Elementi di geometria analitica
LA RETTA
1
Equazione in forma
implicita
ax+by+c=0
dove:
• a è il coefficiente della variabile x
• b è il coefficiente della variabile y
• c è il termine noto
2
Equazione in forma
esplicita
y=mx+q
dove:
• m è il coefficiente angolare
• q è l’ordinata all’origine
3
Dalla forma implicita alla esplicita
ax+by+c=0
by=-ax-c
a
c
a
c
y   x  , posto m   , q  
b
b
b
b
y=mx+q
4
Il coefficiente angolare
m
fornisce indirettamente la
misura dell’angolo che la retta
forma con il semiasse
orientato positivamente delle
ascisse
5
y
y=mx+q

O
x
Se m>0
allora
0°<<90°
6
y
O
y=mx+q

x
Se m<0
allora
90°<<180°
7
L’ordinata all’origine q
Rappresenta l’ordinata del
punto di intersezione della
retta con l’asse delle ordinate
8
y
q
O
x
9
Se q=0  y=mx
la retta passa per l’origine
y
O
x
10
Fascio di rette
È l’insieme delle rette che
godono tutte di una stessa
proprietà
11
Fascio proprio
Proprietà: tutte le rette passano
per uno stesso punto
12
Fascio improprio
Proprietà: tutte le rette hanno
la stessa direzione
13
Equazione del fascio
y-y0=m(x-xo)
- se m costante  fascio improprio
- se m variabile  fascio proprio
14
Condizione di
parallelismo
Due rette sono parallele se e
solo se hanno lo stesso
coefficiente angolare
15
y
x
r: y=mx+q
r’: y=m’x+q’
O
r
r
’
r // r’  m=m’
16
Condizione di
perpendicolarità
Due rette sono
perpendicolari se e solo se il
coefficiente angolare
dell’una è inverso ed
opposto al coefficiente
angolare dell’altra retta
17
y
90°
O
r
’ r: y=mx+q
x
r’: y=m’x+q’
r
1
r  r’  m  
m'
18
Equazione retta per 2
punti
Vogliamo determinare
l’equazione della retta
passante per due punti, note le
coordinate dei punti
19
y
P
1
.
O
P
. 2
x
P1 (x1;y1)
P2 (x2;y2)
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
20
esempio
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
P1 (2;5)
P2 (6;8)
y  y1 x  2

y2  y1 6  2
21
y  y1 x  2

y2  y1 6  2
P1 (2;5)
P2 (6;8)
y 5 x 2

85 62
22
y 5 x 2

85 62
y 5 x 2

3
4
y 5 x 2

3
4
23
y 5 x 2

3
4
4 y  20 3x  6

12
12
4 y  20  3x  6
24
4 y  20  3x  6
3x  4 y  14  0
25
Equazione retta per 2
punti
Altro metodo:
x
x1
y 1
y1 1  0
x2
y2 1
26
P1 (2;5)
x
x1
y 1
y1 1  0
x2
y2 1
P2 (6;8)
x y 1
2 5 1 0
6 8 1
27
x y 1 x y
2 5 1 2 50
6 8 1 6 8
5x+6y+16-30-8x-2y=0
-3x+4y-14=0
3x-4y+14=0
28