Riprendiamo il cammino
• Le tre regole alla base della logica Aristotelica
sono :
• Il principio di identità
(ogni oggetto del pensiero è identico a se stesso)
• Il principio del terzo escluso
• ( una affermazione può avere solo uno di questi due valori di
verità, cioè può essere o vera o falsa )
• Il principio di non contraddizione :
( un’affermazione non può essere contemporaneamente vera e
falsa )
Esempio I
In un sacchetto ci sono alcune biglie
• Maria dice : nel sacchetto ci sono in tutto tre biglie e
sono nere.
• Luca dice :nel sacchetto ci sono due biglie nere e due
biglie rosse.
• Giorgio dice :nel sacchetto ci sono solo biglie nere
Sapendo che uno solo dei tre ha mentito , quante biglie
ci sono nel sacchetto ?
(A) una (B) due ( C) tre ( D ) quattro ( E ) non ci
sono sufficienti elementi per determinarne il numero
Risoluzione
• Se Maria ha mentito , Luca e Giorgio
si contraddicono .
• Se ha mentito Giorgio si
contraddicono Maria e Luca.
• Se il mentitore è Luca , le
affermazioni di Maria e Giorgio
devono essere entrambe vere :
quindi la risposta corretta è la
……
II Esempio
• In questo rettangolo c’è esattamente
una affermazione falsa
• In questo rettangolo ci sono
esattamente due affermazioni false
• In questo rettangolo ci sono
esattamente tre affermazioni false
• In questo rettangolo ci sono
esattamente quattro affermazioni
false
II Esempio
• Quante affermazioni vere ci sono nel
rettangolo ?
• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) 4
Risoluzione
• Poiché le quattro affermazioni che stanno
nel rettangolo si contraddicono
vicendevolmente al più una sola di esse
può essere vera
• La terza affermazione risulta vera ,dato
che le altre tre sono evidentemente false ;
quindi la risposta giusta è la ……..
Debolezza principio di non
contraddizione
• Il principio di non contraddizione
rappresenta però anche un punto debole
della logica se si riesce ad enunciare una
affermazione auto-contraddittoria tipo :
Questa affermazione è falsa
Paradossi
Così sono nati i più famosi paradossi
della storia
• paradosso del mentitore di Epimenide
• paradosso del barbiere ( se il barbiere del
villaggio rade tutti gli uomini che non si radono da soli , chi rade il
barbiere?,)
• Paradosso di Russell(l'insieme di tutti gli
insiemi
che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e
solo se non appartiene a se stesso.)
Creiamo un paradosso
• Nel paese Vattalapesca ogni anno ,al momento
del pagamento delle tasse, l’utente fa una
dichiarazione relativa all’anno in corso.
• Se la dichiarazione è vera , deve pagare le
tasse ;
• se la dichiarazione è falsa ,non le paga:
Un giovane matematico, ritenendo iniquo il
sistema trova il modo di bloccarlo:
voi come fareste ?
Aristotele e la logica
L’importanza fondamentale di Aristotele
nell’ambito della logica comprende tre
campi :
• Sillogismo
• Quantificatori ( nessuno , qualcuno, tutti )
• Modalità ( lo studio di impossibile,
possibile ,necessario)
Sillogismo
Etimologicamente =
Ragionamento concatenato
E’ un tipo di ragionamento deduttivo
formale : da due proposizioni dette
premesse segue necessariamente una
terza detta conclusione.
:
Tipi di sillogismo
I sillogismi più utilizzati sono :
1) i sillogismi condizionali :
a) modus ponens
b) modus tollens
Esempio
PRIMO RAGIONAMENTO
• Bearzot sta fumando la pipa
• Dopo aver vinto una partita ,Bearzot fuma
sempre la pipa
• Dunque Bearzot ha appena vinto una partita.
