INTRODUZIONE
 I moti del cielo
 Modelli geocentrico ed eliocentrico
 Le leggi di Keplero e la legge di Newton
 Generalità sulle stelle
L'Universo
ha impiegato
miliardi di anni
a scrivere
la storia della creazione.
L'uomo,
senza dubbio,
dovrà continuare
a cercare
di imparare
a leggerla
ancora per molto tempo.
C.S.Powell
Astronomia
Dal greco astron (astro) e nomos (legge), è la scienza che studia le posizioni
relative, il moto, la struttura e l'evoluzione degli astri.
Diverse discipline concorrono oggi allo studio dell'Universo.
•L'Astronomia di posizione o Astrometria (è la più antica)
•La Meccanica Celeste
(insieme costituiscono l'Astronomia fondamentale o classica).
Nella seconda metà del XIX secolo è nata l’Astronomia Moderna:
•L’Astrofisica (studia la fisica e l’evoluzione degli oggetti dell’Universo):
•Astrofisica delle alte energie (studio dell'irraggiamento g, X e
ultravioletto)
•Astrofisica delle basse energie (irraggiamento nel visibile, infrarosso e
radio).
Un'altra distinzione viene fatta tra:
•Cosmogonia che studia la formazione e l'evoluzione dei corpi celesti
particolari (stelle, pianeti, galassie, ecc)
•Cosmologia che cerca di spiegare la formazione e l'evoluzione dell'Universo
considerato nella sua totalità.
•L’Astrochimica (si interessa della chimica extraterrestre)
•La Bioastronomia o Esobiologia o Astrobiologia che studia la possibilità di vita nel
cosmo.
Principio di uniformità della Natura
LE LEGGI DELLA NATURA SONO LE
STESSE IN TUTTE LE PARTI
DELL’UNIVERSO
Principio Copernicano
LA TERRA NON OCCUPA UNA
POSIZIONE SPECIALE
NELL’UNIVERSO
Alcuni concetti di
fisica
ONDE ELETTROMAGNETICHE
Se si produce una variazione periodica di un campo elettrico o
magnetico in un punto dello spazio si origina la propagazione di una
successione
continua
d’impulsi
elettromagnetici,
cioè
un’onda
elettromagnetica.
Le onde elettromagnetiche si propagano alla velocità della
luce, c=299.792,458 km/s.
Alle onde elettromagnetiche si estendono le definizioni di
lunghezza d’onda (l), periodo (T) e frequenza (n).
E’ fondamentale la relazione tra velocità di propagazione,
lunghezza d’onda e frequenza: c = ln
LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO
Le onde elettromagnetiche possono essere classificate in base alla
lunghezza d’onda o alla frequenza.
La luce visibile ha lunghezze d’onda comprese tra 400 nm (violetto)
e 750 nm (rosso).
Onde elettromagnetiche e
assorbimento atmosferico
Onde elettromagnetiche
Onde radio
Visibile
Infrarosso
Raggi X
I moti del cielo
Modelli
geocentrico
ed
eliocentrico
Tra i primi problemi che gli astronomi si sono trovati ad affrontare c’è
stata la spiegazione del moto dei pianeti.
La presenza di “cappi” mal si conciliava con l’idea greca di moti circolari
uniformi attorno alla Terra.
Traiettoria apparente di Marte fra il 10 maggio ed il 10 novembre 1971.
Modello delle sfere secondo Platone
Modello delle sfere secondo Eudosso
Secondo Eudosso solo le stelle
fisse
possedevano
un'unica
sfera.
La Luna e il Sole, ad esempio,
possedevano ben tre sfere
ciascuno.
Nel disegno si vede un corpo
celeste che si trova inserito in
un sistema di tre sfere legate
tra loro da vincoli di rotazione.
La sfera interna, sulla quale è
fissato il corpo celeste, ruota su
se stessa attorno un asse
vincolato alla seconda sfera, la
quale a sua volta ha l'asse di
rotazione vincolato alla terza
sfera, più esterna.
Teoria degli epicicli
Per un pianeta interno, come ad esempio Venere, il Sole ruota attorno alla Terra e
Venere, a sua volta, ruota attorno al Sole. Venere percorre quindi un piccolo "ciclo"
(epiciclo) che si trova su un'orbita più grande (deferente).
Un pianeta esterno, come ad esempio Marte, ruota attorno ad un centro C con lo
stesso periodo di rotazione del Sole attorno alla Terra e, nello stesso tempo, il
centro C ruota attorno alla Terra con lo stesso periodo di rotazione del pianeta
attorno al Sole (in questo caso la circonferenza descritta dal pianeta è l’epiciclo,
mentre quella descritta da C è il deferente.
