Distanza e indicatori di distanza
In astronomia, la misura diretta della distanza r al generico corpo celeste P è di
solito impossibile, eccetto per pochi e particolari casi (corpi del sistema
Solare, stelle vicine), mediante la misura delle parallassi trigonometriche
diurne (linea di base: raggio equatoriale terrestre) e annue (linea di base:
raggio dell'orbita terrestre), che qui esponiamo ma di cui parleremo in dettaglio
più avanti.
Nella stragrande maggioranza dei casi ci dobbiamo accontentare di indicatori
di distanza, soggetti a una varietà di errori sistematici.
Dunque, l'astronomo non può ottenere direttamente (x, y, z), mentre gli è
possibile misurare con grandissima precisione i due angoli ( ). Noi vediamo
infatti tutti i corpi celesti come sorgenti di luce (puntiformi nel caso delle stelle,
estesi per Sole, Luna, nebulose etc.) proiettate su una sfera celeste
bidimensionale con l'osservatore al centro; il raggio della sfera è arbitrario,
lo considereremo infinito quando guardiamo la sfera dal centro, oppure unitario
quando la guardiamo dall'esterno.
24/01/2005
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AA 2004/05
1
Parallassi (trigonometriche) diurne
Per gli oggetti del sistema solare, il raggio terrestre è una
base sufficientemente lunga, mediante la quale si definisce la
parallasse orizzontale diurna (cioè l’angolo sotto cui dal pianeta o
cometa o asteroide si vede perpendicolarmente il raggio
equatoriale terrestre):
- la parallasse orizzontale diurna del Sole vale circa 8”.9, e la
distanza corrispondente, cioè circa 206264.8x6380 = 1.5x108 km,
si dice Unità Astronomica (che per ora possiamo identificare con
la distanza media Terra-Sole).
- La parallasse orizzontale della Luna e’ di circa 1 grado.
- Quella dei pianeti cambia con la loro posizione lungo l’orbita, ad
es. per Venere varia tra 5" e 34".
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2
Parallassi (trigonometriche) annue
Al di fuori del sistema solare, la parallasse trigonometrica annua,
cioè l’angolo sotto cui dalla stella si vede perpendicolarmente
l’Unità Astronomica,, è in pratica l’unico indicatore di distanza di
alta precisione. La distanza da cui l’UA sottende un angolo di 1” si
dice parsec; evidentemente:
1 pc = 206264.8 UA  2x106x1.5x108 km  3.1x1013 km
Se misuriamo parallassi con un errore   0”.001 (come con
Hipparcos), l’orizzonte di Universo misurabile direttamente è di
appena 1/3  300 parsec.
Al di là, dobbiamo usare indicatori di distanza opportunamente
calibrati sulle stelle più vicine.
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3
Alcuni indicatori di distanza
Luminosità assoluta (parallassi fotometriche)
Variabilità fotometrica (es. Stelle RR-Lyr, Cefeidi, etc.,
relazione periodo-luminosità assoluta)
Diametro apparente (ad es. delle nebulose planetarie)
Moti propri (parallassi secolari, statistiche)
Classificazione spettrale (raggio e luminosità, parallassi
spettroscopiche)
Assorbimento interstellare
Curva di rotazione galattica
Velocità radiale (in Cosmologia: espansione dell’Universo)
….
Alcuni di questi indicatori sono di carattere statistico, si
applicano cioè a particolari gruppi di oggetti, ma non dicono
molto sul singolo oggetto.
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4
La sfera celeste - 1
Rimandando a successive lezioni lo sviluppo dell’argomento
‘parallasse’, ritorniamo ora al modello di sfera celeste di raggio indeterminato.
Ciò significa anche implicitamente che il centro della sfera celeste, a tutto rigore
passante per l'osservatore (sfera topocentrica, sistemi di riferimento topocentrici),
all'atto pratico può essere trasferito nel centro della Terra, o del Sole, o del
baricentro del sistema solare (sfera geocentrica, eliocentrica, baricentrica) senza
che ci si debba preoccupare di tale traslazione a meno che la distanza al corpo
celeste in esame sia piccola. Dovremo pertanto fare attenzione per la Luna, i
pianeti, il Sole, gli asteroidi, le comete, le stelle vicine, ma per la gran parte delle
stelle, per le galassie e i corpi a distanza cosmologica l'origine del riferimento di
coordinate è irrilevante, almeno sin che ci si limita alle posizioni apparenti in
ambito prerelativistico.
Sulla sfera celeste, possiamo misurare distanze angolari relative (ad es.
tra due stelle) ancor prima di aver istituito un vero sistema di riferimento, e
dunque possiamo usare cerchi massimi e angoli al centro. La Luna e il Sole
forniscono un grossolano indicatore per osservazioni visuali, avendo entrambi i
