I divisori comuni
Consideriamo l’insieme D8 dei divisori di 8, e l’insieme D12
dei divisori di 12:
D8 = {1, 2, 4, 8}
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
e rappresentiamoli graficamente.
INTERSEZIONE = INSIEME DEI DIVISORI COMUNI
Eseguendo l’intersezione dei due insiemi, otteniamo:
D8 D12 = {1, 2, 4}
che è l’insieme dei divisori comuni di 8 e di 12,
in quanto contiene i numeri naturali che sono
sia divisori di 8, sia divisori di 12.
Il Massimo Comun Divisore
Considerando l’intersezione degli insiemi D8 e D12, possiamo
osservare che 1, 2 e 4 sono i divisori comuni di 8 e 12;
il numero 4 è il più grande divisore in comune tra 8 e 12, cioè
il Massimo Comun Divisore di 8 e 12 e si scrive:
M.C.D.(8, 12) = 4
In generale: se Da e Db rappresentano gli insiemi dei divisori
di due numeri naturali a e b, si chiama Massimo Comun
Divisore (M.C.D.) dei due numeri il maggiore degli elementi
dell’insieme Da Db.
Il Massimo Comun Divisore di due
o più numeri è il maggiore dei divisori
comuni a quei numeri.
Alcuni esempi
• Determiniamo il M.C.D. fra 56 e 40:
D56 = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}
D40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
D56 D40 = {1, 2, 4, 8}
8 è il maggiore dei divisori comuni;
è il M.C.D.:
M.C.D.(56, 40) = 8
Ancora esempi
• Cerchiamo il M.C.D. di 3 numeri, per esempio 12, 18 e 20:
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D12 D18 D20 = {1, 2}
2 è il maggiore dei
divisori comuni, per cui:
M.C.D.(12, 18, 20) = 2
Prova tu
• Considera l’insieme D12 dei divisori di 12 e l’insieme D18 dei
divisori di 18 e completa le scritture.
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D12 D18 = {…................}
D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
M.C.D.(12, 18) = .........
1,2,3,6
6
Un caso particolare
Determiniamo ora il M.C.D. fra 12 e 6:
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D6 = {1, 2, 3, 6}
D12 D6 = {1, 2, 3, 6} = D6
M.C.D.(12, 6) = 6
Possiamo notare che 6 è divisore di 12 ed è anche il più
grande divisore comune ai due numeri dati.
Dati due numeri a e b, se b è divisore di a allora
M.C.D.(a, b) = b.
Prova tu
• Considera l’insieme D20 dei divisori di 20 e l’insieme D10 dei
divisori di 10;
poiché D10 D20, allora: M.C.D.(10, 20) = .......
10
Numeri primi tra loro
Consideriamo la tabella dei divisori di
un numero naturale n diverso da 0.
Osserviamo che per qualunque
coppia di numeri naturali (a, b),
esiste sempre almeno
un divisore comune che è 1.
Nei casi in cui il numero 1 è
l’unico divisore comune tra due
numeri, questi si dicono
primi fra loro.
Osservando la tabella possiamo
concludere che 2 e 3 sono primi tra
loro, come anche 4 e 9, o 7 e 12.
Alcuni esempi
• Calcoliamo il M.C.D. fra 15 e 28.
D15 = {1, 3, 5, 15}
D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
D15 D28 = {1}
M.C.D.(15, 28) = 1
L’unico divisore comune, che è quindi anche il M.C.D., è il
numero 1. I numeri 15 e 28 sono quindi primi fra loro.
• Calcoliamo il M.C.D. tra 7 e 5
D7 = {1, 7}
D5 = {1, 5}
D7 D5 = {1}
M.C.D.= (7, 5) = 1
I numeri 7 e 5 sono perciò primi fra loro.
Altri esempi
• I numeri 6 e 35, pur non essendo numeri primi, sono primi
tra loro. Infatti, sapendo che:
D6 = {1, 2, 3, 6} e D35 = {1, 5, 7, 35},
possiamo vedere che
D6 D35 = {1}.
• I numeri 5 e 17 sono primi tra loro, in quanto sono entrambi
numeri primi.
• I numeri 4 e 10 non sono primi tra loro, in quanto sono
entrambi numeri pari.
