Computer Graphics
Lezione 8:
attributi per vertice
Università dell’Insubria
asdad
asdsad
fadf
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asdf asd
Facoltà di Scienze MFN di Varese
asdad
asdsad
fadf
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asdf asd
Corso di Laurea in Informatica
Anno Accademico 2006/07
asdad
asdsad
fadf
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asdf asd
Marco Tarini
Preambolo:
• Le coordinate baricentriche
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Cosa è un segmento?
V2
V1
con
v1 , v 2 R
2
o
R
3
o
4
R ...
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Cosa è un segmento?
0.0
v+1 +
1vv2
0.1
v
0.9
1
0.66 v1 + 0.33 v2 2
0.5 v1 + 0.5 v2
0.75 v1 + 0.25 v2
≪ x è una
interpolazione
V2
V1
1 v1 + 0 v2
di v1 e v2 ≫
posso definirlo cosi':
un segmento di vertici v1 e v2
é l'insieme di tutti i punti x
esprimibili come
x = a v1 + b v2
a e b scalari positivi con a
+b=1
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Parentesi notazione
interpolazione:
V1
x
x = a v1 + b v2
V2
a e b scalari positivi
con a + b = 1
(quindi 0 ≤ a ≤ 1 e 0 ≤ b ≤ 1 )
estrapolazione:
V1
V2
x
x = a v1 + b v2
a e b scalari positivi
con a + b = 1
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Cosa è un triangolo?
V3
V2
V1
con
v1 , v 2 , v 3  R
2
o
R
3
o
4
R ...
≪ é l'insieme di tutti i punti x tali che... ≫
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Cosa è un triangolo?
V3
p
V1
q
V2
q = k1 v1 + k2 v2
k1 + k2 = 1
k1,k2 > 0
p = h1 v3 + h2 q
h1 + h2 = 1
h1,h2 > 0
esercizio: sostituiamo e...
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Cosa è un triangolo?
V3
V2
V1
un triangolo di vertici v1 v2 v3
é l'insieme di tutti i punti x
esprimibili come
x = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3
a1 a2 a3 scalari positivi
a1 + a2 + a3 = 1
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Per esempio...
0 v1 + 0 v2 + 1 v3
0.33 v1 + 0.33 v2 +0 0.33
v3v2 + 0 v3
v1 + 1
(il baricentro del triangolo)
V
0.5v v+1 +
0.5vv2 + 0 v3
0.65 v +30.2
0.15
1
2
3
(punto in mezzo al lato v1 v2)
V2
V1
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Ebbene...
V3
V2
V1
dati a1 a2 a3 scalari tali positivi
con
a1 + a2 + a3 = 1
→
x = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3
é un punto del triangolo
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Ma anche...
V3
V2
V1
dato un punto p nel triangolo
→
a1 a2 a3 tali che
p = a1 v1 + a2 v2 + a3 v 3
e a1 a2 a3 sono positivi e a somma 1
esistono unici
diciamo che a1
a2 a3 sono le coordinate baricentriche di p
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Le coordinate baricentriche
• Concetto
FONDAMENTALE
V3
p
V2
V1
p ha coordinate baricentriche
(a1 a2 a3) sse
p = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Le coordinate baricentriche
Interpretazione fisica (storica) (buffa)
p ha coordinate baricentriche
(a1 a2 a3) sse
é il baricentro di:
V3
V1
a3 Kg
a1 Kg
p
V2
a2 Kg
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Le coordinate baricentriche
Interpretazione geometrica
1
V3
p
k
1
V1
V2
h
p = v1 + h ( v2-v1 ) + k ( v3-v1 )
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Coordinate baricentriche:
improtante proprietà
R3
R2
f( v3 )
V3
p
trasformazione affine f
f(p)
f( v2 )
V2
V1
p ha coord.
baricentriche a,b,c
nel triangolo v1 v2 v3
f( v1 )
f(p) ha coord.
baricentriche a,b,c
nel triangolo f(v1) f(v2) f(v3)
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Le coordinate baricentriche
come rapporti fra aree
• Quali sono le coord baricentriche di un punto p?