corpi diametro angolare apparente di circa mezzo grado.
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5
La sfera celeste - 2
Con dispositivi puramente meccanici, ad es. l'occhio più traguardi e livelle (i
soli mezzi disponibili fino agli inizi del XVII secolo), si potevano
raggiungere precisioni di 1 o 2 primi d'arco (una avvertenza, la visione
fornisce impressioni associate con archi, non con angoli; per questa ragione
per esempio la Luna all'orizzonte sembra molto più grande che allo Zenit).
Con dispositivi ottici, la precisione sulla distanza e/o posizione relativa può
raggiungere il millesimo di secondo d'arco; con la tecnica radio della VLBI
si arriva a meglio del decimillesimo di secondo d'arco.
Molto più delicato è il problema di definire e mantenere un sistema di
riferimento assoluto, coerente su tutta la sfera celeste, in modo da operare
con angoli e direzioni dal centro.
Il satellite europeo Hipparcos, i cui dati divennero disponibili dal 1997, ha
portato a sostanziali miglioramenti rispetto ai cataloghi precedenti, grazie a
due cruciali vantaggi, cioè l'assenza di orizzonte e l'assenza di
rifrazione atmosferica.
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6
Zenit e Polo Celeste
Da ogni località sulla terra, la
volta celeste appare ruotare
attorno a una direzione che
definisce i poli celesti, di cui solo
uno è visibile sopra all’orizzonte.
Si noti la località della
costruzione, ciascun luogo ha
associato un sistema di cerchi
verticali rispetto ai quali la volta
celeste ruota in continuazione.
Le stelle sorgono a Est e
tramontano a Ovest.
Una stella come X, il cui cerchio parallelo non va mai sotto l’orizzonte, si dice
circumpolare (per quella località), ed è visibile tutta la notte. V’è comunque
tutta una calotta sferica che non sorge mai sopra l’orizzonte, ed è invisibile da
quella data località (tranne che all'equatore).
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7
Il sistema Alt-Azimutale
Il sistema Alt- Azimutale (o orizzontale) si basa sul piano orizzontale e sulla
retta ad esso perpendicolare, cioe’ la verticale. Almeno in linea di principio,
questo sistema si puo’ realizzare immediatamente con dispositivi semplici,
quali il filo a piombo e la livella. I punti in cui la verticale taglia la sfera
celeste si chiamano rispettivamente Zenit Z (sopra alla testa), e Nadir (sotto i
piedi, inosservabile) Z’. Il piano passante per l’osservatore e perpendicolare
alla verticale (ad es. la superficie libera di un liquido) si chiama orizzonte
astronomico, da non confondere con l'orizzonte visibile ad es. da un aereo.
Consideriamo ora il polo celeste P, e conduciamo il grande cerchio per P e Z;
questo cerchio e’ il meridiano dell’osservatore, e ovviamente deve contenere
anche Z’ e l’altro polo S. Il meridiano taglia l’orizzonte in due punti, cioè il
vero Nord (dal lato di P rispetto a Z) e vero Sud. Ogni altro circolo passante
per Z, Z’ (cioè contenente la verticale) si chiama appunto circolo verticale. In
particolare quello a 90° dal meridiano si chiama primo verticale; esso
definisce sull’orizzonte i punti di vero Est (E) e vero Ovest (W). Questi
quattro punti sull’orizzonte N,S,E,W sono i punti cardinali.
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8
La sfera altazimutale
0h A 24h, 0° A 360°
0° h 90°
L’altezza del Polo celeste visibile sopra
all’orizzonte si dice latitudine astronomica  del
luogo. Con termine arabo, si dicono almucantarat,
o almucantar, i paralleli di altezza. Data la stella
X diremo azimut A l'arco SX' o l'angolo al centro
SOX', e altezza h l'arco X'X ovvero l'angolo
X'OX. La coppia (A, h) dipende dalla località e
cambia con il passare dei minuti causa la
rotazione della volta celeste. Se h < 0 l'oggetto è
invisibile (sotto all'orizzonte).
Due avvertenze: 1- in molte applicazioni l'azimut si conta da N e non da S, e in alcuni
sistemi il verso dell'angolo è antiorario. 2 - talvolta conviene usare l'angolo z = 90-h,
detto distanza zenitale.
Per passare dalla sfera topocentrica a quella geocentrica si deve conoscere la posizione
della località sull’ellissoide, con il metodo visto in precedenza. Questo passaggio è
necessario quando si osservano corpi a piccola distanza dall’osservatore, ad es. quelli
del Sistema Solare (pianeti, asteroidi, comete).
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9
Angolo Orario e Declinazione (sistema orario)
Sulla sfera celeste, il meridiano taglia
l’equatore celeste dalla parte del
Sud nel punto M (mezzocielo). Per
ogni stella X, si conduca il cerchio
massimo passante per il polo visibile
