INDICE
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Lezione1: La logica matematica ………………………………………………. 1
Lezione2: Il naso di Pinocchio …………………………………………………. 10
Lezione3: Le gambe di Achille ………………………………………………… 19
Lezione4: Il teatro dell’assurdo ………………………………………………... 28
Lezione5: Idee accademiche ……………………………………………………. 37
Lezione6: Una metafisica liceale ……………………………………………….. 46
Lezione7: Lezione sotto il portico …………………………………………........ 54
Lezione8: Interregno ……………………………………………………………. 63
Lezione9: Un inglese calcolatore ……………………………………………….. 71
Lezione10: Un tedesco sensato e (in)significante ……………………………… 79
Lezione11: Un Nobeluomo paradossale ………………………………………... 87
Lezione12: Alle ricerche del trattato perduto ………………………………… 96
Lezione13: Questioni di forma …………………………………………………. 105
Lezione14: L’intuizione al potere …………………………………………….... 114
Lezione15: Un austriaci (mica tanto) completo ………………………………. 124
Lezione16: Metamorfosi di un teorema ……………………………………….. 132
Lezione17: Risposta a Pilato ……………………………………………………. 141
Lezione18: L’enigma dell’informatica ………………………………………… 150
Lezione19: Gran finale …………………………………………………………. 159
Lezione20: Un secolo di fondamenti ……………………………………………. 167
Note: Le seguenti 20 lezioni di logica matematica sono state da me trascritte dalle relative
videolezioni del Prof. P. G. Odifreddi, adattate al linguaggio scritto, aggiustate e da me interpretate,
spero in modo corretto, in certi passaggi non del tutto chiari o espliciti. Ho fatto questo lavoro spinto
solo dall’interesse per questa materia, che non ho potuto soddisfare nei lontani tempi dell’università,
per mancanza del materiale didattico adeguato o difficoltà di reperirlo.
Questo corso di logica mi ha aperto le idee sulla matematica moderna, in particolare l’algebra
astratta e la teoria insiemistica avanzata, ostiche per me quand’ero studente di fisica, soprattutto
nella comprensione di certi teoremi.
Consiglio di seguire questi corso agli studenti dei primi anni di fisica e naturalmente di matematica.
Prof. C. Cella
LEZIONE 1: La logica matematica
Mi chiamo Piergiorgio Odifreddi e vi invito a seguire un corso di logica matematica. Questa è la prima
lezione, una lezione introduttiva che divideremo in due parti, poi naturalmente sarà seguita da un lungo ciclo
di 19 altre lezioni in cui entreremo ovviamente nei dettagli di questa materia. Cerchiamo però di capire che
cos'è la logica matematica, anzi dovrei cercare di convincervi a seguire le prossime lezioni, perciò cercherò
di spiegarvi in parole povere e anche cercando di attirare la vostra attenzione, che cos'è la logica
matematica. Cominciamo subito a vedere qualcuna delle slide. Vi dico anche, già dagli inizi, che queste
slide voi potrete trovarle sul sito del Nettuno e quindi ogni volta che faremo una nuova lezione potrete
andare a rivedervi queste cose, piano piano e a ripassare ciò che è stato detto. Allora, dicevo, incominciamo
con una definizione, perché come avrete capito dall'aggettivo matematica, questo corso è qualche cosa che
ha a che fare appunto con la matematica e soprattutto con i procedimenti della matematica. Ora questi
procedimenti, qualcuno di voi lo saprà, anzi mi immagino che la maggior parte di voi, visto che seguite
corsi di questo genere, saprà cosa significa fare matematica, significa in particolare seguire il metodo
matematico, che è un metodo assiomatico, che parte da definizioni, parte da assiomi e poi sviluppa via via
nozioni più complesse e proposizioni più complicate che vengono derivate dagli assiomi. Allora
cominciammo, anche noi subito, dalla migliore tradizione della matematica con una definizione: che cos'è la
logica? Beh, la logica si può definire in tanti molti, ma io ho scelto questo modo qua: “la logica è
semplicemente la scienza del ragionamento”. Ci sono ovviamente due termini del discorso, cioè scienza e
ragionamento e su questi dobbiamo soffermarci per un momento, anzitutto ragionamento. Questo significa
LOGICA
che stiamo cercando di costruire una teoria però non una
Scienza del ragionamento
teoria, per esempio di come è fatto il mondo, di come è
LOGICA MATEMATICA
fatto il cervello o tante altre cose; a noi interessa in questo
Scienza del ragionamento matematico
corso e soprattutto nell'ambito della logica, della logica
matematica, ma più in generale della logica, ci interessa studiare come l'uomo ragiona, l’uomo inteso
ovviamente come essere umano. Questo è il primo termine di questa definizione, ma c'è anche quest'altro
termine che ci dice anche come noi cercheremo di studiare questo ragionamento, cioè il termine è scienza e
per l’appunto scienza significa che cercheremo di usare il metodo scientifico, che poi nel caso nostro sarà in
particolare “il metodo matematico”. Quindi vi ho detto in breve quale sarà l'argomento del nostro discorso,
cioè il ragionamento e quale sarà il metodo con cui noi affronteremo questo discorso, cioè “il metodo
scientifico”. Ora questo, già in parte dovrebbe, dirvi come mai si parla di “logica matematica”, cioè il
“matematica”, in questo titolo “logica matematica” può stare a significare per l’appunto, il fatto che noi
seguiremo, adotteremo, useremo il metodo della matematica per studiare il ragionamento. In effetti, così è in
parte, ma solo in parte e questo è il motivo o uno dei motivi, per cui la logica matematica si chiama, per
l’appunto matematica, a differenza dalla logica in generale, che era invece una scienza o meglio un
argomento che veniva studiato già dai tempi dei greci, come diremo anche fra pochi minuti, ma in un modo
forse un po' diverso, in maniera più discorsiva, più filosofica, più intuitiva e quindi non in maniera
scientifica, anche per un ovvio motivo, perché all'epoca la scienza non era ancora nata. Ma andiamo oltre e
proseguiamo con una seconda definizione e qui veramente stiamo cercando di definire quale sarà il nostro
soggetto, il soggetto di queste 20 lezioni, cioè che cosa è la logica matematica. Se “la logica” è “la scienza
del ragionamento”, si può immaginare per analogia che “la logica matematica” sarà “la scienza del
ragionamento matematico”. Ed ecco che allora qui il “matematico” interviene in una maniera diversa, non
soltanto come nella prima definizione, come metodo di studio del ragionamento, ma anche come oggetto del
ragionamento stesso, cioè ci interesseranno non soltanto i ragionamenti in generale, anche perché questo tra
l'altro è un campo enorme, vastissimo su quale poi ovviamente diremo anche qualcosa, però noi cercheremo
di concentrarci, com’è tipico tra l'altro del metodo scientifico di non fare grandi castelli, su un particolare
aspetto del ragionamento, che è il ragionamento matematico. Questo per tanti motivi, in parte anche storici,
ma anche dovute al fatto che nella matematica si pensa, si è sempre pensato fino dall'antichità, fino dai
tempi di Pitagora, che il ragionamento matematico sia forse la forma più perfetta, più astratta, più sviluppata
di ragionamento. Ed ecco che allora si va a studiare matematicamente il ragionamento che viene fatto nella
matematica. Dunque la matematica interviene in due maniere contrapposte, in parte come oggetto dello
studio ed in parte come metodo di studio. Quindi questo è più o meno quello che vorremmo fare. Allora
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adesso cerchiamo di avvicinare il nostro soggetto. Ovviamente, come vi ho già detto, questa è una lezione
introduttiva, tutte le cose di cui parleremo quest'oggi, a cui accennerò quest'oggi, saranno riprese in lezioni,
anzi dedicheremo a ciascuno degli argomenti di cui parlerò adesso e a ciascuno dei personaggi a cui
accennerò in seguito, una lezione speciale e poi naturalmente parleremo anche di altre cose, ma questa
lezione introduttiva vuole essere un invito per l’appunto, una specie di scheletro, per cercare di farvi vedere
quali saranno gli argomenti da una parte e i personaggi dall'altra, di cui parleremo in queste lezioni.
Vediamo più da vicino quali sono appunto gli argomenti che ho indicati in questo modo, premetto che
cercheremo sempre di usare dei titoli un pochettino anche fantasiosi, per cercare di attirare l'attenzione,
perché questo è anche il modo di insegnare, allora dicevo le tre vie della logica: come si arriva a studiare la
logica, perché si è pensato in certi periodi storici di studiare la logica, cioè di studiare in maniera scientifica
e poi successivamente in maniera matematica il ragionamento?. Le tre vie che ho indicato sono:
la dialettica, i paradossi e le dimostrazioni, su ciascuna delle quali dirò adesso alcune parole e poi in
seguito cominceremo già dalla prossima lezione ad affrontare
più da vicino e più in dettaglio. La prima via, come ho detto, è
la via della dialettica, che è stata iniziata perlomeno in
Occidente dalla Scuola greca dei sofisti e qui nella slide
vediamo un'immagine di sofista. Sofista oggi è un aggettivo
non particolarmente piacevole, perchè quando si dà a qualcuno
del sofista questo lo si fa in genere maniera negativa, significa
che questo qualcuno sta facendo un discorso capzioso, sta
cercando di menare il can per l’aria, sta usando parole spesse
volte senza significato, giocando pure sull'equivoco e così via.
Ebbene i sofisti erano in parte anche questo, non soltanto
questo. Ci furono grandi personaggi nella Scuola sofista, in
particolare questi due che si chiamano Protagora e Gorgia.
Qualcuno di voi li riconoscerà, coloro che hanno fatto gli studi
classici, perché sono i titoli di due famosi dialoghi di Platone,
che appunto Platone dedicò a questi due personaggi. Platone era
ovviamente in contrapposizione con
i sofisti e quando
parleremo di Platone, perché a lui dedicheremo una lezione,
vedremo meglio, più da vicino, come mai c'era questa
contrapposizione. Ora i sofisti erano interessati in particolare
all'arte della parola, all'arte del discorso e allora per cercare di
catturare il discorso, per cercare di fare il discorso in una
maniera più incisiva possibile, ecco che i sofisti incominciarono
anzitutto a studiare quali erano le regole che stavano dietro, che
soggiacevano al discorso, per cercare di usarle ai propri fini. Su questa tradizione io non dirò molto di più,
perché in realtà questa è una via che se ne va, noi diremo in matematica per la tangente, se ne va da un'altra
parte e dico soltanto per concludere questa idea, questa prima via che approccia alla logica, che in realtà la
via della dialettica è qualche cosa che viene usata ancora oggi ovunque; la si usa nei tribunali, la si usa nei
parlamenti, la si usa nei media, in televisione, eccetera. E’ la via meno scientifica, ma è quella che poi tutto
sommato noi usiamo, quando cerchiamo di convincere un avversario o un pubblico, qualcuno appunto che
cerchiamo di convincere di qualche cosa, usando le arti del discorso e l'arte del discorso per antonomasia era
per l’appunto la dialettica e per usare l'arte del discorso bisogna conoscerne le regole. Questo è il primo
motivo per cui storicamente si è cominciata a studiare la logica. Però come vi ho detto, questo è un motivo
che noi non tratteremo, perché è una cosa più filosofica, certamente meno matematica e meno scientifica.
La seconda via invece, che è la via dei paradossi, è qualche cosa che veramente ha a che fare con il nucleo
del nostro di discorso e infatti a questi paradossi, cioè al paradosso del mentitore e al paradosso di Achille e
la tartaruga che sono i due più famosi paradossi della storia ai quali brevemente accennerò fra un momento,
dedicheremo per ciascuno un'intera lezione, cioè un'intera lezione al paradosso del mentitore e un’intera
lezione al paradosso di Achille e la tartaruga, ma prima di parlare di queste paradossi vediamo meglio che
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cosa sono i paradossi. Ebbene i paradossi sono dei ragionamenti che apparentemente sono corretti e che,
però tutto sommato, dovrebbero essere sbagliati, perché le loro conclusioni sono per l’appunto paradossali,
vanno contro l'opinione comune, paradoxa significa proprio questo. Doxa, qualcuno di voi si ricorderà che
c'è addirittura un'azienda che fa inchieste, indagini su ciò che la gente pensa, che si chiama per l’appunto
doxa e para significa oltre, quindi paradoxa significa oltre l'opinione comune. Invero questi paradossi
ebbero un'origine antichissima, non soltanto in Grecia, ma addirittura in Cina, lo vedremo meglio quando
parleremo nelle due prossime lezioni di questi argomenti, cioè dei due paradossi più famosi, il paradosso del
mentitore e il paradosso di Achille e la tartaruga. Qual’è il paradosso del mentitore? Molto semplicemente il
paradosso del mentitore è il paradosso di qualcuno che dice “io sto mentendo”. Come mai è paradossale?
Perché a prima vista questa è un'affermazione che potrebbe sembrare sensata e coerente, però se voi ci
pensate bene, se andate a riflettere un momentino da vicino, uno che vi dica “io sto mentendo”, non si
capisce bene se sta dicendo la verità o se sta dicendo il falso. Infatti, se supponiamo che sta dicendo la
verità, allora quello che sta dicendo è vero, però sta dicendo che sta mentendo, quindi se dice la verità dice il
falso. Va bene, voi potrete dire, allora non dice la verità, dice il falso; beh, la storia è perfettamente
simmetrica. Se dice il falso, allora quello che sta dicendo, cioè dice di mentire, non è vero, è vero il
contrario, ma se non è vero, ovviamente allora dice la verità. Quindi se supponiamo che, chi dice “io sto
mentendo”, dica il vero, allora abbiamo dedotto che dice il falso e se invece supponiamo che dica il falso,
abbiamo dedotto che dice il vero, perciò siamo entrati in un circolo vizioso. Se la cosa è vi è sembrata un po'
veloce, un po' da mal di testa, magari da farvi girare la testa, aspettate con pazienza la prossima lezione e la
prossima lezione parleremo per l’appunto del paradosso del mentitore, cercheremo di affrontarlo più da
vicino e quindi andremo a scavare non soltanto nella sua storia, ma cercheremo anche di vedere qual è, o se
c’è, una soluzione di questo paradosso. Il secondo paradosso invece, di cui parliamo oggi, è il famoso
paradosso di Achille e la tartaruga, che è qui illustrato. La storiella forse tutti la conoscete, è una gara tra
Achille piè veloce e la tartaruga zampa lenta, cioè i due simboli della velocità e della lentezza. Ora
sembrerebbe una gara poco sensata a far correre Achille contro la tartaruga, quindi per dare alla tartaruga,
almeno un minimo di vantaggio, si permette alla tartaruga di partire un po' davanti ad Achille. Quindi
Achille parte in questo punto (v. grafico) e la tartaruga parte in quest’altro. Scatta il cronometro, si sente lo
sparo della pistola che dà il via alla gara, ecco che tutti e due partono. Naturalmente la tartaruga fa quello
che può, cioè si muove un pochettino e ad un certo punto percorre un
certo percorso. Nel momento in cui Achille ha raggiunto il punto in cui
è partita la tartaruga, la tartaruga si è mossa di una certa quantità di
spazio. Benissimo, Achille continua la sua corsa molto veloce, percorre
la quantità di spazio che la tartaruga aveva percorso nel tempo in cui
lui aveva raggiunto il punto d'inizio della gara della tartaruga, la
tartaruga si è a sua volta mossa di nuovo di un altro pezzettino di
spazio. Achille percorre quel pezzo di spazio e così via e il problema
sta proprio nel così via, perché sembra che a questo punto il gioco
possa andare avanti all'infinito; dunque Achille non raggiungerà mai la
tartaruga perché ogni volta deve prima percorrere lo spazio che,
anzitutto lo separa dal punto di partenza della gara della tartaruga, poi lo separa dal punto in cui la tartaruga
è arrivata mentre lui faceva il primo pezzo e così via. Sembrerebbe, dunque, che Achille non possa mai
raggiungere la tartaruga. C'è qualcosa di sbagliato, perché sappiamo tutti che se ci mettiamo a correre dietro
una tartaruga prima o poi, anzi molto prima, la raggiungiamo; dove sta l'errore, qual'è il problema, eccetera?
Quindi vedete che ci sono effettivamente dei problemi dietro a queste cose, dietro a questi ragionamenti e la
logica cerca anche di studiare, questa è la seconda via, per l’appunto la via dei paradossi, cerca di studiare
quali sono i problemi che stanno dietro a questi tipi di ragionamenti, cerca di andar a vedere dove sta
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l'inghippo, come diremmo oggi, dove sta l'errore, se c'è un errore,
qual è il modo di riformularli, insomma cerca di analizzare queste
cose. Quindi questa è la seconda via a cui dedicheremo, come ho
detto, due intere lezioni, le prossime due. Ma c'è una terza via,
che è invece quella che ci interessa più da vicino, perché come vi
ho detto prima stiamo facendo o cercheremo di fare, di
avvicinarci pian piano alla logica matematica e dunque ci
interessa la matematica, il ragionamento matematico e la terza via
è la cosiddetta via delle dimostrazioni. Come mai? Ma perché
come forse qualcuno di voi saprà, agli inizi la matematica è nata
senza dimostrazioni; qualcuno intuiva che c'erano dei risultati che si potevano ottenere, li scriveva, per
esempio il famoso papiro di Rhind, che riporta alcuni dei risultati egiziani che risalgono a 2000 anni a.C. e
più. Ebbene questi risultati venivano semplicemente scritti, trascritti senza nessuna giustificazione, senza
nessun motivo per il quale noi avremmo dovuto credere. Ci fu un momento nella storia della Grecia, cioè
verso il 600 a.C. in cui i greci capirono che non si doveva più fare così, anche perché non c'era modo di
sapere se un risultato era giusto o sbagliato, a volte gli egiziani effettivamente intuivano il risultato corretto,
altre volte invece si sbagliavano e intuivano, per modo di dire, quello sbagliato. Allora come si fa a decidere
di fronte ad un'intuizione, a quello che ci sembra vero, se questa cosa è effettivamente vera oppure no?
Bisogna dimostrare. Oggi per noi la cosa è lapalissiana, è lampante che per avere un teorema matematico
bisogna avere una dimostrazione. Ebbene non è stato sempre così lampante e i greci inventarono questo
nuovo modo di fare matematica; in particolare furono stimolati allo studio delle dimostrazioni da due famosi
risultati che sono collegati fra di loro, anche a questo personaggio di cui parliamo adesso, cioè Pitagora, a
cui dedicheremo un'intera lezione perché Pitagora è il punto di partenza della filosofia occidentale, della
scienza occidentale, della matematico occidentale, quindi veramente un personaggio in cui si racchiudono
tantissime idee, tantissime cose che furono scoperte per la prima volta in quel periodo e quindi torneremo a
parlare, forse non con molta profondità, ma per un'ora intera di questo personaggio. Il teorema di Pitagora, il
famoso teorema che tutti riconoscono, tutti conoscono, tutti ricordano, ebbene questo teorema di Pitagora, il
fatto che, se si prende un triangolo rettangolo, si ha che il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente in
area alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, è un qualcosa che molte civiltà intuirono, come i babilonesi,
gli egiziani, i cinesi, gli indiani eccetera, ma un conto è intuire, come dicevo prima e un conto è dimostrare.
La dimostrazione del teorema di Pitagora, perlomeno la prima dimostrazione che c'è pervenuta negli
“elementi di Euclide”, è una dimostrazione molto complicata. Ed ecco che allora sorge immediatamente il
motivo, il bisogno di andare ad analizzare queste dimostrazioni, cercare di capire che cosa sta dietro alle
dimostrazioni, quali sono i mezzi che fanno sì che una dimostrazione sia corretta e la logica parla, si
interessa precisamente di questo argomento. Il secondo risultato di cui parleremo a fondo, quando
affronteremo nella terza lezione l'argomento di Pitagora, è la fa molta scoperta che, se voi prendete un
quadrato e considerate la diagonale del quadrato, ebbene non c'è nessuna unità di misura che stia in una
maniera intera, sia nel lato che nella diagonale. Questo viene detto, in altri modi, dicendo che la diagonale e
il lato del quadrato sono fra loro incommensurabili, cioè non c'è nessuna misura comune, misura intesa nel
senso di numeri interi ovviamente. Ebbene questo che oggi esprimiamo dicendo che la radice quadrata di 2,
cioè la diagonale del quadrato è irrazionale per l’appunto, non si può scrivere come un rapporto di numeri
interi, in maniera razionale, anche questo è un qualche cosa che scoprirono i pitagorici, una scoperta
veramente dovuta Pitagora o perlomeno alla sua scuola. Questa scoperta è basata su una dimostrazione, non
è qualcosa che si veda ad occhio e questa dimostrazione, la dimostrazione che sta dietro alla irrazionalità
della radice di 2, è qualche cosa che era nuovo all'epoca e forse è il primo esempio di quello che viene
chiamato dimostrazione per assurdo. Ed ecco quindi un nuovo motivo per cercare di capire che cosa sta
dietro alle dimostrazioni, quali sono le leggi che regolano queste dimostrazioni e dunque una nuova via, un
altro modo di arrivare a questa logica matematica. Quindi queste sono le tre figlie: la dialettica, i paradossi
e le dimostrazioni. Sulla dialettica, come ho detto, non diremo altro, ma sui paradossi e sulle dimostrazioni
invece diremo parecchio, perché cercheremo di andare a fondo. Che cos'altro faremo in queste lezioni?
Ebbene oltre che a parlare di teoremi, di risultati, di pensieri, faremo anche un tentativo di affrontare
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l'argomento in una maniera più umana o umanistica, se così vogliamo, cioè cercando anche di parlare di
coloro che questi pensieri hanno pensato, cioè dei pensatori e in particolare faremo tutto una serie, anzi
organizzeremo le nostre lezioni proprio sulle vite dei logici e quindi si potrebbe quasi dire che i simboli, il
motto delle nostre lezioni potrebbe essere “vite da logico”, che non è ovviamente un gioco di parole, come
scritte da cani, ma vite da logico non è così brutto, appunto come tante altre. Praticamente quest’oggi io
voglio soltanto farvi familiarizzare con le facce e i nomi di coloro dei quali parleremo, quindi andremo
molto brevemente ad affrontarli o meglio a presentarli e poi ripeto, a ciascuno di questi dedicheremo una
lezione per vedere esattamente quali sono stati i loro contributi.
ANTICHITA’
Ci sono stati tre periodi principali della storia della logica: l'antichità, poi l'era
¾ Platone
moderna, per così dire e poi un'era contemporanea. La logica oggi è un qualche
¾ Aristotele
cosa che parte dalla matematica, è una delle grandi aree della matematica mo¾ Crisippo
derna, ma non è stato sempre stato così, agli inizi dovete nascere ovviamente,
poi svilupparsi, adesso ha raggiunto completa maturità. Quindi vedremo anche, cercheremo di affrontare in
qualche modo le basi storiche, di vedere da dove sono nati e chi ha fatto nascere, chi è stato il primo o chi
sono stati primi a pensare in termini logici. Ebbene, questa prima parte della storia della logica è la storia
dell'antichità. I tre personaggi, coloro che hanno fatto di più per la logica moderna sono appunto: Platone,
Aristotele, Crisippo. Platone e Aristotele sono due personaggi sul quale non c'è bisogno di aggiungere
molto, perché tutti certamente conoscerete perlomeno i nomi; sono i due più famosi filosofi dell'antichità,
coloro che ancora con le loro teorie oggi in qualche modo informano la filosofia moderna. Crisippo è meno
noto, ovviamente su Crisippo faremo anche su di lui una lezione, ma forse sarà più una scoperta, mentre
invece su Platone e Aristotele sarà più un dire qualche cosa che già sapevamo o magari rivedere le cose che
hanno fatto in maniera diversa, dal nostro punto di vista, dalla nostra angolazione. Cominciamo subito con
Platone. Sotto Platone vedete iscritto Accademia, perché ovviamente questa era la scuola che Platone aveva
fondato e credo che il più grande risultato che Platone portò.
Platone ovviamente è questo signore che voi vedete nella statua,
mentre alla destra c’è una parte del dipinto famoso della scuola di
Atene di Raffaello. Ebbene il regalo che Platone portò alla logica,
che fece alla logica, è quello che oggi viene chiamato il “principio di
non contraddizione”. Ho parlato poco fa dei sofisti, i sofisti non
usavano questo principio di non contraddizione, non è chiaro che
non lo usassero perché non lo conoscevano o se invece lo
conoscevano e facevano finta di non conoscerlo, cioè facevano i finti
tonti come si potrebbe dire. Il principio di non contraddizione
significa che non si può impunemente dire una cosa e il suo contrario
allo stesso tempo. Non si può dire “oggi piove” e dire “oggi non
piove” e poi pretendere che la gente creda a tutte le due cose, se ci stiamo riferendo allo stesso momento e
allo stesso giorno. Ebbene, la prima formulazione del principio di non contraddizione è per l’appunto in
alcuni dei dialoghi platonici dei quali parleremo. Quindi questo è un grosso risultato, è il primo tentativo di
isolare una delle grandi leggi della logica. Aristotele, invece, viene considerato in realtà il padre fondatore
della logica moderna e se dobbiamo dire il nome del più grande logico mai vissuto, ebbene questo forse è
veramente Aristotele e se invece dobbiamo dirne due, allora questi
due sono Aristotele e Goedel, di cui parleremo fra poco, verso la
fine di questa lezione. Qui di nuovo abbiamo Aristotele anche lui
ritratto come Platone alla scuola di Atene, mentre qui alla sx c'è
un'altra statua dedicata a lui. Qual è stato l'apporto fondamentale di
Aristotele alla logica? Beh, è stato lo studio dei quantificatori, cioè
lo studio delle leggi che regolano il funzionamento e l'uso di
particelle come nessuno, qualcuno e tutti. Nessuno e tutti sono
ovviamente contrapposti fra di loro, qualcuno sta a metà, non è
nessuno né tutti. Ebbene, Aristotele fece uno studio dettagliato di
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queste particelle che vengono chiamate quantificatori. I quantificatori solo una delle parti fondamentali della
logica moderna.
Il terzo personaggio della logica antica, della logica greca, è
Crisippo. Platone aveva la sua Scuola che era l'Accademia,
Aristotele aveva la sua Scuola che era il Liceo, Crisippo aveva
anche lui la sua scuola che era la Stoà. Questi erano le tre grandi
Scuole di Atene, cioè l’Accademia, il Liceo e la Stoà e di ciascuna
di queste parleremo. Qual'è stato il contributo invece di Crisippo?
Ebbene, mentre Aristotele studiò le regole dell'uso di questi
quantificatori, Crisippo invece studiò ciò che oggi viene chiamata
“la logica proposizionale” o meglio queste particelle linguistiche
che sono quelle che servono a mettere insieme delle frasi semplici per costruirne di più complicate, queste
particelle vengono chiamate “connettivi”. Si chiamano connettivi perché connettono, mettono insieme per
l’appunto queste parti diverse. I connettivi che useremo e abuseremo anzi, verranno forse persino a noia,
perché ne parleremo tantissimo e d'altra parte sono le parti più essenziali del discorso logico, sono (questa è
la prima volta che li sentiamo, ma non sarà l'ultima) la negazione (il non), la congiunzione ( l’e), la
disgiunzione ( l’o) e inoltre, il più importante di tutti dal punto di vista matematico e dal punto di vista del
ragionamento, la implicazione (il se è... allora). Un esempio con “non”: se voi avete una frase “oggi piove”,
potete negarla, potete ottenere una frase che dice il contrario di questa, dicendo “oggi non piove” oppure
“non è vero che oggi piove”. Un esempio con “e”: se voi avete due frasi: “oggi piove” ed “io ho l'ombrello”,
potete metterle insieme dicendo: “oggi piove e io ho l'ombrello”, questa è la congiunzione. Un esempio con
“o “: poiché la disgiunzione è il connettivo che si usa quando si ha la possibilità di scegliere fra due cose,
quando si ha un'alternativa , perciò “oggi mangio una pastasciutta o una bistecca”, questa è l'alternativa, la
disgiunzione. Infine il “se... allora”, come dicevo, è il connettivo tipico dei ragionamenti matematici: “se
questo è vero, allora anche quest'altro vero”, cioè se l'ipotesi è vera, allora anche la conclusione è vera. Il
“se.... allora” è per l’appunto la congiunzione, la connessione, appunto per questo si chiamano connettivi, la
connessione tra l'ipotesi e la tesi, cioè tra ciò che si postula e ciò che invece viene dimostrato. Quindi questi
furono i grandi risultati della logica greca, a parte Platone che appunto fu praticamente un precursore,
abbiamo da una parte Aristotele lo studio dei quantificatori, dall'altra parte Crisippo, con lo studio dei
connettivi e su questo appunto, come vi ho detto, ci fermeremo a lungo. Veniamo più da vicini all'era
moderna ed ecco che dopo lunghi secoli, naturalmente nella logica ci furono altri personaggi che si
interessarono di logica nei secoli, in particolare durante la Scolastica, durante il Medioevo, ma di quelli
parleremo poi in una delle lezioni che abbiamo chiamato ”interregno”, appunto per far capire che era il
passaggio dalla logica antica, dall’era antica, all'età moderna, ma oggi non è il caso di vederli, stiamo
soltanto citando i nomi e i risultati più importanti . Quando veniamo all'epoca moderna, ecco che qui
abbiamo un'altra trinità e questa trinità è costituita da Leibniz,
Boole e Frege. Vediamo appunto più da vicino anzitutto le loro
facce e poi cerchiamo di dire due parole su ciò che fecero.
Questa è la faccia di Leibniz, naturalmente non pensate che
questo signore avesse questi bei boccoli in testa, erano delle
parrucche, ci sono anche delle foto di Leibniz senza parrucca,
completamente calvo, ma forse sono cose meno piacevoli da
vedere, quindi non le ho messe qua. Leibniz, come tutti sapete,
è stato un grandissimo e poi dovrebbero esserci dei puntini,
perché è stato tantissime cose: è stato giurista, diplomatico,
ambasciatore, filosofo, matematico e così via e fra le tante cose
che ha fatto un uomo così versatile e così multiforme, è stato
anche un grande logico. È stato colui che verso il 1600, fine del
1600, ebbe la visione non in sogno, ma la visione filosofica, cioè
precorse i tempi e praticamente informò con il suo pensiero, con i
suoi sogni quella che poi sarebbe diventata la logica moderna. Il
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suo sogno più grande fu quello di avere, quello che appunto lui chiamava in latino “la caracteristica
universalis”, cioè di riuscire a costruire una lingua formale ovviamente, una lingua che fosse adatta a poter
esprimere tutti i contenuti delle scienze, un qualche cosa che non fosse come la lingua naturale, che usiamo
tutti i giorni, che ha le sue imperfezioni, che ha anche i suoi problemi, tipo le antinomie che abbiamo visto,
come quella del mentitore, eccetera, ma una lingua costruita a tavolino in qualche modo e che fosse però
formalmente perfetta. Ed ecco che questo sogno, che all'epoca era. soltanto un sogno, poi piano piano nel
corso degli anni, dei decenni, perché praticamente questo cominciò verso il 1850 e sono passati dunque 150
anni, questo sogno si è concretizzato ed è diventato praticamente quello che oggi noi potremo dire la lingua
della logica matematica, ma per rendere più chiaro la cosa, oggi che stiamo appunto soltanto facendo
soltanto l'introduzione a questo argomento, si potrebbero dire che il sogno di Leibniz oggi si è concretizzato
in quella che è diventata la lingua dei calcolatori elettronici. L'informatica o meglio i programmi informatici
sono precisamente versioni di quello che Leibniz sognava si potesse fare di questa “caratteristica
universale”, questo linguaggio perfetto e puramente formale. Il prossimo personaggio invece è quello che
forse potremo considerare veramente il primo logico moderno. Con Leibniz, con questo suo sogno si era
appunto nel 1676, mentre con Boole siamo nel 1849. Ebbene, a metà dell'800, finalmente la logica
matematica incomincia ad uscire dal bossolo, a trasformarsi in qualche cosa d'altro e a prendere vita
autonoma. Boole, questo signore di cui ci sono pochissime foto, soltanto questa anzi io conosco, ebbene
questo signore introdusse quella che oggi addirittura è diventata qualche cosa che si chiama con il suo
cognome, cioè la cosiddetta algebra booleana. Sulla algebra booleana di
nuovo parleremo per un intera lezione, perché l'algebra booleana è da
una parte un uovo di colombo, cioè un'idea brillante che viene in mente
soltanto a persone geniali, perché così semplice che noi tutti ci
passiamo vicino senza mai riuscire ad usarla. Ebbene, questa algebra
booleana è semplicemente l'idea di usare lo zero e l'uno, cioè i primi
due numeri interi, come se fossero l'analogo, dal punto di vista
matematico, di ciò che nella logica, nel linguaggio, sono il vero e il
falso. L'uno corrisponde al vero, lo zero corrisponde al falso, la
scoperta di Boole fu che le leggi logiche, che regolano il
comportamento di vero e falso, sono praticamente le stesse leggi che regolano matematicamente o
algebricamente il comportamento dello zero e dell'uno. Ed ecco che allora algebra booleana significa
precisamente questo, cioè comportarsi, lavorare, fare operazioni sullo zero e sull'uno, come se in realtà
questi zero e uno stessero lì ad indicare il vero e il falso. Ebbene questa è una grande scoperta e fu
veramente in qualche modo il punto finale, dico finale, dell'evoluzione della logica. Come mai il punto
finale? Perché in realtà con l'algebra booleana si poteva descrivere da una parte la logica aristotelica, il
comportamento di quei quantificatori di cui abbiamo parlato prima, perlomeno nel modo in cui li usava
Aristotele e dall'altra parte il comportamento dei connettivi come veniva usato da Crisippo, cioè l'algebra
booleana è un unico mezzo che permette di parlare e di prendere sotto lo stesso tetto, due cose
apparentemente diverse, come la logica aristotelica e la logica di Crisippo. Questo era in qualche modo la
chiusura, il completamento, la fine di un'epoca. Subito dopo ci si
poteva fermare lì, ma invece venne questo signore austero, che si
chiama Frege, colui che veramente iniziò la logica moderna, perché,
come ho detto, Boole era più che altro un completatore. La logica che
Frege introdusse, per la prima volta fu qualche cosa che andava oltre
la logica che avevano già studiato i greci, in particolare Aristotele e
Crisippo. Si chiama oggi “logica predicativa” ed è “la logica dei
predicati”, “la logica delle relazioni”, è quello che veramente serve
nella matematica, perché in matematica non si parla soltanto di cose
tipo soggetto e predicato alle quali si interessava Aristotele, ma si
parla di relazioni in cui c'è non soltanto un soggetto, ma ci possono essere più soggetti, più complementi
anche, quindi una struttura molto più complicata. Tanto per fare un esempio, la relazione d'uguaglianza o
disuguaglianza fra numeri, ecco che coinvolge due numeri e non soltanto uno, la relazione di maggiore
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oppure di minore e cosi via, sono relazioni che coinvolgono per l’appunto due cose e non soltanto una e poi
ce ne sono tante altre che ne coinvolgono più di due addirittura. Senza una logica che permettesse di parlare
di queste relazioni multiple, invece che univoche, unarie come quelle di Aristotele, ebbene senza una logica
di questo genere il sogno di Leibniz di avere una lingua per le scienze non si sarebbe potuto concretizzare.
Quindi a Frege, anche lui, dedicheremo un intera lezione. Poi finalmente arriviamo all’era contemporanea,
cioè al ‘900, a coloro che, non sono forse più vivi, ma di cui, in qualche modo, abbiamo la memoria ben
viva. E questi personaggi sono Post e Wittgenstein, che sono due persone, non una sola, non un cognome
doppio e Goedel e Turing. Questi sono veramente grandi nomi. Di questi ovviamente parleremo non
soltanto una volta, ma più di una volta, ma per ora appunto cerchiamo di dare un anteprima e di fare un
ERA CONTEMORANEA
trailer come nei film. Ebbene Post, nel 1920, scopre che la logica di
¾ Post-Wittgenstein
Crisippo, la cosiddetta “logica proposizionale” era completa. Non si
¾ Goedel
poteva andare oltre, l’analisi che aveva fatto Crisippo, benché l’avesse
¾ Turing
fatta 2200 anni prima in realtà era un analisi conclusiva.Boole l’aveva
riformulata in termini algebrici, ma oltre Crisippo, se si rimaneva
POST
nell’ambito dei connettivi, non si poteva andare. Questo fu un grande
(1920)
risultato che fu scoperto non solo da Post, ma in qualche modo fu
Completezza della
intravisto anche da Wittgenstein in quegli stessi anni, il 1921.Anche
logica proposizionale
Wittgentein è stato un famoso filosofo, oggi è certamente più famoso
come filosofo soprattutto del linguaggio, che non come logico matematico, perché il suo contributo è stato un pochettino minimale e
marginale, ma qualche cosa rimane e rimangono in particolare queste
tavole di verità, che sono dei mezzi di cui parleremo quando sarà il
momento, dei mezzi per cercare di capire qual è il valore di verità, cioè
il vero e il falso di una proposizione composta, riducendola in base ai
valori di verità delle proposizioni che la compongono, cioè sapendo che
se le proposizioni semplici che costituiscono una proposizione
composta sono vere o false, allora possiamo con questo mezzo delle
tavole di verità dedurre se la proposizione intera è vera o falsa, quindi
qualche cosa di tecnicamente utile. Ma a questo punto veniamo
veramente al secondo logico della storia, qualcuno dice addirittura il primo, comunque uno delle due grandi
divinità di questo corso e non soltanto del corso, ma anche addirittura di questo soggetto, cioè della logica
matematica. Goedel che è questo signore che vedete qui vestito con panama, con un vestito bianco e con
questa aria piuttosto truce, fu uno dei più grandi pensatori del ‘900, scrivo qui 1930-31, perché Goedel fece
tantissime cose e a lui dedicheremo più di una lezione, perchè
non è possibile appunto fare un corso di logica e poi trattarlo
come tutti gli altri ovviamente, però i suoi due primi grandi
risultati furono nel 1930 e 1931. Nel ’30 dimostrò la
completezza della logica predicativa, cioè l’analogo di ciò che
Post aveva fatto per “la logica proposizionale”. Post aveva
dimostrato che oltre Crisippo non si poteva andare, cioè
l’analisi di Crisippo era stata completa per quanto riguardava
quei connettivi, ebbene Goedel dimostrò che l’analisi di Frege
per quanto riguarda invece la logica predicativa anch’essa era
stata completa, oltre Frege non si poteva andare, se si voleva
rimanere all’interno di quell’ambito li. E poi invece nel 1931, Goedel dimostrò il suo più famoso teorema, il
cosi detto teorema di incompletezza della aritmetica; mentre sia la logica proposizionale, che la logica
predicativa sono complete e quindi in qualche modo noi siamo arrivati alla fine della storia della logica e
quindi non c’è più altro da aggiungere, a meno di non scoprire, inventare altre logiche nuove, ebbene invece
in matematica le cose stanno diversamente. Il teorema di Goedel dice per l’appunto che “l’aritmetica è
incompleta”, non nel senso che oggi non si sono ancora trovati tutti i suoi assiomi, tutte le sue proprietà e
dunque bisogna aspettare qualche altro genio che lo faccia, ma lo dice nel senso che qualunque sistema di
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assiomi per l’aritmetica sarà sempre incompleto, l’aritmetica non si può completare; cioè mentre con “la
completezza della logica predicativa” siamo arrivati alla fine della storia della logica, con “l’incompletezza
dell’aritmetica” invece siamo arrivati di fronte ad un muro, abbiamo capito che noi come uomini abbiamo
delle limitazioni nei confronti della matematica e questo è il motivo per cui il risultato di Goedel è così
importante. L’ultimo personaggio invece di cui parliamo quest’oggi, ma anche a lui dedicheremo una
lezione e non sarà l’ultimo di cui parleremo quando faremo
le nostre 20 lezioni, ebbene questo signore si chiama Turing, che
come vedete era uno sportivo, Turing correva poi con questo
numero 01, che sta appunto a significare la logica dei computer e
così via; non a caso la logica dei computer, perché nel 1936
questo signore inventò quella che all’epoca fu chiamata e tutt’ora
viene chiamata nei dipartimenti di matematica e di informatica la
machina di Turing, che non è un automobile, non è una
competizione per la General motors o per la Ford o per la Fiat, è
quello che oggi noi chiameremo semplicemente il computer.
L’idea del computer venne precisamente ad un logico
matematico, venne a questo sig. Turing, quando poi aveva tra
l’altro 24-25 anni, così come Goedel, cioè questi geni dimostrano i loro risultati quando sono molto giovani,
ebbene gli venne, dicevo a Turing, l’idea della machina del computer studiando i teoremi di Goedel,
cercando di affrontare un problema diverso, che era appunto il problema della decibilità della logica
predicativa. Ho detto prima che le tavole di verità di Wittgenstein sono qualche cosa che permette di
decidere per le formule, per le proposizioni della logica proposizionale di Crisippo, se sono vere o false, c’è
un metodo che permette di fare questa decisione. Ebbene ciò che Turing dimostrò è che non c’è un metodo
analogo per la logica, quindi benché la logica predicativa sia completa, come ha dimostrato Goedel, in realtà
qualche problema ce l’ha già e non c’è nessun metodo che permetta di decidere ciò che è vero o falso in
generale per la logica predicativa. Ebbene mi sembra di aver dato più o meno un idea di ciò che sarà questo
corso e soprattutto di ciò che è la logica matematica, cioè è qualche cosa che ha a che fare con tre aree
differenti, infatti se avete fatto attenzione, abbiamo parlato praticamente di tre aspetti molto diversi tra di
loro, che sembrerebbero essere staccati a prima vista, che sono la filosofia anzi tutto, con Platone,
Aristotele, Crisippo e così via, poi abbiamo parlato di matematica , abbiamo visto Boole, Frege e così via,
che facevano analisi matematica e poi siamo arrivati alla fine a parlare di machina di Turing, cioè di
computer, cioè di informatica. Ebbene uno dei motivi, non il solo, ma uno dei motivi che rendono la logica
matematica interessante è proprio questo: il fatto che sia una materia che non soltanto serve, ma che sta in
qualche modo nell’intersezione di tre aree così diverse, da una parte la filosofia, dall'altra parte la
matematica e dall’altra parte l’informatica e allora la logica matematica può essere interessante, per
l’appunto, per i filosofi, coloro che si interessano di filosofia, è interessante per i matematici, perché è parte
della matematica e studia la matematica, studia il ragionamento matematico con metodi matematici ed è
interessante anche per gli infornatici perché l’informatica è nata precisamente da problematiche logiche, è
stata creata da uno dei logici ed è una parte praticamente di quella che è la logica matematica moderna.
Quindi questi sono i grandi argomenti di cui parleremo nelle prossime 19 lezioni e vi do semplicemente
l’arrivederci alle prossime lezioni, sperando di avervi convinto che la logica matematica è un qualche cosa
che vale la pena di conoscere, vale la pena di studiare.
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LEZIONE 2: Il naso di Pinocchio
Sono Piergiorgio Odifreddi e sono qui per incominciare finalmente il corso di logica matematica. Abbiamo
avuto una lezione introduttiva, in cui abbiamo cercato di familiarizzarsi con alcuni dei problemi e delle
nozioni della logica matematica e anche soprattutto con alcuni dei personaggi, ma finalmente siamo arrivati
agli inizi del corso di lezioni e questo corso di lezioni ho pensato di organizzarlo sulla base dei personaggi,
di alcuni dei quali abbiamo già parlato, cioè ogni lezione sarà dedicata ad uno dei grandi logici del passato o
a uno dei grandi problemi della logica del passato. Cominceremo ovviamente molto da lontano, verso il 500
- 600 a. C., parleremo di filosofia per qualche lezione, poi piano piano ci avvicineremo alla matematica, alla
logica matematica come è stata sviluppata a partire da Leibniz, Boole, Frege, Russell e così via, tutti nomi
alcuni dei quali avete già sentito e finalmente poi concluderemo in bellezza, diciamo così, il gran finale di
questo corso con l'informatica, perché ho già detto appunto un'altra volta che logica matematica ha questo
interesse, il fatto di essere nell'intersezione di tre aree molto diverse fra di loro, che sono appunto quelle che
ho appena citato, cioè la filosofica, la matematica e l'informatica, quindi è uno strumento molto versatile,
molto variegato che permette di essere utilizzato appunto in tanti campi differenti. Benissimo,
incominceremo come ho detto molto da lontano e quest'oggi la nostra prima lezione di questo corso sarà
fatta su uno dei paradossi più importanti, che qualcuno di voi avrà già capito, è il paradosso del mentitore.
Questa lezione, anzi tutte le lezioni saranno intitolate in una maniera un pochettino inventiva, per cercare di
stimolare anche l'attenzione. Il naso di Pinocchio è ovviamente il simbolo della menzogna e quindi
quest'oggi parleremo di menzogna, cercheremo di andare ad analizzare più da vicino questo concetto di
verità e di falsità e soprattutto lo faremo parlando per l’appunto di uno dei paradossi più famosi, il famoso
paradosso di Epimenide, di questo signore raffigurato nella slide o perlomeno uno che gli rassomigliava.
Naturalmente quando si tratta di andare così lontano nel tempo, il sesto
secolo a. C., non è mai chiaro di quali personaggi fossero queste
raffigurazioni. Comunque era un greco del sesto secolo a. C., in realtà un
cretese, che un giorno ebbe la bella idea di dire questa frase “i cretesi sono
bugiardi”. Intendeva dire tutti i cretesi sono sempre bugiardi,
dicono
sempre la falsità. Ebbene, che cosa pensate di una frase di questo genere
detta da un cretese, che cosa significa? Può essere vera una frase di questo
genere? Ovviamente non può essere vera, perché se è vero che i cretesi sono
dei bugiardi, il signor Epimenide viene da Creta, quindi è un cretese e se
essere dei bugiardi significa dire sempre la falsità, beh, insomma questo era semplicemente qualche cosa
che non poteva essere vero. Allora abbiamo già fatto un primo passo, abbiamo già ottenuto un qualche
risultato, abbiamo scoperto che questa frase detta da Epimenide, non può essere vera. Il problema però è che
la cosa si ferma qui, perché non c'è nessun motivo di credere che questa frase possa essere vera. Che cosa
vuol dire che questa frase non può essere vera? Vuol dire che non è vero che tutti i cretesi dicono sempre il
falso, il che significa che qualche cretese a volte dice la verità. Ora quel “qualche cretese”, non è affatto
detto che sia per forza Epimenide, colui che parlava e se anche fosse lui, poiché qualche cretese dice a volte
la verità, non è affatto vero, non è affatto detto che sia proprio questa la frase di cui si sta parlando. Quindi
abbiamo una frase di fronte a noi che sembra problematica, ma è semplicemente una frase falsa, che non
può essere vera, ma la cosa si ferma qui, non c'è ancora nessun paradosso. Il fatto che questa frase che in
genere viene ripetuta, perché una frase molto famosa appunto, viene ripetuta come se fosse un paradosso,
già dice che forse ci sarebbe bisogno, per coloro che lo fanno, di seguire questo corso che è appunto un
corso di logica, che ci insegnerà pian piano a districarsi in questi rompicapo, a cercare di capire dove sono i
problemi in questo caso. Benissimo, se non è un paradosso questa frase, però è abbastanza vicina ad un
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paradosso. Quest’altra frase invece è dovuta a un signore che si chiama
Eubulide di Megara del quinto secolo a. C., il quale ovviamente di nuovo
non è lui nella raffigurazione, questo è Pinocchio appunto, al cui naso
abbiamo intitolato la nostra lezione; ebbene Eubulide riformulò
quest'osservazione di Epimenide, che diceva “tutti i cretesi mentono, ma io
sono un cretese”, perchè c’era qualche cosa di strano e la riformulò
dicendo semplicemente “io sto mentendo”, cioè quello che sto dicendo in
questo momento è una menzogna. Allora andiamo a vedere più da vicino
se effettivamente questa frase di Eubulide ha dei problemi. Può essere vera una frase di qualcuno che dice
“io sto mentendo”?. Beh, ovviamente no, perché se fosse vera sarebbe vero che lui sta mentendo e dunque
quello che sta dicendo dovrebbe essere falso; quindi certamente non può essere vera, ma questo era già il
caso anche della frase di Epimenide. Vediamo adesso se questa frase può essere falsa. Beh, se fosse falsa,
allora sarebbe vero il contrario di quello che dite, ma sta dicendo “io sto mentendo”, dunque il contrario
dovrebbe essere “io sto dicendo la verità”. Allora nemmeno falsa può essere questa frase. Ed ecco che
finalmente Eubulide un secolo o un secolo e mezzo dopo Epimenide, riuscì a trasformare questa frase di
Epimenide in un vero e proprio paradosso, a costruire una frase che a prima vista sembra innocua, però
attenzione, c'è un qualche cosa di molto interessante, qui c'è un autoriferimento, si sta parlando di se stessi,
anzi la frase sta dicendo qualche cosa su se stesso, sta dicendo di essere falsa, cioè colui che parla sta
dicendo qualche cosa su se stesso, sta dicendo che sta mentendo. Ebbene, abbiamo costruito una frase che
non può essere né vera né falsa. Questo fu effettivamente un trauma, perché si pensava che la verità fosse un
concetto universale, che le frasi appunto fossero tutte o vere o false, le frasi ovviamente ben poste, ben
formate nel linguaggio e invece Epimenide e Eubulide scoprirono questo trucco, fecero vedere che la verità
ha dei problemi e vedremo che ne ha parecchi. In questa lezione cercheremo di vedere varie versioni, varie
metamorfosi di questo paradosso, per cercare di familiarizzarsi proprio con questa nozione di verità. Una
delle prime versioni è quella data dallo stoico Diogene Laerzio nel secondo secolo a. C., è una storiella che
parla di una mamma e di un coccodrillo. Eccolo qua il coccodrillo, questo non è naturalmente la mamma,
nella figura ci sono due coccodrilli. Ebbene la storiella è la seguente: i coccodrilli, si sa sono cattivelli, a d
un certo punto un coccodrillo rapisce il figlio di questa mamma e ad
un certo punto le dice: te lo ridò questo figlio, altrimenti me lo
mangio, te lo ridò se tu riesci a indovinare che cosa io farò. La
mamma gioca con il fuoco ovviamente e dice al coccodrillo: io credo
che tu ti mangerai mio figlio. Ovviamente questa è una
riformulazione del paradosso del mentitore, perché se la mamma ha
detto il vero, se ha indovinato che coccodrillo voleva mangiare il
figlio, allora effettivamente il coccodrillo ha promesso che nel caso
che la mamma indovinasse le avrebbe restituito il figlio. Quindi la
madre, giocando con questo trucco, diciamo così, inventato da
Eubulide e Epimenide, riesce a salvare il bambino dalle fauci del
coccodrillo, che come vedete qui erano già ben aperte per papparsi il povero bambino. Quindi questa è una
riformulazione in chiave, diciamo così, scherzosa, storica del
paradosso di Epimenide. Un'altra riformulazione, naturalmente
facciamo salti, passi da gigante in questo corso, in cui stiamo
imparando molto, la ritroviamo nel quattordicesimo secolo, anche
perché le metamorfosi del paradosso di Epimenide, cioè il
paradosso del mentitore, sono infinite, non possiamo fare altro che
parlarne un pochettino così, dare un accenno a qualcuna di queste
metamorfosi. Una di queste metamorfosi, una di queste forme, fu
inventata dal famoso Buridano, dico famoso non come filosofo,
ma perché tutti conoscono il cosiddetto asino di Buridano, che è a
un certo punto morì di fame perché si trovava alla stessa distanza
da due mucchi di fieno e non sapeva quale scegliere di due e non
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riuscì a decidersi, ad andare da nessuna parte e così morì. Ebbene, Buridano in realtà non inventò soltanto la
storiella dell'asino, ma era un logico, per l’appunto, del quattordicesimo secolo, che formulò una versione
molto interessante del paradosso di Epimenide, perché si era sempre pensato fin a quell'epoca, durante la
Scolastica, che i problemi del paradosso del mentitore, fossero per l’appunto in questa autoreferenza, nel
fatto che si sta parlando di qualche cosa dicendo “io sto facendo qualche cosa”, “io sto mentendo” e si
pensava che il problema fosse per l’appunto quello. Ebbene, Buridano fece vedere che il problema non
era affatto quello, perché immaginò una storiella in cui c'era da una parte Socrate e dall'altra parte Platone
due dei grandi filosofi che aprirono un pochettino la storia della filosofia occidentale, della filosofia greca.
Ebbene, Buridano immaginò il seguente dialogo fra i due, Socrate è questo signore qua giù, che sta
parlando appunto ai suoi discepoli e dice “Platone dice il falso”. Platone che cosa risponde? Platone qua giù,
nel dipinto di Raffaello, la Scuola di Atene, Platone dice ovviamente che “Socrate dice il falso”. Allora
abbiamo una situazione in cui il maestro dice che l’allievo sta dicendo il falso e l’allievo sta dicendo che
invece il maestro dice il falso, cioè l'autoriferimento si è semplicemente spezzato in due parti e non c'è più
quell'autoriferimento diretto, diciamo così, che c'era invece nel paradosso del mentitore.
Possiamo vedere questo autoriferimento più da vicino, in una
maniera un pochettino più logica, forse un pochettino più seria, in
questa slide: la prima fase dice “la frase seguente è falsa”. La
seconda fase dice “la fase precedente è vera”. Queste frasi, una
qualunque di quelle frasi, è vera o falsa o qual'è la situazione?
Proviamo a vedere, cominciamo con la prima. Questa frase, se
appunto la verità fosse qualche cosa che merita il nome del
delegato, dovrebbe o essere vera o falsa. Cominciamo a
supporre che sia vera: se la prima frase è vera, quello che dice
deve essere effettivamente quello che succede, cioè la frase seguente deve
La frase seguente è falsa
dev’essere falsa. Allora quello che dice la frase che segue non può essere
vero, poiché la frase che segue dice “la fase precedente è vera”, allora
La frase precedente è vera
poiché questa frase non può essere vera, questo significa che “la frase
precedente” deve essere falsa. Allora abbiamo supposto che la prima frase fosse vera, abbiamo dedotto che
la seconda frase non può essere vera, poiché la seconda frase stava dicendo che la prima era vera, dunque
abbiamo dedotto che la prima è falsa, quindi non è possibile che la prima frase sia vera, dev’essere allora
falsa. Ora vediamo se è vera: se la prima frase fosse falsa, sta dicendo che la frase seguente è falsa e se
questa non è vera, allora la frase seguente deve essere vera. Andiamo a vedere che cosa dice la frase
seguente; beh, la frase seguente dice: la precedente è vera; abbiamo supposto che la prima frase fosse falsa,
abbiamo dedotto che quello che diceva la seconda era vera, la seconda diceva che la prima era vera. Quindi
qui notate, non c'è nessun autoriferimento, si sta soltanto parlando della frase seguente; se sopra ci fosse
scritto “la frase seguente è falsa” e sotto ci fosse scritto “io sono il capo di governo”, effettivamente sarebbe
stata una situazione perfetta, perché io non sono capo di governo, quindi la frase seguente sarebbe
effettivamente stata falsa e così pure per questa frase qui “la fase precedente è vera”, se sopra ci fosse stato
scritto “io sono professore di logica che sta facendo il corso adesso a Nettuno”, insomma questa frase
sarebbe stata vera, la frase precedente sarebbe stata vera. Queste due frasi di per sé, staccate, possono
benissimo essere vere e naturalmente possono anche benissimo essere false, non c'è nessuna contraddizione
in nessuna delle due, ma nel momento in cui le si mette insieme, ecco che succedono i pasticci, un po' come
a volte succedono nei matrimoni o nei fidanzamenti, che le persone singolarmente possono essere
simpaticissime eccetera, quando poi le si mettono insieme succedono i pandemoni. Questo è precisamente
quello che succede in questo caso. Allora, abbiamo capito già una cosa, che nel paradosso del mentitore, nel
paradosso di Epimenide, di Eubulide, nel fatto di dire “io sono falso” e di trovare dei problemi, delle
conseguenze non aspettate e non piacevoli in questa frase, ebbene il problema non sta nel fatto che ci si sta
autoreferendo, non sta nel fatto di dire: bah, una frase che dice “io sono falsa”, insomma potrebbe non avere
nessun significato, perché è possibile spaccare questo autoreferenza, distruggere, diciamo così,
l'autoreferenza, il circolo vizioso e separare la frase in due frasi differenti che hanno gli stessi problemi della
frase precedente. Benissimo, quali sono le soluzioni che sono state proposte di questo paradosso?
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Naturalmente prima dei tempi moderni, perché la logica matematica fortunatamente ha fatto dei passi avanti
e quindi è arrivata a dei risultati molto concreti. Ebbene delle soluzioni che sono state proposte dai greci e
dagli Scolastici soprattutto, perché queste sono le due scuole filosofiche che più si sono interessate di questi
argomenti, prima per l’appunto dei tempi moderni, la prima soluzione è stata semplicemente quella di
dire che le frasi paradossali erano cose senza senso, erano dei “non sense”, direbbero gli inglesi o senza
Soluzioni del paradosso
senso, come diremo noi in italiano, cioè addirittura arrivarono
1. Non-senso
a sostenere che la verità è qualcosa di sottile, di evanescente, di
2. Uso e menzione
sfuggente e che ci sono delle frasi e degli esempi, del tipo ”io
3. Linguaggio e metalinguaggio
non sono vero”, “io sto dicendo il falso”, che sono per l’appunto
4. Più valori di verità
frasi che non possono essere ne vere ne false, ma per l'unico
motivo che non hanno nessun senso. Sono frasi che sembrano grammaticalmente corrette, sembrano fatte
come le altre frasi e quindi dovrebbero a prima vista essere o vere o false, poi però c'è qualche cosa di
nascosto, qualche germe che inficia la loro correttezza sintattica. C'è stato un tentativo differente di dire, bah
bisogna stare attenti, perché qui si sta facendo una confusione tra quello che oggi noi chiameremo “l'uso e la
menzione”, cioè quando si dice che una frase è vera, si sta parlando di un qualche cosa di diverso, si sta
usando la frase, mentre invece la frase che dice di se stessa di non essere vera, non sta usando un'altra frase,
perché è lei stessa che lo sta dicendo e quindi c'è questo circolo vizioso e forse dicevano gli scolastici
potrebbe esserci la soluzione del paradosso in questa separazione fra queste due nozioni. Vedremo poi in
seguito che, in realtà, non è qui il problema. Questa invece che è una proposta Medioevale, una proposta
Scolastica, è più vicina a quello che oggi noi diremo è la vera soluzione del paradosso del mentitore, cioè
una distinzione tra linguaggio e meta-linguaggio. Qui bisogna che diciamo due parole su questi due concetti
che sono veramente importanti: il linguaggio è praticamente la lingua di cui si sta parlando e il metalinguaggio è la lingua in cui noi parliamo del linguaggio. Il modo più semplice di capire la differenza fra
linguaggio e meta linguaggio è supporre, per esempio, di stare imparando una lingua straniera, ad esempio
l'inglese. Quando noi impariamo l'inglese, agli inizi ovviamente non cominciamo subito a parlare in inglese,
si va a scuola e si comincia a dire, bah, l'inglese è fatto così, è scritto in questo modo, ci sono queste regole
eccetera. Notate, stiamo imparando una lingua, che si chiama per l’appunto il linguaggio dal p. di v. logico,
ma ne stiamo parlando, la stiamo imparando in un’altra lingua che si chiama per l’appunto il
metalinguaggio. Nel caso dell’esempio che ho appena fatto, cioè di imparare una lingua straniera, la lingua
straniera è il linguaggio e l'italiano in cui noi descriviamo la grammatica, la sintassi, la semantica eccetera,
di questa lingua che non ancora conosciamo si chiama metalinguaggio, quindi questi due livelli. Ebbene,
l'idea di questa soluzione, di distinzione tra linguaggio e meta- linguaggio è appunto quella di dire: quando
si dice che qualcosa è vero o qualche cosa è falso, si fa un'affermazione nel meta-linguaggio (italiano),
mentre si sta parlando del linguaggio(inglese) e le frasi che dicono “io non sono vera”, fanno una confusione
fra questi due livelli, perché mischiano i due livelli in uno solo. Dicono ”io non sono vera”, ma io dovrei
essere nel linguaggio (inglese) e il fatto di dire vera, vuol dire che mi sto ponendo invece fuori dal
linguaggio, mi sto ponendo nel metalinguaggio (italiano). Vedremo che questo è precisamente uno dei
tentativi di soluzione di Tarski. Un altro tentativo, a cui accenno soltanto, ma per dirvi che in realtà la logica
si è sviluppata anche in direzioni differenti, è quello di dire, bah, ci sono forse tanti valori di verità, il vero e
il falso sono due prime approssimazioni, sono i più importanti valori di verità che una frase può avere, ma il
fatto che ci siano delle antinomie, come quella appunto del mentitore, ci fa supporre che ci possono essere
altri valori di verità, cioè ci possono essere delle frasi che non possono essere ne vere e ne false e devono
essere qualche cosa altro, cioè questo è anche un modo molto elegante di uscire dall'impasse che il
paradosso del mentitore, ma più in generale i paradossi provocano, dicendo appunto è troppo restrittivo
limitarsi a considerare soltanto verità e falsità, ci devono essere altri valori di verità e i paradossi sono
precisamente delle frasi che hanno quegli altri valori di verità. Queste sono appunto alcune delle soluzioni,
diciamo così , classiche medioevali. Veniamo un po' più vicino a noi, questa è una fotografia e questa è la
firma del famoso scrittore spagnolo Cervantes che scrisse per l’appunto il Don Chisciote. Ebbene, in uno
degli episodi del Don Chisciote, ad un certo punto Sancho Panza, che voi tutti ricorderete era il cavaliere, lo
scudiero di Don Chisciote della Mancha, diventa governatore di una di una provincia della Spagna, il
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Barataria. Diventa governatore e come sempre succede ai governatori, gli si presentano dei casi molto
strani , in particolare un giorno arriva in tribunale un signore che dice: ad un certo punto ci siamo trovati,
noi siamo dei militari, ci siamo trovati di fronte ad una situazione insostenibile perché siamo stati messi
in origine di fronte ad un ponte, con l'idea che possiamo far passare da questo ponte soltanto coloro che
diconola verità e dobbiamo invece impiccare coloro che chiedono
invece impiccare coloro che chiedono di passare il ponte che ci
dicono il falso, quando ne chiediamo il motivo. Quindi in questo
ponte possono passare i veritieri, coloro che dicono il vero, ma
non possono passare i bugiardi, coloro che dicono il falso.
Ebbene, succede dicono i militari, che un giorno arriva un signore,
lo fermano, gli dicono: tu vuoi passare questo ponte, dici come
mai vuoi passare questo ponte. Questo signore dice: sono venuto
qui, voglio passare il ponte perché voglio farmi impiccare in base
a questa legge ed ecco che di nuovo si riproduce il paradosso del
mentitore. Se fosse vero che lui vuole farsi impiccare in base alla
legge, starebbe dicendo il vero e dunque bisognerebbe farlo passare e viceversa. Allora Sancho Panza ha
una sentenza molto salomonica. Dice, bah, evidentemente questo signore, una parte della frase che ha detto
era vera, l'altra parte era falsa, voi militari dovreste implicare la parte di questo signore che ha detto il falso
e lasciare passare la parte di questo signore che invece ha detto il vero; naturalmente una soluzione un
pochettino ironica, tipica appunto di questo romanzo, di quest'epoca. Bene, vediamo invece più vicino a noi,
perché in realtà stiamo facendo un corso di logica per l’appunto e quindi vorremmo cercare di capire più da
vicino dove si situano i problemi.
Ebbene, nel 1908 questo filosofo Grelling, non molto noto, noto soprattutto per questa riformulazione del
paradosso del mentitore, scoprì appunto che situazioni analoghe a quelle del paradosso del mentitore si
trovano in tanti campi del sapere e in particolare si trovano addirittura anche nella linguistica, nella
Grelling
grammatica normale. Lui definì due aggettivi di cui non avete mai
(1908)
sentito parlare, perché appunto li ha definiti questo signor Grelling.
¾ autologico:
Il primo aggettivo si chiama “autologico” e come dice la parola è
si riferisce a se stesso
qualche cosa che si riferisce a se stesso. Quand’è che un aggettivo è
¾ eterologico:
autologico? Quando si riferisce a se stesso. Per es. corto, beh, corto
non si riferisce a se stesso è un aggettivo molto corto, quindi per l’appunto è un aggettivo autologico.
Lungo, beh, lungo non è più lungo di corto, perché ha lo stesso numero di lettere, quindi certamente non si
riferisce a se stesso e allora Grelling inventò per questo tipo di aggettivi, come lungo, la parola eterologico,
cioè che non si riferisce a se stesso. Quindi ricordatevi “autologico”, un aggettivo che descrive una proprietà
che è vera per se stessa e eterologico un aggettivo che descrive una proprietà che invece non è vera
dell'aggettivo stesso. Il problema che Grelling pose fu: eterologico come aggettivo è autologico o
eterologico?
Eterologico è:
Cioè l’aggettivo eterologico, cioè che non si riferisce a se stesso, si riferisce a
autologico?
se stesso oppure no? Ed è chiaro che qui siamo di nuovo alle stesse solfe. Avrete
capito che il paradosso del mentitore nasce sempre quando si tratta di parlare di
eterologico?
un caso di vero e falso, in questo caso di riferirsi a se stesso oppure no. Si fa una
frase oppure si costruisce un concetto, che anzitutto si riferisce a se stesso e che poi usano, nel caso della
verità il falso e nel caso del riferirsi a se stesso usano l’eterologico, cioè non riferirsi a se stesso. Potete fare
come esercizio, se volete a casa, cercate di vedere se eterologico è autologico o eterologico, ovviamente vi
accorgerete che in tutti e due i casi non c'è possibilità di rispondere, perché se eterologico fosse autologico
dovrebbe essere qualche cosa che si riferisce a se stesso e dunque dovrebbe appunto essere eterologico e
dunque non riferirsi a se stesso e così via. Quindi queste cose sembrano un po’ dei giochi di prestigio, dei
giochi d'equilibrio, ma fanno vedere come il paradosso del mentitore non ha niente a che vedere con la
verità o con la falsità, si può anche riformulare in un modo che appunto si riferisce soltanto alla grammatica.
Andiamo avanti e qui vediamo un signore che è stato uno dei più grandi logici di questo secolo. Ho detto
più volte in altre edizioni che il più grande logico del secolo e forse della storia è stato questo Goedel, di cui
14
abbiamo già accennato, ai cui teoremi abbiamo già accennato, ma
allo stesso livello o poco meno, diciamo così, del livello di Goedel
c’era questo signore, Tarski, un logico polacco che emigrò negli
Stati Uniti e che nel 1936 fece uno dei grandi teoremi appunto
della logica moderna,cioè riuscì a dare una definizione di verità. Di
questa definizione di verità parleremo molto estesamente in una
lezione che dedicheremo soltanto a Tarski, perché cercheremo di
andare nei dettagli, di vedere com’è che Tarski definì la verità, ma
la cosa che c'interessa in questo momento da vicino è che, questa
definizione di verità, Tarski la diede ovviamente per i linguaggi
formali, per i linguaggi della matematica, ma il grande teorema, il teorema importante di Tarski fu il
seguente: il fatto che la verità, così come lui la definì, non è definibile nel linguaggio, ma soltanto nel
metalinguaggio. Ricordate la distinzione che abbiamo fatto prima: il linguaggio è quello nel quale parliamo
(inglese) e il metalinguaggio è il linguaggio nel quale parliamo del linguaggio (italiano), cioè in qualche
modo un livello superiore. Ebbene la definizione di verità di Tarski è una definizione per la verità del
La verità non è definibile nel linguaggio,
linguaggio e nel caso del linguaggio della matematica,
solo nel metalinguaggio
per esempio, dell'aritmetica, Tarski diede una descrizione
molto precisa, molto matematica, diciamo così, senza assolutamente nessun problema filosofico. Però il
problema è che, questa definizione di verità che viene data per il linguaggio, deve essere data nel
metalinguaggio, cioè in un linguaggio diverso; non è possibile per una teoria matematica, che il linguaggio
matematico sia in grado di dare la sua stessa definizione di verità. Come mai? Beh, non è possibile proprio
perché c'è il paradosso del mentitore, cioè nel 1936 Tarski riscopre non il paradosso del mentitore, perché
quello non era mai stato dimenticato, ma scopre diciamo così meglio, la possibilità di utilizzare il paradosso
del mentitore all'interno della matematica. Trova una definizione di verità per il linguaggio e dimostra che,
se questa definizione fosse esprimibile nel linguaggio stesso, allora sarebbe possibile derivare nel linguaggio
il paradosso del mentitore e dunque ci sarebbe una contraddizione nella matematica; se noi invece
supponiamo che la matematica sia libera da contraddizioni, ossia quella che i logici chiamano consistente,
ebbene in qualunque teoria consistente non è possibile costruire nessun paradosso, in particolare il
paradosso del mentitore e questo significa che non è possibile dare la nozione di verità, la definizione di
verità all'interno del metalinguaggio. Questa è in realtà una versione del teorema di Goedel, che dice che le
teorie matematiche sono incomplete, sono limitate e questo tipo di limitazione che scoprì Tarski è proprio
una limitazione che oggi chiameremo “semantica”. È la limitazione del fatto di non poter parlare della
propria verità all'interno del sistema. Quindi in pratica è proprio la soluzione o perlomeno un uso moderno
delle soluzioni medioevali a cui ho accennato poco fa, dicendo che appunto non si poteva pensare di
risolvere il paradosso del mentitore, separando questi due livelli, cioè il linguaggio e il metalinguaggio e
dicendo”io dico il falso” è qualcosa che non si può costruire, perché mi obbliga a stare nel linguaggio e
“dico il falso”, mi obbliga invece a stare fuori, a stare nel metalinguaggio e queste due cose devono essere
distinte, devono essere tenute separate. Il teorema di Tarski dimostra, per l’appunto, che devono essere
separate, perché esiste una definizione di verità, ma se questa definizione di verità del linguaggio fosse
dentro il linguaggio ci sarebbe una contraddizione e allora deve stare fuori. Questo è per appunto uno dei
grandi risultati della logica moderna.
Qui vediamo invece Bertrand Russell che fu insomma un famoso filosofo, come logico agli inizi del secolo
sembrava che sarebbe stato destinato a diventare il più importante,
invece forse i suoi contributi non furono così grandi, ma oggi ne
parliamo per quanto riguarda il paradosso del mentitore, anche a lui
dedicheremo una lezione molto più in là, verso la fine del corso e
quindi vedremo meglio quali sono stati i suoi contributi. Ebbene,
Russell nel 1918 scopre questa riformulazione del paradosso del
mentitore: consideriamo un barbiere in un villaggio che rade
tutti e soli gli abitanti del villaggio che non si radono da soli,
cioè il villaggio è piccolo, non c'è bisogno di più di un barbiere
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comune, questo barbiere fa la barba a tutti gli abitanti del villaggio che non si fanno la barba da soli, ma
soltanto a loro. Allora domanda che Russell pose è: chi rade il barbiere? Ovviamente il barbiere non si può
radere da solo perché, per definizione, abbiamo appena detto che questo è un barbiere, che fa la barba
soltanto agli abitanti della città che non si fanno la barba da soli, quindi non se la può fare lui. E allora non
si rade, voi direte, eh, no, perché se lui non si rade, allora è uno degli abitanti della città che non si fanno la
barba da soli, quindi deve andare dal barbiere, quindi deve farsi la barba. Ed ecco che di nuovo, il solito
trucco, il solito circolo vizioso viene scoperto in una forma molto diversa. Attenzione, questo non è un
paradosso, perché questo vuol soltanto dire che non c'è nessun barbiere di quel genere, non esiste un
villaggio in cui ci sia un barbiere che rade tutti e soltanto gli abitanti della città. Però possiamo avvicinarci
un pochettino di più e andare a scavare, diciamo così meglio, sotto questo paradosso del mentitore nella
forma del barbiere. Questa nuova riformulazione fu fatta nel 1947 da questo filosofo Reichenbach, un
filosofo della scienza che non è, ovviamente, questo signore, l’avrete conosciuto, è Kirk Douglas, il papà di
Michel Douglas, che oggi forse più famoso per i giovani. Questo è un fotogramma di un famoso film di
Kubrick che si chiama “orizzonti di gloria”, un grande film antimilitarista degli anni 50, un bellissimo film,
forse uno dei più belli di Kubrick; ebbene, lo abbiamo messo qui
soltanto perché Reichenbach diede una riformulazione del paradosso
del mentitore nella forma di Russell del barbiere, parlando di barbieri
della caserma. Che cos'è cambiato questa volta? E’ cambiato il fatto che
quando si è in caserma, qualcuno di voi avrà fatto il militare, qualcuno
di voi dovrà farlo primo o poi, ebbene sapete tutti che in caserma,
quando si danno gli ordini, agli ordini si deve obbedire e non si può
stare a questionare, a dire, mah, scusi il suo ordine non mi sembra un
qualche cosa di logico, mi sembra contraddittorio, perché si finisce
subito in galera e quindi è bene non farlo. Allora la riformulazione data da Reichenbach del paradosso del
barbiere, nella forma di Russell, è la seguente: supponiamo di essere in caserma, supponiamo che questo
signore con l'aria veramente burbera, stia dicendo a questo signore, che è sempre un militare, “tu devi
radere tutti e soli i militari della caserma che non si radono da soli”. Ora ci troviamo nella stessa situazione
in cui ci eravamo trovati prima, parlando ovviamente di Russell, cioè non sarebbe possibile per il militare
radere tutti e soli i militari della caserma che non si radono da soli, perché c'è questo circolo vizioso, se lui
non si rade, allora dovrebbe radersi e se invece si rade, allora non dovrebbe radersi. La differenza, quello
che è cambiato dal caso precedente, è che il signore (qui appunto Kirk Douglas) ha dato un ordine e il
militare non può rifiutarsi di obbedire; però l'ordine è contraddittorio, quindi che cosa può fare il povero
militare? Ed ecco che stiamo scoprendo che l'antinomia, diciamo così, il paradosso del mentitore, che
sembrava essere poi un giochetto di questi poveri greci, cretesi che dicevano “tutti i cretesi mentono”
eccetera, in realtà può avere anche delle applicazioni nella vita quotidiana e in particolare possono esserci
delle situazioni in cui qualcuno si trova, per l’appunto, come questo povero soldato nella caserma, a
dover ubbidire o a dover sottostare a degli ordini che sono contraddittori. Che cosa succede? Ebbene
succedono delle cose purtroppo molto spiacevoli, perché come
ci ha insegnato questo signore, vedete è Gregory Bateson, uno
dei grandi filosofi della fine della seconda metà del secolo
ventesimo, che ha spaziato in tanti campi, che ha scoperto che
il paradosso del mentitore, sta alla base praticamente o i
meccanismi che sottostanno al paradosso del mentitore, stanno
alla base di alcune malattie mentali ed in particolare, guardate
un po’, c'è questa malattia che si chiama ebefrenia, forse pochi
di voi la conoscono. L’ebefrenia è una fissazione sul
linguaggio; molti di voi, io non posso dirlo perché stiamo
registrando in televisione, ma molti di voi a volte avranno detto
ai loro amici, ma vai..., per esempio possiamo dare una versione edulcorata, ma vai a dormire; ebbene
l’ebefrenico che ha questa malattia mentale, sente la frase del linguaggio, io gli dico vai a dormire e lui va a
dormire, nel senso che non capisce che vai a dormire è un modo così, diciamo, obliquo di dirgli togliti dai
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piedi. Crede che il linguaggio dica effettivamente quello che effettivamente il linguaggio dice in maniera
aperta e c'è questa sensazione, cioè l'incapacità di capire che dietro il linguaggio, dietro il primo strato,
dietro appunto l'aspetto linguistico, ci può essere il metalinguaggio, ci può essere un secondo significato e
sentirsi dire vai a dormire, può significare appunto semplicemente togliti dai piedi. C'è una malattia uguale e
contraria che si chiama paranoia; la paranoia è invece la fissazione sul metalinguaggio. Questa volta il
paranoico invece cerca sempre un livello diverso delle cose che gli vengono dette e non riesce mai a capire
che a volte le cose che gli vengono dette sono quelle che vengono dette; per esempio, se incontrate una
signora o una signorina paranoica e le dite; oh, come sei bella quest'oggi, magari intendendolo, la signorina
paranoica, ah, ho capito cosa vuoi dire, ecco mi stai dicendo che sono bella perché in realtà hai visto che
sono vecchia o cose del genere. Il paranoico fa questa cosa. Ed ecco che allora la distinzione fra linguaggio
e meta- linguaggio che sembrava essere una distinzione innocua, praticamente, semplicemente linguistica e
logica, in realtà sta sotto per l’appunto queste malattie e quindi si potrebbe dire un motto, in qualche modo
sintetizzare il pensiero di Bateson in un motto, dicendo “o si è logici o si riesce a distinguere tra linguaggio
e meta linguaggio o si è patologici”, cioè si diventa dei malati mentali in qualche modo. Quindi l'idea del
paradosso del mentitore può aiutare, addirittura, secondo Bateson a superare queste malattie mentali, che
non riescono a capire la differenza tra linguaggio e metalinguaggio e uno degli ordini che hanno reso
famoso per l’appunto Bateson nelle sue terapie con i malati mentali è il seguente ordine: disobbedisci! Ora
un malato che si trovi di fronte ad un ordine di questo genere, ma non soltanto malato, ma anche chiunque di
noi, si troverebbe nei problemi. Come si fa a disobbedire, a obbedire ad un ordine che dice “disobbedisci”.
