spazio percorso da un corpo, nel tempo t, che cade liberamente nel
vuoto non dipende dalla massa del corpo stesso. Dimostrò che la legge che regola
la caduta dei corpi nel vuoto è la seguente:
S = 1/2 * 9,8 * t2
cioè
S = 4,9 * t2
dove S è lo spazio percorso espresso in m, t è il tempo espresso in secondi (il
valore 9,8 rappresenta la misura dell'accelerazione di gravità nel vuoto (a = 9,8
m/sec2), cioè ogni corpo che cade nel vuoto aumenta la sua velocità di 9,8 m al secondo
per ogni secondo che passa ).
La caduta di un corpo nel vuoto quindi è un moto naturalmente accelerato.
La formula S = 4,9 t2 può essere espressa dalla funzione y = ax2?
Compiliamo una tabella e tracciamo il relativo grafico.
t=x
S=y
0
0
1
4,9
2
19,6
3
44,1
4
78,4
.....
.....
.....
.....
Tracciando il diagramma del moto della caduta di un corpo si ottiene solo un ramo di
parabola con il vertice nell'origine degli assi e la curva nel I quadrante. Questo perché il
tempo (trascorso durante la caduta) t non può essere negativo.
y
+5
S
S = 4,9 t2
+4
+3
+2
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
-1
+1 +2 +3
+4
t
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Cenni su altre funzioni
Funzioni del tipo y = Kxn, con n pari, presentano sempre una forma parabolica,
invece se n è dispari le relative curve hanno un flesso nell'origine degli assi.
Il flesso è un particolare punto di una curva in cui essa cambia il verso della sua
concavità.
Quando la curva ha un flesso nell'origine è anche simmetrica rispetto al punto di flesso
anziché essere simmetrica rispetto all'asse.
Quando abbiamo funzioni del tipo y = Kx3, (n = 3) , la curva viene chiamata parabola
cubica.
Rappresentiamo le funzioni:
y = 1/3 x3
y = x3
y = 3x3
y
+5
+4
+3
+2
FLESSO
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
y = 1/3 x3
y = x3
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
-3
Naturalmente se il coefficiente k è negativo la parabola cubica verrà rappresentata nel II e
nel IV quadrante e mantiene il flesso nell'origine degli assi.
Se invece aggiungiamo, alla forma y = Kx3, un termine noto n, allora il flesso non sarà
nell'origine ma sull'asse delle ordinate nel punto n.
Ad esempio la funzione y= x3 + 1 ha il flesso nel punto dell'asse y di ordinata +1.
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Equazione della retta passante per due punti noti
Sappiamo che per due punti passa una ed una sola retta. Il nostro problema è
quello di individuare l'equazione della retta conoscendo le coordinate di due suoi punti,
P = (x1, y1) e Q = (x2, y2).
L'equazione generale di questa retta è:
(y - y1)
=
(y2 - y1)
(x - x1)
(x2 - x1)
Esempi:
1) Vogliamo l'equazione della retta passante per i punti: A=(2,1) e B=(-2,2).
Tenendo presente che x1=2, y1=1, x2=(-2), y2=2, abbiamo:
(y - y1)
=
(y2 - y1)
(x - x1)
y-1
;
x-2
=
(x2 - x1)
2-1
y-1
;
x-2
=
-2-2
1
;
-4
da cui:
4 •(y - 1) = -(x - 2)
4y - 4 = -x + 2
4y = -x + 2 + 4
4y = -x + 6
y = - 1/4 x + 3/2 è l'equazione cercata.
Verifichiamo, rappresentandola sul piano cartesiano, se passa effettivamente per i punti A
e B dati.
y
+5
+4
y = 1/4 x + 3/2
+3
B=(-2;2)
+2
A=(2;1)
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
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2) Vogliamo l'equazione della retta passante per i punti: C=(2,-1) e D=(-1,1).
Partendo di nuovo dalla forma generale dell'equazione della retta passante per due punti
abbiamo:
(y - y1)
=
(y2 - y1)
(x - x1)
y+1
;
x-2
=
(x2 - x1)
1+1
y+1
;
-1 -2
x-2
=
2
;
-3
da cui:
3y + 3 = - 2x + 4
3y = - 2x + 4 - 3
3y = - 2x + 1
y = (- 2x + 1) / 3
oppure
y = - 2/3 x + 1/3 è l'equazione cercata.