P (detto cerchio orario di P), cerchio
che evidentemente passa anche per
l’altro polo, e che interseca l’equatore
in X’. Diremo angolo orario HA e
declinazione  di X la coppia di
coordinate angolari:
HA(X) = arco MX’
(X) = arco X’X
o i corrispondenti angoli al
centro.
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10
Sistema Orario
Ripetendo, sia X’ l’intersezione tra cerchio orario e equatore: si chiamerà
angolo orario di X, HA(X), l’arco MX’, usualmente contato verso Ovest da
M, e espresso in (h m s) tra 0h e 24h :
HA(X) = arco MX’ ,
0h HA(X) 24h
(sono possibili altre scelte, ad es. è intuitivo misurare HA positivo verso W
da 0h a 12h, e negativo verso E da 0h a –12h, così come si possono usare
gradi o radianti).
Quando HA = 0h , si dice che la stella è in culminazione superiore, quando
HA = 12h , la si dice in culminazione inferiore.
La seconda coordinata di X, chiamata declinazione , è l’arco X’X, contato
in (° ’ ”) da 0° a 90°, positiva verso il Polo celeste Nord, e negativa verso il
Polo celeste Sud:
 (X) = arco X’X , -90°   (X)  +90°
24/01/2005
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11
L’eclittica
Consideriamo il luogo occupato dal Sole durante il suo moto annuale
sull’eclittica, cioè il cerchio maggiore descritto in un anno alla velocità
angolare di circa 1°/giorno, in senso diretto (verso Est). L’eclittica è inclinata
sull’equatore di un angolo   23°27’, angolo detto obliquità dell’eclittica.
Equatore e eclittica si intersecano in due punti opposti, detti equinozi; quello
vernale è dove il Sole (indicato con ⊙) transita all’inizio della primavera,
attorno al 21 marzo; quello autunnale si ha 6 mesi più tardi, attorno al 21
settembre. In entrambi i punti si ha  (⊙) = 0°, ma la derivata of  (⊙) è
positiva nel primo caso, negativa nel secondo. Il punto vernale si indica
usualmente con il segno astrologico dell’Ariete, graficamente approssimato
con la lettera greca  (gamma), il punto di autunno con il segno astrologico
della Libra , approssimato con la lettera greca  (Omega).
I punti sull’eclittica a 90° dagli equinozi si chiamano solstizi, rispettivamente
di estate (circa il 21 giugno) e di inverno (circa al 22 dicembre); la
declinazione del Sole in questi punti è ⊙ =  .
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12
Equatore celeste e eclittica
I grandi cerchi passanti per i
poli e gli equinozi o i solstizi,
si dicono coluro degli
equinozi (o rispettivamente
dei solstizi).
I poli dell’eclittica
appartengono al coluro dei
solstizi.
Il Polo eclitticale E e’ nella
costellazione del Draco,
vicino alla nebulosa gassosa
NGC 6543. La stella brillante
piu’ vicina a E e’  Draconis,
di quarta magnitudine visuale,
a circa 3° di distanza.
24/01/2005
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13
Ascensione Retta e Declinazione
(sistema equatoriale)
Data una stella X, si conduca il grande cerchio per
il polo celeste NCP e X, che interseca l’equatore
in X’; come origine della prima coordinata
angolare si scelga il punto vernale (o equinozio)
, e si misuri l’arco X’ in senso diretto: questo
arco e’ la Ascensione Retta di X, indicata di
solito con la lettera greca , arco X’ = AR(X) =
(X), e misurata in (h m s) da 0h a 24h. Si noti il
verso di , opposto a quello di HA. L’ascensione
retta può anche essere definita come l’angolo al
polo tra l’angolo orario della stella e il coluro
vernale. Per il Sole, agli equinozi, ⊙ = 0h and
12h.
La declinazione di X e’ definita come prima,  (X) = arco X’X, 0 | (X)| 90°.
Il polo nord dell’eclittica E ha  (E) = 18h,  (E) = 90° - .
24/01/2005
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Il Tempo Siderale
Si definisca ora tempo siderale ST l'angolo orario del punto :
ST  HA(
)
che è quantità continuamente variabile tra 0h e 24h, a causa della rotazione della
Terra. Prendendo in considerazione il verso opposto di HA rispetto a quello di ,
per una qualunque stella X abbiamo la relazione fondamentale :
 (X)  ST  HA(X)
che fissa la trasformazione tra il sistema orario e quello equatoriale. L'applicazione
pratica della formula richiede che si consideri la convenzione adottata per HA,
perché per definizione 0h    24h. Ad ogni modo, quando la stella transita nel
meridiano superiore (HA = 0h), la sua ascensione retta coincide con il tempo
siderale. Questa importantissima relazione può essere letta in entrambi i versi: se
conosciamo bene ST allora determiniamo la  delle stelle che transitano in
meridiano; se invece abbiamo un catalogo di stelle fondamentali per le quali