Disobbedire significa non stare a seguire l'ordine che ti sto dicendo; se ti ordino però di disobbedire, allora
se tu effettivamente mi disobbedisci, stai obbedendo e se invece
obbedisci deve disobbedire e quindi c'è questo circolo vizioso. È
sembra, io non ho esperienza, fortunatamente di questi ambienti,
però sembra che effettivamente questa terapia paradossale, questo
tipo di ordini che cercano di rompere i circoli viziosi che si trovano
a volte nelle malattie mentali, si possono effettivamente utilizzare
per questo tipo di ordini, per l’appunto, per spezzare la malattia e in
qualche modo squilibrare lo squilibrato, cioè per evitare che
continui questa fissazione. Ebbene allora, abbiamo capito, credo
che ci stiamo avvicinando per lo meno, alla comprensione del fatto
che la verità e la menzogna non sono poi cose così secondarie, non
sono cose di cui si devono interessare soltanto i logici, soltanto i matematici o se volete, più in generale,
soltanto i filosofi; sono qualche cosa che hanno a che fare con la vita quotidiana. Ebbene, allora per finire,
per arrivare più vicini a noi, voglio farvi alcuni esempi di come effettivamente si riesca anche nell'arte,
anche nella cultura, ad usare il paradosso del mentitore in maniera a volte abbastanza inaspettata. Noi non ce
ne accorgiamo, ma una volta che noi siamo stati allertati, quindi forse anche voi dopo questa lezione,
incomincerete a vedere che effettivamente verità e menzogna sono un pochettino ubique dappertutto, si
trovano anche nella cultura più in generale. Questo signore che molti di voi conosceranno, è uno dei grandi
scrittori di questo secolo, uno scrittore che ebbe dei grandi problemi a causa delle sue preferenze sessuali e
del fatto che poi finì in galera, finì sotto processo ed è Oscar Wilde. Ebbene, Oscar Wilde fece della
menzogna addirittura una bandiera e una delle sue frasi celebri, Oscar Wilde era famoso per i suoi aforismi,
una delle sue frasi più celebri è precisamente questa che “la menzogna è lo scopo dell'arte”. Ebbene, se voi
ci pensate un momentino, effettivamente capite che l'arte è in realtà tutta fatta sulla menzogna. Quando voi
guardate per esempio un dipinto o quando guardate anche soltanto una figura, una raffigurazione, una
immagine, una fotografia, ebbene tutto questo è menzogna. Qui si sta ponendo, sulla carta, diciamo così, del
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colore e questo colore, che è una raffigurazione, dovrebbe in qualche modo indicare una persona, ecco la
differenza fra il linguaggio e il metalinguaggio. Il linguaggio è l'immagine, la fotografia, il meta linguaggio
è il significato, Oscar Wilde stesso in questo caso. Ebbene, l'arte è tutta basata su questo; pensate alla
prospettiva per esempio, che è un modo di distorcere le linee in maniera apposita, così da far pensare, da far
risultare l'immagine che poi noi vediamo, come se fosse vera. Si mente per dire la
verità, si disegnano le cose appositamente distorte in modo da farle apparire quasi
vere, di farle apparire proporzionali. Per esempio la famosa anamorfosi: voi andate
a Roma a visitare la Cappella Sistina, ebbene ciò che voi vedete dal basso della
Cappella Sistina, queste meravigliose immagini di Michelangelo, vi appaiono in
perfetta proporzione. Se avete visto alcuni dei filmati che sono stati fatti vedere
quando vi era per esempio il restauro della basilica, ebbene se voi questi dipinti
che stanno sulla volta della Cappella Sistina poteste vederli da vicino, vedreste che
sono tutti distorti. Perché? Ma perché sono stati disegnati da Michelangelo per l’appunto in modo distorto,
così che, coloro che li guardano dal di sotto, possono vederli come se fossero invece nelle proporzioni
giuste. Quindi la menzogna è effettivamente non soltanto una boutade, è quello che diceva Wilde, cioè la
menzogna è un po’ lo scopo, ma è anche il linguaggio dell'arte, cioè l'arte parla attraverso queste menzogne.
Un altro artista molto noto, questo signore dal sorriso molto simpatico, dalla risata simpatica che è John
Cage, il famoso musicista, famoso anche per alcune delle provocazioni più grosse della musica, per esempio
scrisse un pezzo per pianoforte che si chiamava 4 minuti e 33 secondi e questo pezzo è in realtà più famoso
come “il silenzio”, perché consisteva nel fatto di sedersi di fronte al pianoforte e non suonare nulla, non
suonare nulla, perché Cage voleva farci capire che in realtà il silenzio non esiste, quindi se un'artista si pone
di fronte ad un pianoforte e non suona assolutamente nulla, poi in realtà si sentono lo stesso dei rumori, si
sentono dei signori che tossiscono, quelli che si muovono o magari l'uccellino che è entrato dentro la sala da
concerto e così via, quindi l'idea che il silenzio non c'è. Ma in parte Cage era anche l'espressione di una
poetica moderna, quella che l'opera d'arte è finita, che non c'è più niente da dire. Ed una delle frasi più
famoso è proprio questa “non ho niente da dire e lo sto dicendo”. Anche questa, una versione molto sottile
del paradosso del mentitore, perché uno che non ha niente da dire dovrebbe star zitto e invece sta dicendo,
per appunto di non aver niente da dire. Bene, siamo arrivati alla fine di questa nostra carrellata sul
paradosso del mentitore e ritroviamo qua giù Pinocchio. Potremmo dire forse alla conclusione della nostra
lezione che forse abbiamo capito che tutto è menzogna. Però, attenzione, perchè “tutto è menzogna” è una
frase del tipo di quelle di Epimenide “tutti i cretesi mentono”, perché
se fosse vero che tutto è menzogna, allora anche questa frase sarebbe
vera e in particolare sarebbe falsa, perché tutto è se è falsa può dire
che non è menzogna, lei sarebbe falsa. Quindi non è possibile che
questa frase sia vera, allora deve essere falsa, ma se è falsa allora
vuol dire che non è vero che tutto è menzogna, vuol dire che ci sono
alcune le verità. Quindi oggi abbiamo scoperto qualche cosa e questo
per i logici certamente c'importa, perché abbiamo scoperto che ci
sono delle verità e nel futuro cercheremo di avvicinarsi a queste
verità, di scoprirne altre, comunque per quest'oggi abbiamo finito..
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LEZIONE 3: Le gambe di Achille
Siete ormai stati introdotti nelle lezioni precedenti ad alcuni dei problemi della logica. La scorsa lezione, che
è stata la prima vera lezione di questo corso, abbiamo cercato di parlare di uno dei paradossi più famosi, il
paradosso del mentitore. Quest’oggi faremo una seconda lezione sui paradossi che, come ricorderete forse
da alcune delle lezioni introduttive, sono stati uno dei motivi introduttori della logica, uno dei motivi che
hanno spinto i logici filosofi ad interessarsi di questa materia, che è per l'appunto la logica, che poi sarebbe
diventata la logica matematica. Se il paradosso del mentitore è uno dei più famosi paradossi della storia, il
più famoso di tutti, forse, è quello di cui si vede qui il nome, cioè Achille. Abbiamo intitolato come al solito
la nostra lezione in maniera un po' scherzosa, la scorsa volta era il naso di Pinocchio, per ricordare appunto
la menzogna, che è un po' caratterizzata da Pinocchio e invece in questo caso siamo passati ad un'altra parte
del corpo e questa volta le gambe, le gambe di Achille. Avete capito immediatamente che stiamo cercando
di parlare, stiamo cercando di introdurre, il discorso sul paradosso diZenone, i famosi paradossi di Zenone,
uno dei quali, il più famoso di tutti tra questi paradossi di Zenone, è per l’appunto quello che si chiama
Achille e la tartaruga. Vediamo più da vicino di cosa si tratta. Questo signore è per l’appunto Zenone o una
statua che ricorda le fattezze di questo filosofo, che è vissuto nel quinto secolo a. C. Vedete qui scritto sotto
a Zenone “Scuola di Elea”, perché in realtà Zenone non è stato il fondatore di questa Scuola. Il vero
fondatore della Scuola di Elea, la Scuola cosi detta Eleatica che si
trovava vicino a Napoli, una delle grandi Scuole della Magna Grecia,
era Parmenide. Parmenide aveva questa idea, che tutti forse
ricorderanno dagli studi di filosofia, che per lui esisteva l'essere e non
il divenire. Il divenire era in qualche modo la filosofia di Eraclito e
invece la filosofia di Parmenide era la filosofia dell'essere, cioè che
tutto è statico, niente succede, niente si muove e ciò che noi pensiamo
invece si muova, il movimento appunto, è un illusione in qualche
modo. E allora proprio per cercare di dare man forte al suo maestro
Parmenide, Zenone il quale bisogna anche dire così, in vena di
aneddoto, non era soltanto discepolo, ma anche amante di Parmenide, quelli erano tempi un pochettino
diversi e succedevano queste cose anche nelle scuole, ebbene Zenone cercò di inventare degli argomenti che
poi sarebbero diventati quasi più famosi addirittura degli argomenti del suo maestro Parmenide, a favore
dell'essere. Questi argomenti Zenone li propose, questo era uno dei motivi per cui diventarono così famosi,
sotto forma di paradossi. I paradossi sono delle storielle, lo abbiamo già visto altre volte nella lezione
introduttiva e nella scorsa lezione, sono delle storielle che cercano di avere una morale nascosta; c’è un
ragionamento che sembra corretto, però il sembra è dovuta al fatto che in realtà la conclusione è
paradossale, sembra quasi che non stia in piedi. Cerchiamo di vedere più da vicino quali sono stati i
paradossi per l’appunto che Zenone ha introdotto nella filosofia. Sono tutti paradossi che si riferiscono al
moto, perché come abbiamo appena ripetuto e appena ricordato, Parmenide era contrario a questa idea del
moto. L'idea sua era che c'era per l’appunto quest'essere immobile; allora il primo paradosso di Zenone che
ovviamente è un paradosso, è che non si può partire. Come mai? Mah, supponete di essere in una certa
posizione, in un certo punto della città per esempio e di dover andare in un' altra parte della città.
Paradossi del moto
Potete partire? Evidentemente no, perché per partire questo
significherebbe che dovette incominciare un viaggio che va dal
¾ non si può partire
punto di partenza al punto di arrivo, ma questo viaggio non si
¾ non si può essere in viaggio
¾ non si può arrivare
può incominciare, perché prima di andare dal punto di partenza
al punto di arrivo dovete andare dal punto di partenza a metà strada. Voi direte, va bene, questa è metà del
mio viaggio, metà del proposito che mi sono posto; però per arrivare dalla partenza a metà della strada,
dovete prima arrivare dalla partenza ad un quarto della strada e così via ovviamente, perché questi paradossi
si basano tutti su questo regresso all'infinito, su questo “e così via”, su questi “puntini” che sono lasciati così
in sospensione. Allora, per andare dagli inizi alla fine, bisogna prima arrivare a metà, bisogna prima arrivare
ad un quarto, bisogna prima arrivare ad 1/8 e così via, per distanze sempre più piccole, il che significa che
non si può mai partire, perché bisognerebbe sempre percorrere una distanza ancora più piccola di quella che
si dice che serva per iniziare il viaggio. Bene, il secondo paradosso di Zenone è che “non si può essere in
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viaggio”. Questo è il famoso paradosso della freccia. Come mai non si può essere in viaggio? Ma perché,
prendete per esempio una freccia che sta volando in cielo oppure un'automobile oggi, un aeroplano che sta
volando nel cielo, le automobili oggi volano, in genere su autostrade ad una velocità che non dovrebbe
essere permessa, ebbene dicevo, se voi prendete una freccia o qualche cosa che si muova nello spazio e
incominciate a fare delle fotografie di questa freccia, vedete che la freccia è ferma, in qualunque momento
del suo motto, in qualunque momento del suo viaggio la freccia sta ferma. E allora il paradosso è: com'è
possibile essere in viaggio, se il viaggio consiste di una serie infinita di momenti in ciascuno dei quali si sta
fermi, cioè il paradosso sta appunto in questa paradossale commistione; da una parte il fatto che c'è un
movimento, tutti sappiamo che effettivamente ci si muove da una parte all'altra e dall'altra parte invece c'è
questa assurdità che sembra che il moto sia fatto invece di tanti istanti in ciascuno dei quali noi siamo fermi,
cioè il moto è fatto di tante fermezze, per così dire. Oggi è chiaro che soprattutto questo secondo paradosso
di Zenone è poco convincente, perché noi siamo abituati, tutti noi abbiamo avuto forse delle cineprese e
soprattutto quelle vecchie cineprese in cui si metteva una pellicola; oggi si fanno le cose diversamente, in
maniera digitale, ma quando c'era la pellicola, la pellicola era fatta di una serie di fotogrammi ed era proprio
basata su questo trucco, cioè in altre parole il cinematografo era una incarnazione del paradosso di Zenone,
nel senso che si faceva una serie di fotogrammi, una serie di fotografie, ciascuna delle quali statiche, perché
la fotografia in qualche modo congela il movimento e poi facendo percorrere, facendo vedere velocemente
queste fotografie in successione una dietro l'altra, si creava un'illusione di movimento, ma è proprio questo
voleva dire sia Parmenide che Zenone, che il movimento è un illusione, perché noi in realtà siamo sempre
fermi e ci sembra che sia noi che gli altri ci muoviamo, ma in realtà se andiamo a vedere l'essenza di questo
movimento, se andiamo a vedere gli istanti di cui questo movimento si compone, ci accorgiamo che non
siamo mai movimento. Quindi questo secondo paradosso dice che non soltanto non si può partire, ma non si
può nemmeno essere in viaggio e il terzo è simmetrico a questo qui ovviamente, cioè non si può nemmeno
arrivare, come mai? Beh, l'argomento è ovviamente simmetrico a quello per cui non si può partire. Se
dovete partire da un certo punto e arrivare ad una certa metà, prima di arrivare a quella meta, dovete
percorrere la prima metà della strada, questo è lo stesso inizio che abbiamo gia usato nel primo paradosso,
quando siete a metà della strada, dovete ancora percorrere la seconda metà, ma prima di fare l’intera
seconda metà, dovete fare la sua metà, cioè un quarto, poi dovete fare 1/8, poi dovete fare 1/16 e così via e
non arriverete mai alla vostra meta. Questo è praticamente in sintesi, diciamo così, il succo dei paradossi di
Zenone sul moto. Il moto è impossibile perché non è possibile partire, non è possibile arrivare e non è
possibile essere in moto e quindi insomma non ci può assolutamente muoversi. Naturalmente, come ho
detto, questi paradossi sono convincenti fino ad un certo punto, perché coloro che non credono che la vita in
generale e il movimento più in particolare siano un'illusione, magari qualcuno ci crede, ad esempio altre
filosofie, altre culture per esempio quelle orientali, effettivamente sono più vicine a questi tipi di
atteggiamenti, ma noi che siamo occidentali, non crediamo che la vita sia una di un'illusione, non crediamo
che il movimento sia una un'illusione e dunque prendiamo questi paradossi di Zenone o i paradossi più in
generale della scuola di Elea come delle contraddizioni. Ci dev'essere qualche cosa di sbagliato in questi
ragionamenti e la logica ha come uno degli scopi, quello di andare ad analizzare questi ragionamenti più da
vicino, cercare di vedere dove sta l'errore, dove sta l'inghippo. E allora vediamo che cosa succede nella
storia della logica riguardo in questo caso, quest'oggi, al paradosso di Zenone. Naturalmente questi
paradossi, come ho detto prima nel titolo, non c’è più il caso di ripeterli, raccontando la storiella di Achille e
la tartaruga, l'abbiamo già fatto in una delle lesioni introduttive, una delle storie di Zenone era per l’appunto
questo fatto, il fatto che, se la tartaruga parte con un handicap che gli viene dato da Achille per esempio 10
m, ebbene Achille in qualche modo si è giocato l'intera gara perché non potrà mai superare la tartaruga,
perché prima dovrà percorrere la distanza che le ha concesso come handicap, nel frattempo la tartaruga si
mossa di una certa distanza, Achille deve percorrere questa seconda distanza e così via all'infinito e quindi
quella è soltanto una forma più duratura, più sempiterna, perché anche letterariamente più efficace degli
stessi tipi di paradossi che qui abbiamo analizzato in una maniera un pochettino più astratta; però, poiché
non vogliamo essere assolutamente astratti, vogliamo cercare di vedere più da vicino come il paradosso si è
mosso nella storia, ma prima di andare a vedere appunto altre metamorfosi di questo paradosso, dobbiamo
cercare di capire che cosa i greci dedussero da questo paradosso. Ebbene i problemi che i greci videro in
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questi argomenti eleatici furono due sostanzialmente: il primo, un problema di fisica, cioè il paradosso
funziona soltanto se è possibile fare un'ipotesi che in questo ragionamento è nascosta ed è, appunto questo
che dicevano, che la logica cerca di mettere in maniera esplicita queste assunzioni implicite. L'assunzione
Problemi
implicita che sta fisicamente dietro questi paradossi è che
Fisica: divisibilità dello spazio
lo spazio sia divisibile all'infinito, cioè che sia possibile dire
che tra questi due punti ce ne stanno una infinità”. Ora da
Logica: regresso all’infinito
un punto di vista matematico questo è vero, ma da un punto
di vista fisico questo non è assolutamente detto che sia vero e infatti di qui o per lo meno, in base a questi
ragionamenti, nacque poi anche la teoria dell'atomismo, che sosteneva, che supponeva che, in realtà, i corpi
che ci sembrano essere fatti in maniera divisibile all'infinito, in realtà sono fatti di particelle indivisibili che i
greci chiamavano atomi e poi sono diventati gli atomi della chimica della fine dell'800, quando si pensava di
essere effettivamente arrivati ai mattoni dell'esistenza e che poi oggi invece sono diventate le particelle che
costituiscono la materia, i quanti di energia, le stringhe, alle quali accenneremo in una lezione seguente e
così via. Quindi effettivamente questo problema che esiste, cioè dietro gli argomenti di Zenone, dietro i
paradossi di Achille e la tartaruga e alle sue varianti, c'è questo problema della divisibilità dello spazio. È
possibile dividere lo spazio, dividere un segmento fisicamente spaziale in una infinità di punti oppure questa
è soltanto una idealizzazione che fanno i matematici e invece i fisici non possono permettersi queste
idealizzazioni, perché lo spazio non è divisibile oppure siamo nel caso contrario? Questo è il problema
sollevato per quanto riguarda la fisica. Per quanto invece riguarda la logica, il problema è quello al quale
abbiamo già accennato altre volte ed è il regresso all'infinito. Tutti questi paradossi si basano sul “e così
via”, sui “puntini”, sulla possibilità di ripetere lo stesso argomento decine e decine di volte, anzi un'infinità
di volte. Ed è proprio questo che appunto i greci rifiutarono all’epoca , rifiutando il concetto di infinito.
Benissimo, andiamo a vedere allora più da vicino quali sono le possibili soluzioni di questo paradosso e le
soluzioni sono per l'appunto queste: rifiuto dell'infinito da una parte fisico, cioè lo spazio non si può
dividere all'infinito e dall'altra parte rifiuto dell'infinito logico, cioè non è possibile fare regressi
all'infinito. Ebbene, questo sostanzialmente è l'impianto del pensiero greco, l'impianto del pensiero greco,
Soluzione
del pensiero eleatico e quali sono stati i problemi che ha sollevato, quali sono
Rifiuto dell’infinito
state le soluzioni che sono state proposte. E adesso invece affrontiamo quello
che abbiamo annunciato poco fa, cioè le metamorfosi del paradosso nella storia. Una prima metamorfosi è
come vedete molto vicina al Zenone, qualcuno pensa che sia addirittura indipendente, un secolo soltanto
dopo in Cina, dall'altra parte del mondo all'epoca sconosciuto.
Questo filosofo che si chiama Chuang Tzu, è un filosofo della scuola
Taoista che ha una storia praticamente simile, che dice: beh, se voi
prendete un bastone, anzi addirittura uno scettro reale e se ogni volta che
muore il re, tagliate metà dello scettro e consegnate quello che rimane al
successore di questo re, non importa perché in fin dei conti le dinastie
potranno andare avanti, come diceva lui, per 10.000 anni, che era il modo
di dire dei greci all'infinito. Anche qui, c'è un'idea del bastone che si può
praticamente tagliare a metà ogni volta, senza che il bastone mai
scompaia, sempre ci sarà una parte di questo bastone che rimane, così
come questa cosa che io ho in mano (bastone!), lo possiamo prima
dividere a metà, poi dividere a metà, poi continuare a dividerlo a metà, qui io mi fermo, ma naturalmente nel
paradosso si può continuare all'infinito. Quindi anche in Cina, non soltanto in Grecia, questi argomenti
furono scoperti più o meno nello stesso tempo. Invece nell'occidente, che è la parte su cui noi ci
concentreremo per ovvi motivi, ci fu tutta un'intera scuola, che si chiama “la Scuola dello scetticismo”, di
cui ho elencato qui tre dei massimi esponenti, cioè Pirrone nel quarto secolo a. C., Agrippa nel primo secolo
a. C. e Sesto empirico nel secondo secolo d. C, che è quello da cui poi in realtà traiamo quasi tutte le nostre
informazioni, perché lasciò una enorme varietà di scritti, dei quali poi parleremo anche in seguito, quando
Scetticismo
parleremo della logica stoica. Quali sono gli argomenti su cui
¾ Pirrone (IV secolo a. C.)
si basarono gli scettici? Ebbene gli scettici si basarono su un
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¾ Agrippa (I secolo a. C.)
argomento molto interessante, cioè il fatto di dire che il tipo di
¾ Sesto Empirico (II secolo a. C.)
argomento che Zenone aveva inaugurato con i suoi paradossi, in
realtà si poteva trasportare nel campo in questo caso della logica, che proprio quello che interessa a noi e in
particolare si potevano ottenere, io qui ho scritto “problemi”, ma sono anche qui dei paradossi, delle
antinomie, problemi che hanno a che fare con il concetto di dimostrazione e con il concetto di definizione,
che sono per l’appunto due concetti essenziali della matematica e delle scienze in generale, ma soprattutto
della logica, perché di questo che noi ci interessiamo.
Problemi
Il primo paradosso è che “niente si può provare”. Come mai niente
si può provare? Ma perché, se voi volete dimostrare qualche cosa,
¾ Niente si può provare
ebbene questo qualche cosa o lo prendetelo come evidente, ma
¾ Niente si può definire
questa non è una dimostrazione, non si può dire “tu devi accettare questo
perché lo dico io perché la cosa è evidente, ma le dimostrazioni sono qualcosa che si basano su un'ipotesi.
Benissimo, allora se una certa affermazione viene dimostrata basandola su un'ipotesi, allora quest'ipotesi per
quale motivo noi dovremmo accettarla? Beh, per lo stesso motivo per cui accettavamo la conclusione,
perché in qualche modo si basa anche lei su un'altra ipotesi e questa seconda ipotesi che sta ancora monte
della prima, come mai dovremmo accettarla? Per lo stesso motivo, perché dovremo ridurre questa ipotesi ad
una terza ipotesi e così via. Quindi vedete qui, lo stesso regresso all'infinito che abbiamo visto prima nei
paradossi del moto, riappare nello stesso modo praticamente e crea un problema per quanto riguarda le
dimostrazioni. Non è possibile dimostrare nulla perché dimostrare significa basarsi su ipotesi, questa ipotesi
a loro volta devono essere dimostrati e così via. Stessa cosa per quanto riguarda le definizioni. Vogliamo
definire un termine, quando parliamo con qualcuno che ci chiede, mah, che cos'è l’amore per esempio e
questo spesse volte succede: che cos'è l'amore? Allora bisogna definire in qualche modo, con qualche frase,
che cosa significa per amore. Ma questa frase userà delle parole e se vogliamo intenderci su quelle parole,
dovremmo definire anche quelle parole; a loro volta tutte queste definizioni saranno basate su parole, le
quali hanno bisogno di definizione e così via. Si risale all’indietro e non c'è mai possibilità di arrivare alla
fine. Qual è stata la soluzione di questi problemi, perché se prima i problemi del moto non davano poi molto
fastidio, perché se si dice che “Zenone dice che Achille non può raggiungere la tartaruga”, a noi importa
abbastanza poco, perché sappiamo benissimo che se dobbiamo andare da una parte all'altra della città,
partiamo la mattina, partiamo al momento in cui dobbiamo partire e arriviamo, perché, insomma, facciamo
il moto, quindi quei paradossi lì erano poco convincenti. Ma quando invece si parla di logica, quando si
tratta di provare qualche cosa, di definire qualche cosa, beh, questi sono problemi che non si possono
semplicemente spazzare sotto il tappeto. Ed ecco che allora le soluzioni che sono state trovate dai greci,
sono le soluzioni che ancora oggi vengono accettate dalla comunità dei matematici, dalla comunità dei
logici, perché sono quelle che effettivamente in qualche modo sono definitive.
Soluzioni
Per quanto riguarda il primo problema, cioè il fatto che non si possa
dimostrare niente, perché se uno vuole dimostrare tutte ipotesi sulle
¾ Assiomi
quali si basa un ragionamento, allora dovrà risalire indietro l'infinito,
¾ Nozioni primitive
ebbene si traduce semplicemente nel fatto che, ad un certo punto,
questo regresso all'infinito bisogna fermarlo, bisogna arrivare ad un punto in cui non si dice più, questa
cosa la dobbiamo ancora dimostrare, ma semplicemente questa cosa l'accettiamo, perché altrimenti non
sarebbe possibile fare nessun ragionamento. Queste cose, queste affermazioni, queste proposizioni che noi
accettiamo senza dimostrazione, vengono chiamate in matematica assiomi. Ed ecco qui che abbiamo
introdotto, magari così scherzando, parlando di paradossi, uno dei concetti fondamentali della matematica,
non soltanto moderna, ma già anche di quell'antica, già euclidea, perché Euclide fece questo primo grande
lavoro, questo primo grande trattato di geometria “elementi di geometria” di Euclide, che si basavano
proprio questo impianto, cioè sul fatto di stabilire una volta per tutte quali sono i punti di partenza,dopo di
che si prendono questi per buoni e si deducono i teoremi, si deducono le conclusioni, ma prima insomma
bisogna in qualche modo porre le fondamenta e le fondamenta si chiamano per l’appunto assiomi.. Questo
per quanto riguarda le dimostrazioni, ma per quanto riguarda le definizioni dobbiamo fare qualche cosa di
analogo. E allora ciò che corrisponde agli assiomi per i teoremi, nel caso delle definizioni sono le “nozioni
primitive”, cioè molte delle cose, molti dei concetti di cui si parla in matematica, nelle teorie matematiche,
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anche in filosofia, sono ovviamente delle cose che definiamo, sono concetti definiti, ma tutte le definizioni,
per avere un senso, devono ad un certo punto arrivare al punto di partenza e fermarsi, cioè devono arrivare a
dei punti che non sono più definiti, così come le proposizioni, devono arrivare a dei punti in cui non si
dimostra più. Le cose che non si dimostrano si chiamano “assiomi”, le cose che non si definiscono si
chiamano “nozioni primitive” e proprio su questo impianto, Euclide basò la sua grande opera, il suo grande
monumento alla matematica, appunto questi elementi.
Quindi i “cinque famosi assiomi di Euclide”, di cui parleremo poi ancora in seguito, quando arriveremo
verso il ‘700-‘800 e le “nozioni primitive”. Bene, facciamo un salto nel tempo e andiamo a vedere che cosa
successe ai paradossi di Zenone nel campo della teologia invece, perché verso il 1300, ma anche prima, tra
il 1000 e il 1300 fiorì questo movimento, il cosiddetto movimento della Scolastica, che fu il movimento che
diede vita alla teologia razionale di cui abbiamo già parlato in una delle lezioni introduttive. Qui ho segnato
alcun dei tre, anzi i tre personaggi più importanti, la trinità diciamo così di questa teologia razionale: sono
Aristotele, Avicenna e Tommaso.
Tutti e tre questi personaggi cercarono di utilizzare queste nozioni per arrivare a definire e dimostrare
l'esistenza di Dio; quindi vedete che già queste nozioni di definizione e di dimostrabilità erano entrate nel
saper comune, erano entrate nella pratica filosofica e anche teologica. Allora vediamo più da vicino che cosa
succede, cioè le nozioni di Dio che questi signori avevano in mente. Nelle figure ci sono Aristotele e
Tommaso d’Acquino, un po’ i due capisaldi, l’inizio e la fine di questo genere di discussioni e ci sono anche
le cinque famose definizioni che si riferiscono alle cinque vie di Tommaso, cioè i cinque modi per arrivare
alla divinità. La divinità viene definita come “l'ente necessario”, cioè qualche cosa che non richiede nessun
motivo per esistere, esiste semplicemente perché è lì, perché è necessario che esista. La seconda definizione
“l’ente perfetto”, perché la divinità è in contrapposizione con l'ente imperfetto, con tutte le cose che noi
vediamo sulla terra che sono ovviamente imperfette e Dio dovrebbe essere l’astrazione di queste cose e
l’astrazione di ciò che noi abbiamo intorno, è un essere per l’appunto perfetto. La terza definizione “il primo
motore”, cioè vediamo in terra cose che si muovono il cui moto è causato da qualche cos'altro e se noi
risaliamo all'indietro in questa successione, in questa catena di cause, arriviamo,ad un certo punto a quello
che si chiama “il primo motore”, cioè ciò che muove senza essere mosso. La quarta definizione “la causa
prima” è lo stesso tipo di argomento, lo stesso tipo di nozione, però riferito non più al moto, bensì alla
casualità. La quinta definizione “il fine ultimo” è semplicemente l'ente simmetrico dall'altra parte, cioè
guardare non a che cosa causa, ma a che cosa viene causato, perché si fanno le azioni e allora ciascuna delle
nostre azioni ha un certo fine, il fine a sua volta avrà un altro fine e così via, però se vogliamo evitare questo
regresso all'infinito o in questo caso progresso all'infinito, dobbiamo ad un certo punto fermarci e arrivare a
dire, bene, ci dev'essere qualcosa che è fine di ciò che viene prima, ma che non ha a sua volta un fine, è
l'ultimo fine, così come la cosa prima o il primo motore erano i primi. Ebbene tutte queste nozioni di Dio,
tutti gli argomenti della scolastica o perlomeno anche della teologia, alla maniera in cui la faceva Aristotele,
sono tutti basati su argomenti che sono l’analogo costruttivo di questi paradossi di Zenone, cioè il rifiuto del
regresso all'infinito. Però come potete immaginare, queste cose oggi sono un pochettino passate in
giudicato, diciamo così, non sono più quelle che noi oggi seguiamo nella nostra storia. Ebbene, allora
cerchiamo di venire più da vicino a noi e cercare di vedere come il paradosso di Zenone è stato affrontato
nei secoli più moderni. Il 1600, questo signore Gregorio di San Vincenzo, che era un filosofo, anche lui un
teologo, finalmente per la prima volta introduce quella che oggi è, o una di quelle, che oggi vengono
considerate come le soluzioni del paradosso di Zenone. Gregorio di San Vincenzo rivede il paradosso di
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Zenone e scopre che cosa? La cosa più ovvia diremmo oggi, cioè che qui abbiamo un segmento che
possiamo chiamare uno, che non sappiamo quanto sia, per esempio 1 km o 1 m, quello che vogliamo, una
distanza che vogliamo percorrere. Che cosa dice il paradosso? E’
impossibile percorrere questa distanza, perché prima dobbiamo fare
metà di questa distanza ed ecco che metà, lo scriviamo adesso in
termini matematici, 1/2, poi dobbiamo fare la metà di quel che
rimane, che sarebbe metà di metà, cioè un quarto, che scriviamo di
nuovo in termini matematici con +1/4, perchè lo dobbiamo sommare
a quello che già abbiamo già fatto, cioè alla prima metà del percorso,
poi dobbiamo sommare la metà della metà della metà, cioè +1/8 e
così via. Il così via lo scriviamo, come si scrive ovviamente, cioè con
i puntini, perché bisogna andare all'infinito e la soluzione di Gregorio
di San Vincenzo è che non c'è nessun paradosso. Queste è una somma
infinita, ci sono infiniti termini, ma non c'è nessun paradosso nel supporre che una somma d’infiniti termini
sia in realtà finita lei stessa, cioè è possibile introdurre delle somme analoghe a quelle solite che facciamo
con i numeri interi o frazionari, però se di solito aggiungiamo soltanto una quantità finita di numeri, ebbene
in questo caso ne aggiungiamo una quantità infinita, ma la somma in questo caso rimane finita. Questo è
l'inizio di quello che viene chiamata l'analisi matematica moderna, cioè la cosiddetta teoria delle serie; una
somma di questo genere viene chiamata serie, perché appunto ci sono tanti termini in serie. Ebbene, qui si
scopre per la prima volta, che il risultato di Zenone poteva essere interpretato in maniera positiva dicendo:
una serie di numeri infiniti sommati l'uno all'altro può avere una somma finita. Attenzione, non tutte le serie
possono avere una somma finita, se voi fate per esempio 1/2+1/3+1/4+1/5+…, cioè l'inverso di tutti i
numeri, questa è una serie che invece non ha somma. Ed ecco che allora di lì nasce il problema, il bisogno di
sapere quand’è che una serie ha una somma, quand'è che non ce l’ha e di qui nasce per l’appunto l'analisi
che sarà poi portata allo sviluppo da Newton, Leibniz e così via ed è proprio l'analisi che serve per far
nascere la fisica moderna, quella su cui si basano le teorie della fisica, della meccanica e così via, fino alle
teorie più moderne. Quindi vedete come un paradosso apparentemente innocuo e poi magari anche
fastidioso, potrebbe sembrare una storiellina da nulla, in realtà nascondeva una perla come in un'ostrica e la
perla era che Zenone aveva scoperto un fatto importante e questo gli sembrava paradossale, ma 2000 anni
dopo sembrerà meno paradossale, aveva scoperto che una somma infinita di numeri che sono tutti positivi,
benché via via più piccoli, può avere come somma una quantità
finita. Bene, questo è un risultato molto importante, ma il paradosso
di Zenone ovviamente venne usato in tante maniere. Per l'appunto in
questo caso, ho riportato Lorence Sterne, che scrisse questo famoso
romanzo Tristam Shandy, nel 1760. Sterne fece un uso abbastanza
paradossale esso stesso del paradosso di Zenone dicendo che non è
possibile scrivere la propria autobiografia.Vi leggo la sua paginetta,
perlomeno una frase del suo capolavoro. La frase dice la seguente
cosa: questo mese sono un intero anno più vecchio di quand'ero a
questa epoca 12 mesi fa; essendo arrivato, come potete vedere, quasi a metà del mio quarto volume, ma non
oltre il primo giorno della mia vita, questo dimostra che ho 364 giorni in più da scrivere ora di quando ho
iniziato, cosicché invece di avanzare nel mio lavoro come qualunque altro scrittore mi ritrovo al contrario
in ritardo di altrettanti volumi. Se ogni giorno della mia vita fosse così denso e gli avventi le considerazioni
su di esso richiedessero altrettante descrizioni, a questo ritmo, vivrei 364 volte più veloce di quanto possa
scrivere; ne consegue che, più scrivo, più avrò da scrivere e di conseguenza voi lettori più leggete e più
avrete da leggere. Beh, il paradosso di Sterne era precisamente questo, cioè che lui si mise a scrivere la
propria autobiografia nel 1760, produsse quattro volumi come dice e alla fine del quarto volume aveva
appena finito di raccontare il primo giorno della sua vita. A questo ritmo è chiaro che ogni volta che un
giorno della vita è passato, bisogna scrivere quattro volumi che richiedono un anno di tempo e ovviamente
la vita se ne va, perché questa cosa si ingigantisce sempre più e il paradosso è che non è possibile scrivere la
propria autobiografia, perché più si vive più c'è da scrivere e più c'è da scrivere, ovviamente, più c'è bisogno
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di tempo per scrivere eccetera. Quindi questo è ovviamente un modo scherzoso, ma molto interessante,
molto arguto, perfettamente inglese tra l'altro, di usare il paradosso di Zenone. Sempre per rimanere in
Inghilterra, ma per arrivare più vicini a noi, Lewis Carroll, che tutti voi conoscerete, questo signore vestito
da prete, perché prete era, lavorava in un collegio di Oxford, era un professore di matematica, ma voi lo
conoscete quasi tutti per motivi differenti. Lewis Carroll è noto per aver scritto due romanzi, due racconti
molto noti per bambini, che si chiamano appunto “Alice nel paese delle meraviglie” e “Alice attraverso lo
specchio”. Ebbene, Carroll insegnava matematica, scriveva questi racconti per delle sue amichette, delle
bambine a cui li raccontava e però ogni tanto si interessava anche di logica, perché di professionista quello
faceva. Ebbene scrisse un saggio che si intitola “Ciò che la tartaruga disse ad Achille” nel 1895, quindi la
fine dell'800, nel periodo in cui incominciavano ad arrivare questi paradossi anche nella matematica, il
paradosso di Russell a cui abbiamo accennato e su cui ritorneremo; ebbene Lewis Carroll propose un
paradosso che faceva vedere che non è possibile ragionare. E’ un
paradosso molto simile a quello degli scettici a cui abbiamo
accennato prima; gli scettici dicevano non è possibile dimostrare
nulla perché c'è bisogno sempre di riportare all'indietro l'ipotesi, non
è possibile definire nulla, perché c'è sempre bisogno di spostare
indietro le definizioni. Ebbene, Lewis Carroll dice che non è
possibile nemmeno ragionare perché bisogna usare delle regole, ma
come facciamo a capire come si usano le regole; beh, c'è bisogno che
qualcuno ce lo dica. Ebbene, dirci come si usano le regole significa
dare un'altra regola, una metaregola, per così dire, che ci dice come usare le regole. Benissimo, ma questa
meta-regola come facciamo a capirla? Anche lei a sua volta avrà bisogno di un'altra meta-metaregola che si
spiega come fare a usare questa metaregola e così via; quindi anche le regole che noi diamo del
ragionamento, non soltanto i punti di partenza, non soltanto gli assiomi, ma anche le regole stesse del
ragionamento logico, sono cose che in teoria dovrebbero continuare a risalire all'infinito. Quindi vedete lo
stesso tipo di argomenti usati in maniera scherzosa e il titolo si riferisce al fatto che il saggio di Lewis
Carroll è scritto come un dialogo tra Achille e la tartaruga e il dialogo è fatto quando si suppone che in
realtà Achille e la tartaruga si siano fermati Ovviamente sappiamo che, per il paradosso Achille, non poteva
raggiungere la tartaruga, si suppone che la tartaruga si sia fermata, Achille arriva, si siedono e incominciano
a discutere di logica matematica. Quindi, vedete come queste cose, ancora 2500 anni dopo, continuavano ad
avere vitalità. Un'altra formulazione molto interessante del paradosso di Zenone è questo qui, dato da Joshua
Royce, che è un filosofo verso la fine dell'800. Questo che vedete qui, in questo rettangolo, dovrebbe essere
l'Inghilterra, perché Royce era anche lui inglese, tanto per rimanere in questa scia. Ebbene, questa è una
é
mappa dell'Inghilterra, come potete vedere, un pezzo soltanto del territorio. Se questa mappa è ben messa, è
ben fatta, cioè riporta tutti i particolari, poiché sul territorio dell'Inghilterra c'è anche lei, c’è anche la mappa,
all'interno di questo territorio ci dev'essere una parte che abbiamo segnato qua giù con un altro
rettangolino (fig. centrale) che è la mappa della mappa, cioè la mappa riporta tutto ciò che è sul territorio;
una parte del territorio è la mappa stessa e il rettangolino verde è quello che all’interno del territorio
individua la mappa dentro il territorio. Benissimo, ma una volta che abbiamo fatto questo gioco, all’interno
di questa mappa ci sarà una mappa della mappa e cosi via e infatti qui (fig. dx) ne abbiamo messo una
dentro l’altra di questo genere. Ebbene, la cosa interessante è che questo ragionamento di Royce si può
rivoltare, lungi dall'essere un paradosso, si può far diventare una teorema e il teorema è il cosiddetto
teorema del punto fisso. Eccolo qua (fig. dx), se voi continuate a prendere una mappa all'interno della quale
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c'è una mappa, della mappa, della mappa, della mappa, ad un certo punto arriverete a definire un unico
punto, soltanto uno e questo ha una particolarità molto speciale, cioè è un punto che ovviamente sta sul
territorio, perché la mappa è posata sul territorio, ma sta anche sulla mappa, perciò è un punto che coincide
sia sulla mappa che sul territorio. Notate per esempio che questo angolo qui sulla mappa (fig.1a, angolo dx
in alto), quando noi andiamo a
vedere dove è messo dentro la mappa è questo qui (segui la
mano), questo è quello, questo è quello e così via; quasi tutti i punti vengono spostati man mano che noi
andiamo a prenderli e metterli dentro la mappa, ma uno di questi punti rimane fermo, si chiama “punto
fisso”, per l’appunto ed è un teorema questo, il “teorema del punto fisso”, cioè quando si fanno giochi di
questo genere, questi tipi di contrazioni, c'è sempre almeno un punto che rimane fermo. Bene, un altra
versione del paradosso di Zenone è data da Franca Kafka. Anzi si dice che tutti i romanzi di Kafka siano in
realtà delle incarnazioni del paradosso di Zenone, perché se voi pensate i protagonisti dei romanzi di Kafka
sono sempre lì di fronte ad infiniti ostacoli, ne passano uno e poi alla fine c'è ne un altro, ce n'è un altro, ce
n'è un altro, ce n'è un'infinità, sono tutti dello stesso genere, uno più piccolo, l'altro più grande; quindi
l'intera letteratura kafkiana è basata sul paradosso di Zenone. Qui invece ho citato un particolare esempio, si
chiama il messaggio dell'imperatore, è solo una pagina, ve la lego perché è proprio una versione letteraria
del paradosso di Zenone, si tratta di un brevissimo racconto.
Dice: “l'imperatore, così si racconta, ha inviato a te, ad un singolo, ad un misero suddito, minima ombra
sperduta nelle più lontane delle lontananze del sole imperiale,
proprio a te l'imperatore ha inviato un messaggio dal suo letto di
morte. Ha fatto inginocchiare il messaggero al letto, sussurrandoli
il messaggio e gli premeva tanto che se le fatto ripetere
all'orecchio; con un cenno del capo ha confermato l'esattezza di
ciò che gli veniva detto e dinanzi a tutti coloro che assistevano alla
sua morte, dinanzi a tutti ha congedato il messaggero. Questi si è
messo subito in moto, è un uomo robusto, instancabile,
manovrando or con l'uno or con l'altro braccio, si fa strada nella folla; se lo si ostacola accenna al petto su
cui ha segnato il sole e procede così più facilmente di chiunque altro, ma la folla è così enorme e le sue
dimore non hanno fine. Se avesse via libera, all'aperto come volerebbe e presto ascolteresti i magnifici colpi
della sua mano alla tua porta, ma invece si stanca inutilmente. Cerca di farsi strada nelle stanze del palazzo
più interno, non uscirà mai a superarle e anche se gli riuscisse, non servirebbe a nulla, dovrebbe aprirsi un
varco scendendo tutte le scale e anche se gli riuscisse non servirebbe a nulla; c'è ancora da attraversare tutti i
cortili, dietro a loro il secondo palazzo e così via per millenni e anche se riuscisse a precipitarsi fuori
dell'ultima porta, ma questo mai e mai e poi mai potrà venire, c'è tutta la città imperiale di fronte a lui, il
centro del mondo ripieno di tutti i suoi rifiuti, nessuno riesce a passare di lì e tanto meno con il messaggio di
un morto, ma tu vai alla finestra e ne sogni quando giunge la sera”. Quindi vedete proprio una riedizione, un
riscrivere il paradosso di Zenone in maniera letteraria, questi infiniti ostacoli che si frappongono al
messaggero che cerca di portare il messaggio dell'imperatore che l’imperatore gli ha mandato dal suo letto
di morte. Voi siete lì che aspettate che arrivi il messaggero, il messaggero non arriverà mai; è proprio
semplicemente lo stesso paradosso di Zenone rifatto in maniera letteraria. Ebbene, ci sono tanti altri autori
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che hanno scritto sul paradosso di Zenone, ne ho citato soltanto uno dei miei preferiti, soltanto non vi posso
leggere di nuovo altre pezzi, perché ormai il tempo vola e arriveremo purtroppo alla fine della lezione
anche se c'è il paradosso di Zenone che dice che intanto non saremmo mai arrivato alla fine. Ebbene, però vi
consiglio perlomeno di leggere alcuni dei saggi di Jorge Louis Borges, in particolare questi passaggi sulla
metempsicosi della tartaruga. Borghese aveva fatto degli studi sui paradossi di Zenone, li ha raccontati nella
maniera impareggiabile che sapeva fare lui, li ha anche usati in alcuni dei suoi racconti originali, per
esempio in questo qui “la morte e la bussola del 1944”, in cui c'è un assassinio; ebbene c'è un detective che
sta seguendo questo assassino, sta cercando di capire dov'è che avverrà il prossimo delitto, ad un certo
punto arriva nel luogo che lui prevede è quello del prossimo delitto e lì trova effettivamente l'assassino che
sta aspettando, che aveva fatto i delitti precedenti semplicemente per
attirare lui, detective, in quel luogo e ammazzarlo. Allora il detective
gli dice: però mi hai fregato in una maniera un po' strana, la prossima
volta fammi almeno un labirinto come quello di Zenone, cioè
attirami in un luogo, poi a metà, poi ad ¼, poi ad 1/8, eccetera e
l’altro gli dice, si va bene, la prossima volta in un’altra vita, in
un’altra delle tue metempsicosi, per l’appunto, come in uno di questi
casi, ti aspetterò così, ma per questa volta ti sparo e ti faccio fuori
adesso. Quindi questo è il modo in cui Borges, appunto uno dei
grandi scrittori latino americani di questo secolo, ha usato anche lui il paradosso. Quindi vedete che il
paradosso è stato usato nella filosofia, è stato usato nella teologia, lo abbiamo visto nelle prove
dell’esistenza di Dio, è stato usato nella letteratura, abbiamo fatto degli esempi abbastanza vari, nella
letteratura inglese con Sterne e Louis Carroll, nella letteratura di lingua tedesca con Kafka, nella letteratura
di lingua spagnola con Borges. Quindi effettivamente è una grande profusione di questi argomenti, ma per
finire vorrei invece farvi vedere delle rappresentazioni grafiche del paradosso di Zenone ed ho scelto uno
degli autori che più si prestano a raccontare queste cose dal p. di v. matematico, perché è un autore che è a
metà tra la matematica e l’arte, si chiama Escher. Molti di voi lo conosceranno, perché alcune delle sue
pitture sono precisamente delle pitture paradossali, lui ha usato molti dei paradossi visivi cercando di farli
diventare arte indipendente, fine a se stessa. Ebbene due di questi due lavori che si chiamano appunto
“Sempre più piccolo” del 1956 e “Limite del quadrato” del 1964, sono basati direttamente sul paradosso di
Zenone e sono questi qui (fig.1a) fatti vedere in piccolo, che adesso vediamo più da vicino in grande.
Il primo quadro “Sempre più piccolo”, è un tentativo di far vedere il paradosso di Zenone quando ci sono
delle figure; vedete qui delle specie di pesci, che sono fatte a grandezza naturale nel centro del quadrato e
poi si avvicinano verso il bordo del quadrato in maniera da diventare appunto come dice il titolo, sempre più
piccoli, ma l’idea che ovviamente ha mutuato, come tutti gli altri di cui abbiamo parlato poco fa, dai
paradossi di Zenone è che questo dipinto non può mai essere terminato, perché ogni volta questi pesci
diventano più piccoli, però non c’è mai la fine, cioè se voi prendete una lente di ingrandimento vi accorgete
che potete farne ancora di più piccoli, ancora di più piccoli, Escher stesso lavorava con delle enormi lenti di
ingrandimento, cercando di incidere figure sempre più piccole. E questa è l’idea quindi, vedete come dal
centro si dipartono delle figure che diventano sempre più piccole. Nel quadro successivo “limite del
quadrato” si ha invece, per questo lo scelto, la figura esattamente opposta, cioè in questo quadro voi vedete
figure di nuovo analoghe, questa volta sono delle lucertole, però la grandezza naturale è sui lati e sui bordi e
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le figure rimpiccioliscono andando verso il centro, quindi una figura perfettamente speculare, ogni volta
diventano più piccole, ma anche qui verso questo centro, c’è questo buco, diciamo così, che non ha mai fine,
che non viene mai completato, che non viene mai raggiunto, perché precisamente c’è quel famoso punto
fisso di cui abbiamo parlato poco fa. Notate che il punto fisso è qualcosa che anche Dante aveva in mente,
perché ad un certo punto c’è un verso della Divina Commedia che dice “io sentiva osannar di coro in coro al
punto fisso che li tiene uniti”. Ebbene io credo che con questa citazione tratta dalla Divina Commedia,
possiamo concludere questa nostra lezione sul paradosso di Zenone.
Spero di essere riuscito a convincervi che il paradosso di Zenone, così come l’altra volta quello del
mentitore, non è soltanto un giochetto. I paradossi sono delle spine nel fianco, sono degli argomenti che
possono essere presi in maniera sotto gamba, per così dire, però possono anche essere presi in maniera seria
e si possono analizzare da un p. di v. matematico, da un p. di v. filosofico, da un p. di v. letterario e artistico
LEZIONE 4: IL teatro dell’assurdo
Benvenuti a questa terza lezione del nostro corso di logia matematica, dopo quella introduttiva naturalmente. Nelle prime due lezioni abbiamo cercato di analizzare una delle tre radici della logica, che avevamo anticipato. La prima radice l’abbiamo appena toccata nell’introduzione, poi non ne abbiamo più
parlato ed era “la dialettica”, il tentativo di formalizzare gli argomenti che usano i giuristi , i politici nelle
discussioni e così via: Il secondo argomento, la seconda via, la seconda radice della logica matematica era lo
studio dei paradossi ed abbiamo cercato di vedere in dettaglio due dei paradossi più importanti, cioè il
paradosso del mentitore e il paradosso di Achille e la tartaruga, i paradossi cosiddetti di Zenone.
Oggi invece entriamo più nel vivo, nella faccenda, il nostro corso si chiama per l’appunto logica matematica e quindi dovremmo incominciare a parlare di matematica, ma non vi preoccupate perché in realtà la
matematica è qualche cosa che a che vedere con l'intera cultura e il modo con cui ne parleremo oggi è per
l’appunto cercare di vedere qual è stato l'influsso di uno dei più grandi matematici della storia, che si chiama
appunto Pitagora, di cui parleremo per tutta l'ora. Il nostro personaggio Pitagora, nacque verso il 570 a.C. e
morì il 496 a. C., quindi sesto secolo a. C. È stato uno degli iniziatori della matematica greca, è stato uno dei
matematici a cui viene associato uno dei teoremi più famosi, il teorema di Pitagora, di cui parleremo verso la
fine di questa nostra lezione. Cerchiamo di vedere più da vicino quale
era il tipo di lavoro che faceva Pitagora. Pitagora era in realtà un
profeta, era l'iniziatore di una scuola, era un qualcuno che veramente
trascinava folle di studenti e così via. Ebbene, forse non molti di voi
sanno da dove arriva il nome di matematico. Pitagora faceva lezione a
due tipi di pubblico differenti, il primo pubblico era un pubblico di
uditori, erano quelli che oggi potremmo identificare con coloro che
vanno a vedere, a sentire più che altro, le conferenze divulgative dei
grandi maestri, dei premi Nobel, ma anche dei professori come noi,
Acusmatici = uditori
che cercano di spiegare alcuni aspetti della scienza, della matematica
e di tante altre cose. Questi uditori ovviamente vogliono sentire delle
Matematici = apprendisti
cose che si possono capire, vogliono sentire delle conferenze di natura
didattica, ebbene gli uditori in greco venivano chiamati acusmatici, come tutti voi e anche coloro che non
sanno greco, intuiranno che acustica è per l'appunto la scienza dell'udito, la scienza di ciò che si sente con
l'orecchio. Però il lavoro del professore, il lavoro del ricercatore non è soltanto quello di divulgare i suoi
risultati, di far capire ad un pubblico più vasto, quali sono le cose che ha ottenuto, ma ovviamente anche di
ottenere queste cose, prima di andare a divulgarle e per ottenere queste cose ci vuole naturalmente una
ricerca molto approfondita, un lavoro quotidiano di studio e di fatica. Questo lavoro viene in genere fatto dai
professori nelle università oggi diremmo, cioè parlando, facendo lezione, come quella che stiamo facendo
oggi insieme, ebbene coloro che avevano invece accesso a questo secondo livello dell'insegnamento
pitagorico, cioè coloro che non erano dei puri e semplici uditori, ma che erano dei veri e propri apprendisti,
cioè che cercavano di andare a scuola per imparare la matematica e poi mettere in pratica, per diventare a
28
loro volta loro stessi dei matematici, dei professori e così via, questi apprendisti venivano chiamati in greco
matematici, perché matè era per l’appunto l’apprendimento. Ecco che matematico allora vuol soltanto dire
apprendista, cioè matematico è colui che non si ferma al primo livello, che non vuole soltanto fare
l'ascoltatore di cose che gli possono interessare, ma che sono cose che lo interessano più da vicino, nel
profondo, vuole in realtà apprendere, vuole diventare qualcuno che sappia sporcarsi le mani, che sappia
imparare il mestiere praticamente. Il mestierante, diciamo così, i ragazzi di bottega di Pitagora, erano quelli
che in realtà si chiamavano matematici e oggi il termine naturalmente è stato esteso, perché matematici oggi
sono coloro che invece si applicano più precisamente nel campo della matematica e la matematica è
diventata semplicemente un nome per ciò che Pitagora insegnava ai matematici, cioè a questo pubblico
ristretto di uditori. Che cosa insegnava Pitagora? Pitagora aveva una visione dell'universo molto precisa ,
molto particolare, di cui appunto adesso cercherò di darvi di alcuni cenni, ma questa visione non era una
visione campata per aria. Pitagora è stato forse il primo grande scienziato della storia, perché la sua visione
matematica e la sua visione filosofica, in realtà era entrambe queste cose, è nata da un episodio molto
particolare, di cui adesso vi racconto. Si dice che Pitagora passeggiava un giorno in città, passò vicino ad
un'officina di un fabbro che stava lavorando con i suoi garzoni, anche lui aveva i suoi matematici, gli
apprendisti e c’erano anche gli uditori, coloro che sentivano i rumori dei martelli. Pitagora passa e sente dei
martelli che battono e si accorge, cosa che non ci voleva molto a capire, che alcuni suoni sono consonanti,
cioè non stridono fra di loro e alcuni suoni invece sono dissonanti, cioè danno fastidio quando vengono
suonati insieme. Io penso che, come siamo abituati oggi, se entrassimo in una bottega d'un fabbro ci
darebbero fastidio tutti i rumori, ma all'epoca forse c'era una battuta di martelli ogni tanto. Allora cosa fece
Pitagora? Entrò dentro questo negozio di fabbro, dentro quest'officina e volle andare a fondo e questa è la
differenza tra noi e Pitagora, che noi forse passeremo, sentiremo i rumori, ci piaccia e non ci piaccia e poi ce
ne andremo. Lui cercò invece di andare a fondo e di indagare, scoprire qual’era il motivo per cui alcuni
suoni erano dissonanti e alcuni suoni erano consonanti. Che cosa scoprì? Scoprì anzitutto questo primo
fatto, che quando due suoni erano lo stesso suono, noi diremmo oggi la stessa nota, per esempio due “do”, è
ovvio che i due martelli devono avere lo stesso peso (devo fare una piccola premessa, cioè se due martelli
sono uguali devono avere lo stesso suono, il cosiddetto unisono e il rapporto fra due martelli dev’essere per
l’appunto uno a uno).
Rapporti armonici Rapporti numerici
Però il problema è che a volte lo stesso suono può succedere
¾ ottava
2:1
ad altezze diverse; per esempio un “do” ad una certa altezza
¾ quinta
3:2
e poi un “do” un'ottava superiore. Allora Pitagora scoprì che
¾ quarta
4:3
i rapporti tra i pesi dei martelli che risuonavano ad un'ottava
erano di due ad uno, cioè due martelli che suonavano la stessa nota, però a distanza di “un'ottava” uno
dall'altro (cioè a frequenza doppia), erano uno il doppio dell'altro, cioè pesavano uno il doppio dell'altro.
Benissimo, altri esperimenti, altro suono. Pitagora scopre che c'è un rapporto anche fra due suoni che stanno
fra di loro come “una quinta” diremmo noi, per dirla in termini musicali moderni, per esempio tra il “do” e
il “sol”, quindi una differenza di cinque note della scala solita (do, re, mi fa, sol, la, si; do1, re1, mi1, fa1, sol1,
la1, sil1; do2, re2., . . . . . . eccetera). Ebbene, la scoperta di Pitagora fu che il rapporto tra i pesi dei martelli per
la quinta era di tre a due, cioè invece di essere uno doppio dell'altro, perché in questo, come caso abbiamo
detto prima, ci sarebbe stato un suono di 1/8, erano una volta e mezza dell'altro, 50% in più di peso e il
suono che risuonava fra i due, era un accordo di “quinta”. Ancora una cosa, per l'accordo di quarta, per
esempio “do” e “fa”, cioè la differenza di quattro note, i rapporti peso erano di quattro a tre. Ebbene questa
fu una scoperta sensazionale, perché in realtà Pitagora si accorse che era possibile esprimere quelli che oggi
ancora chiamiamo rapporti armonici, cioè i rapporti tra note, per esempio “l'ottava”, due note a distanza di
un ottava, per esempio “do-do1”, la “quinta” per esempio “do-sol”, la quarta “do-fa” e quindi rapporti
musicali, cioè quelli che oggi noi faremo su una tastiera, facendo degli accordi, ebbene era possibile
esprimere questi rapporti armonici mediante rapporti numerici, cioè mediante delle frazioni, che in realtà
non erano soltanto dei numeri, ma indicavano i rapporti tra i pesi dei martelli. E questa fu veramente una
scoperta sensazionale, che ho cercato di indicare qui in un triangolo, in cui si vede da una parte la
matematica che interviene con questi rapporti che ho detto 2 a 1, 3 a 2, 4 a 3 e così via e dall'altra parte la
fisica, perché i pesi dei martelli sono cose che riguardano il mondo fisico. Da una parte abbiamo una certa
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quantità in peso del martello e dall'altra parte la musica, cioè i rapporti
musicali e c'era questa specie di trinità, questa specie di rapporto tra tre
cose, così apparentemente diverse come la matematica, (lo studio delle
idee, dei numeri, delle figure), la fisica, (lo studio del mondo esterno, i
pesi, le lunghezze eccetera) e la musica lo studio dei suoni. Pitagora su
questo ovviamente meditò, cercò di costruire addirittura un'intera
filosofia e da questo nacque il pitagorismo per l’appunto. Ora questa
commistione tra musica, matematica e fisica, oggi non è moderna,
benché anche su questo vedremo tra poco che c'è qualche cosa da dire,
però se dimentichiamo per un momento la musica, oggi il rapporto tra
matematica e fisica è qualche cosa di strettissimo ed è veramente ciò che sta alla base, se vogliamo
chiamarla in questo modo, dell'ideologia scientifica, cioè il fatto che la fisica, cioè lo studio delle cose che
succedono nel mondo esterno, è qualche cosa che si può descrivere attraverso un linguaggio che è il
linguaggio della matematica, il linguaggio dei numeri, che a prima vista insomma non hanno niente di
comune. Questa fu veramente una scoperta grandiosa e come abbiamo visto per Pitagora c'era anche
qualche cosa in più, c'era addirittura anche la musica, cioè l’arte, quindi c'era la scienza, c'era l'arte, c'era la
matematica che metteva un po' tutto insieme. Ebbene su queste basi, su questi esperimenti di natura
musicale e anche appunto di natura fisica e matematica, Pitagora scrisse un credo, che non è un credo
naturalmente del tipo di quelli a cui siamo abituati quando andiamo, chi ci va naturalmente in chiesa, è un
credo che per cui non si deve credere semplicemente perché qualche profeta l'ha detto. Veramente anche
all'epoca i seguaci di Pitagora facevano effettivamente così, tutti voi ricorderete il detto “ipse dixit”, che in
genere viene riferito ad Aristotele, perché così si diceva nella Scolastica nel Medioevo, “lo ha detto” lui
Aristotele, siccome i greci non parlavano in latino, l'analogo di questo detto l’ipse dixit era e fu usato per la
prima volta dai seguaci di Pitagora, il genio che aveva scoperto questi segreti della natura, il fatto che la
natura aveva qualche cosa a che vedere con la musica e con la matematica, il fatto che la matematica era
questo linguaggio segreto, quasi arcano, esoterico che poteva permettere di raccontare da una parte come era
fatta l'arte, dall'altra parte la scienza. Ebbene Pitagora divenne quasi un profeta ed il credo fu effettivamente
una specie di credo religioso. Questo credo era “tutto è numero nazionale”. Come mai?
Il Credo di Pitagora
Tutto è numero nazionale perché Pitagora aveva scoperta che questi
Tutto è
rapporti musicali si potevano esprimere attraverso una frazione, cioè
numero razionale
appunto attraverso quello che oggi noi chiamiamo numero razionale e su
questa terminologia arriveremo, ritorneremo tra un momento. Dicevo, una volta scoperto che in un caso
così strano, come quello della musica, si poteva trovare la possibilità di usare la matematica, il linguaggio
della matematica per esprimere delle cose che fossero fondamentali per quanto riguarda musica e fisica,
ebbene Pitagora fece quello che fanno in genere i visionari, cioè decise che questo non era un caso, non era
soltanto un esempio fortuito, ma era il segno tangibile di qualche cosa di invisibile, per dirla in termini più
vicina al credo, cioè era effettivamente l'idea che poteva stare dietro ad un'intera filosofia, che non soltanto
quel caso particolare dei suoni creati da martelli e dei rapporti armonici musicali potevano essere espressi
mediante numeri razionale, ma tutta la natura, tutta l'arte e così via. Quindi Pitagora fu il primo, colui che
introdusse questa nozione che la matematica poteva essere un linguaggio di natura universale. Vediamo più
da vicino però questa terminologia, perché è molto importante capirla, spesse volte poi si fa anche
confusione. Come chiamavano i greci ciò che noi oggi chiamano rapporto, rapporto numerico, cioè tra
frazioni? Ebbene anzitutto vediamo come lo chiamavano i latini: lo chiamavano “ratio”, cioè la “ratio”, la
razionalità per i latini era semplicemente quello che i greci chiamavano il “logos” ed era semplicemente la
possibilità di esprimere cose attraverso i rapporti, cioè erano cose veramente basate sulla matematica.
Il “razionale” era ciò che si poteva descrivere in modo matematico attraverso la matematica che allora si
logos = ratio = rapporto
conosceva , cioè quella dei numeri razionali. L’irrazionale,
su cui torneremo poi tra un pochettino, all'epoca Pitagora
linguaggio = pensiero = matematica
non l’aveva ancora scoperto, non pensava che ci fosse
qualche cosa di irrazionale, che non era ciò che noi oggi, dopotutto il romanticismo, per esempio dopo
l’800, pensiamo come qualche cosa che va al di là della ragione, ma era semplicemente ciò che non si
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poteva scrivere in termini di rapporti matematici. Il “logos” è anche qui una parola universale, che descrive
tantissime cose, però ricordatevi, per esempio il Vangelo secondo Giovanni che era scritto in greco e
l’inizio, la prima frase, del Vangelo secondo Giovanni noi la traduciamo malamente come “in principio era
il verbo, il verbo era Dio, il verbo era presso Dio”, ebbene la parola che si usa in greco era logos, perciò “in
principio era il logos e il logos era Dio”, se voi “logos” lo traducete in questi termini, andrebbe tradotto
letteralmente “in principio era la ragione, cioè in principio era il rapporto numerico, cioè la frazione e allora
la divinità era che cosa? Era la ragione in un senso ed era il numero dall'altro, quindi vedete che l'inizio del
Vangelo secondo Giovanni, che tra l'altro è un vangelo gnostico, cioè un vangelo di tipo differente dai tre
vangeli cosiddetti sinottici che lo precedono, è il Vangelo che insomma si presta a delle interpretazioni
molto diverse, anche da quelle che ormai si sono sedimentate nella storia delle religioni, ma questo è un
altro discorso che abbiamo già affrontato in un'altra sede. Ebbene questa identità tra logos in greco, fra ratio
in latino e fra rapporto in italiano, è qualche cosa che sta sotto un'identità più importante, perché il rapporto
è per l'appunto qualche cosa di matematico, la ratio nel momento in cui noi intendiamo “ragione” con
qualche cosa di più generale, diventa la razionalità, la possibilità di pensare e il logos è, come si fa in genere
nelle traduzioni del Vangelo secondo Giovanni, il verbo, il linguaggio. Ed ecco che allora il credo pitagorico
è qualche cosa di più generale, che dice che in realtà il linguaggio, il pensiero e la matematica sono
indissolubilmente legati, non è soltanto una questione di legare fra loro il linguaggio universale della
matematica e la fisica, cioè scienza, musica e arte, bensì di legare fra loro tutto praticamente, la capacità di
parlare, la capacità di pensare, con la matematica. Benissimo, allora cerchiamo di analizzare più da vicino,
visto che questo credo pitagorico era così importante, quali sono stati i suoi influssi in tre campi diversi, cioè
la scienza, musica e la matematica.
Pitagorismo in:
Allora cominciamo subito con la scienza; ebbene il primo che prese
1. Scienza
seriamente questo credo pitagorico fu Platone il quale, perlomeno in uno
2. Musica
dei suoi dialoghi più importanti, più esoterici che si chiama il “Timeo”,
3. Matematica
quarto secolo a.C., costruì un'intera cosmogonia, cioè cercò di capire, di
far capire come era fatto il mondo e il mondo secondo il Timeo di Platone era un mondo fatto di natura
Scienza
matematica, cioè il mondo era costituito da oggetti le cui forme elementari,
Platone
quelle che noi oggi chiameremo gli atomi, le particelle elementari, erano
(IV secolo a. C.)
in realtà gli angoli, cerchi, quadrati e così via. Sono poi quelli che Galileo
Timeo
avrebbe detto sono i simboli dell'alfabeto del linguaggio della natura.
Quindi pensate che già subito dopo Pitagora, già qualcuno avesse pensato di costruire una cosmogonia, un
immagine dell'universo basata su un pensiero matematico, che all'epoca era ovviamente ancora rudimentale,
ma che poi la scienza avrebbe sviluppato, avrebbe fatto diventare quello che poi è diventato effettivamente
oggi, cioè la possibilità di descrivere un'infinità enorme veramente di fatti disparati, attraverso un unico
linguaggio comune che è quello della matematica. Ebbene altri personaggi che s'ispirarono a Pitagora
furono per esempio Keplero e Newton a cui arriveremo tra breve.
Keplero addirittura intitolò uno dei suoi capolavori, uno dei suoi libri
Keplero
Armonia del mondo
più importanti ” L’armonia del mondo”, 1619; “De armunicae mundi”
(1619)
era questo mondo, in cui da una parte c'è la natura, l'universo e dall'altra
Terza legge
parte c’è la musica e la musica si esprime appunto attraverso l'armonia.
Ebbene Keplero era talmente addentro a questa filosofia pitagorica che i suoi calcoli, le sue scoperte anche
nel campo della fisica, vengono fatte proprio riferendosi a questo credo pitagorico, al fatto che ci sia
un'identità tra linguaggio, tra matematica, tra musica e così via. Addirittura vi ricordo, come saprete tutti,
che Keplero scoprì, usando i risultati di esperimenti fatti da astronomi, le famose tre leggi di Keplero, le tre
leggi che poi Newton derivò dai suoi principi, ebbene le tre leggi, la prima di esse molto semplice, diceva
che i pianeti girano intorno al sole seguendo delle orbite ellittiche e il sole sta in uno dei fuochi, mentre la
seconda legge diceva come si muovono questi pianeti, cioè spazzano delle aree che sono proporzionali, cioè
le stesse aree sono spazzate in tempi uguali, poiché l’ellissi non è una figura regolare come un cerchio, per
cui in un cerchio semplicemente si sarebbe detto in tempi uguali si fa un percorso uguale, mentre invece
nell’ellisse bisogna andare più veloci o più lenti, a seconda di dove ci si trova, cioè che l’area che viene
spazzata è la stessa in un tempo che è lo stesso, infine la terza legge, che è una legge strabiliante, molto
31
difficile da derivare e addirittura non è nemmeno una legge precisissima, tanto che Newton la derivò
soltanto in maniera approssimata, ebbene la terza legge diceva che “la distanza al quadrato di un pianeta è
proporzionale al cubo del tempo che il pianeta ci mette a fare la rivoluzione intorno al sole, non importa
quali siano i dettagli di questa legge, quello che vi invito a considerare sono questi due numeri, il quadrato
della distanza e il cubo del tempo impiegato, cioè 2 e 3, cioè il rapporto di 3 a 2; ebbene Keplero disse
d'aver scoperto questa terza legge perché doveva esserci per l'appunto un armonia dell'universo, un armonia
del mondo e uno dei modi in cui l'armonia si manifesta è precisamente attraverso i rapporti musicali e
questo rapporto di 3 a 2 significava che c'era un rapporto di “quinta”. Quindi pensate voi che oggi, che
queste cose sono state completamente abbandonate, come invece ragionavano i nostri predecessori, i primi
scienziati della storia, cioè ragionavano in questi termini musicali. Scoprirono le leggi perché ci dovevano
essere dei numeri che corrispondevano a delle cose musicali. Veniamo a Newton ora, noi crederemo che
Newton quando scrive il suo capolavoro “i principi di filosofia naturale”, del 1619, pensi in una maniera
differente, cioè scopre la legge di gravitazione in una maniera che non è questa che avevamo detto di
Newton
Keplero e invece no. Newton disse in uno dei commenti ai Principia
Principia Naturalis
matematica, disse di aver scoperto la legge di gravitazione universale
Philosophiae
semplicemente andando a vedere quali erano le leggi che Pitagora
(1619)
aveva scoperto per l'armonia. Poiché l'universo doveva essere in realtà
Legge di gravitazione
come una lira che veniva suonata da Apollo e le corde della lira erano
una forza che teneva unite da una parte il sole e dall'altra parte i pianeti, siccome una delle leggi pitagoriche
dell'armonia era precisamente che la frequenza era inversamente proporzionale al quadrato della lunghezza,
ebbene Newton disse allora che la frequenza, cioè semplicemente quello che corrisponde, diciamo così alla
forza di attrazione, doveva essere inversamente proporzionale al quadrato della distanza del pianeta dal sole
ed ecco quindi la famosa legge quadratica che lega la forza di gravità del sole con i pianeti, una forza che,
secondo Newton, è stata scoperta da lui semplicemente mettendosi nell'ottica del pitagorismo. Ora voi
direte, va bene, insomma queste sono cose un po' passate, sono cose di tanti secoli fa, ma passiamo quasi
con un salto felino a oggi, questo signore che vedete qui in una
fotografia, già la fotografia vi dice che ovviamente non possiamo
essere molto lontani perché non è cosa di un secolo fa, ebbene
questo Witten è in realtà uno dei vincitori della medaglia Fields, che
è Fields l’analogo del premio nobel per la matematica, il premio
Nobel non esiste per la matematica, c’è una medaglia analoga che si
chiama appunto medaglia Fields e questo signore l’ha vinta nel
1990. La medaglia Fields viene data ogni 4 anni, quindi tre volte fa,
perché poi c’è stato soltanto il congresso nel ‘94 e ’98. Ebbene
questo signore Witten è uno dei matematici che vanno per la maggiore, è anzi uno dei fisici matematici che
stanno cercando di trovare l'unificazione delle forze, cioè cercando di trovare quello che si chiama in realtà
“la teoria del tutto”, di mettere insieme da una parte la teoria della gravitazione universale e dall'altra parte
la meccanica quantistica. Una delle forme che Witten ha trovato per cercare di risolvere questo dilemma
profondissimo della scienza moderna, è la cosiddetta “teoria delle stringhe”. Ebbene, le stringhe che cosa
sono? Sono l'analogo degli atomi per questi signori moderni, cioè invece di pensare la materia come se fosse
fatta di puntini, fate presente un piccolo sistema solare in cui c'è un nucleo e poi degli elettroni che girano
intorno, ebbene invece di pensare alle particelle come punti materiali, questi signori pensano le particelle
come stringhe, come dei lacci da scarpa che vibrano in qualche modo nello spazio. Queste vibrazioni sono
precisamente l'analogo delle vibrazioni delle corde musicali di cui già parlava Pitagora e si pensa oggi che ci
sia un solo tipo di stringhe, cioè questo sarebbe l'unificazione delle forze, tutte particelle sono la stessa
particella, se uno guarda da un punto di vista fisico, sono tutti pezzi di corda, ma la differenza fra le varie
particelle, per esempio ciò che fa di una stringa un elettrone e di un'altra stringa un protone per esempio, è
semplicemente il fatto queste stringhe vibrano in maniera diversa, detta in termini musicali le particelle
sarebbero le armoniche delle stringhe moderne. Quindi vedete come, questa visione, che unisce la
matematica, la fisica e la musica, in realtà che è partita da Pitagora, continua ad essere ancora viva al giorno
d'oggi e può essere forse, una delle soluzioni di uno dei problemi più fondamentali della fisica moderna.
32
Quindi effettivamente il pitagorismo è molto forte nel campo della scienza. Vediamo più da vicino invece il
suo influsso nel campo della musica. Nel campo della musica ci fu subito un problema. Pitagora stesso,
come dice questo nome del “comma pitagorico”, scoprì una cosa abbastanza interessante, cioè se voi
prendete cinque ottave, cioè 5 scale musicali di 7 note, (il rapporto frequenze tra una scala e la successiva è
doppio, doppio peso dei martelli, quindi alla seconda ottava corrisponde un peso del martello 2x2 , alla terza
ottava (2x2)x 2, alla quarta ottava, (2x2x2)x2 e alla quinta 2 elevato 5), ebbene cinque ottave dovrebbero
essere uguali a 12 quinte, (cioè partendo da do1 si arriva a do5), coloro di voi che suonano il pianoforte lo
sanno. Ora ricordate che un'ottava è realizzata con un rapporto peso tra martelli 2 ad 1 e una quinta con
rapporto peso tra martelli di 3/2, ebbene Pitagora scoprì che da un punto di vista numerico non c'è modo di
Musica
elevare 2 ad un esponente 5 in modo che venga uguale a 3/2 elevato ad
Problema
un altro esponente perché c'è quel 3 che dà fastidio; quindi già Pitagora
Comma pitagorico
sapeva che non è possibile dopo 5 ottave ritornare esattamente
5 ottave = 12 quinte
all'analogo di 12 quinte detto e che il “ciclo delle quinte”, le 12 note che
corrispondono a queste quinte in realtà non si chiude. Per Pitagora “il ciclo delle quinte” in realtà era una
spirale infinita. Questa è qualche cosa che diede molto fastidio e che produsse appunto un problema che
venne risolto molto tempo dopo, in realtà secoli dopo, verso le 1700 circa, da quello che oggi viene
chiamato il “temperamento”. C’è l'idea di dire, è vero che i toni pitagorici sono toni che corrispondono a dei
rapporti di tipo razionale 2 a 1 per le ottave”, 3 a 2 per le “quinte”, però se noi vogliamo continuare a
mantenere questi numeri razionali, abbiamo il problema precedente, cioè abbiamo il fatto che il ciclo delle
Soluzione
quinte non si chiude. E allora, qual’è la soluzione? La soluzione
Temperamento
è quella di temperare l’accordatura degli strumenti e di far sì che
Tono = radice 12a di 2
le 12 “quinte” vengano forzatamente a corrispondere a 5 “ottave”.
Questo però corrisponde a far sì che un'ottava, ciò che è quello che corrisponde 2 a 1, cioè ad un peso o una
lunghezza di 2, si possa ottenere mediante 12 applicazioni di qualche cosa che corrisponda ad un intorno.
Come si fa a fare 12 applicazioni? Bisogna fare un elevamento alla dodicesima potenza, se noi vogliamo
invece farne una sola, noi dobbiamo fare una radice dodicesima di 2. Ed ecco il motivo per cui Pitagora non
poteva risolvere il problema; non poteva risolverlo perché la radice dodicesima di 2 è ovviamente un
numero irrazionale, come vedremo fra poco, già anche altri numeri molto più semplici sono irrazionali.
Quindi in questo problema del temperamento musicale c'era in realtà un altro problema, che era il problema
appunto degli irrazionali.
Bach
Il temperamento, qui ho messo soltanto un esempio, il massimo esempio forse
Clavicembalo
di colui che lo prese seriamente, che scrisse quest'opera che si chiama appunto
ben temperato
“clavicembalo ben temperato” e che fece in due parti, la prima parte del 1722,
(1722-1744)
la seconda del 1744; 48 magnifici, grandissimi preludi e fughe, scritti per
strumenti che fossero ben temperati. All'epoca, si diceva che non era possibile temperare gli strumenti,
perché l'orecchio non avrebbe accettato queste approssimazioni; invece Bach fece vedere che non solo era
possibile, ma che si poteva fare della grande musica e il temperamento finalmente venne accettato dai
musicisti. Quindi questa fu, in qualche modo, la fine del pitagorismo nella musica, perlomeno per quanto
riguarda l'uso dei rapporti razionali nel campo della musica. Ma, ovviamente, quello che a noi interessa più
da vicino, è l'aspetto di Pitagora come matematico, cioè l'influsso che le idee di Pitagora hanno avuto
nella matematica e in particolare nella logica, perché è di questo che stiamo parlando. Ebbene, i risultati più
4. Matematica
importanti della Scuola pitagorica o di Pitagora stesso sono due:
¾ Teorema di Pitagora
uno è quello che si chiama il teorema di Pitagora e vedremo tra
¾ Irrazionalità della
poco che in realtà questa è la conclusione più che l'inizio di una
diagonale del quadrato
storia e il secondo invece è quello che probabilmente fu scoperto
effettivamente dai pitagorici, cioè il cosiddetto problema della
irrazionalità della diagonale del quadrato. Vediamo questi due
risultati più da vicino, anzitutto il teorema di Pitagora; qui ho
messo due immagini che fanno vedere come il teorema di Pitagora
fosse già noto in tempi ben precedenti a Pitagora stesso. A sx c'è
33
una figura di un dio egizio, a dx c'è una statua greca, al centro ho fatto una lista di coloro che nella storia
hanno dimostrato prima di Pitagora o anche in seguito, che però hanno dimostrato di essere arrivati
probabilmente in maniera indipendente, alla scoperta di questo fondamentale teorema di Pitagora, cioè gli
egiziani, i babilonesi, i greci, gli indiani, i cinesi, che in parti completamente diverse del mondo
probabilmente senza nessuno contatto diretto, erano riusciti a scoprire appunto il teorema di Pitagora.