Il Sistema Tolemaico
Claudio Tolomeo (circa 100 - 178
d.C.), nato ad Alessandria d'Egitto, fu
l'ultimo
rappresentante
dell'antica
astronomia greca.
Il suo merito principale fu quello di
aver raccolto tutto lo scibile astronomico
dei suoi tempi e, arricchitolo con le sue
esperienze, di averlo esposto nella sua
opera principale, la Mathematike Syntaxis
(Composizione Matematica), che tradotto
in arabo divenne Al Magisti, da cui il titolo
a noi conosciuto: Almagesto.
In essa aveva esposto il sistema
del mondo noto come sistema tolemaico.
La
Terra
era
al
centro
dell'Universo ed i pianeti, il Sole e la Luna
ruotavano attorno ad essa col sistema degli
epicicli e dei deferenti.
Tolomeo negava anche la rotazione della Terra intorno al proprio
asse, essendo il movimento diurno proprio della sfera celeste.
I primi capitoli dell’Almagesto trattano di coordinate celesti, di
trigonometria piana e sferica, di dimensioni della Terra, di eclissi di Sole e
di Luna, di strumenti di osservazione e c’è un catalogo delle posizioni di
1022 stelle.
Quello di Tolomeo fu per parecchi secoli il Libro dell'astronomia
perché i metodi matematici e geometrici di cui si servì lo fecero preferire
alle opere simili di quel tempo. Per la sua completezza ebbe una rapida ed
ampia diffusione.
Il sistema tolemaico è piuttosto complicato però risponde con una
buona approssimazione alle posizioni dedotte col calcolo matematico.
Le irregolarità dei moti dei pianeti, del Sole e della Luna sono
spiegabili mettendo la Terra non esattamente al centro delle orbite
planetarie, ma leggermente decentrata. Ciò permetteva anche di attribuire
la diversa velocità del Sole nel cielo e, soprattutto, l'alternarsi delle
stagioni.
Il Sistema Copernicano
Nel 1542 la pubblicazione e la
diffusione
dell'opera
De
Rivolutionibus Orbium Coelestium di
Nicolò Copernico (1473 – 1543)
mette in discussione il sistema
tolemaico.
Per la realizzazione del
sistema copernicano viene ripresa
una vecchia idea di Aristarco, che
può essere sintetizzata nel seguente
modo:
> la Terra compie una rotazione
attorno al proprio asse da ovest a
est in circa ventiquattro ore;
> la Terra non si trova al centro dell'Universo, ma solo dell'orbita lunare, e
compie un giro attorno al Sole nel corso di un anno;
> come la Terra i pianeti ruotano attorno al Sole che occupa il centro
dell'Universo.
Con questo modello si possono spiegare
facilmente gli strani moti dei pianeti.
La concezione eliocentrica era stata
accantonata per quasi venti secoli dagli studiosi
perché appariva attaccabile sia dal punto di vista
strettamente fisico, sia da quello metafisico.
Fisicamente, l'ipotesi che la Terra
orbitasse attorno al Sole veniva scartata per i
seguenti motivi:
• sembrava contraddire il senso comune che
prevedeva in una tale eventualità effetti
catastrofici quali crollo di edifici, caduta degli
oggetti non più lungo la verticale, eccetera;
• poiché l'angolo sotto cui le stelle vengono viste
da un osservatore posto sulla Terra dipende dalla
posizione della stessa, si dovrebbero osservare
variazioni nel corso dell'anno nella posizione
apparente delle stelle nella volta celeste
(parallasse).
Se a queste obiezioni si potevano in qualche modo contrapporre
argomentazioni scientifiche, ben poco poteva essere fatto se gli attacchi
avevano fondamenti di tipo metafisico o teologico.
La concezione aristotelica che aveva distinto in modo inequivocabile
l'Universo in due mondi separati, quello sublunare e quello celeste, era
difficilmente attaccabile senza scontrarsi anche con la Chiesa, che nel
frattempo aveva fatto sua questa concezione (vedi Giordano Bruno che
venne messo al rogo per le sue idee).
L'idea copernicana ponendo la Terra sullo stesso piano degli altri
corpi celesti, le faceva perdere quella posizione privilegiata che secoli di
dispute filosofiche le avevano attribuito. Non sorprendano dunque i dubbi e
le titubanze di Copernico, visto che doveva passare ancora più di un secolo
perché le sue idee fossero accettate dalla comunità scientifica, e visto che
ancora nel XVIII secolo tra i sostenitori delle due teorie si accendevano
dispute accanite.
Con Copernico erano state gettate le basi della moderna astronomia, ma per
arrivare ad una descrizione di tipo quantitativo del moto dei corpi celesti
dovevano passare ancora molti decenni.