Prova tu
• Sottolinea le coppie di numeri primi fra loro.
(3, 7) (6, 25) (8, 9) (10, 30) (25, 49) (34, 17) (24, 28)
(3, 7), (6, 25), (8, 9), (25, 49)
Ricerca del M.C.D. con i fattori primi
Per determinare il M.C.D. di numeri elevati conviene sempre
scomporli in fattori primi. Vediamo un esempio.
Calcoliamo il M.C.D.(48, 180):
• scomponiamo i due numeri in fattori primi:
48 = 24 × 3
180 = 22 × 32 × 5
• prendiamo i fattori comuni a 48 e 180:
22, che è divisore di 48 e di 180,
3, che è divisore di 48 e di 180
• moltiplichiamoli: il M.C.D. fra 48 e 180 è allora 22 × 3 = 12.
Il M.C.D. di due numeri naturali scomposti
in fattori primi si ottiene moltiplicando i fattori primi
comuni, presi una volta sola, col minimo esponente.
Alcuni esempi
• Determiniamo il M.C.D.(540, 150, 200):
540 = 22 × 33 × 5
150 = 2 × 3 × 52
200 = 23 × 52
I divisori comuni ai tre numeri sono 2 e 5.
Allora:
M.C.D.(540, 150, 200) = 2 × 5 = 10
Prova tu
• Completa le scritture.
48 = 24 × 3
60 = 22 × 3 × 5
M.C.D.(48, 60) = .............
22 × 3 = 12
54 = 2 × 33
72 = 22 × 32
M.C.D.(54, 72) = .............
2 × 32 = 18
Giochiamo insieme, ma…
quante squadre?
28 ragazzi e 16 ragazze vogliono formare delle squadre con
lo stesso numero di persone tutte dello stesso sesso.
Qual è il numero massimo di
componenti che ogni squadra
può avere, senza che nessuno
rimanga escluso?
Basta calcolare il M.C.D.
tra i numeri 16 e 28:
16 = 24
28 = 22 × 7
M.C.D.(16, 28) = 22 = 4
Ogni squadra può essere formata, al massimo, da 4 persone.
Esercitati
• Considera l’insieme D8 dei divisori di 8 e l’insieme D6 dei divisori di 6:
D8 = {1, 2, 4, 8}
D6 = {1, 2, 3, 6}
I divisori comuni dei numeri 8 e 6 sono dati da:
x  D
D6
 D8 D6
 D8
D6
8
• Quale, tra le seguenti, è l’interserzione corretta dei due insiemi?
 D8 D6 = {1, 2, 3, 4, 6, 8} x D8 D6 = {1, 2}  D8 D6 = {2}
• Completa le seguenti scritture.
maggiore
- Il Massimo Comun Divisore è il ............................. dei divisori
comuni a due o più numeri.
- Dati due numeri a e b, se b è divisore del numero a allora
b
il M.C.D. è ...........
- L’insieme dei divisori comuni a due o più numeri (diversi da zero)
non è mai vuoto: tutti i numeri hanno come divisore comune
il numero .......
1
• Calcola i seguenti M.C.D.
3
M.C.D.(12, 15) = ............
M.C.D.(14, 21) = ................
6
M.C.D.(6, 12) = ..............
M.C.D.(30, 15) = ................
1
M.C.D.(5, 7) = ................
M.C.D.(11, 15) = ................
7
15
1
Esercitati
• Completa le seguenti scritture. primi
Due numeri si dicono ............ fra loro se hanno come unico divisore
comune il numero ...............
1
• Due numeri primi fra loro:
 sono numeri primi
x  possono non essere primi
 non sono primi
• Completa la regola scegliendo tra i termini moltiplicando, dividendo,
comuni, non comuni, comuni e non comuni, massimo esponente,
minimo esponente.
Il M.C.D. di due o più numeri scomposti in fattori primi
si ottiene
comuni
moltiplicando
..................................... i fattori primi .........................., presi una
sola volta, col ........................................
minimo esponente
• Trova il M.C.D. tra:
22 × 3 × 5 e 2 × 52
22 × 3
e 5 × 72
a × b × c 2 e a3 × b × c
M.C.D. = ..........................
M.C.D. =...........................
M.C.D. = .........................
2 × 5 = 10
1
a×b×c