Vediamo un po' da vicino invece, come ci siamo arrivati noi, cioè la nostra civiltà. In realtà non sappiamo
molto, perché Pitagora non ha lasciato niente di scritto. Il primo passo della letteratura classica in cui si
parla dei problemi legati al teorema di Pitagora nella filosofia greca, è un passo del Menone ed è anche il
primo passo, notate questo è un dialogo di Platone, è un dialogo filosofico, che è stato il primo luogo in cui
si trova una dimostrazione nel senso in cui la intendiamo oggi. La matematica prima dei greci, non era fatta
in maniera dimostrativa, se voi prendete i papiri egizi, per esempio il famoso papiro di Rhind, che sta a
Mosca, li trovate un certo numero di problemi matematici, trovate le soluzioni, quasi sempre corrette, ma
non sempre, però non c'è nessuna dimostrazione, cioè le soluzioni venivano date in maniera oracolare. Si
diceva: voi sapere come si fa a risolvere questo problema? Questa è la soluzione. È chiaro che su questo non
si può basare una scienza, perché come si fa a trasmettere delle
soluzioni che vengono in qualche modo indovinate o divinate, come
se ci fosse quasi qualche cosa di divino che le suggerisce. La scienza
è nata con i greci, proprio perché i greci hanno inventato questa
nozione di dimostrazione, cioè la possibilità di arrivare ai risultati e
di convincere gli altri che questi risultati sono corretti, perché questi
risultati vengono proposti attraverso una dimostrazione allegata e
non si dice soltanto la soluzione è questa, ma si dice la soluzione è
questa perché c'è questo motivo e questo motivo. Ebbene dicevo, la
prima registrazione storica di una dimostrazione è nel Menone, in
questo dialogo platonico, in cui questo è Platone, che sta parlando quaggiù, vedete i suoi interlocutori a cui
pone il problema del raddoppio del quadrato. Il problema del raddoppio del quadrato è questo: supponete di
avere un quadrato di lato qualunque, come dev'essere il lato d'un quadrato che abbia area doppia? La
soluzione ovvia che viene in mente subito, a coloro che non hanno studiato matematica, è quella di dire:
abbiamo un quadrato, poi abbiamo l'area doppia, raddoppiamo il lato; però sapete tutti, che se raddoppiamo
il lato, per esempio se il quadrato originale ha lato uno e la sua area è dunque uno, se raddoppiate il lato, il
lato diventa due e l'area diventa quattro, quindi non è doppia, ma è quattro volte. Ebbene, dopo un lungo
percorso e discussioni, Pitagora scoprì e Platone racconta nel dialogo come si fa ad arrivare a questa
soluzione, che l'assoluzione del problema del raddoppio del quadrato è quella di prendere metà del quadrato,
cioè questo triangolo cosiddetto rettangolo, considerare l'ipotenusa oppure se volete la diagonale del
quadrato e costruire su questa diagonale un quadrato ed ecco che qui si vede subito che questo quadrato ha
area doppia, come mai?
Perché è fatto di 4 triangolini, questi triangolini che vedete qui in blu, 4 ovviamente è il dopo di 2, ebbene
questi triangolini blu sono di area uguale a questo triangolino marrone e due triangolini marroni formano il
quadrato originale. Quindi effettivamente vedette come la soluzione sia corretta, cioè bisogna prendere la
diagonale del quadrato. Il problema del raddoppio del quadrato in realtà è qualche cosa che non era limitato
soltanto a questa forma qui.
Qui nella slide sulla destra ho fatto l'esempio dell'oracolo di Delo e questa è una parte delle rovine di Delo;
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a Delo c’era il tempio di Apollo, ad un certo punto scoppiò una pestilenza ad Atene, gli ateniesi erano molto
devoti di Apollo e credettero che andare al tempio di Apollo, dall'oracolo, per chiedere all'oracolo che cosa
voleva il dio per far smettere la peste, sarebbe stata la soluzione giusta. Ci fu una missione che andò a
chiedere all'oracolo quale doveva essere il responso e il responso dell'oracolo fu: la peste finirà quando
l'altare del Dio, che era un altare cubico questa volta, invece che quadrato, cioè a tre dimensioni, sarà
raddoppiato, cioè quando il volume dell'altare di Apollo sarà raddoppiato. I greci fecero l’errore a cui avevo
accennato prima, raddoppiarono i lati di questo altare, il volume divenne ovviamente 2 x 2 x 2, cioè otto
volte invece che due, Apollo rimase infuriato come prima e la peste non fini. Il problema della raddoppio
del cubo è ovviamente analogo al problema del raddoppio del quadrato, si tratta di fare non la radice di due,
ma la radice cubica di due in questo caso e il problema è che bisognava introdurre gli irrazionali per
l’appunto, che sono ciò di cui parliamo tra poco. Però quel particolare esempio, a cui abbiamo accennato
poco fa, cioè un triangolo rettangolo i cui lati sono i lati di un quadrato è un caso molto particolare del
teorema di Pitagora. Il teorema di Pitagora per la prima volta ce lo abbiamo dimostrato soltanto negli
elementi di Euclide, quindi verso il 300 a.C. Nel Menone c’è la prima dimostrazione di un qualunque
teorema di matematica e in particolare di un caso speciale del teorema di Pitagora, ma il caso generale del
teorema di Pitagora c'è soltanto negli elementi di Euclide nella proposizione 47, la penultima del primo libro
ed eccolo qua, in un esempio, questa è la figura che poi è diventata classica, che tutti voi avrete visto
andando a scuola e questo è un caso particolare il teorema di Pitagora che comunque era già noto per
esempio agli egiziani e ai
babilonesi. I casi in cui i due cateti del triangolo rettangolo siano di lunghezza 3 e lunghezza 4, cioè l’area di
questo quadrato di lato 3 è nove come si vede dai quadratini, l'area di quest'altro quadrato di lato 4 è 16
come si vede dai quadratini, l’ipotenusa in questo caso è cinque e il quadrato sull’ipotenusa è 25, quindi 9
più 16 fa effettivamente 25, ma questa ovviamente non è una dimostrazione di nulla, la dimostrazione che
c'è negli elementi di Euclide, è una dimostrazione molto complicata ovviamente, perché il teorema non è
affatto semplice. Ebbene che cosa mancava in tutta questa storia? Mancava ancora l'elemento più
importante, cioè quella seconda scoperta a cui ho accennato poco fa, che fece Pitagora, probabilmente
proprio lui, mentre appunto come ho già detto più volte, anche in questa lezione, il teorema di Pitagora era
qualche cosa che anche senza dimostrazione, per lo meno, era nell'aria. Ebbene la scoperta veramente
geniale e anche traumatica dei pitagorici, fu che la diagonale del quadrato, di cui abbiamo parlato poco fa è
irrazionale, cioè se il quadrato ha lunghezza uno per esempio, ebbene non c’è nessun numero nazionale che
esprima la lunghezza del quadrato. Oggi noi diremo che la radice di 2 è irrazionale.
Aristotele
La prima dimostrazione del fatto che la radice quadrata di 2 è irraAnalitici primi(I, 23)
zionale si deve ad Aristotele o perlomeno, la prima testimonianza
Irrazionalitàdella diagonale
che noi abbiamo, ancora più tarda di quella del Menone, più o meno
contemporanea a quella di Euclide, è quella di Aristotele. Negli analitici primi, versetto 23, del primo libro
si dimostra questa irrazionalità. Allora quest’oggi vorrei finire questa lezione facendo veramente la
dimostrazione dell’irrazionalità della radice di due, non facendola nel modo in cui la fece Aristotele, perché
è una cosa un po' macchinosa, si basa sul rifiuto del regresso all’infinito di cui abbiamo parlato nella
precedente lezione, cioè il problema del paradosso di Zenone. Allora vediamo da vicino qual’è la
dimostrazione che oggi noi daremo della irrazionalità della radice di 2. Allora supponiamo di avere due
numeri m ed n che siano in questa relazione, cioè m2 = 2n2, questo precisamente è ciò che vorremo avere
nel caso in cui la radice di 2 fosse razionale, cioè ci fosse un numero m diviso n il cui quadrato fosse
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Se m2 = n2
allora l’esponente di 2 è:
¾ Pari nella decomposizione di m2
uguale a 2, (m/n)2=2 . Ebbene, allora andiamo a vedere
qual’è dovrebbe essere l'esponente di 2 nella decomposizione in fattori di 2 di queste due parti. Cominciamo a
vedere la parte a sinistra , cioè m2, che è un quadrato
¾ Dispari nella decomposizione di 2n2
Comunque si faccia la decomposizione in fattori primi,
Contradizione
qualunque fattore avrà un esponente che deve essere
pari a causa di questo quadrato, cioè perchè m2 sia pari, quindi in particolare l'esponente di 2 deve essere
pari nella decomposizione di m2. Andiamo a vedere la parte invece che è a destra dell’uguale 2n2 e qui
abbiamo una cosa che è analoga a quella di prima, cioè anche n2 quadrato deve avere un esponente, nella
decomposizione in fattori primi di 2, pari; però qui c'è un 2 in più e quindi la parte a destra è tale che,
quando facciamo la decomposizione in fattori primi e andiamo a vedere l'esponente di 2, in questa
decomposizione in fattori primi, questo esponente deve essere dispari. E allora abbiamo un uguaglianza tra
due numeri; facciamo la decomposizione in fattori primi di questi due numeri che sono uguali, però da una
parte l’esponente di 2 dev’essere pari in m2, dall'altra parte l’esponente di 2 devessere dispari in 2n2, perché
c'è un 2 in più e questo non è possibile perché i due numeri dovrebbero essere uguali. Quindi questa è una
dimostrazione veramente geniale, però una dimostrazioni per assurdo e quindi un nuovo tipo di
ragionamento che in matematica probabilmente non c'era fino a Pitagora ed è stato questo che veramente ha
cambiato la storia della matematica, perché poi di lì le dimostrazioni per assurdo sono diventate qualche
cosa di pragmatico, cioè che si usa praticamente tutti i giorni.
Ebbene questa “contraddizione” allora questo significa che non esistono dei numeri m ed n che hanno
quella proprietà, significa che la radice di 2 è irrazionale. Quale è stato il risultato di questa scoperta?
Anzitutto da un punto di vista politico è stata una cosa veramente traumatica, cioè i pitagorici giurarono
fedeltà, giurarono che nessuno avrebbe potuto dirlo in giro, cioè loro sapevano che la radice quadrata di 2
era irrazionale, non si doveva dire in giro che c'erano degli irrazionali, perché il credo di Pitagora, ve lo
ricorderete, era che “tutto è numero nazionale” e allora, se poi si scopre che la diagonale di un quadrato,
cioè qualche cosa di così elementare, in realtà già lei non è più razionale, ecco che allora succedono dei
pasticci. Giurarono quindi il segreto, qualcuno come sempre succede quando si giura di non dire qualche
cosa, qualcuno tradì, si chiamava Ipaso di Metaponto, i pitagorici lo maledirono, lo raccomandarono
malamente a Giove, Giove fecce affondare la nave su cui Ipaso di Metaponto andava in vacanza o forse
scappava dai pitagorici, Ipaso morì, pagò con la morte il tradimento del giuramento, però il mondo venne a
sapere che effettivamente esistevano dei numeri irrazionali.
Nel momento in cui l'irrazionalità fa capolinea nella storia, nella filosofia, succede il patatrac. Quindi i
pitagorici, praticamente perlomeno in quel momento, subirono una grande debacle, la filosofia e la
matematica incominciarono a fare i conti con l’irrazionale. Ricordate che razionale significava soltanto ciò
che si poteva esprimere attraverso un rapporto e irrazionale era ciò che non si poteva esprimere attraverso
un rapporto, come appunto la diagonale di un quadrato. Ebbene come veniva chiamato un numero
irrazionale dai greci? Veniva chiamato “surdo”, nel senso di sordo, proprio come direbbero i latini e allora
l'assurdo era ciò che derivava dagli irrazionali. Ecco perché abbiamo intitolato questa nostra missione teatro
dell'assurdo, oggi assurdo vuol dire una cosa completamente diversa, così come d’altra parte irrazionale
vuol dire qualche cosa di diverso. Ebbene assurdo è semplicemente ciò che deriva da questa scoperta
pitagorica. Noi ci fermiamo qui oggi e naturalmente proseguiremo in seguito con altre lezioni.
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LEZIONE 5: Idee accademiche
Nelle precedenti lezioni abbiamo anzi tutto introdotto l’argomento naturalmente e poi abbiamo incominciato
ad interessarci dei logici, dei personaggi, i grandi pensatori di questa materia, della logica matematica pian
piano. Abbiamo incominciato a parlare di paradossi, soprattutto parlato del paradosso del mentitore, del
paradosso di Achille e la tartaruga e poi abbiamo finalmente cominciato nella scorsa lezione ad affrontare i
personaggi. Abbiamo iniziato con Pitagora che è stato il primo grande matematico, filosofo, filosofo della
matematica anche e quest’oggi invece parleremo di quello che è stato forse il primo grande filosofo della
Grecia, cioè Platone. Voi direte come mai Platone? Platone, in realtà, interviene in una delle due lezioni di
logica matematica. Platone è molto più noto ovviamente per altre cose che ha fatto, perchè è stato, come
dicevo, il grande filosofo, colui che ha iniziato praticamente la filosofia greca, per lo meno quella che viene
dopo i presocratici e che ha in cominciato a fare le grandi opere della filosofia greca. Però la cosa
interessante è che Platone in realtà aveva una concezione della filosofia, come vedete qui nella
slide, come matematica e
quindi è proprio di questo che oggi vorremmo parlare, cioè parlare degli aspetti matematici della filosofia di
Platone che in genere vengono trascurati, perché si parla ovviamente di altre cose che interessano di più i
filosofi, anche perché i filosofi di oggi non sono più dei matematici, come quelli di allora. Quindi andiamo a
vedere più da vicino questa figura: Platone è quaggiù che sta parlando, molto concentrato, queste sono le
date di inizio e fine della sua vita, cioè la nascita nel 428 e la morte nel 347 circa a.C. e qui c'è questo motto
in cui ho cercato di condensare l'idea della filosofia di Platone, che appunto è la filosofia come matematica.
Vediamo allora da vicino come Platone intendeva effettivamente mettere in pratica, mettere in essere questa
filosofia. Anzitutto incominciamo dalla didattica. Platone come tutti sapete, ha scritto decine e decine di
dialoghi e questi dialoghi sono le opere di cui abbiamo già parlato una volta le cosiddette opere essoteriche,
cioè opere che oggi chiameremo di divulgazione, in cui si cercava di raccontare in parole semplici, anche
letterariamente interessanti, le cose che Platone poi raccontava oralmente in maniera esoterica ai discepoli,
seguendo in questo una tradizione che aveva iniziato in realtà Pitagora, di cui abbiamo parlato la scorsa
volta, ebbene incominciamo appunto da due dei grandi dialoghi che parlano della didattica, cioè come
Platone pensava che bisognasse insegnare ai giovani ateniesi a diventare degli uomini, a diventare
soprattutto dei bravi cittadini. La cosa interessante è che in questi due grandi dialoghi, che sono i più lunghi
che lui ha scritto, dei veri e propri libri, soprattutto “Le leggi”, ma anche “La Repubblica”, che oggi
vengono stampati separatamente perché hanno l'autosufficienza, l’autonomia, diciamo così, proprio come se
fosse dei veri libri, ebbene sia nella Repubblica, che nelle Leggi, dove vengono trattati decine di argomenti,
ovviamente di tutti i generi, su alcuni dei quali torneremo poi in seguito, in particolare si parla della
didattica, si parla dell'educazione e qui nella slide vedete una scuola, in cui ci sono oggi naturalmente i
maestri, i professori come saremo noi, come sareste voi all'università. Ebbene la cosa interessante è che
Platone sosteneva in entrambi questi dialoghi che per fare un bravo cittadino, per insegnare l'educazione agli
studenti bisognava imparare l'aritmetica e la geometria, cioè il fondamento dell'educazione doveva un
qualche cosa di matematico, perché la matematica stava alla base di tutto praticamente, di tutto il pensiero e
vedremo appunto in seguito anche della sua filosofia. Quindi l'aritmetica venne prima vista, non tanto come
si fa oggi purtroppo, come una preparazione tecnica, cioè la matematica si studia questo oggi soprattutto nei
licei scientifici e poi nelle facoltà e nelle università tecniche, ma si studia perché serve per la fisica, serve
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per la chimica, più in generale serve per le scienze naturali. Ebbene questo non era l'atteggiamento di
Platone. L'atteggiamento di Platone era invece che aritmetica e geometria dovessero essere imparate da tutti
gli studenti perché erano il fondamento della vita ed anche più vicine all'umanesimo e all’etica. Ecco qui
l'etica è la scienza del comportamento, ma nessuno all'epoca avrebbe parlato di scienza del comportamento
e oggi si incomincia parlare di questo perché le scienze hanno un po' invaso, se non direttamente con i loro
di pensare del mondo moderno. Il nostro mondo, parlo del mondo occidentale contemporaneo, è un mondo
ETICA
basato sulla tecnologia, sulle macchine, su tante cose; per
(Filebo, Protagora)
esempio, di fronte a me ho una telecamera, intorno a me
¾ Proporzione (giusto mezzo)
ho delle luci elettriche, qui vicino ho un computer, quindi
¾ misura (più/meno, maggiore/minore)
effettivamente la tecnologia oggi è un po' il modo in cui noi
viviamo, che caratterizza questa nostra epoca, ma come tutti sanno la tecnologia è basata sulla scienza, la
scienza naturale appunto, di cui fanno parte la fisica, la chimica e varie altre materie. Ebbene tutte queste
materie in realtà traggono il loro linguaggio e anche i mezzi che usano per studiare il mondo dalla
matematica ed è per questo che in qualche modo la matematica sta oggi a fondamento di tutta la nostra
educazione scientifica, però all'epoca non era così naturalmente o meglio noi pensiamo, quasi sempre, che
non fosse così. Ebbene qui per sfatare questo mito, volevo appunto parlare della concezione che dell’etica
aveva Platone. Mi riferisco a due altri dialoghi, che sono dialoghi non così importanti ovviamente come la
Repubblica e come le Leggi, però due dei dialoghi, cioè il Filebo e il Protagora, ma soprattutto il Protagora,
sono stati centrali nel pensiero platonico. Se noi guardiamo da vicino che cosa ci insegnano questi due
dialoghi, dal punto di vista dell'etica, ebbene ci insegnano che la cosa importante per quanto riguarda il
nostro comportamento è avere il senso delle proporzioni, cioè non esagerare in un senso, non esagerare
nell'altro, ma seguire quello che in qualche modo si potrebbe chiamare la via di mezzo, la “golden mean” la
chiamerebbero gli inglesi. Il giusto mezzo è precisamente qualche cosa che Platone collegava con un
atteggiamento matematico; sapere che cos'è il giusto mezzo significa conoscere la teoria delle proporzioni,
sapere che tra due cose che noi abbiano di fronte, tra due alternative, si può parlare di una, si può parlare
dell'altra, si può cercare in qualche modo di quantificare le cose a favore e le cose contro e poi bisogna
seguire quella che è la strada del giusto mezzo. Quindi in realtà anche nel caso del comportamento umano
Platone pensava che i metodi, non tanto i risultati, della matematica in questo caso, potessero essere
importanti e potessero essere da guida del comportamento e poi in realtà c’è anche questa teoria della
misura, cioè che cosa significa sapere come comportarsi? Significa sapere per l’appunto che cosa scegliere
tra il più e il meno, tra il maggiore e il minore, saper scegliere, saper mettere in fila, saper ordinare in
qualche modo le alternative che ci vengono proposte. Ed ecco che allora quello che in aritmetica ed in
geometria potrebbero essere considerate come delle nozioni puramente tecniche, come la proporzione, le
relazioni, gli ordini che ci sono in genere fra grandezze o fra numeri, tipo il maggiore o il minore o
l'uguaglianza, in realtà hanno questa valenza molto più universale, molto più importante che è quella di
aiutarci a comprendere, anche nelle situazioni quotidiane della vita, che cosa si deve fare, a stabilire quand’è
che una cosa è migliore, quand’è che una cosa è peggiore e a scegliere quella che Platone sosteneva fosse la
via giusta, cioè la via del giusto mezzo. Ed ecco, quindi, che abbiamo già visto come non soltanto la
matematica interviene nella filosofia platonica come mezzo per insegnare agli studenti, cioè nella didattica e
nell’educazione, ma interviene anche addirittura nel comportamento, cioè nella vita di tutti i giorni e nel
comportamento corretto soprattutto, nell’etica, cioè nel sapere come comportarsi. Naturalmente queste sono
cose oggi possono sembrare sorprendenti, ma certamente non sono le applicazioni più importanti della
matematica, perché la matematica si è sviluppata in un'altra direzione e in particolare già all'epoca, già nella
filosofia platonica la matematica serviva praticamente per fare da fondamento a quella che oggi noi
chiameremo la fisica. Il dialogo platonico che parla della fisica, che parla di come è costruito mondo, di
quale è la struttura dell'universo, diremmo oggi, è il famoso “Timeo”. Dico famoso perché il “Timeo” è un
dialogo difficile, è un dialogo esoterico nel senso in cui noi oggi
intendiamo la parola, non soltanto nel senso in cui la intendevano
Pitagora e Platone, che era l’insegnamento da dare al circolo degli
iniziati, cioè agli studenti e non al pubblico che viene a sentire la
divulgazione. Dicevo che in un senso moderno è un dialogo
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esoterico, perché è molto misterioso, racconta di cose che non si capiscono bene, riporta anche il sapere di
civiltà diverse, come vedremo tra poco nelle successive slide. Il Timeo ha in realtà una concezione della
natura, una concezione del mondo che si può sintetizzare dicendo che “la natura è geometrica”, cioè se noi
guardiamo all'essenza vera dell'universo, se andiamo a vedere le forme che compongono l'universo queste
sono geometriche. Qui per esempio abbiamo una goccia d'acqua, guardate come la goccia d'acqua si dispone,
effettivamente in una forma perfettamente geometrica, quando la goccia cade quaggiù fa un qualche cosa che
a prima vista sembrerebbe poco geometrico, ma che oggi viene studiato con le teorie del caos, con le
cosiddette immagini frattali e così via. Per noi oggi è una cosa assodata, cioè per noi che siamo figli
praticamente della scienza moderna, figli di Galileo, dopo 400 anni di sviluppo sappiamo benissimo
effettivamente che la scienza e la fisica si basano sulla geometria e sulla matematica, però all'epoca la cosa
non era affatto ovvia e lo era certamente poco dopo Pitagora.
Se ricordate la scorsa lezione, l'idea di Pitagora era che la fisica e la natura fossero non geometriche, ma
aritmetiche, cioè si basassero sull'altra parte della matematica che era appunto lo studio non delle forme,
non delle figure geometriche, ma lo studio dei numeri. Come mai c'è stato questo cambiamento che oggi
chiameremo di paradigma, seguendo il filosofo della scienza Kuhn? Come mai sono cambiati i paradigmi
nel passaggio da Pitagora a Platone? Beh, non soltanto perché ai filosofi piace ovviamente contraddire i
predecessori, anche per avere qualche cosa di nuovo da dire, ma soprattutto perché la filosofia pitagorica,
cioè il fatto che l’idea della natura fosse aritmetica fu messa in crisi dalla scoperta della irrazionalità di
radice di 2 di cui abbiamo parlato e su cui torneremo tra breve a riflettere. Allora questa scoperta fece
vedere che l’aritmetica aveva dei problemi, aveva bisogno di una fondazione e i greci pensarono che la
fondazione che si poteva dare alla aritmetica fosse una fondazione di natura geometrica, soprattutto fu poi
Euclide che tradusse questo cambiamento di paradigmi nella sua grande opera gli “Elementi”, i cosiddetti
“Elementi” di Euclide. Ebbene, però l'idea basilare c'è già in Platone che viene appunto prima di Euclide e
soprattutto in questo dialogo “ Il Timeo”. Andiamo a vedere più da vicino che cosa succede in questo
dialogo, che è un dialogo di cosmologia, cioè ci spiega come è fatto il mondo. Per spiegarci come è fatto il
mondo, Platone introduce quelli che oggi vengono chiamati i solidi platonici, cioè c'è tutta una teoria che è
una teoria per l’appunto geometrica, basata sia sulle forme piane, triangoli, quadrati, cerchi e così via, ma
soprattutto sulle forme solide, cioè sui solidi e le figure che vedette qui intorno. Platone narra, racconta,
discute di cinque solidi in particolare che sono i solidi che ho
qui elencato e che possiamo vedere anche nella figura: il cubo è
precisamente questo solido nella fig. in alto a destra, è un solido
fatto con sei facce quadrate, il tetraedro che invece è il solido
nella fig. giù a destra sotto il cubo, che è praticamente una
piramide, una piramide non come quelle egizie perché quelle
egizie avrebbero una base quadrata, bensì una piramide
triangolare, perfettamente simmetrica, che ha soltanto quattro
lati, ma questi quattro lati sono lati triangolari; poi c'è l’ottaedro
che vediamo invece sulla sinistra in alto; l’ottaedro è anche lui
fatto di piramidi, questa volta però le piramidi sono due, come
incollate una sull'altra e sono precisamente piramide quadrate,
anzi si pensa addirittura che metà dell’ottaedro sia stata la figura che ha ispirato gli egiziani nel fare le loro
grandiose piramidi, soprattutto le tre grandi piramidi che stanno vicino al Cairo, le piramidi di Giza. Il
prossimo solito è il dodecaedro, si chiama dodecaedro, per un ovvio motivo, cioè c'è qualche cosa che ha
che fare col 12, ebbene 12 sono le facce di questo dodecaedro, che sono facce pentagonali. Ricordate i primi
tre solide che abbiamo visto, avevano facce o triangolari o quadrate e invece questo, che è il solido
successivo, ha facce pentagonali. E l'ultimo di questi cinque solidi si chiama icosaedro, è un solido che è
fatto di 20 triangoli, mescolati in questo modo, una figura piuttosto complessa e che certamente non fu
facile scoprire per i greci. Ebbene, come mai questi si chiamano solidi platonici? Si chiamano solidi
platonici forse perché il primo punto, il primo luogo in cui si trovano elencati è precisamente questo dialogo
platonico, questo Timeo. Questi solidi ovviamente non sono stati inventati da Platone; Platone tra l'altro non
era un matematico professionista, benché conoscesse benissimo la matematica e lo dimostrano per l’appunto
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i suoi dialoghi. Ebbene questi solidi sono stati probabilmente scoperti, perlomeno una parte di loro e
soprattutto le parti che riguardano questi tetraedri e questi ottaedri, cioè le parti piramidali sono state
scoperte dagli egizi. I pitagorici anche loro hanno avuto un buon ruolo nel definire questi solidi, ma Teeteto
¾ Egizi
che è anche il personaggio che ha dato poi luogo a uno dei dialoghi di
¾ Pitagorici
Platone, uno dei dialoghi più matematici, più scientifici su cui torneremo
¾ Teereto
in seguito per un motivo diverso, ebbene dicevo, Teeteto che era il nome di
¾ Platone(Timeo)
un matematico, fu colui che dimostrò che i solidi platonici, i solidi cosiddetti
¾ Euclide (XIII)
regolari, erano soltanto cinque, cioè i cinque che ho elencato prima, i cinque
che Platone usa nella sua cosmologia o nella sua cosmogonia, non sono messi caso, sono gli unici che si
possono costruire. Che cosa vuol dire solido regolare? Solido regolare vuol dire un solido in cui le facce
sono tutte fatte dello stesso poligono, cioè dev’essere un poligono regolare, cioè tutti i lati uguali, per
esempio un triangolo equilatero oppure un quadrato oppure un pentagono regolare e così via; come vedete,
soltanto queste tre figure piane, cioè triangolo, quadrato e pentagono regolare, generano dei solidi come
quelli che abbiamo visto, cioè dei solidi regolari. Come mai? C'è una dimostrazione che non è il caso di fare
oggi, ma la cosa importante è che questa dimostrazione fu trovata dai greci, cioè da Teeteto e in realtà
Platone già la conosceva e questo dimostra come Platone fosse al corrente degli ultimi sviluppi della
matematica del suo secolo e anche insomma del suo tempo. Platone, come ho appunto detto, ne parla nel
Timeo e soprattutto la teoria matematica di questi solidi sarà poi sviluppata perfettamente da Euclide nel suo
monumento alla geometria che si chiama “Gli elementi di geometria”, nell'ultimo libro, il tredicesimo, che
è quello che conclude quest'opera maestosa, questa sinfonia.. Nell'ultimo libro Euclide dimostra che si sono
soltanto questi cinque solidi, cioè dimostra il teorema di Teeteto e fa vedere come costruirli soprattutto,
perché non è affatto facile, soprattutto nel caso di quelli più complicati come il dodecaedro, che è fatto
appunto di 12 facce pentagonali e l’icosaedro di 20 facce triangolari. Voi direte che cosa c'entra tutto questo
con la cosmologia e con l'immagine del mondo? Ebbene c'entra, perché per Platone, vi faccio un esempio
soltanto ovviamente perché come vi ho detto il Timeo è un dialogo, molto complicato, molto difficile da
leggere, ma è un esempio molto illuminante perché fa vedere come Platone avesse già in mente in realtà
l'idea fondamentale della scienza e della chimica moderna. Secondo Platone l'acqua è un qualche cosa, è un
corpo fatto di una parte di fuoco e due parti d'aria. Ora nella cosmologia platonica l'acqua veniva
identificata con l’icosaedro, il solido che è fatto di 20 facce triangolari; il fuoco era identificato con il
Acqua = un corpo di fuoco
tetraedro e l'aria era identificata con l’ottaedro. Allora state attenti,
e due d’aria
perchè se andiamo a vedere il numero di facce che corrispondono al
tetraedro, che come ho detto sono quattro facce triangolari e il
icosaedro = un tetraedro e
numero che corrisponde ad un ottaedro, che come dice il nome sono
due ottaedri
8 facce triangolari, ebbene se prendiamo un tetraedro e due ottaedri
abbiamo quattro facce per il tetraedro, 16 per i due ottaedri, perché
20
=
4 + 16
sono 2 x 8, allora 16+4 fa 20 e 20 diventa l’icosaedro. Ora questo è
strabiliante, perché oggi noi sappiamo che la molecola di acqua, oggi noi diremo, è fatta non di un corpo,
ma è fatta appunto di atomi, un atomo di ossigeno e due atomi di idrogeno, la famosa formula H2O eccola
qui fatta in maniera geometrica, la stessa formula che oggi ancora noi ripetiamo da un punto di vista
chimico. Quindi vedete come leggendo Platone, già si scoprono in nuce, in embrione le teorie che poi
diventeranno la scienza e poi la chimica moderna. Passiamo ora a cose più vicino a noi, cioè all'aritmetica e
alla geometria. Nei dialoghi di Platone si scoprono molti di questi risultati ed in particolare i dialoghi
aritmetici che sono il “Menone”, il “Teeteto” e “Le leggi”, riportano dei fatti, dei risultati, dei teoremi che
furono scoperti appunto dai greci e di cui brevemente vorrei parlare, per farvi vedere anche come nei
dialoghi filosofici, cioè in quella che oggi viene considerata filosofia, quella che si insegna nei licei e
nell'università,come filosofia, in realtà ci fosse molta matematica, anzi non ci fosse nemmeno la distinzione
tra filosofia e matematica, come se fossero la stessa cosa. Nel Menone c'è il problema delle radici quadrate,
nel Teeteto, il problema delle radici arbitrarie, cioè radici non soltanto di 2, ma radici di 3, radici di 4 e
così via e nelle “Leggi” c'è un problema legato al fattoriale, che vediamo uno per uno adesso un pochettino
Aritmetica
più nel dettaglio. Ora incominciamo col Menone: sul Menone c'è
¾ Menone: radici quadrate
poco da riflettere, c'è poco da soffermarci, perché lo abbiamo già
40
¾ Teereto: radici arbitrarie
considerato abbastanza la scorsa volta quando abbiamo parlato di
¾ Leggi: fattoriale
Pitagora; vi ricordo soltanto che questa è la figura principale che
appare nel Menone, che è questo triangolo rettangolare, che è un triangolo particolare perché i due cateti,
cioè la base e l'altezza sono due lati della stessa lunghezza, un triangolo è un rettangolo equilatero in
questo senso. Il problema che si pone Menone o meglio che Socrate
pone allo schiavo, che rappresenta il personaggio di cui si parla nel
Menone, è precisamente com’è possibile raddoppiare l'area di un
quadrato. La soluzione che lo schiavo trova in questo processo di
anamnesi, cioè che Socrate gliela tira fuori praticamente dalla bocca
pezzo per pezzo, è che per raddoppiare l'area d'un quadrato come
questo qui, bisogna costruire un quadrato sull'ipotenusa o diagonale.
Il Menone è importante perché è la prima testimonianza storica di una
dimostrazione. Voi direte, ma come la matematica non c'era prima di
greci? Certo, c'era matematica in Egitto, c'era matematica in
Babilonia e ce n'erano parecchi, ma non c'erano dimostrazioni. Il problema della dimostrazione, l'idea che
fosse necessario dimostrare i risultati che venivano in qualche modo indovinati o di divinati, l'idea che
bisognasse dimostrarlo è un idea che risale probabilmente a Talette, verso 6oo a.C., ma noi non abbiamo
testimonianze storiche di dimostrazioni matematiche fino al Menone, cioè per l’appunto nel quarto secolo a.
C. Il Menone, questa storia del dialogo tra Socrate e lo schiavo, è precisamente la prima registrazione di una
dimostrazione, in particolare di uno dei teoremo più noti, cioè una forma speciale del teorema di Pitagora.
Come dicevo, su questo abbiamo già discusso la scorsa volta, ne abbiamo già parlato e quindi è meglio
invece che andiamo a vedere altre cose e in particolare quest’altro aspetto che si trova nel Teeteto. Teeteto,
come vi ho detto, è il nome di questo matematico che, tra le altre cose, dimostrò che ci sono soltanto cinque
solidi regolari, i famosi cinque solidi platonici. Nel Teeteto, in questo dialogo platonico, lui è il personaggio
principale, è lui che parla, è lui il protagonista del dialogo ed in particolare si racconta ad un certo punto di
questo problema, cioè che la radice quadrata di un numero intero, che non sia un quadrato, è un numero
irrazionale. Cosa vuol dire questo? La cosa è innanzi tutto interessante già da un punto di vista
matematico, quindi cerchiamo di capirla meglio, di affrontarla più da vicino. Il disegno precedente, cioè
il problema de l Menone, faceva vedere la diagonale di un quadrato;
ora se quel quadrato, noi supponiamo che abbia lato unitario, cioè il
cui lato sia 1, ebbene la diagonale, sappiamo tutti per il teorema di
Pitagora, ha come lunghezza la radice di 2. Ora radice di 2, per il
grosso risultato a cui ho accennato prima, causò la crisi dei fondamenti
della matematica pitagorica, perchè la radice di 2 è un numero
irrazionale, cioè che non si può scrivere come rapporto di due numeri
interi. Ebbene, ciò che Teeteto dimostrò, fu che in realtà questo è
vero, non soltanto per la radice quadrata di 2, ma è vero anche per la
radice di 3, è vero per la radice di 5, di 6, di 7, di 8, di 10, di 11, di 12
e così via, cioè è vero per la radice quadrata di qualunque numero intero che non sia ovviamente già un
quadrato, cioè nel caso di 4 è chiaro che la radice di 4 è 2, nel caso di 9 la radice quadrata di 9 è 3, nel caso
di 16 la radice quadrata di 16 è 4 e così via, ma a parte i numeri che sono già dei quadrati e cioè 4, 9, 16, 25
e così via, le radici di ogni altro numero provocano dei numeri irrazionali, cioè diventano dei numeri
irrazionali. Ora la cosa interessante è che nel Teeteto c'è anche una testimonianza storica, perché si dice che
Teeteto fu colui che dimostrò questo teorema e che prima di lui si sapeva soltanto che il risultato era vero,
cioè che la radice di un numero che non sia un quadrato è irrazionale soltanto per numeri fino a 17, come
mai fino a 17 ? Questo non lo sa nessuno, ma si suppone che il motivo fosse nascosto nella figura che sta al
fondo della slide, cioè se noi prendiamo il primo triangolo, qui è raffigurata la radice di 2 , poi la radice di 3
con il secondo triangolo, poi la radice di 4, poi la radice di 5 e così via e se facciamo tutta la spirale ad un
certo punto concludiamo la spirale con la radice di 17. Il problema è che quando arriviamo a 17 non si può
più fare da un punto di vista geometrico la figura, bisognerebbe incominciare a scrivere sulla sabbia oltre
questa spirale, cioè la spirale si avvolge su se stessa; quindi si pensa che, il motivo per il quale prima di
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Teeteto si sapesse che la radice di un numero che non fosse quadrato era irrazionale soltanto fino al 17, è
forse proprio questo perché si aveva un’idea geometrica della cosa, mentre invece probabilmente Teeteto
dimostrò la cosa in maniera aritmetica, cioè fece un passo avanti. La dimostrazione di questo risultato
Platone non ce la dice, ci dice solo che Teeteto trovò il risultato, comunque questo è una conseguenza, è
una testimonianza del fatto che Platone conoscesse effettivamente molta matematica. Invece questa è una
curiosità che si trova nelle Leggi, quel famoso dialogo di cui vi ho detto prima, il più lungo dialogo fra
quelli platonici: ad un certo punto Platone si pone il problema di come dividere un appezzamento in parti,
perché? Ma perché ovviamente sarebbe interessante riuscire a dividere un appezzamento in un numero di
parti che avesse molti divisori, cosicché quando c'è bisogno di fare eredità, per esempio di smembrare
quest'appezzamento, lo si può fare in tanti modi diversi. Ebbene, ad un certo punto, in questo dialogo
Platone considera il numero 5040. Dice che sarebbe interessante che un appezzamento avesse area 5040 m2
Leggi
oppure acri e così via. Come mai 5040? Se ci pensate per un
5040 = 1x2x3x4x5x6x7
momentino forse vi trovate anche voi la soluzione; 5040 non è
nient'altro che il prodotto di tutti i numeri fino a sette, cioè di
= 24 x32 x5x7
Divisori = 5x3x2x2 – 1 = 59
1 x 2 x 3 e 4 x 5 x 6 x 7, è quello che i matematici chiamerebbero
oggi il fattoriale di sette, che viene scritto come 7!, cioè 7 con un punto esclamativo, che non è una
affermazione, ma è semplicemente un modo per scrivere appunto questo prodotto. Ebbene, se voi guardate
questo prodotto, qui c'è un 2, poi ci sono altri 2 nel 4 e poi ce ne ancora uno nel 6, quindi il prodotto dei 2 è
2 4; poi abbiamo il 3 che compare una volta nel 3 e un’altra volta nel 6 e quindi il prodotto dei 3 è 3 2 ; poi
abbiamo un 51 e poi 71. Se voi andate a vedere quanti sono i possibili divisori di questo numero, ebbene ce
ne sono cinque, perché qui c'è un 2 esponente 4, poi ce ne sono altri tre perchè c’è un 3 con esponente 2, poi
ce ne sono altri due che derivano dal fatto che abbiamo un 5 ed un 7 hanno esponente 1, cioè ogni volta che
c'è un esponente c'è un divisore in più e quindi ci sono tutti questi quadrati meno uno, perché ovviamente il
numero stesso 5040 non ci interessa come divisore. Ebbene, questo numero è 59. Io ho fatto tutti i conti, per
l’appunto ve lo fatto vedere, il numero dei divisori di 5040 è 59, ebbene lo sapeva anche Platone. Platone
non dice com’è arrivato a questo risultato, però dice che è bene prendere gli apprezzamenti di area 5040,
perché li si possono dividere in 59 modi diversi e quindi sono apprezzamenti che si prestano molto bene
all'eredità e allo smembramento. Quindi vedete come e non a caso tra l’altro che questo veniva appunto fatto
nelle leggi, perché bisognava imporre con una legislatura queste misure. Passiamo ora finalmente a cose che
sono più vicine a quelle di cui dovremo interessarci in questo corso, cioè la logica. Ebbene i dialoghi logici
di Platone sono parecchi, questi sono i più importanti: il Cratilo, il Teeteto di nuovo, perché è uno dei
dialoghi più importanti che parlano di argomenti scientifici, il Sofista e la Repubblica nuovamente, uno dei
grandi dialoghi. Andiamo a vedere quali sono stati, non soltanto in ciascun dialogo, ma nella loro
Logica
globalità le innovazioni, le scoperte di Platone per quanto riguarda
la logica. Ebbene la prima scoperta importante fu che Platone capì
¾ Cratilo
¾ Teeteto
come bisognava intendere la negazione. Ho scritto nella slide “contro
Parmenide”, che è questo signore raffigurato in questa statua, nel senso
¾ Sofista
che Parmenide credeva che la negazione fosse qualche cosa di
¾ Repubblica
¾ contraddittorio. Chi di voi ha studiato filosofia, anche al liceo per
esempio o nelle scuole superiori, si ricorderà che Parmenide aveva
un problema col “non essere” e pensava che il “non essere” fosse
qualche cosa di contraddittorio perché il “non essere”, se ci fosse,
sarebbe da una parte qualche cosa che è e dall'altra parte qualche
cosa che non è, quindi ci sarebbe questa contraddizione. . Platone
capì che la negazione nel modo in cui la usava Parmenide era una
negazione sbagliata. Si trattava di una negazione assoluta che non
aveva senso, bisogna considerare soltanto negazioni relative, cioè
dire delle cose non che sono o non sono, ma che sono qualche
cosa, che hanno certe proprietà o che non hanno quella proprietà; per esempio una rosa può essere rossa, ma
una rosa che non è rossa, non significa che non c'è come rosa, ma semplicemente che ha un colore diverso
dal rosa. Questo oggi ci appare talmente lapalissiano che si può sembrare strano che qualcuno lo abbia
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anche pensato. Il problema è che ci appare lapalissiano perché questo è diventato il nostro modo di pensare
e questo modo di pensare si scopre appunto nei dialoghi platonici dedicati alla logica, quindi in particolare
abbiamo questo primo avanzamento, la scoperta della negazione. Successivamente direi soprattutto nel
dialogo “i sofisti”, contro i sofisti Platone introdusse quello che oggi noi chiameremo “principio di non
contraddizione”, cioè il fatto che non è possibile negare e affermare nello stesso tempo una stessa cosa. Ora,
oggi di nuovo, moltissime persone lo fanno nei tribunali, nei parlamenti, è tipico degli avvocati, è tipico dei
politici fare queste cose sistematicamente, dire una cosa e immediatamente dopo negarla, ma questo, tutti
noi sappiamo, è qualche cosa che va contro la logica. All'epoca non lo sapevano tutti, anzi Platone è stato il
primo che ha scoperto, per l’appunto, che ci volesse, ci fosse bisogno di questo principio di non
contraddizione. I sofisti invece non lo sapevano o perlomeno facevano finta di non saperlo e quindi
basavano il loro insegnamento su questo atteggiamento dialettico, un momento si diceva una cosa , un
momento dopo si diceva l’esatto contrario di quella e ovviamente,allora qualunque ragionamento
funzionava o nessun ragionamento funzionava, perché se non c'è il principio di non contraddizione l'intera
impalcatura della logica crolla. Quindi questi sono i due risultati principali diciamo di Platone, ma c'è un
altro risultato che in genere viene attribuito ad Aristotele e in realtà si trova già in parecchi dei dialoghi di
Platone, cioè la “definizione della verità”. Detta oggi, la definizione di verità fa quasi venire mal di testa.
Che cosa è vero, dice Platone? E’ vero “dire di ciò che è che è” e “dire di ciò che non è che non è”, cioè è
Definizione di verità
vero tutto ciò che viene detto e che in realtà si accorda con
Vero
ciò che succede effettivamente nel mondo. E che cos'è falso?
= dire ciò che è che è
L'esatto contrario é falso “dire di ciò che è che non è” e “dire
= dire di ciò che non è che non è
di ciò che non è che è”, cioè in altre parole non è possibile
parlare in maniera veritiera, cioè si dice il falso quando si dice il contrario di ciò che effettivamente succede.
Ora, di nuovo, questa è una cosa lapalissiana che però si pensa, si pensava quasi sempre, sia stata scoperta
da Aristotele, mentre invece già nei dialoghi di Platone c’è. Quindi vedete come tra il principio di non
contraddizione, tra il fatto che Platone scoprì l'uso corretto della negazione e il fatto che scoprì la
definizione di verità, anche soltanto queste cose, soltanto tra virgolette, sarebbero sufficienti a fare di
Platone un grandissimo logico e un grandissimo matematico. Non è soltanto questo che Platone fece,
Platone incominciò a isolare la struttura linguistica e a cercare l'analisi logica, l'analisi logica che distingue,
da una parte il soggetto e dall'altra parte il predicato, che distingue da una parte il senso, cioè come
vengono dette le cose e dall'altra parte il significato, cioè che cosa viene detto e infine che distingue da una
parte il nome il nome e dall’altra parte la cosa. Anche queste sono
cose molto difficili da distinguere, perché all'epoca il linguaggio
aveva una valenza magica, parlare e fare erano praticamente la
stessa cosa, le formule magiche, le preghiere che ancora oggi molti
di noi recitano per ottenere qualche cosa, l'idea che sia possibile
cambiare il mondo semplicemente parlando, ebbene queste cose
erano ancora confuse all'epoca. Platone capii benissimo la
differenza tra le cose che stanno nel mondo e i nomi che invece
stanno nel linguaggio, quindi effettivamente questo grande
risultato. Capì inoltre anche “il principio di identità”, il fatto che le
cose sono uguali a se stesse e sono diverse da tutte le altre e su
questa identità, nel Timeo, tra l’altro, Platone pone in realtà i fondamenti dell'universo, cioè sostiene che il
Identità
mondo effettivamente fu plasmato dal demiurgo, fu modellato dal
¾ Origini del mondo
demiurgo sulla base del principio di identità, che è quello che ho
¾ Ogni cosa è uguale a se stessa scritto qui sopra e qui sotto, ogni cosa è uguale a se stessa. Che altro
fece Platone nei suoi dialoghi logici? Fece una cosa molto importante,
che di nuovo oggi è quasi una scoperta per coloro che la conoscono,
cioè che questa scoperta già si trova nei dialoghi platonici e fu quella
che oggi viene chiamato “l'albero di Porfirio”. L'albero di Porfirio è
in maniera figurata rappresentato nella slide sulla destra in alto, cioè
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è semplicemente il cercare di dare la definizione di un qualche oggetto, incominciando a dividere per casi .
Ancora oggi in genere si
dice i casi sono due, cioè uno e tutti gli altri ovviamente. Ebbene questa è la cosiddetta divisione
dicotomica, cioè una divisione binaria in cui le cose vengono distinte tra quelle che hanno una certa
proprietà e quelle che non ce l'hanno e poi all'interno delle cose che hanno una certa proprietà, una seconda
divisione distingue le cose che hanno quella seconda proprietà da quelle che non ce l'hanno e così via.
Ebbene questo modo di indagare che appunto Platone identificava con l'arte della dialettica, che noi oggi
chiamiamo “albero di Porfirio” è quella che i logici chiamano “la forma normale disgiuntiva delle
proposizioni” ed è precisamente un tentativo di dare definizioni di qualche oggetto, cercando di andare ad
analizzare tutti i possibili casi che possono capitare e cercando di mettersi nell'unico ramo di questo albero
che appartiene alla cosa di cui si sta parlando. Naturalmente la cosa più importante che Platone fece e che da
un punto di vista sia logico che matematico e filosofico, che oggi ancora c’è lo ricorda, è la famosa “teoria
delle idee”, che qui viene scherzosamente rappresentata attraverso la lampadina che si accende.
Ovviamente le idee platoniche non sono quel tipo di idee lì, non sono le idee quando noi diciamo: ah, me
venuta un idea!, ma sono cose un pochettino diverse. Oggi noi diremo che le idee sono il tentativo platonico
di capire la differenza tra unità e molteplicità, cioè il fatto che le cose in qualche modo quando le si guarda
da un certo punto di vista, appaiono come un tutto unico e che poi invece
quando si vada ad analizzarle appaiono come un qualche cosa che è
molteplice. Per esempio un Parlamento: il Parlamento è ovviamente
un'entità astratta, un'idea, per l’appunto, che è una unità quando si parla del
Parlamento, non a caso si usa l'articolo determinativo, il Parlamento, uno
Parlamento. quando però si va a vedere dentro il Parlamento, si vede che
questo Parlamento è costituito di parlamentari e dunque c’è anche questa
molteplicità, ad esempio in Italia abbiamo circa un migliaio di parlamentari tra deputati e senatori. Ecco
questa divisione, questa dicotomia, quest'alternanza di modi di vista, che guardano uno stesso oggetto, uno
stesso argomento da due punti che sono complementari, che sono distinti, ma anche legati, cioè da una parte
l'unità, che fa sì che quell’oggetto sia un oggetto e dall'altra parte la molteplicità, che ci dice come
quell'unico oggetto è costituito di parti, cioè il tutto e le parti sono precisamente le due distinzioni importanti
che Platone fece nella sua teoria delle idee. La teoria delle idee era praticamente una teoria di natura
matematica che quest’oggi invece viene contrabbandata, insegnata come una teoria filosofica, anche un
pochettino strana, un pochettino metafisica, ma in realtà idea in greco voleva dire semplicemente forma. La
parola greca è eidòs e eidòs vuole dire precisamente forma, cioè quello che Platone voleva fare era cercare
di fare una teoria degli oggetti matematici. Platone si pone la domanda espressamente in tanti dialoghi, ma
soprattutto nei dialoghi logici, in particolare nella Repubblica, che è un po' la summa del suo pensiero, in cui
la teoria dell'idee ha la sua formulazione quasi definitiva, ebbene la domanda fondamentale che un filosofo
dell’epoca, la cui filosofia come abbiamo detto agli inizi era praticamente coincidente con la matematica, è
la seguente: che cosa sono gli oggetti della matematica? Ho detto agli inizi che gli oggetti della matematica
dell'epoca di Platone erano gli oggetti geometrici, perché i numeri erano stati un po' accantonati dopo il
problema pitagorico, dopo la scoperta degli irrazionali, perciò Platone si pone la domanda “che cosa sono
gli oggetti geometrici”, perché quella era per lui la matematica. Tra gli oggetti geometrici prendiamo per
esempio un triangolo, ebbene noi possiamo fare la figura di un triangolo, prima abbiamo visto alcuni
triangoli che componevano dei solidi platonici, però i triangoli che noi facciamo, i triangoli che noi
disegniamo sulla carta o loro greci disegnavano sulla sabbia, erano ovviamente e sono triangoli imperfetti.
Se noi andiamo a vederli col microscopio, se cerchiamo di allargare le loro dimensioni, vediamo che le linee
che dovrebbero essere rette in realtà non sono proprio perfettamente rette, gli angoli che dovrebbero essere
uguali, magari non sono perfettamente uguali e così via. Allora queste figure non sono certamente ciò di cui
parla la matematica e la geometria, perché la geometria si interessa di enti astratti, non delle loro
rappresentazioni concrete sulla sabbia, sui fogli o sullo schermo e così via. Allora la domanda platonica era,
per l’appunto, ma allora che cosa sono queste figure geometriche? E la risposta che Platone si dà è
precisamente quella che oggi di nuovo è lapalissiana, perché noi l’abbiamo semplicemente interiorizzata e
l'abbiamo imparata, cioè abbiamo imparato semplicemente a pensare in questi termini. La risposta è: il
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triangolo non è il particolare triangolo che si trova disegnato o che noi cerchiamo di disegnare, ma è ciò che
c'è di comune a tutti questi triangoli, cioè la loro forma ed in greco, per l’appunto ripeto, sottolineo, forma si
diceva eidòs, cioè l'idea del triangolo è ciò di cui parlano i matematici e non le concretizzazione reali dei
triangoli nel mondo quotidiano ed ecco che questa teoria delle idee divenne il fondamento di una metafisica.
Per Platone il triangolo che c'è quaggiù sul mondo, che c'è quaggiù sulla sabbia, sul foglio è qualche cosa
che in qualche modo è la proiezione del triangolo che sta lassù, tra virgolette, nei cieli, cioè la forma perfetta
che quando viene proiettata nel nostro mondo diventa imperfetta, perché si adatta a quello che è la realtà. Ed
ecco allora di qui il famoso mito della caverna, cioè che noi vediamo queste ombre, crediamo che queste
ombre, cioè le proiezione delle cose siano le cose stesse e non capiamo che dietro a queste proiezioni in
realtà c'è ciò che viene proiettata, cioè l'idea astratta. Ed ecco che allora l'idea metafisica in qualche modo si
decostruisce e si capisce anche meglio, parlando da un punto di vista matematico, che cosa Platone aveva in
mente. Questa teoria delle idee poi confluirà nella grande sintesi della matematica di fine ‘800 e inizio ‘900,
cioè in quella che viene chiamata la teoria degli insiemi di Cantor, Frege di cui abbiamo accennato in una
delle lezioni introduttive, sui quali torneremo quando parleremo di questi personaggi. Per concludere questa
lezione su Platone volevo in qualche modo dire che Platone non ha fatto soltanto cose corrette, ma questo
non è importante perché Platone non era un dio, era un filosofo, era qualcuno che aveva capito molte cose,
ma certe cose non le aveva capite. In particolare ci sono degli errori nella filosofia platonica e c'è un errore
che lui fa sistematicamente in quasi tutti i dialoghi e qui c'è un esempio, la frase che dice “se l'anima
temperante è buona, l'anima non temperante è cattiva”. Se voi ci pensate un momento, questo è quello che
Errori
i logici chiamerebbero un “non sequitur”, perché se l'anima
Se l’anima temperante è buona,
temperante, cioè l'anima che agisce nei modi propri dell'etica,
l’anima non temporanea è cattiva
cioè secondo il giusto mezzo, è buona, allora se abbiamo di
fronte qualche cosa che non è buona, possiamo dedurre da ciò che l'anima non è temperante, ma il fatto che
l'anima non sia temperante, non significa che questa è cattiva, cioè non deriva dalla frase precedente. La
stessa cosa che dire “se piove esco con l'ombrello”, questo non vuol dire che “se non piove, non esco con
l'ombrello, ma ho voluto soltanto dire che, se non sono uscito con ombrello, allora non piove, perché ogni
volta che piove esco con ombrello. Bene, quindi questo per dire che effettivamente ci sono degli errori
anche in Platone, ma la nostra lezione è finita.
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LEZIONE 6: Una metafisica liceale
Benvenuti ad una delle lezioni più importanti della logica matematica. Nelle precedenti lezioni abbiamo anzi
tutto introdotto l'argomento e poi nelle ultime due abbiamo parlato di due grandi personaggi, Pitagora da una
parte e Platone dall'altra. Pitagora è stato un grandissimo matematico, forse il primo grande matematico della
storia greca, matematico universale in questo senso e Platone è stato forse il primo grande filosofo universale
del pensiero greco, però di tutti e due abbiamo in qualche modo parlato anche di altri contributi, in
particolare della matematica di Pitagora e della filosofia di Platone, che era una filosofia prettamente
matematica che ha dato anche dei contributi sostanziosi e sostanziali alla logica matematica, ma quando si
parla di logica matematica o più in generale della logica e quando si parla della logica greca il nome che
viene subito in mente è ovviamente quello di Aristotele, perchè è considerato ancora oggi, praticamente
2500 anni dopo, il più grande logico che sia mai esistito. Aristotele è stato un sistematore, è stato un
innovatore, ha portato degli enormi contributi e questo oggi cercheremo di rivedere e di spiegare insieme.
La nostra lezione si chiama “una metafisica liceale” in maniera un pochettino scherzosa, per sottolineare due
degli aspetti della vita e dell'opera di Aristotele. Una delle sue opere più importanti è “la metafisica”, forse
la novità più rilevante da un p. di v. logico, però in uno di capitoli o libri, come si chiamavano allora, cioè il
libro quarto, il cosiddetto libro gamma della metafisica, ci sono dei contributi essenziali che tra breve
cercheremo di ricordare e oltre questo grande libro anche nel il “Liceo” . Il liceale non è ovviamente un
aggettivo denigratorio, non ho inteso dire che in realtà la metafisica di Aristotele era semplicemente cose da
liceale, il Liceo era la Scuola che Platone fondò, ma prima di arrivare a questi sviluppi cerchiamo di
inquadrare meglio la sua figura sia come studente, sia nei primi passi della sua carriera di insegnante.
Aristotele si situa anche lui, nel quarto secolo a.C., nacque nel 384, morì nel 321 ed è questo signore nella
slide che fu immortalato nella Scuola di Atene di Raffaello. Ebbene agli inizi della sua carriera da studente,
come spesso succede a tanti che poi diventeranno professori, andò a scuola. Vedete nella slide che tra i 367 e
347, per venti anni, Aristotele stava a scuola, non come si farebbe oggi, come fanno i nostri allievi, stanno a
scuola venti anni per prendere una laurea, ma semplicemente perché prese quello che sarebbe l'equivalente
all'epoca del titolo di studio e poi incominciò a fare l'assistente, noi
diremmo oggi, di Platone. Era allievo di Platone all'Accademia, a
questa grande Scuola che all'epoca era l’unica Scuola che esisteva
o la più grande Scuola che esisteva ad Atene. Era stata fondata da
Platone stesso, si chiamava Accademia in onore dell'eroe
Accademo, ebbene Aristotele fu praticamente l'allievo prediletto di
Platone e lui stesso sperava, che alla morte di Platone, avrebbe
potuto succedergli alla guida dell'Accademia e infatti per venti
anni lavorò col maestro, imparò ciò che Platone aveva da
insegnare e non era poco ovviamente. Ricordatevi anche, tra l'altro,
che una buona parte dell'insegnamento platonico avveniva
oralmente e quindi effettivamente Aristotele poté abbeverarsi
direttamente alle fonti dell'insegnamento platonico. Quando però Platone morì il suo sogno di diventare
direttore, rettore diremo noi oggi, della Scuola dell'Accademia, non si avverò e quindi Aristotele fu costretto
ad andarsene da Atene, girovagò per un po' di tempo, ma poi trovò
lavoro, trovò lavoro perché suo padre era amico del re di Macedonia;
questo re di Macedonia aveva un figlio, questo figlio aveva bisogno di
studiare da re, come si dice, si chiamava Alessandro il Macedone,
nientepopodimeno. Ecco che per cinque anni, tra il 342 e il 347,
Aristotele insegnò, fece il tutore di quello che poi sarebbe diventato
Alessandro Magno, ma che all'epoca era semplicemente il principe
ereditario Alessandro il Macedone. Aristotele non fu un'insegnante
qualunque per Alessandro, anzi oggi noi possiamo dire che, se
effettivamente Alessandro è diventato quello che è diventato, è stato
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grazie ad Aristotele o per colpa, a seconda di come lo si voglia vedere, se uno è pacifista o guerrafondaio,
perché Aristotele gli installò nella mente, gli insegnò l’idea che la cultura greca era la vera cultura, la cultura
con la C maiuscola ed era una cultura che aveva un destino di potenza, diremmo noi oggi dopo il ‘900, cioè
aveva una tale grandiosità ed era così profonda che aveva quasi il diritto di potersi espandere per il mondo
intero e di diventare la cultura del mondo. Ebbene Alessandro imparò queste cose, imparò da Aristotele
soprattutto la cultura greca, la filosofia greca, la filosofia platonica e Aristotelica e poi incominciò a mettere
in pratica, a concretizzare il sogno del maestro, cioè si mosse, incominciò a conquistare il paese vicino, andò
fino all'India, come sapete, andò fino in Egitto, il suo impero enorme fu veramente la prima realizzazione di
questo ideale di conquista culturale, oltre che militare ovviamente del mondo, da parte dei greci. L'impero,
come sapete tutti, durò poco, perché Alessandro morì giovane, all'età di trent'anni o poco più; però in realtà
Aristotele lasciò l'impronta attraverso questo suo pupillo nella storia, ma ovviamente quello che a noi
interessa non è la storia militare e la storia politica, ma è la storia delle idee, la storia della filosofia e qui
Aristotele viene ricordato allo stesso modo in cui in politica si ricorda oggi o nella storia si ricorda
Alessandro Magno, è stato un conquistatore anche lui, ma non conquistatore di terreni, bensì conquistatore di
idee. Vediamo da vicino che cosa successe subito dopo. Ritornato ad Atene nel 335 a.C., finalmente
Aristotele poté coronare il suo sogno di diventare rettore, ma non rettore dell'Accademia, perché l'Accademia
continuò ad esistere e fu una Scuola alternativa, in qualche modo a quella che fondò Aristotele, che invece si
chiamava “Il Liceo”. Anche qui, il nome deriva semplicemente dal fatto che era in un parco dedicato ad
Apollo licio. Vedete qui, alcuni studenti che non sono ovviamente studenti del liceo di Aristotele, ma questa
è l’idea, perché questi capelli che oggi identificano gli studenti delle
università americane sono in realtà il simbolo di quello che
Aristotele fece effettivamente; l'Accademia ovviamente era una
scuola di quelle che oggi noi chiameremo liceali, ebbene invece il
liceo di Aristotele fu veramente la prima università e addirittura la
prima facoltà di scienze, perché Aristotele insegnava praticamente
tutte le materie; insegnava la fisica, la biologia, la filosofia
naturalmente e così via. Era effettivamente il maestro, il tutore, era
il professore tra l'altro, faceva quasi tutti i corsi lui, però aveva
naturalmente una gran numero di assistenti che sguinzagliò a fare
ricerche e moltissimi dei suoi libri, i libri che oggi ci rimangono di
questa sterminata opera, che è l'opera di Aristotele, sono costituiti dagli appunti delle lezioni che Aristotele
teneva e dalle ricerche, oggi diremmo, dai lavori che venivano pubblicati degli studenti di questo grande
Liceo. Ebbene le opere di Aristotele che ho appena citato sono una cosa enorme veramente; si dice che sono
state calcolate addirittura il numero di righe di cui esse si compongono, sono quasi mezzo milione di righe di
lavoro. Ora vedete qui nella slide due parole che si ripetono, di cui cioè ne abbiamo già parlato a proposito di
Pitagora, le abbiamo ripetute a proposito di Platone e anche nel caso di Aristotele c'e questa divisione fra
l'insegnamento esoterico e l'insegnamento essoterico. Ricordate l'insegnamento essoterico, oggi
praticamente le conferenze divulgative, era quello dedicato a quelli che i greci chiamavano gli acusmatici,
cioè gli uditori cioè il professore che va, spiega in parole povere, come diremmo noi o forse attraverso
metafore letterarie, però in maniera discorsiva, ciò che in realtà si fa
dietro le quinte. Dietro le quinte invece si facevano appunto delle
cose esoteriche, cioè nascoste, per iniziati e gli esoterici erano coloro
che non erano soltanto uditori, ma coloro che anche volevano
apprendere, gli apprendisti che i greci li chiamavano matematici, cioè
la parola matematica deriva precisamente da questo, cioè dal fatto che
i matematici erano gli apprendisti del sapere che non veniva
divulgato, non veniva detto a tutti, anche perché aveva una certa
complicazione, ma veniva soltanto discusso nelle cerchie interne.
Ebbene di queste opere che Aristotele scrisse, ce ne furono di
esoteriche e ce ne furono di essoteriche. Aristotele esattamente come Platone scrisse una grandissima
quantità di dialoghi. Alcuni di questi dialoghi erano ancora considerati al tempo dei romani come delle cose
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veramente ispiratrici. Addirittura Cicerone ci racconta di aver letto un dialogo di Aristotele che oggi è
perduto, che si chiama “il protrepticon” e di aver dedotto o ricavato dalla lettura di questo dialogo
l’ispirazione anche per la sua carriera politica, per le idee etiche che poi professò nella sua vita. Ebbene tutte
queste opere essoteriche di Aristotele sono andate perdute. Oggi noi non abbiamo più nulla di divulgativo di
Aristotele stesso, ciò che lui scrisse per il pubblico, per la gente, ciò che scrisse di divulgativo è andato
perduto. Cosa ci rimane delle opere di Aristotele? Purtroppo per un motivo che spiegherò tra breve, ci
rimangono soltanto le opere esoteriche. E’ come se oggi di Einstein, per esempio, ci rimanessero soltanto i
lavori scritti della relatività, della meccanica dei quanti, eccetera, ma non quelle grandi opere di divulgazione
che sono poi quelle che hanno fatto conoscere Einstein al grande pubblico, perché il pubblico ovviamente
non si mette a leggere gli articolo tecnici, gli articoli dove ci sono i calcoli matematici, si mette a leggere le
spiegazioni più in generale. Ebbene di tutto quello che Aristotele scrisse in questo campo, appunto delle
opere esoteriche, non rimane più nulla, rimangono soltanto più le cose che sono state prese, gli appunti che
sono stati presi dagli studenti, i suoi appunti per le lezioni. In effetti quando si leggono queste opere di
Aristotele purtroppo la cosa si vede; la differenza tra Platone e Aristotele sta proprio in questo, che di
Platone ci sono rimaste soltanto le opere esoteriche, soltanto le opere di divulgazione, cioè soltanto le opere
che ha senso leggere e che diverte leggere, mentre di Aristotele ci sono rimaste soltanto le altre, cioè soltanto
le opere dure per così dire, soltanto le opere di ricerca, che ovviamente passano di moda molto velocemente.
Anche oggi leggere, agli inizi del 2000, le ricerche fondamentali, ma originali dei grandi fisici, per l'esempio
del ‘900, è una cosa che fanno ormai soltanto gli storici, perchè il linguaggio è passato, le cose si possono
fare più facilmente in un altro modo, eccetera e quindi leggere gli originali è qualche cosa che non serve più,
diciamo così, a trasportare questo sapere. Purtroppo di Aristotele, come dicevo, c'è rimasto solo quello e
quello dobbiamo sorbire, c'è poco da fare, ma in queste opere esoteriche, cioè in questi appunti di lezioni, in
questi lavori di ricerca, c'è veramente una miniera e soprattutto c'è anche una miniera di cose logiche. Ora
incominciamo anzi tutto a parlare di ciò che successe nel primo grande libro che Aristotele scrisse, cioè la
metafisica.
La metafisica di nuovo è un nome che oggi viene usato spesse volte, si chiama metafisica tutto ciò che ha a
Metafisica
che vedere con qualche cosa che è al di là del mondo fisico, metafisica
(Libro IV)
significa per l’appunto questo, oltre la fisica, però all'epoca metafisica
Assiomi dell’essere
voleva dire una cosa molto pratica, cioè quando Aristotele morì e i suoi
allievi, i suoi esecutori testamentari, diremmo oggi, misero in ordine le sue opere, arrivati ad un certo punto,
pubblicarono le opere di fisica e poi ci fu una collezione di opere che veniva dopo quelle di fisica, non
sapendo come chiamarle, perché in realtà si parlava di molti argomenti separatamente ed era un po'
un'accozzaglia di cose diverse, di libri di diverse ispirazioni, allora i suoi esecutori chiamarono questa opera
la metafisica, cioè l'opera che viene dopo la fisica. Ed ecco, vedete, come i nomi a volte prendono un loro
sapore e una loro identità diversa. Oggi metafisica vuol dire una cosa completamente diversa, vuol dire
appunto ciò di cui si parlava in quelle opere che venivano dopo la fisica. In particolare, lo già citato prima,
nella metafisica c’è un libro che è veramente importante dal punto di vista logico ed è il cosiddetto libro
quarto. Anche la metafisica stessa è un insieme di opere, 12-13, una dozzina di opere separate, scritte in
periodi diversi della vita di Aristotele, non tutti scritti da lui, alcuni appunto scritti dai suoi studenti; quindi
un'opera molto difficile che oggi nessuno leggerebbe dall'a alla zeta, perché non ha nemmeno una sua unità,
ma per coloro che si interessavano di logica, il libro quarto, che poi si chiama libro, ma che in realtà è un
piccolo capitolo, un fascicolo, in realtà nelle libro quarto si trovano quelli che oggi vengono chiamati gli
“assiomi dell'essere”, cioè le due proprietà fondamentali dell’essere. Ricordatevi che ovviamente stiamo
parlando degli albori del pensiero greco e agli inizi del pensiero greco c'era in effetti questa divisione tra due
visioni della vita o del mondo completamente diverse, da una parte Eraclito e dall'altra parte Parmenide.
Eraclito sosteneva, come tutti forse ricorderanno, che il mondo è un continuo divenire, il motto famoso di
Eraclito era ”panta rei”, cioè tutto scorre e la metafora, l'immagine che Eraclito ci ha lasciato, cioè che non si
entra mai due volte nello stesso fiume, perché nel momento in cui noi rientriamo nello stesso fiume, il fiume
è cambiato, il fiume è scorso, l'acqua non è più la stessa e così via, ebbene questa è una visione del mondo,
ma è la visione più naturale, forse non per noi, che ci siamo abituati ad un'altra visione a cui arrivo tra un
momento, ma è la visione più intuitiva. Se noi guardiamo il mondo intorno a noi effettivamente questo
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mondo è un mondo in continuo divenire, in continuo cambiamento, noi stessi ci guardiamo allo specchio
tutti i giorni e notiamo che incominciano ad arrivare le rughe, incominciano a diventare i capelli bianchi, la
barba bianca e così via, si cambia, ci nascono i figli, ci muoiono i genitori e così via, quindi effettivamente il
mondo è in cambiamento. Ebbene però ad un certo punto si taglia, oggi potremmo dire, perché vicino a
Napoli, ad Elea, arrivò una filosofia contrapposta a quella di Eraclito, cioè la filosofia di Parmenide che era
la filosofia dell'essere. Parmenide disse, pensò e propagandò queste sue idee. Sostenne che dietro a questo
divenire che è l'apparenza, quello che ci sembra che il mondo sia, in realtà il mondo è statico, c'è un essere
che è lì fermo, che non è il divenire, ma appunto è semplicemente un essere, con la E maiuscola. L'idea di
questo essere, l'idea che il mondo potesse essere costituito non da eventi fluenti, ma da cose, da oggetti
statici, ebbene fu da qui che partì, diciamo così, il pensiero occidentale, perché la scienza oggi si basa
proprio sulla visione di questo genere, cioè il fatto che il mondo sia fatto di oggetti, questi oggetti sono lì, si
può cambiare, ci sono dei cambiamenti, ma sono dei cambiamenti apparenti, qualche cosa rimane, la
sostanza dietro questo cambiamento. Ebbene, quali sono i principi fondamentali di questo essere? È chiaro
che nel momenti in cui la filosofia viene in essere una filosofia in divenire, se così possiamo dire, ebbene nel
momento in cui si crea, nasce una filosofia, i concetti sono ancora un pochettino sfumati, sono anche
nebulosi, bisogna cercare di andare a capire effettivamente che cosa ci sta dietro. Il primo che riuscì forse
effettivamente a dare concretezza e anche dare una certa coerenza logica alla filosofia di Parmenide fu
proprio Aristotele, con quelli che oggi si chiamano gli “assiomi dell'essere”. Gli assiomi dell'essere sono
principalmente due, che adesso vi ricordo: il primo è “il principio di non contraddizione”: non è possibile,
per una stessa proposizione, che questa proposizione sia in uno stesso momento sia vera che falsa.
Principio di
Ora pensate che, nel caso della filosofia del divenire, il principio di
non contraddizione non è affatto un principio né ovvio né vero,
non contraddizione
Non (A e non –A)
perché abbiamo detto prima, non si entra mai due volte nello stesso
fiume, perchè il fiume un giorno può essere per esempio calmo e il giorno dopo può essere invece
minaccioso, perché c'è stato un temporale, quindi dire che il fiume è o calmo o non calmo e che non può
esser tutte due queste due cose insieme, non ha senso, perché il fiume può essere benissimo sia calmo che
non calmo in momenti differenti della sua storia. Quando invece si pensa non a cose in divenire, ma a cose
statiche, ecco che allora non si può più dire, non si può più predicare di uno stesso oggetto, in uno stesso
momento, una proprietà e la sua negazione. Questo fu il primo grande risultato della filosofia aristotelica,
ovviamente queste cose erano già sottintese in lavori di altri, in particolare quelli sia di Parmenide che di
Platone. Però Aristotele fu il primo che effettivamente fece un'analisi sistematica di questi principi e li isolò
appunto stabilendo che erano alla base della filosofia dell'essere, della filosofia di Parmenide. Il secondo
grande principio, l'altra faccia della medaglia di questi assiomi dell'essere, è quello che viene chiamato
“il principio del terzo escluso”. I latini lo chiamavano “tertium non datur”, cioè “non esiste un terzo caso”
Principio del
e se non esiste un terzo caso, il terzo caso è escluso, perciò si chiama
terzo escluso
anche “terzo escluso” perché non c'è un terzo caso, ce ne sono soltanto
A o non-A
due. Quali sono questi due? Eccoli qui espressi in forma simbolica, cioè
“ una proposizione è vera” o “la sua negazione è vera”, cioè la proposizione è falsa. Il terzo escluso significa
semplicemente che quando si parla di logica alla maniera di Aristotele e alla maniera di Parmenide e non alla
maniera di Eraclito per esempio, si pensa a vero e falso come le due uniche possibili alternative. Una
proposizione o è vera o è falsa, non può essere tutti e due per “il principio di non contraddizione” e deve
essere almeno una delle due per” il principio del terzo escluso”. Ed ecco che si incomincia a delineare nella
metafisica di Aristotele l'idea fondamentale di quella che poi diventerà la logica classica che si chiama
classica non a caso, perché da allora è diventata la logica quotidiana, quella su cui poi si basa la matematica,
la scienza moderna e così via. Quindi questa doppia alternativa, c’è la verità e c’è la falsità, verità e falsità
sono contrapposte fra di loro e di fronte ad una proposizione, che abbia senso e che sia una proporzione
compiuta, si possono presentare soltanto due alternative, queste due alternative sono o che la proposizione
sia vera o che la proposizione sia falsa e una delle due alternative deve succedere effettivamente e questo è il
principio del terzo escluso, tutti e due insieme non possono succedere e questo è il principio di non
contraddizione. Questo il fondamento, diciamo così, che Aristotele nel libro quarto della metafisica pose per
la logica dell'essere, ma ovviamente, questo era soltanto un primo passo. La metafisica è un lavoro,
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perlomeno in questo libro, è un lavoro giovanile di Aristotele e quello che successe dopo cambiò
effettivamente la storia. Cambiò la storia nel senso che le opere logiche di Aristotele addirittura vengono
ricordate con un nome collettivo che si chiama “Organon”, che significa strumento e le opere che adesso
ricorderemmo sono diventate appunto lo strumento, per gli eredi, per i discepoli di Aristotele, lo strumento
per studiare la logica. Di queste opere ce ne sono parecchie, in realtà ce ne sono sei e adesso vediamo quali
sono gli argomenti..
Organon
Oggi non si leggono più se non per voler fare la storia
¾ Categorie: soggetti, predicati atomici
della filosofia come ho detto, cioè le si leggono ancora
nei corsi di filosofia, quando si prende un corso come
¾ Interpretazione: proposiz. Composte
questi di logica matematica, si ricordano queste cose,
¾ Analitici (I, II): argomenti
però la cosa interessante è che gli argomenti di cui ha
¾ Topici: dialetica
¾ Confutaziono: sofista
trattato Aristotele in questi sei opere sono precisamente
gli argomenti in cui ancora oggi si dividono i corsi di logica matematica che noi facciamo all'università.
Quindi vediamo il primo di questi libri che compongono l’Organon, lo strumento di Aristotele, questo libro
si chiama “le Categorie”. Ora le categorie oggi sono completamente passate di moda, sono rimaste di moda
praticamente sino al 1700, alla fine del ‘700 con la filosofia kantiana, però l'idea fondamentale delle
categorie di Aristotele era un qualche cosa di essenziale che ancora oggi rimane ed era un'analisi di cosa
significa essere il soggetto di una proposizione e che cosa significa essere un predicato atomico. I predicati
atomici sarebbero i predicati che predicano di cose che si chiamano soggetti e atomici significa che non si
possono scomporre ulteriormente; atomico ovviamente è ciò che deriva dall'atomismo greco di Democrito,
oggi che c'è stata da la chimica nell'800, nel ‘900, sappiamo benissimo che cosa vuol dire atomico. Atomico
vorrebbe essere il mattone costituente, oltre il quale non si può andare nell'analisi. Ecco che le categorie di
Aristotele sono precisamente questo: un'analisi di ciò che è fondamentale a livello linguistico, cioè da una
parte i predicati, cioè quelli che non si possono scomporre ulteriormente e dall'altra parte i soggetti di questi
predicati. Notate che non ci sono i complementi. La cosa può sembrare strana, perché per noi, che abbiamo
fatto analisi logica nelle elementari e nelle medie, l'analisi logica tipica sarebbe soggetto, predicato e
complemento, quindi relazioni in cui intervengono più di un soggetto; c'è qualche cosa che fa un'azione, c'è
qualche cosa sulla quale si fa l'azione, per esempio il professore che tiene una lezione: professore soggetto,
tiene ovviamente predicato e lezione complemento. Ebbene queste cose stranamente non erano analizzate da
Aristotele,questo era il limite più grosso della logica aristotelica, cioè il fatto di riferirsi soltanto a dei
predicati che avessero un soggetto, ma che non avessero degli oggetti o che non avessero più soggetti.