Tycho Brahe
Un
ruolo
fondamentale
ebbero i dati di continue osservazioni
della volta celeste raccolti e
catalogati per più di trent’anni dal
matematico ed astronomo danese
Tycho Brahe (1546 – 1601).
Sulla base delle proprie
osservazioni propose una teoria che
si collocava a metà strada tra quella
tolemaica e quella copernicana.
Secondo Tycho i pianeti Mercurio e Venere ruotavano attorno al Sole,
Giove, Marte, Saturno ed il Sole stesso orbitavano attorno alla Terra.
Le leggi di Keplero
e
la legge di Newton
Le leggi di Keplero
Prima legge
Le traiettorie descritte dai pianeti attorno al Sole sono ellissi di cui il
Sole occupa uno dei fuochi
La distanza di un pianeta dal Sole non è costante.
Keplero chiamò
perielio (dal greco peri
= intorno e helios =
Sole) il punto di
minima distanza e
afelio (dal greco apo =
lontano e helios =
Sole) il punto di
massima distanza.
Le leggi di Keplero
Seconda legge
Il raggio vettore che congiunge il Sole con un pianeta descrive aree
uguali in tempi uguali.
Da questa legge segue
che la velocità con cui i
pianeti orbitano attorno
al Sole non è uniforme,
ma inversamente
proporzionale alla radice
quadrata della loro
distanza dal esso.
Poiché le aree sono uguali e vengono descritte dal raggio vettore in tempi
uguali ne segue che il tratto di orbita AA’ è minore del tratto BB’ per cui la
velocità in AA’ è minore di quella in BB’.
Le leggi di Keplero
Terza legge
I quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi dei
semiassi maggiori delle rispettive orbite.
T2
 costante
3
a
T è il tempo che un pianeta impiega a ruotare attorno al Sole e a è il
semiasse maggiore dell’orbita.
Utilizzando la legge della Gravitazione Universale di Newton si ricava il
valore della costante; la legge è data quindi da:
T 2 42

3
a
GMS
G (=6,67·10-11 N·m2/kg2) è una costante e MS è la massa del Sole.
La legge della Gravitazione Universale
Isaac Newton (1642-1727), avvalendosi del principio d'inerzia
enunciato da Galileo e di una brillante intuizione di Hooke (gli aveva infatti
consigliato di studiare il moto dei pianeti dividendolo in due parti: una prima
parte rappresentata dal moto inerziale lungo la tangente alla traiettoria, la
seconda rappresentata da un moto accelerato in direzione del Sole), scoprì
quale fosse il significato fisico delle leggi di Keplero.
Dal momento che il moto dei pianeti non è rettilineo ed uniforme,
deve esserci una forza diretta verso il Sole che regola, ma non causa il
moto.
Newton accertò che tale forza segue la legge dell'inverso del
quadrato della distanza.
I punti salienti del suo ragionamento sono:
1) tutti i corpi cadono in prossimità della superficie terrestre con
un'accelerazione pari a 9,8 m/s2;
La legge della Gravitazione Universale
2) la causa che fa cadere un corpo non viene meno qualunque sia l'altezza a
cui il corpo è posto; se così non fosse dovrebbe esistere una determinata
quota al di sopra della quale i corpi cessano di cadere e di pesare;
3) anche la Luna deve avere un peso e deve in qualche modo cadere sulla
Terra; questo significa che la presenza della Terra regola il moto orbitale
della Luna (potremmo dire che la Luna non cade affatto, ma se sulla Luna
non agisse alcuna forza, essa proseguirebbe in linea retta, mentre invece
viaggia lungo una traiettoria circolare, cosicché in realtà cade rispetto alla
posizione in cui si troverebbe se non vi fosse nessuna forza).
Da ciò Newton formulò la legge della gravitazione universale, che
possiamo enunciare come segue:
due corpi di masse m1 ed m2 esercitano l'uno sull'altro una forza,
diretta lungo la loro congiungente, che è direttamente proporzionale al
prodotto delle masse ed inversamente proporzionale al quadrato della
distanza fra i loro centri.
La legge della Gravitazione Universale
F G
m1  m2
r2
La costante G è nota come costante di gravitazione universale ed
assume nel Sistema Internazionale il valore
G = 6,6710-11 Nm2/kg2.
È importante capire quali estrapolazioni avesse dovuto compiere
Newton per giungere al risultato che la forza di gravità segue la legge
dell'inverso del quadrato della distanza.
In primo luogo il risultato ottenuto per il sistema Terra-Luna non
autorizzava a pensare che potesse essere altrettanto corretto in altri
sistemi con caratteristiche totalmente diverse da quello preso in esame.