conosciamo bene la , allora determiniamo bene ST misurando i transiti di tali
stelle.
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Il Tempo Siderale e la rotazione della Terra
ST è quantità variabile nel tempo, causa la rotazione della Terra, in modo
abbastanza regolare; anzi, per ora ignoriamo qualunque deviazione dalla
uniformità. Potremmo allora costruirci un orologio speciale la cui lettura
coincida ad ogni istante con ST. Per tutte le applicazioni pratiche potremmo
allora legittimamente identificare ST con un tempo, purché ci rimanga ben
presente la definizione rigorosa di ST come angolo istantaneo sull'equatore
celeste tra il meridiano e il punto .
Questo è il metodo usato negli ultimi secoli per costruire i cataloghi
fondamentali di stelle.
Le osservazioni mostrano tuttavia che la rotazione della Terra non è così
uniforme come si poteva supporre nel passato. Sia la direzione che il modulo
del vettore rotazione diurna mostrano andamenti secolari e fluttuazioni a corto
periodo (precessione, nutazione, nutazione euleriana, irregolarità varie) che
sono ben misurabili. Si deve dunque fare molta attenzione nell'uso di ST come
unità di tempo.
25/01/2005
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16
I moti dell’equinozio - 1
L'ascensione retta rimarrà costante tanto quanto il punto vernale  rimane
fisso rispetto alle stelle. In realtà,  è soggetto a moti secolari e periodici
dovuti all'osservatore, e le coordinate stesse avranno piccole e lente
variazioni a causa del moto delle stelle rispetto al Sole (moti propri).
Anche l'obliquità dell'eclittica  non è proprio costante. Tuttavia, su corte
scale temporali (ad es. 1 anno), la coppia ordinata (, ) rimarrà quasi
costante, e per periodi più lunghi si possono derivare formule di correzione
accurate. Dunque, il sistema equatoriale è quello fondamentale
per ogni accurata descrizione della volta celeste, ed è quello usato dai
maggiori cataloghi stellari.
Alcuni cataloghi: AGK3 e FK4, SAO PPM, FK5, USNO, HIPPARCOS,
TYCHO, GSC (HST).
Tali cataloghi danno la coppia (, ) a un’epoca iniziale (oggi J2000.0, nel
passato recente B1950.0), e talvolta anche i moti propri, oltre alla
magnitudine e (non sempre) il tipo spettrale.
25/01/2005
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17
I moti dell’equinozio - 2
Il punto vernale  ha tre tipi di moto:
•La precessione lunisolare, che lo fa scivolare sull’eclittica incontro al Sole di
circa 52”.3 all’anno; è dunque un moto periodico con lunghissimo periodo (circa
26.000 anni, per cui lo si può considerare un effetto secolare)
•La precessione planetaria, che altera  a livello di –0”.47/anno, anche in
questo caso con lunghissimo periodo (oltre 100.000 anni)
•La nutazione, un insieme di fenomeni a corto periodo dovuti alla variabile
distanza Terra-Luna (periodo 1 mese lunare), alla retrogradazione dei nodi
dell’orbita lunare (18.6 anni), alla variabile distanza Terra-Sole (periodo 1 anno),
a un insieme di cause geofisiche. Servono oltre 110 termini per esprimere la
nutazione con sufficiente precisione!
Le coordinate equatoriali osservate a una certa data vanno pertanto corrette a
una certa epoca (ad es. al J2000.0) con opportune formule; se si tiene conto solo
dei fenomeni secolari (precessione luni-solare + precessione planetaria =
precessione generale) si hanno le cosiddette coordinate medie.
25/01/2005
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AA 2004/05
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Cataloghi
fondamentali
La costruzione di un catalogo fondamentale è una operazione molto complessa.
Molti cataloghi stellari hanno infatti una natura differenziale, cioè danno posizioni
relative a un insieme di stelle fondamentali. Dal 1964 si usò il catalogo detto FK4,
contenente circa 1500 stelle brillanti. La sua revisione, FK5, pubblicata nel 1988
(Fricke et al.) dà le posizioni e moti propri di 1535 stelle brillanti, con una nuova
determinazione della posizione di , con l'adozione delle nuove costanti di
precessione raccomandate dalla International Astronomical Union (IAU) nel 1976,
e l'eliminazione della aberrazione ellittica dalle coordinate medie. Fu pubblicata
anche una estensione of the FK5 contenente altre 3117 stelle secondarie più
deboli, fino alla mag. 9.5.
Dal 1997, è disponibile un nuovo riferimento fondamentale, chiamato
International Celestial Reference Frame (ICRF), basato sulle posizioni di un
piccolo numero di radiosorgenti extragalattiche. Il catalogo basato su questo
riferimento, la cui origine è stata traslata nel baricentro del Sistema Solare, è
