La crescita economica
5 FATTI STILIZZATI
1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE
CONTINUANO AD AUMENTARE
2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA
ALCUN TREND
3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE
4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND
5. QUOTE RELATIVE DI l e K SUL PIL NON MOSTRANO
ALCUN TREND
4 FATTI STILIZZATI
1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE
CONTINUANO AD AUMENTARE
2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA
ALCUN TREND
3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE
4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND
4 FATTI STILIZZATI
1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE
CONTINUANO AD AUMENTARE
2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA
ALCUN TREND
3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE
4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND
5. QUOTE RELATIVE DI l e K SUL PIL NON MOSTRANO
ALCUN TREND
4 FATTI STILIZZATI
1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE
CONTINUANO AD AUMENTARE
2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA
ALCUN TREND
3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE
4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND
5. QUOTE RELATIVE DI l e K SUL PIL NON MOSTRANO
ALCUN TREND
4 FATTI STILIZZATI
1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE
CONTINUANO AD AUMENTARE
2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA
ALCUN TREND
3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE
4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND
5. QUOTE RELATIVE DI l e K SUL PIL NON MOSTRANO
ALCUN TREND
http://ec.europa.eu/economy_finance/indicators/annual_macro_economic_database/ameco_en.htm
SPIEGAZIONI DELLA CRESCITA
MODELLO DI SOLOW
RUOLO DEL RISPARMIO E INVESTIMENTO
ASSUMIAMO CHE POP, LAV, ORE LAV SIANO COSTANTI
1. FUNZIONE DI PRODUZIONE COBB-DOUGLAS A:
RENDIMENTI COSTANTI
RENDIMENTI MARGINALI DECRESCENTI
Y=F(K, L), L=N*h
2. FORMA INTENSIVA DELLA FUNZIONE DI PRODUZIONE
y=f(k), y=Y/L e k=K/L
3. I = S + (T-G) + (Z-X); Hp T-G=0 e Z-X=0
4. Se S = sY, allora I = sY
5. I/L = s(Y/L) = sf(k)
6. Deprezzamento costante: K
7. K = sY - K
7 bis. k = sy - k = sf(k) - k
Stato stazionario  k = 0
8. sf(k) = k
8 bis. s/ =k/f(k)
Initial steady-state
0.8
0.7500
Output, saving, investment
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3000
0.2
0.1
0.0
1.0000
(K/L )
EFFETTO DI UN AUMENTO DEL TASSO DI RISPARMIO
+ I e + PIL PROCAPITE Più ELEVATO, MA NON IL TASSO DI
CRESCITA DI STATO STAZIONARIO
Change in steady-state due to
change in saving propensity
0.8
0.7500
Output, saving, investment
0.7
0.6154
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3000
0.2
0.1846
0.1
0.0
0.6154
(K/L)
1.000
REGOLA AUREA: LIVELLO DI k* IN CORRISPONDENZA
DEL QUALE c = C/L è MASSIMIZZATO
c* = y* - sy* = f(k*) - k*
Where is the largest vertical gap?
Output-labour
ratio
(y=Y/L)
y=f (k )
depreciation = k
0
Capital-labour ratio
(k=K/L)
•
•
•
•
Dal momento che il consumo è la
differenza tra reddito e investimento,
sceglieremo k* in modo da
massimizzare questa distanza.
Questo livello di capitale mi indica il
livello di k*gold cosiddetto di golden
rule
f(k*),δk*
δk*
Una condizione che caratterizza il
livello di capitale corrispondente alla
regola aurea
MPK = δ
1. Sistema econ dinamicamente
efficiente: il risparmio è basso
2. Sistema econ dinamicamente
inefficiente: si risparmia troppo
(si vedano slide successive)
f(k*)
c*gold
k*
k*gold
1 A sx di k*gold,
un aumento di
k* aumenta c*
2 A dx di k*gold,
un aumento di
k* diminuisce
c*
Un esempio numerico
•
•
•