Solo in tempi relativamente recenti si è potuto verificare che
ovunque nell'Universo la gravità varia come 1/r2.
La legge della Gravitazione Universale
In secondo luogo c’era il problema che il calcolo delle distanze usate
per rapportare tra loro g e aC,L (accelerazione centripeta della Luna) veniva
eseguito partendo dal centro della Terra.
Per poter giustificare questo calcolo Newton dovette sviluppare il
calcolo infinitesimale. Si può supporre che la massa di ciascun corpo sia
concentrata nel centro del corpo stesso (il baricentro).
Era opinione corrente che il moto dei pianeti si svolgesse attorno ad
un punto coincidente con il centro del corpo centrale (il Sole) ritenuto
immobile.
Newton superò questa concezione applicando al moto planetario la
sua terza legge del moto, il principio di azione e reazione.
Affermò che le azioni dei corpi che attraggono e che sono attratti
sono sempre reciproche ed uguali: perciò, se ci sono due corpi, nessuno dei
due può trovarsi in quiete, ed entrambi orbitano attorno a un centro comune
(il centro di massa del sistema).
La legge della Gravitazione Universale
Newton si chiese anche quale fosse la natura della gravità.
“Fin qui ho spiegato i fenomeni del cielo e del nostro mare mediante la
forza di gravità, ma non ho mai fissato la causa della gravità. Questa
forza nasce interamente da qualche causa, che penetra fino al centro del
Sole e dei pianeti […] e opera […] in relazione alla quantità di materia
solida. La sua azione si estende per ogni dove ad immense distanze,
sempre decrescendo in proporzione inversa al quadrato delle distanze. La
gravità verso il Sole è composta dalla gravità verso le singole particelle
del Sole […]. In verità non sono ancora riuscito a dedurre dai fenomeni la
ragione di queste proprietà della gravità, e non invento ipotesi.
[hypotheses non fingo] Qualunque cosa, infatti, non deducibile dai
fenomeni va chiamata ipotesi; e nella filosofia sperimentale non trovano
posto le ipotesi sia metafisiche, sia fisiche, sia delle qualità occulte, sia
meccaniche. In questa filosofia le proposizioni vengono dedotte dai
fenomeni e sono rese generali per induzione. In tal modo divennero note
l’impenetrabilità, la mobilità e l’impulso dei corpi, le leggi del moto e la
gravità. Ed è sufficiente che la gravità esista di fatto, agisca secondo le
leggi da noi esposte, e spieghi tutti i movimenti dei corpi celesti e del
nostro mare.”.
Generalità sulle stelle
La parallasse stellare
I primi tentativi di valutare le dimensioni dell’Universo risalgono al mondo
greco: Eratostene ha misurato il diametro della Terra, Aristarco e Ipparco
hanno proposto metodi per determinare la distanza del Sole e della Luna.
Conoscendo la distanza del Sole se ne può determinare la massa e quindi
con la terza legge di Keplero è possibile calcolare la distanza dei pianeti
del sistema solare.
Per la determinazione della distanza delle stelle più vicine si fa uso della
cosiddetta parallasse annua in virtù della quale le stelle vicine si spostano
rispetto a quelle più lontane a causa del moto della Terra attorno al Sole.
Lo spostamento massimo è dato dal diametro dell’orbita terrestre (circa
3·1011 m = 2 UA).
La parallasse stellare
Si noti che dal triangolo formato dalla Stella,
dal Sole e dalla posizione T2 della Terra si
ricava la relazione:
1 UA = d tan p
che per valori di p molto piccoli (misurati in
radianti) diventa:
d = 1/p UA
Si definisce quindi il parsec (= parallassesecondo, abbreviato pc), la distanza dalla quale
il raggio dell’orbita terrestre è visto sotto
l’angolo di 1”. Si ha:
1 pc = 2,06265·105 UA = 3,086·1016 m.
In astronomia si usa anche l’anno luce (a.l.),
cioè la distanza che la luce percorre in un
anno.
1 a.l. = 9,46·1015 m
1 pc = 3,26 a.l.
La parallasse stellare
La prima misura di parallasse fu fatta da Bessel nel 1837.
Solo agli inizi del 1900 si poterono misurare angoli di parallasse con
un errore dell'ordine di 0,01” mediante l’applicazione delle tecniche
fotografiche.
La stella più vicina al Sole è Proxima Centauri, la cui parallasse è p =
0,762", che corrisponde ad una distanza d = 1,3 pc = 4,3 a.l..
Il metodo trigonometrico per il calcolo della parallasse è valido solo
per le piccole distanze. Alla distanza di 4 pc si ha un errore del 2%, alla
distanza di 20 pc l'errore è già del 10%, infine alla distanza di 100 pc
l’errore diventa del 50%.