chiamato International Celestial Reference System (ICRS). Il catalogo del satellite
astrometrico europeo Hipparcos è stato riferito a questo sistema, e così lo sono le
effemeridi dei corpi del Sistema Solare System pubblicate dal Jet Propulsion
Laboratory.
25/01/2005
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Coordinate eclitticali
Il sistema di coordinate eclitticali
ha l'eclittica come piano
fondamentale, piano che è
inclinato su quello dell'equatore
celeste dell'angolo  (obliquità
dell'eclittica).
L'origine del sistema di
coordinate è lo stesso punto
vernale  origine delle coordinate
equatoriali.
Le longitudini eclitticali  si danno di solito in (° ’ ”) tra 0° and 360°, nello stesso
verso diretto delle Ascensioni Rette.
Le latitudini eclitticali  si danno in (° ’ ”) tra 0° e 90°, come le declinazioni.
25/01/2005
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20
Coordinate galattiche
Nel sistema galattico, il piano fondamentale
è determinato dalla distribuzione nello spazio
della materia cosmica. Dunque la costruzione
pratica del riferimento non dipende da misure
di direzione ma da conteggi di stelle (nel
vecchio sistema detto ( lI,bI)), oppure dalla
determinazione della brillanza superficiale
dell'Idrogeno interstellare, cioè della
intensità della riga 21-cm (1420 MHz) nel
nuovo sistem (lII,bII), che ora viene indicato
con (l,b).
Le coordinate equatoriali del Polo Nord Galattico G, l'angolo di posizione GC e le
coordinate equatoriali del centro galattico da tale polo sono (B1950.0) :
G = 12h49m, G = +27°.4, GC = 123°, GC = 17h45m, GC = -28°.6
Le coordinate galattiche non sono mai usate per dare posizioni di alta precisione.
25/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
21
Coordinate galattocentriche
Non si confondano le coordinate
galattiche, il cui centro è sempre
l'osservatore (o il Sole all'atto pratico),
con le coordinate galattocentriche
(X, Y, Z), che hanno lo stesso piano
fondamentale, ma la cui origine è il
centro della Via Lattea. La distanza del
Sole da tale centro, situato nella
costellazione del Sagittario, si stima a
circa 8 kiloparsec. La direzione del CG
è individuata da una forte
radiosorgente. Probabilmente al centro
c'è un buco nero di massa di qualche
milione di masse solari.
Foto del Centro della Via Lattea (Anglo
Australian Observatory)
26/01/2005
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AA 2004/05
22
La rotazione della Via Lattea
Il Sole, e così tutto il Sistema Solare, orbita attorno al Centro Galattico su
un'orbita quasi circolare (e quasi piana) alla velocità di circa 250 km/sec. La
durata di una rivoluzione completa è di circa 220 milioni di anni. Dunque, se
il Sistema Solare si è formato circa 4.6 miliardi di anni orsono, il Sole ha
compiuto una ventina di rivoluzioni complete.
In aggiunta a questa rivoluzione galattica, il Sole si muove rispetto alle stelle
vicine (moto peculiare del Sole) in direzione del cosidetto 'apice del moto
solare' (posizione approssimata  = 18:01,  = +26 al 2000.0) con una
velocità di circa 20 km/s. Questo moto fu scoperto da William Herschel nel
1783.
Si faccia attenzione che il verso della rotazione della Galassia fa sì che in
effetti quello che noi chiamiamo Polo Nord Galattico (situato nella
costellazione della Coma) sia il polo sud nella usuale definizione collegata
con il verso del vettore 'momento angolare'.
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
23
Alcune galassie a spirale
M31 (sopra), M33 (a lato). Foto
Prese con i telescopi di Asiago
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
24
Trasformazioni di coordinate
Questo Capitolo considera varie regole per trasformare le
coordinate da un sistema a un altro. Verranno usate due
tecniche, quella della rotazione di matrici e quelle della
trigonometria sferica.
E' utile ricordare che nella gran parte dei casi le trasformazioni
saranno rotazioni rigide attorno all'origine, con in più talvolta
una traslazione da un'origine all'altra.
Più avanti tuttavia incontreremo fenomeni che distorcono
(beninteso, lievemente) l'aspetto della volta celeste, ad es.
l'aberrazione, o la deflessione gravitazionale della luce.
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
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25
Trasformazioni mediante rotazione di matrici
Dati due riferimenti Cartesiani ortogonali (x, y, z) e (X, Y, Z) aventi la stessa origine
O, per trasformare l'uno nell'altro si possono usare le seguenti relazioni
 X  x cos xX  y cos yY  z cos zZ

