Dinamometro estensimetrico a
mensola.
Taratura statica
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
M
K
C
A
F
Estensimetro 1
F
L=lunghezza
H= altezza
B=larghezza
Estensimetro 2
Definizione parametri:
• GF = K = 2.03 (gauge factor)
DV0 - Offset ) × E × B × H 2
(
F=
3× GF ×Vi × d × G
• Vi = 5 V (alimentazione ponte Wheatstone)
• d = 0.142 m (distanza forza – estensimetro)
• G = 1000 (guadagno amplificatore)
• E = 64 Gpa (modulo Young AISI 304)
Modello teorico dello strumento
DV0 = 3× G ×Vi ×
d ×GF
× F + Offset
2
E×B×H
•Dati completi nel file “dati tesina estensimetri”
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 1. Formulazione del problema
M
K
C
A
F
La misura in condizioni statiche si ottiene mediante inversione della
caratteristica statica dello strumento:
uscita
misurando
Modello (statico) dello
Uscita
= y0
strumento
y0
misurando
Sono conosciuti:
- caratteristica statica
- uscita
Si ricava:
- stima del misurando
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Come si descrive l’operazione di misura?
B
M
K
C
A
F
La taratura in condizioni statiche si ottiene mediante interpolazione
della caratteristica statica dello strumento:
uscita
Misurando
= m0
Modello (statico) dello
strumento
Uscita
= y0
y0
m0
Sono conosciuti:
- ingresso
- uscita
misurando
Si ricava:
- caratteristica statica
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Cosa è la taratura statica?
B
M
K
C
A
F
Calcolo dell’incertezza teorica (tipo B) del dinamometro
Valore atteso della funzione composta:
p
ì
¶f ü
m = E {y}= E í f (x1 ,… , x p )+ å e i ý
i =1 ¶xi
î
þ
{
p
ì p ¶f ü
¶f
+ E í å e i ý = f (x1 ,… , x p )+ å E {e i }
i =1 ¶xi
î i =1 ¶xi þ
}
E f (x1 ,… , x p )
= f (x1 ,… , x p ) = funzione calcolata nei valori attesi dei parametri
Nel nostro caso :
y = DV 0 = f (F,E,B,H ,GF,...)
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 1. Incertezza teorica
M
K
C
A
F
varianza della funzione composta:
{
s y2 = E ( y - m )
2
2
p
üï
ìïæ
ö
¶f
= E íç f (x1 ,… , x p )+ å e i - m ÷ ý =
i =1 ¶xi
ø ïþ
ïîè
}
ìïæ p ¶f ö2 üï p æ ¶f ö 2
2
ei × e j }
e
E
×
E íç å e i ÷ ý = å ç
{
÷
i }+ M E {
ïîè i =1 ¶xi ø ïþ i =1 è ¶xi ø
)
(
Il termine M indica i valori attesi di tutti i termini composti
Nel caso in cui non vi sia correlazione tra i vari parametri il valore atteso
del loro prodotto è nullo e quindi si ottiene la legge di propagazione delle
incertezze standard:
æ ¶f ö
2
s y = åçç
÷÷ × s i2
i =1 è ¶x i ø
p
2
2
= s DV
0
Si calcola così l’incertezza dell’uscita prevista, propagando le incertezze
del modello
teorico
della
mensola
incastrata,
forza in ingresso, …
M. De
Cecco - Lucidi
del corso
di Misure Meccaniche
e Termichedella
I
Esperienza dinamometro– 1. Incertezza teorica
B
M
K
C
A
F
2
æ ¶f ö
s = å ç ÷ × s i2
i =1 è ¶xi ø
p
DV0 = 3× G ×Vi ×
2
y
æ ¶DV0 ö 2 æ ¶DV0 ö 2
= ç
÷ sE +ç
÷ s H +...
è ¶E ø
è ¶H ø
2
s DV
0
d ×GF
× F + Offset
2
E×B×H
2
Calcolato per tutti i valori di F di riferimento in ingresso allo strumento per la taratura:
DV0
Incertezza come intervallo 95% !!
±2s
F1
F2
F3
F
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 1. Incertezza teorica
B
M
K
C
A
F
Calcolo dell’incertezza con metodo Monte Carlo
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 2. Incertezza Monte Carlo
M
K
C
A
F
Calcolo Densità di Probabilità risultante per la variabile DV0
DV0 = 3× G ×Vi ×
d ×GF
× F + Offset
E×B×H2
DV0
Calcolo della moda come
valore atteso della tensione
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 2. Incertezza Monte Carlo
M
K
C
A
F
Calcolo dell’intervallo di confidenza al 95%
[0.0068 0.0156]
0.975
0.025
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 2. Incertezza Monte Carlo
M
K
C
A
F
Riporto stavolta l’intervallo di confidenza al 95% calcolato con Monte Carlo
DV0
F1
F2
F3
F
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 2. Incertezza Monte Carlo
M
K
C
A
F
Confronto delle due stime con intervallo di confidenza al 95%
mediante Monte Carlo:
mediante propagazione incertezza:
s DV = [DV0,min .. DV0,max ]
s DV = [DV0,min .. DV0,max ]
0
0
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Confronto con la formula di propagazione linearizzata
M
K
C
A
F
Fitting dei dati sperimentali
Si ricava la relazione lineare forza -> tensione
Per confrontarla col modello teorico
y
• Retta ai minimi
quadrati
y  ax  b
x
parametri (a,b)
N Dati sperimentali
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 3. Fitting sperimentale
M
K
C
A
F
• Soluzione
a
C xy
C xx
1 N
x   xi
N i 1
N
b  y  ax
1 N
y   yi
N i 1
N
N
N