Quindi erano quelli che i logici oggi chiamerebbero i predicati atomici e i predicati unari, unari nel senso che
hanno un solo soggetto. Questa era una limitazione, come dicevo, piuttosto grande che però non fu
sorpassata fino praticamente a Frege, 1879. Quindi, pensate, ci sono voluti oltre 2000 anni per riuscire ad
andare oltre quella che era stata la fondazione della logica di Aristotele. Il secondo libro di Aristotele è
“l'interpretazione”, perché ovviamente nel momento in cui abbiamo fatto un'analisi delle proposizione
atomiche, il passo successivo è quello di considerare come si possono mettere insieme queste proposizione
atomiche per formarne di altre composte. Ebbene, l'interpretazione è proprio questa, cioè lo studio delle
proposizione composte. Poi finalmente si viene a due libri che sono i due libri più importanti, quelli più
citati, si chiamano “Analitici” e ce ne sono due, appunto gli Analitici I e II. In questi analitici vengono
analizzati gli argomenti, cioè ciò che fa veramente il centro, il nucleo della logica all'epoca e anche della
logica oggi, cioè il modo di ragionare, non soltanto come sono costituite le proposizioni, ma soprattutto
come si passa da proposizioni a proposizioni mediante ragionamenti. Gli altri libri sono forse meno
importanti, cioè nei “Topici” si parla della dialettica e nelle “Confutazioni” si parla della sofistica. Oggi
queste parti sono un po' cadute in disuso, però è bene forse parlarne un momentino, dire perlomeno qual’era
l'idea che Aristotele aveva dei tipi di argomenti e qual’era la
sua classificazione. La classificazione delle varie parti, delle
varie branche, diremmo noi, della logica secondo Aristotele
si faceva in base alla verità dell'ipotesi e alla correttezza o
meno degli argomenti. Allora la prima, quella che veramente
veniva chiamata logica, era un ragionamento corretto, cioè un
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argomento corretto che parte da delle l'ipotesi vere, cioè abbiamo delle assunzioni, queste assunzioni sono
vere, sono
effettivamente quello che succede nel mondo, facciamo dei ragionamenti corretti, questa è la logica.. Però ci
sono altre possibilità, per esempio la dialettica, cioè il ragionamento è ancora corretto, ma le ipotesi non sono
più soltanto vere, anzi non sono più vere, ma sono soltanto più verosimili; verosimili significa potrebbero
essere vere, non sono contraddittorie, non sono false, ma non è detto che siano vere. Allora nel caso in cui il
ragionamento sia corretto, ma le ipotesi siano solo verosimili, ma non vere, non si parla più di logica, si parla
di dialettica, quindi è come se fosse ad un gradino inferiore ed infatti l’abbiamo messa sotto. Nel caso in cui
il ragionamento continui ad essere corretto, ma le ipotesi lungi dall’essere vere o anche verosimili, sono
false, allora ecco che c'è il terzo gradino che interessa poco, perché,quando si parte da ipotesi false, poi si
può arrivare dove si vuole, anche se il ragionamento è corretto, questa terza parte della logica Aristotele la
chiamava Eristica. Infine c'era quella che lui chiamava “la sofistica” e appunto nell'ultimo libro “le
confutazione dell'Organon” si interessava di questi argomenti, degli argomenti sofisti. Per la sofistica non ha
importanza come siano le sue ipotesi, perché fa dei ragionamenti scorretti e allora quando il ragionamento è
scorretto, poi se si parte da ipotesi false o vere o verosimili non importa più, perché il problema sta proprio
nel ragionamento. Questa era l’idea, l'impianto della logica aristotelica, la divisione in varie branche, che
oggi come ho detto è diventata un pochettino secondaria. I principali contributi di Aristotele alla logica sono
in tre campi diversi: il primo campo è lo studio dei “sillogismi”, di cui diremo tra poco qualche cosa, poi c'è
il campo dei “quantificatori”, cioè l'isolamento che Aristotele fece delle particelle di linguaggio che oggi
sono tra le più studiate nella logica moderna, cioè nessuno, qualcuno, tutti e anche di questi diremo alcune
cose più precise tra poco e da ultimo le “modalità”, cioè lo studio del possibile, dell'impossibile e del
necessario.
Contributi principali
Allora vediamo più da vicino quali sono stati effettivamente i
risultati che Aristotele riuscì a raggiungere all'interno di questi
¾ Sillogismi (assiomi, regole)
casi, anzi tutto i “sillogismi”. Sui sillogismi ho scritto soltanto
¾ Quantificatori
(nessuno, qualcuno, tutti)
due parole praticamente “assiomi” e “regole”, per indicare il
¾ Modalità
fatto che Aristotele compì un'analisi completa, assolutamente
(impossibile, possibile, necessario)
completa e per i suoi tempi veramente strabiliante, di tutti i
possibili tipi di sillogismi. Quindi notate che di sillogismi ce ne sono tanti, sillogismi tipici di quelli che
Sillogismi
considerava Aristotele erano per esempio “ogni uomo è mortale, Socrate è un
¾ Assiomi
uomo, dunque Socrate è mortale”, cioè il passare da due premesse, una delle quali
¾ Regole
veniva chiamata “premessa maggiore” e l’altra “premessa minore” , ad una
conclusione. Quindi i sillogismi sono dei tipi di ragionamento, degli schemi di ragionamento, diremmo noi
oggi, in cui ci sono due premesse e una conclusione. Ora a seconda del tipo di premesse, che si potevano
basare sui vari tipi di quantificatori, come ho appena detto per esempio una premessa poteva essere “tutti gli
uomini sono mortali”, però invece del quantificatore “tutti” si potevano considerare “qualcuno”, “nessuno”
e così via, ebbene Aristotele fece una tassonomia dei possibili tipi di sillogismo e scoprì che ce n'erano 256.
Di questi 256 andò alla ricerca di quali erano corretti; ovviamente qualcuno è sbagliato, qualcuno è corretto,
però insomma quali sono corretti? Quali sono sbagliati? Aristotele fece una lista che risultò poi, ma questo
2000 anni dopo, non completa perché un paio di sillogismi corretti gli erano scappati e uno o due di quelli
che lui considerava corretti, oggi noi li consideriamo scorretti per motivi però abbastanza tecnici. Quindi
l'analisi di Aristotele che riuscì a isolare all'interno di un campo così vasto di 256 possibili tipi di sillogismi,
quella dozzina e mezza che erano effettivamente corretti, prendi uno, togli uno, ebbene effettivamente fu un
grandissimo risultato, ma Aristotele non si fermò a questo, perché introdusse delle regole che permettevano
di passare da un sillogismo all'altro e fece vedere come tutti i sillogismi corretti in realtà possono essere
derivate da uno solo, il famoso sillogismo cosiddetto in “barbara”. I nomi dei sillogismi sono nomi medievali
che oggi insomma vengono usati soltanto più per motivi storici, ma comunque noi oggi il sillogismo in
Barbara lo chiameremo la “transitività dell'implicazione”, cioè “se da a discendi b e da b discende c, allora
da a discende c”, questa è l’idea, l’impianto essenziale. Aristotele riuscì a far vedere che tutti i 18 tipi di
sillogismi che lui considerava corretti, effettivamente potevano essere ricondotti attraverso regole di
trasformazione a quell'unico “sillogismo in barbara”, che diventava quindi praticamente “l'assioma della
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teoria dei sillogismi”. Questo è un qualche cosa che fa veramente impressione, soprattutto vederlo oggi che
abbiamo sviluppato nell'ultimo secolo, secolo e mezzo, un numero enorme di tecniche per dimostrare cose di
questo genere, insomma pensare che Aristotele potesse farlo, senza tutto questo armamentario, è qualche
cosa di veramente incredibile ed è molto simile da questo punto di vista a ciò che fece Archimede più o
meno in un periodo analogo per quanto riguarda la matematica. Anche oggi i risultati di matematica di
Archimede sono cose che si studiano nelle scuole e che tutti dovrebbero sapere, però il pensare che
Archimede riuscì a farlo con i mezzi tecnici della matematica greca è veramente strabiliante. Quindi questi
sono forse i due grandi nomi del pensiero greco, Aristotele nella filosofia e soprattutto nella logica e
Archimede nella matematica.
Per quanto riguarda invece gli altri aspetti dell'opera di Aristotele passiamo ai “quantificatori”. Ora i
quantificatori sono quelle paroline di cui avevo parlato prima: qualcuno, nessuno e tutti, ebbene Aristotele
fece una tabella e riuscì a vedere quali sono i legami fra queste particelle del linguaggio. Questo quadrato
cosiddetto delle opposizioni, il quadrato è quello che qui si vede in blu, è quello che ancora oggrimane i e
che è stato inglobato nella logica moderna attraverso leggi di trasformazione da un quantificatore ad un altro.
Aristotele distinse due tipi di quantificatori, quelli affermativi e quelli negativi e praticamente distinse anche
due categorie di quantificatori: “l'universale” ed “il
particolare”. Vediamo anzi tutto l'universale. L'universale
affermativo è tutti, mentre l'universale negativo è nessuno. Qui
ho messo un simbolo, tanto dobbiamo anche familiarizzarci
con il linguaggio tecnico formale della logica moderna; oggi
invece di scrivere tutti, si scrive soltanto una lettera che è
l'inverso di A, A è ovviamente l'iniziale della parola inglese
All, che significa per l’appunto tutti, è un simbolo oggi
diventato un simbolo indipendente, cioè i logici matematici
scrivono questa A girata, per indicare tutti. Quindi ci sono due
tipi di quantificatori universali, uno affermativo “tutti” e l’altro negativo “nessuno”. Poi ci sono due tipi
analogamente di quantificatori particolari: uno affermativo che dice qualcuno e l’altro negativo che dice non
tutti. Il qualcuno ha anche lui un simbolo associato, che è una E, che significa esiste, ovviamente un E
rovesciata esattamente come la A rovesciata e nella slide c’è la tabella che Aristotele considerò dei tipi
possibili di quantificatori, cioè nessuno, qualcuno e tutti e poi anche questo non tutti, che quando si fa la
tabella si vede che serve, è quindi come riempire un buco e anche una scoperta, diciamo così, di analisi
logica. Cerchiamo di vedere, più da vicino, quali sono le proprietà di questi tutti, qualcuno ecc. Ebbene
queste proprietà sono una delle grandi conquiste di Aristotele, perché sono cose sottili; adesso ve le leggerò e
voi dovete pensarci un momento per capire effettivamente, per convincervi che sono corrette e per darmi
ragione. Cominciamo a vedere da prima questo quantificatori universale affermativo tutti.
Tutti fanno
Ebbene dire una frase del tipo “tutti fanno qualche cosa” è la
= non è vero che qualcuno non fa
stessa cosa che dire “non è vero che qualcuno non la fa” ed
Qualcuno fa
ecco che allora qui c'è un legame scoperto per l’appunto da
= non è vero che tutti non fanno
Aristotele fra “il tutti” e “il qualcuno”. Se noi abbiamo la
negazione, usando due negazioni, cioè “non è vero che qualcuno non fa”, è possibile ricostruire il
quantificatore universale, cioè la scoperta veramente grandiosa di Aristotele fu che è vero che sembra che ci
siano in particolare due quantificatori, cioè il “qualcuno” e il “tutti”, però in realtà questi due quantificatori
sono sovrabbondanti, basta averne uno per ricavare l'altro. E allora, se per esempio si ha la possibilità di
parlare di qualcuno, si può dire “non è vero che qualcuno non fa qualche cosa” ed è la stessa cosa che dire
“tutti fanno quella cosa lì”. Quindi il “tutti” si può eliminare quando si abbia ovviamente il “qualcuno” e si
abbia ovviamente anche la possibilità di negazione. Ma non è che il “tutti” si può eliminare a favore del
“qualcuno”, si può anche fare l'esatto contrario e allora ecco che, dire che “qualcuno fa una certa cosa”, è la
stessa cosa che dire “non è vero che tutti non la fanno”; questo non è propriamente in italiano, in italiano si
direbbe “non è vero che nessuno la fa”, però l’ho scritto in questo modo per fare risaltare il legame tra
“qualcuno” e “tutti”. Quindi, uno qualunque dei due quantificatori, è sufficiente per ricostruire l'altro,
insieme alla negazione.
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Per quanto riguarda la “modalità”, Aristotele fece una grande
scoperta e cioè che le modalità possibile, impossibile,
necessario e contingente sono praticamente un “analogo dei
quantificatori”. Infatti come vedete, qui c'è una tabella, che parla
di nuovo di affermativo e negativo esattamente come nel caso
dei quantificatori. Le “modalità” non si chiamano più
“universali e particolari”, ma si chiamano apodittiche e
problematiche, insomma la parola non è così importante. Per il
caso di modalità apodittiche il “necessario” è l'analogo del “tutti”, “l'impossibile” è l'analogo del “nessuno”.
Il simbolo logico che viene usato oggi per il “necessario” è un quadratino. Similmente nel caso delle
“modalità problematica” c'è il “possibile” e il “contingente”, analoghi al “qualcuno” e a “non tutti”. Anche
qui c'è un simbolo per il “possibile”che è un rombo, che è simile a quello per il “necessario”, cioè un
quadrattino rovesciato. Ed ecco che, facendo questa tabella, questi quadrati di opposizione, Aristotele non
solo riuscì a fare un'analisi delle modalità, cioè possibile, necessario, impossibile e contingente, simile a
quello dei quantificatori, ma riuscì a far vedere che praticamente erano la stessa cosa, cioè si trattava di due
serie di operatori, di due serie di particelle del linguaggio, che però godevano delle stesse proprietà. Per far
vedere che effettivamente così è, vi faccio vedere come effettivamente si può passare da possibile a
necessario oppure da necessario a possibile, esattamente come si poteva prima passare da “tutti a qualcuno”
o da “qualcuno a tutti”.
E’ necessario fare
Vediamo se ci convinciamo di questo: “è necessario fare una certa
= non è possibile non fare
azione” significa che “non è possibile non farla”, quindi di nuovo la
E’ possibile fare
“modalità necessario” si può ridurre alla “modalità possibile” quando
= non è necessario non fare
si abbia la possibilità di usare la negazione. Quindi “necessario”
significa “non possibile non farlo”, viceversa, esattamente come nel caso precedente “è possibile fare
qualche cosa” significa che “non è necessario non farla”, perché se fosse necessario non farla allora lei
sarebbe impossibile. Ed ecco che di nuovo “impossibile” si può definire, si può ridurre al necessario e alla
doppia negazione. Ecco questi sono i grandi contributi che Aristotele effettivamente fece per quanto riguarda
la logica. Che cosa rimane oggi di questa sua eredità? Rimane anzitutto il suo grande nome, perché il nome
di Aristotele, come ho detto prima, è considerato il nome del più grande logico mai vissuto, forse soltanto
un'altra persona, un altro logico può competere a questo livello con Aristotele ed è Goedel di cui abbiamo
parlato in una lezione introduttoria, di cui ovviamente parleremo verso la fine di questo ciclo di lezioni.
Aristotele e Goedel sono un po' l'Alfa e l'omega, il principio e la fine di questa grande avventura che è stata
la logica, prima semplicemente e poi logica matematica. Ebbene dei contributi tecnici di Aristotele io credo
che i quantificatori e le modalità sono lì per rimanere, come si direbbe in inglese, sono state delle scoperte
che veramente hanno portato alla luce parti sommerse dell'analisi linguistica, però in realtà stanno a un
livello che non è ancora il livello più basso, il livello più atomico di possibile analisi.
Aristotele era arrivato fino a un certo punto, ma nemmeno la mente di un genio così universale, così grande,
era arrivato alla fine della storia. Infatti sotto l'analisi di Aristotele c'era ancora qualche cosa da scavare,
c'era ancora quella che oggi si chiamerebbe “la logica proporzionale”, la logica di quelli che si chiamano “i
connettivi”, cioè le particelle che mettono insieme proposizioni semplici per costruire proposizioni più
complicate, cioè la congiunzione, la disgiunzione, l'implicazione, la negazione, eccetera. Ovviamente
Aristotele usava le negazioni come vedete qui, ma non fece un'analisi sistematica di quali particelle fossero
necessarie per costruire le frasi composte. Quest'analisi sistematica fu fatta da una scuola alternativa a quella
aristotelica, sempre ad Atene, che fu la Scuola degli stoici e di cui anche qui dovremo parlare nella prossima
lezione. Il più grande stoico si chiama Crisippo ed insieme ad Aristotele c'è effettivamente questo altro
grande nome di cui andremo parlare nella prossima lezione.
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LEZIONE 7: Lezione sotto il portico
Quest’oggi finiremo un periodo della logica matematica, in realtà il periodo arcaico, cioè il periodo greco.
Come vedete dal titolo della nostra lesione, “Lezione sotto il
Portico”, quest’oggi andiamo a fare una gita scolastica, come si
dice e usciamo da questo studio di registrazione, andiamo per
l’appunto sotto un portico; capirete, tra breve, come mai abbiamo
intitolato la lezione in questo modo e cerchiamo anzitutto di
andare a vedere dove ci troviamo. Ci troviamo ad Atene, questo è
il famoso dipinto ovviamente di Raffaello che abbiamo già visto
tante volte a pezzi o intero. Il dipinto si chiama “la Scuola di
Atene”, ma ”in realtà c'è un errore, perché “la Scuola di Atene
erano in realtà “le Scuole di Atene”, cioè ce n’erano tre e le tre
famose scuole di Atene erano, per l’appunto, le due delle quali
abbiamo già parlato in lezioni passate e una delle quali parleremo quest’oggi. La prima Scuola, l'Accademia,
vi ricorderete, è la Scuola che è stata fondata da Platone, la Scuola che ha avuto degli ospiti illustri, degli
studenti illustri, tra cui Aristotele. Aristotele come abbiamo detto la scorsa lezione è uno di studenti
dell'Accademia, ma non è diventato preside, rettore dell'Accademia, fondò una sua Scuola alternativa che si
chiamava il Liceo e poi finalmente c'è una terza scuola che si chiama appunto la Stoà di cui parleremo in
questa lezione, che però divenne praticamente il terzo corno di questo triangolo importante di scuole di
Atene. E le tre scuole di Atene furono veramente importanti, anche perché ciascuno di esse aveva
ovviamente una discendenza differente, chi discendeva da Platone, chi discendeva da Aristotele e chi
discendeva per l’appunto dagli stoici che prendevano il nome dalla loro Scuola e per farvi un esempio di
quanto fosse importante, poi in realtà, questa trilogia di Scuole, faccio un esempio che è abbastanza
successivo, cioè 156 a.C. Qualcuno di voi ricorderà che questo è più o meno il periodo in cui i romani
conquistano la Macedonia e cominciano a diventare i vicini politici, preoccupanti anche un po' fastidiosi dei
greci. I greci cominciano a sentire che la loro civiltà sta ormai decadendo e che dovranno passare la torcia,
come si dice, come diceva Platone anzi, dovranno passare la torcia a qualcun altro. Mentre invece i romani
sono in piena espansione, quindi sono già arrivati ormai alle porte della civiltà greca e i greci ritengono,
soprattutto gli ateniesi, di dover mandare a Roma una loro missione. Che cosa farebbero quest’oggi i nostri
politici se dovessero mandare una missione, non so, ad un paese che sta conquistando i nostri vicini. Beh,
ovviamente sceglierebbero i rappresentanti più importanti, gli uomini più prestigiosi della città o del paese e
li mancherebbero l’appunto in missione diplomatica. Ebbene, che cosa
fecero gli ateniesi nel 156 a.C.? Non pensarono ad altro, cioè non
trovarono di meglio, ma questo era nuovamente difficile, perché queste
erano le scuole migliori che si potessero immaginare, non trovarono di
meglio, dicevo, che mandare un'ambasciata composta da tre
ambasciatori e i tre ambasciatori provenivano uno dell'Accademia di
Platone, l'altro dal Liceo di Aristotele e il terzo dalla Stoà. I loro nomi
non sono molto importanti, l'unico, di cui forse qualcuno di voi si
ricorderà, è il Carneade, che era appunto il prescelto dall'Accademia
platonica. Carneade si ricorda oggi perché nessuno se lo ricordava nei
Promessi sposi, dove c’è quella famosa frase, quando ad un certo punto
si dice: Carneade chi era costui? Ebbene, costui era precisamente un discepolo, diciamo così, un esponente
dell'Accademia platonica che fu scelto tra i tre missionari, cioè tra o tre ambasciatori che andarono a Roma.
Gli altri due erano Critolao, per l’appunto, l’esponente del Liceo di Aristotele e Diogene che era invece
l'esponente della Stoà. Questo l'ho detto , appunto, soltanto per farvi capire come, in realtà, queste tre
scuole, che arrivarono ad Atene in periodi successivi, Platone e Aristotele e poi questa nuova Scuola a cui
dedichiamo questo oggi la nostra lezione, queste tre scuole in realtà entrarono a far parte del tessuto della
città, diventarono veramente tre poli in qualche modo, che si combattevano ovviamente intellettualmente, ma
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che fecero ovviamente progredire il pensiero intellettuale greco. Bene, vediamo invece più vicini a noi,
cerchiamo di parlare di ciò che dobbiamo affrontare oggi e parliamo, per l’appunto, di come mai questa
lezione l'abbiamo chiamata “lezione sotto il portico”. Si chiamava lezione sotto il portico, perché la Scuola
prese il nome da questa frase greca “Stoà poichilè”; Stoà significava, per l’appunto, portico e poichilè
significava dipinto.Quindi poiché l'ambiente era molto interessante, gli studenti evidentemente amavano fare
Zenone di Cipro
lezione all'aperto, sotto questo portico, tra l’altro circondato dai dipinti,
(300 a. C.)
la Scuola prese il nome in questo modo. Ricordatevi che anche il Liceo
Stoà poikilè = portico dipinto
e l'Accademia avevano acquistato i loro nomi per motivi puramente
Contingenti; l'Accademia perché era nata nel parco dell'eroe Accademo, il Liceo perché era nato in un parco
dedicato ad Apollo licio e la Stoà, anche lei, prese il nome da questo fatto contingente, cioè dal fatto che le
lezioni venissero fatte sotto un portico. Il primo esponente, il fondatore di questa nuova scuola che
c'interessa particolarmente, come vedrete, una scuola molto importante dal punto di vista, proprio nostro,
della logica matematica, il fondatore fu Zenone; però attenzione, non Zenone di Elea, colui di cui abbiamo
parlato, quando abbiamo parlato dei paradossi, in particolare il famoso paradosso di Achille e la tartaruga,
quello era Zenone di un'altra scuola. Zenone era un nome comune all'epoca, questo qui invece era Zenone di
Cipro, cioè era un cipriota che arrivò ad Atene e fondò questa Scuola verso il 300 a.C.. Vediamo meglio,
però, che cosa successe in questa scuola. Zenone era il fondatore, ma a differenza di Aristotele e a differenza
di Platone, che come fondatori sia dell'Accademia che del Liceo in realtà erano anche gli esponenti più
importanti e furono il massimo risultato di questa Scuola, cioè la Scuola era la loro Scuola, invece la Stoà
divenne famosa, per lo meno per quanto riguarda gli studi di logica e di logica matematica di cui noi ci
interessiamo, divenne famosa, dicevo, non tanto per quello che fece il suo fondatore Zenone di Cipro, ma per
questo personaggio che si chiamava Crisippo, Crisippo di Soli e che visse tra 280 e il 210 circa a.C. Ora qui
ho riportato una frase, che si trova nei classici dell'epoca, una frase che dice anche quanto fosse l'importanza
di questo personaggio Crisippo, che oggi arriveremo a conoscere molto meglio, anche se purtroppo, per
Crisippo di Soli
motivi che vi spiegherò tra breve, in realtà è stato molto dimenticato e
(280-210 a.C.)
nei libri di testo se ne parla poco, dicevo la frase è questa qui, cioè la
“senza Crisippo non
citazione “senza Crisippo non ci sarebbe stata la Stoà”, cioè la Stoà
ci sarebbe stata la Stoà”
che fu fondata da Zenone di Cipro, in realtà era una piccola scuola
quando iniziò e divenne una scuola così importante, tanto importante
da poter arrivare a essere considerata alla pari della Accademia e di
Liceo, divenne importante proprio grazie alle opere, al pensiero, al
lavoro, all'insegnamento di questo signore Crisippo. Crisippo lo
abbiamo già visto in una delle lezioni introduttive, quando vi avevo
appunto detto che nella terna dei logici, diciamo così, del periodo
greco era effettivamente alla pari di Platone e di Aristotele. Quindi
possiamo immaginarci che da questo solo fatto che qualcuno vi dica
che, effettivamente al livello di Aristotele come logico c'era già anche
questo Crisippo, già ci potrebbe far capire che effettivamente è stato
un personaggio veramente fondamentale. E oggi cercheremo di capire
che cosa lui ha fatto. Bene, andiamo più da vicino appunto, a cercar di capire che cosa effettivamente fece
Crisippo, ma prima volevo concludere praticamente questa breve carrellata sullo stoicismo e anche spiegare
come mai, per l’appunto, oggi non si parla più tanto dello storicismo, non si parla più tanto di Crisippo,
come mai anche non c'è più quasi una testimonianza diretta, cioè nel senso che i loro testi sono scomparsi.
Anzitutto, questa slide si riferisce allo stoicismo tardo, cioè c'è stato non soltanto uno storicismo greco, per
l’appunto nato nella Stoà di Atene e poi mandato avanti da personaggi come Crisippo, ma c'è stato anche
uno stoicismo romano e alcuni degli esponenti di questo storicismo romano sono stati veramente importanti.
Il primo, forse il più importante di tutti, è stato Seneca, che visse circa dall'anno zero, cioè il momento della
nascita di Cristo, al 65 d.C.; qui, questo signore che vedete raffigurato nella parte sinistra in basso dello
schermo, non è né Seneca né quest'altro personaggio di cui parleremo tra un momento, Marco Aurelio, bensì
Nerone. Ora Nerone è famosissimo, è passato alla storia certamente per motivi, forse non tutti piacevoli, vi
ricorderete, a parte la Domus aurea, che è stata riscoperta, piena di affreschi eccetera, che era stata cancellata
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perché sopra di questo furono poi costruite in segno dispregiativo le
terme, addirittura i bagni pubblici, ma Nerone ricordato oggi per
l'incendio, perché mise a fuoco la città di Roma, Nerone aveva avuto
Seneca come precettore. Ecco che qui vedete tra l'altro un pattern,
come direbbero gli inglesi, cioè una riproduzione di eventi, abbiamo
parlato in una delle scorse lezioni per la punto di Aristotele, Aristotele
che ad un certo punto divenne il precettore di Alessandro il Macedone,
di Alessandro il Grande; ebbene Seneca, anche lui un filosofo
importante che diventa precettore d'un imperatore come Nerone.
Quindi all'epoca effettivamente i filosofi erano parte dell'insegnamento, soprattutto l'insegnamento della
nobiltà, di coloro che poi sarebbero arrivati al governo. Questo era molto legato ovviamente all'idea
platonica; Platone aveva sostenuto nella “Repubblica” che la vera repubblica, il vero stato che si fosse
indirizzato, che si fosse costituito su basi razionali avrebbe dovuto essere governato direttamente dai filosofi.
Platone lo diceva per motivi ovvi, perché lui era un filosofo, quindi a tutti piace governare, forse gli sarebbe
piaciuto anche a lui diventare presidente o imperatore di imperi, non potendolo fare direttamente, quello che
i filosofi poi riuscirono a fare effettivamente fu di essere perlomeno l'educatore del principe, l’educatore di
colui che sarebbe diventato poi il regnante. Ebbene Seneca, dicevo per l’appunto, fu il precettore di Nerone.
Un altro invece famoso esponente dello storicismo romano fu Marco Aurelio, che visse tra il 121 e 180 d.C.
e Marco Aurelio divenne lui direttamente imperatore; quindi vedete, come lo stoicismo non soltanto fu
importante da un punto di vista intellettuale ad Atene, perché era una delle tre scuole all'avanguardia, ma fu
importante anche da un punto di vista pratico, perché o attraverso l'insegnamento di Seneca o direttamente
attraverso il governo di Marco Aurelio arrivò addirittura ai massimi vertici del potere romano. Che cosa
successe però? Oggi lo stoicismo in realtà non è molto noto, è rimasta la parola stoico, l'aggettivo che
significa qualcuno che effettivamente sa controllare le proprie emozioni, sa andare contro quasi la propria
natura per sacrificarsi; ebbene, questo era uno degli aspetti effettivamente dello storicismo. Gli storici erano
personaggi che avevano un estremo autocontrollo, erano veramente filosofi nel senso che oggi daremo alla
parola, non nel senso di qualcuno che fa, che pratica la professione di filosofia, una professione di filosofia,
ma qualcuno che chi vive veramente la filosofia. Ebbene, però questo storicismo era quasi una religione laica
e ovviamente se voi guardate queste date, soprattutto la prima, l'anno zero, beh, questo è arrivato in un
momento che forse era il momento sbagliato. Ci fu un'altra religione che era tutt'altro che una religione laica,
una religione fideistica, cioè il cristianesimo che in quello stesso periodo arrivò a contrastare, diciamo così,
lo stoicismo; il cristianesimo ebbe la partita vinta e allora da quel momento, questa religione sarebbe stata
una religione, un modo di comportamento, un etica razionale, lo stoicismo passò in secondo piano, non si
ripubblicarono più i libri e all'epoca non ripubblicare libri significava non riscriverli più, perché le cose
ovviamente venivano tramandate semplicemente per coppie, fatte a mano e bastava che si cominciasse a non
scrivere più un libro che questi libri andavano naturalmente persi nella memoria e questo successe
effettivamente agli stoici. L'intera scuola stoica, non soltanto quella romana, ma dal nostro punto di vista è
molto più importante quella greca, cioè dal punto di vista della logica, tutte le opere degli stoici andarono
perdute e oggi non ce ne sono più, in particolare le opere di Crisippo, che era, come abbiamo detto,
l'esponente principale dello stoicismo greco, uno dei logici più importanti insieme ad Aristotele. Crisippo era
quel che oggi chiameremo un grafomane, perchè letteralmente scriveva 500 righe al giorno. Nella lezione su
Aristotele abbiamo detto che, più o meno, c'è stato un calcolo di ciò che Aristotele ha lasciato, erano circa
450.000 righe; 500 righe al giorno, significa che per arrivare a 500.000 righe basta passare 1000 giorni, che
sono circa tre anni, cioè in tre anni Crisippo aveva scritto o scriveva ogni tre anni l’analogo o l’equivalente
di ciò che Aristotele ci ha lasciato, quindi un enorme quantità di volumi. Si calcola, si dice che Crisippo
avesse scritto 700 libri. Ora è vero che all’epoca i libri non erano quelli che sono oggi, cioè erano magari
capitoli, però 700 libri erano comunque una somma enorme, che è un po’ simboleggiata qui dal fatto che
abbiamo fotografato una di queste opere , 28 di questi libri erano addirittura soltanto sul paradosso del
mentitore, quindi Crisippo analizzava il paradosso del mentitore, proponeva delle soluzioni, molte di queste
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soluzioni, molte di queste analisi sono andate perdute, perché come vi ho detto, oggi di libri di Crisippo non
c’è ne nessuno. Pensate un po' alla tragedia intellettuale di qualcuno che passa la sua vita a scrivere 500 righe
al giorno, che arriva alla morte avendo lasciato 700 libri e poi dopo qualche anno, dopo qualche secolo tutto
è passato, non è rimasto nulla. Beh, non proprio più nulla, perché alcune fonti e qui, scherzosamente,
abbiamo posto come fonte l'immagine di una fonte in un altro modo
naturalmente, alcune delle fonti e qui scherzosamente abbiamo
posto l’immagine di una fonte, in un altro modo naturalmente,
alcune delle fonti ci sono rimaste, in particolare sono rimaste le
opere di Sesto Empirico che è vissuto circa nel 200 d.C.; però
attenzione, perché stiamo parlando di un pensatore come Crisippo,
che è vissuto, come vi ho detto tra il 280 e il 210 a.C. e qui invece
stiamo parlando di fonti che ci sono state tramandate da uno scrittore
vissuto nel 200 d.C., quindi 400-450 anni dopo che il pensiero di
Crisippo era stato formulato ed era stato scritto. Questo lo dico
soltanto, perché effettivamente quando si va a leggere Sesto Empirico, bisogna andare a scavare, sarebbe
come se oggi praticamente parlassimo di qualcuno che è vissuto verso il 1450, prima della scoperta
dell'America. Ora è chiaro che ciò noi diciamo oggi di quello che è avvenuto prima della scoperta
dell'America, insomma non siamo proprio dei testimoni oculari, come potremo dire e Sesto Empirico era
tutt'altro che un testimone oculare, raccontava cose che aveva sentito dire da altri, che lo avevano sentito dire
da altri e così via per un certo numero di generazioni. Come se non bastasse una delle opere in cui troviamo i
riferimenti a Crisippo, una delle opere di Sesto Empirico, si chiamava “Contro i matematici” ed anche il
titolo ovviamente ci lascia presagire poco di buono, un opera critica quindi e non soltanto veniamo a sapere
ciò che Crisippo e gli storici hanno fatto nel campo della logica da gente che non era loro contemporanei,
bensì erano persone vissute 4-5 secoli dopo, ma oltretutto erano anche persone che non condividevano la
filosofia stoica, che non condividevano l'analisi stoica del linguaggio e della logica e che invece
combattevano questa Scuola ed addirittura scrivevano già subito nel titolo quale era la loro professione di
fede, cioè contro i matematici. Questo per dire che bisogna stare molto attenti oggi effettivamente a leggere
queste opere, però la cosa interessante è questa: che anche leggendo le opere di un signore vissuto molto
tempo dopo e che combatteva quello di cui stava parlando, ebbene nonostante tutto ciò, da queste opere
emerge la figura di un grandissimo logico, si può ancora riuscire a capire quanto importante fosse, anche
soltanto attraverso le critiche. Per darvi l'idea, è chiaro che se qualcuno volesse scrivere per esempio la
biografia di un capo di governo, per esempio D’Alema e fosse però un giornalista della parte avversa, per
esempio Emilio fede, beh, forse noi non presenteremo molta fede ad una biografia di questo genere o
viceversa ovviamente, quindi c’è da stare molto attenti. Però fortunatamente la logica è anche qualcosa di
oggettivo, ci sono dei risultati, ci sono delle definizioni, si sono dei teoremi, ci sono delle dimostrazioni che
si possono ricavare dalle opere di Sesto Empirico e c'è stato qualcuno, in particolare un professore americano
che si chiamava Benson Maids, che ha fatto praticamente verso il 1950 uno studio approfondito di questi
testi, quindi soltanto una cinquantina di anni fa ed è emersa finalmente quasi dall'oblio, quasi dal nulla,
questa Scuola e questi riferimenti, che ci hanno fatto capire come gli storici in realtà fosse arrivati più avanti
di tutti nella logica, molto più avanti di Aristotele, praticamente avevano scoperto cose che noi in Occidente
e nell'era moderna avremo riscoperto soltanto verso la fine dell'800 e gli inizi del ‘900, quindi pensate erano
avanti di 2000 anni! Vediamo allora di avvicinarci, più da vicino, a quello che sono stati i risultati di
Crisippo, che come vi ho detto siamo andati a raschiare al fondo del barile di queste fonti.
Ebbene ci sono concezioni della logica opposte anzitutto. Aristotele e Crisippo erano due Scuole
contrapposte e non a caso il Liceo e la Stoà erano appunto considerate, già all'epoca, come delle Scuole
rivali. Per quanto riguarda noi, appunto le concezioni della logica, quale era la concezione della logica che
aveva Aristotele, che abbiamo già visto più volte, anche in fotografia diciamo così? Aristotele pensava che la
logica fosse qualcosa di propedeutico alle scienze, cioè c'erano le varie scienze, le scienze della natura, in
particolare la fisica, quella che noi chiameremo oggi la biologia e così via; ebbene la logica era qualche cosa
di precedente, cioè non faceva parte delle scienze, era una specie di strumento, era il linguaggio che avrebbe
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dovuto servire agli scienziati per portare avanti i loro discorsi, per scrivere le loro dimostrazioni e così via.
Quindi è uno strumento e infatti se ricordate dalle lezioni di Aristotele, le opere di Aristotele che parlano di
logica sono state raccolte, per l’appunto, sotto il titolo di Organon, lo Strumento. Però questo fatto di essere
Concezioni della logica
uno strumento ovviamente le poneva in una posizione secondaria,
Aristotele:
cioè quando si va, per esempio, a fare l'agricoltura, è chiaro l’aratro,
Propedeutica alle scienze
la vanga, eccetera, sono strumenti importanti, ma non sono così
Crisippo:
importanti come il grano, come i frutti, perché quelli sono le cose
parte autonoma delle scienze
che effettivamente a noi interessa avere, cioè ci interessa coltivare i
campi per ottenere il grano, per ottenere i frutti, per ottenere la verdura e così via, mentre invece la vanga e
l'aratro sono strumenti per arrivare a questo fine e questo era il modo in cui Aristotele concepiva la logica.
Per Crisippo invece la cosa era completamente diversa, la logica era una parte autonoma delle scienze, cioè
era una delle scienze, forse la prima nel senso che era precedente a tutte queste, ma non propedeutica
soltanto, non soltanto un linguaggio, era essa stessa una scienza che aveva tutta la dignità, tutte le
caratteristiche per poter essere considerata autonomamente. Quindi Crisippo, se vogliamo, è stato veramente
il primo logico, colui che ha capito che la logica poteva essere considerata come qualche cosa di a sé stante,
qualche cosa d'importante e fine a se stesso. Ora possiamo andiamo a vedere più da vicino quali sono i
risultati e le definizioni anche di Crisippo.
Come vedeva Crisippo la logica? Abbiamo parlato di Aristotele, abbiamo visto che Aristotele distingueva le
parti della logica, a seconda che le premesse fossero vere o verosimili o false e i ragionamenti fossero
corretti oppure che i ragionamenti fossero scorretti. Crisippo faceva una distinzione diversa però e mentre la
distinzione di Aristotele ormai è passata in cavalleria, come diremo, ormai non si studia più se non come
storia, la distinzione di Crisippo è quella su cui ancora oggi noi fondiamo i nostri corsi di logica; quando
insegniamo un corso di logica, per esempio questo, ci basiamo su queste distinzioni, non su quelle di
Aristotele, che quindi sono state più importanti e più feconde. Il primo campo della logica secondo Crisippo
era la semiotica.
La semiotica è “lo studio dei segni che si usano nella
logica”. Quando noi vediamo qualche cosa scritto, ebbene la
prima cosa che ci colpisce di una frase scritta è l'enunciato,
cioè il modo in cui noi l'abbiamo scritta, il modo in cui noi
abbiamo espresso le cose. Ebbene per la semeiotica, che poi
tra l'altro è diventata una scienza a sé stante soltanto verso
l'800 e il ‘900, il più famoso d'Italia è Umberto Eco, che tutti
voi conoscete, perché fa anche altre cose, comunque il suo
campo di ricerca è precisamente lo studio dei segni in
generale, non soltanto i segni linguistici, ma anche per esempio i segni che si usano nella comunicazione,
oggi noi diremmo nei media. Quindi diciamo che la semiotica è il primo livello, Il secondo livello è quello
che oggi chiamiamo la sintassi. La sintassi parla non soltanto di segni, non soltanto del modo in cui le cose
sono scritte, ma anche del modo in cui sono espresse e allora il modo, in cui sono espresse queste cose, si
chiama senso e l'enunciato che sta alla base ha un giudizio, cioè esprime un giudizio. Il terzo livello, che è
invece il livello forse più importante, è la semantica, cioè ciò che vogliamo dire. Ora i segni sono ciò che
usiamo per dire le cose, il senso è il modo in cui noi diciamo le cose e il significato è ciò che vogliamo dire,
quindi questi tre livelli che gli stoici con un'analisi molto sottile sono usciti a separare, mentre l'enunciato,
che è il modo come noi diciamo le cose, esprime un giudizio e questo giudizio ha come significato, come
contenuto una proposizione. Questi tre livelli, semeiotica, sintassi e semantica, sono quelli che adesso
consideriamo un po' più da vicino e di cui poi parleremo praticamente per tutto il resto del corso, perché
sono effettivamente quelli in cui noi oggi ancora dividiamo la logica.
1. Semiotica
Vediamo ora il primo livello, cioè la semiotica; qui gli stoici
¾ Variabili proposizionali: p, q, …
non andarono molto lontani, come vi ho detto, la semiotica è
¾ Connettivi: non, e, o, se…allora
come scienza a se sestante, un qualche cosa di molto moderno,
però riuscirono ad analizzare che cosa stava lì e in particolare analizzarono i segni che servono nella logica
dividendoli in due parti, cioè le variabili (proposizionali) ed i connettivi. La logica di cui parlavano gli stoici
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era “la logica proporzionale”, qualche cosa che Aristotele aveva intuito, ma che non aveva analizzato a
fondo, ebbene i due tipi di segni che vengono usati nella semiotica del linguaggio della logica proporzionale
sono anzitutto le variabili (proposizionali), che oggi si indicano generalmente con delle lettere p, q, eccetera.
p e q non vogliono dire nulla, stanno per delle proposizioni, stanno per delle affermazioni o proposizioni
che noi chiameremo atomiche e si noti che i primi ad usare veramente i n maniera sistematica le variabili,
come variabili proporzionali sono stati proprio gli stoici, che quindi già nel 200 a.C., prima che ancora si
usassero le variabili come espressione di numeri indefiniti, cioè nel modo in cui noi le siamo tutti i giorni,
già avevano questo uso delle variabili a livello della logica e che quindi ha preceduto l'uso più quotidiano
nella matematica. L’altro tipo di segno sono i connettivi dei quale abbiamo già parlato più volte, perlomeno
in maniera indiretta, ma oggi finalmente arriviamo ad affrontarli direttamente. I connettivi sono la negazione
non, la congiunzione e, la disgiunzione o, l’implicazione soprattutto, cioè il connettivo della deduzione il
se..... allora. Quindi questo a livello di segni, con questi segni, cioè con questi connettivi e con queste
variabili si possono costruire le frasi della logica proporzionale, che poi gli stoici sono andati ad analizzare.
Vediamo ora il secondo livello, cioè la sintassi; qui gli stoici sono andati ad analizzare i segni, connettivi e
2. Sintassi
variabili, da un punto di vista della sintassi ed hanno anzitutto definito quale è
¾ Formule
la nozione di formula, cioè una combinazione ben formata dei segni, hanno poi
¾ Regole
enunciato gli assiomi più importanti per ciascuno dei connettivi e le regole (di
¾ Assiomi
deduzione). Notate anche, che quando abbiamo parlato di Aristotele, abbiamo
parlato d’assiomi e regole, però in quel caso si trattava degli assiomi e delle regole relativi solo ai sillogismi,
cioè una parte un po' diversa della logica sulla quale torneremo e che coinvolgeva i quantificatori “tutti”,
“qualcuno”, “nessuno”. Qui invece gli stoici hanno fatto un'analisi analoga a livello proposizionale.
Per esempio, per quanto riguarda le regole, la prima regola, la più importante è il cosiddetto “modus ponens”
che si può facilmente enunciare dicendo questo: se noi abbiamo un'ipotesi, chiamiamola a e se da questa
ipotesi a possiamo dedurre una conseguenza b, allora siamo arrivati, appunto, alla conseguenza b, cioè
abbiamo due punti di partenza, due assiomi per così dire, a e il fatto che da a derivi b, allora messe
insieme queste due cose, l'ipotesi a e il fatto che da a derivi b si può
arrivare a concludere b, cioè alla conclusione. Quest’oggi ci appare
naturalmente ovvio, ebbene all'epoca non lo era affatto, i primi che
sono stati chiari, che hanno visto chiaramente che questa era una delle
regole principali della logica sono stati precisamente gli stoici e
l'hanno chiamata, non in latino ovviamente, perché non parlavano
latino, ma gli scolastici hanno poi ritradotto queste cose in questa
espressione che oggi viene usata normalmente e che si chiama il
“modus
ponens”.
Altro esempio che riguarda le regole è la “contrapposizione”, cioè se
qualcuno di voi ricorda la fine della lezione su Platone, quando abbiamo d etto che effettivamente ha fatto
dei passi avanti, però faceva anche degli errori, ebbene gli errori su cui abbiamo messo il dito nel caso di
Platone riguardavano praticamente tutti i dialoghi esenti di errori di contrapposizione. Ad esempio, vedete
questo l'ombrello qui nella slide, voi direte che cosa c'entra “su questo non ci piove”, ebbene no, l'esempio
dell'ombrello è precisamente il tipico esempio che si fa quando si vuol far capire com’è la contrapposizione
corretta, cioè la fase tipica è: “se oggi piove esco con ombrello”. In genere si pensa se uno dice “se piove
esco con ombrello”, allora “se non piove non esco con l’ombrello”, ma la cosa non è affatto vera, perché
“se piove esco con ombrello” vuol dire che “ ogni volta che piove io prendo l'ombrello ed esco con
ombrello”, non dico nulla assolutamente su che cosa io faccio nel caso in cui non piova e quindi in
particolare non è affatto vero che dal fatto che “se piove esco con ombrello”, allora “ se non piove non
esco con ombrello”, però poiché ogni volta che piove esco con ombrello, se su un giorno voi mi vedete per
la strada senza l'ombrello, anche senza guardare il cielo, si può dedurre da questo fatto che non piove, perché
“se ogni volta che piove io esco con ombrello”, allora “se non esco con ombrello” non piove, questa è la
contrapposizione corretta. Quindi ricordatevi l'ombrello, ricordate la pioggia e ricordatevi quando uscite
con l’ombrello e con la pioggia che i primi ad aver capito come effettivamente bisognava comportarsi, non
con la pioggia e con ombrello, ma con questi tipi di ragionamento logico, cioè con la contrapposizione, erano
59
per
l’appunto
gli
stoici.
Un altro esempio che riguarda il ragionamento tipico è il così detto “riduzione all'assurdo”, cioè il procedimento di riduzione all'assurdo, cioè la dimostrazione per assurdo. E’ stato anche questo uno dei procedimenti che gli stoici hanno usato e che hanno formalizzato; naturalmente il procedimento veniva già usato in
precedenza, abbiamo ricordato nelle lezioni passate che, per esempio, il teorema di Pitagora era dimostrato
attraverso una dimostrazione per assurdo, ma gli stoici hanno isolato qual’era “il principio di dimostrazione
per assurdo”, cioè se noi vogliamo dimostrare una certa proposizione e la vogliamo dimostrare per assurdo,
allora supponiamo che questa proposizione non sia vera, deriviamo una contraddizione, cioè un assurdo
e allora da questa contraddizione denunciamo che l'ipotesi non poteva funzionare, cioè avevamo supposto la
negazione della nostra ipotesi, quindi possiamo derivare la nostra ipotesi. In altre parole, detto con le lettere,
come avrebbero fatto gli stoici, supponiamo di voler dimostrare a, cioè una certa proposizione a, partiamo
dall'ipotesi “non a”, deriviamo una contraddizione, allora vuol dire che “non a” non poteva funzionare,
perché ha portato contraddizione e quindi è vero il contrario, cioè è vero a, contrario di “non a”, per
l’appunto. Questo che anche oggi non è poi una cosa così immediata e così semplice, il fatto che gli
storici l'avessero capito e l'avessero formalizzata vuol dire che erano arrivati ad un livello molto avanzato
di logica. Bene, questo era quello in cui consisteva l'apporto degli stoici per quanto riguarda le regole. C'è
ancora un esempio molto particolare di uso della logica da parte degli stoici, che è quello della cosiddetta
“consequentia mirabilis”. Il primo esempio di “consequentia mirabilis” è stato fatto da Platone, che ha
Consequentia mirabilis
dimostrato che qualche cosa di assoluto ci deve essere,
¾ Platone: qualcosa è assoluto
come mai? Beh, in uno dei suoi dialoghi dice: supponiamo
¾ Aristotele: qualcosa è vero
che non ci sia niente di assoluto, allora quello che ho appena
¾ Crisippo: qualcosa è dimostrabile
detto è effettivamente qualche cosa di assoluto. Dunque non
è possibile allora supporre che non ci sia niente di assoluto perché porta alla conclusione che c’è qualche
cosa di assoluto e questo è un ragionamento molto sottile che è stato ripetuto nel corso della storia da tante
persone. Un altro che lo ripeté in un altro ambiente, in un'altra situazione, fu Aristotele che dimostrò in
questo modo che ci deve essere qualche cosa di vero. Come mai? Supponiamo che tutto sia falso, allora se
tutto è falso, la frase che dice che tutto è falso è vera; quindi anche nel caso che noi supponiamo il contrario
di quello che vogliamo dimostrare, in realtà poi arriviamo lo stesso a dimostrare che qualche cosa di vero ci
deve essere, perché o c'è qualche cosa di vero o non c'è niente di vero, ma allora il fatto che non ci sia niente
di vero è una verità e dunque abbiamo dimostrato che qualche cosa di vero ci dev’essere. Ebbene gli stoici
portarono avanti questo tipo di ragionamento e Crisippo dimostrò che qualche cosa deve essere dimostrabile,
come mai? Perché se niente è dimostrabile questo sarebbe una dimostrazione di qualche cosa, cioè del fatto
che niente è dimostrabile. Quindi vedete come la logica a questo punto incominciava a diventare un qualche
cosa di veramente sofisticato.
Il terzo livello della logica stoica, la semantica, è forse il più importante di tutti, è un qualche cosa che
proprio a causa della rimozione dei testi stoici è stato dimenticato ed è stato riscoperto con molta difficoltà in
parte soltanto nella Scolastica e poi finalmente nell'800, fine ‘800, inizi ‘900 in maniera completa.
3. Semantica
Pensate che per 2000 anni praticamente, una di quelle parti della logica
Definizioni vero-funzionali
di cui noi andavamo più fieri, prima che si studiassero questi testi
dei connettivi (vero-falso)
nascosti, queste testimonianze nascoste della logica storica, era proprio
questa parte della logica proporzionale di cui adesso vi dico brevemente i risultati. Quello che gli storici
fecero fu di trovare delle definizioni cosiddette zero-funzionali dei connettivi, cioè riuscire a descrivere
qual’è il comportamento delle particelle di cui abbiamo parlato poco fa, cioè non, e, o, se....allora, solo in
base alla verità o falsità delle loro componenti, cioè in base al vero o falso e per questo si chiamano zerofunzionali, cioè una descrizione che dipende soltanto dalla verità e dalla falsità di questi connettivi. Vediamo
più da vicino come si fa ad arrivare ad una descrizione zero-funzionale della negazione. Tra parentesi, tra i
vari connettivi ho messo, per vostra conoscenza i simboli formali con i quali essi vengono usati oggi. Ce ne
sono in genere di due tipi, il primo è quello che si usa nella logica, il secondo è quello che si usa nella teoria
degli insiemi. E’ bene che ci si impratichisca anche con questi simboli.
. Negazione (¬, –)
¾ Negazione vera se
La negazione anzi tutto: quand'è che una negazione è vera? Quando ciò
negato falso
che viene negato è falso; per esempio, se dico “oggi piove”, allora se è
60
¾ Negazione falsa se
falso che oggi piove è vero che oggi non piove; dunque la negazione è
negato vero
vera quando ciò che si nega è falso e ovviamente la cosa è perfettamente
simmetrica, una negazione è falsa quando ciò che si nega è vero. Quindi vedete che la negazione si può
descrivere in modo completo semplicemente in base a qual’è il suo effetto sui cosiddetti “valori di verità”,
cioè su verità e falsità delle proposizioni.
La congiunzione, di nuovo tra parentesi ci sono due simboli che
Congiunzione (^, ∩)
¾ congiunzione vera se
si riferiscono alla congiunzione nella logica e nella teoria degli
¾ tutti i congiunti veri
insiemi. Quand’è che una congiunzione è vera? E’ vera soltanto
¾ congiunzione falsa se
se tutti i congiunti di cui essa parla sono veri. Per esempio, se
almeno un congiunti falso
dico “oggi piove e ho fame”, ebbene quand’ è che una frase di
questo genere, dove c'è un e in mezzo, è vera? Quando sono vere tutte e due le parti, cioè quando è vero sia
che oggi piove, sia che oggi ho fame; quindi la congiunzione è vera, se queste parti, che si chiamano appunto
congiunti, sono tutte vere. E quand'è che invece una congiunzione è falsa? Beh, per rendere falsa una
congiunzione basta che uno dei due casi non sia più vero e allora non è più vera la loro congiunzione e
dunque la congiunzione è falsa se almeno uno dei congiunti è falso. Per esempio, se dico “oggi piove e ho
fame” e dico “questa congiunzione è falsa”, vuol dire o che non è vero che oggi sta che piovendo oppure che
non è vero che oggi ho fame, una delle due è sufficiente a rendere falsa la congiunzione.
Disgiunzione (v, U)
La disgiunzione, vedete i simboli, dove v sta per vel, che era
¾ disgiunzione falsa se
la parola latina con la quale si indicava la o. Il comportamento
tutti i disgiunti falsi
della disgiunzione è semplicemente simmetrico a quello della
¾ disgiunzione vera se
congiunzione. Quand'è che una disgiunzione è falsa? Siccome
se almeno un disgiunto vero
disgiunzione vuol dire che uno dei due disgiunti dev’essere vero,
allora è falsa la disgiunzione se tutte e due i disgiunti sono falsi e viceversa ovviamente in modo simmetrico,
una disgiunzione sarà vera se almeno uno dei due disgiunti è vero. Quindi vedete che potete già intuire che
congiunzione e disgiunzione sono degli operatori molto simili, si comportano in maniera che oggi diremmo
simmetrica, in matematica si usa la parola duale, cioè si possono scambiare tra di loro, soltanto che quando
si scambia disgiunzione con congiunzione bisogna allora scambiare vero con falso; quindi la regola che ci
dice quand’è che una disgiunzione è falsa (tutti i disgiunti sono falsi), è la stessa regola che si dice quand'è
che una congiunzione è vera (tutti i congiunti sono veri) e viceversa per la regola della disgiunzione vera.
Quindi si incomincia a capire dal punto di vista della logica proporzionale che proprio gli stoici, già 2000
anni fa, avevano enunciato perfettamente tutte queste regole.
Implicazione (═>,
)
L'implicazione, l'ultimo operatore importante “se..... allora”,
¾ implicazione falsa se
si indica formalmente nella logica col simbolo di una freccia e
ipotesi vera e conclusione falsa
dal punto di vista insiemistico con questo ferro di cavallo girato.
¾ implicazione vera se
Ebbene gli stoici capirono una cosa essenziale che, mentre le
ipotesi falsa o conclusione vera
cose che ho d etto poco fa, cioè le regole per la negazione, la
congiunzione, la disgiunzione sono cose abbastanza ovvie, sulle quali non ci piove se vogliamo tornare
sull'esempio del parapioggia, per quanto riguarda l'implicazione le regole molto più sottili. Ebbene nessuno
discuterebbe il fatto che una implicazione, cioè un ragionamento deve essere falso se siamo partiti da
un'ipotesi vera e siamo arrivati ad una conclusione falsa, vuol dire che per via ci siamo persi: siamo partiti da
un assunto che era vero, abbiamo fatto un ragionamento e siamo arrivati ad una conclusione falsa, qualcosa
nel ragionamento è andato storto, quindi l'implicazione che congiunge l’ipotesi e la conclusione è falsa.
Ebbene gli stoici ebbero una visione, diciamo così, un lampo di genio, un uovo di colombo, il dire che se nel
caso precedente un implicazione è falsa, tutti gli altri casi renderanno invece l'implicazione vera, cioè il caso
banale di ipotesi vera e conclusione vera e i casi di ipotesi falsa e conclusione vera, ipotesi falsa e
conclusione falsa. Ebbene quando si parte da un'ipotesi falsa, quindi non ci interessa più ormai il
ragionamento appunto perchè siamo già partiti da un'ipotesi falsa, possiamo fare un ragionamento corretto o
scorretto, cioè arrivare ad una conclusione vera o falsa, che non ci interessa perché arriveremo comunque a
qualche cosa che non è più collegata con l'ipotesi, allora l’implicazione è vera; idem, quando la conclusione
è vera, non ci importa se siamo partiti da un'ipotesi falsa, se abbiamo fatto un ragionamento corretto, perché
sappiamo già che la conclusione è vera. Ed ecco che questo uovo di colombo, cioè di trasformare l'unica
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condizione, cioè la condizione quando l'implicazione è falsa, in una condizione necessaria e sufficiente,
come direbbero i matematici, per la verità dell’implicazione, cioè di dire che in tutti gli altri casi
l'implicazione è vera, è quella che oggi si chiama in realtà “implicazione megarica”, perché anche una
Scuola greca, appunto la Scuola di Megara, l'aveva intuito, gli stoici la ritrovarono e oggi è quella che viene
usata in matematica. Quindi effettivamente è sempre un po' difficile, per questo lo lasciata per ultimo,
convincere coloro che vedono per la prima volta l’implicazione, che essa sia vera quando “l'ipotesi è falsa o
la conclusione è vera”, perché sembra un modo poco soddisfacente di definire l'implicazione, ma l'uovo di
colombo è ’appunto questo, che questo tipo di definizione è sufficiente per tutti gli usi che si vogliono fare
della logica in matematica e quindi è inutile andare a complicarci la vita, basta rimanere su questo livello.
L'ultima cosa che gli storici videro e questo è ancora più sorprendente, fu quello che oggi noi chiamiamo il
“teorema di completezza”. In realtà il teorema di completezza fu dimostrato negli anni ‘20 da Wittgenstein e
da Post; il teorema di completezza dice addirittura che le regole sintattiche e gli assiomi enunciati da
Teorema di completezza
Crisippo sono sufficienti a derivare tutte e sole le verità
Gli assiomi e le regole sintatiche
semantiche, cioè che la sintesi che gli stoici avevano
sono sufficienti a derivare tutte e
isolato era, in realtà, un qualche cosa di sufficiente,
sole le verità matematiche
ma anche di completo, cioè descriveva completamente
l'intera logica. Questo è veramente un risultato stupefacente; ovviamente gli storici non avevano una
dimostrazione di questo fatto, ma avevano già un enunciato che stesse in piedi e che riporta effettivamente
così.
Bene, io spero di avervi convinto che effettivamente gli stoici sono stati dei precursori veramente
lungimiranti di quella che è l'odierna logica matematica. Con questo noi abbiamo concluso la prima parte del
nostro corso, cioè la parte che si riferisce alla logica greca. Nella prossima lezione parleremo dell'Interregno
e poi finalmente, dopo la prossima lezione, incominceremo a vedere quali sono stati gli usi e i risultati della
logica moderna, cioè arriveremo ai nostri giorni. Bene, vi invito dunque alla prossima lezione.
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LEZIONE 8: Interregno
Siamo arrivati, dunque, in queste nostre lezioni di logica matematica ad un periodo intermedio che abbiamo
chiamato “Interregno”. Come mai questo periodo intermedio o questo Interregno nel nostro corso? Ebbene
nelle lezioni precedenti abbiamo visto quali erano stati i risultati, quali sono stati i grandi passi che sono stati
fatti dai greci soprattutto, di cui vi ricordo tra pochi minuti quali furono i personaggi principali, mentre poi
invece dalla prossima lezione incominceremo veramente ad addentrarci in quelli che sono stati i risultati
moderni, perciò l'ambito della logica contemporanea. Ora dai greci, quindi dal 200 a. C., cioè da Crisippo,
di cui abbiamo trattato la scorsa lezione, fino al 1850, quando invece incominceremo dalla prossima lezione
a parlare di Boole, sono passati praticamente 2000 anni e in questi 2000 anni naturalmente ci sono stati i
secoli bui (l’interregno), in questo periodo però qualche cosa è stata fatta, per cui in questa lezione appunto
vogliamo parlare di ciò che è stato fatto tra i greci e i moderni. Però prima di parlare di questo interregno
rivediamo brevemente ciò di cui abbiamo trattato nel passato, cioè nelle scorse elezioni, riguardo alla logica
greca. Abbiamo parlato di tre grandi personaggi, tre grandi filosofi che sono stati importanti nel campo della
filosofia in generale, ma anche e soprattutto, per quello che riguarda noi, nel campo della logica. Questi tre
personaggi sono qui raffigurati e nominati, sono Platone, Aristotele e Crisippo.
Vi ricordate, Platone è stato colui che ha iniziato lo studio della
logica andando contro i sofisti, ha cercato di enucleare quali erano i
risultati, diciamo così, gli assiomi più importanti della logica, in
particolare “il principio di non contraddizione”, che i sofisti non
avevano ancora capito, cioè il fatto che non si potesse allo stesso
tempo affermare e negare la stessa proposizione. Poi c’è stato invece
Aristotele, che è considerato tutt’oggi il più grande o uno dei due più
grandi logici che siano mai esistiti e nel caso si pensi ai due più
grandi logici questo è Goedel, che sarà il punto di arrivo di questo
nostro percorso. Aristotele ha trattato i sillogismi, cioè la teoria di questi tipi di ragionamenti che partono da
premesse maggiori e minori, per arrivare ad una conclusione e queste premesse abbiamo visto che
coinvolgono le particelle del linguaggio “tutti, qualcuno e nessuno”, che abbiamo chiamato i
“quantificatori”. Poi invece, Crisippo che è stato anche lui un grande logico, il più grande esponente forse
della logica stoica, vi ricordo anche che Platone, Aristotele e Crisippo facevano parte di tre Scuole che erano
in competizione tra di loro ad Atene e che erano rispettivamente l'Accademia, il Liceo e la Stoà, ebbene
Crisippo ha parlato, ha trattato della “logica proporzionale” che è un livello di analisi più basso, ma basso
non da un punto di vista di valore, ma di analisi e quindi più raffinato di quello a cui si riferiva Aristotele ed
è il livello della cosiddetta “logica proporzionale”, che è “la logica dei connettivi”, di cui connettivi, vi
ricordo, perlomeno i loro nomi, che sono la negazione non, la congiunzione e, la distruzione o e
l'implicazione il se.... allora. Bene, questo era più o meno quello che era stato fatto dai greci nel periodo
che va dal 400 al 200 a. C. I greci arrivarono veramente ad uno sviluppo che era eccezionale, cioè la logica
greca, soprattutto la logica storica, che è quella che è stato l'ultimo passo, l'ultimo grido, diciamo di questo
sviluppo, è stata veramente un qualche cosa di molto profondo. Però come ho detto nella scorsa lezione in
realtà la logica storica è stata dimenticata, gli storici sono stati rimossi dalla storia del pensiero e anche dalla
storia più in generale, oggi di loro rimane molto poco e questo è simbolizzato anche dal fatto che, se voi
pensate alle tre Scuole greche, oggi di accademie è pieno mondo, per esempio l'Accademia dei Lincei,
l'Accademia reale e così via, non soltanto ovviamente in Europa, ma anche negli Stati Uniti e in tutto il
mondo. Le accademie sono diventate i gruppi in cui si uniscono i sapienti della nazione di cui l'accademia fa
parte. I Licei sono diventati per antonomasia le scuole, liceo scientifico, il liceo classico, dovunque anche in
Francia e in varie altre nazioni. Oggi la parola liceo è rimasta come simbolo di scuola, che invece poi in
realtà era più propriamente una università. Ebbene di Stoà invece non è rimasta nessuna, mentre di
accademie e di licei appunto è pieno il mondo, di Stoà non ce ne nessuna, rimane soltanto l'aggettivo stoico
a simboleggiare il fatto che c'è stata questa tradizione di autocontrollo da parte degli stoici, ma della logica e
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di ciò che gli storici hanno pensato, poco è rimasto. Bene, questo era comunque semplicemente un riassunto,
un riepilogo di ciò che abbiamo fatto finora.
Andiamo, invece, a vedere più da vicino che cos'è successo nel secondo periodo in cui la logica è stata al
centro dell'attenzione dei pensatori e dei filosofi e questo secondo periodo è il cosiddetto periodo della
Scolastica, che è qui rappresentata dalla figura di Guglielmo di
Ockham, che come vedete, era un religioso. Effettivamente la
Scolastica è stata una filosofia molto legata alla Chiesa cattolica,
perché in realtà è stato il tentativo di avvicinare la teologia alla
filosofia e addirittura alle scienze e più in particolare alla matematica
e alla logica. La Scolastica è stato il tentativo che va da circa il 1000
al 1300, più o meno, come periodo storico, d. C. ovviamente ed è
stato appunto questo tentativo di dimostrare attraverso la ragione, con
ragionamenti o puri o magari con ragionamenti che si basassero su dei
fatti contingenti, la cosiddetta “teologia razionale” e la cosiddetta “teologia naturale”, cioè di basare la
teologia, la fede, il discorso sulla divinità, su un ragionamento di natura logica, di natura scientifica, di
natura matematica. Ora gli scolastici sono stati ovviamente importanti, però sono molto più ricordati, per
esempio oggi, di quanto lo siano gli stoici, come mai? Perché ovviamente non c'è stata una rimozione del
pensiero cristiano e la nostra civiltà, anzi la nostra civiltà è in realtà una civiltà che si basa su questo pensiero
cristiano, anche per coloro che non credono in queste cose, che non sono religiosi. Pensate per esempio al
saggio di Benedetto Croce, che si intitolava, per l'appunto, “Perché non possiamo dirci non cristiani”, cioè
dobbiamo per forza noi che viviamo in Occidente pensare in termini, magari per contrapposizione, però
pensare in termini che sono cristiani perché è questa la nostra origine, questi sono i fondamenti del nostro
pensiero e quindi per questo motivo o anche per questi motivi, la scolastica è certamente ricordata
quest'oggi, nei testi di filosofia per quanto riguarda la storia del pensiero.
Che cosa ha fatto la scolastica? Beh, la scolastica vista col senno di poi, cioè vista dal nostro punto di
prospettiva, in realtà non ha fatto moltissimo perché si è limitata, fra virgolette, a riscoprire quello che i
greci già avevano scoperto e che poi era stato dimenticato. Quindi moltissime le innovazioni, soprattutto le
innovazioni storiche, perché ovviamente nel periodo della Scolastica Aristotele è stato studiato, è diventato
un pensatore molto importante, è stato inglobato in parte della teologia cristiana attraverso soprattutto la
teologia di San Tommaso d'Aquino, ma anche il pensiero degli stoici è rinato, quello di Aristotele
direttamente perché si leggevano i suoi testi, quello degli storici indirettamente è stato riscoperto. Quindi gli
scolastici sono interessanti, sono importanti soprattutto da un punto di vista storico. Oggi a noi interessa
forse andare a vedere chi per primo ha trovato certe idee, certe nozioni e allora noi andremo direttamente a
Crisippo, agli stoici stessi, ma se invece vogliamo sapere chi ci le ha fatte conoscere queste nozioni, ecco che
allora bisogna studiare la scolastica. Io qui ho messo tre nomi simbolici, significativi del pensiero scolastico
per quanto riguarda la logica e questi nomi sono Abelardo, Pietro Ispano e Ockham, di cui dirò poche parole
perché in realtà, come ho detto, ciò che loro hanno scoperto era già
noto e noi l'abbiamo già considerato quando parlavamo appunto
degli stoici. Abelardo è stato l'iniziatore praticamente della
scolastica, è vissuto proprio agli inizi del millennio, cioè dal 1079
fino al1142, ha avuto una vita molto avventurosa, qui lo vedete
seppellito, questa è la sua tomba, lui è là e qui c'è una signorina che
si chiama Eloisa.
Se voi guardate la slide, nell’anno 1119 Abelardo è stato evirato,
come mai? Perché questa Eloisa, che era la padrona, di cui lui si
era innamorato, in realtà era una ragazza molto giovane, era la figlia del suo protettore, di colui con cui stava
in casa, gliela aveva data perché lui la educasse e lui l'ha educata a tante cose, comprese certe cose che forse
non avrebbe dovuto fare; l’ha messa incinta come diremmo oggi, la povera Eloisa ha dovuto partorire, avere
questo bambino e poi è stata messa in un convento e come segno di dispregio ovviamente, i parenti hanno
preso Abelardo e l’hanno evirato. Quindi dal 1119 Abelardo, aveva quarant'anni, come vedete, è rimasto
senza una parte essenziale della sua persona e si è dedicato ad altre cose. È diventato anche lui un religioso,
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però nel 1121 la sua filosofia, anzi la sua teologia è stata condannata dal concilio ecumenico, il concilio di
Reims. Ebbene, vedete la vita di Abelardo molto avventurosa, ha avuto traversie sia fisiche, sociali che
teologiche e nel 1140 è addirittura stato scomunicato, perché è entrato in rotta di collisione con il potere
ecclesiastico e quindi ha avuto dei problemi. Ora il suo grande antagonista era Bernaldo di Chiara Valle,
però qual’era l'idea dal punto di vista logico della teologia di Abelardo, cioè come basava Abelardo la
teologia scolastica? Ebbene la basava sul motto “capisco per credere” e allora anche noi capiamo, come
Abelardo:
mai abbia avuto dei problemi. Perché per Abelardo il capire era precedente
capisco per credere
al credere, cioè la ragione stava prima della fede. Abelardo era disposto a
Anselmo:
credere ai dogmi della teologia, ai dogmi della chiesa cattolica, ma soltanto
credo per capire
dopo che li aveva capiti, cioè la fede veniva per lui soltanto dopo che era
passata al vaglio della ragione. Questo ovviamente è un atteggiamento molto pericoloso, perché pone in
secondo piano ciò che per la Chiesa cattolica dovrebbe essere in primo piano ed era ovviamente
contrapposto ad un atteggiamento veramente diverso, che era quello invece di Anselmo d'Aosta. Anselmo
era un abate che poi divenne un vescovo e questo vi fa capire come il suo atteggiamento fosse più consono ai
bisogni della Chiesa cattolica. Qual'era questo suo atteggiamento? Era per l'appunto di invertire i termini in
cui Abelardo pensava e di porre la fede prima della ragione, cioè “credo per capire”, invece che “capisco per
credere”. Prima credo e il fatto di credere mi permette di capire per l'appunto i dogmi. Ebbene questi erano i
due atteggiamenti che hanno poi guidato la scolastica praticamente per due secoli. Da un punto di vista
logico però, che è quello che ci interessa più da vicino, l'opera più importante che Abelardo scrisse, si
chiama “Sic et non”, cioè “così e non così”, diremmo oggi. In quest'opera, che non è tanto importante per
i risultati che ottenne da un p. di v. logico, Abelardo introdusse quello che poi divenne il metodo essenziale
Sic et non
della Scolastica, che è quello che si chiama “il metodo delle
metodo delle questioni
questioni”. Se voi leggete per esempio ”la summa teologiae”
di San Tommaso d'Aquino, ebbene lì questo metodo delle questioni trova proprio il suo fulgore massimo,
cioè Tommaso tratta di tutti gli argomenti della teologia proprio seguendo il metodo di Abelardo, che è
questo metodo di porre prima, di fronte a sé, da una parte un'affermazione, dall'altra parte un'affermazione
contraria, incominciare a dare delle giustificazioni a favore delle affermazioni o cercare delle giustificazioni
a favore della negazione, ad un certo punto eliminare una delle due alternative e rimanere soltanto con quella
che poi alla fine risulta essere quella vera. Quindi praticamente oggi diremmo che il contributo di Abelardo
alla scolastica è stato un contributo metodologico, cioè ha insegnato, ha portato avanti per la prima volta e ha
introdotto per la prima volta questo metodo che sarebbe poi stato così fondamentale appunto per la teologia
scolastica, il metodo delle questioni. Bene, vediamo il secondo logico di cui abbiamo parlato, il secondo
logico della Scolastica Pietro ispano che come vedete qui tra parentesi, nientepopodimeno era addirittura o
divenne addirittura papa col nome di Giovanni XXI.
Giovanni Ispano si chiamava così perché veniva dalla Spagna, in
realtà dal Portogallo, quello che oggi chiameremo Portogallo.
Quindi Pietro Ispanico è nato nel 1210, morto nel 1277 e scrisse un
libro che fu veramente importante, a differenza di Abelardo , che è
stato l'iniziatore di un movimento, Pietro Ispano era ormai ben
inserito in un movimento già maturo e questo testo “Summulae
logicales” furono per un lungo periodo, durante la scolastica, il
testo di riferimento, cioè il testo con cui gli studenti studiavano le
cose di logica. Attenzione, Pietro Ispano fu logico molto sottile,
riscoprì proprio lui personalmente alcune, anzi molte direi, delle scoperte che erano già state fatte dagli stoici
e poi alla fine divenne papa. Durò pochissimo come papa, credo soltanto qualche mese, dopo di che gli
crollò il palazzo del Vaticano, quello che sarebbe stato poi il palazzo del Vaticano in tempi successivi, gli
crollò sulla testa e lui morì sotto le macerie. Questa è la sua figura che viene ancora oggi ricordata. Se andate
a San Paolo fuori le mura, la basilica romana, potete vedere la sua immagine tra quelle dei papi; quindi
addirittura i logici hanno avuto un Papa fra i loro predecessori o nella loro storia.
Guglielmo da Ockham
Guglielmo da Ockham che come vedete era anche lui un religioso,
(1290-1349)
vissuto tra il 1290 e il 1349, quindi ormai già la tarda scolastica,
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Summa totius logicae
però Ockham è forse il punto massimo di questo sviluppo; anche
lui ha scritto un manuale, anche lui ha scritto un compendio, questa è la sua opera più importante “la summa
totius logicae”, cioè la somma di tutto della logica, praticamente c'era questo gusto enciclopedico, questo
voler mettere insieme in un unico manuale tutto ciò che effettivamente si poteva dire della logica. Ockham è
un filosofo anche, è un nome abbastanza noto nella filosofia moderna per le due cose di cui adesso parliamo:
la prima, forse, tutti l'avrete sentita nominare, è quello che si chiama il rasoio di Ockham. Cosa vuol dire
rasoio di Ockham? Ovviamente non ha niente a che fare col rasoio, il rasoio serve soltanto perché si tagliano
le cose. Che cos’è che Ockham voleva tagliare via con questo
¾ Rasoio di Ockham
suo rasoio? Ebbene il suo motto, che pare lui non abbia mai
¾ Proprietatis terminorum
pronunciato, che perlomeno non si trovi nei suoi scritti, ma che comunque rispecchia il suo pensiero, è “gli
enti non si devono moltiplicare senza necessità”, cioè il rasoio di Ockham è in qualche modo il tentativo di
fare una filosofia, di fare dei ragionamenti senza moltiplicare gli enti che non è necessario introdurre, cioè
fare un discorso smembrato, un discorso essenziale in cui si vada diritti al filo e diritti alla conclusione, senza
dover fare delle grandi divagazioni. Questo è vero sia da un punto di vista puramente linguistico,
semplicemente di esposizione, che soprattutto che è quello che interessa a noi, da un punto di vista
semantico, diciamo così, cioè i ragionamenti devono essere essenziali, bisogna andare dritti alla conclusione.
Ora questo è importante e questo motto, appunto di questo uso del rasoio di Ockham, è qualche cosa che
oggi soprattutto nel ‘900 è stato molto apprezzato, cioè la filosofia positivista, per esempio, è stato un
tentativo di mettere in pratica, di usare sistematicamente questo mezzo, il rasoio di Ockham nel campo della
filosofia e nel campo della logica, cioè cercare di togliere tutto ciò che non è essenziale, cercare di limitarsi
veramente al succo della questione. Una seconda cosa che Ockham fece è lo studio di quello che lui
chiamava “proprietatis terminorum”, cioè le proprietà dei termini e qui, per la prima volta effettivamente, si
scopre, si vede che c'è il tentativo di andare oltre la filosofia, oltre la logica dei greci. Tentativo non si sa
quanto conscio, perché appunto come ho detto, gli scolastici non conoscevano moltissimo della storia e del
passato della filosofia greca e della logica greca, in particolare non conosceva niente di ciò che gli stoici
avevano lasciato scritto, di Aristotele conoscevano purtroppo soltanto le opere che erano rimaste
ovviamente, che erano le opere di cui abbiamo parlato qualche lezione fa, cioè le opere dell'Organon.
Ebbene dicevo, però, che fosse un tentativo conscio o che fosse un tentativo inconscio, c'è in questo studio
delle cosiddette “proprietatis terminorum”, che ha caratterizzato non soltanto il lavoro di Ockham, ma più in
generale il lavoro della Scolastica, il tentativo di andare oltre la logica greca. In che senso andare oltre la
logica greca? Beh, c'è il tentativo di parlare di quella che oggi noi chiameremo non più logica proporzionale,
cioè soltanto a livello delle proposizioni, ma logica predicativa, cioè il tentativo di cominciare a descrivere i
soggetti, andare a vedere all'interno delle proposizioni come queste proposizioni sono formate, le cosiddette
proposizioni atomiche della logica proporzionale, cioè quelle che dal p.di v. della logica proporzionale non si
possono più analizzare perché non sono composte di connettivi e, o, non, se... allora ; ebbene lo studio
delle “proprietatis terminorum” è propriamente questo, cioè cercare di andare a vedere dentro queste
proposizioni cosiddette atomiche, se è possibile smembrarle in strutture più elementari. Ora la struttura più
ovvia che si possa immaginare è quella che oggi noi chiameremo nell'analisi logica appunto la struttura
“soggetto, predicato, complemento.” Ebbene, soggetto, complemento eccetera, che sono i soggetti e gli
oggetti dei discorsi vengono in genere raccontati, vengono in genere espressi nella logica del linguaggio
attraverso i cosiddetti “termini”, cioè i termini sono nomi che possono essere nomi atomici, nomi semplici
oppure nomi composti, tanto per farti un esempio, si può dire un nome proprio Giorgio, tanto per dire oppure
si può dare la descrizione di un soggetto, attraverso una descrizione complessa, per esempio il figlio di
Sandro. E allora, questo Giorgio, che ha come nome atomico, come nome proprio, questo nome, può essere
descritto da un termine più complicato “il figlio di suo padre”. Ecco che allora, lo studio di questi temi è uno
studio molto complesso che in genere nella nostra logica, oggi, quando si insegna logica, viene fatto dopo la
logica proporzionale e precisamente, anche storicamente così è successo, mentre la logica proporzionale, per
l’appunto, è stato il risultato sommo della logica stoica, la logica dei termini, la struttura dei termine è anche
cercare di capire come si debbano interpretare da un punto di vista sia sintattico che semantico questi
termini, cioè qual’è il senso e qual'è il significato che bisogna attribuire a questi termini, questo è stato uno
dei grandi risultati della logica di Ockham in particolare, ma della scolastica più in generale. Quindi questo è
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quello che più o meno fecero gli scolastici. Dopo gli scolastici si cominciò a parlare di altre cose e in
particolare intervenne questa idea della logica, come scienza universale. Ricorderete, forse, quando abbiamo
parlato di Crisippo, avevamo citato il fatto che per Aristotele la logica era semplicemente propedeutica
alla scienza, era uno strumento l’Organon, che permetteva di trattare le scienze. Questo era porre la logica
Logica, scienza universale
in una posizione molto subordinata ovviamente. Per Crisippo,
¾ Lullo:
invece, la logica diventa parte delle scienze, ma vedete qui,
ars magna(1274)
che c'è un passo successivo, da puro strumento a parte delle
¾ G. Bruno:
scienze, una delle tante scienze, a finalmente scienza universale,
ars memoriae(1582)
cioè la cosa più importante di tutte, cioè è stato praticamente un
¾ Leibniz:
completo capovolgimento, che c'è stato dal periodo di Aristotele
ars combinatoria(1666)
passando attraverso Crisippo e arrivando a questo periodo qua.