SECONDO RAGIONAMENTO
• Ogni volta che conquista una vetta Messner si
concede una bella bevuta
• Non ha conquistato una vetta quindi non si
concede una bella bevuta
Esempio sillogismo condizionato
TERZO RAGIONAMENTO
• Rossi ha appena vinto una gara
• Ogni volta che vince una gara , Rossi fa
impennare la moto.
• Dunque Rossi ora fa impennare la moto.
QUARTO RAGIONAMENTO
• Ogni volta che vince il Tour de France ,
Armstrong brinda con gli amici
• Non ha brindato con gli amici quindi non ha vinto
il Tour de France.
Sillogismo condizionato
•
a)
b)
c)
d)
e)
Quanti dei precedenti ragionamenti
risultano logicamente attendibili ?:
Uno
Due
Tre
Tutti
nessuno
Sillogismi categorici
•
•
•
•
Schemi di ragionamento costituiti da
Premessa maggiore
Premessa minore
conclusione
Tipi di sillogismi categorici
Si basano su vari tipi di quantificatori infatti
si distinguono in :
• Universale affermativa = tutti gli A sono B
• Universale negativa = Nessun A è B
• Particolare affermativa :qualche A è B
• Particolare negativa: Alcuni A non sono
B
Sillogismo
• Aristotele studiò 276 sillogismi e vide che
si potevano tutti ridurre a circa una ventina
che a loro volta si possono ricondurre al
sillogismo Barbara che oggi chiameremmo
la transitività della implicazione :
• da A discende B ,
• da B discende C allora
• da A discende C.
sillogismo
• la premessa maggiore
contiene
il predicato della conclusione ,
mentre
La premessa minore
contiene
il soggetto della conclusione.
esempi
• Alcuni riformatori sono fanatici ; quindi alcuni
idealisti sono fanatici perchè tutti i riformatori
sono idealisti.
• Nessuna persona ricca è un capo di sindacato
,perché nessuna persona ricca è liberale e tutti i
capi sindacato sono veri liberali.\
• Alcuni greci sono filosofi perché tutti gli ateniesi
sono greci ed alcuni filosofi sono ateniesi
Quantificatori
• Aristotele riuscì a
codificare i legami tra
le varie particelle
attraverso il seguente
schema:
Affermativo negativo
universale
Tutti
particolare alcuni
nessuno
Non tutti
Interdefinibilità dei quantificatori
Il quantificatore universale e il quantificatore
esistenziale sono interdefinibili:
• il quantificatore universale si può definire
per mezzo di quello esistenziale e della
negazione
• quantificatore esistenziale si può definire
per mezzo del quantificatore universale e
della negazione
interdefinibilità
ES.
1)
Tutti fanno =
Non è vero che qualcuno non fa
2)
Qualcuno fa =
Non è vero che tutti non fanno
Esempio 1
• Se è vero che “ tutti gli intellettuali sono
interlocutori noiosi” sarà
necessariamente VERA anche UNA delle
affermazioni seguenti :
a)Tutti gli interlocutori sono intellettuali noiosi
b)Nessun interlocutore noioso è intellettuale
c)È falso che alcuni intellettuali non siano noiosi
d)Tutti i noiosi sono intellettuali
e)Tutti gli interlocutori sono noiosi
Esempio 2
• Se è vero che “ non tutti i mali vengono per
nuocere “ sarà necessariamente VERA anche
UNA delle seguenti affermazioni:
• Nessun male nuoce
• Se non vengono per nuocere non sono mali
• Quelli che nuocciono non sono mali
• Se sono mali non vengono per nuocere
• Qualche male non viene per nuocere.