Y  x cos xY  y cos yY  z cos zY
 Z  x cos xZ  y cos yZ  z cos zZ

o anche, con notazione matriciale:
X
x
 
 
Y

R
 
 y
Z 
z
 
 
26/01/2005
 cos xX

R   cos xY
 cos xZ

cos yX
cos yY
cos yZ
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
cos zX 

cos zY 
cos zZ 
26
Da cartesiane a polari
Dato il punto P(x, y ,z) = P(X, Y, Z) a distanza r da O, si introduca il sistema
polare (r, , ), e il sistema ruotato (sempre per O) (R, , B) ( si è detto che
alcuni autori preferiscono usare il complemento di  come angolo polare):
 x  r cos  cos 

 y  r cos  sin 
 z  r sin 

 X  r cos B cos 

Y  r cos B sin 
 Z  r sin B

 cos B cos  
 cos  cos  




cos
B
sin


R
cos

sin





 sin B

 sin 





dove la matrice di rotazione R deve essere specificata di volta in volta. Si noti la
scomparsa di ogni dipendenza da r, cosicché queste relazioni si applicano anche
alla sfera unitaria.
La trasformazione inversa si ottiene scambiando il ruolo di (x, y, z) con (X, Y, Z),
facendo attenzione a mantenere il verso positivo degli angoli. Cio' implica che la
matrice della rotazione inversa è la trasposta di R:
R  R 
1
T
26/01/2005
T
Rij  R ji

1
1
1
(
R
R
)

R
R
R ( )  R( )
i
j
j
i
1
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AA 2004/05
27
Successione di rotazioni
In generale, una qualunque rotazione si può sempre supporre come risultato di tre
diverse rotazioni successive, R1 attorno all'asse x, R2 attorno all'asse y, R3 attorno
all'asse z, R=R1R2R3, con:
0
0 
1