Questo periodo di cui stiamo parlando incomincia formalmente, per lo meno, nel 1274, quando questo
interessante personaggio che si chiamava Raimondo Lullo, scrisse questo trattato che si chiamava invece “la
ars magna”. Qui tutti parlavano di arte e per Lullo, per l'appunto, la logica era un'arte ed era la magna ars, la
più grande arte che si potesse immaginare. Lullo, anche lui, ebbe una vita molto interessante, esattamente
come Abelardo, anche se le sue traversie furono di tipo diverso.Ad un certo punto, Lullo decise che doveva
convertire gli infedeli, se n'andò a convertire gli infedeli e stranamente il metodo che lui pensava sarebbe
stato vincente in questo tentativo di conversione era, guarda caso, la logica; invece di andare a combattere
crociate, di arrivare con alabarde o con le scimitarre, ecco che Lullo cercò di andare a convertire gli infedeli
con la logica. Vi lascio immaginare come la cosa finì, quando si trovò di fronte ai nemici, lo decapitarono e
la cosa in quel momento finì lì. Comunque ci fu perlomeno questo tentativo, il cosiddetto tentativo di porre
la logica come scienza universale, come arte, la massima arte. Un secondo personaggio che andò in questa
stessa scia, molto più noto, ovviamente di Lullo, ma soprattutto da noi, anche per altre traversie che subì, è
Giordano Bruno. Nel 1582 giordano Bruno scrisse un trattato che si chiama invece “ars memoriae”, anche
stavolta siamo sempre a livello dell'arte, l'arte non è più la magna arte, la massima arte, ma diventa l'arte
della memoria. E Bruno che, anche lui finì male, come tutti sapete, il 17 febbraio del 1600 finì al rogo perché
come tanti altri prima di lui che avevano subito sulla propria pelle, avevano sentito il dilemma tra fede e la
ragione. Giordano Bruno ovviamente era anche lui partito come religioso, era un domenicano, poi insomma
fu scomunicato, uscì dall'ordine e così via, finché alla fine subì il processo dell'Inquisizione e finì al rogo.
Però nei suoi lavori principali giovanili e in particolare questo qui “l'arte della memoria”, ecco che era anche
uno studioso di logica o perlomeno di queste tecniche. In quel momento la logica era qualche cosa di strano,
ormai la Scolastica era stata dimenticata, era passato il Rinascimento e quindi la logica veniva considerata
come qualcosa di diverso,una tecnica e in particolare in Giordano Bruno era la tecnica della memoria. Come
si faceva ricordare le cose secondo Giordano Bruno e anche secondo questo metodo che risale, per
l’appunto, a Lullo? Beh, per esempio si dovevano incominciare a disporre degli oggetti in una stanza e poi a
ciascuno di quei soggetti, la cui posizione veniva memorizzata, si potevano associare delle parti di un
discorso che si voleva mandare a memoria. E allora, ricordandosi la disposizione delle parti degli oggetti,
ecco che ritornava alla memoria il discorso, ma c'è questa nozione, qui sotto nascosta, di struttura e questo
modo anche di combinare fra di loro delle parti separate in modo da dar loro una unità. Ebbene, questo che
può sembrare così lontano dalla logica moderna, in realtà nel terzo personaggio che vede la logica come
scienza universale, che era Leibniz, ecco che questa rimane un'arte, ma finalmente dall'arte della memoria
diventa “arte combinatoria”, cioè si perde questo aspetto anche pratico di dover applicare la logica a fini
mnemonici, di ricordo, di apprendimento e l'arte diventa puramente combinatoria. Sono passati un centinaio
di anni, 1666, Leibniz giovanissimo, ha vent'anni soltanto, scrive questa opera. Ed ecco qui Leibniz, la sua
fotografia e Leibniz sarà in questo intermedio, che va tra i greci e la Scolastica, diciamo, fino alla logica
moderna, sarà proprio la figura più di rilievo, più importante, colui che è oggi considerato come il vero
precursore della logica moderna. Come mai il vero precursore della logica moderna? Anzitutto Leibniz,
parliamo un po' il tiro di lui, è un personaggio veramente eclettico, veramente interessante, nato nel 1646,
morto nel 1716 a settant'anni.
Leibniz
Leibniz fu tutto, tutto nel senso che è ancora uno di quei personaggi in cui si possono
67
(1646-1716)
compendiare professioni completamente diverse. Era un giurista, era un avvocato, era un
diplomatico, era un matematico, era un logico, uno scienziato e così via, insomma uno di quei personaggi
veramente universali. E allora, detto da lui, che la logica doveva essere la scienza universale, la cosa acquista
subito un sapore differente, perché detto da chiunque conosca soltanto quello universale, vuol dire poco, ma
detto da uno come Leibniz che effettivamente aveva una conoscenza già universale di per sé, allora se la
logica per lui appariva come la scienza universale, questo poteva avere effettivamente un certo valore. Nel
periodo della sua giovinezza, Leibniz studiò, come ho detto, giurisprudenza, fece una tesi molto giovane, in
filosofia del diritto, quindi già si interessava alla filosofia, in particolare e al diritto dall'altra parte. Il diritto è
Giurisprudenza
importante da un p.di v. logico, perché è molto simile a ciò
¾ Tesi in filosofia del diritto
che succede nella logica. Ci sono degli assiomi che sono
¾ Dottorato in antinomie giuridiche
praticamente le leggi, cioè quello che viene promulgato
¾ Memoria assiomatica
e ci sono delle deduzioni che sono i tentativi di derivare
sull’elezione del re di Polonia
dalle leggi ciò che è implicito in esse, in modo da poterlo
applicare ai casi espliciti della vita che non sono direttamente considerati dalle leggi. Quindi c'è un'analogia
molto precisa tra diritto e logica ed è per questo che poi Leibniz fu portato a pensare alla logica. Il dottorato
invece lo prese in antinomie giuridiche, pensate voi, cioè in quelle situazioni in cui secondo la legge ci si può
comportare per un giudice in due maniere contrapposte, cioè alcuni precedenti o alcune leggi permettono di
assolvere l'imputato e altre leggi invece, altri precedenti, permettono di condannarlo. Sono l'analogo delle
antinomie di cui abbiamo parlato tempo fa, invece delle antinomie di Zenone, per esempio l’antinomia di
Achille e la tartaruga oppure l'antinomia di Epimenide del mentitore, solo che queste non sono antinomie
puramente logiche, sono antinomie giuridiche, qui si tratta di applicarle alla vita reale, cioè si tratta di avere
di fronte a noi un imputato e di poterlo condannare o poterlo lasciar libero, in base alla legge, entrambe le
volte; quindi il giudice ha la capacità, ha la possibilità di scegliere una delle due alternative, ma di fare tutto
in maniera puramente legale. Subito dopo Leibniz si laureò a vent'anni, lo stesso periodo in cui aveva scritto
l’arte combinatoria. Fu preso al servizio di alcuni potenti dell'epoca e il suo primo lavoro fu una memoria
assiomatica, pensate voi, sull'elezione del re di Polonia. Lui voleva convincere, anzi il suo protettore, voleva
convincere che, come re di Polonia, doveva essere eletto un certo personaggio, ebbene che cosa fece
Leibniz? Più o meno come Lullo, invece di fare delle battaglie politiche, fece delle battaglie logiche, cioè
dimostrò anzitutto che di tutti i candidati che erano stati proposti per il trono di Polonia, dimostrò
matematicamente soltanto uno rimaneva, solo uno poteva essere eletto, ma questo non era ancora una prova
a favore, era soltanto una prova di esclusione di tutti gli altri. Ebbene, poi diede una ventina di dimostrazioni
diverse del fatto che proprio quello lì doveva essere eletto. Quindi vedete come la logica veniva applicata
alla politica, in una maniera che era antesignana di comportamenti che poi sono stati usati in questo secolo.
Queste però, sono cose un po' strane, oggi se ne parla poco forse di questo aspetto giuridico dell'opera di
Leibniz, mentre invece, l'aspetto matematico fu molto importante. Pochi anni prima Blaise Pascal, questo
signore che vedete qui sulla sinistra nella slide, aveva inventato la prima macchina calcolatrice, una
macchina a rotelline che poteva fare somme. Ora sembrerebbe
poco, naturalmente facendo girare le rotelline al contrario la
macchina poteva fare le differenza anche, quindi somma e
differenza, un'operazione e il suo contrario e Leibniz fece un
passo avanti, cioè riuscì a costruire una macchina che poteva fare
somme e prodotti e dunque facendola girare al contrario,
sottrazioni e divisioni. Ora somma e prodotto, sottrazione e
divisione sono le quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica e
quindi certamente su questo si può basare l'intera matematica e
qui è nato il sogno poi del calcolatore, attenzione, perché questa
fu la prima macchina, il primo aggeggio meccanico che riuscì effettivamente a meccanizzare qualche cosa
che si pensava sino ad allora fosse caratteristico dell'uomo, cioè fare delle operazioni matematiche. L'altra
grande invenzione matematica di Leibniz che lui dovette dividere con questo suo antagonista, che è il grande
Isacco Newton, fu il calcolo infinitesimale. Leibniz, come se non bastasse, come se non avesse già fatto
abbastanza tra tutte le cose che ho citato finora, è anche uno dei due inventori di questo mezzo potentissimo
68
che è quello che si chiama,appunto “calcolo infinitesimale” o “analisi infinitesimale” o semplicemente
“analisi”, oggi. E l'analisi è quello che si studia in tutti licei scientifici, in tutti istituti tecnici ed è veramente
la propedeutica a tutte le scienze. Oggi non si può fare fisica, non si può fare chimica eccetera, se non si
conosce il calcolo infinitesimale, l'analisi. Ebbene, il cosiddetto teorema fondamentale del calcolo
infinitesimale, quello che dice che l'operazione di derivazione e l'operazione di integrazione sono due
operazioni inverse una dell'altra, così come la somma e la sottrazione oppure come il prodotto e la divisione,
ebbene, questo teorema fondamentale è precisamente il teorema di Leibniz e Newton. Quindi vedete, anche
se non si dovesse parlare più di altre cose che Leibniz fece, già soltanto questa parte di risultati matematici,
lo porterebbe ad essere uno dei più grandi pensatori della storia. E però la cosa non finiva lì, perché Leibniz
è considerato anche e ricordato moltissimo come filosofo. Una filosofia reale, qui ho messo scherzosamente
lo stemma di Savoia, ma non ci sta a caso lo stemma dei Savoia, perché le opere più importanti che Leibniz
scrisse e che ancora oggi vengono studiate nei dipartimenti di filosofia, ebbene sono due opere: la Teodicea e
la Monadologia che furono scritte per Reali. La prima, la Teodicea fu scritta per Sofia Carlotta di Russia e la
famosa Monadologia, cioè l'idea che il mondo sia costituito di Monadi senza finestre, come diceva Leibniz,
che sono in contatto non tra di loro direttamente, perché appunto non hanno finestre, ma con una monade
centrale, che poi dovrebbe essere Dio, ebbene questa Monadologia
fu scritta per il principe Eugenio di Savoia. Ora questo è di nuovo
un’altro degli eventi che abbiamo già visto avvenire da Pitagora a
Platone, ad Aristotele eccetera, il fatto che questi pensatori da una
parte parlassero coi loro studenti, coi loro colleghi di cose molto
elevate e poi però, facessero un'intensissima opera di divulgazione
e appunto anche le opere più importanti di Leibniz erano opere di
divulgazione, le cosiddette opere esoteriche. Ma veniamo invece al
dunque, perché quello che c'interessa di Leibniz è stato il suo
apporto alla logica matematica e qui due furono le sue grandi idee.
Leibniz non ottenne dei risultati così importanti, come il teorema fondamentale del calcolo differenziale,
perché nel campo della logica è un pensatore troppo l'avanguardia, cioè le cose che lui ha pensato, che ha
sognato, sarebbero poi state realizzate in realtà un paio di secoli dopo, a partire dal 1850, da Boole, di cui
parleremo in una delle prossime elezioni. Però le sue due idee fondamentali sono veramente lì e sono rimaste
lì, diciamo così, in agguato, in attesa, fino a quando non si è riusciti a realizzarle con la logica moderna. La
prima idea, a cui lui diede due nomi diversi, ma che più o meno significavano la stessa cosa,
Logica
era l'idea di una lingua filosofica, di una caratteristica universale,
¾ Lingua philosophica o
cioè di arrivare a trovare una lingua che fosse quella che noi oggi
caracteristica universalis
chiamiamo un linguaggio formale, diverso dai linguaggi tipici
¾ Calculus ratiocinator
naturali, tipo l'inglese, l’italiano eccetera, una lingua che non
avesse tutte le difficoltà, le ambiguità delle lingue naturali e che permettesse di descrivere esattamente tutto
ciò che vogliono descrivere gli scienziati. Ora questa idea, che all'epoca poteva sembrare abbastanza assurda
o difficilissima da realizzare, è quella che oggi noi chiameremo la lingua dei computer, la cosiddetta logica
matematica. Caracteristica universalis vuol dire per l’appunto questo, è una lingua filosofica nel senso che è
perfettamente astratta, è universale, si può applicare ad ogni scienza. La seconda parte, altrettanto
importante, è quella del cosiddetto Calculus ratiocinator, cioè un calcolo, cioè Leibniz ebbe l'idea che queste
cose dovevano essere fatte attraverso il calcolo, cioè si doveva riuscire a ridurre il ragionamento a qualche
cosa che fosse di natura matematica, esattamente come fare delle operazioni di natura algebrica e questo
calcolo poi in effetti riuscì a farlo Boole. La sua idea, la sua vera filosofia era quello che noi potremmo
chiamare oggi un panlogismo, cioè tutto è logica. Qui allora ho fatto una tabella per farvi capire la differenza
che Leibniz poneva tra i tipi di verità e c'era anzitutto quella
che lui chiamava “la verità di ragione”. Le “verità di ragione”
sono quelle verità che hanno come caratteristica “la necessità”,
cioè sono verità necessarie e da un p. d. v. di dimostrazioni, si
possono dimostrare con le dimostrazioni della logica, quindi
dimostrazioni finite. Ma Leibniz vedeva anche un secondo tipo
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di verità, che erano le cosiddette “verità contingenti, cioè verità di fatto, non di ragione, con cui non si può
arrivare attraverso la ragione, ma sono quelle che succedono nel mondo. Queste verità non sono necessarie,
bensì l'esatto contrario, sono contingenti e si possono, secondo lui, dimostrare, ma non più con dimostrazioni
finite, sono molto più complicate, sono di natura infinita, praticamente solo Dio le può vedere. Ed ecco che
allora la nostra ragione arriva fino al finito, cioè arriva fino ad un certo punto e soltanto Dio può dimostrare
che le verità di fatto sono effettivamente dello stesso genere delle verità di ragione. Le verità di ragione
sono in realtà di tipo diverso dalle verità di fatto per questo motivo:
Verità di ragione:
sono vere in tutti i mondi possibili, non fanno riferimento a questo
Vere in tutti i mondi possibili
mondo, ma sono vere ovunque, sarebbero vere anche in altri mondi,
Verità di fatto:
perché sono verità che riguardano soltanto la ragione, soltanto la
vere nel mondi contigente
necessità e non la contingenza, mentre invece le verità di fatto sono
vere nel mondo contingente, in questo mondo, non in tutti i mondi possibili, ma soltanto in questo. Ed ecco
che questa distinzione, questa divisione tra le verità di ragione e le verità di fatto è qualche cosa che al giorno
d'oggi è diventata veramente importante. Come mai? Ma perché le verità di ragione sono oggi considerate le
cosiddette verità della logica, cioè le verità del ragionamento, sono quelle che quando facciamo la logica
matematica effettivamente riusciamo a dimostrare con dimostrazioni finite. Ora la cosa non è affatto ovvia,
perché chi lo dice che dal solo fatto che una verità si possa vedere con l'occhio della ragione, allora da questa
ipotesi si possa poi dimostrare che la verità si può ridurre ad una dimostrazione di tipo matematico? Non è
affatto ovvio e il contenuto, cioè questa affermazione che ho appena fatto in una maniera un pochettino più
formale, è quello che si chiama “il teorema di completezza”, cioè ogni verità di ragione è effettivamente
dimostrabile, cioè tutte le verità logiche sono dimostrabili. Ebbene questo teorema di completezza per logica
proporzionale, cioè la logica degli stoici fu dimostrato da Post nel 1920-21 e per “la logica predicativa” di
cui parleremo in seguito, fu dimostrato da Goedel nel 1930. Quindi Leibniz aveva intravisto o previsto la
possibilità addirittura di questo cosiddetto teorema di completezza, la possibilità di riuscire a dimostrare tutte
le verità di ragione in una maniera matematica. Per quanto riguarda invece “le verità di fatto”, invece queste
sono vere nel mondo contingente, le dimo- strazioni di cui parlava Leibniz sono dimostrazioni di natura
infinita. La cosa strana è che, mentre oggi le verità di ragione sono identificate con le verità della logica, le
verità di fatto sono identificate da una parte con le verità della matematica e dall'altra parte con le verità della
scienza. Quindi qual’è la differenza tra logica, matematica e scienza? Ebbene, la logica effettivamente
permette un cosiddetto teorema di completezza, cioè tutto ciò che è vero nella logica si può dimostrare in
maniera finita, mentre invece la matematica non permette niente del genere, c'è un cosiddetto “teorema di
incompletezza”, cioè le verità di fatto, cioè le verità che sono vere nel mondo della matematica non si
possono in generale dimostrare attraverso dimostrazioni finite e questo è il contenuto appunto del “teorema
di incompletezza di Goedel”. Naturalmente questi tentativi di Leibniz di precorrere i tempi non furono capiti
durante la sua era.
Voltaire
Ora parliamo di Voltaire, il famoso romanzo di cui forse qualcuno
Candide(1759)
di voi avrà sentito parlare o che avrà letto Candide (1759), Voltaire
“Il migliore dei mondi possibili”
sbeffeggia praticamente proprio questa idea, che il nostro mondo
sia il migliore dei mondi possibili, che era appunto quello che Leibniz sosteneva, cioè le verità di fatto sono
verità che, benché siano vere in un solo mondo, questo mondo è il migliore dei mondi possibili. Bene, siamo
arrivati alla fine di questa carrellata sull’Interregno della logica, tra gli stoici e i tempi moderni; vi invito alla
prossima lezione sulla logica moderna, di lì incominceremo.
70
LEZIONE 9: Un inglese calcolatore
Finalmente siamo arrivati al dunque, come si dovrebbe dire. Abbiamo fatto varie lezioni introduttive, poi ci
siamo interessati dei primordi della logica matematica, quando ancora non era matematica, era soltanto
logica, che sono per l’appunto il periodo greco. Abbiamo parlato di Aristotele, di Crisippo, prima ancora di
Platone, poi abbiamo fatto una lezione sul cosiddetto Interregno, cioè la parte intermedia, questi 2000 anni
fatti in un batter d'occhio, che sono passati da Crisippo, dalla fine della logica stoica, cioè verso il 200 a. C.,
fino a Leibniz, ai sogni precursori di Leibniz, passando attraverso la scolastica. Ebbene finalmente siamo
arrivati, come dicevo al dunque. Questa volta incominciamo veramente con quella che si chiama logica
matematica e ormai siamo siano vicini a noi, perché in questo volo che abbiamo fatto, in questo volo
d'uccello, abbiamo passato questi 2000 anni e ormai siamo arrivati al 1850, a circa la metà dell'800. Ancora
abbiamo circa metà delle nostre lezioni e ci interesseremo uno a uno di tutti i logici matematici, meglio dei
più grandi logici matematici che hanno segnato con il loro nome la storia di questa materia.
Quest’oggi parliamo, come si vede dal titolo, di un inglese calcolatore, calcolatore non nel senso etico di
una persona cattiva che fa i suoi conti per fregare gli amici, ma semplicemente nel senso letterale. E’ un
personaggio che è nato in Inghilterra e che ha portato nella logica matematica o nella logica, diciamo così,
questo aspetto di calcolo e parlo di George Boole, ma adesso ne parleremo più diffusamente. Devo subito
dire una cosa, cioè avvertirvi che mentre nelle precedenti lezioni siamo riusciti a uscire anche dai nostri
confini, dai nostri limiti, perché la logica matematica è tutto sommato una piccola parte della matematica
moderna, per cui siamo riusciti a parlare di tante cose, di filosofia, di teologie e così via, ebbene man mano
che invece ora ci avviciniamo verso la contemporaneità, verso i nostri anni, tutte queste belle cose dovremo
lasciarle un pochettino da parte, dovremo incominciare a parlare più da vicino di aspetti tecnici della logica
matematica. Anche i personaggi stessi, cioè coloro di cui parleremo, coloro che hanno lasciato la loro firma
sotto questo grande libro della logica matematica sono ovviamente meno interessanti, come si può dire,
meno pieni di vita e di attività di quelli che li hanno preceduti, però insomma questo è tipico dell'evoluzione
della scienza. Agli inizi i personaggi sono estremamente poliedrici, fanno di tutto come per ricordarci, per
esempio Leibniz l’ultimo di cui abbiamo parlato, che era un po' di tutto, giurista, filosofo, matematico e
anche logico, ebbene invece questi personaggi moderni incominciano a diventare specialisti, proprio perché,
quando la scienza acquista maturità, diventa un qualche cosa di settoriale, comunque cercheremo di rendere
ciononostante le lezioni un pochettino allegre e cominciamo a vedere che cosa è successo. Abbiamo parlato
prima di quali sono i precursori della logica moderna, ora cerchiamo brevemente di ricordare ciò che hanno
fatto. Il primo, il più grande dell’antichità, è stato ovviamente Aristotele, che ha creato la teoria dei
sillogismi. In realtà i precursori della logica moderna, in questo senso li vogliamo intendere come precurPrecursori della logica moderna
sori di George Boole, cioè di colui di cui parleremo oggi
¾ Aristotele: sillogismi
ed è per questo che ci soffermeremo su alcuni aspetti di
¾ Crisippo: logica proposizionale
ciò che hanno fatto questi grandi precursori, in particolare
¾ Leibniz: characteristica, calculus
Aristotele di cui voglio ricordare la teoria dei sillogismi,
cioè la teoria che deduce delle conseguenze da una premessa maggiore e da una premessa minore e che
coinvolgono i cosiddetti quantificatori: tutti, nessuno, qualcuno. L’altro grande precursore è Crisippo
ovviamente, con la logica proposizionale di; ricordatevi che la logica proposizionale è la teoria del mettere
insieme al livello proposizionale, appunto,delle frasi attraverso i cosiddetti connettivi, che sono quelle
particelle del linguaggio di cui abbiamo parlato spesse volte ormai, che sono la negazione non, la
congiunzione e, la disgiunzione o, l’implicazione il se….allora. Anche nel caso di Crisippo, nel caso della
logica proposizionale ne citiamo i contributi, perchè Boole di cui parleremo, in realtà ha dato un nuovo
modo di vedere i risultato di Aristotele o Crisippo. Poi da ultimo Leibniz, che abbiamo trattato nell’ultima
lezione e per Leibniz le due nozioni fondamentali, le due idee fondamentali erano da un lato quello della
characteristica universalis, cioè della lingua filosofica, cioè il trovare un linguaggio tecnico, un linguaggio
astratto che permetta di esprimere tutto ciò che le scienze vogliono dire e i particolare, tra le scienze, anche
la matematica. Invece il secondo aspetto di Leibniz è l’aspetto del “calculus ratiocinator”, cioè il fatto non
soltanto di riuscire a scrivere ciò che si vuole scrivere, cioè il linguaggio della scienza, ma anche di tradurre
il tutto in un calcolo proprio del tipo di quelli che si fanno nella matematica, per esempio e lo dico non a
71
caso, perché è qui che voglio arrivare, per esempio il calcolo algebrico, cioè le operazioni dell’algebra, la
somma, il prodotto, la sottrazione, la divisione che sono quelle tipiche che si usano in matematica, anche ai
livelli più elementari, che sono le operazioni che servono per andare a far la spesa, a comprare, addizionare,
moltiplicare, dividere, sottrarre eccetera, per poter fare di conto come si diceva una volta. Bene allora,
arriviamo dunque al nostro personaggio, che è questo signore di cui abbiamo questa fotografia e niente altro.
Praticamente non ci è rimasto molto, vi ho già anticipato appunto che questi personaggi, dal punto di vista
folkloristico, sono meno interessanti di colore che li hanno preceduti. Boole ha avuto una vita piuttosto
breve come vedete, è nato il 1815 ed è morto il 1864. Una vita per niente avventurosa, è stato un professore
universitario, ha insegnato, ha scritto qualche libro, pochi, ha fatto un
po’ di ricerca e la cosa è finita lì. Quindi non vi posso raccontare grandi
aneddoti, però cerchiamo di vedere invece più da vicino che cosa ha
fatto da un p. di v. scientifico. Ebbene Boole ha scritto praticamente due
sole opere, una nel 1847 e una nel 1854. La prima opera si chiamava
“l’analisi matematica della logica” ed ecco qui che interviene
finalmente questo aggettivo, cioè matematica unito a questo sostantivo
che è quello della logica. Nel 1847 finalmente la logica che era appunto
Opere
una impresa filosofica di analisi del linguaggio, delle antinomie del
1847: l’analisi matematica della logica
ragionamento, che si fa nei fori, nei parlamenti e così via
1854: le leggi del pensiero
e anche ovviamente nelle scienze, perciò una analisi di tipo
soprattutto filosofico, finalmente con Boole diventa un'analisi matematica, cioè Boole è riuscito a far vedere
e questo oggi lo vedremo in dettaglio, ebbene spero di farvi vedere come è riuscito a legare da una parte la
logica e dall'altra parte la matematica, cioè questa analisi matematica della logica. Boole scrisse questo
libretto, perché veramente è un piccolo libretto, che tra l'altro se volete potete anche leggerlo, perché è stato
tradotto in italiano da Massimo Mugnai ed è stato pubblicato dalla Boringhieri, quindi un piccolo libretto,
che vale la pena leggere perché effettivamente ancora oggi moderno e li si può effettivamente vedere il
nascere di questa nuova disciplina. Però Boole non era soddisfatto di questo libretto, anche perché la
risonanza che ebbe non fu grandissima, è una risonanza che ovviamente era ristretta all'ambito accademico,
lo lessero alcuni dei suoi colleghi, qualcuno degli studenti e poi insomma si sparse la voce, diciamo così, in
Europa. Notate che Boole era un inglese, si chiamava Gorge ed era la prima volta che parliamo di uno che
faccia parte del cosiddetto continente, cioè in precedenza abbiamo parlato di greci ovviamente, abbiamo
parlato di tedeschi come Leibniz e così via, però in realtà tutto avveniva nel continente e anche il fatto che
questa nuova analisi, questo nuovo nascere della logica matematica, sia avvenuto in un ambiente, in una
nazione che non era una di quelle solite, già dice che c'era effettivamente qualcosa di nuovo, ci voleva anche
un luogo di nascita differente per far nascere una materia differente. Ebbene, dicevo, poiché il
riconoscimento che Boole ebbe nel suo primo lavoro del 1847 non fu quello che lui sperava, lui scrisse un
altro libro nel 1854 che si chiamava nientepopodimeno che “le leggi del pensiero” e qui si vede anche un
pochettino l'aspetto pubblicitario della questione, cioè Boole capisce che un titolo come “l'analisi
matematica della logica” può attirare soltanto degli specialisti, mentre invece scrivere un libro sulle leggi del
pensiero è un qualche cosa che può estendere l'ambito e il riconoscimento che si possono avere. Notate,
tanto per cambiare, ancora una volta ritroviamo anche nell'opera di Boole, nell'opera del primo logico
matematico in senso letterale, quella divisione che abbiamo già visto essersi riproposta da Pitagora, a
Platone, Aristotele, Leibniz e così via, cioè la divisione fra la ricerca e la divulgazione, fra l'esoterico e
l’essoterico, fra ciò che si indirizza agli specialisti del campo, come nel caso di Boole il suo primo libro e
ciò che invece vuole indirizzarsi anche ai curiosi, diciamo così, a coloro che vogliono ricevere della
divulgazione, che vogliono essere informati di quali sono le novità del campo. Ebbene, vediamo più da
vicino, quale è stata l'idea fondamentale di George Boole. George Boole ha inventato quella che oggi si
chiama guarda caso “algebra booleana”, cioè il suo nome è diventato così naturale, così importante nel
campo della matematica da diventare addirittura un aggettivo. Questa algebra booleana, di cui parlerò a
Algebra booleana =
lungo quest’oggi, è una cosa veramente importante, è anche un
Interpretazione algebrica
pochettino l’uovo di colombo, cioè quando vedremo i risultati
72
della logica
di questa realizzazione, ci accorgeremo che tutto sommato, forse
se ci avessimo pensato, anche noi avremo potuto essere lì al momento giusto e avere anche le idee giuste,
come spesso succede con le uova di colombo. Ebbene questa algebra booleana, in due parole, si può
semplicemente dire che è una interpretazione algebrica della logica, cioè è algebrica ovviamente, questo lo
dice già il nome, perché appunto il nome deriva dall'algebra e però è anche un'interpretazione della logica,
cioè l'idea di Boole fondamentale è stata quella di dire, ma insomma quello che io cerco, quello che voglio
cercare di fare, è di dare una veste matematica agli studi di logica che sono venuti prima di me. Ovviamente
Boole, ormai eravamo nel 1850 circa, a metà dell'800, conosceva benissimo i precursori, aveva letto
Aristotele, aveva letto Platone, ovviamente conosceva Leibniz e così via. Quindi non è che Boole sia nato in
un vuoto, in un vacuum, come si potrebbe dire in inglese, la lingua che parlava lui, Boole è nato in una certa
cultura e sapeva benissimo dove voleva arrivare a parare, cioè voleva fare un'interpretazione matematica
della logica. Ora quando si cerca di fare un'interpretazione matematica, si ha di fronte a sé un certo numero
di possibilità, una gamma di possibilità, perché matematica è appunto per esempio l'algebra, ma è anche
l'analisi di cui abbiamo parlato, che Leibniz e Newton avevano inventata, il cosiddetto calcolo differenziale,
poi ci sono tante branche della matematica, per esempio la geometria, perciò bisogna fare anzitutto una
scelta e la scelta di Boole fu la scelta forse più naturale, la scelta di usare l'algebra per fare questo tipo di
ricerche e di incominciare a scrivere i risultati della logica che all'epoca non era ancora matematica, ma lo
stava diventando, dicevo, di incominciare a scrivere il linguaggio, le regole della logica e anche gli assiomi
in maniera algebrica. Ora come si può fare questo? Beh, la logica parla di vero e falso tutto sommato, cioè la
vera essenza della logica è proprio questo, lo studio di ciò che è vero e di conseguenza anche lo studio di ciò
che è falso e allora bisogna cominciare, tanto per fare il primo passo, ad associare al vero e al falso degli
oggetti matematici. Questo non è tanto semplice, non è tanto immediato, però bisogna fare una scelta;
ebbene la scelta che fece Boole fu questa qui (v. slide) e bisogna veramente dargli atto che fu la scelta
giusta, la scelta corretta, perché il vero e il falso da un punto di vista logico, da un punto di vista filosofico
sono concetti molto complicati. Pensate, per esempio, alla famosa domanda che pose Pilato a Gesù, durante
Valori di verità
il processo famoso che poi si concluse alla fine con la condanna di Gesù
Vero = 1 Falso = 0
e con la passione e cose poi che tra l’altro ha costituito l'essenza del
cristianesimo. Ebbene, durante il processo di Gesù, quando Gesù arrivò di fronte a Pilato, che gli era stato
mandato, vi ricorderete da Erode, allora arrivato di fronte a Pilato ci fu questo scambio di convenevoli,
potremo dire oggi e ad un certo punto Gesù ripeté una delle frasi che era solito dire “io sono la verità e la
vita” e così via e Pilato per un momento fu colpito, se qualcuno dicesse “io sono la verità” e chiese a Gesù
che cos'è la verità? Ora questa domanda di Pilato è la domanda essenziale della logica “che cos'è la verità?”
Quale sarebbe la risposta che dareste voi? Beh, insomma la cosa interessante è che Pilato non stette ad
aspettare la risposta, pose la domanda, che cos'è la verità e se ne andò senza aspettare la risposta, così
dicono i Vangeli. Come mai? Beh, ovviamente non si tratta di dare troppo affidamento, anzi tutto, a ciò che
viene raccontato, viene tramandato, ma soprattutto alla capacità analitica, alla capacità logica di Pilato.
Pilato se ne andò, non perché sapeva che Gesù all’epoca non avrebbe potuto dargli una risposta logica, se
n'andò per motivi suoi. Ma oggi noi possiamo reinterpretare questo cose per l’appunto così, cioè 2000 anni
fa, 1850 anni prima di Boole, la risposta alla domanda di Pilato “che cos'è la verità” non si poteva dare,
perché questa risposta fu una risposta molto tardiva, cioè richiedeva ancora 2000 anni di sviluppo. Ora nel
caso di Boole, cioè nel caso in cui viene associato al vero un numero e al falso un altro numero, tutti questi
problemi filosofici e etici che stanno dietro le nozioni del concetto di verità, praticamente scompaiono, si
dissolvono. Il vero non ci interessa più definirlo in qualche maniera filosofica, ci interessa semplicemente
associarlo a qualche numero e il falso, idem, lo associamo a qualche numero, però la cosa importante è che
la scelta di questi due numeri, che sono 1 e 0, deve essere poi tale da far funzionare tutto il resto della
logica. Ora si potrebbe fare anche l'inverso per esempio, non ci sarebbe niente di sbagliato a dire che il vero
è lo zero e il falso è l'uno, però in genere si fa questa associazione, perché in qualche modo il vero è positivo
e il falso è negativo, per cui è meglio forse associare lo zero al falso e al vero associare qualche numero che
sia maggiore di zero e quindi questa fu la scelta originale di Boole. Bisogna metteterselo in testa perché sarà
utile per lo meno nelle prossime slide, perché su questa base, che è una base appunto quasi lapalissiana,
come ho detto l'uovo di colombo, si può costruire tutta la logica. Ora vediamo allora come si può andare
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avanti. Anzitutto bisogna ricordarsi di una cosa, che il fatto che lo 0 e l'1 siano associate al vero e il falso e
che pretendano di essere praticamente i fondamenti dell'intera logica, non è poi un fatto così banale, ma non
è nemmeno così campato in aria, perché in precedenza, guardate qui addirittura nel 600 a.C., quindi 600
anni prima di quell'episodio che ho appena ricordato di Pilato, già nel 600 a.C. dicevo i Ching, un famoso
classico della filosofia confuciana, qui vedete l'immagine, per l’appunto, di Confucio, ebbene questi Ching
erano basati su quella che oggi viene chiamata l’aritmetica binaria, di cui dirò adesso due parole.
L'aritmetica binaria significa fare l'aritmetica non con tutti i numeri interi 0, 1, 2, 3 e così via, fino
all'infinito, non addirittura con i numeri reali, quindi non soltanto
quelli, ma i razionali, gli irrazionali, per esempio, come π greco, radice
di 2, ma soltanto con quei due numeretti lì 0 e 1. Aritmetica binaria
significa fare la solita aritmetica, le solite operazioni somma, prodotto
e le loro inverse, sottrazioni e divisioni, ristrette ai numeri 0 e 1. Voi
direte, ma per quale motivo dovremmo limitarci a queste cose, come
legarci le mani e cercare di fare tutto quel che si può fare, soltanto però
con le mani legate. Ebbene, i Ching avevano ovviamente un motivo
completamente sui generis, che era un motivo astrologico. I Ching
hanno costruito delle figure come quelle che vedete quaggiù, queste
qui si chiamano trirami, per l'ovvio motivo che sono fatte in tre linee, queste linee, intere o spezzate; l'intero
o spezzato è ovviamente un simbolo, una metafora, di che cosa? Del bene e del male, del giusto e dello
sbagliato, del vero e del falso, del maschile e del femminile, insomma per dirlo in una parola, che tutti
conoscete, dello Yin e dello Yan, cioè la contrapposizione cinese. Questo simbolo qua, che Confucio tiene
in mano, è precisamente il simbolo dello Yin e dello Yan, la compenetrazione di due qualità contrapposte,
una nera e l'altra bianca, per l’appunto lo Yin e lo Yan. Ebbene, quindi linea intera, linea spezzata sono
misture, diciamo così, sono simboli Yin e Yan e quindi in particolare, dal nostro punto di vista logico, sono
simboli del vero e del falso. Se noi combiniamo insieme queste linee e ciascuna di queste linee può essere
intera o spezzata, abbiamo due possibilità per la prima, altri due per la seconda, cioè quattro in tutto e altre
due per la terza, cioè otto in tutto. I Ching fanno una cosa un po’ più complicata, cioè invece di avere
soltanto dei trigrammi usano degli esagrammi, cioè sei linee intere o spezzate e su queste praticamente
impiantano l'intero sistema astrologico, perché quello che loro volevano fare, era cercare di indovinare il
futuro. A noi questo non interessa assolutamente niente, però la cosa importante qui, è che già i cinesi
avevano capito che lo zero e l'uno erano in qualche modo i numeri essenziali, su questi numeri si potevano
costruire praticamente tante altre cose, in particolare si potevano costruire otto trigrammi, si potevano
costruire 64 esagrammi e quindi praticamente era possibile solo con lo 0 e con l’1 o se volete solo con linee
intere e spezzate, arrivare fino ai numeri da 0 a 64. Leibniz, il solito, nel 1784, che è dopo la sua morte,
voglio dire che questa è un'opera postuma, nel 1784 fu pubblicato un libro di Leibniz, in cui il Leibniz che
era a conoscenza di questo classico confuciano, perché Leibniz conosceva i gesuiti che erano andati in Cina
ed era in corrispondenza con loro, questi gesuiti lo misero in contatto con la filosofia cinese e così via,
ebbene Leibniz fu folgorato, dice: mah, non ce nessun bisogno di fermarsi a 64, usando soltanto lo zero e
l'uno è possibile costruire tutti i numeri ed ebbe l'idea di quella che oggi viene chiamata “aritmetica binaria”
e che è poi tra l'altro l'aritmetica sulla quale si basano i computer, guarda caso. Come si fa a scrivere numeri
con l'aritmetica binaria? Lo zero è lo zero, l'uno è l'uno, fin qui non c'è problema, perché sono questi i due
numeri. Il due, che noi scriviamo 2 nel nostro sistema decimale, avendo il simbolo per il due speciale,
ebbene, nel sistema binario bisogna scrivere 2 usando soltanto lo 0 ed l'1 e allora lo si scrive come dieci 10.
10 significa 2 elevato 1, più 2 elevato 0, ecco che il 3 si può scrivere come 11, 4 si può scrivere come 100,
5 si può scrivere come 101 e così via; usando soltanto combinazioni di 0 e 1 si possono scrivere tutti i
numeri. Quindi già l'idea di Boole, di limitarsi a 0 ed 1 per interpretare il vero e falso, è un'idea che sembra
meno balzana, se la si situa in questo contesto, nel fatto che appunto si possono già scrivere tutti i numeri
con lo 0 e 1 Che cosa fece però Boole più precisamente? Beh, fece la seguente cosa: capì che una volta
interpretato l'1 come vero e lo 0 come falso, la negazione si poteva interpretare semplicemente come
sottrazione da 1. Vediamo qui la tabellina e cerchiamo di capire questa cosa.
Negazione = sottrazione
Supponiamo di avere 1 qua; questo 1 significa che la proposizione
74
1–1=0 1–0=1
che stiamo considerando è vera, ma allora 1 meno 1 diventa 0,
Congiunzione = prodotto
cioè la negazione di una proposizione vera diventa falsa, che è
1x0=0x1=0x0=0
precisamente una delle regole di cui parlato nella scorsa lezione
o due lezioni fa quando parlavamo di Crisippo; idem quando partiamo invece di una proposizione falsa, il
cui numero associato sia 0; 1 meno 0 è 1, quindi la negazione di una proposizione falsa è una proposizione
vera. Ecco che allora, associare 0 e 1, a falso e vero, permette di associare alla negazione la solita
operazione di sottrazione. Idem per la congiunzione ed ecco vediamo allora in questo modo come sia
possibile passare da questi numeretti a tradurre le regole della logica. La congiunzione è invece secondo
Boole e adesso lo verifichiamo tra un momento, è un prodotto semplicemente, il prodotto dei numeri 0 e 1,
vediamo: quand'è che la congiunzione di due proposizioni è vera? Soltanto in un caso, se ricordate la
tabellina che abbiamo fatto, per l’appunto degli stoici, che definiva quand’è che la congiunzione era vera.
La congiunzione di due congiunti è vera soltanto quando tutti e due i congiunti sono veri; prendiamo due
congiunti veri, cioè prendiamo il numero 1, due volte, moltiplichiamo uno per se stesso, 1 x 1 continua a
rimanere uno. Quindi il prodotto di due uni è uguale a uno, cioè la congiunzione di due proposizioni vere è
vera, questo è l’idea. Vediamo che cosa succede negli altri casi. Beh, negli altri casi almeno uno dei due
congiunti deve essere falso, o il primo o il secondo o tutti e due addirittura devono essere falsi. In questo
caso la congiunzione di almeno un congiunto falso, deve essere falsa; vediamo se tutto ciò corrisponde
effettivamente ai numeri. Qui abbiamo il prodotto di uno per zero, che corrisponde alla congiunzione di una
proposizione vera e di una falsa, quanto fa 1 per 0? Fa 0, effettivamente, la congiunzione è falsa. Il caso
simmetrico ovviamente, per l’appunto simmetrico, è la stessa cosa, se la prima proposizione è falsa e la
seconda proposizione è vera, questo corrisponde a fare il prodotto di 0 per 1 e dunque continuiamo ad
ottenere 0. L'ultimo caso, che è il caso in cui tutti e due i congiunti, cioè tutte e due le proposizioni che
mettiamo insieme sono false, anche qui come si direbbe, non ci piove, 0 x 0 continua rimanere zero. Dunque
il prodotto di numeri che possono essere o zero o uno, è 1 soltanto quando tutti e due i numeri sono 1 ed è 0
se almeno uno dei due numeri è 0, magari anche tutti e due. Questo è esattamente la proprietà fondamentale
che abbiamo già visto nella precedente lezione, che definiva la caratteristica principale della congiunzione.
Ed ecco che allora, questo trucchetto di Boole, di associare il vero all’ l, il falso allo 0, la negazione alla
sottrazione e la congiunzione al prodotto, permette di ritradurre tutto ciò che sembrava molto arzigogolato,
molto complicato e molto sottile anche nel campo della logica proporzionale degli stoici, la fa diventare
semplicemente un giochetto da ragazzi, perché sottrarre un numero che può essere 0 o 1 da 1, oppure
moltiplica due numeri tra di loro, ciascuno dei quali può essere 0 o 1, risponde semplicemente a delle regole
che sono banali, che qualunque ragazzo delle elementari potrebbe fare. Ed ecco che allora questa algebra di
Boole è veramente un idea geniale, un idea fondamentale, perché dietro questo aspetto, si cela la possibilità
di interpretare aritmicamente o algebricamente la logica. L'algebra booleana non è nient’altro che fare
algebra, cioè fare le quattro operazioni solite ristringendosi ai numeri 0 e 1. Quale fu però la scoperta
fondamentale di Boole, a parte questo aspetto che sembra così banale? La scoperta fondamentale fu, che
quest'algebra booleana, benché così semplice, quasi banale, anzi quasi imbarazzante da un punto di vista
matematico, ebbene questa algebra booleana è uno strumento universale. Ora questo forse può sembrare
persino eccessivo, che cosa significa universale? Beh, adesso non esageriamo, non è che si possa applicare
dovunque, però certamente si può applicare in tantissimi campi diversi di cui adesso vi farò perlomeno una
serie di esempi, tanto per convincervi che effettivamente sia Boole che noi, oggi quando impariamo
l'algebra booleana, siamo arrivati a toccare, uno dei punti cruciali, a mettere il dito nella piaga, diciamo così,
della logica moderna. Quindi vediamo alcuni esempi; il primo esempio, ne abbiamo appena parlato adesso,
è precisamente l'applicazione logica, cioè Boole riuscì a far vedere che quelle tabelline che abbiamo appena
considerato, erano effettivamente in grado di descrivere le regole della logica proporzionale, cioè quella
logica che aveva inventato o scoperto o descritto o analizzato Crisippo. Ma immediatamente Boole fece
anche una seconda scoperta, cioè che anche la logica sillogistica, cioè quell'altro aspetto della logica che era
stata analizzato da Aristotele e sembrava in contrapposizione alla logica proposizionale di Crisippo, non lo
era affatto. Ricordate che le due Scuole, da una parte la Scuola del Liceo aristotelico e dall'altra parte la
Logica
Scuola della Stoà di Crisippo erano in contraddizione tra
¾ Proposizionale(Crisippo)
di loro, si sentivano contrapposte, perché i peripatetici seguaci
75
¾ Sillogistica(Aristotele)
di Aristotele dicevano che la loro analisi era più fondamentale
perchè parlava di tutti, qualcuno, nessuno e questo era il vero livello del loro discorso, mentre gli stoici con
Crisippo dicevano che erano loro ad aver fatto un'analisi logica più fondamentale perché erano andati più
giù, più a fondo nell'analisi del linguaggio con la scoperta dei connettivi, ebbene dal p.di v. di Boole, dal p.
di v. della matematica, sia la logica proposizionale dei connettivi di Crisippo, che la logica sillogistica dei
quantificatori di Aristotele si possono descrivere con la stessa algebra booleana. Ed ecco che un solo
strumento matematico, tra l'altro come dicevo, imbarazzantemente semplice, permette di scrivere due cose
che a prima vista sembravano diverse, cioè si scopre dopo 2000 anni, che i peripatetici, cioè i liceali di
Aristotele e gli stoici di Crisippo non erano in contrapposizione, avevano fatto due analisi, che però da un
p.di v. matematico erano la stessa analisi. Questo è un risultato veramente grandioso, cioè prendere i due più
grossi risultati, le due più grosse analisi della filosofia logica greca e far vedere che, tutto sommato, sotto di
esse c’è lo stesso tipo di analisi e che sono soltanto due modi di vedere, anzi lo stesso modo di vedere due
cose diverse, ecco questo è già qualche cosa di veramente fondamentale, praticamente senza aver fatto nulla,
notate, perchè si è semplicemente tradotto vero e falso, negazione e congiunzione mediante delle semplici
operazioni. Ma non basta ovviamente, perché Boole soprattutto del suo secondo libro “le leggi del
pensiero”, il cui titolo, come dicevo prima, è significativo, perché Boole capì di avere in mano uno
strumento veramente potente, uno strumento veramente universale ed è per questo che ha scritto il secondo
libro, per far vedere tutti questi esempi. Un'intera parte del suo secondo libro, nel primo non c'è, ma nel suo
secondo libro si, un'intera parte dicevo, è dedicata all'analisi della probabilità. La probabilità è naturalmente
il tentativo di cercare di catturare matematicamente e qui vedete il caso più casuale di tutti, cioè la pallina
della roulette, quando si va al casinò a giocare non bisognerebbe giocare, lo si sa, perché le leggi del caso,
insomma, sono cose su cui non si possono mettere le mani. Ebbene però, ci fu verso il ‘700 e anche verso il
‘600, ci fu un tentativo che poi diventò un tentativo riuscito, tanto da diventare quella che oggi si chiama la
teoria delle probabilità, un tentativo per cercare di descrivere matematica mente quali erano le leggi della
probabilità. Boole nel 1850, per l’appunto, cerca di descrivere
algebricamente le leggi della probabilità e che cosa scopre?
Scope precisamente che le leggi della probabilità sono di nuovo,
tanto per cambiare, esattamente le leggi dell'algebra booleana,
che già era riuscita a descrivere i sillogismi di Aristotele, che già
era riuscita a descrivere la logica proporzionale di Crisippo e che
adesso, lo stesso strumento, riesce a descrivere anche la teoria
delle probabilità. Come mai? Mah, l'idea fondamentale è che, in
realtà, quando si prendono due eventi indipendenti fra di loro,
ebbene se si sa la probabilità di uno e si sa anche la probabilità
dell'altro, la probabilità dell'evento composto, quando succedono tutti e due, è semplicemente il prodotto
delle due probabilità. Ed ecco che allora, si incomincia capire che, se le probabilità si moltiplicano per
eventi indipendenti, ci sarà qualche cosa che li lega, come l'algebra. La probabilità di due eventi che siano in
alternativa uno con l'altro, uno succede se e soltanto se non succede quell'altro, sono legate dal fatto che la
probabilità di uno è il contrario della probabilità dell'altro. Ora però, contrario che cosa significa? Qual’è la
certezza matematica, qual’è la probabilità più certa di tutte? La probabilità 1, quando non si può scappare.
Qual'è la probabilità meno certa di tutte, quella sicurezza di non avere nessuna possibilità, è quella che si
chiama probabilità 0, per l’appunto. Ed ecco che, allora lo 0 e l’1 che prima venivano identificate con il vero
e con il falso, adesso vengono identificate con certo o necessario e con l'impossibile e le loro leggi sono
precisamente le leggi della negazione e della congiunzione, cioè le leggi della sottrazione e del prodotto e
quindi di nuovo l'algebra booleana riesce a descrivere queste leggi della probabilità. Quindi abbiamo già
fatto tre esempi, matematicamente molto importanti, non è più soltanto la logica che viene coinvolta in
questa analisi, ma è anche la teoria della probabilità. Ma non
basta, perché ho detto prima, non parleremo più di teologia, però
poi scappa sempre la voglia di farlo, ecco qui in teologia, questo
signore è il filosofo arabo Avicenna, che introdusse quella che
viene chiamata la prova cosmologica dell'esistenza di Dio, di cui
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adesso non ci interessiamo, perché non è questo il succo del discorso, però la cosa interessante è che nel suo
libro Boole, ad un certo punto dice: guardate che l'algebra booleana non è soltanto uno strumento per
analizzare teorie matematiche, può anche essere applicata in campi differenti, per esempio la teologia e
dedica un intero capitolo del suo libro ad un'analisi della prova cosmologica nella versione più moderna che
lui conoscesse, la versione in inglese tra l'altro, che si chiamava Clarke. Quest'inglese aveva messo in
maniera puramente formale la dimostrazione cosmologica dell'esistenza di Dio, Boole analizza la sua
dimostrazione e scopre degli errori. Scopre che facendo i conti con la sua piccola algebra booleana, è molto
facile andare a vedere quand'è che un ragionamento è corretto e quando no e scopre che Clarke aveva fatto
effettivamente degli errori. Quindi un uso anche filosofico, addirittura teologico dell'algebra booleana. Ma
non basta, andiamo avanti, vediamo qui un'applicazione e questa è una applicazione che potrebbe sembrare
veramente da attribuire addirittura all'ingegneria. Ho scritto qui
nella slide una
parola tra parentesi, per significare che si parla di circuiti elettrici, se
non si usano le parentesi oppure elettronici in caso contrario, cioè sia i
circuiti elettrici, quelli con fili e lampadine e così via, sia i circuiti
elettronici, cioè valvole, chip e così via, hanno una logica interna che
si può descrivere attraverso l'algebra booleana. Ma come direte voi,
pure questo? Ebbene, purtroppo o per fortuna proprio anche questo.
A che cosa risponde lo 0, a che cosa corrisponde l'1? Molto
semplicemente, lo zero corrisponde al rubinetto chiuso, cioè
all'interruttore chiuso, l'uno corrisponde all'interruttore o al rubinetto aperto, cioè 1 significa la corrente può
passare, 0 significa la corrente viene ininterrotta. Ed ecco che, mettere insieme questi chip o mettere insieme
questi fili si può fare seguendo le leggi dell'algebra booleana, perché, per esempio, fare la negazione
significa fare semplicemente quello che oggi viene chiamato un commutatore, un qualche cosa che lascia
passare la corrente quando il filo precedente non la lasciava passare e che non la lascia passare quando
invece la corrente precedente passava nel filo, cioè che cambia, commutata per l’appunto, quello che
succedeva nel caso precedente. La congiunzione è la stessa storia, quando due fili arrivano e noi vogliamo
far passare la corrente soltanto nel caso che tutti e due ce l’avessero e invece fermarla, se arrivava soltanto
da una delle due parti o se non arrivava da nessuna, allora in quel caso non c'era niente da fermare, ecco che
questo si può di nuovo spiegare e descrivere attraverso l'algebra booleana ed è per questo che l'algebra
booleana oggi è usata e studiata, insegnata in qualunque corso di ingegneria, dal p.di v. della logica dei
circuiti. Ma non basta, perchè qui le cose vanno avanti, qui vediamo addirittura un computer; vi ho già detto
prima che la cosa rimane forse meno sorprendente quando si sa che l'aritmetica binaria, l’aritmetica basata
sui soli numeri 0 e 1, è in realtà l'aritmetica su cui si fondano i computer e i computer non fanno altro che
avere questi bit, come vengono chiamati e se qualcuno di voi ha visto, a volte sugli schermi, queste
schermate di programmi scritte in linguaggio macchina, cioè il linguaggio che capisce il computer, sono
soltanto successioni di zero e uno. Ebbene però, nel 1943 Mc Culloch-Pitts cercarono di fare un'analisi di
ciò che era possibile sul funzionamento dei meccanismi e scoprirono questa nozione che si chiama la
nozione di “automa finito”. Che cos'è un automa finito?
Beh, oggi tutti lo sappiamo, all'epoca ovviamente nel ’43 non lo
sapeva nessuno, perché questa è stata una scoperta, gli automi finiti
non sono nient’altro che i computer senza la memoria, cioè
l’intreccio di fili o se volete i circuiti elettrici che costituiscono i chip
che costituiscono il computer e la logica, la matematica che sta
dietro a queste cose, attenzione, alla costruzione dei computer, è
precisamente l'algebra booleana. Quindi abbiamo vistoo che
effettivamente parecchi esempi, ma non è ancora tutto, perchè qui
nella slide vediamo la fotografia di un cervello e addirittura nella
cibernetica che è lo studio delle strutture cerebrali, lo stesso lavoro
che ho appena citato prima, di Mc Culloch-Pitts che identificava
questa classe di automi cosiddetti finiti, in realtà permette anche di identificare quelle che si chiamano oggi
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le reti neurali. Come mai? Ma perché un circuito elettrico praticamente è la stessa cosa o perlomeno è molto
simile, a un funzionamento dello stesso genere di quello che succede dentro il nostro sistema nervoso
centrale. Il nostro cervello, come tutti probabilmente sapete, è costituito di neuroni che sono in
collegamento fra di loro, attraverso i cosiddetti
assoni che fanno arrivare delle scariche elettriche e i dendriti che invece le fanno uscire, è una specie di
rete, una gigantesca rete più o meno come una rete di circuito
elettrico, ebbene, che cosa succede dentro questi neuroni? Beh, i
neuroni sono semplicemente delle porte, diciamo così, che
aspettano di essere aperte e queste porte si aprono o si chiudono
semplicemente attraverso scariche elettriche, queste scariche
elettriche seguono delle regole, cioè aspettano, diciamo così, che si
arrivi ad una certa soglia, quando questa soglia viene superata, la
porta si apre, la scarica parte, si richiude la porta e si aspetta di
nuovo. Ebbene, tutta questa logica che sta dietro al funzionamento
del sistema nervoso centrale, è di nuovo la stessa logica dei circuiti elettrici, la logica degli automi finiti e
così via ed è la logica che oggi noi descriviamo attraverso l’algebra booleana. Io mi fermo qui con la serie
degli esempi, perché ovviamente credo di averne fatti parecchi. Siamo partiti da un piccolo sistema di
matematica, cioè l’aritmetica binaria dello 0 e dell’1, con due operazioni, la sottrazione e il prodotto e poi
abbiamo visto che tutto questo piccolo armamentario, questo piccolo toolkit, come direbbero gli inglesi, si
poteva usare per aprire un sacco di porte. Abbiamo visto l’applicazione alla logica e anzi tutto il primo
risultato, il primo grosso risultato di Boole, cioè che sia la logica aristotelica che la logica stoica si potevano
in realtà interpretare come due facce di una stessa medaglia, come due incarnazioni di una stessa algebra che
era, per l’appunto, l’algebra booleana. Poi abbiamo visto che anche la teoria della probabilità si poteva
interpretare nello stesso modo; ci sono state applicazioni dello stesso Boole alla teologia e poi in tempi più
recenti la teoria dei circuiti elettrici, la teoria degli automi finiti, la teoria delle reti neurali che permette di
costruire degli analoghi meccanici del sistema nervoso centrale del cervello, tutte queste cose sono in realtà,
come dicevo, delle reincarnazioni dell’algebra booleana. Ed ecco che allora, l’algebra booleana che
sembrava semplicemente un granellino, in realtà è un granellino di sabbia che è stato messo dentro un
ostrica e poi alla fine, col passare degli anni, col passare del tempo, si è aperta l’ostrica e dentro l’ostrica
c’era effettivamente una perla. L'algebra booleana oggi è uno degli strumenti più generali che si possano
applicare in matematica; però, c'è un però, c'è una piccola limitazione ed è con questa che finiamo per
l’appunto la nostra lezione. L'algebra booleana non va oltre la logica greca, cioè descrive precisamente,
come avevo detto, la logica di Aristotele e la logica di Crisippo, ma niente di più.
Limitazioni
E allora se noi vogliamo arrivare alla logica moderna,se
L’algebra booleana non va
vogliamo arrivare a quella che si chiama “la logica predicativa”,
oltre la logica greca
dovremo fare dei passi successivi che sono precisamente quelli ai
quali dedicheremo le prossime elezioni. Quindi anche questo grande strumento dell'algebra booleana ha le
sue limitazioni, cioè può fare tantissime cose purché siano di un certo livello di complessità. La logica
moderna va oltre quel livello di complessità, ma questo lo vedremo nelle prossime elezioni.
78
LEZIONE 10: Un tedesco sensato e (in)significante
La scorsa lezione abbiamo veramente incominciato a parlare della logica contemporanea e abbiamo parlato
del primo grande logico matematico della contemporaneità, dell'era moderna della logica, che era
incominciata con i greci e poi è passata attraverso gli scolastici, attraverso Leibniz e così via e questo primo
personaggio è stato George Boole, l'inglese che ha introdotto l'algebra booleana. Abbiamo visto quanto
importante sia stata l'algebra booleana e quante applicazioni essa possa avere nelle aree più disparate del
sapere e delle scienze. Oggi invece affrontiamo un altro grande personaggio, forse ancora più grande di
Boole, se è possibile dirlo per i motivi che vedremo e questo personaggio è un tedesco, che ho chiamato e
pensato insignificante, anche qui per scherzare, perché in realtà è stato colui che ha fatto conoscere al mondo
contemporaneo, al mondo moderno, la distinzione fra “senso” e “significato”. Di questa distinzione, tra
l'altro, ne abbiamo parlato in precedenza perché già gli stoici, già Crisippo, l’aveva sottolineata e l’aveva
capita. Però, come ricorderete, gli stoici sono stati dimenticati, il pensiero stoico, le conquiste stoiche sono
state rimosse e quindi anche questa distinzione fra “senso e significato” che poi è stata riscoperta e poi
ridimenticata durante la scolastica, è stata finalmente portata alla luce in maniera definitiva, si spera
quest'oggi, da Frege. Allora abbiamo chiamato questo signore insignificante, perché ho già detto la scorsa
volta che i nuovi personaggi della logica non sono più quei personaggi eclettici e interessanti, che avevano
corrispondenze e che trattavano con reali o con filosofi e così via, ma sono semplicemente degli studiosi,
sono diventati i ricercatori moderni. L'insignificanza non è certamente un’insignificanza intellettuale, è più
che altro un'insignificanza di cose che hanno fatto durante la vita e di aspetti, diciamo così, teatrali della loro
vita. Bene, cominciamo a vedere anzitutto, a familiarizzarci con l'immagine di Frege e con le date di nascita
e morte che sono in genere gli inizi con cui partiamo. Frege è nato nel 1848, un anno importantissimo,
molti di voi ricorderanno le rivoluzioni che ci sono state in Europa, il manifesto, il partito comunista e
così via. Ebbene questo è stato anche l'anno di nascita di questo grandissimo logico che poi è morto nel 1925
Però in realtà la vita intellettuale di Frege è stata più breve, perché come
vedremo tra poco, nel 1902 è stata portata a termine praticamente la sua
impresa intellettuale dalla scoperta del famoso paradosso di Russell, al
quale abbiamo già accennato una volta e che quest’oggi riprenderemo e
di cui poi ancora tratteremo più profondamente la prossima volta,
quando parleremo appunto di Russell e dedicheremo a Russell un'intera
lezione. Cerchiamo di vedere allora più da vicino i contributi di Frege. I
contributi di Frege sono praticamente contenuti dentro tre opere
fondamentali. Le tre opere fondamentali che Frege ha scritto sono
anzitutto “la ideografia”, poi “i fondamenti dell'aritmetica” e “i principi
Opere
dell'aritmetica”. Quindi la nostra lezione sarà praticamente
1. Ideografia (1879)
incentrata su questi tre libri e noi la struttureremo proprio
2. Fondamenti dell’aritmetica (1884)
in tre parti differenti, cercando di far vedere da vicino, in
3. Principi dell’aritmetica (1893,1903)
maniera non tecnica, però in maniera un po’ precisa, quali
sono stati i risultati di ciascuno di questi tre libri. Anzitutto come vedete, sono periodi diversi, “l’ideografia”
è il primo libro importante che Frege scrisse nel 1879, “i fondamenti dell'aritmetica” invece è di pochi anni
dopo, il 1884 e poi la grande opera di Frege, quella che avrebbe potuto essere, perlomeno nelle sue
intenzioni la grande opera, cioè “i principi dell'aritmetica”, un titolo che non rende giustizia a ciò che lui
voleva fare, in realtà “i principi dell'aritmetica” erano i principi dell'intera matematica. Poi diremo meglio
come mai bastava fare i principi dell'aritmetica, per poi fondare l'intera matematica, comunque questa è
un'opera che Frege progettò in due grossi tomi, il primo uscì nel 1893, sembrava l’inizio appunto di un
avventura, sembrava l’inizio della storia per Frege, cioè il fatto che effettivamente lui fosse arrivato alla
conclusione dei suoi studi. Si trattava soltanto di portare a termine quello che ormai era in qualche modo in
nuce, in embrione nelle opere precedenti, però il secondo volume del 1903 nacque praticamente morto, un
aborto, uno di questi poveri bambini che nascono appunto senza vita, perché nel 1902 c’era stato appunto il
paradosso di Russell che aveva posto fine, che aveva fatto crollare il suo enorme edificio. Andiamo a vedere
79
allora da vicino che cosa Frege ha fatto in questi libri. Incominciamo col primo tomo, la prima opera, la
prima grande opera della logica moderna contemporanea, cioè la “Ideografia”.
1. Ideografia
Anzi tutto cerchiamo di vedere da vicino, che cosa significa il titolo stesso,
Linguaggio in formule
perchè ideografia è una parola un po’ strana, che significa grafia di idee;
del pensiero puro
ebbene il sotto titolo dell’opera di Frege spiega in maniera più precisa più
dettagliata che cosa lui volesse fare; l’ideografia doveva essere un linguaggio in formule del pensiero puro.
Quindi ci sono tre aspetti praticamente, c’è il linguaggio, c’è il pensiero e soprattutto ci sono le formule e
allora facciamo un passo indietro, ricordiamoci di quali erano stati i sogni che Leibniz aveva posto sul
tappeto della logica matematica, su quella che sarebbe diventata la logica matematica, uno di questi sogni era
quello che Leibniz chiamava la lingua filosofica o la characteristica universalis, che doveva essere un
qualche cosa, un linguaggio precisamente, che permettesse di esprimere in maniera tecnica, in maniera
formale ed è qui che interviene la parola formule, che permettesse di esprimere i fondamenti di ogni scienza
ed in particolare, poiché le scienze si fondano quasi tutte, soprattutto le scienze naturali, sulla matematica,
questo sogno di Leibniz della lingua caratteristica, doveva essere un linguaggio formale per la matematica.
Naturalmente Frege che era anche un filosofo, soprattutto un filosofo all'epoca, era interessato a mettere in
formule, a scrivere un linguaggio che parlasse del pensiero puro. Ora il pensiero puro per noi è
semplicemente quello che oggi chiamiamo la logica per l'appunto e allora scrivere o inventare un linguaggio
per la logica che fosse scritto in formule, era di nuovo un passo avanti nella stessa scia di Boole che abbiamo
trattato la scorsa settimana. Però Boole aveva proposto un linguaggio algebrico, quindi puramente
matematico che usava concetti e simboli che già si conoscevano, vi ricorderete che l'idea fondamentale
dell’algebra booleana, era quella di associare alla verità il numero 1, alla falsità il numeri 0 e poi alle
operazioni dei connettivi del calcolo proposizionale, le solite operazioni algebriche sui numeri, cioè in
particolare alla negazione veniva associata la sottrazione e alla congiunzione veniva associato il prodotto di
numeri; ebbene questo era un tentativo, certamente anche un tentativo riuscito tra l’altro, come abbiamo
ricordato pochi minuti fa, di concretizzare, di rendere concreto, di riuscire a realizzare il sogno di Leibniz,
però era in qualche modo insoddisfacente, perché si faceva ancora riferimento, troppo riferimento alle
operazioni della matematica e quindi era praticamente una riduzione della logica proposizionale di Crisippo
e poi abbiamo visto anche della logica del sillogismo di Aristotele, al linguaggio della matematica stessa;
ebbene non era proprio questo l’obbiettivo di Frege, perché Frege voleva trovare un linguaggio in cui la
stessa matematica si sarebbe potuta esprimere in una maniera più generale, in una maniera più pura, molto
più astratta, cioè l’algebra è una parte della matematica e allora ridurre la logica ad una parte della
matematica, non poteva essere soddisfacente, il vero obbiettivo doveva essere quello di trovare un
linguaggio autosufficiente, un linguaggio autonomo, che venisse prima dei linguaggi della matematica e in
cui l’intera matematica si potesse esprimere, non solo una sua parte come l’algebra, ma anche tutto il
resto,come l’analisi, eccetera, di cui parleremo tra poco. Quindi l’idea della Ideografia era appunto, detta in
parole povere, concretizzare il sogno di Leibniz di una lingua per il pensiero puro scritta con formule.
Benissimo, che cosa fece allora, in questo suo tentativo di realizzare questo sogno? Anzitutto fece quello
che praticamente lo consegnò alla storia, lo fece diventare uno dei più grandi logici di questo periodo, cioè
fece dei passi avanti, finalmente rispetto ai Greci e a Boole. Ricorderete che abbiamo concluso la scorsa
lezione su Boole dicendo che nonostante tutti risultati che era riuscito ad ottenere con l’algebra booleana
e nonostante tutte le applicazioni che l'algebra booleana aveva
poi realizzato, sia con Boole stesso che soprattutto nel mondo
contemporaneo del ‘900 attraverso i legami con i circuiti elettrici,
con il computer se ricordate, addirittura con le reti neurali del
cervello e così via, non era riuscito comunque a fare passi avanti
rispetto ai greci. Il grandissimo risultato di Boole fu quello di
esprimere in maniera matematica, in maniera algebrica ciò che i
greci erano riusciti a fare nella logica, di finire praticamente, di
mettere la ciliegina sulla torta, ma non di andare oltre, di concludere
un'impresa che era iniziata 2000 anni prima. Ebbene Frege
ovviamente si trova in questa situazione, viene venti-trent'anni dopo Boole, non può più fare le stesse cose,
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doveva andare avanti. Ora il problema era: è possibile andare avanti? Non è affatto detto, sembrava che
un'analisi così profonda, fatta tra l'altro, da menti così eccelse, da due Scuole come la Scuola peripatetica di
Aristotele e la Scuola stoica di Crisippo, fosse l'analisi conclusiva, che si fosse già arrivati praticamente al
punto finale e che non si poteva andare oltre. Notate che questa era effettivamente l'impressione che non
soltanto i contemporanei di Aristotele e di Crisippo avevano, ma questo è abbastanza evidente, perchè
erano di quell'epoca lì, ma anche gli Scolastici e soprattutto addirittura anche lo stesso Kant aveva. Kant
aveva sostenuto che ormai la logica era stata completata, l'analisi logica non si poteva portare oltre quello
dove l'avevano portata Aristotele e Crisippo e quindi praticamente in quella direzione non c'era più niente da
fare. Quindi ci voleva anche un certo coraggio intellettuale per cercare, come fece Frege, di andare oltre.
Dove si andò oltre, quali sono i punti di riferimento in cui Frege si pose per andare oltre i greci e oltre
Boole?. Ebbene sono due, di cui ho scritto qui i nomi, cioè le relazioni e i quantificatori. Cerchiamo di
vedere più da vicino, come mai ci riuscì ad arrivare, a fare passi avanti.
¾ Aristotele
Parliamo anzitutto delle relazioni”; ricorderete, lo abbiamo citato
Relazione: Soggetto/predicato
un certo numero di volte, che la logica di Aristotele si basava su
¾ Frege
un'analisi delle strutture linguistiche, su un'analisi del linguaggio
Relazioni: soggetti/ predicato
e del pensiero ad esso collegato, che però era praticamente una
/complementi
analisi con un soggetto e un predicato Aristotele considerava
quelli che oggi i logici chiamano “predicati unari”, cioè che hanno soltanto un verbo praticamente e un
soggetto che si riferisce a quel verbo, quindi soltanto soggetto e predicato. Però oggi, chiunque sia andato a
scuola, chiunque abbia fatto soltanto anche ciò che si insegna nelle medie, sa che in realtà l'analisi logica, sa
che il linguaggio è più complesso di questo, le azioni coinvolgono anzitutto non soltanto sempre un solo
soggetto, ma ci possono essere più soggetti e poi soprattutto ci può essere anche qualche cosa che questi
soggetti fanno, ci può essere un complemento. Oggi questo, come dicevo, è diventato lapalissiano perché è
diventato talmente classico che lo si insegna anche ai bambini. Ebbene, questo fu uno dei risultati che Frege
riuscì ad introdurre, cioè l’estendere le relazioni di cui parlava Aristotele dal solo caso molto semplice di
soggetto e predicato al caso in cui ci sono più soggetti, ci possono essere oltre che soggetti anche i
complimenti e quindi non soltanto soggetto e predicato, ma soggetti, predicato e complementi; quindi la
possibilità di considerare non relazioni unarie come nel caso di Aristotele, ma come diremo oggi in
matematica, relazioni ennarie, dove n sta per un numero qualunque o relazioni se volete multiple, cioè in
particolare relazioni binarie, ternarie, quaternarie e così via, cioè a due o più soggetti o complementi. Come
mai c'è bisogno di questa estensione per poter fare un linguaggio puro, un linguaggio in formule del pensiero
puro e in particolare dell'aritmetica? C'è ne bisogno, basta pensarci momentino, quando si parla di numeri
una delle cose essenziali è di paragonarli fra di loro, paragonarli perché ci si chiede se sono uguali per
esempio; ebbene l'uguaglianza è già di per sé un predicato che ha due soggetti, perché si cerca di mettere
insieme, di comparare, di paragonare due numeri e di vedere se questi due numeri sono uguali oppure no.
Ecco quindi subito, immediatamente, già nell'aritmetica, anche già nell’aritmetica dei numeri 0,1 il fatto di
vedere se due numeri sono lo stesso numero oppure no, che si ha una relazione binaria. Ci possono essere
altre relazioni binarie molto ovvie nel caso in cui due numeri siano diversi, cioè ci si può chiedere, per
esempio, quale dei due è maggiore dell'altro oppure quali dei due è minore dell'altro e allora il maggiore o il
minore sono di nuovo due relazioni binarie e quindi abbiamo già tre esempi, appunto l’uguaglianza, il
maggiore e il minore, di relazioni binarie che vengono usate correttamente in matematica e delle quali la
logica aristotelica non poteva trattare perché non erano relazioni unarie, non erano del tipo soggetto e
predicato. Come esempio di relazioni ternarie, la cosa più ovvia, si ha quando prendiamo due numeri e ci
chiediamo se la somma di questi due numeri è uguale ad un terzo numero, quindi due numeri e poi se la loro
somma è uguale ad un terzo, l'essere uguale alla somma di due numeri è una relazione ternaria, che
coinvolge tre numeri, idem per il prodotto e così via. Quindi in matematica le relazioni a più soggetti, a più
complimenti sono ubique, si usano correntemente e quindi c'è bisogno, se si vuole fare effettivamente un
linguaggio formale per la matematica, di estendere il campo delle relazioni a questi tipi di analisi. Ebbene
questo fu proprio quello che fece Frege. Quindi una prima estensione della logica greca e poi una seconda
che praticamente consegue automaticamente dalla prima, perché già Aristotele, lo abbiamo detto più volte,
aveva considerato i quantificatori, cioè tutti, qualcuno e nessuno, però lui li considerava soltanto ristretti
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all'unico soggetto di cui si poteva considerare il predicato, perché come abbiamo detto poco fa l'analisi di
Aristotele si riferiva soltanto a relazioni del tipo soggetto e predicato.
Quantificatori
Nel momento in cui Frege introdusse relazioni, in cui ci possono essere
tutti, qualcuno, nessuno
soggetti e complementi multipli, ecco che allora questi quantificatori
automaticamente possono essere riferiti ad uno qualunque di quei soggetti. Allora i quantificatori che nel
caso di Aristotele, se ne stavano lì isolati da soli, si poteva dire per esempio “per ogni x, oppure per ogni
uomo, l’uomo è mortale”, cioè “tutti gli uomini sono mortali”; adesso invece si può cominciare a parlare di
due o più soggetti. Ad esempio “per ogni numero ne esiste qualcun altro maggiore di esso”, ecco che usando
il predicato maggiore, che è appunto un predicato binario, possiamo usare due quantificatori(ogni e qualcun
altro)) che in logica vengono chiamati “alternati”. Ed ecco che qui, la complicazione della logica di Frege
salta immediatamente agli occhi; la logica di Aristotele non era praticamente molto diversa dalla logica
proposizionale di Crisippo proprio per questo motivo, perché benché trattasse dei quantificatori, in realtà
erano quantificatori riferiti soltanto ad un soggetto e allora questo praticamente riduceva la logica sillogistica
di Aristotele alla logica proposizionale. Questo è qualche cosa di cui si accorse immediatamente Boole
quando fece la sua analisi attraverso le algebre booleana; infatti abbiamo ricordato la scorsa volta che
effettivamente le stesse algebre booleane servono per descrivere sia il calcolo proposizionale che il calcolo
sillogistico. Come mai? Ma perchè evidentemente queste due cose sono soltanto una la riformulazione
dell’altra; nel momento invece in cui i quantificatori possono avere questa complicazione, possono
incominciare ad alternarsi uno con l’altro, allora la logica esplode, diventa molto più complicata ed è proprio
questo ciò che Frege capì e incominciò a studiare. Quindi vedete, in effetti un passo avanti molto importante.
Questo è quello che lui fece nel suo primo libro “la ideografia” del 1879, che viene considerata in genere
l’anno di nascita della nuova logica, della logica moderna.
Nel secondo libro “I fondamenti dell’aritmetica, del 1884, Frege si pone un problema differente e il
problema è quello che ho scritto qui, cioè la “la riduzione dell’aritmetica alla logica”, cioè una volta
2. Fondamenti dell’aritmetica (1884)
fondata la nuova logica nel suo primo libro l’Ideografia,
Riduzione dell’aritmetica alla logica
Frege voleva riuscire a ridurre tutta l'aritmetica alla sola
logica. Ora questo poteva essere un pensiero abbastanza malsano, perché se noi andiamo a vedere
all’indietro quelli che erano i fondamenti della filosofia, soprattutto della filosofia kantiana, Kant aveva
Kant
sostenuto che aritmetica è ciò che si chiama, secondo il suo linguaggio, un
L’aritmetica è
qualche cosa di sintetico a priori, cioè “sintetico” richiede un'esperienza del
sintetica a priori
mondo ed “a priori” richiede la ragione per poter essere considerata. Ora
Frege
l’idea di Kant, che l'aritmetica fosse sintetica a priori, era un'idea molto
L’aritmetica è
importante, che fece epoca in qualche modo e soltanto Frege fu il primo che
analitica a priori
riuscì o che decise di metterla in dubbio. Qual’è l’alternativa? A Frege non
piaceva questo fatto, cioè che per capire i numeri bisognasse avere un'esperienza sintetica a priori, che in
qualche modo bisognasse fare riferimento al mondo. Allora l'idea di Frege fu la seguente, cioè che
l'aritmetica era analitica. Ho scritto analitica a priori soltanto per simmetria, perché in realtà analitica a priori
è un surplus, basta dire analitica, perchè non c'è nessuna analitica a posteriori, mentre invece il sintetico può
essere a priori o a posteriori e dunque qui c'è effettivamente una scelta. Ebbene, dire che l'aritmetica è
analitica significa precisamente questo: è possibile trattare l'aritmetica o meglio definire tutti i concetti di cui
si parla nell’aritmetica semplicemente attraverso la ragione, cioè attraverso l'analisi razionale. Ora questo è
un qualche cosa che si può fare, che si può porre come programma, però è difficile da realizzare. Qual’era
l'idea, come mai a Frege interessava questo aspetto? L’interessava perché, in precedenza, questi due signori,
di cui abbiamo parlato in una delle lezioni introduttive che si chiamano appunto Cantor e Dedekind, due
grandi matematici dell'800, della seconda metà dell'800, erano già riusciti a ridurre l'analisi all'aritmetica.
Per chi non si ricordasse o che non sapesse che cos’è l’analisi, “l’analisi è la teoria dei numeri reali”, mentre
Cantor-Dedekind
“l’aritmetica è la teoria dei numeri interi”. I numeri interi sono 0,1,2,3,…e così
Riduzione dell’analisi
via, mentre i numeri reali sono invece un po’ più complicati, sono anzitutto i
all’aritmetica
numeri razionali, cioè le frazioni, cioè i rapporti fra i numeri e poi soprattutto
anche i numeri irrazionali, i soliti numeri di cui almeno alcuni esempi sono noti a tutti, come la radice di 2,
di cui abbiamo parlato a lungo quando parlavamo della incommensurabilità della diagonale rispetto al lato
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del quadrato oppure п greco che è il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio e così via.
Questi numeri non si possono scrivere attraverso rapporti di numeri interi e l’insieme di tutti questi numeri,
razionali e irrazionali costituisce la teoria dei numeri reali che si chiama in matematica analisi, per l’appunto.
Ora la cosa interessante è che Cantor e Dedekind erano riusciti a ridurre l’analisi alla sola aritmetica, come?