V3
A1
A2
p
V2
A3
V1
A1
a1 
Atot
p = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3
A2
a2 
Atot
A3
a3 
Atot
Atot  A1  A2  A3
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Preambolo:
• Le coordinate baricentriche
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
associamo
degli attributi
ai vertici
che
mandiamo
es: colore RGB
rasterizer
punti
setup
rasterizer
triangoli
setup
rasterizer
segmenti
qui
gli attributi
possono subire
varie
compuatzioni
computazioni
per frammento
setup
Frammenti
& attributi
interpolati
Vertici proiett
& attributi
computati
computazioni
per vertice
Vertici
& loro attributi
Attributi nel pipeline
qui gli attributi
vengono
interpolati
pixel
finali
(nello
screen-buffer)
ogni frammento
avrà
una valore
interpolato
degli attributi
per vertice
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Attributi nella rasterizzazione
• Quindi il rasterizer deve fare DUE cose:
1 trovare i frammenti che compongono la primitiva
• e.g. i frammenti interni al triangolo
2 interpolare gli attributi per questi frammenti
• tramite le coordinate baricentriche
• Il rasterizer produce frammenti
CON attributi associati
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Attributi nella rasterizzazione
• Idea:
– lavoriamo su R2
R
NOTA: vero solo per le
trasformazioni affini.
E' solo una
approssimazione per la
distorsione prospettica
3
R
2
f( v3 )
V3
p
trasformazione affine f
f(p)
f( v2 )
V2
V1
p ha coord.
baricentriche a,b,c
nel triangolo v1 v2 v3
f( v1 )
f(p) ha coord.
baricentriche a,b,c
nel triangolo f(v1) f(v2) f(v3)
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Scan-line rasterizer & attributi
• Otteniamo gli attributi per frammento
interpolando gli attributi per vertice
lungo segmenti (linearmente)
• Equivalente ad usare
le coordinate baricentriche del frammento
come pesi
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Scan-line rasterizer & attributi
• Interpoliamo gli attributi:
– linearmente sui bordi
– e in ogni scanline, tra gli estremi dello span
v1
a1
p
v2
a2
p interpolato
fra a2 e a1
q
q interpolato
fra a0 e a1
f
f interpolato
fra p e q
v0
a0
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Scan-line rasterizer & attributi
• Lo stesso per tutti gli attributi
v1
a1, b1, c1...
p
v2
a2, b2, c2...
Ottimaizzatione:
si puo'
calcolare
incrementalme.
vediamo come →
q
f
v0
a0, b0, c0...
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Scan-line rasterizer & attributi
Primo frammento prodotto:
ha come attributo a0
ogni volta che mi sposto
1 pixel a dx:
aumento di una costante dx
a2
a1
ogni volta che mi sposto
1 pixel in alto:
aumento di una costante dy
a0
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Scan-line rasterizer & attributi
Primo frammento prodotto:
ha come attributo a0
ogni volta che mi sposto
1 pixel a dx:
aumento di una costante dx
a2
8 passi
a1
ogni volta che mi sposto
1 pixel in alto:
aumento di una costante dy
9 dx + 8 dy = a1 - a0
a0
9 passi
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Scan-line rasterizer & attributi
Primo frammento prodotto:
ha come attributo a0
ogni volta che mi sposto
1 pixel a dx:
aumento di una costante dx
a2
11 passi
a1
a0
1 passo
ogni volta che mi sposto
1 pixel in alto:
aumento di una costante dy
9 dx + 8 dy = a1 - a0
dx + 11 dy = a2 - a0
risolvo nella fase di
SET-UP di quel triangolo
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Edge functions e attributi
• Per i rastertizzatori basati su edge-functions:
– useremo la regola delle aree:
V3
A1
A2
p
V2
A3
V1
A1
a1 
Atot
p = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3
A2
a2 
Atot
A3
a3 
Atot
Atot  A1  A2  A3
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
Parentesi: area di un triangolo
• In R3 posso calcolarla con il prodotto esterno
V3
e nel caso particolare di R2 ?
proviamo...
d1
A
V1
d2
V2
il "diviso due"
lo possimo ignorare.
Tanto ci interessano
solo i rapporti
fra le aree
A = | d1 x d2 | /2
= | (v3 – v1) x (v2 – v1 ) | /2
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria
FlashBack: Edge functions
• La funzione il cui segno ci dice in quale semipiano siamo
n
v0=(x0, y0 )
SI
v2
q
NO
v1=(x1, y1 )
p = (x0 , y0)
n = ( - ( y1 -y0 ) , x1 -x0)
f(q) = n‧q - n‧p
totale: l'edge function
per un lato è
la coord baricentrica
ralativa al vertice opposto
(dopo aver diviso per
la somma delle 3 edge functions)
Marco Tarini ‧ Computer GraphIcs ‧ 2006/07 ‧ Università dell’Insubria