Le stelle comprese entro 4 pc dal Sole sono una trentina; quelle
comprese entro 20 pc sono circa 700.
La parallasse stellare
Altri metodi per la misura delle distanze in astronomia dipendono
dalla misura della parallasse.
L’8 agosto 1989, l’ESA (European Space Administration, l’Agenzia
Spaziale Europea) ha lanciato il satellite Hipparcos (High Precision
PARallax COllecting Satellite).
La missione è stata portata a termine il 15 agosto 1993 ed ha
permesso di misurare la posizione di circa 100.000 stelle con la precisione
di 0,001”.
In teoria ciò permetterebbe di misurare la parallasse delle stelle
con questa precisione e di dedurne le distanze fino a un massimo di 1.000
parsec = 3260 anni luce, ma in pratica si è arrivati solo a 1.000 anni luce !
Attualmente è allo studio dell’ESA la missione GAIA (Global
Astrometric Interferometer for Astrophysics) con lo scopo di misurare le
parallassi di 50 milioni di oggetti con la precisione di 10 microsecondi
d’arco, 100 volte superiore a quella di Hipparcos, il che permetterebbe in
teoria di misurare le distanze di tutte le stelle della Via Lattea (usando
come sfondo le altre galassie).
La magnitudine assoluta e relativa
L’illuminamento di uno schermo diminuisce in modo proporzionale al
quadrato della distanza tra lo schermo e la sorgente luminosa.
Se prendiamo una lampada da 100 W e la spostiamo dalla distanza di 1 m da
noi ad un’altra a 2 m, l’illuminamento che ne riceviamo diventa un quarto.
Definiremo luminosità intrinseca L, di una sorgente la potenza totale della
sorgente, ossia l’energia raggiante totale emessa in un secondo e
chiameremo flusso F attraverso una superficie S l’energia che attraversa
S in un secondo in direzione normale. Si definisce invece intensità luminosa
il flusso per unità di area attraversata.
Si chiama magnitudine (o anche grandezza) una quantità legata alla
luminosità delle stelle.
La magnitudine relativa m è la magnitudine di un oggetto celeste misurata
da Terra.
La magnitudine assoluta e relativa
Ipparco aveva suddiviso le stelle visibili ad occhio nudo in 6 classi di
magnitudini: le stelle più brillanti erano dette di prima grandezza, quelle
appena visibili ad occhio nudo erano di 6ª grandezza e le altre venivano
classificate entro questi due estremi.
Oggi possiamo dire che le stelle di prima grandezza sono circa 100
volte più luminose di quelle appena visibili ad occhio nudo.
La relazione tra la magnitudine delle stelle e la loro luminosità, che
conserva la classificazione di Ipparco, è nota come legge di Pogson :
F
m  m0  2,5log
F0
Se S è una stella di prima grandezza (ossia di magnitudine 1) ed S0
è una stella appena visibile a occhio nudo (ossia di magnitudine 6),
utilizzando la classificazione di Ipparco deve essere m – m0 = -5.
Inoltre risulta F/F 0=100. Da ciò si comprende perché viene scelto
il coefficiente -2,5.
La magnitudine assoluta e relativa
Si chiama magnitudine assoluta M la magnitudine che avrebbe un
oggetto celeste se fosse posto alla distanza convenzionale di 10 pc.
Tra la magnitudine relativa, la magnitudine assoluta e la distanza
dell’oggetto esiste la relazione:
m  M  5log d  5
Per le stelle vicine conosciamo la magnitudine relativa e la distanza
d (da misure di parallasse) è quindi possibile determinare M.
Se una stella è così lontana che la misura di parallasse è impossibile,
ma se esiste un metodo per misurare la magnitudine assoluta M, allora si
può determinarne la distanza d (in pc):
d  10
 m M 5 
5
m = m - M è detto modulo di distanza.
L’applicazione della relazione ora data non è così semplice. E’
difficile ricavare M; inoltre lungo la linea di vista si possono interporre gas
o polveri, che assorbono o diffondono parte della radiazione inviata
dall'oggetto verso la Terra. In questo modo il valore di m viene falsato.
Lo spettro
luminoso
Spettro di
emissione
Spettro di
assorbimento
Spettro atomico
Un atomo è costituito da un nucleo
centrale e da elettroni che orbitano attorno
su orbite ben determinate.
Gli elettroni possono muoversi su ben
determinate orbite.
L’atomo di idrogeno è costituito da
un protone e da un elettrone e i raggi delle
orbite permesse sono dati dalla relazione:
rn  5,3  1011n 2 m
con n = 1, 2, 3, . . .