Numero reale =
Beh, erano riusciti semplicemente dando una definizione di numero
Successione infinita di interi
reale come una successione infinita di interi. Guardiamo qui l’esempio
√2 = 1,4142… π = 3,1415…
che ho appena fatto, la √2 e π, √2 è qualche cosa del tipo 1, 4142… e ci
sono qui dei puntini, questi puntini stanno ad indicare il fatto che dopo la virgola nello sviluppo decimale,
come diremo oggi, di √2, c’è una successione infinita e questo infinito è il punto cruciale, per l’appunto degli
interi. Se ci fossero soltanto un numero finito di interi dopo la virgola, quello sarebbe un numero razionale;
in effetto ci sono anche dei numeri razionali che si possono scrivere come una successione infinita, ma che si
chiamano periodici, quindi l’infinito lì è mascherato, in realtà si ripetono sempre gli stessi blocchi di cifre,
ma nel caso di √2 , così come nel caso di π che è 3,1415 eccetera, questi numeri non si ripetono con una
regolarità fissa e allora questi numeri vengono detti appunto irrazionali e anche i numeri irrazionali sono
riconducibili a successioni di interi, a successioni che però devono essere infinite. Allora questa idea di
considerare i numeri reali come successioni infinite di interi era il modo che trovarono appunto Cantor e
Dedekind di ridurre l’intera teoria dei numeri reali, l’analisi, all’aritmetica. Ed ecco che allora riuscire, come
cercava di fare Frege, a ridurre l'aritmetica alla logica, avrebbe significato ridurre praticamente l’intera
matematica alla logica, perché i numeri reali già erano stati ridotti alla aritmetica, se adesso si riusciva a
ridurre l’aritmetica alla logica, allora anche i reali sarebbero stati ridotti alla logica e praticamente l'intera
matematica sarebbe diventata un qualche cosa che si fondava sulla logica. Ecco perché, la Scuola che nacque
dal pensiero di Frege, si chiamava e si chiama ancora oggi Logicismo, cioè il tentativo di porre la logica a
fondamento di tutto; quindi la logica diventa veramente la cosa più importante della matematica e delle
scienze, soltanto che c'è un cambiamento, quasi un capovolgimento rispetto a ciò che invece si pensava al
tempo dei greci. Pensate ad Aristotele che sosteneva semplicemente che la logica era una propedeutica per le
scienze, era un linguaggio introduttorio, era l'organon, cioè lo strumento che serviva per trattare delle tesi.
C'era stato un passo avanti naturalmente con Crisippo, che aveva ritenuto che la logica non era solo
propedeutica, ma era parte delle scienze, era una delle scienze, ma adesso con Frege effettivamente se fosse
riuscito a ridurre l'intera aritmetica alla logica, allora la logica sarebbe diventata la Scienza, tutto il resto
sarebbe stato una riformulazione della logica. Quindi vedete che questo argomento, siamo partiti agli inizi
parlando di paradossi e di piccole cose, adesso addirittura nell’800, alla fine dell'800, diventava il nucleo
centrale di tutta la scienza. Vediamo che cosa Frege cercò di fare e fin dove riuscì ad arrivare. Anzitutto
Frege capì che era possibile dare delle definizioni logiche di numero: per esempio, che cos'è lo zero?
Definizioni logiche di numeri
Lo zero è praticamente qualche cosa che non ha niente, cioè è il
¾ 0 = insieme vuoto
numero di un insieme che non ha nessun oggetto dentro, cioè un
¾ 1 = insieme che contiene
cestino vuoto per esempio; quante uova ci sono in un cestino
L’insieme vuoto
vuoto, non ce ne nessuna. Ed ecco che allora l'idea fondamentale
¾ …….
di Frege fu quella di identificare fra di loro un cestino vuoto o
meglio in termini matematici, un insieme vuoto e il numero zero. Il numero 1 che cosa sarebbe? Beh, deve
essere un cestino dentro il quale c'è qualcosa. Ora però, se si siamo partiti da un cestino vuoto e l'abbiamo
identificato con lo zero, allora basta mettere dentro un cestino un cestino vuoto, ed ecco che abbiamo
qualche cosa che possiamo identificare con l'uno; quindi c'è una differenza tra l’insieme vuoto e l’insieme
che contiene come suo unico elemento un insieme vuoto, uno corrisponda allo zero, l'altro corrisponde
all'uno. Per fare un esempio che tutti forse possono capire, anche se non sono matematici di natura o di
elezione, pensiamo ai conti bancari per esempio. Insieme vuoto significa non avere un conto bancario, un
insieme che contiene in insieme vuoto significa avere un conto bancario che non ha dei soldi dentro ed è una
cosa molto diversa, un conto è non aver nessun conto e un conto è avere un conto bancario che ha dentro
nessun conto, quindi questa è la differenza fra lo zero e l'uno. E continuando a mettere cestini vuoti uno
dentro l'altro, praticamente Frege riuscì a dare definizione di tutti i numeri interi. Sembrava fatto, la frittata
sembrava fatta, per l’appunto si riusciva a formulare l'intera aritmetica basandosi soltanto sul concetto di
insieme, che ovviamente è un concetto logico e per questo Frege poteva sostenere di aver ridotto l'aritmetica
83
alla logica, alla teoria degli insiemi. Che cosa successe in seguito? Beh, a questo punto Frege poteva pensare
di aver finito il suo lavoro introduttivo della riduzione dell'intera matematica alla logica, poteva pensare di
rivolgersi a scrivere il suo grande lavoro, la sua grande opera. Questa sua grande opera decise di chiamarla
3. Principi dell’aritmetica (1893-1903)
“Principi dell'aritmetica”. Come ho detto, tutti sapevano
Teoria ingenua degli insiemi
all'epoca che l'aritmetica ormai era il fondamento della
matematica, perché l'analisi era stata ridotta ad essa, la geometria, tra l’altro non l’ho detto prima, anch’essa
era già stata ridotta all'analisi da Cartesio, perché la geometria cartesiana era proprio questo, sostituire i punti
con le coordinate, cioè con due numeri reali, sostituire le linee con delle equazioni lineari e così via. Quindi
Cartesio aveva ridotto la geometria all'analisi, Cantor e Dedekind avevano ridotto l'analisi all'aritmetica ed
ecco che allora, l'ultimo passo in questo tentativo di riduzione, era appunto quello che cercava di fare Frege,
cioè ridurre l'aritmetica alla logica. Frege pensò di averlo fatto con quelle definizioni che vi ho citato poco
prima dei numeri e allora nei “ principi dell'aritmetica”, un titolo modesto, che in realtà stava a significare i
principi di tutta la matematica e dunque di tutta la scienza, cercò di costruire i fondamenti della teoria degli
insiemi. Ricordate il numero 0 era insieme vuoto, il numero 1 era insieme che conteneva l’insieme vuoto e
così via, quindi bisognava fondare questa volta non più l'aritmetica, bensì la teoria degli insiemi. Benissimo,
qual è il fondamento che Frege pose alla teoria degli insiemi? Due soli assiomi, molto semplice, li abbiamo
una volta citati un po' di corsa, adesso cerchiamo di vederli più da vicino.
¾ Estensionalità
Il primo assioma si chiamava assioma di estensionalità, cioè due
Due insiemi sono uguali
insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi, cioè due cestini
se hanno gli stessi elementi
sono praticamente intercambiabili, se voi andate a comprarli, se
¾ Comprensione
dentro hanno gli stessi oggetti, questa è l'idea fondamentale.
Ogni proprietà di insiemi
Detto in termini filosofici, questa è una formulazione del famoso
determina un insieme
principio di identità degli indiscernibili, che aveva già formulato
Leibniz, tanto per cambiare, anche lui uno dei grandi precursori di questa linea di pensiero. L'identità degli
indiscernibili significa che due cose che non si riescono a distinguere sono praticamente la stessa cosa. Ora
due cestini, è chiaro che nel mondo fisico si riescono a distinguere, perché anche due cestini che abbiano lo
stesso numero di uova dentro, insomma avranno delle differenze in altre cose, ma nel caso della matematica,
quando si parla di insiemi, ormai siamo arrivati al livello delle idee, se abbiamo due insiemi che hanno
esattamente gli stessi elementi, da un di vista logico sono la stessa cosa e il principio di estensionalità cattura
precisamente questa idea.
Il secondo principio, invece molto più importante, è il cosiddetto principio di comprensione. Che cosa
corrispondono gli insieme? Beh, ricordatevi, Frege stava cercando di fare una fondazione logica dell'intera
matematica e allora le proprietà di insiemi determinano gli insiemi, e allora che cosa sono gli insiemi.? Sono
semplicemente collezioni di oggetti, ma che sono definiti da proprietà ed ecco che con questo principio di
comprensione Frege metteva insieme da una parte gli insiemi e dall'altra parte le proprietà, cioè da una parte
la teoria degli insiemi matematica e d'altra parte la teoria logica delle proprietà, cioè il linguaggio e così via.
E in questo modo basandosi su questi due assiomi Frege riuscì effettivamente nel primo volume e poi anche
nel secondo che aveva già molto avanzato verso la fine dell'800 e inzi dell’900, riuscì a costruire o a
ricostruire l'intera aritmetica, cioè quelle idee intuitive a cui avevo accennato prima, cioè le definizioni di 0 e
1 e così via, ma poi anche tutte le proprietà caratteristiche dei numeri interi, Frege riuscì a derivarle da
questi due soli assiomi. Ed ecco che allora, aveva coronato non soltanto il suo sogno, ma addirittura il sogno
di Leibniz, l'idea di riuscire a costruire un linguaggio perfetto per la matematica, sufficientemente generale e
di riuscire a basare su questo linguaggio, su questo fondamento, l'intera matematica. Però succede un
patatrac, cioè nel 1902, ecco che arriva questo signore, questo Lord inglese, stessa nazionalità di Winston
Churchill che rivendica questa volta il possesso della logica
all'Inghilterra e Russell nel 1902, dunque l'anno prima che esca
il secondo e ultimo volume dell'opera di Frege, scopre quello
che viene chiamato “il paradosso di Russell”. Guardate la sua aria
soddisfatta, anche un po' sorniona, lui mandò nel 1902, era un
giovane ragazzo all'epoca, aveva una trentina d'anni, forse 25-30
anni, mandò una lettera a Frege dicendogli: caro signor Frege, ho
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letto con molto interesse il suo primo volume, l'opera della sua vita, però mi sono accorto che sulla base dei
suoi principi è possibile dedurre questa contraddizione e la contraddizione è molto semplice, cioè “l’insieme
degli insiemi che non appartengono a se stessi è contraddittorio”. Come mai? Beh, ci sono soltanto due
possibilità: considerate l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, anzitutto che cosa vuol
dire per un insieme appartenere a se stessi? Russell faceva l’esempio delle tazzine da tè; lui era un inglese,
ovviamente ogni giorno alle cinque della sera si prendeva una tazzina da tè, l’insieme delle tazzine da tè
ovviamente non è un insieme che appartiene a se stesso, perché non è una tazzina da tè, tante tazzine messe
insieme non formano una tazzina, però l’insieme delle idee astratte, per esempio, è a sua volta un'idea
astratta, quindi è un insieme che appartiene a se stesso. Sembrerebbe che ogni insieme deve o appartenere o
non appartenere a se stesso. L’insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene o no a se
stesso? Supponiamo di sì, supponiamo che appartenga a se stesso: beh, allora deve essere uno degli insiemi
che non appartengono a se stessi e questo non è possibile. Supponiamo che non appartenga a se stesso, allora
non può essere uno degli insiemi che non appartengono a se stessi, dunque deve appartenere a se stesso. Uno
di quei rompicapi molto simili ai paradossi, che già avevano trovato i greci, molto simile al paradosso del
mentitore, di cui tra l'altro è una delle riformulazioni, che però mette in crisi completa l'intero armamentario
che Frege aveva sviluppato. Frege naturalmente entra in crisi, scrive nell'appendice al secondo volume che
ormai era già finito “ho ricevuto l'altro giorno una lettera del signor Russell che mi ha messo in crisi” e Frege
non riuscì più a uscire da questo patatrac, diciamo della sua carriera. Oggi che cosa succede? Frege non
trovò la soluzione di questo paradosso, Russell propose delle risoluzioni di cui parleremo la prossima volta,
perché è bene che a Russell dedichiamo un intera lezione e vedremo anche come lui cercò di risolvere il suo
paradosso. Oggi però le soluzione proposte da Russell, non sono quelle sono accettate dai matematici o che
sono diventate di moda fra i matematici.
Soluzione
La soluzione dei problemi di Frege è quella che ho scritto qui nella
Classi/insiemi
slide, cioè la soluzione è quella di dividere gli insiemi in due grandi
Russell ha definito una classe
famiglie, una si chiama ancora “insiemi”, ma l'altra si chiama “classi”
propria, non un insieme
L'idea è quella che il “principio di comprensione” in realtà non
definisce degli insiemi, ma definisce delle classi, quindi quando si parla di proprietà, non si sta parlando di
insiemi, ma si sta parlando di una cosa più generale che si chiamano “classi” e allora ciò che Russell ha
definito “l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi”, in realtà quello non è un insieme, è
la classe di insiemi che non appartengono a se stessi e in questo il paradosso scompare; sembrerebbe essere
una soluzione molto elegante, c'è un unico problema ed è che questa soluzione non risolve molto, perché nel
momento in cui noi riformuliamo il principio di comprensione, dicendo che “ogni proprietà di insiemi
determina una classe”, ecco che qui allora arrivano i problemi, perchè se le proprietà determinano delle
Comprensione
classi e come facciamo a sapere quando abbiamo di fronte un insieme?
ogni proprietà di insiemi
Beh, dobbiamo dirlo espressamente, possiamo farlo soltanto a partire
da proprietà di insiemi, ma dobbiamo avere qualche insieme per poter
determina una classe
Problema
parlare di proprietà di insiemi e non possiamo certamente ottenerli dal
come costruire insiemi?
“principio di comprensione” perché “il principio di comprensione”
determina soltanto delle classi. Questo è un vero problema e in particolare il problema è quello che ha scritto
qua: come facciamo a costruire degli insiemi? Beh, vediamo qual’è il tipo di soluzioni che oggi è stato
accettato. E’ una soluzione che Russell definì semplicemente, che ha lo stesso vantaggio del furto nei
confronti del lavoro onesto. Ogni volta che a noi piacerebbe di dire che qualche cosa è un insieme, lo
diciamo per definizione, per assioma. Ora questo non era certamente ciò che pensava Frege di fare, non è
certamente ciò che pensava Russell di fare, loro speravano di fare
una fondazione della teoria degli insiemi da un p.di v. logico, se poi
invece ogni volta che abbiamo di fronte un insieme lo dobbiamo dire
che questo è un insieme, semplicemente perché abbiamo descritto un
assioma che lo dice oppure lo è perché si riferisce ad altri insiemi che
abbiamo già costruito, questa è una soluzione molto poco
soddisfacente. Comunque vediamo questa soluzione, che è quella che
è stata proposta da questi due signori Zermelo nel 1904 e Fraenkel
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nel 1921 e oggi infatti la teoria degli insiemi si chiama non più teoria di Frege ingenua, che quindi è ancora
nominata, ma si chiama teoria di Zermelo e Fraenkel. Gli assiomi
che Fraenkel e Zermelo hanno
proposto sono i seguenti praticamente: anzitutto non si può nemmeno usare il principio di comprensione,
pensate per dire che c'è un insieme vuoto, cioè un insieme i cui elementi soddisfano una proprietà
contraddittoria, perché c’è una classe vuota, basta prendere una qualunque proprietà contraddittoria, tipo
“essere diversi da se stessi” ed è chiaro che nessuna cosa è diversa da se stessi e quindi non c’è nessun
oggetto che soddisfa quella proprietà, ma il principio di comprensione dice che “l’insieme degli oggetti che
soddisfano una proprietà contraddittoria formano non un insieme”, ma una classe per poter
¾ Insieme vuoto
dire che l’insieme vuoto è un insieme c'è bisogno di un assioma
¾ Operazioni su insiemi
particolare. Poi bisogna fare delle operazioni sugli insiemi, le
¾ Insieme infinito
operazioni sono simili, si ha che l’insieme vuoto corrisponde al
¾ ………………..
numero 0, allora sugli insiemi si possono fare delle operazioni
¾ Insieme inaccessibile
che corrispondono alle operazioni che si fanno su numeri, cioè
¾ Grandi cardinali
la somma, il prodotto, l'elevamento a potenza e così via. Questi
¾ ………………….
si pongono per assiomi. C'è anche il bisogno in matematica, lo
abbiamo visto prima nella definizione di numero reale, di parlare di insiemi infiniti, perché un numero reale
che non sia razionale ha uno sviluppo infinito di decimali, allora c'è bisogno di un assioma specifico che ci
dica che esiste un insieme infinito e così via, poi c’è bisogno in matematica, oggi soprattutto, di insiemi via
via più grandi, ma gli assiomi precedenti non permettono di dimostrare l’esistenza di questi insiemi via via
più grandi e dunque c’è bisogno di una cornucopia, di una lista enorme di proprietà di insiemi, di assiomi che
bisogna mettere giù piano piano . Questo chiaramente è un po’ la fine del sogno, cioè il sogno era bello
quando lo si sognava alla maniera di Frege, cioè fondare l’aritmetica sulla logica, sulla teoria degli insiemi e
fondare la teoria degli insiemi su due sole proprietà, su due soli assiomi che erano da un punto di vista logico
perfettamente naturali, cioè da una parte “l’assioma di estensionalità”, cioè due insiemi sono uguali se hanno
gli stessi elementi e dall’altro “l’assioma di comprensione”, cioè gli insiemi sono determinati da proprietà
che dicono quali sono le proprietà dei loro agenti. Nel momento in cui crolla questa fondazione, c’è bisogno
di fare queste liste, che tra l’altro, vedete, sono liste molto lunghe, ci sono i puntini che stanno ad indicare
che la lista degli assiomi di Zermelo e Fraenkel non è finita tra l’altro, non è finita nel senso che noi non
l’abbiamo finita, ma nel senso che è infinita, ci sono infiniti assiomi. Come se non bastasse c’è ancora un
ulteriore problema che è stato scoperto da questo signore, di cui abbiamo già parlato più volte e con cui
arriveremo a concludere questo percorso nella logica moderna, cioè Kurt Goedel.
Goedel (1931)
Nel 1931Goedel dimostra o meglio una delle conseguenze del suo più famoso
nessuna lista
teorema, che si chiama “teorema di completezza”, è proprio che nessuna lista
è esaustiva
di proprietà o di assiomi per gli insiemi può essere esaustiva. Quindi, come se
non bastasse, non soltanto la teoria degli insiemi non si può fondare su quei due belli assiomi che aveva
trovato Frege, cioè l’estensionalità e la comprensione, ma non si può nemmeno fondare sulla lista che hanno
stabilito Zermelo-Fraenhel, che è già una lista infinita, ma non c'è nessuna lista di assiomi che permetta di
dire quale sono tutte le proprietà degli insiemi. Questo è veramente un pochettino la fine del sogno di Frege,
ma anche la fine del sogno di Leibniz, cioè il tentativo di fare, non soltanto una lingua, perché questo Frege
riuscì a farlo benissimo nella ideografia, cioè la lingua formale in cui esprimere i pensieri puri della
matematica. Il linguaggio di Frege, non direttamente quello che lui ha inventato come simboli, perchè quelli
sono stati poi usati e adottati in maniera diversa e i simboli che oggi si adottano sono quelli di Peano, di cui
parleremo poi in seguito, dicevo il linguaggio c'è, ma la fondazione logica della matematica, questa è stata
sognata, ma non è stata realizzata da Frege, poi soprattutto Goedel ha dimostrato che non potrà essere
realizzata da nessun altro. Quindi questa è la conclusione in qualche modo di un sogno ed è anche la
conclusione della lezione di oggi.
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LEZIONE 11: Un Nobeluomo paradossale
Benvenuti a una delle lezioni sul personaggio forse più interessante della logica matematica, non dico il più
importante, anche se certamente lo è stato per un certo periodo, perlomeno alla fine dell'800 e agli inizi del
‘900, ma la sua vita è stata una vita veramente avventurosa, una vita lunghissima tra l'altro, che è durata 98
anni, quindi oggi ci divertiremo a vedere quante cose è riuscito a fare questo signore nell'arco di quasi un
secolo. Questo signore di cui sto parlando è Bertrand Russell, qualcuno di voi avrà già sentito il suo nome,
anzi in realtà, io credo che fra tutti i logici di cui abbiamo parlato, forse è quello che più noto al grande
pubblico, anche per le tante cose che ha fatto al di là e al lato della logica. Quindi, oggi parleremo un
pochino di questa sua vita. Allora la lezione l'ho intitolata un nobile paradossale per due motivi, perché
Russell è famoso nel campo della logica matematica per il suo paradosso, il cosiddetto paradosso di Russell,
di cui abbiamo già accennato una volta, ma che oggi rivedremo brevemente e poi è famoso al grande
pubblico, perché ha ricevuto il premio Nobel. Voi vi chiederete come può un matematico prendere un
premio Nobel, lo vedremo tra un pochettino, quando arriviamo al momento del premio Nobel. Per ora
invece, incominciamo per lo meno di definire quali sono gli estremi di questa lunga vita. Come ho detto
Bertrand Russell è nato nel 1872 ed è morto, pensate voi, nel 1970; si pensava quasi fosse addirittura
Russell
immortale, non moriva più, continuava a scrivere libri, eccetera.
(1872-1970)
Veramente di libri ne ha scritti tantissimi, è stato un autore prolifico
¾ 100 libri
da morire, qui ci sono, diciamo così, le cifre della sua vita, pensate
¾ 4 mogli
100 libri ha scritto; naturalmente la anche sua vita ha avuto non
¾ 1 premio Nobel
dico 100 mogli, questo sarebbe stato esagerato, comunque un bel
numero di mogli, 4 mogli e per l'appunto, come ho detto, un premio Nobel. Si dice che sia la persona che ha
letto più libri nella storia dell'umanità, qualcuno arriva a sostenere addirittura che abbia letto 100.000 libri, il
che mi sembra francamente una cifra spaventosa, comunque certamente nell'ordine di migliaia. Pensate, già
soltanto, al lavoro che ci vuole per prescriverne 100 di libri. Ora questi 100 libri non erano i libri tascabili,
che vengono oggi prodotti uno dietro l'altro con gran facilità, qualcuno di questi libri era un tomone enorme
e uno di questi, il famoso “Principia matematica” in tre volumi, che conta soltanto come un libro, pensate
voi, tre volumi di formule molto complicate delle quale parleremo tra un momento. Quindi è un po' tra questi
100 libri che dovremmo andare a cercare quali sono le cose interessanti che Russell ha lasciato in eredità,
diciamo così, alla logica matematica; ce ne sono tante, forse meno di quelle che lo credeva, perché
certamente lui era un Lord inglese, ma era anche una persona, credo, molto piena di sé, certamente ha parlato
di se stesso, a lungo ha raccontato gli episodi della sua vita e molte delle cose che sappiamo le sappiamo
proprio perché lui ce le ha dette, ripetute e così via. In particolare due dei libri che lui ha scritto, sono due
libri importanti, che consiglio perché sono veramente una specie di introduzione al suo pensiero, oltre che
agli avvenimenti di questa vita. Il primo libro è la famosa autobiografia di Bertrand Russell, che è stata
scritta nell'arco di un certo numero di anni, dal 1956 al 1969; un'autobiografia in tre volumi, dei quali
¾ Autobiografia (1956-1969)
parleremo brevemente tra un momento e poi un secondo
¾ La mia vita in filosofia (1959)
libro, una aggiunta diciamo così, che si chiama “la mia
vita in filosofia”. Questo è uscito nel ‘59 dopo che era già uscito il primo volume della autobiografia, cioè il
primo volume che raccontava gli episodi della vita, Russell ha pensato di dover raccontare, ormai era già il
1960, aveva quasi 90 anni, quali erano gli episodi più significativi della sua vita intellettuale, perché è questo
che veramente l’ha caratterizzato ed è questo il modo in cui a lui piaceva caratterizzarlo, come una grande
mente effettivamente, come qualcuno che aveva cambiato la storia della filosofia. Ed ecco che questo libro,
la mia vita in filosofia, forse è il più rappresentativo, quello in cui lui racconta effettivamente le sue scoperte
dal paradosso, quand'era giovane, fino pian piano, a tutte varie fasi della sua filosofia. Ce ne sono state
tantissime di fase della sua filosofia, si diceva all'epoca, che più o meno Bertrand Russell, cambiasse idea
praticamente fiilosofia una volta ogni cinque anni e poiché è vissuto così a lungo effettivamente ha avuto
tempo di cambiare idea una dozzina di volte per lo meno e ogni volta si interessava di cose nuove, come
vedremo quando citeremo perlomeno i titoli delle sue opere più significative, cambiava argomento, si è
interessato non soltanto di logica, non soltanto di matematica, ma di letteratura, di politica e così via, quindi
veramente un vulcano perlomeno di attività, quindi questo è un libro che potete certamente leggere con
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profitto. Per quanto riguarda l'autobiografia, beh, il profitto ci sarebbe, se voi avete la pazienza ovviamente
di andar leggervi questi tre volumi, che sono tre volumi molto autocelebrativi e che però raccontano
effettivamente un sacco di aneddoti, un sacco di cose. Cominciano a vedere il primo volume, molto
modestamente i volumi sono sottotitolati da lui, non da me, parlando di personaggi che hanno avuto la
fortuna, secondo Lord Russell, di vivere durante la sua vita, cioè il primo volume è un volume che va dalla
regina Vittoria a Lenin, cioè dal 1872, l'anno della sua nascita, al 1914, cioè l'inizio della prima guerra
mondiale. Come mai la Regina Vittoria e Lenin? Ebbene Russell sceglieva questi personaggi, non a caso,
come sottotitolo della sua autobiografia, lui ne ha conosciuti moltissimi.Era come vi ho detto un Lord e come
voi sapete il titolo di Lord è un titolo ereditario, quindi ovviamente anche la sua famiglia era una famiglia
nobile, che conosceva primi ministri, eccetera, lui si ricorda di aver
giocato o perlomeno di essere stato bambino tenuto sulle gambe,
fatto giocare dal primo ministro Disraeli e così via e la regina
Vittoria era per l’appunto una di queste persone che l'hanno
conosciuto da bambino. Quanto a Lenin, che si potrebbe pensare
fosse un personaggio completamente l'antitesi di Lord Russell, cioè
il bolscevico che ha fatto la rivoluzione russa e così via, anche
Lenin, Russell ha conosciuto, lo ha conosciuto andandolo a trovare
in Unione sovietica dopo la rivoluzione, cioè nel 1920 e Lenin non
gli fece una grande impressione, era ovvio anche che non glielo potesse fare, Russell arrivò in Unione
Sovietica, era il 1920, nel pieno della guerra civile, Lenin non aveva molto tempo ovviamente, perché
doveva dirigere le operazioni di questa guerra enorme, che metteva in forse l'esistenza dello Stato sovietico
con tutto quello che aveva fatto per anni, che aveva preparato per anni e Russell arrivò nel 1920, nell'inverno
russo a raccontare al Lenin il suo paradosso sulla teoria di insiemi, è chiaro che Lenin non aveva molta
voglia di starlo a sentire e questo fece una pessima impressione a Russell che scrisse un libro sui bolscevichi
“teoria e pratica del bolscevismo”; questo è un libro che all'epoca fece abbastanza sensazione, perché Russell
si professava socialista e vedremo che molte delle cose che fece, effettivamente andarono in questa
direzione, si professava socialista, ma quando andò a vedere le realizzazioni, diciamo così del socialismo
reale, di quello che poi sarebbe stato chiamato il socialismo reale, non fu soddisfatto, tornò indietro e scrisse
appunto questo libro che è diventato un po' un classico, perché Russell era uno dei primi personaggi di
spicco, personaggi pubblici, che potevano accedere, potevano andare oltre le linee, andare a curiosare nella
rivoluzione russa e vedere che cosa stava effettivamente succedeva. Questa è la prima parte della sua vita e
nel 1914 Russell aveva appena terminato la sua grande opera
matematica, i “Principia della matematica”, a cui avevo già
accennato prima e di cui parleremo più a lungo in seguito. Il
secondo volume della sua biografia è un volume che si racchiude
tra il 1914 il 1944, quindi praticamente tra l'inizio della prima
guerra mondiale e la fine della seconda guerra mondiale, quindi il
periodo tra le due guerre. I due personaggi che Russell ha scelto
come sottotitolo del suo secondo volume di autobiografia sono
Freud e Einstein. Einstein l'ha conosciuto ovviamente abbastanza
bene in America, perchè Russell ha vissuto parecchio negli Stati Uniti, appunto in questi anni, negli anni
della guerra, perché se ne andò negli Stati Uniti verso il ‘39, quando ormai la guerra poi scoppio e non poté
più tornare indietro; come sapete tutti a quell'epoca non c'erano aerei, si viaggiava per nave e l'oceano era
diventato ormai impossibile da attraversare, quindi Russell si fermò in America, ebbe alcune traversie molto
interessanti di cui vi parlerò tra breve. Comunque uno degli episodi della sua vita americana fu appunto il
fatto che lui andava regolarmente a Princeton, dove si trovava Einstein e dove si trovava anche Goedel di
cui noi abbiamo già parlato più volte, che era il più grande logico del secolo e questo a Russell non poteva
far piacere. Russell non capì mai durante la sua vita, quali furono i risultati dimostrati da Goedel, anzi più
volte scrisse sui teoremi di Goedel in una maniera che tradiva questa incomprensione, era chiaro che non
aveva capito molto di quello che stava succedendo nella logica dopo la sua grande opera, dopo i Principia
matematica. Per quanto riguarda Freud, invece, Russell si interessò anche di psicoanalisi, di psicologia e così
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via e vedremo in particolare almeno un titolo in seguito, perché scrisse anche lui libri su questo argomento.
Il terzo volume invece della sua autobiografia è il volume che va praticamente dal ‘44 a quasi la morte,
perché nel morì nel 1970. E’ chiaro che le autobiografia sono sempre incomplete, perchè ormai scrive
l'ultima parte della sua vita, cioè la morte e quello che succede subito dopo o quasi finì di scriverlo quando
ormai aveva più che novant’anni, novantacinquenne e lasciò in eredità per l’appunto quasi tutto il racconto
della sua vita.
I personaggi con cui si confrontò in questo terzo segmento della sua
vita, che scelse come sottotitolo, sono Churchill e Mao. Churchill
ovviamente era il primo ministro inglese durante la guerra, ma non a
caso, perché il premio Nobel a cui ho accennato prima, che Russell
prese, ebbene lo prese soffiandolo proprio a Churchill, erano loro i
due ultimi candidati del 1950 e quando si dovete arrivare alla
conclusione finale, quando si dovete scegliere chi era il vincitore tra
l'ex primo ministro Winston Churchill e il filosofo logico,
matematico, letterato politico e così via, Bertrand Russell, il comitato di Stoccolma scelse Bertrand Russell,
quindi in qualche modo, ci fu anche una battaglia diretta tra Churchill e Russell. Per quanto riguarda invece
Mao, la situazione è un po' più complicata, perché effettivamente nell'ultima parte della sua vita, cioè negli
anni 50-60 Russell è ormai vecchio, evidentemente non si poteva più pretendere che facesse ricerche
filosofiche o matematiche, si era dedicato all'attività politica e in particolare all'attività pacifista, cioè cercava
di fare tutto quello che era possibile per la pace nel mondo, anzi io penso che. tutto sommato, poiché c'era
anche una certa parte di carattere in tutto questo, sperava probabilmente di prendere un secondo premio
Nobel, oltre quello che prese nel 1950, questa volta per la pace. Non ci riuscì, però effettivamente lasciò
anche un segno in questa parte della sua attività e vedremo poi meglio in seguito, in che modo ancora oggi si
trasmette questa sua eredità. Quindi a brevi linee, a grandi linee è stata questa sua vita di quasi un secolo,
testimone di un secolo di storia, vista attraverso suoi gli occhi e quindi certamente per questo vi consiglio di
leggere soprattutto il primo libroni cui ho detto, “la mia vita in filosofia”, ma anche di sfogliare, per lo
meno, questi tre volumi della sua autobiografia, che tra l'altro sono scritti in maniera interessante, perché
metà del libro è il racconto diretto che Russell fa di ciò che gli successe e di ciò che lui poté testimoniare, ma
la seconda parte, cioè la seconda parte di ogni capitolo è in realtà una collezione di lettere, che lui mandò e
che lui ricevette da personaggi famosi, i più svariati, quindi è anche una testimonianza diretta di ciò che fu la
vita sociale intorno a lui. Personaggi che non erano soltanto logici, anzi quasi nessuno di quelli che vengono
considerati e trattati in questi tre volumi sono personaggi matematici, ci sono filosofi, ci sono politici, ci
sono personaggi di quello che oggi chiameremo il jet set, che allora non esisteva ovviamente, perché non
c'era il jet set, ma era una cosa analoga. Bene, andiamo a vedere più da vicino qual’è stata la vita intellettuale
di Russell e quali sono stati i suoi contributi alla logica matematica e più in generale alla storia del pensiero.
Ebbene la vita di Russell, in particolare dal punto di vista intellettuale, nasce nel 1900. Nel 1900 ci fu
un famoso Congresso di Parigi, che qui è rappresentato con un
dipinto di Delaunay “la torre Eiffel”. Ebbene nel 1900 questo
congresso lasciò il segno, perché prima ci fu un congresso di
filosofia e poi subito dopo un congresso di matematica e di
questo parleremo quando arriveremo alla lezione dedicata a
Hilbert, che propose proprio in questo Congresso 23 problemi
che sarebbero diventati in qualche modo il filone di ricerca della
prima parte del ‘900 nella matematica. Invece la settimana prima
ci fu questo Congresso di filosofia a cui Russell, che era un
giovane studente all'epoca o per lo meno un giovane ricercatore,
oggi diremmo, ventottenne, andò, partecipò e fece questo
famoso incontro con Peano., famoso perché lui ce lo raccontò più volte. Peano è questo signore, Giuseppe
Peano, un matematico, un matematico torinese anche lui un bel tipo, una persona abbastanza strana e in
particolare Peano era un po’ una specie di secondo Leibniz. Fu un tentativo quello di Peano di ideare una
lingua perfetta per la matematica, che era proprio quello che cercavano di fare in quell'epoca, vi ricorderete
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dalle scorse lezioni, prima Boole, poi Frege e anche Russell per conto suo, indipendentemente era arrivato a
progettare una lingua di questo genere. Quando incontrò Peano si accorse, disse lui, che in tutte le
discussione Peano si alzava, era sempre più preciso di tutti gli altri, parlava in una maniera assolutamente
forbita, senza fare nessun errore, in maniera che rispecchiava, disse Russell, quasi una chiarezza di pensiero
attraverso le sue parole. Allora Russell andò da Peano, gli chiese tutti i suoi lavori, Peano per combinazione
aveva una valigia piena di reprint, diremo oggi, di suoi lavori, li diede a Russell, Russell non aspettò
nemmeno che cominciasse il congresso di matematica, se ne andò a casa disse e per due mesi si mise a
studiare questa logica di Peano, questi risultati di Peano e fu colui che poi li propagandò nel mondo intero,
perché Russell effettivamente era un grande propagandista di se stesso, ma anche delle idee degli altri, in
particolare di Peano e di Frege. Quindi questo fu il punto di inizio, 1900 scocca l'inizio del secolo e scocca
anche l'inizio della vita intellettuale di Bertrand Russell. Vediamo che cosa succede in seguito. Poco tempo
dopo nel 1902, Russell scopre studiando non soltanto le opere di Peano, ma ormai già anche quelle di
Frege, il suo famoso paradosso del quale abbiamo già parlato una volta, ma possiamo certamente
riprenderlo, rivederlo brevemente da vicino, cioè scopre che “l’insieme degli insiemi che non appartengono
a se stessi e contraddittorio”. Ricordate quando abbiamo parlato di Frege, abbiamo già introdotto questo
Paradosso di Russell(1902)
fatto, il fatto cioè che verso la fine dell'800, si cercava di
l’insieme degli insiemi che
mettere in piedi una fondazione logica della matematica,
non appartengono a se stessi
per cercare di ridurre la matematica alla logica e il modo
è contraddittorio
in cui Frege aveva cercato di fare questa riduzione era,
appunto, quello di ridurla a quella che oggi viene chiamata “la teoria degli insiemi”, gli insiemi che sono
praticamente le estensioni dei predicati. E allora Russell scopre che “l’insieme degli insiemi che non
appartengono a se stessi” era problematico, come mai? Ma perché i casi sembrerebbero essere soltanto due,
cioè questo insieme o appartiene a se stesso oppure non appartiene a se stesso. È possibile che appartenga a
se stesso? Beh no, perché se appartiene a se stesso, allora non può essere un elemento di se stesso, perché gli
elementi che stanno dentro questo insieme sono proprio quelli che non appartengono a se stessi. Idem per il
contrario, cioè questa è una versione, voi ormai l'avrete capito, è semplicemente una riformulazione, un
travestimento del paradosso del mentitore o di tutte le sue varianti, però la cosa importante è che, mentre il
paradosso del mentitore si riferiva al linguaggio naturale e quindi non dava molto fastidio ai matematici o
anche filosofi, questo invece, il paradosso di Russell, si riferisce alla teoria degli insiemi che, appunto
abbiamo detto doveva essere il fondamento della matematica moderna. Allora questo diventa più
problematico, quindi una riformulazione però importante, sostanziale. Con questo paradosso che
probabilmente è l'unico vero contributo che Russell diede alla logica matematica, però un contributo
importante, scosse le fondamenti di questa teoria degli insiemi, mise in crisi il progetto di Frege e vi
ricorderete che Frege praticamente finì il suo secondo volume della sua grande opera “I fondamenti della
matematica”, dicendo che non c'è niente di così più insoddisfacente purtroppo, di più triste per un autore
quando arriva alla fine della sua opera, di ricevere una lettera come quella che gli aveva mandato all’epoca il
giovane Bertrand Russell che scopre, che gli fa vedere che quest'opera è praticamente fondata sulla sabbia,
cioè che le fondamenta non stanno in piedi. Ebbene questo è il contributo di Russell, per l’appunto, ai
fondamenti della matematica. Cosa successe subito dopo? L'anno dopo, il 1903, Russell pubblica la sua
prima opera sostanziosa, è un'opera che ancora oggi è tradotta in italiano, che si continua a vendere, perché
effettivamente scritta nel linguaggio magistrale che Russell usava. Russell era un gran parlatore, era un
grande scrittore, aveva il dono della scrittura, un po' come Mozart aveva il dono della musica, scriveva, ci
sono i suoi manoscritti, perché all'epoca ovviamente non si scriveva con il computer, ci sono questi
manoscritti quasi senza cancellature, probabilmente era quasi come un flusso di coscienza, le cose venivano
fuori dalla sua mente e passavano direttamente attraverso il braccio e poi sulla carta. Quindi questo pensiero
molto chiaro e questo libro “il principio della matematica” è effettivamente una scrittura molto agevole,
I principi della matematica
molto chiara, di quelli che dovevano essere i fondamenti
(1902)
logici della matematica, perché Russell, come ho detto
Matematica = logica
prima, era arrivato indipendentemente sia da Frege che da
Peano a concepire questa idea, cioè l'idea di ridurre tutta la matematica alla sola logica, cioè di fare della
logica il vero fondamento della matematica, che poi è anche quello di cui abbiamo parlato praticamente
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nelle scorse lezioni, cioè l'idea che la logica sia non soltanto una parte delle scienze, una parte della
matematica, ma che sia praticamente la parte più importante perché su di essa in realtà si può porre tutto
l’insieme del resto della matematica. Ebbene, quindi questa equazione che ho scritto “matematica = logica”
è un po' la caratteristica di questo libro, la caratteristica del pensiero, del progetto di Russell, ma anche
quella di Peano e di Frege che Russell poi confessò di non avere conosciuto praticamente fino alla fine, cioè
Russell aveva cominciato questo libro ovviamente molti anni prima, quando scoprì i lavori di Peano, il
linguaggio di Peano, però i lavori di Frege li conobbe proprio molto alla fine e in un un'appendice a questo
suo libro parla per l’appunto di ciò che è la filosofia e quali sono i risultati della logica di Frege, dicendo mi
dispiace di esserne venuto a conoscenza troppo tardi per poterli inglobare all'interno del testo; di nuovo non
c'erano i computer, che oggi permettono di fare queste cose, di scrivere testi in maniera molto facile,
attualmente all'epoca si poteva soltanto aggiungere un'appendice. Quindi questo è il primo grande lavoro,
che però non fu la pietra definitiva, perché Russell in realtà in questo lavoro poté soltanto parlare del suo
paradosso, il suo paradosso che aveva sì messo in crisi ovviamente il progetto di Frege, ma aveva
ovviamente messo in crisi il progetto di Russell stesso, quindi non era soltanto Frege a doversi preoccupare,
Frege ormai era alla fine della sua carriera e concluse il suo secondo volume dicendo, bah, insomma
qualcun altro troverà la soluzione. Ebbene questo qualcun altro Russell decise doveva essere lui stesso, lui
aveva sollevato il problema, lui doveva risolverlo. Allora incominciò a produrre una serie di articoli in
preparazione di quello che doveva essere poi la soluzione finale, diciamo dei problemi della logica, che sarà
poi questo grande libro “i principia matematica” che uscì in seguito. Ebbene, in questo percorso di
soluzioni dei problemi, uno dei problemi era quello cosiddetto della “denotazione”, cioè Russell non capiva
bene, ma non soltanto lui, tutti gli altri non lo capivano, come potesse essere possibile parlare di cose che in
realtà non esistono, come si poteva dire di una frase in cui si parla di cose che non esistono, sia vera o falsa.
Il famoso articolo sulla denotazione è del 1905. Qui vedete nella slide una fotografia, voi penserete
si sono sbagliati a mettere la fotografia d i un ciclista, tutti l’avrete
riconosciuto, Pantani che vinse il giro di Francia, come mai? Ma no,
questa naturalmente è soltanto una metafora, per la frase di cui Russell
tratta in questo suo famoso articolo sulla denotazione. La frase di cui
Russell vorrebbe sapere il valore di verità, vorrebbe sapere se questa
frase è vera o falsa, è la frase che dice “il Re di Francia è calvo”. Ora il
problema è che all'epoca non c’era nessun Re di Francia e quindi
chiedersi se il re di Francia è calvo oppure no, non poteva essere dal
p.di v. di Russell e anche dal p.di v. del linguaggio naturale, qualche
cosa che non poteva essere né vero e né falso, perché in realtà non c'era
nessuno Re di Francia. Il motivo per cui ho messo appunto qui Pantani è perché è la cosa più vicina, che ci
può avvicinare al re di Francia, in un momento in cui appunto il re di Francia non c'è, è probabilmente il
vincitore del tour de France; oggi lo sport è la vera essenza del nostro mondo, chi vince il campionato di
calcio, chi vince il giro di Francia, il giro d'Italia, è il vero eroe della situazione, il vero Re. Ebbene eccolo
qua, questo sarebbe un re di Francia, per lo meno nel 1998, che in questo caso particolare era calvo, perché
come sapete, Pantani si mette questa bandana per nascondere, diciamo così, una testa un po' pelata. Però con
questo non risolvo ovviamente il problema di Russell; come si fa a risolvere il problema della denotazione in
una frase in cui c’è appunto qualche cosa, si parla di qualche cosa che non esiste? La soluzione di Russell fu
una soluzione tecnica che soddisfa poco ancora oggi. Russell riformula una frase da un p.di v. logico del tipo
“il re di Francia è calvo”, dicendo c'è qualche cosa, che è qualcuno che è sia Re di Francia e allo stesso
tempo è anche calvo. Ed ecco che allora, una frase di questo genere diventa falsa, perché una congiunzione
per essere vera deve esser tale che tutti e due i suoi congiunti sono veri. Ora il primo congiunto sarebbe “c'è
qualche cosa che è Re di Francia” e “non c'è nessun re di Francia”, quindi quella parte è falsa, quindi tutta la
congiunzione è falsa. Dunque questa frase non solo ha un senso, ma ha anche un valore di verità ed è
semplicemente falsa. Questa è la soluzione che in realtà lascia abbastanza il tempo che trova, ma comunque
Russell all'epoca ne fece insomma, ne fece un gran strombazzamento, in qualche modo fu molto soddisfatto.
Ancora più soddisfatto fu della seconda soluzione al suo paradosso, il paradosso di Russell. Il paradosso di
Russell parla di insiemi che appartengono a se stessi, Russell decise che proprio questo era il problema, cioè
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il potersi riferire a se stessi. L'idea di Russell fu di costruire quella che oggi viene chiamata “una teoria dei
tipi logici”. L'articolo in cui fece questo è del 1908, la teoria dei tipi logici è praticamente quello che appunto
si vede qui, una scala, in cui ciascun scalino contiene delle cose che vengono definite riferendosi allo scalino
precedente, ma ogni volta che noi stiamo parlando di cose che stanno su uno di questi scalini, in realtà
stiamo salendo di uno scalino; in particolare, quando noi parliamo di insiemi che appartengono o no a se
stessi, stiamo parlando di cose che dovrebbero, da un lato stare su
uno scalino e dall'altro lato stare anche sul successivo, perché si
stanno riferendo a se stessi. Ebbene, secondo la teoria dei tipi logici
questo non è possibile, perché il linguaggio deve essere stratificato e
quindi per esempio una frase che parli della verità di un'altra frase sta
a un livello superiore, ad uno scalino superiore di quella frase di cui
si sta parlando e allora non ci potrà mai essere nemmeno una frase
che dice di se stessa di essere falsa, quindi questa teoria dei tipi
logici esattamente risolve non soltanto il paradosso di Russell, ma risolve anche per esempio il paradosso del
mentitore che abbiamo già detto che era in realtà una variante il paradosso di Russell, un’altra versione.
Quindi questa è una teoria che fu soddisfacente all'epoca, oggi non la si adotta più, perché complicherebbe
molto le cose, però ha delle applicazioni, per esempio in informatica, nella teoria dei linguaggi di
programmazione, cosiddetti tipati, dove il tipato deriva, per l’appunto, da questa idea di tipo logico; quindi ci
sono state del applicazioni, anche se non quelle che Russell
credeva poi fossero così importanti. Bene, il passo successivo di
Russell, che credeva di aver risolto i problemi che si era posto, a
questo punto fu di scrivere la summa, la grande opera della sua
vita. Questa grande opera si chiama i “Principia matematica”, fu
scritta insieme ad un altro autore, che era questo filosofo, si
chiama Alfred Whitehead, filosofo molto importante, che poi
fece delle cose molto diverse, questo fu un periodo della sua vita
e anche un matematico ovviamente. Questi sono i due grandi
autori, quelli che all'epoca, 1910-13, si pensava fossero un po’ il punto di arrivo finale dell'evoluzione della
logica. Russell stesso, immaginava lui stesso di essere l'erede di Aristotele, pensava di essere ormai il più
grande logico della storia. Ebbene, 1910- 913 sta ad indicare che in realtà, ci furono più volumi dei Principia
mathematica, ce ne furono tre, l'opera era stata progettata come quattro volumi, il quarto non fu mai scritto,
perché dopo un po', magari queste cose seccano e si passa ad altri argomenti; però in realtà, già questi tre
volumi, erano considerati un monumento alla logica. Ma sappiamo tutti, ne abbiamo già parlato altre volte,
che il risultato poi di Goedel, nel 1931, fece vedere che i Principia matematica non potevano essere la
soluzione finale, per un motivo molto semplice, non perché Russel e Whitehead non fossero stati
sufficientemente intelligenti, sufficientemente bravi da trovare questa soluzione finale, ma perché la
soluzione finale dei problemi dei fondamenti della matematica non esiste, cioè i fondamenti della
matematica possono essere un sistema assiomatico, ma qualunque sistema assiomatico è incompleto, non
potrà mai provare tutte le verità che si possono esprimere nel suo linguaggio; quindi questo è un difetto, non
di Russell e Whitehead, non dei Principia matematica, è un difetto di qualunque sistema che venga proposto,
è una limitazione intrinseca del sapere, una limitazione di ciò che noi possiamo conoscere nella matematica.
Ebbene questo fu praticamente quindi la fine della storia, la fine del sogno di provare, di trovare un sistema
universale, un linguaggio universale, che tra l'altro appunto è quello della logica, un sistema universale in cui
ci fossero tutte le verità di cui si poteva parlare. Nel 1918 Russell scrive l'ultimo suo volume importante sulla
logica matematica, che si chiama “Introduzione alla filosofia della matematica”.
Introduzione alla filosofia
Lo scrisse nel 1918, che come tutti sapete è l'ultimo anno della
della matematica(1918)
guerra. L'ultimo anno della guerra Russell fece anche propaganda
Sei mesi in prigione
pacifista contro la guerra e cominciò a fare propaganda politica,
per pacifismo
ormai aveva finito la sua grande opera, cominciò a dedicarsi alla
politica e in particolare questo gli costò sei mesi di prigione. Ebbene Russell mise a frutto questa sentenza
che gli fu comminata, cioè sei mesi di prigione li spese a scrivere questo libro che è diventato un classico
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della divulgazione praticamente. In questo libro lui spiegò al popolo in maniera divulgativa, in maniera
essoterica, come già tutti i suoi predecessori da Pitagora a Platone, ad Aristotele eccetera avevano fatto,
spiegò quelli che erano i suoi risultati. Questo è stato un bestseller e continua ad essere venduto ancora ai
giorni d'oggi e se io vi dovessi consigliare un altro libro, oltre “la mia vita in filosofia”, vi consiglierei di
leggere proprio questo, questo è un po’ la summa di ciò che Russell fece in logica. Fatto questo,
praticamente la sua vita nella logica, nella matematica finì. Russell non si dedicò più alla matematica, ormai
era cinquantenne, quindi a quell’età lì aveva anche tutti diritti di farlo e quindi decise di pensare ad altro. In
particolare negli anni ‘20- ‘21 scrisse un libro che si chiama “l’analisi della mente”, che era un tentativo di
fare una filosofia di quella che oggi forse chiameremo forse neuroscienza , cioè la filosofia della mente.
Analisi della mente (1021)
Oggi questi argomenti sono di gran moda, all'epoca lo
Analisi della materia(1927)
forse erano un po' meno, era un po’ strano che un filosofo,
un matematico soprattutto, si interessasse di cose di questo genere, Russell fu un precursore anche in questo
e subito dopo nel 1927 fece un'analisi dell'altra faccia della medaglia, cioè la mente e la materia, cioè i due
cardini, diciamo così, della filosofia cartesiana, del dualismo; ebbene li analizzò tutti e due e questi anche
sono due classici della filosofia, ovviamente molta acqua è passata sotto i ponti, questi libri sono forse più
interessanti per gli storici che per tutti noi che c'interessiamo magari di questi argomenti, però Russell pose
le basi per diventare non soltanto matematico, per lasciare il suo segno anche nella storia della filosofia.
Cosa successe in seguito? Ebbene, qui successe una cosa, cioè Russell fece forse quello che oggi potremmo
chiamare un passo falso, cioè scrisse un libro che era molto provocatorio, anzi ne scrisse un paio negli anni
29-30, in parte lo completò lui stesso, lo fece anche perché aveva bisogna di quattrini, aveva ormai una
famiglia, vi ricordo che aveva, per l’appunto, quattro mogli, vari figli eccetera, quindi aveva bisogno di un
po' di denaro. Nel 1929 scrisse un libro che si chiamava “matrimonio e morale”.
Matrimonio e morale(1929)
Ebbene, Russell propose, pensate sono gli anni ‘29-‘30, gli
La conquista della felicità(1930)
anni della depressione, eccetera, quindi del puritanesimo
inglese, in questa situazione Russell propone agli studenti di andare a vivere insieme prima di sposarsi, di
fare l'università, uomini e donne affittandosi degli alloggetti, di vivere come se fossero marito e moglie, per
l’appunto, more uxorio, di avere ovviamente rapporti sessuali, purché con contraccettivi e anticoncezionali e
poi, quando avessero finito l'università, gli studenti potevano poi pensare se continuare questa relazione,
sposandosi dunque oppure lasciarsi e andare poi a vivere ciascuno per conto suo. Immaginate il putiferio che
questa cosa fece. L’anno dopo scrisse “la conquista della felicità”, è un ribadire questi argomenti, quindi
divenne anche un vero e proprio provocatore. Ormai se lo poteva permettere, era un matematico famoso, un
filosofo di fama, aveva libertà di insegnare, lui aveva questo idee, molto all'avanguardia, effettivamente
molto interessanti. Cosa successe in seguito? Successe che, come vi ho detto prima, Russell andò in
America, a fare un ciclo di conferenze ad Harvard e a Princeton, verso il 1938-39, scoppiò la guerra, non
poté più tornare indietro in Inghilterra e quindi rimase in America ad insegnare. Per un professore come lui
ovviamente non c’era problema, notate che era il 1940, Russell aveva ormai 68 anni, quindi era quasi
settantenne, non c'era problema per lui a trovare cattedre dovunque, gli furono proposte moltissime cattedre,
lui accettò la cattedra al City college di New York, che è una delle università di New York e qui, questo fu
veramente la sua tragedia, perché il papà e la mamma di una delle studentesse che andavano al City college,
lesse per caso o qualcuno suggerì ai genitori di leggerlo“Matrimonio e morale”.
Caccia alle streghe(1940)
Questi due signori lessero il libro, furono scandalizzati da ciò
City College di New York
che videro, erano appunto gli anni 40, quindi l'ambiente vittoriano,
puritano e fecero causa, non a Russell stesso, perché questo forse sarebbe stato più facile per lui come difesa,
fecero causa al college. Dissero, ma come, noi mandiamo la nostra figlia, il povero angelo illibato in questa
università e voi pagate un professore come questo, perché le faccia lezione. Noi vogliamo che tutte queste
cose non succedano. Ebbene ci fu quella veramente che si può chiamare una vera e propria caccia alle
streghe, nel 1940, nel regno della libertà, per così dire, negli Stati uniti d'America, nel land of freedom, come
si chiamano loro, succedevano queste cose. Ebbene Russell fu estromesso dall'insegnamento, più nessuno,
nessuna università ovviamente si azzardò a dargli l'incarico, nemmeno Harvard, nemmeno Princeton, dove
prima lo aveva invitato a fare conferenze e lo avevano osannato, Russell si trovò sul lastrico praticamente,
ormai settantenne, come dicevo,non aveva più lavoro, non aveva più nulla. E allora quello che successe fu
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che si mise a scrivere, perché questo era il suo lavoro e scrisse un capolavoro, scrisse una storia della
filosofia occidentale in tre volumi, che oggi vengono pubblicati in un unico grande volume e questo è forse il
libro che rimane interessante, più divertente da leggere, più divulgativo fra tutti i libri che lui scrisse. Una
storia della filosofia occidentale, in cui non provò nemmeno a mascherarsi dietro le apparenze, a far finta di
essere un professore equidistante da tutte le posizioni, cercando di fare l'oggettivo, una trattazione oggettiva
di quella che era la filosofia, quando un filosofo non gli piaceva lo prendeva a pesci in faccia, quando un
filosofo gli piaceva invece lo osannava e lo raccontava in una maniera che era effettivamente molto
simpatetica; quindi una storia della filosofia veramente affascinante, che fece un sacco di soldi
effettivamente e gli diede per lo meno la possibilità di vivere e di mantenere la sua famiglia, che come vi ho
detto era piuttosto numerosa. Quindi questo fu il risultato della sua opera negli anni 40. Dopo la guerra,
Russell tornò in patria, ormai ottantenne, non era più il caso che andasse ad insegnare nelle università e
naturalmente in Inghilterra le cose erano cambiate e comunque lui si fece un gran vanto di quello che era
questa condanna, di questo processo della caccia alle streghe di cui era stato, in qualche modo, l'oggetto e la
vittima e poi, sorpresa nel 1950, i genitori di questa signorina che avevano fatto causa al Russell, lessero una
mattina il giornale e si accorsero che questo professore, questo sporcaccione, come l'avevano accusato di
essere, aveva vinto nientepopodimeno che il premio Nobel per la letteratura. Nel 1950 in parte per
“Matrimonio e morale” e in parte per la “Storia del filosofia occidentale” Russell vinse il premio Nobel per
la letteratura. Quindi coronò in qualche modo questa sua ricerca del successo, arrivando al massimo
Premio Nobel (1950)
grado e arrivando lui matematico, lui filosofo, addirittura a competere
per la letteratura
con i letterati, con i grandi nomi della letteratura ed a vincere questo
premio veramente ambizioso, a ottant'anni. Andò a prendere il premio e la storia è anche molto interessante,
lui era molto preoccupato, perché il 1950 era 300 anni dopo l’anno in cui Cartesio era andato nello stesso
posto, cioè a Stoccolma, a trovare la regina ed era morto per il freddo, perchè Cartesio era uno che amava
molto il caldo, se ne stava a letto la mattina per ore e ore, invece la regina di Svezia lo faceva alzare la
mattina presto e morì. Russell era un po' preoccupato, io sono un filosofo, come Cartesio devo andare a
prendere il premio, non si sa mai che cosa mi succede. L'aereo sul quale viaggiava cade, cadde in acqua,
molte persone morirono, Russell si salvò a nuoto, aveva 78 anni, si salvò a nuoto nuotando per 2 km, andò a
riva e andò a prendersi il premio Nobel. Quindi effettivamente un personaggio fuori del comune, ma la sua
storia non è finita; in questi brevi minuti che ci rimangono, possiamo ancora guardare all'ultima fase della
sua vita, che fu la fase della politica. Nel 1961 c'era stato il problema negli anni 60, della crisi dei missili a
Cuba, Russell era ormai impegnatissimo su questi fronti, sul fronte del pacifismo, sul fronte della resistenza
non violenta ai governi e alla guerra, andò a fare un sit in, una serie di sit in a Trafalgar square nel 1961 e
venne arrestato. Ormai novantenne ritornò in prigione esattamente dove era già stato nel 1918 per
propaganda pacifista e ritornò in prigione per una sola settimana, ovviamente non ebbe tempo di scrivere
nessun libro, però effettivamente fu molto felice, perchè questo diede di nuovo una notorietà ai suoi obiettivi
politici, ai suoi risultati, effettivamente diventa il leader, diciamo così, della protesta giovanile, della protesta
contro la guerra, in Inghilterra. Ebbene questo non è l'ultimo atto perché pochi anni dopo, nel 1966, Russell
costituì quello che viene chiamato oggi il tribunale Russell. All'epoca non era effettivamente chiamato così,
Tribunale Russell(1966)
veniva chiamato “il tribunale contro i crimini di guerra”, in generale.
Contro i crimini
Pensate, questo filosofo ormai 95nne, con un premio Nobel alle spalle,
di guerra in Vietnam
con questi grandi volumi, questa filosofia, matematica, letteratura e
così via, questo filosofo che prende posizione e incomincia nel ’66, attenzione, quindi molto prima delle
contestazioni nostre, nel 68 e nel 69, incomincia a fare questa battaglia, ad accusare gli americani di essere
esattamente, lui diceva, come i nazisti e come i giapponesi, cioè di essersi posto sullo stesso livello politico
di questi criminali, diciamo così, del ‘900 e di aver fatto veramente dei crimini di guerra in Vietnam. Il
tribunale Russell fu effettivamente qualche cosa di stupefacente, cioè incominciarono a sfilare testimoni che
il tribunale chiamava dal Vietnam stesso, cioè venivano testimoni che portavano testimonianze sul
bombardamento al napalm, sulle torture che gli americani facevano in Vietnam e questo fu veramente una
delle pugnalate che vennero inflitte alla politica americana. Ovviamente la guerra in Vietnam finì molto
dopo, ovviamente queste sono delle azioni dimostrative, ma servirono molto a creare una coscienza e anche
in parte a creare quella che poi fu la contestazione giovanile in Europa. Ebbene questa è a grandi linee la vita
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di Bertrand Russell. Come vi ho detto, ci siamo anche soffermati forse su molti aspetti della sua vita, perché
come ho detto dal p. di v. logico certamente Russell è stato importante, il suo paradosso è qualcosa che è lì
per rimanere, la sua teoria dei tipi logici è una buona soluzione, a parte dei problemi che questo paradosso
poneva, la sua teoria sulla denotazione è anche lì qualche cosa che può servire ai filosofi, ma forse non è in
questo che risiede il vero valore della vita di Russell, il vero valore è stata questa universalità, questo essere
partito come matematico e poi essere diventato via via filosofo, letterato, aver preso il premio Nobel, poi
politico e così via. Quindi veramente una mente, diciamo così, al servizio del suo secolo. Con questo
abbiamo finito questa carrellata sugli episodi della sua vita. Ci rivedremo la prossima volta per parlare di
altri logici che hanno lasciato un segno in questa materia, in particolare parleremo la prossima volta di
Wittgenstein che fu l'erede, il testimone spirituale diciamo così, di quello che Russell aveva voluto fare.
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LEZIONE 12: Alle ricerche del trattato perduto
La scorsa lezione abbiamo parlato di quello che forse è il personaggio più famoso, se non il più importante
della logica matematica, cioè Bertrando Russell. Abbiamo visto una vita avventurosa, piena di eventi e di
avvenimenti. Oggi vedremo invece un personaggio che certamente non è da meno da questo punto di vista,
anche lui forse non è un grandissimo logico, certamente è stato importante agli inizi del 1900 ed è Ludvig
Wittgenstein, un filosofo, molto noto come filosofo, forse meno importante come logico, che fu per
l’appunto un allievo di Russell. Quindi quest'oggi parleremo anche di lui, della sua vita altrettanto
avventurosa e piena di avvenimenti pure questa, quindi spero che anche questa volta lezione possa essere
perlomeno interessante. Vediamo un pochettino, come al solito, i paletti della vita di Wittgenstein.
Wittgenstein, nacque nel 1889, morì nel 1951, certamente non arrivò al secolo o quasi, a 98 anni del suo
maestro B. Russell.
La famiglia di Wittgenstein, era una famiglia veramente ricca, veramente importante nella Vienna,
nell'Austria di fine secolo ‘800, inizi ‘900. La famiglia era molto numerosa, erano sei, sette figli, tanto per
fare un'idea di che tipo di famiglia, quali tipi di fratelli e sorelle Wittgenstein avesse, ecco qui nella slide
questo bel ritratto di una delle sorelle, Margaret che quando si sposò nel 1905 si fece fare un ritratto di
matrimonio, così si usava, pensate voi, nientepopodimeno che da Klimt, appunto semplicemente un ritratto
su commissione. Klimt era amico di famiglia, ma in questa famiglia circolavano artisti di ogni genere. Il
secondo artista di cui vogliamo parlare in questo momento è invece legato al fratello, a uno dei fratelli di
Wittgenstein, che si chiamava Paul. Questo nella slide naturalmente non è Paul Wittgenstein, è un musicista,
forse qualcuno di voi lo avrà riconosciuto, è ben noto per aver scritto un pezzo di musica che adesso è anche
popolarissimo, grazie anche ad un film di cui non possiamo certo far vedere le immagini qui e questo pezzo
è il famoso bolero di Ravel. Ebbene, che cosa c'entra Ravel con la famiglia Wittgenstein? C'entra, perché il
fratello di Wittgenstein, era un grande pianista, un grande musicista, un genio musicale più o meno del tipo
di Mozart, uno di questi bambini prodigi che suonano, compongono. Paul andò in guerra e purtroppo ebbe
un incidente e perse la mano destra; ora la mano destra per un pianista è la mano più importante, perché in
genere i pezzi del pianoforte si basano, si fondano sulla musica che si può suonare con la mano destra ed è
anche la mano più forte, perciò un pianista senza la mano destra certamente può fare poco. Può fare poco a
meno che non conosca dei compositori, amici suoi che gli permettano di fare qualche cosa, che gli scrivano
addirittura dei pezzi e infatti il famoso concerto per la mano sinistra di Ravel, del 1931, fu scritto appunto
per il pianista Paul Wittgenstein, cioè per il fratello di Ludvig Wittgenstein. Ebbene vedete già che questa
era una famiglia che attraeva intorno a sé musicisti del tipo, del calibro di Ravel, artisti, pittori del calibro di
Klimt e non erano gli unici, perché soprattutto verso la fine dell’800, in casa Wittgenstein circolavano
personaggi come Brahms, Maler e così via. Wittgenstein addirittura disse una volta in una delle sue
memorie, che il suo primo ricordo, la sua prima immagine della vita, era quella della barba bianca di
Brahms, che lo solleticava nella culla, quindi immaginative voi. Ovviamente era una famiglia ricchissima, il
padre era praticamente l'analogo di Krupp in Germania, erano costruttori, avevano ovviamente degli
interessi nei metalli pesanti, nel ferro e così via, le traversine e ovviamente i binari delle ferrovie, quindi una
grande famiglia piena di artisti, piena di geni e piena di personaggi interessanti. Uno di questi fratelli è
quello di cui oggi ci interessiamo, cioè Ludvig Wittgenstein che fu per l’appunto un logico. Che fece
Wittgenstein nella sua vita? Beh, anzitutto, come sempre succede, si va scuola e dove andò a scuola il
piccolo Ludvig? Andò a scuola a Linz, una cittadina dell'Austria e frequentò per tre anni questa scuola, dal
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1903 al 1906. Uno dei compagni di scuola di Wittgenstein era nientepopodimeno che Hitler. Hitler e
Wittgenstein frequentarono la stessa scuola per un anno, erano più o meno coetanei, erano nati lo stesso
anno o a un anno di differenza, ma la cosa interessante, a parte l'aneddoto, è ovvio che con qualcuno Hitler
sarà andato scuola, è che sia Hitler che Wittgenstein, uscirono da questa scuola tutti e due con un'idea fissa
Linz (1903-1906)
e l'idea fissa era quella della soluzione finale. Ora il caso tragico,
Compagno di scuola di Hitler
quello di Hitler, era la soluzione finale contro gli ebrei, cioè lo
Soluzioni finali
sterminio, il genocidio che poi ha portato alla seconda guerra
mondiale. Anche nel caso di Wittgenstein c'era quest'idea, della soluzione finale, cioè l'idea di arrivare a
risolvere una volta per tutte i problemi della logica e poi ritirarsi in buon ordine, finire perchè la cosa era per
l’appunto completata. Ora io non so bene che tipi di professori ci fossero in questa scuola, ma se due
personaggi come questi, da una parte il Hitler e d'altra parte Wittgenstein, uscirono fuori con l'idea della
soluzione finale forse qualcuno gliela avrà insegnata, ma forse questa non era la migliore scuola dove si
poteva andare. E infatti Wittgenstein cambiò ad un certo punto la scuola e si spostò da un'altra parte; come
vi ho detto la famiglia era molto ricca, quindi non cerano problemi ad andare a studiare nel miglior posto
che si potesse pensare all'epoca e per chi voleva studiare matematica e per chi volesse studiare filosofia, il
miglior posto o perlomeno dei uno dei migliori posti all'epoca era l'università di Cambridge e infatti
Wittgenstein si spostò laggiù negli anni tra il 1911 e 1913, studiò logica matematica, insieme
nientepopodimeno che Bertrand Russell. Bertrand Russell che fu suo maestro e che lo considerò per un
certo periodo il suo erede designato.
Cambridge (1911-1913)
Russell ormai in quegli anni, ricorderete la scorsa lezione,
Allievo di Russell
era all'apogeo della sua carriera, al punto più folgorante,
aveva già scritto, nel 1910, i Principia matematica che era già usciti sul mercato, un mercato ristretto perchè
ovviamente quel genere di libri non è certamente importante per il numero di coppie che vende, ma per le
cose che dice e per l'influenza che poi ha nella storia del pensiero. Nel 1911, cioè nell'anno in cui
Wittgenstein arrivò a Cambridge era uscito il secondo volume e nel ‘13 poi sarebbe uscito il terzo volume.
Russell veniva considerato il guru della logica mondiale ormai, grazie appunto anche alla sua attività di
propaganda, agli articoli che scriveva, eccetera, era universalmente riconosciuto come il più importante
logico della modernità, perlomeno fino a quel periodo. Ebbene Russell vide in Wittgenstein, in questo
brillante allievo, che gli faceva indagini penetranti, che lo metteva ovviamente in imbarazzo con le sue
domande, con le sue pulsioni, il suo erede. Pensava ormai che dopo i Principia matematica si sarebbe
ritirato, avrebbe fatto altre cose e sappiamo bene quante ne fece dalla scorsa lezione, ebbene lui pensava che
la logica sarebbe andata avanti sulla scia che lui ovviamente aveva iniziato, grazie all'attività di
Wittgenstein. E cosa successe nel 1913? Lo sapete tutti, perché, ad un certo punto, questo è il periodo in cui
si stavano sentendo i venti di guerra, nel 1914 sarebbe scoppiata la guerra. In realtà Wittgenstein se ne andò
da Cambridge nel ‘13, perché ormai aveva formulato, benché fosse molto giovane, una certa serie di ipotesi
sulla logica, che erano in realtà molto contrarie all’idea che ne aveva Russell e vedremo meglio fra qualche
minuto in che senso, ebbene si era ritirato in Norvegia, voleva lavorare per qualche anno da solo, senza
avere nessun contatto con nessun altro, scrivere, eventualmente avere uno scrivano, che nel caso di
Wittgenstein era un famoso filosofo che si chiamava G. E. Moore, quindi poteva permettersi Wittgenstein
anche questo, di poter dettare i suoi pensieri, i suoi quaderni a
qualcuno che in realtà era assolutamente in grado di scrivere opere
per conto suo. Ebbene dicevo, se ne andò per qualche mese in
Norvegia e isolato lavorò lì a quelli che poi furono chiamati i
quaderni di quegli anni; poi però scoppiò la guerra e ovviamente i
giovani di quell'epoca andarono al fronte. Anche Wittgenstein
effettivamente se ne andò in guerra. La sua traversia in guerra fu
molto lunga, incominciò a patire nelle retrovie, lavorò per un paio
di anni nelle retrovie e poi però fu spostato sul fronte; per due
anni combatté e ovviamente chi combatte al fronte una guerra come la prima guerra mondiale, un vero
carnaio insomma, certamente cambia sue opinioni, cambia le sue idee, medita sul significato della vita e
così via. Questo libro di logica che Wittgenstein stava concependo e che aveva incominciato a scrivere o
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perlomeno ad abbozzare nei quaderni che scriveva in Norvegia, piano piano si modificò e infatti il grande
libro che poi Wittgenstein pubblicò, dopo pochi anni, di cui parleremo fra un momento, alla fine nella
seconda parte, nella sua parte finale è tutto dedicato al misticismo, ai problemi dell'etica, al significato del
senso della vita e così via; quindi effettivamente la guerra fece una grande impressione su Wittgenstein,
come su tanti altri. Wittgenstein perse un fratello, tra l'altro in guerra, quello che era ufficiale dell'esercito e
che si suicidò ad un certo punto, quando l'esercito austriaco si sfaldò, perché doveva comandare un
battaglione, una compagnia e non riuscì più a farsi ubbidire dai soldati, allora uscì, si sparò un colpo in testa
e quindi morì così. Non è l'unico fratello di Wittgenstein che è morto in circostanze tragiche, ma anche un
altro fratello che era un altro genio musicale della famiglia, era colui che componeva già all'età di 3-4 anni,
non lo stesso Paul, che poi invece in realtà sopravvisse alla guerra e divenne il famoso pianista con la sola
mano sinistra, ma un’altro genio, perché la famiglia Wittgenstein era una famiglia veramente di persone
molto dotate per la musica; Wittgenstein stesso suonava il clarinetto e il pianoforte come le sorelle e i
fratelli, ma sapeva fischiettare benissimo, sembra che sapesse fischiettare intere sinfonie, in maniera
perfettamente corretta con tutte le note. Ebbene questa comunque è ovviamente soltanto una parentesi,
dicevo Wittgenstein stette al fronte, fra il ‘16 e il ’18 e nessuno più sapeva dove fosse finito, in particolare
Russell non sapeva dove fosse finito e in qualcuno dei suoi scritti, lui dice questo problema è stato posto da
un mio allievo Ludwig Wittgenstein, ma non so nemmeno se l’abbia risolto, ma addirittura non so nemmeno
se sia vivo o se sia morto. Wittgenstein era vivo, però era stato preso prigioniero e tra il 1918 e il 1919
effettivamente rimase in prigionia, dove? L'abbazia di Monte Cassino, Wittgenstein fu preso prigioniero a
Cassino, quindi in Italia. Naturalmente continuò a scrivere, continuò a limare il suo trattato logico filosofico,
la sua opera più importante è effettivamente la parola limare, è forse la parola giusta perché quella è
un'opera quasi di poesia più che di scienza, su cui parleremo tra un momento. È giunto dunque il momento
per l’appunto di elencare le opere di Wittgenstein. Ricorderete che il maestro di Wittgenstein, Russell, aveva
scritto praticamente 100 libri nella sua vita e questa volta abbiamo potuto parlare soltanto di qualcuno,
accennare ai titoli, perché ovviamente in un’ora non si può nemmeno fare l'elenco di tutti questi libri che
Russell scrisse. Ebbene l’elenco completo delle opere che Wittgenstein pubblicò, non solo addirittura nella
sua vita, ma che lasciò pronte per la pubblicazione dopo la sua morte, è questo qua, completo: due opere.
Nel 1921 il “Tractatus”, il cosiddetto trattato logico filosofico e nel 1953, ricorderete che Wittgenstein era
già morto, però postumo apparve queste “Ricerche filosofiche” ed ecco che per questo motivo abbiamo
intitolato la nostra lezione “alle ricerche del trattato perduto”, in qualche modo giocando sulle parole.
Opere
Parliamo allora brevemente di questi due libri, cercando di soffermarci su
¾ Tractatus
quello che ci hanno lasciato da un p.di v. logica; non sono gli unici libri che
¾ Ricerche
voi troverete o trovereste in libreria o in biblioteca, perché in realtà dopo
la morte di Wittgenstein questo era pronto, cioè Wittgenstein l’aveva preparato per la pubblicazione, in
realtà aveva pensato di pubblicarlo più volte e poi non era perfettamente convinto che fosse ormai arrivato
nella sua formulazione definitiva e quindi non si decise mai a pubblicarlo; però il libro era pronto, quindi
effettivamente questo è il libro che scrisse lui. Wittgenstein era non dico un grafomane, ma anche lui un
grande scrittore, cioè grande nel senso che aveva una produzione molto prolifica e lasciò casse e casse di
appunti, ordinati più o meno, qualcuna di queste casse erano gli appunti più o meno ordinati messi dentro
cartellini e quindi abbastanza organicamente disposti, altri erano buttati alla rinfusa, pensieri un pochettino
così in maniera congestionata. Ebbene, quello che successe fu che gli eredi testamentari, molti di loro, cioè
un gruppo di filosofi di Cambridge che avevano avuto in eredità questo lascito testamentario di
Wittgenstein, incominciarono a pubblicare molte e molte opere; non so quanto e fino a che punto, per lo
meno, questo sia stato un qualche cosa di utile, certamente da un punto di vista mercantile o di successo fu
un grande successo perché moltissime opere vendettero, ce ne sono di tutti generi, su l’etica, su pensieri
sparsi, sulle ricerche filosofiche, abbozzi di questi due libri, versioni preliminari e così via. Molti altri, si
vede chiaramente che sono un pochettino raffazzonati, Wittgenstein non si sarebbe mai sognato di
pubblicarli, non si sognò mai di pubblicare nemmeno le ricerche che erano in ben altro stato di progresso e
di organizzazione. Quello che addirittura a volte può anche essere un pochettino seccante, fu che questi
eredi, questi esecutori testamentari, pubblicarono addirittura gli appunti delle lezioni che Wittgenstein
teneva. Ora Wittgenstein pensava in classe, cioè le sue lezioni erano lezioni dal vivo, non preparate con
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lucidi perché all'epoca non si usavano, ma neanche con degli appunti, cioè si poneva problemi, pensava ad
alta voce di fronte ai suoi allievi, faceva lezione tra l'altro in camera sua, nel collegio dove viveva, viveva in
maniera molto parca, benché appunto fosse molto ricco, ma aveva lasciato, si era spogliato di tutta la sua
eredità, di tutto il suo patrimonio ed aveva lasciato tutto alla famiglia e viveva praticamente di molto poco,
quindi una vita che perlomeno era coerente da un punto di vista filosofico, gli interessavano le idee, non gli
interessavano i quattrini, se ne liberò e incominciò a vivere come facevano i professori appunto, come
facevano i ricercatori. Ebbene, dicevo, alcuni di questi libri sono veramente soltanto degli appunti presi a
lezione da persone che capivano, poi fino ad un certo punto quello che il maestro diceva, anche perché
quando si pensa ad alta voce ovviamente i pensieri non vengono fuori in maniera coerente, soprattutto da un
personaggio come Wittgenstein che era estremamente tormentato e che quindi pensava, si correggeva,
rifletteva, cambiava idea e così via. Quindi, questo per dirvi, se volete avvicinarvi alle opere di Wittgenstein
io vi consiglio di concentrarvi su queste due e ne avrete già a sufficienza perché, come ho accennato prima,
queste due opere sono anche o soprattutto opere letterarie, più che opere filosofiche, cioè la forma in cui le
cose vengono dette è importante e bisogna stare attenti a capire quello che viene detto e non è un impresa
facile. Non so se questo vi aiuterà, ma comunque cercheremo almeno di enunciare alcune delle idee. La
prima opere, ho già detto il titolo, è “il trattato logico filosofico”, pubblicato nel 1921 con una prefazione
Tractatus
di Russell che Wittgenstein immediatamente sconfessò e disse
logicus-philosophicus(1921)
insomma Russell non aveva capito nulla di quello che io cercavo
“ciò che si può dire
di dire, ormai è fuori del gioco e quindi cercò in tutti i modi di
si può dire in tre parole”
non farla pubblicare, ciò per dirvi quale potesse essere il rapporto
fra il maestro e l'allievo. Questo è il motto che Wittgenstein pose al trattato logico filosofico, “ciò che si può
dire si può dire in tre parole”, ciò significa che il libro sarà fatto tutto di massime, di aforismi e di cose
molto concentrate, un sapere in pillole si potrebbe dire. Qual'è l'idea fondamentale del trattato? Wittgenstein
proprio perché pensava in una maniera molto sui generis, molto originale, in realtà ebbe l’idea del trattato
una volta che lesse sul giornale che c'era stato un processo, un processo per un incidente automobilistico e
che i feriti erano andati in tribunale e per far capire che cos'era successo in questo incidente automobilistico,
avevano usato delle macchinine, dei modelli di macchine ed ecco, qui appunto, che abbiamo importato
questi modelli di macchine, ma l'idea che venne a Wittgenstein era che le macchinine, in qualche modo,
erano un'immagine dell'evento che era successo, cioè dell'incidente ed erano una rappresentazione fatta
attraverso un particolare tipo di linguaggio. L'idea fondamentale del
questa intuizione e l'intuizione
trattato viene appunto da
fondamentale Wittgenstein l’ha espressa, perlomeno la esprimeremo
noi oggi con le nostre parole dicendo che c'è un duplice
isomorfismo, l’isomorfismo è una parola matematica che molti di
voi conosceranno, significa identità di struttura, non uguaglianza,
cioè il mondo, il pensiero e il linguaggio, che sono i tre enti che sono
coinvolti in questo duplice isomorfismo non sono la stessa cosa.