Esempio 3
• A quale delle seguenti affermazioni equivale
la frase : “ non tutti i miopi portano gli
occhiali”
• a)nessun miope porta gli occhiali
• b)tutti i miopi portano gli occhiali
• c)non vi è un miope che non porti gli occhiali
• d)tutti i miopi evitano di portare gli occhiali
• e)C’è almeno un miope che non porta gli
occhiali
•
La negazione
• la negazione di “ Antonio è alto “ non è “
Antonio è basso “ma“ Antonio non è alto “
• la negazione di “ Nego l’impossibilità di
andare su Giove “ è “ su Giove non si può
andare “
• la negazione di “ non esco mai “ non è “
esco sempre “ ma “ a volte esco”
Negazione dei quantificatori
• La negazione di “ per ogni x , p(x) è
vera “ è “esiste almeno un x per cui
p(x) è falsa”
• La negazione di “ esiste almeno un y,
q(y) è vera “ è “ per ogni y , q(y) è falsa
Esempi 1
Quale delle seguenti affermazioni è la
negazione di
• Tutti i numeri perfetti sono pari
a)tutti i numeri perfetti sono dispari
b)almeno un numero perfetto è dispari
c)almeno un numero pari non è perfetto
d)nessun numero pari è perfetto
e)nessun numero dispari è perfetto
Esempio 2
La seguente proposizione “ in ogni scuola c’è almeno una
classe in cui sono tutti promossi “ diventa falsa quando:
a)in ogni scuola c’è almeno una classe in cui sono tutti
bocciati
b)in ogni scuola c’è almeno un bocciato in tutte le classi
c) c’è almeno una scuola che ha almeno un bocciato in
ogni classe
d) c’è almeno una scuola che ha dei promossi in ogni
classe
e) c’è almeno una scuola in cui c’è una classe che ha
almeno un bocciato
Risolviamo
per passaggi successivi
• Non ( in ogni scuola c’è almeno una classe in
cui sono tutti promossi) =
• c’è almeno una scuola in cui non (c’è almeno
una classe in cui sono tutti promossi )=
• c’è almeno una scuola in cui ogni classe non (
sono tutti promossi ) =
• c’è almeno una scuola in cui in ogni classe c’è
almeno un bocciato
Esempio 4
Francesca afferma che “ tutti gli studenti di ingegneria biomedica
hanno partecipato almeno una volta al test di Medicina”.
Sapendo che l’affermazione di Francesca è falsa , determinare
quale delle seguenti situazioni è sicuramente verificata :
• a)Almeno uno studente che ha partecipato al test di medicina non si
è iscritto a ingegneria biomedica
• b)nessuno studente di ingegneria biomedica ha mai partecipato al
test di medicina
• c)Almeno uno studente di ing.biomedica ha partecipato al test di
medicina
• d)almeno uno studente di ing biomedica non ha mai partecipato al
test di medicina.
• e)almeno uno studente di ing.biomedica ha superato il test di
medicina
Modalità
• Particella del
linguaggio con
comportamento
analogo ai
quantificatori
Affermativo Negativo
•
apodittico
necessario impossibile
problematico
possibile
contingente
modalità
• I quantificatori e le modalità godono delle
stesse proprietà : infatti si può passare da
necessario a possibile nello stesso modo
con cui passiamo da tutti a qualcuno:
Es.
• E’ necessario fare = non è possibile non
fare
• E’ possibile fare = non è necessario non
fare
Cosa resta di Aristotele
• Il nome : pietra migliare della logica
insieme a Frege
• Le sue scoperte che hanno portato alla
luce delle qualità sommerse della analisi
linguistica
Saluti
Nulla di tutto quello che
avevo imparato al
college sembrava avere
speranza di
applicazione pratica
nella mia vita, ma dieci
anni dopo, quando
stavamo progettando il
primo computer
Machintosh,tutto mi
tornò utile.
Steve Jobs- discorso alla
Stanford-University
Saluti
• Era la metà degli anni Settanta e io avevo
pressappoco la vostra età:Nella copertina
del numero finale c’era una fotografia di
una strada di campagna nel primo mattino,
del tipo che potete trovare facendo
autostop se siete dei tipi così avventurosi.
Sotto, le seguenti parole: “Siate affamati.
Siate folli”. e ho sperato questo per me .
Augurio
• Ed è l’augurio che io vi faccio:
• siate affamati di conoscere e
capire e siate folli per vivere la
vostra avventura scolastica con
creatività ed entusiasmo