Ad ogni orbita corrisponde una ben determinata energia e per
l’atomo di idrogeno si ha:
1
En  13, 6 2 eV
n
Spettro atomico
Nell’atomo di idrogeno l’elettrone si trova in genere nell’orbita
corrispondente ad n = 1, (stato fondamentale) le altre sono dette eccitate.
Per far sì che un elettrone salti da un’orbita più bassa n1 ad un’altra
più alta n2 si deve fornire un’energia E = E(n2) - E(n1).
Dopo un tempo brevissimo (meno di 10-8 s) l’elettrone ritorna
nell’orbita ad energia più bassa cedendo l’energia E sotto forma di un
fotone di frequenza n data dalla relazione di Planck:
E  hn
h = 6,83·10-34 J·s è la costante di Planck.
Un gas freddo posto tra una sorgente di radiazione
elettromagnetica e l’osservatore assorbirà fotoni di frequenze opportone
producendo uno spettro di assorbimento.
Un gas caldo (eccitato) emetterà fotoni di frequenze opportune
producendo uno spettro di emissione.
Lo spettro di alcune stelle
Classificazione delle stelle
Classe
spettrale
Temperatura
superficiale
Colore
Magnitudine
assoluta
O5
40.000 K
Blu intenso
- 5,8
B0
28.000 K
Blu
- 4,1
A0
9.900 K
Blu-bianco
+ 0,7
F0
7.400 K
Bianco
+ 2,6
G0 (Sole = G2)
6.000 K
Giallo
+ 4,4
K0
4.900 K
Arancione
+ 5,9
M0
3.480 K
Rosso-arancio
+ 9,0
R, N
3.000 K
Rosso
S
3.000 K
Rosso
Classificazione delle stelle
Altre informazioni possono essere fornite aggiungendo delle lettere
o altri simboli. Un numero romano serve per indicare la luminosità.
I
Super-supergiganti
II
Supergiganti
III
Giganti
IV
Giganti normali
V
Nane (stelle di sequenza principale). Il Sole è G2V
VI
Sottonane
VII
Nane bianche
Il colore delle stelle
Aldebaran
Betelgeuse
Capella
Deneb
Supergigante bianca (A2)
m=1,2-1,3 – d=1.800 a.l.
gigante rossa (K5)
m=0,8 – d=68 a.l.
37 RS
supergigante rossa (M2)
m=0,8 – d=650 s.l.
800 RS
Gialla (G5)
m=0,1 – d=43 a.l.
Mintaka
Procione
Rigel
Azzurra (B0)
m=2,1-2,3 – d=900 a.l.
Gialla (F5)
m=0,4 – d=11 a.l.
Azzurra (B8)
m=0,1 – d=900 a.l.
Il redshift
Le righe spettrali possono presentare uno spostamento verso la
parte rossa (redshift) o verso la parte violetta dello spettro (blushift).
Interpretando questo fenomeno come effetto Doppler, nel primo caso
l’oggetto si allontana, nel secondo si avvicina; conoscendo lo spostamento
delle righe spettrali è possibile misurarne la velocità radiale (cioè lungo la
congiungente osservatore-oggetto).
La teoria della relatività fornisce le formule pertinenti; se la luce di
lunghezza d’onda l viene inviata da una sorgente che si muove alla velocità v
verso un osservatore fermo, questi misura una lunghezza d’onda:
c v
l'  l
c v
Il redshift
Definiamo redshift la quantità:
l
z 
l
Si ha:
l l ' l
c v
z 


1
l
l
c v
Quindi la velocità della sorgente è data da:
z 2  2z
v  2
c
z  2z  2
Se v << c allora le relazioni possono essere semplificate:
v

l '  l  1   da cui
 c
v
z 
c
quindi
v  z c
Diagramma H-R
Nel
1913
il
danese
Hertzsprung e l'americano Russel
notarono che costruendo un grafico
dove in ascissa sia indicato l’indice di
colore (una grandezza legato alla
temperatura superficiale di una
stella) e in ordinata la magnitudine
assoluta di stelle di distanza nota, i
punti apparivano raggruppati in due
fasce molto strette, che non
cambiavano mai di forma anche
scegliendo un diverso campione di
stelle.
Queste due fasce furono
denominate sequenza principale e
ramo delle giganti; il grafico è oggi
noto
come
diagramma
H-R
(diagramma di Hertzprung e Russel).
Diagramma H-R
In base al diagramma H-R, ogni stella di sequenza principale avente
una certa temperatura superficiale, è caratterizzata da una data
magnitudine assoluta.
Il diagramma H-R può essere utilizzato per determinare la distanza
di ammassi di stelle. Siamo certi che esse hanno, più o meno, tutte la stessa
distanza da noi.