Nessuno pensa che il mondo sia la stessa cosa del pensiero,
Wittgenstein non era affatto un idealista, non pensava che l'unica
cosa che esistesse fossero i pensieri, fossero le idee e certamente non
pensava che gli unici pensieri fossero quelli che si possono dire a parole, però pensava che ci fosse una
identità di struttura tra il mondo da una parte e il pensiero e dall'altra parte, fra il pensiero e il linguaggio. In
altre parole, ciò che noi diciamo riflette non soltanto nei concetti, ma addirittura nella struttura ciò che noi
pensiamo e ciò che noi pensiamo riflette nella sua struttura ciò che il mondo è. Questa è l'idea fondamentale
per l’appunto del Tractatus logicus-philosophicus. Qual'è quindi lo studio importante, se noi vogliamo
studiare il mondo? Beh, poiché il monito è isomorfo al pensiero, allora dovremo studiare il pensiero e
poiché il pensiero è isomorfo a linguaggio dovremo studiare il linguaggio, questa è l'idea. Allora l'idea
fondamentale del trattato è che interessa studiare il linguaggio e con il linguaggio riusciremo a capire come
è fatto il pensiero e di conseguenza come è fatto il mondo. La seconda idea fondamentale del trattato logicofilosofico che già mette nel suo titolo la parola principale logico, ebbene l'idea è proprio questa, che il
linguaggio sia nient'altro che quella che oggi noi chiamiamo logica proporzionale. Questo può parere un
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pochettino strano, in fin dei conti, dopo tutte le lezioni che abbiamo fatto, dopo tutti gli avanzamenti che ci
sono stati, tanto per dire Frege ad esempio, rispetto alla logica greca, ma già Aristotele era andato oltre in
linguaggio
qualche modo alla logica sillogistica, ecco che qui sembra quasi che ci
=
sia un regresso, cioè il linguaggio che appunto dai greci fino alla fine
logica proposizionale
l'800, con Russell compreso, si era analizzato, si era capito che aveva
una certa complessità, ora Wittgenstein cerca di riportare questa complessità ad una semplificazione, cioè
alla semplicità del linguaggio della logica proporzionale. Ebbene l'idea fondamentale, la filosofia
fondamentale che sta dietro questo trattato è quella che oggi viene chiamata il cosiddetto “atomismo
logico”. Non a caso qui ho messo la fotografia di una statua di Crisippo perché voi ricorderete che Crisippo
era stato colui che, ai tempi dei greci, aveva studiato il linguaggio proposizionale, la logica proposizionale.
Ed ecco che Wittgenstein in qualche modo è un ritorno al passato,
una riscoperta della logica stoica. Notate una riscoperta che in parte
Wittgenstein fece, perché lui si vantava, ma forse non c'era da
vantarsi di questo, ma comunque certamente bisogna dirlo perché era
quello che faceva, si vantava di non leggere i classici del passato, lui
diceva a me piace pensare e non mi interessa ciò che gli altri
abbiano pensato, voglio pensare con le mie gambe, diciamo così,
naturalmente intellettuali, voglio pensare con la mia testa. Ed ecco
che pensando con la sua testa, ovviamente arrivò più o meno ai
primordi di quello che si era fatto, quello che in genere poi succede,
chi vuole fare da sé, più o meno può fare quello che è stato fatto, ma insomma i primi passi in questa
direzione. Wittgenstein ritornò dunque nella sua filosofia, diciamo così, che poi da Russell verrà battezzata
atomismo logico, all'idea del linguaggio della logica che già aveva Crisippo, cioè ci sono dei fatti atomici
nel mondo che vengono rispecchiati da dei pensieri atomici, i quali vengono espressi mediante proposizioni
o formule atomiche. Queste formule atomiche vengono messe insieme, in formule più complicate attraverso
quelli che si chiamano i connettivi, i soliti negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, cioè non, e,
o, se.... allora e così via. Secondo noi i logici di oggi non considerano Wittgenstein un grande logico
proprio per questo, perchè tutto sommato, la sua idea era un po’ un regresso, era un ritornare all’indietro con
idee che erano già state in qualche modo orecchiate. Wittgenstein ci mise qualcosa di suo e il passo
successivo, di quello che ci mise di suo, fu quello che venne in seguito chiamato “approccio semantico”,
cioè l’approccio di Wittgenstein alla logica, che sembrava una grande novità soprattutto a Russell che non lo
concepiva, non lo riusciva a capire, Wittgenstein stesso pensava che fosse qualcosa di completamente
diverso da ciò che faceva Russell era l'approccio semantico che si basava su valori di verità, su un calcolo
dei valori di verità e non invece come l'approccio di Frege e di conseguenza anche quello di Russell su
assiomi e su regole. Russell e Frege avevano scritto le loro grandi opere, in particolare “i principi della
matematica” che erano stati completati da poco, si basavano su un sistema assiomatico, come quello di
Euclide alla maniera dei fondamenti della geometria di Hilbert, di lui parleremo presto in una prossima
lezione, cioè basati su ipotesi, appunto gli assiomi e definizioni elementari e poi su regole di deduzione che
permettevano di dedurre da questi assiomi delle formule, delle conseguenze più complicate. L’approccio di
Wittgenstein non prende assolutamente questa strada, ne prende una che a prima vista e dico a prima vista,
perché in seguito vedremo che in realtà non era poi così differente, ma a prima vista sembra completamente
diversa, sembra ortogonale alla precedente, cioè Wittgenstein usa quelle che oggi noi chiamiamo le tavole di
verità e si concentra su quello che noi chiamiamo oggi tautologia, cioè una formula che è sempre vera.
Approccio semantico
L’idea di verità logica per Wittgenstein è la stessa idea che già aveva
¾ Tavole di verità
Leibniz s e ricordate, le verità logiche sono le verità di ragione, sono
¾ Tautologie
quelle che sono vere in tutti i mondi possibili e nel caso della logica
proposizionale i mondi vengono descritti da tutte le possibili combinazioni di valori di verità delle
proposizioni atomiche e dunque tautologia è precisamente quello che Leibniz considerava una verità di
ragione, cioè qualche cosa che è vera in tutti i mondi possibili, cioè è vera per qualunque assegnazione di
valori di verità alle proposizioni elementari. Come si fa a vedere se una formula è o no una tautologia? Si
costruisce una tavola in cui si pongono tutte le possibili combinazioni, si fanno i calcoletti per ciascuna di
100
queste combinazioni dei valori di verità, se tutti questi risultati di valori di verità sono sempre il vero, ecco
che allora siamo di fronte ad una tautologia. Voi direte, beh, questo è esattamente qualcosa di importante, è
un bell’avanzamento, però questa idea era già perfettamente compresa e perfettamente usata da Crisippo.
Quindi dal nostro punto di vista, non bisogna dimenticare ovviamente che gli stoici non erano così noti, la
rinascita degli studi sugli Stoici fu praticamente negli anni ’50 del 1900, quindi posteriore di una trentina
d’anni a Wittgenstein, però certamente oggi noi, col senno di poi, diremo Wittgenstein non è andato molto
al di là di quello che fece Crisippo. In realtà, come ho detto, questi due approcci all'epoca apparvero
veramente differimenti, apparvero contrapposti, da una parte la Scuola di Frege, di Peano e di Russell basata
su assiomi e su regole di deduzione, la Scuola cosiddetta “sintattica” e dall'altra parte la Scuola “semantica”,
Scuola per modo di dire, perché c'era solo Wittgenstein all'epoca, costituita per l’appunto da questo
approccio attraverso valori di verità, attraverso tavole di verità, ma non assiomi e regole. E allora
Wittgenstein nel suo trattato dice chiaramente, il modo giusto di vedere la logica è il mio, quello di Russell è
sbagliato, quindi una specie di diatriba tra due grandi menti filosofiche. Chi aveva ragione? Beh, la cosa
ironica è che in realtà non aveva ragione nessuno, perché il problema non si poneva, se Wittgenstein fosse
stato un matematico migliore di quello che era o fosse stato matematico invece che un filosofo, si sarebbe
accorto di quello che, negli stessi anni, anzi addirittura nello stesso anno 1921-1922, si accorse invece
un matematico che si chiamava Emil Post. Post nel 1921 dimostrò quel che si chiama “il teorema
di completezza della logica proporzionale”. Il teorema di completezza della logica proporzionale dice che
Teorema di completezza
l'approccio di Frege e di Russell è esattamente equivalente
Post(1921)
all'approccio di Wittgenstein, cioè “l'approccio sintattico”
Frege = Wittgenstein
è equivalente a “l’approccio semantico”. Il teorema di
completezza dice che attraverso il sistema assiomatico di Frege e Russell, cioè il sistema di assiomi e di
regole, si possono dimostrare dei teoremi e attraverso il sistema semantico di Wittgenstein si può vedere se
una formula è una tautologia. Qual'è la relazione fra i teoremi del sistema di Frege e Russell e le tautologie
di Wittgenstein? Sono esattamente la stessa cosa, cioè una formula è dimostrabile nel sistema di Frege e
Russell, cioè è un teorema, se e solo se è una tautologia. In altre parole, questi due approcci così diversi, su
cui in realtà si combattevano queste battaglie, si mostra alla fine, si dimostra in maniera matematica che
sono la stessa cosa. E questo fu un grande risultato, un risultato che
mise insieme addirittura due approcci differenti, fece vedere che
erano due aspetti complementari, invece che due aspetti contrapposti,
erano due facce di una stessa medaglia. Ebbene che cosa successe
dopo questa cosa? Anzitutto il trattato di Wittgenstein ha tutta una
parte che si interessa di misticismo, di etica e di cose di questo
genere. Una parte di queste formulazioni mistiche, qui nella slide c'è
ne una molto tipica, in realtà percorreva un pochettino i tempi; quindi
se c'è qualche cosa di novità nel trattato logico filosofico di
Wittgenstein, è in realtà proprio in questa parte ed ecco qui una di
queste formulazioni che vi lego: “non tutto ciò che si può mostrare attraverso il linguaggio, si può anche
dire”. Ora è chiaro che queste formulazioni si possono reinterpretare benevolmente col senno di poi,
all'epoca erano semplicemente oscure, non si capiva bene che cosa volessero dire, però puntavano nella
direzione del fatto che il linguaggio avesse delle limitazioni, cioè che ci fossero delle cose che non si
potevano dire nel linguaggio, il linguaggio le poteva mostrare, ma non ne poteva dire. Che cosa erano le
cose che Wittgenstein aveva in mente, che il linguaggio poteva mostrare, ma non dire? Ebbene era tutta la
parte della sua struttura; la struttura di un linguaggio è un qualche cosa che il linguaggio può mostrare,
perché quando noi parliamo in realtà la usiamo e quindi dal di fuori siamo consci di questa struttura, però
Wittgenstein credeva che non si potesse parlare della struttura del linguaggio all'interno del linguaggio. Ora
qui nella slide ho messo la fotografia di Tarski vicino a Wittgenstein, questa volta sulla destra invece che
sulla sinistra, per indicare che dopo di Wittgenstein arrivò effettivamente qualcuno che fece non soltanto dei
proclami, non soltanto degli aforismi così come faceva Wittgenstein, bensì dimostrò un teorema che
effettivamente diede ragione a Wittgenstein, perlomeno se lo si interpreta nel modo che ho appena detto,
cioè per esempio il linguaggio può mostrare la verità di una proposizione perché basta che la affermi in quel
101
modo, cioè quando noi affermiamo qualche cosa stiamo dicendo ad altri che stiamo considerando quella
affermazione vera, però non si può all'interno del linguaggio dare una definizione della verità. Parleremo
meglio di questo contributo di Tarski quando dedicheremo a lui la lezione e quindi parleremo appunto del
problema della definizione di verità, però questa effettivamente è un dare ragione a Wittgenstein. La verità è
un qualche cosa che il linguaggio può mostrare, ma di cui non può parlare, perché all'interno del linguaggio
non può esserci una definizione di verità, che non è contraddittoria,. Ecco che quindi c'è qualche cosa che
effettivamente il trattato ci ha insegnato, però bisogna dire che, fino a quando Tarski non dimostrò il suo
teorema, questa parte del trattato non fu molto compresa e forse, come ho detto, oggi noi benevolmente la
reinterpretiamo come un’anticipazione di queste cose, ma in realtà era probabilmente un aforisma di cui
Wittgenstein non aveva proprio compreso bene la portata. Fatto questo che cosa succede? Beh, alla fine del
trattato di Wittgenstein, l'ultimo capitolo del trattato è semplicemente questa frase, che divenne molto
famosa, è stata ripetuta 100 volte, che dice semplicemente “su ciò di cui non si può parlare, bisogna tacere”,
in cui si arriva a conoscere, a sapere che effettivamente il linguaggio ha delle limitazioni. Ed ecco che allora
ci troviamo di fronte al problema fondamentale, il problema etico,
che cosa facciamo quando ci si trova di fronte a delle limitazioni?
Ebbene il linguaggio ha delle limitazioni, se non può dire certe
cose, l'unica cosa che possiamo fare in questo caso, cioè delle cose
di cui il linguaggio non può parlare, è stare zitti, cioè non possiamo
fare nient'altro. Ovviamente Wittgenstein non pensava che
sarebbero poi arrivati Goedel, Tarski e così via e che effettivamente
il linguaggio sarebbe stato piegato proprio a questi bisogni, cioè lo
si sarebbe forzato a parlare di se stesso, per esempio a parlare di
formule che dicono di non essere dimostrabili e così via e quindi in qualche modo, questo aforisma è
rimasto così, però insomma è certamente una bella frase, non si può negare questa cosa. L’ho messa qui in
questa slide, facendola dire a Wittgenstein, perché questo è quello che immediatamente i suoi critici gli
imputarono, quello di dire va bene, metà o quasi di tutto questo libro sta dicendoci che ci sono delle
limitazioni di linguaggio, di cui non bisogna parlare e il libro parla effettivamente proprio di questo, in
particolare questa stessa frase sta dicendo che bisogna sapere proprio sulle limitazioni di cui non
bisognerebbe parlare. Quindi c'è una certa circolarità, ma ovviamente in questo sta anche il fascino del libro.
Che cosa successe dopo? Wittgenstein, che era anche una persona, insomma, con un certo carattere, pensò
di aver risolto tutti problemi come detto prima, ci fu quella che lui pensò la soluzione finale ai problemi
della logica. Aveva risolto tutto quello che si poteva fare, era inutile che continuasse a fare il logico e allora
abbandonò l'università, abbandonò il suo posto e se n'andò in montagna, non a fare il montanaro, non a fare
passeggiate, ma divenne pensate voi maestro elementare e tra il 1920 e il 1926 insegnò in una di queste
Maestro elementare
scuole di montagna. Forse non era la cosa migliore che poteva fare, perché
(1920-1926)
apparentemente come insegnante non era molto bravo, come vi ho detto
prima, anche le sue lezioni già anche all'università erano un pochettino sui generis, quando arrivò nelle
scuole, forse perdeva la pazienza, si sa che picchiava anche i bambini, alcuni di questi li fece sanguinare,
insomma non era una bella cosa. Nel ‘26 fu costretto a battersela in ritirata in qualche modo; ci fu una
denuncia addirittura dal papà di una bambina alla quale lui aveva tirato le trecce e che appunto aveva avuto
anche dei versamenti e quindi ci fu questa specie di causa. Wittgenstein se ne andò, ma nel frattempo erano
passati alcuni anni e Wittgenstein aveva problemi che lui credeva di aver risolto in maniera definitiva,
assoluta, forse non era stati risolti in maniera così perfetta e in particolare ebbe quelle che si chiamano
epifanie; io qui, scherzosamente, naturalmente ho giocato con la parola epifanie e ho messo, come
immagine quella della Befana. Voi sapete bene che invece epifania è una specie di esperienza mistica, ciò
che si vede in qualche modo e che lascia veramente perplessi. Le due
epifanie che lui ebbe furono una legata agli “ordini” e una legata ai
“gesti”. Circa gli ordini si accorse che in tutto il suo linguaggio, in tutto il
trattato logico filosofico aveva dimenticato una cosa importante del
linguaggio, cioè si era dimenticato che linguaggio serve non soltanto a dire
delle cose che sono vere o false, ma serve anche a dare ordini. Quando se
102
ne accorse? Se ne accorse quando sua sorella aveva bisogno di una casa e lui decise di progettargliela e di
costruirgliela, di fare l'architetto. Allora costruì questa casa e si accorse che per far muovere i muratori, per
farli mettere i mattoni al posto giusto, doveva dare degli ordini, questi ordini non erano compresi nel suo
linguaggio proposizionale. Il linguaggio proposizionale non parla di ordini: questo è il primo problema.
Secondo problema: si accorse che i gesti provocavano dei problemi nella sua teoria del linguaggio.
Passeggiando un giorno con un famoso economista italiano si chiamava P. Sraffa, Sraffa gli disse: ma tu sei
proprio sicuro che ci sia questo isomorfismo tra il linguaggio e il mondo? E Wittgenstein disse, beh,
certamente sì e allora Raffa che era napoletano gli disse, ma scusami allora a cosa e corrisponde nel mondo
questo gesto? E gli fece questo famoso gesto napoletano (v. slide) e Wittgenstein rimase veramente
perplesso; disse, già è giusto, effettivamente quando faccio delle frasi, quando dico delle frasi, c'è qualche
cosa del mondo che corrisponde al contenuto di queste frasi, ma quando qualcuno mi fa questo gesto,
effettivamente non so che cosa corrisponda nel mondo. Ecco che allora gli ordini e i gesti furono due cose
che Wittgenstein scoprì appunto non far parte della sua trattazione, decise all'ora di ritornare all'università e
ritornò a Cambridge e incominciò a lavorare al suo secondo libro. Il suo secondo libro, che come vi ho già
detto prima, si chiama “le ricerche filosofiche” e fu pubblicato poi postumo nel 1953. Wittgenstein ci lavorò
praticamente dal 1930 fino al ’51, quando morì, cioè per vent'anni. Ci sono
Ricerche filosofiche(1953)
molte versione preliminari come vi ho detto, i quaderni blu, il
“Il progresso appare sempre
quaderno marrone e così via. Il motto delle ricerche filosofiche
più grande di quello che è”
è un motto autobiografico e Wittgenstein scelse questo motto,
cioè “il progresso appare sempre più grande di quello che è”. Ovviamente in questo caso il progresso era il
progresso che lui aveva realizzato col suo primo libro e si accorge nel suo secondo libro, che questo
progresso, che nel 1921 gli era sembrato chissà che cosa, poi in realtà lui lo aveva sopravvalutato, gli era
apparso più grande di quello che è. Il libro e le ricerche filosofiche incomincia, non facendo un mea culpa,
però dicendo: io mi sono sbagliato a dare al linguaggio una certa valenza, non mi sono dimenticato degli
ordini, ma lui accusa Sant'Agostino di essersene dimenticato, dice Agostino nelle Confessioni questo, cioè
che si è dimenticato di certe cose, quindi in qualche modo il mea culpa era obliquo, diceva che lui aveva
sbagliato, poi però non si prese tutte le colpe e in qualche modo cercò di aggirare la cosa.
Quale fu la nuova grande invenzione delle ricerche filosofiche? Fu un'altra delle sue
solite scoperte; vi ricordate che all'inizio nel Trattato c'era stato un problema di
macchinine, lui aveva avuto questa visione delle macchinine e aveva capito queste cose.
Ebbene nel caso delle ricerche filosofiche, un giorno passeggiando con quello che è oggi
un famoso fisico, che si chiama Freeman Dyson, passò vicino ad un campo da calcio,
un campo da calcio dove si giocava una partita e lui scoprì che effettivamente ci sono al
mondo, oltre che persone che parlano, ci sono persone che giocano. Fu talmente colpita
da questo fatto, evidentemente non si era mai accorto prima che c’era un pallone da calcio e incominciò a
pensare a quelli che oggi vengono chiamati i giochi, lui stesso li chiamò i giochi linguistici, cioè per lui, il
linguaggio questa volta non si trattava più di raccontarlo, di esprimerlo attraverso il sistema di Frege e
Russell, cioè assiomi e regole, che come sappiamo era l'equivalente alla sua versione semantica, ma si
trattava di giocare un gioco di cui bisognava imparare delle regole. Il linguaggio era più o meno la stessa
Giochi linguistici
cosa che imparare appunto a giocare a scacchi e imparare
Non esistono linguaggi universali
a parlare era come imparare a giocare a scacchi o
né parti privilegiate
come imparare a giocare qualunque altro gioco. Ebbene in
particolare se ci sono dei giochi linguistici, allora non ha più senso parlare di linguaggio universale, come
quello che i logici pensavano di aver scoperto nella logica, perché non c’è un gioco universale, si può
giocare a scacchi, si può giocare a dama, si può giocare a carta e così via e anche nel linguaggio c’è la stessa
cosa; ci sono dei giochi che si possono giocare, ma l’idea di gioco universale non ha senso e quindi non ha
nemmeno senso l’idea di linguaggio universale. Idem non si può nemmeno dire: ma gli scacchi sono meglio
della dama o sono meglio delle carte, perchè sono giochi differenti, cioè naturalmente in certe condizioni
uno è meglio, in certe altre condizioni un altro è meglio, qualcuno preferisce l’uno, qualcuno preferisce
l’altro. Dunque non ci sono nemmeno parti privilegiate, non ci sono nemmeno giochi linguistici privilegiati,
in particolare la logica, che fino a Frege, fino a Russell pretendeva di essere il fondamento della matematica,
103
il fondamento delle scienze, è soltanto un gioco fra gli altri, quindi certamente
non è il gioco privilegiato, perché di giochi privilegiati non ce ne nessuno. Forse
la cosa più importante che deriva da queste ricerche filosofiche fu quella che poi
venne presa come spunto e poi posta come fondamento dalla corrente filosofica
che si chiama Positivismo logico; qui l’ho simbolicamente rappresentata con un
cerchio, perché è la corrente del famoso circolo di Vienna. Ebbene l’idea
fondamentale, molto nuova in questo caso, delle ricerche filosofiche, è che il
significato di una parola non è qualche cosa che noi possiamo venire a scoprire
andando a fare un analisi linguistica Il significato di una parola, naturalmente, lo
impariamo come impariamo un gioco e quindi è semplicemente con la pratica, ma il suo vero significato è
definito dall’uso che questa parola ha nel linguaggio. Quando noi impariamo ad usare la parola, allora in
questo modo in maniera indiretta, stiamo imparando a capire qual è il suo significato. Quindi questa
equivalenza tra significato e uso è proprio quella che sta sotto, diciamo così a fondamento di questa filosofia
del positivismo logico. Ebbene che cosa si può dire oggi della filosofia di Wittgenstein e soprattutto dei
contributi della logica di Wittgenstein? Mah, forse si può dire poco, ve ne siete già accorti mentre parlavo,
che non è stato un grande avanzamento, non ci sono stati dei grossi progressi tecnici, le tavole di verità
erano già note, tutto sommato da Crisippo, dagli stoici, forse il modo migliore di esprimere ciò che è
ritornare di Klimt e ricordare una frase che disse Frege, quando lesse il trattato logico filosofico , cioè
“l’opera di Wittgenstein è arte, ma non è scienza”. Forse questo effettivamente in una sola frase rispecchia,
quello che oggi potrebbe essere il significato o meglio il giudizio sull’opera di Wittgenstein. Con questo
abbiamo concluso, nelle prossime lezioni continueremo questa carrellata sui personaggi della logica
contemporanea.
104
LEZIONE 13: Questioni di forma
Nelle precedenti lezioni abbiamo praticamente esaurito l'influsso sulla logica matematica dei filosofi, alla
fine abbiamo parlato di Russell, di Wittgenstein e così via e finalmente siamo arrivati proprio al centro, al
nucleo del nostro corso, del nostro argomento, cioè siamo arrivati a parlare finalmente di logica matematica
nel senso proprio vero, perchè la lezione di oggi e la prossima lezione saranno incentrate questa volta non
più su filosofi finalmente, ma su due veri matematici, due grandi matematici che hanno lasciato il loro
segno ovviamente nella matematica di questo secolo, del '900 e che però hanno anche lasciato il loro segno
molto importante nella logica matematica. Oggi parleremo di Hilbert, la prossima volta parleremo invece di
Brower. Brower forse è un po’ meno noto tra coloro che non sono addetti ai lavori, invece Hilbert è un
grandissimo matematico a cui dedicheremo questa nostra lezione, che si chiama come vedete dal titolo
“Questioni di forma”, perché in realtà di Hilbert è associato, per quanto riguarda la sua filosofia della
matematica, il suo apporto alla logica matematica, a quella corrente che viene chiamata “formalismo”.
Vediamo meglio subito, tanto per cominciare, quali sono i punti di partenza e di arrivo della sua vita, cioè il
1862 e 1943. Come vedete già dalle date immediatamente, Hilbert è stato a cavallo tra i due secoli, a
Hilbert
cavallo tra l'800 e il ‘900. Nella prima metà della sua vita, cioè la fine dell'800,
(1862-1843)
ha costruito una grande teoria matematica, ha dimostrato grandissimi teoremi a
cui quest'oggi accenneremo soltanto, perché il nostro interesse è la logica e non la matematica e come
abbiamo già fatto anche nelle lezione precedenti e come faremmo nelle lezioni successive, cerchiamo di
inquadrare il personaggio in una maniera un pochettino più generale, cercando di dire che cosa fatto anche
in altri campi. Nella seconda metà invece della sua vita, cioè in particolare dopo il 1900, proprio come
anno, cioè allo scadere del secolo e all'inizio del nuovo secolo, Hilbert si è dedicato principalmente a
questioni di fondamenti di matematica, di fisica e di tante altre cose, quindi sono proprio questi gli
argomenti, sono queste le cose di cui parleremo in questo momento. Volevo dire però prima di parlare, di
cominciare ad affrontare dall'interno il lavoro di Hilbert, che il Hilbert è stato praticamente il più grande
matematico che è esistito in quel periodo, cioè nel passaggio fra l'800 e il ‘900. Dico praticamente, perché
in realtà erano due coloro che si contendevano questo titolo di miglior matematico, di più grande
matematico di quel periodo, uno era Hilbert e l'altro era Poincarè. Di Poincarè, di cui in realtà noi non
parleremo, perché è stato un grande matematico, ma in realtà dei fondamenti e soprattutto della logica
matematica non si è interessato, anzi era estremamente sdegnoso contro la logica matematica, non gli
interessava come argomento, prendeva in giro coloro che se ne interessavano, quindi noi oggi parleremo di
Hilbert. Ci concentreremo, come ho detto, sulla parte della sua vita, sulla parte della sua produzione
dedicata ai fondamenti; come vedete qui ho messo quattro argomenti, perchè Hilbert si è interessato non
soltanto di fondamenti della matematica, ma anche di altre cose, quindi parleremo brevemente dei
fondamenti della geometria, perché di lì è nata tutta l’intera questione della logica moderna praticamente,
dei fondamenti della logica matematica, perché questo è il nostro argomento, dei fondamenti della mateFondamenti
matica e addirittura i fondamenti della fisica; poiché però i fondamenti
¾ della geometria
della fisica sono anche un qualche cosa di marginale rispetto ai nostri
¾ della logica
interessi li affrontiamo subito, benché nella vita di Hilbert vengano
¾ della matematica
abbastanza tardi, cioè siano riferiti agli anni 1915-1920; sono qualcosa
¾ della fisica
di marginale, ma talmente importante che è difficile non parlarne,
perlomeno non citarle, perchè soprattutto fanno parte di quest'analisi dei fondamenti che era proprio lo
spirito logico, quindi anche se Hilbert in questi suoi lavori particolari dedicati alla fisica non ha parlato
direttamente di logica matematica, lo spirito che li informava era lo stesso che poi informava quello dei
fondamenti più propriamente della matematica, quindi praticamente erano una applicazione della logica o
meglio dei metodi, delle idee, della ideologia della logica, perciò siamo in tema praticamente. Bene allora,
vediamo da vicino quali sono stati i due contributi essenziali che Hilbert ha portato ai fondamenti della
fisica. Come tutti sapete la fisica moderna si divide praticamente in due grandi tronconi, la prima parte è la
relatività speciale prima e poi ristretta, il grande lavoro di Einstein del 1905 e poi del 1915, mentre la
105
seconda parte della fisica moderna è la cosiddetta meccanica quantistica; quindi da una parte lo studio della
relatività, perciò dell’infinitamente grande, del macrocosmo, della cosmologia, dell'universo nella sua
interezza e dall'altra parte invece la meccanica quantistica, l'esatto contrario, cioè lo studio del microcosmo,
Fisica
dell’infinitamente piccolo, dei quanti, delle particelle che compongono
¾ relarività
l'universo e naturalmente queste due visioni sono visioni complementari,
¾ meccanica quantistica
perché nell'universo c'è sia il piccolo che il grande ovviamente, ci sono
gli atomi e ci sono anche le galassie e così via. Però fino ad oggi non si è ancora riusciti a fare una
unificazione di questi due argomenti ed è per questo che in genere vengono presentati separatamente
Ebbene i contributi che Hilbert ha lasciato a questi argomenti sono molto importanti, li vediamo
brevemente. Anzitutto la relatività ed abbiamo qui nella slide questa immagine potente tra l'altro, che
dimostra anche qual'era la profondità d i pensiero, la si legge subito negli occhi di Einstein, che tutti
conoscono perché è stato lo scienziato più famoso del '900 ovviamente, addirittura il personaggio del
secolo secondo la rivista Times, non soltanto, ma in generale è
stato colui che ha caratterizzato il '900 con il suo pensiero. Ebbene
Einstein, come molti sapranno, ha creato nel 1905 la relatività
speciale e poi nel 1915 invece la relatività generale che è, come che
dicevo prima, lo studio della gravitazione da un p. di v. matematico,
è un tentativo di riformare le leggi di Newton sulla gravitazione e di
scriverle in maniera che fossero invarianti rispetto ad ogni sistema
di riferimento. Per poter far questo c'era bisogno di un grande
apparato matematico, quindi Einstein che era in realtà un fisco di
professione, conosceva ovviamente benissimo moltissime parti della matematica, però ha dovuto
appoggiarsi, proprio lui, sul lavoro e anche su l'aiuto a volte di matematici contemporanei a lui e anche
precedenti a lui. Ebbene nel 1915 per l'appunto, lo anno stesso in cui Einstein riuscì alla fine, a portare a
termine la relatività generale, dopo un periodo di quasi 10 anni di lavoro e soprattutto un periodo di due
anni molto intenso di attività, in cui si dice addirittura che fosse diventato quasi autistico, cioè chiuso nel
suo mondo, nei suoi pensieri, non parlava più nemmeno con gli amici, nemmeno con la famiglia, era
praticamente sempre lì a pensare a queste equazioni che avrebbero dovuto caratterizzare nientemeno che
l'universo. Ebbene la cosa ironica della storia è che a queste equazioni Albert Einstein arrivò secondo,
arrivò secondo nel giro praticamente di un paio di settimane, perché per prima ci arrivò nientemeno che
Hilbert appunto; Hilbert disse sempre che, in realtà, lui non voleva prendersi nessuno merito per quanto
riguardava la relatività, che gliela aveva insegnata Einstein stesso, i principi fondamentali della relatività
erano stati posti da Einstein e su questo non c'erano nessun dubbi, quindi l’intera costruzione fisica, l'intero
fondamento della relatività era certamente dovuto Einstein; però Hilbert aveva di fronte ad Einstein, nei
confronti di Einstein per l'appunto questo vantaggio, cioè di essere un grande matematico, di avere una
piena consapevolezza, un pieno controllo, diciamo così, dei mezzi tecnici della matematica moderna e
quando Einstein gli spiegò alla fine che cosa voleva fare, Hilbert ci pensò e raggiunse per l'appunto queste
equazioni qualche settimana prima di Einstein. L'importanza appunto non è tanto nel fatto che lo abbia fatto
prima o dopo, ma che l'abbia fatto in maniera puramente matematica, mentre l'approccio di Einstein è stato
un approccio appunto di natura fisica, cioè l'intuizione di Einstein era un'intuizione fisica, l'intuizione di
Hilbert invece era un'intuizione di tipo matematico. Questo è stato il primo grande risultato che ha portato
per l'appunto dei grossi risultati nel campo della fisica matematica e nel campo dei fondamenti della fisica.
Il secondo campo invece, in cui dicevo che Hilbert si è interessato, è invece quell'altro, la meccanica
quantistica. La meccanica quantistica è nata verso il 1925-1926 grazie a questi due signori che vedete nella
side, due premi Nobel giovanissimi, uno nel 1932 e l'altro nel 1933; questo signore qui a sinistra si chiama
Shroedinger e questo altro sulla destra si chiama Heidelberg, due dei grandi nomi della fisica moderna.
Insieme a Bohr, che aveva preso il premio Nobel qualche anno prima, ebbene questi tre nomi sono coloro
che hanno creato questo studio della meccanica quantistica. Che cosa c'entra Hilbert con tutto questo? Beh,
c'entra perché in quegli anni Shroedinger ed Eisenberg arrivarono a due formulazioni diverse della
meccanica quantistica, erano anni appunto di ricerca, questi signori lavorarono in campi diversi,
Shroedinger era originario dell'Austria, Eisenberg era originario della Germania, questi due signori, questi
106
due studiosi, i due fisici, trovarono due teorie che in realtà sembravano quasi in contrapposizione fra di
loro. Ebbene, dal punto di vista matematico nessuno dei due era appunto un grande matematico, erano
entrambi fisici e quello che si scoprì poi nel 1927, era che entrambe le teorie che avevano portato avanti,
che avevano scoperto Shroedinger e Eisenberg, erano in realtà formulabili in uno stesso ambiente, con uno
stesso linguaggio matematico e questo linguaggio matematico è quello che ancora oggi viene usato in
questo campo e si chiama appunto "spazi di Hilbert". Gli spazi di Hilbert sono spazi geometrici ad infinite
dimensioni, cioè analoghi a quelli in cui noi ci muoviamo, cioè lo spazio Euclideo, del quale tra l'altro
parleremo tra breve per i fondamenti della geometria, soltanto che invece di avere tre o quattro dimensioni,
come quelli soliti a cui siamo abituati, cioè le tre dimensioni spaziali ed eventualmente una quarta
dimensione temporale, questi spazi di Hilbert hanno infinite dimensioni. Hilbert sviluppò questa geometria
di spazi ad infinite dimensioni, lo fece per motivi di natura matematica e poi si scoprì nel 1927 che quello
era veramente il linguaggio adatto a parlare della meccanica quantistica. Quindi questo fu un grande
contributo matematico di Hilbert, che poi risultò essere utile per i fondamenti della fisica. Affrontiamo ora
meglio da vicino quelli che furono gli interessi più matematici di Hilbert e vediamo brevemente qual'è stato
il percorso che poi ha portato a grandi risultati anche di logica matematica.
Nel 1899, l'anno prima dello scadere del secolo, Hilbert scrive un libro che si chiama i “Fondamenti della
geometria”, lo scrive come lezioni di un corso che aveva tenuto per un paio danni, in quegli anni e introduce
un atteggiamento nuovo verso lo studio della geometria; non più tanto, lo studio, lo sviluppo, diciamo così,
Fondamenti della geometria (1899)
della geometria, perché quello era ormai, soprattutto della
Metageometria:
geometria euclidea, un qualche cosa che si conosceva
¾ completezza
ormai benissimo da 2000 - 2500 anni, ma quello che
interessava a Hilbert erano soprattutto i fondamenti della
¾ indipendenza
geometria, cioè cercare di studiare il sistema assiomatico
¾ consistenza
di Euclide e studiarlo da un p. di v. che noi oggi chiameremo di meta-geometria, cioè porsi al di sopra della
geometria, fare della geometria l'oggetto di studio della matematica
stessa. In particolare parleremo brevemente in questa lezione di questi
tre tipi di problemi, cioè "la completezza, l'indipendenza e la
consistenza degli assiomi". Sono tutte nozioni alle quale abbiamo già
accennato in precedenti lezioni, però sono proprio nate praticamente,
hanno visto la luce in questo libro di Hilbert. Qual'è stata l'origine
storica di queste nozioni; ebbene eccolo qua il nostro Euclide, ne
abbiamo già parlato più volte, nel terzo secolo a.C. Euclide fonda la
matematica greca, la matematica moderna ai suoi tempi ovviamente, fonda la matematica su un sistema
assiomatico, cioè stabilisce cinque assiomi che sono i cinque mattoni principali su cui si fonda tutto
l'edificio della geometria. Questi cinque assiomi sono in particolare assiomi che dicono, per esempio, che
“tra due punti passa una e una sola retta”, che “dato un segmento e dato un punto è possibile costruire un
cerchio che abbia quel segmento come raggio e quel punto come centro” e così via, ma poi ci fu in
particolare un quinto assioma, il famoso quinto assioma di Euclide che parlava di rette parallele; il quinto
assioma diceva che “data una retta è un punto al di fuori di essa è possibile tirare una e una sola parallela
alla retta data”. Vedremo poi meglio, in particolare tra qualche minuto, che cosa significa questo assioma.
L'importanza di questi cinque assiomi è che Euclide credette, sottolineo questo verbo, di poter derivare da
essi tutti i suoi teoremi che sono centinaia nell'intero “libro degli elementi”, in 13 volumi; ebbene dicevo
che credette di poter derivare tutti i suoi teoremi dai cinque assiomi, quella era la base logica su cui si
fondava la geometria. Però c'erano i problemi ed i problemi del sistema assiomatico di Euclide erano in
particolare due: il primo problema è quello della completezza e il secondo quello dell'indipendenza.
Problemi
Cosa vogliono dire brevemente queste due cose? Completezza vuol dire
¾ completezza
che effettivamente tutti teoremi che Euclide enunciò nei suoi elementi,
¾ indipendenza
nei suoi libri si potevano effettivamente derivare degli assiomi, questa è
la prima cosa e indipendenza significa invece che quei cinque assiomi erano indipendenti tra di loro, cioè
107
nessuno dei cinque poteva essere derivato dai rimanenti quattro, cioè
erano proprio necessari tutti e cinque, non si potevano in qualche
modo fare a meno di qualcuno. Questi sono i due grandi problemi
che storicamente furono generati dall'edificio di Euclide. Quale fu la
scoperta? Beh, la scoperta, notate, è molto successiva, cioè questi
personaggi, alcuni di quali li abbiamo già visti, in particolare Leibniz,
a cui abbiamo dedicato un'intera lezione, Gauss e Riemann
grandissimi nomi della matematica, Leibniz l'inventore del calcolo
infinitesimale insieme a Newton. Gauss lo si chiamava, il principe
dei matematici, forse uno dei più grandi matematici mai esistiti,
Riemann l'inventore di quella che oggi viene chiamata la geometria
riemanniana, che è proprio la geometria che serviva ad Eistein tra
l'altro, per il descrivere il mondo, la cosmologia della relatività
generale, quindi vedete grandissimi matematici che svilupparono
questi strumenti importantissimi; ebbene questi matematici, uno
dopo l'altro, leggendo i libri, l'edificio degli elementi di Euclide,
scoprirono che molti dei teoremi che Euclide credeva che si potessero dimostrare a partire dai suoi assiomi,
in realtà non erano così, non si potevano dimostrare, non derivavano da questi assiomi. Ad esempio si
scoprì addirittura che il primo teorema che Euclide dimostrava nel primo libro degli elementi, quindi
proprio il primo passo che faceva, già quello non era una conseguenza degli assiomi, perché questo teorema
diceva che si poteva costruire un triangolo equilatero a partire da un segmento, la costruzione è ovvia, si
prende un segmento, si punta il compasso da una parte, si fa un pezzo di cerchio, si punta il compasso
dall'altra, si fa un altro pezzo di cerchio, dove i due cerchi si incontrano si tirano i due lati e quello è un
triangolo equilatero. Il problema è nel dove i due cerchi si incontrano, perché Euclide non aveva posto
nessun assioma che assicurasse che, se noi prendiamo due linee che non sono parallele, due curve che a un
certo punto sembrano intersecarsi, queste due curve effettivamente s'intersecano; questo era un problema
cosiddetto di completezza della linea. Questo però è uno solo dei problemi, ci sono tantissimi altri risultati
di Euclide che si scoprì che non derivavano direttamente le sue assiomi, c'era bisogno di altri assiomi. E ciò
che Hilbert fece, per l'appunto in questo libro nel 1899, a cui abbiamo accennato, cioè “I fondamenti della
geometria”, fu precisamente quello di riuscire a rimettere in sesto gli assiomi di Euclide, di trovare gli
assiomi che fossero sufficienti per dimostrare tutti i teoremi della geometria classica. Come vedete dalla
slide, qua giù, gli assiomi che Hilbert enunciò erano in realtà 20. Di questi 20 assiomi, notate la differenza,
Euclide credeva che cinque fossero sufficienti, in realtà, da un punto di vista moderno Hilbert riuscì a fare
meno di tante assunzioni, però a non fare a meno di meno di 20 assiomi. Quindi c'era effettivamente un
ingrossamento, diciamo così, dell'apparato tecnico assiomatico che era necessario per la geometria, però
riuscì anche a dimostrare la completezza, per la prima volta riuscì a far vedere che effettivamente tutti i
teoremi che si potevano dimostrare della geometria euclidea, si potevano far derivare da questi assiomi che
lui aveva enunciato ed quindi da qui nasce il problema della completezza degli assiomi. Questo è soltanto
uno dei punti di vista che Hilbert introdusse, uno dei suoi famosi motti e adesso qui l'abbiamo illustrato, in
questa maniera un pochettino figurativa, era che in realtà la cosa importante era quella di fare le cose in
maniera assiomatica, cioè di non descrivere la matematica parlando di enti che non sono definiti. Gli enti
della matematica sono ovviamente i soliti della geometria, punti, linee e
piani, Hilbert però diceva, l'importante non è basarsi su un'intuizione,
non credere di sapere a priori che cosa siano i punti, che cosa siano le
linee e che cosa siano i piani, ma punti, linee e piani sono
semplicemente oggetti che soddisfano le proprietà che gli assiomi
stabiliscono. Infatti diceva che dovrebbe essere possibile sostituire, ad
esempio, ai punti le tavole, alle linee le sedie e ai piani i boccali di birra
e ciononostante, se quei soggetti soddisfano gli assiomi, dobbiamo poter
derivare per tavole, sedie e boccali di birra, anche per essi, gli stessi
teoremi della geometria euclidea che valgono per punti linee e piani; qui ovviamente per tavole intendevo
108
ovviamente i tavoli, abbiamo così un po' scherzato e fatto vedere queste immagini che si riferivano a questo
suo famoso motto. Quindi questa è l'idea del sistema assiomatico, del formalismo di Hilbert; ricordatevi che
la nostra lezione si chiama questione di forma, l'idea del formalismo era appunto questa, cioè quando si fa
un sistema assiomatico non si deve supporre di conoscere il significato dei termini che vengono usati negli
assiomi. Gli assiomi definiscono in maniera implicita che cosa significano questi termini ed in particolare se
altri termini, appunto questi, cioè tavoli, sedie e boccali di birra, soddisfano questi assiomi, allora anche tutti
i teoremi dovranno essere veri, per questo tipo di concetto. Quindi questo è un approccio molto formale,
molto moderno, molto diverso ovviamente da quello che aveva Euclide, il quale invece s'era fatto per
l'appunto in qualche maniera fuorviare dall'intuizione, perché lui aveva messo su 5 assiomi che credeva gli
potessero servire, credeva che potessero essere sufficienti per la geometria, ma in realtà poi procedeva
intuitivamente e quindi spesse volte usava delle proprietà che erano in qualche modo nascoste dentro di
oggetti di cui lui aveva una perfetta conoscenza. Hilbert questo non lo fa ed è proprio il formalismo che
permette di costruire dei sistemi assiomatici che siano completi perché non si fa riferimento all' intuizione.
Il secondo problema invece, che era il problema dell'indipendenza, nasce appunto dal quinto assioma di
Euclide, che ovviamente diventa non più quinto, ma un altro della serie dei 20 assiomi di Hilbert, ma
rimane lì, cioè l'assioma delle parallele. Come abbiamo già detto prima,
l'assioma delle parallele dice soltanto che, se noi abbiamo una retta ed
un punto fuori di essa, allora c'è una sola parallela che passa per quel
punto alla rete data. Il problema è: l'assioma delle parallele è
necessario, oppure si può far derivare dai rimanenti assiomi? Questo è
un problema che già s'erano posti molti altri prima di Hilbert
ovviamente, di cui adesso vedremo, per l'appunto brevemente, la storia
ed in particolare se lo erano posti di nuovo grandi matematici, come
Gauss che ritorna ovviamente, perché nell'800 c'era lui, il suo spirito
galleggiava nella matematica e altri due personaggi, che sono questo
signore Bolyai e Lobachevski, due personaggi che vengono da quella
che oggi chiameremo l'Europa dell'est. Ebbene agli inizi dell'800
questi due personaggi, dopo decenni, anzi secoli in realtà, di tentativi
di dimostrare che l'assioma delle parallele era indipendente dagli altri
quattro, ebbene loro effettivamente ne dimostrarono l’indipendenza o
perlomeno svilupparono una geometria che viene chiamata appunto
geometria iperbolica, in cui gli altri quattro assiomi di Euclide
continuano a valere e quindi c'è una parte comune con la geometria
euclidea, ma l'assioma delle parallele invece non vale, cioè si sono
infinite parallele, che passano per un punto, parallele ad una retta data, invece di essercene una sola ce ne
sono infinite. Ora questa è una geometria che, a prima vista, potrebbe sembrare qualche cosa di strano,
qualche cosa di inconsistente addirittura e in effetti questo era il tentativo, cioè di supporre che non valesse
l'assioma delle parallele, vedere se da questa negazione si poteva dedurre una contraddizione e quindi
dimostrare per assurdo appunto con il procedimento che noi ben conosciamo, che l'assioma delle parallele
discendeva dagli altri quattro assiomi. Però invece quello che riuscirono a fare Gauss, Lobyai e Lobachevki
fu di costruire una geometria alternativa senza però mai arrivare a delle inconsistenze, senza mai arrivare a
delle contraddizioni. Questo non è ancora ovviamente una
dimostrazione di indipendenza, ne parleremo tra un momento, però
nel 1868 Beltrami,un geometra italiano scoprì una cosa importante,
cioè quello che oggi viene chiamato un modello euclideo della
geometria non euclidea, cioè il modello euclideo della geometria
iperbolica, in altre parole scoprì che è possibile all'interno del piano
euclidea fare un modello della geometria iperbolica, il modello è
quello che vediamo nella slide e le rette questa volta sono questi
archi di cerchio che sono perpendicolari ad un cerchio dato e
queste figure che noi vediamo sulla slide, che sono figure storte, in
109
realtà sono dei triangoli della geometria iperbolica; ebbene questo modello euclideo fu veramente
importante perché dimostrò una cosa fondamentale, cioè dimostrò che la geometria iperbolica poteva
anche essere inconsistente, cioè ci potevano essere anche delle contraddizioni, ma se c'erano delle
contraddizioni lì, poiché c'era un modello euclideo di questa geometria, le contradizioni dovevano già stare
anche nella geometria euclidea e quindi non era possibile dimostrare in quel modo l'indipendenza
dell'assioma delle parallele, perché se c'erano da una parte le contraddizioni, dovevano esserci anche
dall'altra. Vediamo più da vicino altri modelli della geometria iperbolica che sono un pochettino più
artistici, ma sono dello stesso genere e sono due modelli d'un pittore che già conosciamo, che abbiamo usato
in precedenza due, tre volte, nelle nostre lezioni, che si chiama Escher appunto. Questi modelli si chiamano
"tutti i limiti del cerchio"; sono quattro rappresentazioni, qui nelle slide ne faccio vedere soltanto due, sono
quattro rappresentazioni del 1958, l’anno in cui Escher scoprì la geometria iperbolica, in cui si diverte a
rappresentare graficamente, in maniera artistica però, i modelli appunto di Beltrami e anche i modelli di
altri, di Klein, di Poincarè, che erano stati trovati nei decenni successivi. In particolare vediamo il primo; il
primo tentativo di Escher fu questo qua (v. slide al centro); vedete il modello è lo stesso di quello che avevo
fatto vedere prima, ci sono queste linee curve che sono perpendicolari al bordo di questo cerchio, queste
linee sono le rete della geometria iperbolica, vedete qui tra l'altro ce ne sono altre e capite subito che
effettivamente in questa geometria è possibile data una retta trovare tante parallele a quella retta data che
passano per un punto. Ovviamente qui stiamo considerando soltanto una parte del piano euclideo e i
triangolini del precedente modello di Beltrami sono diventate delle figure. Escher però non era tanto
soddisfatto di questo modello, era ancora poco artistico, infatti ci lavorò nello stesso anno, ne produsse altri
due e questo è l'ultimo (v. slide a sx), forse il più bello dal punto di vista artistico, la geometria iperbolica
diventa oggetto di arte, ci sono dei pesci che stanno andando verso il bordo e vedette queste linee bianche,
che si vedono sullo schermo, sono precisamente le tracce delle rette della geometria iperbolica; quindi la
geometria iperbolica addirittura fece da tramite, diciamo così, tra la matematica e l'arte, arrivò ad ispirare
qualche artista in modo da fargli fare delle opere che sono piuttosto interessanti. Notate che, dal punto di
vista della geometria iperbolica, questi animali hanno tutti la stessa dimensione, dal punto di vista della
geometria euclidea no ovviamente, perché vediamo che si rimpiccioliscono man mano che vanno verso il
bordo, ma questo non significa nulla perché questa è un'immagine dell'intero piano iperbolico e quindi,
praticamente, se noi fossimo su questo piano, se noi fossimo questi animaletti, saremmo semplicemente noi
che ci stiamo spostando, ma senza diventare più piccoli, sembra a noi che queste cose siano una più piccola
dell'altra, ma non lo sono e questo già vi dice come la geometria iperbolica sia strana per l'appunto. Ebbene
la stranezza sta proprio in quello che dicevo, cioè si riesce a dimostrare in qualche modo matematico,
corretto, che la geometria iperbolica non ha delle contraddizioni, Vediamo meglio che cosa succede in
questo campo.
Il punto di partenza, in realtà di tutta la storia, fu Cartesio, lo abbiamo già citato altre volte, che nel 1637
inventò o scoprì quella che oggi si chiama la geometria cartesiana, cioè l'idea di associare a dei punti le loro
coordinate, cioè ciascuna coordinata è ovviamente la misura di una distanza, che è un numero reale e a
110
ciascun punto si associano
due numeri reali, che sono le sue coordinate, cioè le distanze dagli assi x e y.. Ebbene, nel 1899 Hilbert
scoprì nel suo libro famoso “ I fondamenti della geometria”, che questo modo di fare di Cartesio si poteva
portare avanti, si poteva portare talmente avanti da dimostrare che i numeri reali, cioè l'analisi, costituivano
un modello della geometria euclidea; in altre parole abbiamo visto prima poco fa, che Beltrami fece vedere
che c'era “un modello della geometria iperbolica nella geometria euclidea” e adesso Hilbert sta facendo un
passo avanti, sta facendo vedere che è possibile fare “un modello della geometria euclidea nell'analisi”, cioè
sta cercando di spostare il problema della consistenza dalla geometria all’analisi. Il non riuscire a
dimostrare che non si possono produrre delle contraddizioni si è spostato prima dalla geometria iperbolica
alla geometria euclidea con Feltrami. Abbiamo detto che l’essenza del teorema di Beltrami era appunto
questo, che se c'erano delle contraddizioni nella geometria iperbolica, in realtà queste contraddizioni
dovevano già esserci nella geometria euclidea, ebbene il passo successivo, quello che Hilbert fece, fudi far
vedere che se c'erano delle contraddizioni nella geometria euclidea, queste contraddizioni dovevano già
esserci nell'analisi, cioè “nella teoria dei numeri reali” e allora che cosa succede? Succede quello che
scherzosamente qui abbiamo indicato con uno scarica barile. Stavamo cercando di convincerci, che la
geometria iperbolica non possedeva delle contraddizioni, era qualche cosa che abbiamo chiamato
consistente, non l'abbiamo direttamente dimostrato, ma abbiamo fatto
vedere che, se la geometria iperbolica è inconsistente, lo deve già
essere anche la geometria euclidea e quindi da questo punto di vista,
le due geometrie sono uguali, dal punto di vista della consistenza; poi
abbiamo citato il risultato di Hilbert che, se la geometria euclidea è
inconsistente, lo deve già essere l'analisi, però nessuna di queste
dimostrazioni è una vera e propria dimostrazione di consistenza, è
soltanto appunto uno scaricabarile, cioè dire bah, se questa è
inconsistente lo è anche qualche cos'altro, se questo qualche cosa è
inconsistente, a sua volta lo è qualche cos'altro, ma stiamo semplicemente spostando il problema da una
parte all'altra. Bisogna, così disse Hilbert ad un certo punto, arrivare ad un punto in cui si ferma questo
scaricabarile. E dove si deve fermare questo scarica barile? Bisogna arrivare ad un punto in cui direttamente
si dimostra la consistenza di uno di questi sistemi, cioè o si dimostra direttamente che la geometria
iperbolica è consistente, cioè non ha delle contraddizioni o si dimostra direttamente che la geometria
euclidea non ha delle contraddizioni o si dimostra che l'analisi non ha delle contraddizioni o qualche
cos'altro. Vedete qui ci sono dei puntini, invero abbiamo già citato altre volte il fatto che a sua volta l'analisi
stessa era stata ridotta all'aritmetica, vi ricorderete appunto la lezione su Frege per esempio, dove abbiamo
parlato del modo in cui si può pensare un numero reale, cioè come un insieme infinito di cifre decimali e
quindi lo scaricabarile in teoria potrebbe ancora andare avanti ed arrivare all'aritmetica, ma ad un certo
punto sarebbe bene fermarsi, bisogna arrivare una volta per tutte a dimostrare la consistenza dell'ultimo
barile, per così dire, in modo che tutte le altre teorie che si basano su quelle, cioè l'analisi che si basa sulla
aritmetica, la geometria euclidea che si basa sull'analisi, la geometria iperbolica che si basa su quelle
euclidea, tutte queste teorie alla fine vengono dimostrate automaticamente essere consistenti e allora non c'è
contraddizione nella matematica, dormiamo in altre parole i nostri sogni tranquilli. Bene, chi riuscì
effettivamente fare questo? Beh, anzitutto perlomeno ci provò e quando lo si provò? La storia di questa
avventura incominciò nel congresso di Parigi del 1900; qui Parigi ovviamente è simboleggiata con la torre
Eiffel. Ricorderete che, quando abbiamo parlato in un'altra lezione di Russell, abbiamo detto che andò nel
1900 a Parigi, era l'anno ovviamente di passaggio da un secolo all'altro, c'era questa grande fiera
internazionale, si fece prima “un congresso di filosofia” e poi “un congresso di matematica”.
111
Nel congresso di filosofia Russel scoprì Peano, incontrò Peano per
l’appunto, come ricorderete e di lì nacque praticamente in quella
settimana, quella che poi divenne la logica matematica, la logica di
questo secolo perchè Russell fu il suo più grande propagandista. Quindi
vedete che, in quel particolare momento, a Parigi stavano succedendo
tante cose. Ebbene la settimana dopo il congresso di filosofia si tenne a
Parigi il congresso di matematica che era il secondo congresso mondiale
di tutti i matematici del mondo, il secondo perchè il primo è stato nel
1897 a Zurigo. Che cos'era successo Zurigo? Si è invitato ad aprire il congresso, uno dei due più grandi
matematici, che come ho detto erano soltanto due all'epoca, Hilbert e Poincarè e fu Poincarè colui che era
stato invitato. Invece nel congresso di Parigi del 1900 fu Hilbert colui al quale fu dato l'onore e anche
l'onere di aprire i lavori e di fare questa grande prolusione. Hilbert si trovò anche un pochettino
nell'imbarazzo, perché ovviamente era il 1900, non poteva soltanto parlare dei suoi lavori, decise di fare
qualcosa di visionario, cioè disse stiamo nel 1900, siamo nel primo anno appunto del 900, il nuovo secolo,
quello che io farò è di dare, disse lui, una lista ai matematici di tutto il mondo che erano convenuti a Parigi,
di darvi una lista dei più importanti problemi aperti, di quelli ch'io considero i più importanti problemi
aperti, perché poi andiate a casa e invece di dire, come diceva papa Giovanni, “ dite ai vostri bambini di
risolverli”, cercate voi di risolverli. In realtà questa lista di 23 problemi divenne così importante che oggi i
problemi di questa lista si chiamano appunto problemi di Hilbert, perché sono associati al suo nome. Sono
23 problemi che hanno in qualche modo segnato la storia della prima metà del 1900 e che i matematici
tentarono di tutti molti di riuscire a risolverne qualcuno. Chiunque avesse avuto la fortuna e anche
ovviamente l'abilità, la capacità di risolvere uno di questi problemi di Hilbert, sarebbe diventato e in effetti
così fu per molte persone, un simbolo della matematica moderna, un genio riconosciuto. Ebbene, uno dei
problemi di Hilbert, anzi il secondo problema della lista di Hilbert, fu precisamente quello della
“consistenza dell'analisi”. Ovviamente qui l'abbiamo scritto con un punto interrogativo perché nel 1900
questo era un problema aperto, cioè Hilbert stava dicendo: io non conosco la soluzione di questi problemi,
vedete voi di lavorare tutti insieme per risolverli. Il secondo problema, che Hilbert mettendolo al secondo
punto della sua lista, faceva vedere, dimostrava che era uno dei problemi più importanti che si potessero
pensare, era precisamente quello della consistenza dell'analisi, cioè l'idea di dire basta con lo scaricabarile,
abbiamo dimostrato la consistenza della geometria iperbolica rispetto a quella della geometria euclidea,
abbiamo dimostrato la consistenza della geometria euclidea rispetto a quella dell'analisi, adesso dobbiamo
dimostrare la consistenza dell'analisi non rispetto qualche cosa altra, ma rispetto a se stessa, con dei metodi
che siano direttamente scientifici in qualche modo, costruttivi, che non si possono mettere in dubbio.
Questo fu un grande apporto di Hilbert alla matematica, ai fondamenti della matematica. Un altro grande
apporto fu di nuovo in un Congresso nel 1928 , quindi molti anni dopo il Congresso del 1900, in una città
diversa che come vedete nella slide è Bologna, queste sono due famosi torri di Bologna.. Hilbert era ormai
vecchio a quell'epoca, però ancora pensava ai fondamenti, ancora pensava ai problemi aperti e in particolare
nel congresso di Bologna propose due importanti problemi: il primo problema era il “problema di
completezza della logica ". Vi ho detto prima, che nel 1899 Hilbert
dimostrò che in realtà la geometria era completa, era stato trovato un
sistema di assiomi completo per la geometria, dai quali si potevano
derivare tutti i teoremi di Euclide, ebbene Hilbert si chiede a questo
punto nel 1928: forse esiste un sistema di assiomi che è completo per la
logica? Proprio di questo ne abbiamo parlato più volte e in particolare
c'era un sistema che era un po’ l'analogo, per quanto riguarda la logica,
del sistema assiomatico di Euclide e poi in seguito di Hilbert, cioè era il
sistema di Frege o se volete il sistema di Russel, come l'avevano poi
ritrascritto Russell e Whitehead nei "principia matematica". Ora Hilbert pone il problema della
completezza di questo sistema, cioè se ci sono verità logiche che non si possono dedurre dagli assiomi di
Frege oppure questo sistema è completo, nel senso che tutto ciò che è vero, tutto ciò che è deducibile, si può
dedurre da quegli assiomi e questo è il primo grande problema del 1928.
112
Il secondo grande problema è il problema della “decidibilità
della logica”, cioè è possibile decidere, data una formula della
logica, se questa formula è vera o falsa, se questa formula è
deducibile oppure no, dai teoremi? Ricordatevi che per la logica
proposizionale la risposta a tutti e due questi problemi è una
risposta positiva, la completezza della logica proposizionale era
stata dimostrata nel 1921 da Post, ne abbiamo parlato quando
abbiamo parlato di Wittgenstein e in particolare le tavole di
verità di Wittgenstein erano precisamente un metodo di decisione
della logica proposizionale, cioè se voi avete una formula della logica proposizionale, cioè fatta attraverso i
connettivi, che è praticamente la logica di Crisippo, ebbene gli assiomi della logica proposizionale sono
sufficienti per dimostrare tutte le verità logiche, le cosiddetti
tautologie e sapere se una formula è una tautologia oppure no,
si può fare facilmente usando appunto queste tavole di verità.
Ebbene che cosa succede? Succede che nel 1930-1931, quindi
due anni dopo soltanto il congresso di Bologna, ecco che questo
signore che è Goedel, di cui abbiamo già parlato e del quale tra
poco finalmente arriveremo a parlarne addirittura per due
lezioni, circa i risultati più importanti della logica moderna,
dimostrò anzitutto nel 1930, “la completezza della logica”,
quindi risolse in modo positivo il primo problema di Hilbert del
congresso di Bologna, cioè che effettivamente gli assiomi di Frege sono sufficienti per dimostrare tutte le
verità logiche e questo è un primo passo, molto importante, costituisce l'analogo del risultato di Post per la
logica proposizionale. Poi nel 1931 Goedel dimostra invece "l'indimostrabilità della consistenza", cioè
risolve nientepodi- meno il secondo problema di Hilbert, quello vero, quello del congresso del 1900. Sono
passati 31 anni e finalmente si è trovata la risposta. Qual'è la risposta:? La risposta è che “l'analisi non si
può dimostrare consistente con dei metodi elementari”, nessuna teoria matematica in realtà si può
dimostrare essere consistente con dei metodi elementari, in altre parole la consistenza di una teoria deve
essere sempre fatta dal di fuori, bisogna usare dei metodi più forti per dimostrare la consistenza di una
teoria più debole. Ed ecco che allora questo scarica barile in realtà è qualche cosa di necessario, cioè non si
può arrivare alla fine e dire che lo scaricabarile si ferma qui e dimostrare direttamente la consistenza di un
sistema, ma dimostrare la consistenza di un sistema significa sempre doversi appoggiare a qualche cosa di
più forte. Questa è la soluzione del problema di Hilbert, cioè questo scarica barile non si può finire. Per
quanto riguarda invece l'ultimo problema, al quale abbiamo appena accennato per l'appunto, che Hilbert
pose nel congresso di Bologna, cioè la decidibilità della logica, questo problema fu risolto pochi anni dopo
nel 1936, da questi due signori, Turing e Church. Anche a Turing, che è molto noto fra l'altro, dedicheremo
una delle nostre ultime lezione, Church è uno dei logici più famosi di quegli anni, degli anni 30, tutti e due
indipendentemente con due metodi diversi dimostrarono che la logica è indecidibile, stiamo parlando
ovviamente della logica dei predicati. La logica di Crisippo, la logica dei proposizionale ovviamente, cioè
il calcolo proposizionale, era decidibile attraverso le tavole di verità, ebbene quando si sale al livello dei
predicati, non c'è nessun metodo di decisione, non c'è un procedimento meccanico che ci permette di
decidere, data una formula, se questa formula è vera oppure no, se questo è un teorema oppure no. Questo è
praticamente il risultato finale, dal percorso che Hilbert fece a partire dal 1899, attraverso i fondamenti della
geometria fino al 1931 e '36, con grandi risultati di Goedel e Turing e così via, cioè i problemi che Hilbert
pose, i problemi fondazionali che vennero posti e come gli si risolse, in maniera a volte positiva, a volte
negativa, da Goedel, da Church e da Turing. L'ultima cosa appunto che posso dire sul percorso di Hilbert fu,
che verso la fine della sua vita, (vedete nella slide Hilbert ormai vecchio e anche questo signore che era un
suo studente che si chiamava Bernays), Hilbert e Bernays scrissero a loro volta una grande opera in due
volumi, 1934 e 1939, che si chiama ”I fondamenti della Matematica”. E' l’opera che in qualche modo
eredita tutta la problematica che era stata aperta da Frege, da Russell e così via e che in qualche modo
chiude la storia di questo periodo, perché in questa opera confluiscono tutti questi risultati che vi ho detto, i
113
risultati di Goedel sulla completezza della logica dei predicati, sui teoremi di incompletezza, sui teoremi di
indimostrabilità della consistenza, sull’indecidibilità della logica e così via. E con questo abbiamo concluso
questa nostra lezione sul lavoro dei fondamenti della matematica di Hilbert e vi do appuntamento alla
prossima lezione ovviamente.
LEZIONE 14: L’intuizione al potere
La scorsa volta abbiamo parlato di un grande matematico, Hilbert e del suo ruolo sui fondamenti della
matematica. Vi avevo già parlato anticipato la scorsa volta che nella prossima lezione, che adesso è
diventata questa, avremmo parlato d'un altro grande matematico, che si chiama Brouwer. Brouwer era un
olandese, anche lui un grande matematico, prestato in qualche modo agli studi sui fondamenti e questo
Brouwer divenne in realtà il leader di un vero e proprio movimento alternativo, un qualche cosa che oggi si
potrebbe chiamare un movimento di contestazione dall'interno della matematica e questo movimento di
contestazione si chiamò “Intuizionismo” . La parola era derivata ovviamente dalla parola intuizione, ma il
fondamento dell'intuizionismo era un fondamento filosofico, basato sulla filosofia kantiana, ecco perché
abbiamo chiamato questa nostra lezione “l'intuizione al potere”; vi mando un pochettino i motti che
andavano di moda, andavano d'uso negli anni 60, nel 68 quando c'era la contestazione giovanile. Si diceva
la fantasia al potere, qui invece l’idea di Brouwer agli inizi del secolo era appunto l'intuizione al potere, cioè
un modo nuovo per l’appunto di concepire non soltanto la matematica, ma anche la logica, prima di tutto
forse la logica, da un punto di vista filosofico e fondazionale e poi di conseguenza anche un modo nuovo di
concepire la matematica. Vediamo allora oggi in questa lezione che cosa significa, che cosa significò
l'intuizionismo. Partiremo un pochettino da lontano, perché in realtà le problematiche che vennero sollevate
da Brouwer all'inizio del 900 sono in realtà problematiche molto antiche, che affondano le loro radici, in
realtà nella storia addirittura nella storia molto antica, addirittura della matematica greca e così via; questo
forse lo avrete un pochettino capito nelle nostre lezioni, che quello che succede oggi in realtà è soltanto
un'immagine, un riflesso di ciò che è successo ieri e ovviamente contiene il germe, il seme come un granello
di sabbia nell'ostrica, in realtà contiene la perla del futuro, cioè non c'è un distacco tra il passato, il presente
e il futuro, c'è una continuità; ovviamente i problemi nascono, crescono, poi diventano maturi, si risolvono e
così via, viene acquistata una nuova maturità, si conoscono nuove tecniche, insomma la storia prosegue e
tutto questo era per dire che appunto andremo a curiosare di nuovo nel passato, come abbiamo già fatto
molte volte, per vedere, per trovare nel passato i germi di quali sono i problemi del presente. In particolare
parleremo di ciò che si chiama in matematica il “costruttivismo”, cioè questa teoria di cercare di costruire
i propri oggetti. Il motto del costruttivismo è “essere” significa “essere fatti”. Non è una lezione metafisica
Costruttivismo
questa, dell'esistenza del costruttivismo, ma una nozione molto pratica,
Essere = essere fatti
cioè esiste ciò che si costruisce, esiste ciò che si fa, il resto è appunto
1. in geometria
fuori del mondo in qualche modo, perlomeno fuori del mondo del
2. in algebra
costruttivista. Noi affronteremo il costruttivismo in tre parti diverse,
naturalmente, come al solito, andremo un pochettino a volo d'uccello,
3. in logica
accenneremo ai problemi e poi lascio a voi ovviamente la cura di andare ad approfondire queste cose;
comunque dicevo, accenneremo ai problemi del costruttivismo in tre aree molto diverse, anzitutto la
geometria, poi l'algebra e poi la logica. Questi sono i tre punti in cui noi abbiamo diviso la nostra lezione;
però vi ricordo non c'è una grande differenza tra queste cose, perché la logica matematica è precisamente,
come vi dicevo agli inizi delle lezioni, lo studio matematico del ragionamento matematico e quindi è ovvio
che tutte le volte noi continuiamo a fare riferimento a ciò che è successo nel corso dei secoli nella
matematica, in particolare in questo caso oggi nella geometria e nell’algebra, perché è proprio di questo,
perché è proprio di ciò di cui s'interessa la logica matematica, analizzare i tipi di ragionamenti che si sono
usati in matematica e questo in particolare del costruttivismo, questo particolare p.di v. del costruttivismo è
precisamente uno dei nodi essenziali della logica moderna. Quindi vediamo questo nuovo argomento,
affrontiamolo anzitutto come vi ho detto dalla geometria. Vediamo che cosa significa costruire in geometria.
Ebbene, qui abbiamo una figura, la vedete qui, in realtà due figure, due strumenti che sono gli strumenti
114
principali del geometra, la riga e il compasso. La geometria greca
negli elementi di Euclide del quale abbiamo parlato ormai decine di
volte, ebbene negli elementi di Euclide si sottolinea e per sottolineare
c’è bisogno appunto di una riga, si sottolinea sempre questo fatto,
che le costruzioni devono essere sempre costruzioni fatte con la
riga e con il compasso. Dove arriva questa fissazione dei greci per
questi due strumenti, ci sono tanti altri modi di costruire, per esempio
si può fare disegno a mano libera e cosi via. Come mai i greci si
fissavano sulla riga e sul compasso? Beh, l'idea di questa fissazione
arriva in realtà da Platone, è un idea filosofica, l’idea che la riga e il compasso sono gli strumenti che
permettono di costruire le due figure geometriche più perfette, da una parte la riga permette di costruire le
rette ovviamente, però quello che interessa al geometra è l'intera cosa ed è che permettono di costruire la
retta, la retta è una figura perfettamente equanime in qualche modo, è uguale in tutte le sue parti e il cerchio,
anche lei, è una figura che è uguale in tutte le sue parti, però perfetta questa volta nella sua conclusione,
nell'essere rinchiusa su se stessa. E allora l'idea della geometria euclidea era questa precisamente: poiché la
retta e il cerchio sono le due figure più perfette che si possano immaginare, allora proprio su queste si
dovranno basare le costruzioni, l'intero edificio della geometria. E allora moltissime cose che si sarebbero
potute fare e che i greci sapevano come fare, usando però mezzi diversi dalla riga e dal compasso, queste
rimasero fuori da questa grande summa che furono appunto gli elementi di Euclide. Euclide non raccontò,
non descrisse tutta la geometria che era nota ai suoi tempi, tutta la geometria greca, lasciò fuori tutto ciò che
non rientrava in questa visione platonica, in questa visione estetizzante, quasi filosofica della matematica,
come basata su questi enti perfetti, riga e compasso. Vediamo più
da vicino i problemi che in realtà affrontarono i greci. Anzitutto ci
sono dei problemi solubili e poi parleremo di problemi insolubili. I
problemi solubili ve li ho enunciati qui nella slide, ve li dico
brevemente uno per uno, sono problemi che risalgono più o meno al
quinto secolo a. C., circa 500-600anni a.C.; Talete fu il primo
grande geometra e poi vari altri, Ippocrate, non ovviamente il
medico, ma il geometra e così via. Quattro grandi problemi dei
quali adesso parlerò brevemente, che poi si riflettono in quattro
simili problemi che però sono insolubili; naturalmente, quando si
parla di solubile o insolubile, qui io faccio riferimento
semplicemente al fatto che i problemi si possono risolvere oppure no mediante gli strumenti che detto
prima, cioè mediante la riga e il compasso. Il primo problema è il problema della duplicazione del quadrato,
eccolo qua il quadrato, abbiamo un quadrato di un certo lato, vogliamo sapere, vogliamo costruire, in
qualche modo, un quadrato che abbia un'aria doppia; ne abbiamo parlato più volte anche qui, perché questo
è un problema che sta alla base della scoperta degli irrazionali, della radice di 2, ebbene come si fa a
costruire un quadrato che abbia radice doppia? Basta costruire la diagonale, quindi praticamente già
l’abbiamo lì. Il secondo problema è quello della costruzione del pentagono, che non abbiamo qui in figura;
il pentagono regolare è una figura non semplice da costruire, se ci pensate un momentino forse così ad
occhio non sapreste dire come fare con riga e compasso un pentagono regolare oppure quello che si iscrive
dentro, cioè le due diagonale che formano la stella pitagorica, ebbene questa fu una delle grandi costruzione
per la punto della scuola pitagorica, la costruzione di un poligono regolare, che è il poligono che viene
subito dopo il quadrato, cioè quel poligono regolare con quattro lati, mentre il pentagono è un poligono
regolare a cinque lati. Il problema della bisezione dell'angolo: avendo un angolo dato, come si fa a dividere
l'angolo in due? Beh, questo è abbastanza semplice: si costruisce un triangolo che abbia quell'angolo come
angolo al vertice e poi si tratta semplicemente di fare una costruzione abbastanza semplice, che è quella
115
invece immagino potete immaginarvi da soli, per dividere in due questo angolo. L'ultimo problema è
invece un problema un po' meno intuitivo, il problema di riuscire a costruire un quadrato che abbia la stessa
area di una figura che non è nemmeno coi lati regolari, cioè non è nemmeno un poligono, diciamo, ed è una
figura curvilinea come questa che si chiama lunetta. Una lunetta semplicemente è la parte di piano che è
compresa fra due archi di cerchio, naturalmente cerchi con raggi diffidenti. Ebbene, la grande scoperta di
questo signore, Ippocrate, che ho citato poco fa, fu appunto proprio questa, cioè che era possibile quadrare,
era possibile costruire con righe e compasso dei quadrati che avessero la stessa area di particolari lunette e
allora che cosa successe? Successe immediatamente che i greci
proposero alcuni altri problemi che però rimasero aperti per secoli,
per millenni addirittura, perché, come vedete qui, questi sono
problemi insolubili, che furono dimostrati essere insolubili, nel
secolo diciannovesimo. Esattamente come prima ripassiamo
brevemente questi quattro problemi, che corrispondono riga per
riga ai precedenti. Il primo ricordate era la duplicazione del
quadrato; ebbene, qui c'è il problema analogo di duplicazione del
cubo, ne abbiamo già parlato una volta, questo è il problema
famoso dell'oracolo di Delo. Come si fa a costruire mediante riga e
compasso un cubo che abbia o meglio un segmento che sia il lato
d'un cubo che abbia il volume doppio d'un cubo dato? Ebbene, questo non è possibile farlo, però si dimostrò
che non era possibile farlo soltanto nel secolo diciannovesimo. Notate che i problemi sono molto simili, in
un caso è coinvolta la radice quadrata di 2, nell’altro caso la radice cubica di 2, la radice quadrata di 2 si può
costruire con righe e compasso, la radice cubica no. La costruzione dell'ettagono: l’ettagono è di nuovo un
poligono regolare con sette lati questa volta, ebbene l’esagono è molto facile farlo, basta dividere insomma
in qualche modo un triangolo regolare, un triangolo equilatero in due parti, si costruisce l'esagono regolare
in maniera molto semplice. L'ettagono invece non riuscirono a farlo e per un motivo molto semplice per cui
non uscirono a farlo, non si poteva fare con riga e compasso, ma il fatto che non si potesse fare, di nuovo, si
dovette attendere il 1800. Trisezione dell'angolo: un problema similissimo a quello di prima; come si fa a
dividere un angolo in due? Beh, si fa una piccola costruzione e lo si divide in due parte uguali. Ebbene,
come si fa a dividere in tre? Non c'è modo di farlo con riga e compasso. E da ultimo il problema più famoso
di tutti i problemi insolubili e insoluti dei greci, che era per l’appunto, il problema della quadratura del
cerchio. Nel momento in cui si trova che è possibile trovare un quadrato equivalente a certe figure
curvilinee, cioè certi archi di cerchio, viene subito l'idea che, se insomma, invece di lunette, si considera il
cerchio intero, che cosa succede? Ebbene anche questo, il problema della quadratura del cerchio fu
dimostrato nel 1800 essere un problema irresolubile; quando si parla di irresolubile e insolubile, mi
raccomando e sottolineo questo fatto, significa che non lo si può risolvere con certi mezzi, cioè in questo
caso particolare con la riga e con il compasso. Questa era la prima parte, diciamo così, di questa carrellata
sul problema della costruibilità, che in geometria, l'idea della costruibilità era di costruire con riga e
compasso. Molte cose si possono fare, abbiamo visto, altre non si possono fare e questo è dividere in due i
risultati di possibili teoremi della geometria fra fattibili e non fattibili, tra costruibili e non costruibili.