R1 (1 )   0 cos 1 sin 1 
 0  sin  cos  
1
1

 cos 2

R 2 (2 )   0
 sin 
2

0  sin 2 

1
0 
0 cos 2 
 cos 3

R 3 (3 )    sin 2
 0

26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
sin 3
cos 3
0
0

0
1 
28
Da equatoriali a eclittiche - 1
Come primo esempio, consideriamo la trasformazione da equatoriale (, ) a
eclittica (, ), orientando gli assi x e X da O verso il punto , e dirigendo l'asse z
verso il polo nord celeste P, e l'asse Z verso il polo eclittico Nord E. I valori degli
angoli sono:
xX  0 , xY 

2
, xZ 

3
, yY   , zZ   , zY     , etc.
2
2
I due sistemi sono dunque connessi da una rotazione di  (l'obliquità
dell'eclittica) attorno all'asse x, R1(), o inversamente di - attorno all'asse X:
0
1

R1 ( )   0 cos 
 0  sin 

26/01/2005
0  1
0
0 
 

sin     0 0.9171 0.3987 
cos    0 0.3987 0.9171 
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29
Da equatoriali a eclittiche - 2
La trasformazione diretta è:
cos  cos   cos  cos 

cos  sin   cos  sin  cos   sin  sin 
sin    cos  sin  sin   sin  cos 

e quella inversa è (attenzione ai segni):
cos  cos   cos  cos 

cos  sin   cos  sin  cos   sin  sin 
sin   cos  sin  sin   sin  cos 

Si noti che sono necessarie tre equazioni per determinare due angoli e i loro
segni (quadranti).
Abbiamo anche già rilevato che ci vuole estrema cura nel fare i conti in
prossimità dei poli.
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
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30
Da Alt-Az a orarie e equatoriali -1
Con la stessa tecnica possiamo trasformare le coordinate Alt-Az (A, h) (con la nostra
origine dal Sud; si faccia attenzione anche al fatto che vari autori usano la distanza
zenitale z in luogo della altezza h) in Angolo Orario e Declinazione, (HA, ), e poi
dalla conoscenza del tempo siderale TS, in equatoriali (, ). In questo caso gli assi
x e X punteranno entrambi verso W, l'asse y a S, l'asse z verso lo zenit Z, l'asse Y a
M sull'equatore celeste e l'asse Z verso il polo celeste Nord. Chiaramente si deve
conoscere la latitudine astronomica  del sito. La matrice di rotazione sarà in tal
caso:
0
0 
1


R   0 sin  cos  
 0  cos  sin  


Tuttavia, per convenzione il verso degli angoli cartesiani è opposto a quello di HA
e A, entrambi crescenti in verso retrogrado, e dunque:
cos h sin A  cos  sin HA
sin HA cos   sin A cos h


cos
HA
cos


cos
A
cosh
sin


sin
h
cos

cos h cos A  cos  cos HA sin   sin  cos 

sin h  cos  cos HA cos   sin  sin 
sin    cos A cos h cos   sin h sin 


26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
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31
Da Alt-Az a orarie e equatoriali -2
Supponiamo ora di conoscere le
coordinate equatoriali (, ) della
stella X e il tempo siderale ST,
cosicché HA è anche immediatamente
noto. Per puntare un telescopio avente
montatura Alt-Azimutale, dobbiamo
calcolare (A, h) dalle precedenti
relazioni; la terza equazione ci dirà se
la stella è visibile sopra all'orizzonte. Il
limite di visibilità h = 0° si raggiunge
quando:
cos HA   tan  tan 
(relazione che dà l'angolo orario del sorgere e del tramontare). Allo stesso modo,
l'Azimut del sorgere e del tramontare è dato da: cos A   sin  sec 
26/01/2005
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32
Da Alt-Az a orarie e equatoriali -3
Si trovano facilmente anche le due seguenti relazioni:
sin HA cos 
A  arctan
cos HA cos  sin   sin  cos 
h  arcsin  cos  cos HA cos   sin  sin  
la cui applicazione pratica esige la solita cautela sul quadrante di
arrivo.
Come utile esercizio si applichino tali relazioni a stelle
circumpolari, provando l'esistenza di una massima e una minima
digressione dal meridiano.
26/01/2005
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33
Velocità Angolari - 1
E' utile derivare le velocità angolari usando il tempo siderale come variabile, e
trascurando gli effetti della rifrazione atmosferica (oltre a altri termini molto più
piccoli dovuti ai movimenti di equinozio e di polo):
dHA
1
dt
 0
h cos h   cos  sin HA cos 
Da queste e dalle precedenti relazioni otteniamo:
h   cos  sin A , A  sin   cos A tan h cos 
La velocità in altezza è sempre ristretta tra 1 (cioè  15°/(ora siderale), è nulla per
un telescopio ai poli geografici, ed è massima per un telescopio all'equatore. Più
complesso è il comportamento della velocità azimutale. All'orizzonte vale sin  , e
dunque è positiva nell'emisfero Nord e negativa in quello Sud, sia al sorgere che al
tramonto (e ovviamente stazionaria sull'equatore terrestre). Ciò si può capire anche
ricordando che abbiamo definito il verso apparente di rotazione della volta celeste
rivolgendo le spalle al polo visibile.
26/01/2005
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34
Velocità Angolari - 2
Consideriamo un telescopio con montatura Alt-az, e notiamo che il campo di vista
è in continua rotazione con variabile velocità angolare, dato che la sfera celeste
ruota attorno a una direzione che non coincide con quella degli assi meccanici. Per
una data stella X, si chiami angolo parallattico q l'angolo:
sin A cos 
ˆ
q  ZPX 
cos 
ˆ
q  ZPX
La derivata temporale di q è:
q
26/01/2005
cos  cos A
cos  cos A
A
cos  cos q
cos h
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Velocità Angolari - 3
Nel caso particolare di una stella che transiti per lo Zenit ( = )
la velocità azimutale diviene infinitamente grande quando la stella si
avvicina al meridiano; per questa ragione un telescopio in montatura Altaz ha una zona cieca attorno allo Zenit, dunque un cono la cui apertura si
può rendere inferiore a 1° con una attenta scelta dei motori e dei controlli.
Per una stella circumpolare, alla massima digressione la velocità
è tutta in altezza; questo fatto può essere sfruttato per determinare con
esattezza il meridiano e la latitudine del luogo.
La rotazione di campo si incontra anche nei telescopi in
montatura equatoriale se parte della struttura è fissa rispetto al suolo, ad
es. nel cosiddetto fuoco Coudè, in cui la luce è portata a un grande
spettrografo sul pavimento dell'osservatorio.
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Trasformazioni mediante la trigonometria sferica - 1
La trigonometria sferica è il
secondo metodo di
trasformazione. Ad
esempio, la Figura dà gli
elementi necessari per
effettuare la trasformazione
tra coordinate equatoriali e
eclittiche per mezzo dei
gruppi di Gauss.
Troveremmo facilmente le
stesse equazioni già viste
prima, e le loro inverse.
26/01/2005
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37
Trasformazioni mediante la trigonometria sferica - 2
Dato che la trasformazione da equatoriali a galattiche è più complicata, è meglio
vederla in dettaglio. Sia P il polo celeste Nord, G il centro galattico e CG il piano
galattico. Data la stella X, dai triangoli sferici otteniamo:
cos b sin( GC  l )  cos  sin(   GC )