Tracciando il diagramma H-R con in ordinata la magnitudine
apparente delle stelle dell'ammasso e lo confrontiamo che il diagramma H-R
di stelle poste a distanza nota (che quindi riporta in ordinata la magnitudine
assoluta). Per ogni stella dell'ammasso possiamo facilmente risalire alla
magnitudine assoluta, essendo questa la stessa di ogni stella con lo stesso
indice di colore posta sulla sequenza principale.
In tal modo possiamo misurare la distanza degli ammassi aperti
della Galassia e anche degli ammassi globulari.
FINE
Deduzione della legge di Newon
Per verificare quantitativamente l'esattezza delle sue supposizioni
Newton ipotizzò che la forza che faceva cadere i corpi in prossimità della
superficie terrestre fosse la stessa che mantiene la Luna nella sua orbita.
I dati in possesso di Newton erano i seguenti:
raggio della Terra: RT ~ 6.400 km
distanza Terra-Luna: DT,L ~ 384.000 km
periodo di rivoluzione della Luna: TL = 29 giorni.
Mediante questi dati è possibile calcolare le grandezze cinematiche
relative al moto della Luna e precisamente:
velocità orbitale della Luna: vL  1 km/s
accelerazione centripeta della Luna: aC,L = 0,0027 m/s2.
Il rapporto tra la distanza Terra-Luna ed il raggio della Terra è:
DT,L
RT

3,84  108
6,4  10
6
 60
Deduzione della legge di Newon
La Luna si trova ad una distanza dal centro della Terra che è 60
volte più grande della distanza a cui si trova la “mela” dallo stesso centro.
Se calcoliamo il rapporto tra l'accelerazione centripeta della Luna e
l'accelerazione gravitazionale della “mela” in prossimità della Terra
otteniamo:
aC,L
g
0,0027
1


9,8
3600
la Luna cade con un'accelerazione che è 3.600 volte più piccola di quella con
cui cade la “mela”.
Questo indusse Newton a pensare che la forza di gravità variasse
con l'inverso del quadrato della distanza:
F
1
r2
Deduzione della legge di Newton
Nel libro III, Proposizione IV Teorema IV, Newton afferma:
“La Luna gravita verso la Terra, ed è continuamente ritratta dal
moto rettilineo e trattenuta nella sua orbita dalla forza di gravità”
e ne dà una dimostrazione che viene riportata con un linguaggio più moderno.
L’accelerazione g con cui cade un corpo in prossimità della Terra è
3.600 volte maggiore dell’accelerazione a con cui cade la Luna; osserviamo
anche che in prossimità della superficie terrestre un corpo cade di una
quantità h=5 m nel primo secondo dopo l’abbandono dello stato di
quiete[h=½g(1s)2], mentre lo spazio s di cui cade la Luna nello stesso
intervallo di tempo è dato da: s = ½a(1s)2. Da queste considerazioni si ricava
che:
1
2
g 1s
g
h 2  


1
2
s
a
a 1s 
2
Deduzione della legge di Newton
quindi
a
1
s h
 5m  1,4mm
g
3600
cioè, in 1 s, la Luna cade di 1,4 mm.
Conoscendo il raggio dell’orbita
lunare (DT,L) e il tempo che la Luna impiega a
girare intorno alla Terra (TL), possiamo
calcolare quale tratto (d) percorrerebbe la
Luna, in 1 s, se non cadesse.
d  vt 
2DT,L
TL
t 
2  384.000km 
 1s   1km
29giorni
Deduzione della legge di Newton
Indicando con s la quantità della quale cade in 1 s la Luna, dal
triangolo rettangolo TLP si ricava:
2
2
TL  LP  TP

2

DT2,L  d2  DT,L  s 2
DT2,L  d2  DT2,L  2sDT,L  s2
d2
s
 1,3mm
2DT,L
Si è trascurato s2 perché piccolo rispetto agli altri termini.
Si deduce che la Luna, in 1 s, cade di circa 1,3 mm.
Il metodo di Eratostene
Eratostene calcolò il diametro
della Terra basandosi sul fatto che
un bastone verticale a Siene
(Assuan) in Egitto, nel giorno del
solstizio d'estate, non proietta
ombra.