Iniziamo con una funzione di produzione Cobb-Douglas
(1)
y=k1/2
ricordiamo anche che la seguente condizione delle valere ,
(2)
s/δ = k*/f(k*)
Ipotizziamo che il tasso di ammortamento sia del 10% e che il governo
scelga il tasso di risparmio e quindi lo steady state dell’economia.
L’equazione (2) diventa,
(3)
s/.1 = k*/√k*
Elevando al quadrato entrambi I termini ottenaimo
(4)
k* = 100s2
Mediante la (4) siamo in grado di calcolare il livello del capitale (per
addetto) di stato stazionario per ogni livello del tasso di rispamio.
Un esempio numerico
•
•
Usando le funzioni dalla slide precedente e risolavendo per un
certo numero di valori di s …
Vediamo che per s=.5 otteniamo c*=2.5; il livello massimo del
consumo per addetto.
s
k*
y*
δk*
c*
MPK
MPK-δ
0
0
0
0
0
∞
∞
.1
1
1
.1
.9
.5
.4
.2
4
2
.4
1.6
.25
.15
.3
9
3
.9
2.1
.167
.067
.4
16
4
1.6
2.4
.125
.025
.5
25
5
2.5
2.5
.1
0
.6
36
6
3.6
2.4
.083
–.017
.7
49
7
4.9
2.1
.071
–.029
.8
64
8
6.4
1.6
.062
–.038
.9
81
9
8.1
.9
.056
–.044
• Un altro modo di identificare la regola aurea è quello di
scegliere il livello dello stock di capitale per cui
MPK – δ = 0
• Nel nostro esempio MPK = 1/(2√k) – .1 = 0
quindi…
1 = .1(2√k)
e…
5 = √k
e…
25 = k*
• Ma qual’è la dinamica verso k*? Per vedere il
sentiero seguito dall’economia consideriamo i
seguenti valori.
•
•
•
•
•
k = 4, e y = k1/2 quindi , y = 2.
c = (1 – s)y, e s = .5 quindi c = .5y = 1.0
i = s*y, quindi i = 1.0
δk = .1*4 = .4
Δk = s*y – δk, quindi Δk = 1.0 – .4 = .6
• Così che k = 4+.6 = 4.6 nel prossimo periodo.
• Ripetendo questi calcoli nei vari periodi…
periodo
k
y
c
i
δk
Δk
1
4
2
1.0
1.0
.4
.6
2
4.6
2.144...
1.072...
.536…
.46…
.612…
.
.
.
.
.
.
.
10
10.12...
3.087...
1.543...
1.543...
.953…
.590…
.
.
.
.
.
.
.
∞
25
5
2.5
2.5
2.5
0.0
e convergiamo a k=25
La fase di transizione allo Stato Stazionario (1)
•
Ipotizziamo che un’economia inizi con
più capitale di quello corrispondente
nello stato stazionario
•
Questo causa una riduzione
degli investimenti e un
corrispondente aumento dei
consumi
•
•
Negli anni successivi, la
diminuzione di k fa diminuire,
anche y, c e i
Reddito, y
Consumo, c
Investimento, i
Nel nuovo stato stazionario il
livello del consumo sarà inferiore
rispetto a quello di partenza.
t0
A t0, il tasso di
risparmio è diminuito.
Tempo
La fase di transizione allo Stato Stazionario (2)
•
Ipotizziamo ora che l’economia
abbia meno capitale di quello di
stato stazionario
•
Questo determina una immediata
diminuzione dei consumi e un
corrispondente aumento degli
investimenti
Reddito, y
•
Nel corso degli anni, l’aumento Consumo, c
di k è accompagnato da un
aumento del reddito, dei
consumi e degli investimenti
Investimento, i
•
Nel nuovo stato stazionario, il
livello di c sarà più elevato
rispetto a quello di partenza
t0
A t0, il tasso di
risparmio aumenta.
Tempo
Il modello di crescita di Solow con aumento della
popolazione e progesso tecnologico
Tasso di crescita della popolazione/lavoro:
L/L=n
Se, nello stato stazionario, Y/L e K/L devono rimanere
Costanti, allora anche Y e K devono crescere al tasso n
• Includendo nel modello il tasso di crescita della popolazione c’è più
realismo
• Con questa modifica la variazione dello stock di capitale per addetto
diventa…
Δk = i – (δ+n)k
• Cioè, la crescita della popolazione ha un effetto negativo
sull’accumulazione di capitale. Possiamo pensare a (δ+n)k come
l’investimento necessario a mantenere k (=K/L) costante
• Per la nostra analisi, così come fatto in precedenza, sostituiamo al
posto dell’investimento l’espressione (5)
Δk = s*f(k) – (δ+n)k
new
stuff
leftovers
Kt 1  1     Kt  It
divide through by Lt 1
law of motion of capital
Kt 1 1     Kt
It
kt 1 