cos b cos( GC  l )  cos  G sin   sin  G cos  cos(   G )
sin b  sin  sin   cos  cos  cos(   )
G
G
G

cos  sin(   G )  cos b sin( GC  l )

cos  cos(   G )  sin b cos  G  cos b sin  G cos( GC  l )
sin   sin b sin   cos b sin  cos(  l )
G
G
GC

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Trasformazioni mediante la trigonometria sferica - 3
Se uno preferisse la tecnica della rotazione di matrici, ricordi le coordinate
equatoriali dei 3 punti:  (0,0), G (192°.3, +27°.4), GC (265°.6,-28°.9)
(all'epoca B1950.0, secondo la definizione dell'IAU), e calcoli le distanze
angolari:
cos  G  cos xZ  0.86760
 G  xZ  150.2
cos  GC  cos xX  0.06690
 GC  xX  93.9
 0.06690 0.49273 0.86760 


R G   0.87276 0.45035 0.18838 
 0.48354 0.74459 0.46020 


Si noti che le coordinate equatoriali della stella si devono precessare al B1950.0
prima della trasformazione. Benché non siano state definite formalmente dall'IAU,
se teniamo conto che le coordinate galattiche non vengono mai usate in lavori di
alta precisione astrometrica, possiamo assumere i seguenti valori all'epoca J2000:
G (192°.84, +27°.13) = (12h51m, +27°07’.7),
GC (266°.41, -28°.94) = (17h45m.6, -28°56’.2) .
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39
La distanza angolare tra due stelle
Applichiamo le precedenti relazioni al calcolo della distanza angolare (sulla volta
celeste) tra due stelle X1 e X2, un numero che è ovviamente indipendente dal
particolare sistema di coordinate. Per essere specifici, consideriamo coordinate
equatoriali, e conduciamo il grande circolo per le due stelle (vedi Figura):
cos X1X2  sin 1 sin  2  cos 1 cos  2 cos  ,  = 1  2
Si chiami angolo di posizione p l'angolo
contato dal Nord verso Est, che è anche
l'angolo al vertice X1 del triangolo sferico
X1PX2. Dunque:
sin X1X 2 sin p  cos  2 sin 
sin X1X 2 cos p  cos 1 sin  2  sin 1 cos  2 cos 
26/01/2005
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AA 2004/05
40
Da equatoriali a eclittiche per il Sole
Applichiamo le trasformazioni tra coordinate equatoriali e eclittiche al Sole
(assumendo che ⊙ = 0°, una approssimazione valida per gli scopi presenti):
sin   tan  / tan 
cosicché, con dovuta considerazione alla data (cioè al quadrante in cui si
situa il Sole), la misura di ⊙ dà ad ogni istante l'origine delle
Ascensioni Rette, cioè del punto .
Questa considerazione sottolinea il ruolo fondamentale giocato dal Sole (e
non dalle stelle!) nel definire il Tempo Siderale.
Si faccia attenzione che dopo il solstizio d'estate, l'arco tra il Sole e 
diventa maggiore di 180°.
26/01/2005
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AA 2004/05
41
I telescopi di passaggio - 1
Costruiamo un telescopio
avente una montatura
meccanica con un solo
grado di libertà, quello in
elevazione, con l'asse
ottico giacente per quanto
possibile nel piano
meridiano. Il piano focale
è equipaggiato con un
reticolo di alta precisione
in modo da determinare
accuratamente l'istante del
passaggio della stella in
meridiano.
Il CAMC, Roque de los Muchachos
Un tale telescopio prende nomi come cerchio meridiano, o strumento dei
passaggi, o di transito, a seconda delle diverse realizzazioni pratiche possibili.
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
42
I telescopi di passaggio - 2
Se potessimo identificare l'istante del passaggio di  e far partire in
quell'istante l'orologio a TS da zero, misurando la distanza Zenitale e il
TS del passaggio di una stella, ne deriveremmo subito la sua
Ascensione Retta e Declinazione alla data di osservazione.
Alternativamente, se conoscessimo un insieme di stelle fondamentali,
cioè di cui è conosciuta con grande precisione la Ascensione Retta,
dall'istante della loro culminazione superiore deriveremmo subito il
TS, dato che in tale istante AR = TS.
Gli stessi concetti si applicano al campo radio.
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
43
La Croce del Nord di Medicina
Un telescopio di transito si può realizzare anche a radiofrequenza, ad es. la Croce
del Nord di Medicina.
Un grande vantaggio dei radiotelescopi però è la possibilità di muovere i fasci
d'antenna anche senza muovere fisicamente gli assi, grazie al controllo sulla fase
dell'onda.
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
44
I telescopi equatoriali - Il 122cm di Asiago
Per l’osservazione normale, la
montatura meccanica più adatta è
quella equatoriale. Come dimostra il
122cm di Asiago, un asse è parallelo
a quello di rotazione della Terra (asse
orario), l’altro è perpendicolare e
assicura il puntamento in
declinazione. Durante le
osservazioni, l’asse orario si muove
con velocità angolare costante di
15”/secondo (TS), l’asse di
declinazione rimane fisso (a parte le
piccole correzioni dovute alla
variabile rifrazione atmosferica e alle
variabili flessioni della struttura).
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
45
I telescopi equatoriali - Il 182 cm a Cima Ekar
24/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
46
Il 5m del Palomar
La montatura equatoriale ha diverse realizzazioni pratiche, e può
crescere fino a grandi dimensioni. Qui vediamo il 5m Hale (1950).
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
47
I telescopi Alt-Azimutali
Sui grandi telescopi moderni si è tuttavia adottata una montatura Alt-Az. I
vantaggi sono tutti ingegneristici:
•Un asse orizzontale e uno verticale permettono un migliore controllo delle
flessioni
•La cupola è più piccola
•La massa complessiva (telescopio + cupola) è minore, per cui un miglior
controllo termico
Svantaggi:
•Necessità di controllare 3 assi (azimut, altezza, rotazione di campo) con
velocità variabile
•Area cieca allo Zenit
•Polarizzazione variabile
La montatura Alt-Az è anche usata su telescopi con finalità geodetica e sui
radiotelescopi e antenne di trasmissione/ricezione.
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
48
Il Telescopio Nazionale Galileo
Questa foto (Ansaldo Milano)
evidenzia la struttura alt-az del TNG.
La rotazione in Azimut è assicurata
da pattini idrostatici con scorrimento
su velo di olio (INNSE)
La rotazione in elevazione da
cuscinetti a sfera
Gli assi sono controllati con motori
brushless e con encoder (assoluti)
Heidenhein con risoluzione di 28 bit.
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
49
I 4 VLT ESO
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
50
La configurazione interferometrica VLTI
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
51
Il Large Binocular Telescope
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
52
I telescopi di Matera - 1
Sotto, il piccolo telescopio per laserranging di satelliti geodetici tipo il
LAGEOS.
Si noti l’antenna radio sullo sfondo,
pure in montatura Alt-az.
Il nuovo telescopio di 152 cm
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
53
Il nuovo 1.5m di Matera
Con l’1.5m è possibile il laser ranging
della Luna, grazie ai retroriflettori
lasciati dalle missioni americane e
sovietiche degli anni ’70. La mappa
mostra i siti di atterraggio degli Apollo
A destra, la
strumentazione
lasciata sul
suolo lunare.
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
54
Prima Prova di Esame per casa
1) Discutere gli elementi e l’area dei triangoli sferici passanti per:
il punto vernale , il punto a (,) = (6h, 0°), il polo celeste Nord
il punto vernale , il punto a (,) = (18h, 0°), il polo celeste Nord
il punto vernale , il punto a (,) = (21h, 0°), il polo celeste Nord
2) le coordinate equatoriali del Sole al 26 gennaio sono:
AR = 20h33m52s.89 ,
D = -18°44’55”.7
a) Ricavare la durata della notte astronomica (v. sul testo Lezioni di
Astronomia) per un sito a 56° di latitudine.
b) Ricavare le coordinate eclitticali del Sole alla stessa data
26/01/2005
C. Barbieri Elementi_AA_Parte I
AA 2004/05
55