C xy   xi  x  yi  y     xi yi  nx y  C xx    xi  x    xi 2  nx 2
i 1
i 1
N
sy 
2




y

ax

b
 i
i
2
i 1
sa 
i 1
sy
C xx
N
i 1
N 2
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I

sb  s y
 xi
2
i 1
NC xx
Esperienza dinamometro– 3. Fitting sperimentale
B
M
K
C
A
F
Confronto del modello teorico con la taratura statica sperimentale
Modello teorico:
d ×GF
DV0 = 3× G ×Vi ×
× F + Offset
2
E×B×H
Fitting sperimentale
DV0 = a × F + b
s DV
0
sa , sb
DV0 = (a + ksa )× F + b + ksb
DV0
DV0 = a × F + b
DV0 = (a - ksa )× F + b - ksb
k : fattore di copertura (=2)
= punto e incertezza teorici (95% l.c.)
= punto e incertezza sperimentali (95% l.c.)
F1
F2
F3
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 4. Validazione modello
F
B
M
K
C
A
F
Confronto del modello teorico con la taratura statica sperimentale
Modello teorico con propagazione
incertezza linearizzata e/o con MC
Sono compatibili?
Fitting sperimentale
DV0
= punto e incertezza teorici (95% l.c.)
= punto e incertezza sperimentali (95% l.c.)
F1
F2
F3
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 4. Validazione modello
F
B
M
K
C
A
F
Obiettivi della relazione tecnica
• Introduzione teorica sul principio estensimetrico utilizzato
• Costruzione del modello teorico
• Calcolo dell’incertezza con propagazione linearizzata
• Calcolo dell’incertezza con Monte Carlo
• Fitting sperimentale dei dati e sua incertezza
(carico e scarico formano un unico set di dati)
• Confronto del modello sperimentale con quello teorico
• Stima dell’incertezza sulla forza dato un valore di lettura di
tensione
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 5. Sintesi
M
K
C
A
F
Dati e contatti
Dati nel file :
dati tesina estensimetri.rtf
in materiale didattico esse3
Contatto :
[email protected]
[email protected]
B
M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I
Esperienza dinamometro– 5. Sintesi
M
K
C
A
F