La sua rappresentazione è la seguente.
y
+5
y = (- 2x + 1) / 3
+4
+3
+2
D = (- 1; 1)
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
-1
C = (2; - 1)
+4
-2
-3
Esercizi:
1) Scrivi l'equazione della retta passante per i punti A=(3,2), B=(1,1) e rappresentala;
2) "
"
"
"
"
C=(2,1), D=(1,1)
"
;
3) "
"
"
"
"
E=(-1,-2), F=(3,-1)
"
.
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Equazione di un fascio di rette passanti per un punto
Per un solo punto passano infinite rette e generalmente si parla di un "fascio" di
rette. L'equazione generale di un fascio di rette passanti per il punto P=(x1,y1) è:
y - y1 = a(x - x1), dove a rappresenta il valore del coefficiente angolare della retta.
Esempio:
• Vogliamo l'equazione del fascio di rette passante per il punto P=(2;1).
Ricaviamo y dall'equazione generale:
y - y1 = a(x - x1);
y = a(x - x1) + y1
y = ax - ax1 + y1.
L'equazione generale del fascio di rette passanti per il punto P=(2;1) è:
y = ax - 2a + 1 oppure l'equivalente y = a(x - 2) + 1.
Se vogliamo le singole rette dobbiamo assegnare dei valori al coefficiente angolare a.
Per a = 1
Per a = 2
Per a = 3
Per a = - 1
Per a = - 2
ecc.
y=x-2+1
y = 2x - 4 +1
y = 3x - 6 +1
y = - x +2 +1
y = - 2x +4 +1
y=x-1
y = 2x - 3
y = 3x - 5
y= - x +3
y= - 2x +5
(retta
(retta
(retta
(retta
(retta
r)
s)
t)
v)
z)
y
+5
Fascio di rette
di centro P.
+4
+3
+2
P=(2;1)
+1
+5
-4 -3 -2
+6 x
-1
+1 +2 +3
+4
-1
-2
r
z
v
-3
Esercizi:
28
1) Scrivi l'equazione del fascio di rette passanti per il punto P=(1,2) e, facendo variare il
coefficiente angolare, rappresentane almeno cinque;
2) Fai la stessa cosa per il punto Q=(2,-1).
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Esercizi di riepilogo
1) Traccia i diagrammi delle seguenti funzioni e fai le tue osservazioni:
y = 1/4 x + 1;
y = 1/4 x - 1;
y = 1/4 x + 3.
2) Trova dove le seguenti rette incontrano gli assi cartesiani:
a)
y = 4x - 4;
y = 3x - 12;
y = 1/2 x + 2.
b)
x + y = 1;
x = 3;
y = 7.
3) Indica quali delle seguenti rette passano per l'origine degli assi cartesiani e quali no.
Indica anche quali sono parallele fra loro:
y = 1/5 x + 5;
y = 3x;
y = Kx - n;
y = 1/5 x.
4) Come varia il perimetro di un triangolo equilatero quando varia il suo lato?
Indica con x la misura del lato, con y la misura del perimetro e scrivi la legge che lega
queste due variabili. Rappresenta graficamente la funzione ottenuta.
5) Ripeti l'esercizio precedente con il perimetro del quadrato.
6) Ripeti l'esercizio n. 4 con il perimetro di un poligono regolare di n lati.
7) Rappresenta sul piano cartesiano le seguenti funzioni e scrivi le tue osservazioni:
y = 1/(2x);
y = 2/x.
8) Trova le equazioni delle seguenti rette :
a) parallela alla y = 2x + 1 e passante per l'origine degli assi;
b) parallela alla bisettrice del I e del III quadrante e passante per il punto (0, 3);
c) passante per l'origine e parallela alla y = -1/3 x + 2;
d) passante per l'origine e perpendicolare alla y = x.
9) Indica quali sono le equazioni dei tre fasci di rette passanti per i seguenti punti:
A = (2, 4);
B = (-3, -1);
C = (-1, 2).
10) Scrivi le equazioni delle rette passanti per le seguenti coppie di punti:
a)
b)
c)
A = (2, 5),
C = (0, -3),
E = (0, 0),
B = (3, 4).
D = (2, 2).
F = (-1, 3).
11) Scrivi i coefficienti angolari delle rette perpendicolari a quelle date:
29
a) y = 4x;
b) y = -1/4 x;
1
y = -7x + 1;
y = 1/12 x - 1;
Carmine De Fusco -Venaria Reale-
y = x - 3.
y = - x + 2.
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