Lt t
Lt 1
Lt 1
 Kt
kt 1  1     
 Lt
  Lt   It


  Lt 1   Lt
  Lt 


  Lt 1 
want
to
know
kt
jt
kt 1  1    

,
1  n1 1  n1
steady state when kt 1  kt ,
1  n1  kt  1    kt  jt ,
jt    n1  kt
solve for jt
Come nel caso dell’ammortamento, il tasso
di crescita della popolazione è uno dei motivi
che riducono il capitale per addetto.
• Nel punto dove entrambi
(k) and (y) sono costanti
deve valere che,
Δk = s*f(k) – (δ+n)k = 0
o anche che,
s*f(k) = (δ+n)k
investimento di
break-even, (δ+n)k,
Investment
s*f(k)
s*f(k*)=(δ+n)k*
Investimento
• … e questo si verifica nel
punto di equilibrio k*.
k*
At k* break-even
investment equals
investment.
k
L’impatto di un aumento di n
Un aumento di “n”
Investimento
(δ+n2)k
(δ+n1)k
s*f(k)
k2*
…riduce k* e
anche y*
k1*
k
Gli effetti di un aumento di n sulla Regola Aurea
• Dalla precedente analisi il consumo per lavoratore
è…
c* = f(k*) – (δ + n)k*
• Per massimizzare questa espressione…
MPK = δ + n
Il progresso tecnologico
• Riscriviamo la nostra funzione di produzione come…
Y=F(K,L*A)
dove “A” riflette lo stato della tecnologia. Assumiamo
che A cresca al tasso costante “a”.
• La nostra funzione di produzione y=f(k) diventa
prodotto per unità di lavoro effettivo…
y=Y/(L*A) e k=K/(L*A)
• Con questi cambiamenti, “δk” è necessario per
rimpiazzare il deprezzamento di K, “nk” è necessario
per fornire K a nuovi lavoratori, e “ak” è necessario per
fornire K a nuovo lavoratori più produttivi in seguito al
progresso tecnologico.
At 1  Lt 1  At 1   Lt 1 
1 n 


  1  a   1  n 
At  Lt
 At   Lt 
1  n  1  a   1  n   1  a  n  a  n
what we
work with
"small"
•
Così come per l’ammortamento e la
crescita della pop, il progresso
tecnologico riduce lo stock di capitale
per lavoratore.
Nel punto dove (k) e (y)
sono costanti deve valere
Investimento
che,
Δk = s*f(k) – (δ+n+a)k = 0
…o,
s*f(k) = (δ+n+a)k
…e questo si verifica nel
punto k*.
s*f(k*)=(δ+n+a)k*
Investimento
Break-even
(δ+n+a)k
s*f(k)
Investimento
A k* l’investimento di
break-even uguaglia
l’investimento
k*
k
Un aumento di
“a”
Investimento
(δ+n+g2)k (δ+n+g )k
1
s*f(k)
k2*
…riduce k*
k1*
k
Gli effetti di un aumento di “n” e “a” sulla Regola Aurea
• Dalla precedente analisi il consumo per lavoratore
è…
c* = f(k*) – (δ + n+a)k*
• Per massimizzare questa espressione…
MPK = δ + n + a
Steady state con crescita della popolazione e
progresso tecnologico
• Nello steady state, il rapporto prodotto per occupato
effettivo e il rapporto capitale per occupato effettivo sono
costanti (tasso di crescita =0)
• Il denominatore AL sta crescendo approssimativamente
al tasso a+n.
• Quindi, nello steady state, i numeratori Y e K crescono
al tasso a+n
Yt
yt 
At  Lt

Kt
kt 
At  Lt

y   At  Lt   Yt
in steady state
k   At  Lt   Kt
in steady state
3 casi
•
a=n=0, allora Y e K non crescono nello steady state
•
a=0, n>0, allora Y e K crescono al tasso n nello steady state
•
a>0, n>0, allora Y e K crescono al tasso n+a nello steady state
Tassi di crescita di Steady State nel Modello di
Solow con Progresso Tecnologico
Variabile
Simbolo
Tasso di crescita di
Steady-State
Capitale per
lavoratore effettivo
k=K/(A*L)
0
Prodotto per
lavoratore effettivo
y=Y/(A*L)=f(k)
0
Prodotto per
lavoratore
Y/L=y*A
a
Prodotto totale
Y=y(A*L)
n+a
Nel modello di Solow ci sono tre fonti della crescita
1. L’accumulazione di capitale (problema MPK decrescente)
2. L’incremento demografico (aumenta Y ma non Y pro-capite)
3. Il progresso tecnologico
“A” a volte viene definita anche come produttività totale dei fattori
Residuo di Solow (RS):
A/Y – contributi dell’accumulazione del capitale e delle ore-lavoro
RS si calcola come:
A/Y= Y/Y – (1-sL) K/K - sL L/L
dove sL è la quota del PIL destinata a reddito da lavoro
Crescita endogena
Nel modello di Solow il progresso tecnologico è esogeno
Ma il progresso tecnologico dipende dalle spese in R&S
Cambia la MPK che non è più necessariamente decrescente:
il prodotto aumenta ad un tasso costante, così come il
risparmio e quindi l’investimento
f(k)
y=Y/AL
sf(k)
c
(+n+a)k
a
d
b
k1
k2
ab è investimento che porta il capitale da k1 a k2
k=K/AL
Funzione di produzione:
y = Ak
Allora:
Δk = s*Ak – (δ+n+a)k
Δk /k= s*A – (δ+n+a)
che implica un tasso di crescita permanente di k