Torniamo al secondo problema:
2 centrali elettriche:
• Aurisina
(produce P1 kilowatt)
• Monfalcone
(produce P2 kilowatt)
2 città:
• Trieste
(ha bisogno di B1 kilowatt)
• Gorizia
(ha bisogno di B2 kilowatt)
Ogni centrale rifornisce entrambe le città.
Come fare in modo che l’energia erogata sia sufficiente?
Proviamo a schematizzare:
Trieste ha bisogno di B1 kw; per quanto
detto ora, la parte x11 proviene da
Aurisina e la parte x21 da
Monfalcone, cioè B1 = x11 + x21
Trieste
Aurisina produce P1 kw,
dei quali una parte,
x11, va a Trieste e una
parte, x12, va a
Gorizia, cioè
P1 = x11 + x12
x11
x21
Aurisina
Monfalcone
x12
x22
Gorizia
Gorizia ha bisogno di B2 kw; per quanto
detto ora, la parte x12 proviene da
Aurisina e la parte x22 da
Monfalcone, cioè B2 = x12 + x22
Monfalcone produce P2
kw, dei quali una
parte, x21, va a Trieste
e una parte, x22, va a
Gorizia, cioè
P2 = x21 + x22
Le relazioni sono quindi:
• P1 = x11 + x12
• B1 = x11 + x21
• P2 = x21 + x22
• B2 = x12 + x22
Osserviamo che ogni “blocco” xij di energia elettrica ha
gli indici di due colori: il colore della i è quello della
centrale di provenienza (rosso o arancio); il colore della j
è quello della città a cui è destinato (blu o azzurro).
Ma, a parte i colori, le relazioni sono:
P1  x11  x12
B1  x11  x 21
B2  x12  x 22
P2  x21  x22
Queste equazioni vanno raggruppate nel sistema:

x11

x11






x12
x21
x21
x12


x22
x22




P1
B1
P2
B2
Le xij sono le 4 incognite, mentre a destra degli uguali ci sono i termini
noti. Cerchiamo soluzioni (x11,x12,x21,x22) ... positive!
I sistemi lineari possono essere risolti
“rigorosamente”...
Noi vediamo solo una procedura empirica.
Consideriamo i coefficienti del sistema, cioè i numeri che
moltiplicano le incognite. La tabella costituita da essi si dice
matrice dei coefficienti del sistema:
x
x
x
x
11
x11  x12

x21
x11 

x21  x22


x12 
x22

 P1
 B1
 P2
 B2

sistema lineare
1

1
0

0
12
1
0
0
1
21
0
1
1
0
22
0

0
1

1
matrice dei coefficienti

Osserviamo che si può ragionare con
le righe della matrice anziché con le equazioni!
1

1
0

0
1
0
0
1
0
1
1
0
0

0
1

1
III +
III =
che relazione c’è
tra le righe?
IV
Questo significa che le espressioni a sinistra dell’ = di
ogni equazione sono legate dalla stessa relazione...
(vedi diapositiva precedente)
E’ evidente che, se c’è almeno una soluzione, anche i
“termini noti”, cioè quelli a destra dell’=,
dovranno rispettare la stessa relazione.
P1
I-
B1
II +
P2
III =
B2
IV
cioè deve essere:
P1 - B1 + P2 = B2
Se questa relazione è vera, la IV equazione è
conseguenza delle prime tre: quindi si può “buttare
via” senza perdere informazioni.
Basterà che i termini noti soddisfino
la relazione precedente?
Il sistema ora è diventato (usando sempre le matrici: dei
coefficienti e dei termini noti):
1 1 0 0P1 

 
1 0 1 0B1 

 
0 0 1 1P2 
E’ facile vedere che le 3 righe della matrice dei
coefficienti sono indipendenti: nessuna è superflua.

Allora proviamo a risolvere il sistema:
partiamo dall’ultima equazione e risaliamo...
x11  x12

x11 


x 21
x 21  x 22
 P1
 B1
 P2
x11  x12  P1

 x 22  P2  
B1
x11
x
 x 22  P2
 21
x21  x22  P2
e infine si ottiene...
... il sistema risolto:
x12  x 22  P2  B1  P1

x11  x 22  P2  B1
x  x  P
Visto che volevamo soluzioni
 21
22
2
positive, basta quindi
richiedere che:
è una delle incognite!
Ma è libera di variare...
x22 < P2 - B1 + P1 = B2
x22 > P2 - B1
x22 < P2
Riassumendo:
deve essere:
P2 - B1 < x22 < min(P2, B2)
e anche la condizione trovata prima per la risolubilità:
P1 - B1 + P2 = B2
Facciamo un esempio numerico...
Supponiamo che
le quantità Prodotte e i Bisogni siano:
P1 = 100
P2 = 200
B1 = 150
B2 = 150
scegliamo infine x22
in modo che
P2 - B1 < x22 < min(P2, B2)
50
150
la relazione
P1 - B1 + P2 = B2
è soddisfatta:
100-150+200=150.
Ad esempio, sia
x22 = 80.
Sostituendo i nostri dati nella soluzione
trovata prima, abbiamo:
x12  x 22  P2  B1  P1

x11  x 22  P2  B1
x  x  P
 21
22
2
e quindi:
x12 = -80+200-150+100 = 70
x11 = 80-200+150 = 30
x21 = -80+200 = 120
dove:
P1 = 100
P2 = 200
B1 = 150
B2 = 150
x22 = 80
Conclusione:
una buona conoscenza
dei sistemi lineari
mette al riparo dai
blackout!