Nello
stesso
giorno
dell'anno, e alla stessa ora, un
uguale bastone ad Alessandria
proietta un’ombra e indica che i
raggi del Sole hanno un’inclinazione
di 7°12' rispetto alla verticale. Se Alessandria si trova esattamente a nord
di Siene (come Eratostene credeva), la differenza di latitudine tra i due
luoghi è di 7°12'. La distanza tra le due città era stimata in 5.000 stadi ( 1
stadio = 157 metri). Era quindi possibile calcolare il diametro terrestre:
7°12' rappresentano un cinquantesimo dell'angolo giro, quindi anche la
distanza Siene-Alessandria è un cinquantesimo della circonferenza
terrestre. Eratostene ottenne un valore del diametro terrestre di 12.629
km. La misura oggi accettata è di 12.756 km per il diametro equatoriale e
12.712 km per quello polare.
Il metodo della dicotomia lunare di Aristarco
Quando la Luna si trova al primo o all’ultimo quarto (in quadratura) appare
metà in luce e metà in ombra. La congiungente Sole-Luna (SL) e quella
Terra-Luna (TL) formano un angolo retto; misurando l’angolo STL = q (si può
fare direttamente nel cielo misurando la distanza angolare fra il Sole e la
Luna quando entrambi sono visibili), si hanno i tre angoli del triangolo STL e
quindi si possono conoscere i rapporti fra i lati.
Aristarco prese q = 87° ed ottenne TL/TS  1/19 (cos 87°  1/19), cioè il
Sole è 19 volte più lontano della Luna.
In realtà q  89°45’ e quindi TL/TS  1/389 da cui si ricava che il Sole
dista dalla Terra 389 volte più della Luna.
Distanza del Sole e della Luna
Nella figura sono rappresentati il Sole con centro in O, la Terra con
centro in C, ed un arco IMF dell’orbita lunare (la figura non è in scala).
I è il punto in cui la Luna entra in eclisse, M il punto centrale del fenomeno
ed F quello di uscita dall’ombra. Si suppone che l’eclisse sia centrale, cioè
che nella fase centrale Sole, Terra e Luna siano sulla stessa retta.
S è la misura dell’angolo sotto cui dal Sole si vede il raggio terrestre, cioè
la parallasse del Sole; L è la parallasse della Luna.
L’angolo r è il semidiametro apparente del Sole; è noto che vale 16' (dalla
Terra il disco del Sole ha mediamente un diametro angolare di 32’); infine
j è l’arco entro cui la Luna è in eclisse.
Distanza del Sole e della Luna
È noto che un’eclisse centrale dura due ore e mezzo, la metà di tale arco,
cioè l’angolo j, viene percorsa quindi in un’ora e 15 minuti (= 1,25 ore).
Nel suo moto attorno alla Terra la Luna, in cielo, si sposta mediamente di
circa 13° in 24 ore, si può scrivere la proporzione
j : 1,25 = 13° : 24
dalla quale si ricava che j = 40'.
Poiché gli angoli (r + j) e (S + L) sono supplementari dello stesso angolo
SCF, si ha
(S + L) = (r + j) = 16’ + 40’ = 56'.
Distanza del Sole e della Luna
I triangoli CTS e CTF sono rettangoli in T, si ha quindi: S + L
TC = CS sen S
e
TC = CF sen L.
CS è la distanza del Sole dalla Terra (la indichiamo con dS) mentre CF è la
distanza della Luna dalla Terra (la indichiamo con dL).
Poiché gli angoli in gioco sono “piccoli” valgono le approssimazioni:
sen S = S
e
sen L = L.
Si ha quindi: TC = dSS e TC = dLL. da cui segue: dS/dL = L/S.
Ipparco era a conoscenza del valore trovato da Aristarco per il rapporto
dS/dL (= 19); si ottiene L = 19S.
Ricordando che S + L = 56’ si ottiene:
S = ~ 3'; L = ~ 53'.
Distanza del Sole e della Luna
Oggi sappiamo che la parallasse solare è 8,79” e perciò il valore trovato da
Ipparco era in eccesso per un fattore circa 20; la parallasse della Luna
invece era assai prossima al vero, che è 57', un errore quindi solo del 7%.
Il grande errore nel risultato è dovuto al valore dato da Aristarco per il
rapporto fra le distanze del Sole e della Luna.
Conoscendo il raggio della Terra TC (vedi Eratostene) utilizzando:
dS = TC/sen S
e
dL = TC/sen L
si ha:
dS  7235000 km
e
dL  410000 km
La distanza del Sole corrisponde a circa 1100 volte il raggio terrestre; oggi
sappiamo che è 23500 volte.
Per quanto l’errore sia notevole si ricavava che il Sole, apparendo di circa
mezzo grado, doveva essere un globo 5 volte più grande in diametro del
globo terrestre; risultato molto importante se si considera che in epoca
successiva c’erano discussioni tra chi riteneva il Sole un immenso astro
dominante il cosmo e chi un piccolo globo di fuoco entro l’atmosfera
sovrastante la Terra piatta.