Il secondo tipo di argomento che oggi tratteremo è invece il problema dell'algebra. In algebra ci sono
equazioni, il problema lì è di trovare delle formule che usino le radici, il famoso problema di soluzione di
equazioni attraverso formule che usino soltanto radicali cosiddetti, per questo in maniera un po' scherzosa
abbiamo qui fatto una figura di radici che ovviamente non sono
proprio quelle matematiche. Anche qui la storia è parallela a
quella precedente; ci sono equazioni risolubili attraverso i radicali,
ci sono equazioni che non sono risolubili. Vediamo brevemente le
equazioni risolubili. Io ho detto 16° secolo, cioè 1500, ma
ovviamente il primo caso delle equazioni di secondo grado non
l’ho nemmeno preso in considerazione, ovviamente sono
equazioni che si sapeva già dall'antichità come risolverle. La
famosa formula per la risoluzione delle equazioni di secondo grado, è una formula che tutti voi ricorderete
116
mi immagino e questa formula era infatti già nota nell'antichità, 2000 anni a.C. dai babilonesi addirittura. Il
problema successivo, le equazioni di terzo grado, è un problema molto complicato e infatti ancora oggi si
dice “mi fa un terzo grado” oppure quando si va dalla polizia, si
viene arrestati, i poliziotti fanno un terzo grado. Come mai
quest'espressione terzo grado? Il terzo grado deriva proprio da
qui, dal fatto che l’equazioni terzo grado fosse molto difficile da
risolvere e fu risolta da questo signore sulla sinistra che si
chiama per l’appunto Tartaglia e anche da un altro, Cardano,
forse questo qui è Cardano adesso non lo so, perché ovviamente
tutti questi personaggi si perdono nella notte dei tempi, 1500. E
subito dopo, immediatamente dopo questo signor Ferrari, che
era allievo di Cardano, che invece è questo signore sulla destra, o per lo meno raffigurato in maniera
analoga sulla destra, ebbene, trovò una formula per la soluzione delle equazioni di quarto grado. Quindi
verso la fine del 1500, del sedicesimo secolo, si era in possesso di formule per la soluzione do equazioni di
tutti i gradi fino al quarto compreso, 1°, 2°, 3° e 4°. Si poteva ovviamente immaginare che formule più
complicate avrebbero permesso di risolvere equazioni più complicate, di grado più complicato. Vediamo
che cosa succede. E analogamente a quello che è successe per i problemi di geometria, in cui molti problemi
erano risolubili con riga e compasso e poi però problemi molto simili a prima vista erano invece impossibili
da fare, i greci non riuscirono e poi i matematici dell'800 dimostrarono che non si potevano risolvere con
riga e compasso, analogamente anche qui nel algebra ci fu una situazione simile, cioè sempre nel 1800, nel
secolo diciannovesimo, si dimostrò che c'erano dei tipi di equazioni irresolubili, in particolare questi signori
che sono qua, Ruffini e Abel, Ruffini è un italiano di fine 700 e Abel invece è un norvegese di inizio 900,
che morì molto giovane, sotto i trent'anni, verso i 25- 30 anni, ebbene dimostrarono che non era possibile
trovare delle formule per la risoluzione dell'equazione generale di quinto grado, formule che invocassero
soltanto i radicali, delle radici per l’appunto, così come l’equazione di secondo grado si può risolvere con
radici quadrate. Non era possibile nel senso che non finora non lo
si era fatto, perché questo lo sapevano tutti che non c'erano
formule che facessero risolvere le equazioni in generale di quinto
grado, ma dimostrarono che non solo non c'erano, ma che non si
sarebbero potute trovare, queste formule non esistevano
semplicemente. E questo diede inizio a una parte fondamentale
dell'algebra moderna che si chiama per la punto “la teoria dei
gruppi”. Le basi di questa teoria furono gettate da questo signore
che si chiama Evarist Galois, anche lui morì giovanissimo, a 22
anni, in un duello. Questo signore portò avanti i risultati di Ruffini e Abel, dimostrò che non soltanto
l'equazione generale di quinto grado non era risolubile, ma costruì, trovò quello che si chiama un criterio di
risolubilità, cioè data una qualunque equazione di qualunque grado, a volte ovviamente qualche anche
equazione di quinto grado è risolubile, ad esempio x5 – 1=0 si può ovviamente risolvere, perché una delle
sue soluzioni è semplicemente uno, però l'equazione della quinta in generale non ammette una formula
risolutiva con radicali, Galois descrisse esattamente quali erano le equazioni che avevano una formula
risolutiva e quali invece non l’avevano. In qualche modo si concluse, in questo modo, il problema della
costruibilità nell'algebra moderna. Fin qui abbiamo già parlato praticamente di due argomenti, la
costruzione, il costruire qualcosa in geometria con le mani praticamente, con riga e compasso e l'analoga
costruzione di fare la stessa cosa questa volta in algebra, dove costruire significa trovare delle formule che si
possano maneggiare con le mani, cioè formule che facciano intervenire le radici, i cosiddetti radicali.
Ora passiamo al terzo argomento, che è quello ovviamente che ci interessa più da vicino, cioè la
3. Logica
costruibilità in logica. In logica che cosa si fa? Si fanno
dimostrazioni non costruttive
dimostrazioni soltanto, non ci sono equazioni, non ci sono
esistere = impossibile non esistere
figure geometriche, ci sono dimostrazioni. E allora cosa
vuol dire “dimostrazione non costruttiva” in logica e poi ovviamente poiché la logica è lo strumento della
matematica, in matematica in generale?Ebbene quando si dice che un teorema ha dato una dimostrazione,
117
per esempio di esistenza non costruttiva, significa che non si è dimostrato che l'ente di cui si sta parlando,
per esempio non lo so, un poligono, un certo oggetto matematico esiste, non si è dimostrato che esiste
facendolo vedere dicendo eccolo qua, tu volevi sapere se c'era un oggetto fatto in questo modo e io te lo
costruisco e alla fine della costruzione ce l’hai di fronte. Si dimostra che l'oggetto esiste facendo una
dimostrazione indiretta, dimostrando che è impossibile che non esista. Ora questa non è appunto una
dimostrazione diretta che fa vedere la costruzione dell'oggetto, ma dimostra soltanto che da un punto di vista
logico ci sarebbe una contraddizione se uno suppone, supponesse che quest'oggetto non esistesse. Ora capite
che questo è un modo un po' convoluto, un po' indiretto di mostrare le cose e non tutti furono convinti; a
volte quando si trovano delle dimostrazioni di esistenza non costruttive queste lasciano un pochettino il
sapore amaro in bocca, cioè sembra che ci sia stato un trucco, cioè non si è fatto vedere che cos’è
quell'oggetto che si voleva invece vedere, si è dimostrato che non può non esistere, dimostrazione appunto
in diretta. Vi faccio tre esempi brevemente per farvi capire che tipo di dimostrazioni si fece, notate le date. Il
primo esempio che faccio è del 1873. Cantor di cui abbiamo parlato più volte, inventore della teoria degli
insiemi, dimostra nel 1873 l'esistenza di “numeri trascendenti”; che cosa vuol dire trascendenti, non è
Cantor
molto importante nel nostro discorso in questo momento, comunque
(1873)
per chi lo vuole sapere, si può semplicemente dire che sono dei “numeri
Numeri trascendenti
reali che non sono soluzioni di equazioni algebriche”. Equazione algebrica
significa che un polinomio con dei coefficienti interi, si pone il polinomio uguale a zero, questo polinomio
avrà certe radici, ebbene queste radici si chiamano “numeri reali algebrici”, cioè che derivano dall'algebra,
da delle equazioni algebriche. Ci sono tantissimi numeri che non sono soluzioni di equazioni algebriche
appunto, questi numeri si chiamano “numeri trascendenti”. Cantor non fu il primo matematico che dimostrò
che questi numeri trascendenti esistevano, il primo matematico fu Liouville. Liouville fece effettivamente
quello che dicevo prima, cioè costruì a mano un numero, che fece vedere, disse questo è il numero con
queste cifre e adesso vi dimostro che questo numero è trascendente. Ebbene, nel 1873 Cantor dà una
dimostrazione indiretta dell'esistenza di numeri trascendenti. Come fece a farlo? Fece in questo modo,
dimostrò anzitutto che i numeri reali sono infiniti, dimostrò che i numeri algebrici sono anche loro infiniti,
ma dimostrò che i due infiniti dei numeri algebrici e dei numeri reali in generale sono diversi, cioè di numeri
algebrici ce n'è pochi, cioè ce n'è un'infinità più piccola possibile, c’è ne tanti quanti i numeri interi e i
numeri reali invece ce ne sono tanti, sono sempre infiniti, ma di un'infinito maggiore e allora è chiaro che se
i numeri algebrici sono infiniti, ma di un'infinito piccolo e numeri reali sono infiniti, ma di un'infinito
grande, quasi tutti i numeri reali non saranno algebrici, saranno trascendenti. Questa è una dimostrazione per
l’appunto indiretta, fa vedere che ci sono tanti numeri trascendenti, ma non ne fa vedere nessuno, dimostra
semplicemente che insomma devono esistere, devono esserci numeri di questo genere. Questo fu una
dimostrazione molto importante perché completamente diversa da quella di Liouville originale dell'esistenza
di numeri trascendenti.
Un altro teorema molto famoso che fu dimostrato nel 1888, quindi vedete sempre in questi anni, da Hilbert,
che abbiamo già conosciuto per bene, abbiamo dedicato a lui l'intera scorsa lezione si chiama “teorema della
base”. Ovviamente qui scherziamo, abbiamo vestito Hilbert da giocatore di baseball, però la base di cui
parlava Hilbert non era ovviamente una basa su cui lui doveva planare con i suoi piedi per conquistarla, era
un teorema che dimostrava, per l’appunto, che data una insieme di polinomi, questo insieme di polinomi
aveva una base finita nel senso, esattamente come nella
geometria, come se ci fossero un numero di dimensioni finite,
però dimostrava l'esistenza della base, senza far vedere come era
costruita questa base. Questa dimostrazione fu attaccata, perché
mentre nel caso precedente di Cantor l’esistenza dei numeri
trascendenti era già stata dimostrata, quindi c'erano degli esempi
concreti, nel caso di Hilbert l’esistenza di questa base non solo
non era stata dimostrata prima, ma era uno dei grandi problemi
aperti della matematica e il fatto che Hilbert dimostrasse in questo
modo indiretto l'esistenza di questa base e notate con una dimostrazione di una sola paginetta, beh, questo
diede molto fastidio a tutti i matematici, per esempio Croeneker, il famoso costruttivista dell'epoca, che
118
avevano cercato di risolvere questo problema; trovarono che la dimostrazione di Hilbert era in realtà un
trucco; qualcuno disse addirittura questa non è matematica, questa è teologia, questo lo dissero proprio a
quell'epoca, verso la fine dell'800, i matematici rivali di Hilbert. E quindi Hilbert introdusse questo nuovo
metodo di dimostrazioni in algebra.
Un altro risultato molto importante, che fu dimostrato qualche anno dopo, come vedette 1910, fu dimostrato
da Brouwer, il teorema cosiddetto del punto fisso. Qui ho messo una pallina da tennis, non perché
continuammo a scherzare, ma perché uno dei risultati, uno dei modi
di enunciare, per esempio il teorema del punto fisso di Brouwer, è
per l’appunto quello di dire che se prendiamo una palla da tennis,o
palla pelosa, ma anche la nostra testa ma noi in genere non abbiamo
i capelli dovunque, sulla faccia non abbiamo i capelli, perlomeno
sulla fronte eccetera, ebbene se noi prendiamo una palla che abbia
peli dovunque e cerchiamo di pettinare questa palla, se la pettiniamo
in maniera uniforme ci deve essere almeno un punto che non si viene
mosso; per esempio, se nel caso invece di avere una palla da tennis,
avessimo la terra, per esempio con i venti che fossero sulla terra,
ebbene se questi venti fossero in maniera regolare dovunque sulla
terra, ci deve essere almeno un punto in cui i venti soffiano in maniera perpendicolare alla superficie, cioè ci
deve essere almeno un tornado. Queste sono tipiche applicazioni del teorema del punto fisso di Brouwer;
non ci importa qui dare una definizione precisa,un enunciato preciso del teorema del punto fisso, quello che
c'importa è che Brouwer dimostrò l'esistenza di questo punto fisso, che nel caso della palla da tennis è il
punto in cui bisogna fare il cerchio e infatti anche noi quando in genere ci pettiniamo abbiamo un punto
sulla testa attorno al quale andiamo, oppure il ciclone per l’appunto. Ebbene, l'esistenza di questo punto
fisso veniva dimostrato da Brouwer in maniera non costruttiva, in maniera indiretta. E questo provocò uno
scandalo, in particolare insomma si incominciò a credere che la matematica stava andando in una direzione
che non era quella giusta, stava prendendo una brutta strada come si dice di alcuni ragazzi che non fanno ciò
che dovrebbero fare; in particolare si creò questa scuola alla quale ho alluso agli inizi, questa scuola che in
realtà è il prodotto, l’opera nientepopodimeno che il signor Brouwer, cioè lo stesso matematico che nel 1910
dimostra questo suo grande teorema per il quale ancora oggi viene ricordato, ad un certo punto si pente,
dice, ma io in fin dei conti ho peccato, ho fatto questo teorema in maniera non costruttiva, non è il modo
giusto di farlo, devo creare una filosofia della matematica che la pensi diversamente. Qual'è l'idea
fondamentale dell'intuizionismo per l’appunto sul quale si basa la filosofia di Brouwer? Ebbene, l'idea
dell’intuizionismo di Brouwer, un matematico che fa pienamente parte a tutti titoli del ‘900 , le cui date di
nascita e di morte sono appunto 1881 e 1966, è quella che abbiamo, in qualche modo, abbiamo
raffigurato qui con questo grande
occhio, perché l'idea dell'intuizionismo è che si deve credere soltanto a ciò che si vede, naturalmente ciò che
si vede, siamo in matematica, non è che lo si possa vedere con l'occhio fisico, lo si vede con l'occhio della
mente, cioè Brouwer non era proprio un costruttivista di quelli che dicevano, ah, soltanto quello che si può
costruire in qualche modo diretto, lo si può fare, cioè si poteva in qualche modo usare i sensi o i sensi estesi
dell'intelletto, però non si potevano fare dimostrazioni come quelle che ho detto prima, dimostrazione di tipo
indiretto. Anzi vi faccio vedere subito quali sono le conseguenze di questa filosofia, cioè di accettare
soltanto ciò che si può toccare con mano in qualche modo, con la mano appunto dell'intelletto, cioè col
risultato di questa filosofia si rifiutano molte cose di ciò che invece i matematici fino all'epoca
avevano accettato in maniera quasi indolore.
119
Ed ecco qui i rifiuti, questo nella slide è Brouwer, che sta portando
via un cestino pieno di rifiuti di cose della matematica che lui non
accetta e i tipici rifiuti che vengono associati con questa filosofia
dell'intuizionismo, del costruttivismo, sono i seguenti, li guardiamo
brevemente uno per uno: terzo escluso, doppia negazione e le
dimostrazione non costruttiva. Cominciamo col terzo escluso; questa
è una nostra vecchia conoscenza, ricorderete da quando abbiamo fatto
la lezione su Aristotele, che il “principio del terzo escluso” insieme al
“principio di non contraddizione” era praticamente la base della
logica classica. Il principio del terzo escluso dice che se noi abbiamo una proprietà, questa proprietà, cioè
una affermazione, una formula A , questa proprietà o è vera o è falsa, cioè o A accade, deve valere oppure
accade la sua negazione. Ebbene, Brouwer dice io non vedo per quale motivo debba valere o l’una o l’altra;
o tu mi dimostri che vale una, o tu mi dimostri che quella non vale, cioè vale la sua negazione, ma mi devi
dimostrare una delle due cose, io non posso accettare a priori che valga l’una o valga la sua negazione e
quindi la logica di Brouwer, la logica intuizionista rifiuta questo principio del terzo escluso. La “legge della
doppia negazione”, stessa storia; nella logica classica deriva dal terzo escluso il fatto che valga la legge della
doppia negazione, cioè una doppia negazione afferma; ebbene Brouwer dice io questo non lo credo, perché
una doppia negazione dice semplicemente che, se io suppongo che non sia vero qualche cosa e alla fine
faccio una dimostrazione, ottengo una contraddizione, non derivo dal fatto che dalla negazione di una
proposizione ho derivato una contraddizione, il fatto che la proposizione sia vera, derivo soltanto che ho
dimostrato una contraddizione della sua negazione, cioè una doppia negazione e la doppia negazione nella
logica intuizionista non coincide con l’affermazione. Ecco due principi basilari, cioè “il terzo escluso” e “la
doppia negazione” che valevano nella logica classica e non valgono più nella logica intuizionista, cioè la
logica intuizionista si chiude in qualche modo a riccio, non accetta queste cose. E naturalmente ovviamente,
perché questo è il punto di partenza, non accetta nemmeno le dimostrazioni di esistenza non costruttive, in
particolare rifiuta la dimostrazione del teorema del punto fisso di Brouwer, che Brouwer stesso aveva dato.
Sembra quasi darsi un po’ la zappa sui piedi; però notate negli anni 30 il teorema di Brouwer fu poi
dimostrato in maniera costruttiva; effettivamente quando si da una dimostrazione costruttiva di un teorema,
ovviamente ci sono più informazioni, si dice di più di quando di quando si da soltanto una dimostrazione
non costruttiva, quindi l’intuizionismo è qualche cosa di più restringente, di più esigente, vuole di più di
quello che non voglia semplicemente la logica classica. Bene, vediamo un pochettino, visto che abbiamo già
parlato di alcuni dei grandi personaggi della logica moderna, vediamo più da vicino come vedevano questi
personaggi, in particolare Frege, Hilbert e Brouwer il problema dell’esistenza degli enti matematici.
Esistenzialismi a confronto
Qui ho parlato di esistenzialismi a confronto, non nel senso
¾ realismo(Frege)
dell’esistenzialismo della filosofia esistenziale, per esempio
di Sartre o di altri, ma nel senso di esistenza in matematica.
¾ formalismo(Hilbert)
¾ intuizionismo(Brouwer)
Che cosa significa esistere per Frege, per Hilbert e per
Brouwer. I nomi di filosofie esistenzialiste, che vanno a braccetto con questi nomi, sono rispettivamente il
Realismo per Frege, il Formalismo di cui abbiamo parlato la scorsa volta in una lezione dedicata ad Hibert e
l’Intuizionismo di cui stiamo parlando oggi di Brouwer. Vediamo più da vicino, allora, che cosa significa
innanzi tutto per Frege il Realismo? Dire che qualche cosa esiste; beh, il che significa la cosa più ovvia del
mondo in qualche modo, cioè significa dire che esiste ciò che c'è; voi direte che bella scoperta, certo che
Frege
altro potrebbe esistere, se non ciò che c'è, ma il problema di dire che esiste ciò
esiste ciò che c’è
che c'è, significa in questo c'è, dire in realtà che c'è un mondo eterno, c’è un mondo
in questo caso di oggetti matematici, ma nel caso della fisica di oggetti fisici, c’è una realtà esterna e
l'esistenza è qualche cosa che ha a che vedere con la realtà, cioè quando si fanno delle affermazioni di
natura esistenziale, quando si dice qualche cosa esiste, si sta dicendo una frase del linguaggio ovviamente, la
cui verità però ovviamente dipende da come è fatto il mondo, quindi si fa in qualche modo riferimento al
mondo esterno, si appoggia il linguaggio, la sintassi alla semantica e si fa un qualche cosa che non permette
alla logica di essere autonoma, cioè si fa riferimento appunto a qualcosa di fuori. Ricordiamoci che
Realismo per Frege significa dire che esiste ciò che c'è in un mondo platonico praticamente, in un mondo in
120
cui esistono effettivamente gli oggetti matematici. È chiaro che Frege non pensava, non credeva, che gli
oggetti matematici avessero lo stesso tipo di esistenza degli oggetti fisici, cioè che li si potesse toccare con
le mani, però credeva effettivamente che avessero delle proprietà analoghe, che la matematica, il senso della
matematica, l'intuizione, la ragione fossero dei modi per arrivare a conoscere, a capire, a vedere, diciamo
così, gli oggetti di un mondo che era un mondo platonico, il mondo delle idee che stava lì, ma che aveva una
sua esistenza indipendente da noi.
Vediamo invece il formalismo di Hilbert. Hilbert, nel caso dell'esistenza, sosteneva che esiste ciò che può
Hilbert
esserci. Notate che è un approccio, un modo di vedere le cose
proprio diverso dal di dire che esiste ciò che c'è. Esiste ciò che
esiste ciò che può esserci
può esserci significa, bah, noi ciò che c’è non sappiamo, anzi non crediamo almeno che ci siano queste cose,
che per Hilbert che non era, appunto un platonista, non è che ci fosse un mondo di oggetti matematici lì,
che noi dovevamo semplicemente andare a giudicare, esiste ciò che può esserci significa che la matematica
dev’essere consistente, non ci devono essere contraddizioni. Tutto ciò che non è contraddittorio, in altre
parole che potrebbe esserci, se ci fosse la possibilità di costruire tutti i mondi possibili, dei quali vi
ricorderete aveva già parlato Leibniz, ebbene ciò che c'è in un mondo possibile per un matematico questo
esiste. In altre parole per Hilbert non c'è un solo mondo, il mondo platonico come c'era per Platone per
l’appunto e come c'era anche per Frege, ma ci sono tanti mondi, sono i mondi possibili, sono i mondi che il
matematico costruisce, l'unica richiesta che si può fare, si deve fare a un matematico, è di costruire dei
mondi che siano consistenti, cioè di costruire una storia ben fatta in altre parole, la stessa cosa della
letteratura realista, della lettura verista nel campo dell'arte, cioè possono esserci ovviamente racconti
fantastici, però a volte nei racconti fantastici si introducono delle leggi che non sono quelli della nostra
fisica, del nostro mondo; se però voi fatte un racconto verista invece e semplicemente costruito mondo che
magari non è quello che veramente è esistito, non tutti i racconti realistici, sono racconti storici, che
raccontano ciò che è effettivamente esistito nel mondo, però se sono delle storie possibili perché in realtà
raccontano mondi che non sono magari mai stati, ma che avrebbero potuto essere, per il matematico questo
è sufficiente. E quindi voi capite che in questo caso si passa dal problema dell'adeguatezza tra linguaggio e
mondo esterno, si passa semplicemente a qualche cosa che è puramente interno al linguaggio, per Hilbert
l'importante era che non ci fossero delle contraddizioni. E ricorderete dalla scorsa lezione, che abbiamo
appunto dedicato a Hilbert, che il problema della consistenza era precisamente uno dei grandi problemi che
Hilbert pose sul tappeto fra i suoi 23 problemi, nel congresso famoso di Parigi del 1900. Il secondo
problema richiedeva la consistenza dell'analisi, ricorderete, brevemente per dirvi due parole su quello che
abbiamo fatto la scorsa lezione, che si era pensato alla geometria iperbolica, la geometria iperbolica era
consistente rispetto a quella euclidea, c'era un modello della geometria iperbolica in quella euclidea, la
geometria euclidea era consistente rispetto all'analisi, sono tutti i mondi possibili, mondi in cui se c'è una
contraddizione in uno allora automaticamente c'è negli altri; però Hilbert voleva sapere se nell'analisi non
c'erano contraddizioni, di modo che tutti questi mondi sarebbero diventati automaticamente e
simultaneamente tutti possibili allo stesso tempo e per il matematico sarebbe stato sufficiente. Infatti questo
è poi l'atteggiamento che, molti di noi, ancora oggi hanno della matematica, nessuno più pensa come
pensava Euclide e come pensavano ancora forse fino agli inizi dell'800 i geometri, che l'unica vera
geometria sia quella euclidea, ma oggi si pensa, nel caso che non sia quella euclidea, che bisogna misurare il
mondo per vedere qual è quella giusta perché bisogna scegliere tra le varie geometrie. La geometria euclidea
serve in certi casi, la geometria iperbolica serve in altri casi, ce ne sono tante altre di geometrie, quella
riemaniana alla quale abbiamo accennato in una delle scorse lezioni, che poi servì ad Einstein per costruire
la sua relatività generale, ebbene tutte queste geometrie sono geometrie alternative, sono mondi possibili,
l'unica cosa che interessa al matematico è che non ci siano contraddizioni, cioè esistenza in questo caso
significa che esiste ciò che può esserci. E l'ultima filosofia dell'esistenza, alla quale accenniamo quest'oggi,
è la filosofia appunto dell'intuizionismo, la filosofia di Brouwer, che si può indicare dicendo che esiste ciò
che costruiamo; quindi non si fa più tanto riferimento al mondo esterno, certamente non si fa riferimento
Brouwer
soltanto alla consistenza, perché ciò che può esistere in realtà, la
esiste ciò che costruiamo
dimostrazione di esistenza non è una dimostrazione in generale
costruttiva, Brouwer voleva mettere sue mani, diciamo così, sui fatti concreti, cioè per lui esistevano le cose
121
che si potevano costruire. Si potrebbe dire, forse, parlando di ciò di cui abbiamo parlato agli inizi di questa
lezione, che nel campo della geometria per Brouwer, se per lui gli unici strumenti fossero stati quelli per
l’appunto della riga e del compasso, allora sarebbero esistiti, per esempio i quadrati, sarebbero esistiti i
pentagoni, sarebbero esistiti gli esagoni, ma non gli ettagoni, perché i poligoni regolari a sette lati non si
potevano costruire oppure per esempio, si poteva fare la bisezione dell'angolo, è possibile fare la posizione
dell'angolo, ma non si può fare la trisezione dell'angolo, il terzo di un angolo non esiste, perché non lo si può
costruire con riga e compasso. Capite che è come legarsi le mani, cioè decidere di fare soltanto le cose che si
possono fare a mano, per l’appunto con mezzi costruttivi. Questo è in punto di vista, è un punto di vista che
all'epoca quando per l’appunto Brouwer lo incominciò ad esporre e a predicare, perché queste cose poi
acquistano questo sapore a volte anche un pochettino mistico e religioso, dicevo, agli inizi del ‘900 fu
attaccato molto spesso dai matematici, poi lo si è molto meno attaccato, perché oggi noi parliamo attraverso
questa macchina qua, cioè attraverso i computer, molta della matematica si fa attraverso i computer,
ovviamente costruttivo oggi significa che si può fare al computer, ciò che il computer non può fare è per noi
in realtà un pochettino fuori della nostra portata e quindi l’intuizionismo è diventato una filosofia importante
per la matematica odierna e soprattutto per l’informatica e infatti, stranamente, se voi andate nei
dipartimenti di matematica, quando si insegna la logica, in genere si insegna la logica classica, se voi andate
nei dipartimenti di filosofia si insegna la logica aristotelica, eccetera, forse si arriva fino a Frege, a Goedel,
insomma, ma non molto oltre, se andate invece nei dipartimenti di informatica si insegna per l’appunto la
logica intuizionista, la logica di Brouwer, quindi vedete anche nella logica, in realtà, ci sono tanti modi, tanti
aspetti, tante famiglie diciamo così e ciascuno si segue la sua, perché ci sono applicazioni diverse. Però c'è
ancora una cosa dire per quanto riguarda questo problema del
costruttivismo e questa cosa tanto per cambiare, ormai l'avrete
capito, l’ha detto tutto lui, l’ha fatta Goedel.Goedel finalmente,
vedete qui, la faccia ormai la conoscete da lungo tempo, perché
ne abbiamo parlato 100 volte e presto appunto, come vi ho già
annunciato precedentemente, faremo due lezioni su Goedel.
Ebbene, dicevo, Goedel questa volta non è il risultato del 1930,
non è il risultato del 1931, è un risultato diverso del 1933,
Goedel dimostra che c’è un modello intuizionista della logica
classica; esattamente come nel caso della geometria era
possibile fare un modello euclideo della geometria iperbolica e quindi scaricare tutti problemi della
geometria iperbolica su quella euclidea, in questo caso è possibile fare un modello intuizionista della logica
classica, attenzione non il contrario e cioè, in altre parole, se la logica classica è contraddittoria, cioè se
Brouwer aveva paura che la logica classica fosse contraddittoria e quindi restringeva i suoi mezzi soltanto
alle dimostrazioni costruttive, ebbene Goedel gli dice stai attento, perché se la logica classica è
contraddittoria anche la tua logica lo deve già essere, quindi in qualche modo il problema della
contraddizione viene spostato dalla logica classica alla logica intuizionista. E questo, in qualche modo, è per
l’appunto, non dico una debacle, ma un certo risultato negativo per Brouwer, perché Brouwer si restringeva,
aveva cercato di fare questa sua filosofia, che come vi ho detto predicava anche in maniera molto vigorosa,
perché credeva che ci fossero dei veri problemi nella logica classica, diceva l'unico modo per salvarsi dai
problemi, per salvarsi le spalle, per così dire, dai problemi della logica classica è quello di fare la sua logica,
cioè mettersi nell'ambito della logica intuizionista. Goedel gli fa vedere che in realtà non è così, perché se
c'erano dei problemi, se c'erano delle inconsistenze nella logica classica, nella matematica, in realtà, più in
generale nella matematica classica, in realtà queste inconsistenze, queste contraddizioni si devono già
riflettere nella logica intuizionista e quindi questo modo di pararsi le spalle non è poi così importante.
Vediamo meglio, un po' più da vicino che cosa dice il teorema di Goedel, questo nuovo teorema di Goedel
del ’33; dice che appunto che “se la matematica classica è inconsistente, lo deve già essere anche quella
Se la matematica classica è inconsistente
intuizionista”. E’ per quello che ho detto poco fa
lo è anche quella intuizionistica
l'intuizionismo non è una difesa così grande rispetto
ai problemi della logica moderna e d'altra parte se volete invece rienunciare questo teorema di Goedel in una
maniera pochettino diversa, moderna, si può dire che “ciò che è vero classicamente non è falso in
122
intuizionisticamente”. Ovviamente
non si può dire ciò che è vero classicamente è già vero
intuizionisticamente, altrimenti le due logiche sarebbero la stessa logica, però la verità classica
Ciò che è vero classicamente non
si riflette nella non falsità intuizionista; qui vedete che ci
è falso intuizionisticamente
sono due negazioni, una sta nel non, l'altra sta nel falso,
per l’appunto significa non vero, per questo motivo l'interpretazione di Goedel della logica classica in quella
intuizionista si chiama per l’appunto “interpretazione della doppia negazione”. Tutte le verità classiche
diventano verità intuizioniste se le si nega due volte. Bene, abbiamo fatto brevemente appunto questa
introduzione al costruttivismo, io finisco qui per oggi, vi do appuntamento finalmente per le prossime due
lezioni in cui parleranno questa volta dei risultati di Goedel e in particolare uno di questi è il grande risultato
della incompletezza.
123
LEZIONE 15: Un austriaco (mica tanto) completo
Benvenuti ad una delle lezioni centrali del nostro corso di logica. Come avete sentito nelle precedenti
lezioni, abbiamo parlato di un personaggio forse più di tutti, cioè di Kurt Goedel e vi ho detto più di una
volta che effettivamente Goedel viene considerato il massimo logico certamente della contemporaneità,
forse dell'intera storia e se dobbiamo sceglierne due questi sono Aristotele e Goedel. Ebbene, per significare
appunto la sua preminenza all'interno del campo di azione nel quale ci siamo mossi, cioè della logica
matematica, abbiamo deciso di dedicare due lezioni a Goedel. Questa di oggi sarà una lezione fatta come al
solito, cioè cercheremo brevemente di accennare ai risultati che Goedel ha dimostrato durante la sua vita,
anche ad alcuni fatti della sua vita privata e personali e invece la prossima volta ci dedicheremo finalmente
proprio al nucleo centrale di tutte queste lezioni, cioè andremo un pochettino più a fondo di quanto non
abbiamo fatto con gli altri personaggi nella dimostrazione e nelle idee fondamentali del famoso “teorema di
incompletezza di Goedel”. Come ho detto prima oggi cerchiamo di parlare dei risultati di Goedel in
generale, cercando anche di spaziare in altri campi che non sono soltanto quelli della logica matematica, ma
stranamente anche di altre materie. Allora veniamo appunto al dunque, ebbene Goedel è colui al quale oggi
dedichiamo una lezione che si intitola "un austriaco (mica tanto) completo"; come mai mica tanto? Beh,
certamente ci sono come al solito due sensi, anzi tutto l’austriaco è ovviamente lui, che è nato in Austria, a
Brno, all'epoca la cittadina di Brno non era in Austria come oggi, ma era in Cecoslovacchia, comunque oggi
lo chiameremo un austriaco, perchè all'epoca faceva parte dell'impero austroungarico, Goedel parlava
tedesco per l’appunto, quindi a pieno titolo si può dire un esponente della cultura austriaca. Poi come mai
mica tanto completo? Ma perchè ovviamente c'è un riferimento ai tipi di risultati che Goedel ha dimostrato.
Il suo nome è stato legato nel 1930 al famoso “teorema di completezza”, e questa è la parte appunto di
"completo" che è nel titolo e nel 1931 agli altrettanti famosi, anzi più famosi ancora “teoremi di
incompletezza”. Quindi il mica tanto si riferisce in un primo significato, in una prima accezione a questo
fatto, che Goedel dimostrò i teoremi di incompletezza, oltre che i teoremi di completezza ; poi si riferisce
ovviamente al fatto che Goedel fosse un personaggio piuttosto singolare e certamente oggi lo definiremmo
anche un pochettino matto. In realtà morì di consunzione addirittura, spaventato temeva che qualcuno lo
volesse avvelenare e quindi a un certo punto smise di mangiare e in quel modo ovviamente morì e quindi il
risultato fu effettivamente come se qualcuno l'avesse avvelenato, ma questi sono in realtà gli aspetti meno
interessanti della vita di un personaggio di questo genere. La vita di Godel è stata soprattutto non fatti nel
mondo fisico, ma idee nel mondo platonico ed è di questo che cercheremo di dare appunto una specie di
excursus in questa lezione. Dunque anzitutto le solite date di nascita e di morte: Godel è nato nel 1906 ed è
morto nel 1978, quindi dopo 72 anni di pensiero.
Godel
Dove ha vissuto Goedel praticamente? La sua vita è stata divisa in due parti meno
(1906-1978)
più o uguali la prima parte a Vienna, la seconda parte a Princeton. Quindi abbiamo
anche noi organizzato la nostra lezione in due parti che si riferiscono ai risultati che Goedel ottenne quando
era giovane studente a Vienna e poi invece quelli che ottenne quando era ormai maturo professore a
Princeton. Il periodo che Goedel passò a Vienna, naturalmente andando avanti e indietro, perché poi quando
divenne famoso incominciò ad andare in America, ma di questo ne parleremo in seguito, il periodo è
Vienna (1906-1938)
comunque dalla nascita fino al 1938 ed in questo periodo, notate che Goedel
aveva soltanto 32 anni quando se ne andò poi definitivamente dall'Austria,
1. completezza
2. incompletezza
per motivi abbastanza ovvi, la data è quella di inizio della seconda guerra
3. consistenza
mondiale. Ebbene i risultati più importanti del suo lavoro li abbiamo elencati di
4. intuizionismo
lato, sono anche forse i più importanti della logica moderna, quelli che hanno
cambiato l'immagine di ciò che questa materia era all'epoca ed l’hanno fatta diventare una parte essenziale
della matematica moderna. I risultati li abbiamo divisi in quattro parti, per la prima parte della sua vita:
sono il teorema di completezza, il teorema di incompletezza, i problemi relativi alla consistenza ed i
problemi
relativi all’intuizionismo. Quindi affrontiamoli uno per uno, ma prima di parlare di questi
problemi, diciamo solo qualche parola sul momento in cui Goedel fu studente, cioè guardate qui nella
slide, nel 1925 entra nell'università di Vienna, giovanissimo ovviamente e che cosa succede? Succede che
viene subito attratto nell'orbita di quello che si chiamava e si continua a chiamare ancora oggi il Circolo di
124
Vienna. Questo gruppo di filosofi, i cosiddetti neopositivisti, coloro che agli inizi erano nella scia di
Wittgenstein, al quale abbiamo dedicato un'altra lezione, quindi
ricorderete alcune delle idee principali di Wittgenstein, in particolare
quest'idea del costruttivismo, l'uso e il significato di una parola sta
nell'uso che viene fatto e così via. Ebbene uno dei personaggi
importanti di questo positivismo logico, di questo neopositivismo del
circolo di Vienna è quello che viene raffigurato nella fotografia, cioè
Rudolf Carnap. Carnap era professore all'epoca a Vienna, era colui
che agli inizi soprattutto di quel periodo, era considerato un po' il
simbolo del circolo di Vienna, scrisse molti importanti libri, immagini
del mondo e così via e il motivo per cui abbiamo scritto qua 1925 è perché fu quello l'anno in cui Goedel
entrò nell'università a Vienna, se ne andò da Brno dov'era nato a Vienna e fu attratto in particolare da questo
personaggio ed è attraverso Carnap che Goedel sentì parlare per le prima volta dello studio della logica, di
Russell, di Wittgenstein, dei problemi che venivano posti anche soprattutto nella logica matematica e questo
fu praticamente il suo allenamento e il suo studio, perché immediatamente già da studente, molto giovane
come vedremo tra pochissimo, Goedel risolse alcuni dei problemi più importanti che erano stati proposti
per la logica matematica e che sono appunto quelli ai quali ho accennato prima in quell'elenco
Incominciamo a parlare appunto del primo problema, il cosiddetto “problema della completezza”.
Naturalmente siamo ormai ben allenati a questo problema e quindi la prima parte in qualche modo insomma
la faremo un pochettino velocemente, perché sappiamo già anzitutto in parte quali sono stati i fondamenti di
questi problemi che Goedel ha cercato di risolvere ed in parte abbiamo già anche anticipato, parlando di
questi problemi, qual'è stato il tipo di soluzione, ma adesso è venuto il momento di mettere tutto insieme e
di tirar le fila di questo discorso. Allora vediamo qui nella slide un signore alla cui faccia ormai ci siamo
abituati, anche per il fatto che c'è soltanto questa fotografia qui, che abbiamo continuato a riproporla per
tutte le nostre lezioni, ebbene questo signore è Frege e come ricorderete nel 1879 inaugura il nuovo corso
della logica matematica moderna scrivendo questo libro che diventa
un classico, che si chiama l’appunto l"Ideografia". Che cosa fa
Frege in questo libro? Beh, inventa praticamente un nuovo
linguaggio, un linguaggio formale, realizza il sogno che era stato di
Leibniz di trovare una lingua universale per la matematica nella
quale si potessero esprimere tutti i concetti che erano necessari
appunto al linguaggio di questa materia. Ebbene l’ideografia è per la
punto un linguaggio formale, ma tratta di logica matematica e pone
le basi della logica matematica moderna in che modo? Beh,
enunciando per la prima volta forse in maniera così chiara e completa gli assiomi da una parte della logica e
dall'altra parte le regole necessarie a dimostrare i teoremi. Ricorderete che l'impianto assiomatico formale
della logica moderna è precisamente basato su questi due concetti, cioè si parte da degli assiomi che sono
delle proposizioni che non vengono dimostrate perché si accettano appunto come assiomi e poi si
dimostrano teoremi partendo dagli assiomi e usando delle regole. Ora alcune di queste regole della logica
erano note dai tempi dei greci, cioè da Aristotele e da Crisippo, dagli storici soprattutto, che avevano
analizzato quali erano le regole del calcolo proposizionale, che ricorderete abbiamo trattato abbastanza
diffusamente nelle prime lezioni del nostro corso. Ebbene, in particolare Aristotele aveva anche introdotto
oltre al calcolo proposizionale quello che noi oggi chiameremo i quantificatori " tutti, nessuno, qualcuno" e
aveva enunciato una teoria del sillogismo. Qualcosa però mancava ancora a questo impianto della logica
greca per farlo diventare ciò che in realtà era il sogno da realizzare di Leibniz, mancava l'estensione a quello
che oggi viene chiamato “il calcolo dei predicati”. I quantificatori servono, ma Aristotele li usava soltanto
per predicati unari, con un solo soggetto. L'analisi del linguaggio di Aristotele, ricorderete, era soggetto e
predicato, mancavano i complementi ed il soggetto era unico, non c'erano più soggetti. Ebbene uno dei
grandi risultati di Frege è per l’appunto di introdurre una analisi più generale, di parlare non soltanto di
soggetto e predicato, ma di “soggetti, predicato e complementi” e quindi di permettere “l’uso e la
considerazione di relazioni a più di un solo argomento, a più di una sola variabile”. Ebbene Frege allora
125
deve enunciare in particolare le regole che stanno, che giacciono al calcolo dei predicati e anche agli assiomi
della logica dei predicati e questo è ciò che lui fa nel 1879 in questo libro, che è diventato oggi un classico
ed è un libro insieme a questa data 1879 nel quale viene identificata la nascita della logica moderna. Gli
assiomi e le regole di Frege sono stati enunciati e servono a dimostrare molti teoremi. Ma potevano essere
sufficienti per dimostrarli tutti? Questo problema fu enunciato da Hilbert nel 1928, anche di questo
abbiamo già parlato. Ricorderete che Hilbert introdusse anche altri problemi che sono quelli che per
antonomasia vengono chiamati i problemi di Hilbert, ma di questi parleremo fra un momento, perlomeno di
alcuni di questi; invece qui ci vogliamo soffermare non sul Congresso di Parigi del 1900, ma sul Congresso
di Bologna del 1928.
Hilbert
A quell'epoca Hilbert ormai vecchio, cerca comunque di continuare
(1928)
a proporre problemi che dovrebbero essere centrali per lo studio che
Congresso di Bologna
gli sta a cuore e in questo caso, per l’appunto, dopo trent’anni del
Problema della completezza
‘900 praticamente ciò che gli sta a cuore è lo studio della logica
matematica e il problema che Hilbert pone al congresso di Bologna è precisamente quello che viene
chiamato il “problema della completezza”. Ricorderete che nel 1920-21 era stato dimostrato da Emil Post
negli Stati Uniti, “il teorema della completezza per la logica proposizionale”, cioè praticamente dell'analisi
stoica del linguaggio. Completezza significa che gli assiomi e le regole che vengono date sono sufficienti
per dimostrare tutte e ovviamente anche sole le verità logiche, quelle che nel calcolo proposizionale
vengono chiamate secondo la terminologia di Wittgenstein, che abbiamo già visto, le tautologie. Ebbene il
problema della completezza che Hilbert enuncia nel 1928 è il problema analogo a questo qui, cioè sapere se
gli assiomi e le regole sono sufficienti e necessarie a dimostrare tutte e sole le verità logiche, non più per il
livello basso, diciamo così, della logica del “calcolo proposizionale”, bensì per questo livello alto che Frege
appunto aveva introdotto per il “calcolo dei predicati”. Ebbene che cosa succede? Succede per l’appunto che
nel 1930, eccoli qua i due grandi logici moderni, sulla sinistra Goedel e sulla destra Frege, Goedel dimostra
che il sistema di Frege è completo, cioè “il teorema della
completezza per la logica predicativa”. Nel 1930, notate che
Goedel, nato nel 1926, ha 24 anni, quindi è praticamente
quello che oggi noi chiameremo un laureando e infatti
questo è il risultato che lui ha dimostrato l'anno prima, che
pubblica nel 1930 nel corso della sua tesi di laurea. La tesi
che addirittura risolve uno dei più grandi problemi aperti
della logica, uno dei problemi del grande matematico Hilbert.
Che cosa significa il risultato di Goedel? Significa appunto
quello che c'è scritto qui, cioè che Frege aveva fatto
un'analisi del calcolo o della logica dei predicati, era un'analisi completa, cioè non aveva dimenticato niente
di essenziale, ovviamente non è che avesse dimostrato tutti i teoremi, aveva però enucleato, era riuscito ad
enucleare gli assiomi e le regole che erano sufficienti per dimostrare tutti i teoremi che si potevano
dimostrare, cioè tutte le verità logiche. Questo è ovviamente, un grande successo e però qualche cosa che
tutto sommato era aspettato. Infatti come ho detto poco fa, era stato dimostrato una decina di anni prima, nel
1920-’21, da parte di Post che il teorema analogo della completezza valeva per il calcolo proposizionale,
adesso Goedel estende questo teorema, una dimostrazione più complicata, anche perché siamo in una logica
molto più potente e anche molto più sottile; ebbene goedel estende qualche cosa che però già si sapeva, si
pensa appunto che si stia facendo un passo avanti e che in quella direzione bisognerà andare perché ci
saranno altri teoremi da dimostrare di completezza per altre teoria ancora più forti. Che cosa ci può essere di
più forte della logica dei predicati? Beh, nel campo della logica forse poco, si può estendere la logica in altre
direzioni, per esempio già Aristotele aveva indicato una delle possibili direzioni, in particolare aggiungere al
linguaggio della logica fatto dai “connettivi e dai quantificatori”, aggiungere altri operatori che sono i
cosiddetti “operatori modali” e dunque si potrebbe pensare di dimostrare “un teorema di completezza per la
logica modale” e questo invero sarà fatto però molto più recentemente, cioè negli anni 60 di questo secolo,
da un filosofo che poi è diventato famoso, che si chiama Kripke; però non era in questa direzione che
Goedel andava, perché non era quella la moda dell'epoca, in realtà quello che interessava fare come passo
126
successivo dopo il risultato per la logica proposizionale di Post e dopo il suo risultato per la logica dei
predicati, era interessarsi dell'aritmetica, che in realtà era non più soltanto la logica, ma aveva a che fare con
i fondamenti della matematica, cioè il nucleo della matematica stessa e quindi Goedel inizia come progetto
da post dottorato o meglio quello che oggi chiameremo da dottorato, lo studio per la dimostrazione del
“teorema di completezza dell'aritmetica”. In realtà Goedel non si interessa direttamente dell'aritmetica, ma si
interessa del sistema dei cosiddetti "principia mathematica" di Whitehead e Russell che furono scritti, come
ricorderete, dalla lezione su Russell tra il 1910 e il 1913, in tre volumi di questa grande opera. Agli inizi del
secolo i ”principia matematica” di Russell e Whitehead vengono considerati il monumento della
matematica moderna, vengono considerati l'analogo, soprattutto da Russell
2. incompletezza
stesso e Whitehead, l'analogo degli elementi di Euclide per quanto riguarda
Whitehed e Russel
la matematica e dei “principia” di Newton per quanto riguarda le scienze;
(1910-1913)
infatti il titolo non a caso viene scelto da Russell e Whitehead apposta, in
Principia matematica
modo da richiamare l'inizio, il titolo della grande opera di Newton, cioè i
"principia naturalis philosofiae". Ebbene questo sistema studia appunto non soltanto i numeri interi, ma è
quello che oggi noi diremo praticamente una formalizzazione di una versione della cosiddetta teoria degli
insiemi e allora il passo successivo per Goedel sarebbe stato dimostrare che gli assiomi e le regole che
erano stati enunciati da Russell e Whitead per la teoria degli insiemi, per quella che loro invece chiamavano
la teoria dei tipi, erano complete, cioè permettono di dimostrare tutto ciò che dimostrabile e tutto ciò che si
può dimostrare. Ebbene in realtà qui invece arriva veramente la scoperta, ciò che rende Goedel veramente
famoso, cioè nel 1931 Goedel dimostra che ci sono verità indimostrabili. Qui abbiamo scherzosamente
riportato una scena del padrino, il famoso film che parla di mafiosi; come mai abbiamo parlato di questo ?
Beh, perché evidentemente la matematica non è l'unico campo in
cui ci sono delle verità indimostrabili. Sapete benissimo, per
esempio, che al Capone il grande mafioso degli anni ‘30, fu in
realtà catturato dagli agenti delle FBI e messo in galera poi alla fine
per evasione fiscale, non certamente per crimini di mafia. Come
mai? Ma perché si sa benissimo e questa è appunto la parte delle
verità, che la mafia fa molti delitti, ne compie di cotte e di crude
come si dice, ma quasi tutti questi delitti sono fatti in maniera da
essere indimostrabili, cioè le verità che noi tutti conosciamo
riguardo alla mafia, poi quando alla fine si fanno i processi non si possono dimostrare, quindi i mafiosi non
si possono condannare. Ebbene questa è una metafora che potete tenere in mente, per l’appunto, per
ricordarvi qual'è il contenuto del famoso “teorema di incompletezza di Goedel”. Nel 1931 Goedel, a 25
anni, dimostra che anche in matematica ci sono delle verità indimostrabili, in particolare nel caso dei
“principia matematica”, ci sono delle verità che si posso esprimere nel linguaggio di questa famosa opera e
che sono appunto vere, ma che non sono dimostrabili all'interno del sistema, il che significa che per la
matematica, un campo diverso da quello della logica dove le verità logiche erano tutte dimostrabili
all'interno del sistema che Frege aveva isolato e questo è il contenuto del “teorema di completezza di
Goedel”, per le verità dell’aritmetica e poi via via se si sale, per le verità insiemistiche e così via, ce ne sono
molte che sono indimostrabili nel sistema che si sta considerando. Si può cambiare sistema ovviamente,
alcune di queste verità, che non lo erano prima diventeranno dimostrabili, però nel nuovo sistema ci
saranno altre verità indimostrabili, insomma Goedel mette il dito sulla piaga della matematica moderna. In
altre parole la matematica a differenza della logica, ha una incompletezza essenziale, una specie di malattia
e questa malattia è il fatto di non riuscire ad essere catturata da un sistema formale, la verità va oltre le
possibilità umane, che devono sempre risolversi in dimostrazioni. E che cosa succede dunque? Goedel
diventa famoso con questo teorema, ma una delle conseguenze del suo teorema è la soluzione di un altro
problema, che era il famoso “problema della consistenza” e di questo abbiamo parlato a lungo quando
abbiamo fatto la lezione sul Hilbert. Nel 1900, ricorderete, al Congresso di Parigi, il secondo problema di
Hilbert era quello di riuscire a dimostrare la consistenza dell'analisi, cioè la consistenza della teoria dei
3. consistenza
numeri reali oppure visto che già i numeri reali erano già stati ridotti a
congresso di Parigi
numeri interi e quindi l'analisi ridotta all'aritmetica, di riuscire a dimostrare
127
Hilbert (1900)
la consistenza dell'aritmetica. Hilbert sperava che fosse possibile dare una
secondo problema
dimostrazione di consistenza molto elementare e che quindi mettesse al
riparo la matematica dai problemi tipo le contraddizioni, che agli inizi del secolo, eravamo appunto nel
1900, erano nate qui e là. Ebbene il teorema di Goedel arriva come un fulmine a ciel sereno e una delle
conseguenze del teorema di Goedel sulla quale poi ci soffermeremo a lungo nella prossima lezione perché
cercheremo di andare, come ho detto, nel dettaglio di questa dimostrazione, è per l’appunto che la
consistenza è indimostrabile. In che senso la consistenza è indimostrabile? Beh, se voi prendete un sistema
formale che è consistente, per esempio come si suppone essere quello dei “principia matematica” , ebbene
la consistenza del sistema dei " principia matematica" si può dimostrare, ma soltanto al di fuori del sistema,
non dal di dentro e quindi in particolare non attraverso mezzi elementari che sono già in qualche modo tutti
esprimibili dentro il sistema. Come mai qui abbiamo messo, invece che i mafiosi, un pazzo in camicia di
forza? Ma perché, in realtà, per fare una metafora del secondo teorema di Goedel, come viene chiamato o
del teorema di Goedel sulla inconsistenza, in realtà i pazzi sono la
metafora qui indicata, cioè quanti di voi hanno mai detto a qualche vicino
o qualche parente “io non sono pazzo”? Le uniche persone che dicono “io
non sono pazzo” sono in genere queste persone qua e soprattutto lo dicono
nel momento in cui vengono portate via in camicia di forza dagli
infermieri verso il manicomio, cioè le persone sane non possono dire e
non dicono di non essere pazzi. Il teorema di Goedel dice esattamente la
stessa cosa, solo che nel caso dei sistemi formali della matematica essere
sani significa essere consistenti, non dimostrare contraddizioni. Gli unici
sistemi che possono asserire, possono dimostrare la propria consistenza, sono precisamente quelli analoghi
dei matti, cioè i sistemi matematici che non sono consistenti sono gli unici che possono dire io sono
consistente, così come i matti sono gli unici che dicono io non sono matto, tutti gli altri sistemi che sono
consistenti matematicamente non possono dimostrare la propria consistenza, analogamente quelli che sono
sani di mente non dicono io non sono matto, così come i sistemi consistenti non dicono io sono consistente.
Quindi ricordate queste due metafore, una mafiosa e quell'altra psichiatrica, per avere in mente per
l’appunto delle immagini intuitive del teorema di Goedel, che vedremo più tecnicamente la prossima volta.
Il terzo campo di azione di Goedel è invece quello che ho detto prima, cioè “l'intuizionismo”.
3. Intuizionismo
Ebbene l'intuizionismo,di cui abbiamo parlato parecchio nel caso di
Brouwer
Brouwer quando abbiamo a lui dedicata una lezione, è un tipo di
matematica, in particolare di logica costruttiva e sembrava soprattutto a Brouwer che fosse qualche cosa
totalmente di diverso dalla matematica classica. Brouwer chiedeva di scegliere tra la sua matematica
intuizionistica e quella classica, che era in qualche modo simboleggiata, capitanata da Hilbert, sembrava una
battaglia di titani, di giganti, ma Goedel nel 1933 arriva con uno dei suoi soliti risultati sorprendenti e
dimostra che c'è un modello intuizionistica della logica classica, cioè in altre parole dimostra che la
matematica intuizionista sarà anche qualcosa di costruttivo, ma certamente non è qualche cosa di più
Godel
consistente sulla quale si possa fare più affidamento della logica classica,
perché esiste un modello intuizionista della logica classica e dunque se la
(1933)
logica classica fosse inconsistente, se avesse dei problemi, se fosse matta
Modello intuizionista
della logica classica
riguardo alla metafora che abbiamo già fatto prima, ebbene poiché c'è un
modello della logica classica nella logica intuizionista, anche la logica intuizionista sarebbe inconsistente,
anche la logica in intuizionista sarebbe matta, quindi come una trasmissione genetica di questa pazzia e
dunque la logica intuizionistica non è qualcosa di più solido, di meglio fondata della logica classica, se ci
sono problemi nella logica classica, questi problemi ci sono già anche nella logica intuizionista; di nuovo un
risultato sorprendente, di quelli proprio alla Goedel, nel 1933. Questi sono più o meno i grandi risultati che
Goedel dimostra prima della guerra mondiale. Che cosa succede nel caso della guerra mondiale? Beh,
ovviamente succede anzitutto che scoppiano le ostilità; Goedel viveva all'epoca in Austria, aveva già avuto
gravi problemi psichiatrici, era entrato e uscito da ospedali psichiatrici, da manicomi, perché aveva avuto
delle gravi crisi nervose, degli esaurimenti nervosi, però nel 1938 si accorge che sta arrivando la guerra, il
‘38 ricorderete è l'anno dell'Anschluss, dell'invasione dell'Austria da parte di Hitler e Goedel decise di
128
scappare, di andarsene dall'Austria; se ne va, ormai è tardi per poter passare l'oceano e quindi è costretto a
prendere un treno che lo porta attraverso tutta la Russia, percorre tutta la parte della Russia fino a
Vladivostock; prenderà di là un piroscafo, una nave che lo porterà sulla costa californiana dell'America e
dalla costa californiana dell'America prende un treno che la porterà invece Princeton. Ebbene, a Princeton
Goedel vivrà per il resto della sua vita, dal 1938 al 1978, facendo risultati importanti, certamente non così
importanti come i precedenti dei quali abbiamo parlato, risultati sulla teoria degli insiemi, sulla relatività,
sulla teologia, ai quali accenniamo adesso brevemente. Però, volevo dirvi prima brevemente che,
Princeton(1938-1978)
per l’appunto, Goedel se ne andò dall'Austria con un certo risentimento,
5. teoria degli insiemi
era molto seccato di questo fatto che sono arrivati i nazisti, non era una
persona particolarmente politicizzata, però fino ad arrivare a distinguere
6. relatività
fra il nazismo e il suo posto ci arrivava ed ecco che Goedel rifiutò nella
7. teologia
sua vita, in questi quarant'anni che gli rimanevano da vivere, rifiutò sempre non soltanto di andare di nuovo
a visitare l’Austria, ma addirittura le onorificenze che l’Austria propose di dargli nel corso degli anni.
Goedel ovviamente quando divenne famoso ricevette onorificenze da tutte le parti, non ricevette mai il
premio Nobel, perché come abbiamo già detto altre volte, il premio Nobel non esiste per la matematica, in
particolare non esiste per la logica, non ricevette mai la medaglia Fields che è l'analogo del premio Nobel
per la matematica, perché ormai aveva più di quarant'anni e la medaglia Fields viene data soltanto a persone
che hanno meno di quarant'anni e notate che la prima venne data praticamente nel 1936 e poi non ne
vennero date più altre fino al 1950, quindi quei due riconoscimenti, quelle due onorificenze Goedel non li
ottenne, il Nobel o la medaglia Fields. Però ebbe tantissimi riconoscimenti da varie parti del mondo, in
particolare l’Austria che più volte cercò di dare delle onorificenze, a questo suo figlio, diciamo così, tra più
importanti; forse insieme a Schroedinger, Goedel è l'austriaco che nel campo della scienza in questo secolo
ha fatto di più, per portare avanti il nome della sua nazione. Ebbene Goedel ha sempre rifiutato queste
onorificenze, non ne volle più sapere di sentire parlare dell'Austria.
Vediamo però che cosa successe a Princeton. A Princeton Goedel andò, non andò all'università, ma a quello
che si chiama, Institute for Advanced Studies, l'istituto degli studi avanzati. Un istituto che è un Istituto di
pura ricerca, dove ci stavano per esempio Einstein, dove ci stava Von Neumann, queste grandi menti, dove
si stava Herman Wiles, quindi moltissime persone. Che cosa succede qui? Goedel si dedica soltanto alla
ricerca; non riesce più a ottenere quei grandissimi risultati, anche perché quelli erano risultati epocali, li
aveva già ottenuti, però continua a produrre delle cose di altissimo livello. Vediamo dunque più da vicino
che cosa fece Goedel in questi anni. Anzitutto si interessò di teoria degli insiemi, in particolare dell'ipotesi
del continuo. Vi ricorderete che cos'è l'ipotesi del continuo: l'ipotesi del continuo è praticamente la domanda
che chiede quanti sono i numeri reali. La risposta ovvia che voi pensereste e anch’io penseremo di dare che
ce ne sono infiniti ovviamente non vale, perché da Cantor oggi sappiamo che di infiniti ce ne sono tanti;
quindi sapere quanti sono i numeri reali significa dire che si certo ce ne sono infiniti, ma quale ordine di
infinito? Cantor dimostrò che ci sono più numeri reali che numeri interi, cioè che l'infinito dei numeri reali è
maggiore di quello dei numeri interi. Il problema però era sapere quanto maggiore, cioè poiché gli infiniti
sono tutti ordinati in fila, cioè esattamente come i numeri interi, c'è l'infinito dei numeri naturali, c'è
l'infinito dei numeri reali che è più grande, in mezzo che cosa c'è? In mezzo c'è qualche cosa, ci sono altri
infiniti oppure no? Questo il grande problema che Cantor chiamò “l’ipotesi del continuo”, si chiama
continuo perché i numeri reali spesso vengono chiamati appunto il continuo, perché sono messi con
continuità su una retta; ebbene l'ipotesi del continuo chiedeva se ci fossero degli infiniti a metà tra l'infinito
di numeri interi e l'infinito dei numeri reali.
5. Teorie degli insiemi
Questo problema Cantor cercò di risolverlo, anche lui finì in manicomio
Ipotesi del continuo
più volte, perché ovviamente questi studi di matematica sono talmente
avanzati che stremano completamente coloro che li fanno; ebbene Cantor, non riuscii a risolverlo
ovviamente durante la sua vita e nel 1900 di nuovo allo stesso congresso di Parigi del quale abbiamo già
parlato poco fa, parlando del problema della consistenza, Hilbert propone questa volta il problema di Cantor
come primo problema della sua lista di 23 grandi problemi per il secolo venturo. Ricordatevi, il secondo
problema era la consistenza dell'analisi; Goedel aveva già risolto questo secondo problema dimostrando
129
Hilbert
congresso di Parigi
che non è possibile dimostrare la consistenza dell'analisi o
(1900)
Primo problema
dell’aritmetica all'interno del sistema stesso. Adesso quando
arriva a Princeton, Goedel attacca in realtà il primo problema, il più importante di tutti, quello appunto che
Hilbert aveva posto agli inizi della sua lista per significare il fatto che effettivamente era quello il problema
al quale teneva di più. Ebbene qual'è il risultato di Goedel? Il risultato che Goedel ottenne nel 1938, più o
meno nel momento in cui arriva a Princeton, probabilmente ci aveva già pensato prima, è che l'ipotesi del
continuo non è refutabile. Voi direte questo è un modo strano di affrontare un problema; che cosa significa
che non è refutabile?
Godel
Significa che non si può dimostrare che è falsa e dunque come fa Goedel
(1938)
a dimostrare un risultato di questo genere? Si inventa un universo che
L’ipotesi del continuo
si chiama “l'universo degli insiemi costruibili”; ricorderete “costruibile”
non è refutabile
è ciò che viene in qualche modo identificato con la filosofia, la logica e
la matematica intuizionista di Brouwer, questa è più o meno un'idea analoga, cioè l'idea di Goedel è di
prendere soltanto insiemi che si possono effettivamente costruire a mano. Goedel dimostra che questi
insiemi formano quello che oggi viene chiamato un modello, un universo della teoria degli insiemi,
soddisfano tutte le proprietà degli assiomi della solita teoria degli insiemi e in più soddisfano anche
all’ipotesi del continuo ed ecco che allora, poiché c'è un mondo in cui tutti gli assiomi della teoria degli
insiemi sono soddisfatti e anche l'ipotesi del continuo è soddisfatta, non è possibile dimostrare la negazione
dell'ipotesi del continuo, perché se questa negazione fosse dimostrabile sarebbe appunto vera la negazione e
dunque falsa l'ipotesi del continuo in tutti i mondi possibili e invece Goedel ne fa vedere uno in cui l'ipotesi
del continuo non è falsa, in cui l'ipotesi è vera. Questa è soltanto una parte della storia, perché dire che non è
refutabile è molto meno che dire che invece è provabile; ovviamente nel caso in cui una formula, un'ipotesi
sia provabile, se il sistema è consistente non può essere certo refutabile, altrimenti ci sarebbe una
contraddizione. Quindi sembrava all'epoca, il 1938, che questo fosse un risultato secondario, cioè Goedel
aveva dimostrato che l'ipotesi del continuo non si può refutare, però in realtà sarebbe forse venuto qualcun
altro che avrebbe fatto passare in secondo ordine questo risultato di Goedel, dimostrando che invece l'ipotesi
era provabile. Ebbene invece questo non successe e successe stranamente l'esatto contrario, cioè nel 1963,
quindi molti anni dopo questo risultato di Goedel, questo signore che si chiama Paul Cohen dimostrò che
quest’ipotesi del continuo non è dimostrabile, cioè l'altra faccia della medaglia. In altre parole Goedel aveva
dimostrato che l'ipotesi del continuo non è refutabile, Cohen dimostra che la stessa ipotesi non è
dimostrabile; i loro metodi di dimostrazione sono simili, in un caso Goedel si costruisce un universo in cui
l'ipotesi del continuo è vera e dunque non si può refutare, nell'altro
caso Cohen si costruisce un universo o meglio tanti universi, perchè
poi se ne costruì effettivamente parecchi, addirittura infiniti, in cui
l'ipotesi del continuo è falsa e dunque non si può provare. E allora che
cosa succede questo punto? L’ipotesi del continuo, il grande
problema, il primo della lista di Hilbert, il problema che aveva fatto
impazzire addirittura Cantor, non si può risolvere con i mezzi della
matematica moderna. Non è né dimostrabile né refutabile, in altre
parole è un esempio di quelle verità indimostrabili che Goedel aveva
dimostrato esistere per qualunque sistema matematico; in questo caso però mentre la dimostrazione di
Goedel era una dimostrazione generale e come vedremo nella prossima lezione in realtà è qualche cosa di
abbastanza indiretto, fa un uso di una frase che dice di se stessa di non essere dimostrabile all'interno del
sistema e dunque è interessante per i logici, ma non per matematici, in questo caso invece, dicevo, Goedel
ha trovato insieme a Cohen un esempio molto concreto di questo suo teorema di incompletezza e l'esempio
è addirittura il più famoso problema della matematica di quegli anni, cioè l'ipotesi del continuo, che appunto
non è né dimostrabile né refutabile all'interno del sistema. Che cosa succede in seguito? Beh, succede che
Goedel s’interessa di altro. Una volta che ha risolto i problemi legati alla logica col teorema di completezza,
quelli legati all'aritmetica e all’analisi col teorema di incompletezza, una volta dimostrato il secondo
teorema sulla consistenza dell’aritmetica che non si può provare all’interno di un sistema, una volta che ha
risolto perlomeno una metà, una parte del primo problema di Hilbert sulla teoria di insiemi, che cosa gli
130
rimane da fare? In matematica, perlomeno nella matematica di cui si interessava lui, poco e dunque quindi si
rivolge altrove, si rivolge in particolare a questo signore che come voi tutti sapete, conoscete benissimo, si
chiama Albert Einstein. Einstein, come vi ho detto, era anche lui un membro dell'Institute di Princeton, era
uno di quei signori, dei cervelloni che non insegnavano, facevano soltanto ricerca. Einstein e Goedel
diventano molto amici e in particolare Goedel si interessa della
relatività generale. Nel 1948 Goedel scopre una cosa interessante,
cioè dimostra un'importante teorema nel campo della relatività
generale, per il quale poi gli viene data addirittura quella che oggi si
chiama il premio Einstein, la medaglia Einstein, uno dei più grandi
riconoscimenti in questo campo e scopre un risultato sugli universi
rotanti, cioè dimostra che benché la relatività del tempo fosse
qualche cosa che andava contro il senso comune, all’epoca tutti i
modelli noti della relatività generale avevano una nozione di tempo
assoluta, che scorre cioè sempre in un senso, ebbene dimostra che si sono degli universi in cui non c'è una
nozione assoluta di tempo, una nozione comune di tempo; anzi dimostra addirittura di più, una cosa molto
strana e questo si che lo fece diventare, come dire, quasi un personaggio singolare della relatività, dimostra
cioè che è possibile fare il viaggio in avanti e indietro nel tempo.
Eccolo qua Goedel vestito da astronauta, che se ne va in giro per
l'universo; notate viaggio nel tempo, ovviamente quando si parla di
viaggio nel tempo non si fa riferimento al viaggio nel futuro, perché tutti
ci stiamo andando nel futuro, pian piano arriviamo dal passato al futuro.
Il viaggio di cui parla Goedel è il viaggio nel passato e Goedel dimostra,
sembra quasi fantascienza, anzi in realtà lo è addirittura, dimostra che ci
sono dei modelli della relatività generale in cui è possibile fare il giro
dell'isolato, esattamente come nel nostro mondo facciamo il giro dell'isolato e andiamo sempre a destra per
esempio, ad un certo punto ci ritroviamo nel punto di partenza perchè abbiamo fatto tutti e quattro angoli del
caseggiato, ebbene nel caso degli universi di Goedel è possibile fare una cosa analoga, solo che questa volta
lo si fa non solo nello spazio, ma addirittura nello spazio tempo; si va avanti, si va avanti, si va avanti e ad
un certo punto si ritorna indietro e ci si ritrova nello stesso punto, però nello stesso punto non soltanto
spaziale, cioè nelle tre coordinate spaziali, ma nello stesso punto dello spazio tempo, cioè stesso luogo e
stesso istante, cioè si è tornati indietro nel tempo, cioè Goedel dimostra che il viaggio all’indietro nel tempo
non è contrario alle leggi della fisica moderna Se non piace, come infatti non piace alla maggior parte dei
fisici moderni, allora non bastano l'equazioni della relatività generale per impedire che si possa fare questo
viaggio all’indietro nel tempo, c'è bisogno di qualche cosa di più. Benissimo, abbiamo visto questa
progressione dei risultati di Goedel, che partito dalla logica, arrivato alla matematica, risolti magari
parzialmente i più importanti problemi, passa alla fisica, studia addirittura questo problema del tempo,
dimostra che è possibile fare viaggi nel passato, che cosa gli rimaneva da fare? Ebbene, quando si è arrivati
a questi livelli di astrazione, l'unica cosa che rimane oltre quello è Dio. E infatti Goedel s’interessa
nell'ultima parte proprio della sua vita, nella parte finale della sua vita, della teologia e in particolare
affronta la cosiddetta prova ontologica dell'esistenza di Dio. Questo signore che vedete qui è Santa Anselmo
d'Aosta che nel 1079, verso la fine del 1000, aveva dimostrato, aveva introdotto una dimostrazione
dell'esistenza di Dio.
La dimostrazione fece parlare di sé praticamente per 900 anni, perché
la famosa dimostrazione è praticamente una dimostrazione di struttura
veramente matematica, cioè ha un assioma, ha una definizione, ha un
enunciato e una dimostrazione. Qual'è la definizione? Beh, è una
definizione di Dio. Che cosa è Dio? Dio è l'essere è che ha tutte le
perfezioni. Qual'è l'assioma? L'assioma è che l'esistenza è una
perfezione, meglio esistere che non esistere. E il teorema? Il teorema
è che dio esiste. E la dimostrazione? Beh, la dimostrazione a questo punto è banale, perché se Dio è un
essere che ha tutte le perfezioni e una delle perfezioni è l'esistenza e allora Dio ha quella proprietà lì e
131
dunque Dio esiste. Ora questa dimostrazione poteva andar bene nell’anno 1000 per l’appunto, poi col
passare il tempo, con l'affinarsi dei metodi scolastici e ovviamente con l'arrivo della nuovo filosofia, della
filosofia moderna, con Cartesio, soprattutto del razionalismo con Cartesio, con Leibniz, con Spinosa e così
via, ebbene questo tipo di ragionamento continua ad attrarre i filosofi, ma la dimostrazione originale di
Sant’Anselmo non soddisfa più. Ebbene nel 1970 Goedel studia la versione che Leibniz aveva dato di
questa prova ontologica, che era già un rifacimento della versione di Cartesio e le dà una versione
puramente matematica, puramente logica. Goedel non credeva nell'esistenza di Dio, però voleva in realtà
dimostrare che era possibile riformulare questi argomenti da un punto di vista matematico e farli diventare
qualche cosa che non avesse gli errori che invece i filosofi precedenti e i santi precedenti avevano in qualche
modo fatto. Quindi vedete come questo percorso in realtà è stato un percorso veramente grandioso, cioè
Goedel è partito con i problemi forse più terra terra, cioè legati alla logica, al linguaggio eccetera, è salito
via via nel campo della astrazione, è arrivato alla teoria degli insiemi e poi addirittura è arrivato alla
cosmologia e all'esistenza di Dio. Bene, questa è stata la lezione che in qualche modo ci ha introdotti al
personaggio e ai risultati di Goedel, ma nella prossima lezione affronteremo da vicino questo suo famoso
teorema di incompletezza, al quale abbiamo oggi soltanto accennato. Vi do appuntamento a quella che sarà
la più importante lezione del nostro corso, cioè alla lezione sui teoremi e non sul personaggio di Goedel.
LEZIONE 16: Metamorfosi di un teorema
Benvenuti alla seconda lezione su Goedel, l'unica persona a cui dedicheremo in realtà due lezioni. Nel
nostro corso, nella nostra serie di lezioni abbiamo parlato ogni volta di un personaggio, abbiamo cercato di
introdurre le sue idee, i risultati, la sua vita e così via, però a Goedel dobbiamo ovviamente dare qualcosa di
più. Goedel, come vi ho detto più volte, è in realtà il più grande logico certamente della contemporaneità,
forse il più grande logico della storia insieme ad Aristotele, uno dei due più grandi logici e quindi è giusto
che al teorema di Goedel o meglio a quello che viene considerato il teorema di Goedel dedichiamo un
pochettino più di attenzione. Nella scorsa lezione abbiamo visto la vita e le opere di Goedel in una maniera
più generale, abbiamo già accennato più di una volta, tra l'altro, a questo famoso “teorema di
incompletezza” che dimostrò nel 1931 e quest'oggi è arrivato il momento di parlare un po’ più a fondo di
questo teorema, cercare di spiegarlo, cercare di vedere da dove arriva e ovviamente lo faremo in maniera il
più possibile indolore, cercando di andare a vedere anzitutto alcune metafore del teorema di Goedel, cioè
cercare di capire che cosa questo teorema dice veramente, facendo degli esempi tratti di altri campi.
Parleremo di fisica, di letteratura, di filosofia e così via e poi nella seconda parte della lezione andremo
veramente a scavare un pochettino più a fondo per cercare di capire
effettivamente quali sono i meccanismi che regolano questo teorema.
E’ per questo che abbiamo chiamato questa lezione “metamorfosi di un
teorema”, cioè i modi diversi di vedere questo teorema come si è
presentato nella storia e come si può presentare nelle metafore.
Cominciamo subito con la metamorfosi, che è la metafora più
significativa e anche più semplice di tutte, cioè quella che arriva dal
mondo fisico. Vediamo qui nella slide una rappresentazione del mondo
fisico. Questo triangolono che vediamo è più o meno l'universo come si
comporta, come si è espanso dal suo inizio, che come tutti sapete si
chiama Big Bang Ebbene questo universo è cominciato ad un certo
punto circa 15 miliardi di anni fa e ad un certo punto siamo arrivati nella sua storia, ma ciò che però
possiamo vedere dell'universo è soltanto una sua piccola parte, cioè quello che viene chiamato l'orizzonte
degli eventi dell'osservatore è la parte che possiamo osservare perché la luce ha già potuto percorrere la
distanza che separa quella parte dell'universo da noi; come vedete dalla figura, questa parte dell'universo a
cui possiamo accedere, che noi possiamo direttamente vedere, è soltanto una piccola parte dell'intero
universo, cioè c'è tutta una parte dell'universo che è in qualche modo nascosta alla nostra osservazione e che
noi non possiamo ancora vedere Ed ecco che allora una delle metafore del teorema di Goedel è quella che
ho scritto qui sotto nella slide, cioè che “nessun osservatore può avere un'immagine completa dell'universo”,
132
in questo caso si tratta ovviamente di osservatori fisici, mentre nel
caso di Goedel saranno osservatori matematici. Detta così non
sembra una grande scoperta, però in un certo qual modo è
certamente significativa ed è tipica anche del ‘900, è un teorema
caratteristico di limitatezza o di limitazione delle possibilità
umane.:L'uomo è qui, guarda l'universo intorno a sé, però può
vedere soltanto una piccola parte dell'universo e quindi c'è una
certa incompletezza, una certa incapacità della conoscenza a
ricoprire tutto l'universo nella sua interezza. Questa è la prima
metafora, vediamo più da vicino invece un qualche cosa che ci
porta anche al vero teorema. Guardate questo testo di letteratura,
abbiamo qui di fronte a noi un grande libro aperto, da una parte
porremmo delle cose che si riferiscono alla letteratura e dall'altra parte faremo la metafora, cioè guarderemo
invece ai sistemi matematici.
Cominciamo anzitutto con la prima parte, cioè quando noi leggiamo un testo letterario ci troviamo di fronte
per l’appunto un testo, cioè la storia che viene raccontata così come ha voluto raccontarcela l'autore. In
matematica il corrispondente, il corrispettivo di un testo è quello che si chiamano gli assiomi. Gli assiomi
sono praticamente le proposizioni che vengono poste agli inizi della storia e che noi consideriamo come un
testo dal quale dobbiamo dedurre le cose, dal quale dobbiamo dedurre la nostra immagine di ciò che ci viene
detto. La critica letteraria o perlomeno l'esegesi del testo è ciò che i matematici chiamano invece le
dimostrazioni, cioè un tentativo di andare a fare un'analisi di ciò che l'autore ha scritto, così come i
matematici fanno invece un'analisi di ciò che gli assiomi dicono, cercando di ricavare le conseguenze, anche
le parti più recondite, quelle che magari l'autore ha soltanto in qualche modo accennato. La stessa cosa si fa
in matematica, cercando di prendere questi assiomi e di analizzarli andando a vedere ciò che nascondono
dietro l'apparenza. Ebbene il risultato di questa critica o di queste dimostrazioni sono nel caso della
letteratura i cosiddetti aspetti impliciti, quelli di cui a prima vista non ci eravamo accorti perché il testo non
ne parlava in maniera esplicita, che però si possono dedurre dalle informazioni che ci vengono date
dall'autore. Ebbene i teoremi in matematica sono precisamente l'analogo di questi aspetti impliciti, cioè il
tentativo di dedurre dagli assiomi ciò che era nascosto e tirarlo fuori attraverso dimostrazioni. Cosa c'entra il
teorema di Goedel in tutto questo? Beh, anzitutto guardiamo che cosa succede in letteratura; prendiamo un
testo letterario per esempio “i promessi sposi” e vediamo che cosa succede nella realtà descritta dai
promessi sposi. Ebbene quello che qui ho scritto è precisamente una metafora del teorema di Goedel che
dice “nessun testo descrive una realtà sufficientemente complessa in modo completo”. Ho fatto l'esempio
dei promessi sposi perché tutti probabilmente siamo stati torturati a scuola, costretti a leggerlo e la domanda
che vi potrei fare, una delle domande che vi potrei fare sui Promessi sposi è per esempio, che dopo tutte le
vicende che, come ovviamente voi tutti sapete, si conclusero
Felicemente, Renzo e Lucia si sposano, ebbero dei figli, ebbene
quanti figli ebbero Renzo e Licia? Immagino che voi ci pensiate
un momento, non vi viene in mente quanti figli ebbero, per un
motivo molto preciso, perchè Manzoni dice semplicemente dopo
di questo, dopo il primo figlio, ne ebbero chissà quanti altri e non
precisa, non lascia determinato, qual'è il numero, la consistenza,
diciamo così, della famiglia Tramaglino. Ebbene questo non è
un'eccezione, perché è vero sempre che quando si ha di fronte a
noi un testo che racconta una realtà che è sufficientemente
complessa, non ci possono essere tutte le informazioni, per
esempio il colore dei vestiti che Renzo aveva in un certo
momento oppure, non so, la forma delle scarpe di Lucia quando
scappava dai Bravi e così via, sono tantissime cose che il testo
non riesce descrivere, cioè c’è una realtà, ma questa realtà è sottodeterminata in qualche modo, non si può
raccontare in maniera completa. Ebbene questa ovvietà che si potrebbe dire letteraria, da un punto di vista
133
matematico diventa invece qualche cosa di molto profondo; così come nessun testo descrive una realtà
letteraria sufficientemente complessa in maniera completa, ebbene nessun testo matematico, in questo caso
nessun sistema aritmetico sufficientemente complesso è completo. Ecco però che quello che da un vista
semplicemente letterario non ci dava forse molto fastidio, da un punto di vista matematico c'è ne da molto di
più, perché di certo vi ricorderete quando abbiamo parlato di Frege, quando abbiamo parlato di Russell e di
Wittgenstein, dell'idea, del sogno di poter arrivare a un sistema che fosse appunto una descrizione completa
di tutta la matematica o perlomeno del sistema aritmetico, della realtà che tratta dei numeri interi, ebbene,
purtroppo, il risultato di Goedel dice precisamente questo, che per quanto riguarda anche soltanto la piccola
parte o perlomeno quella parte importante, certamente non totale della matematica che tratta dei numeri
interi, già di questa parte non si può dare una descrizione completa, non ci può essere il libro, il testo
letterario nel quale sono descritte, non esplicitamente ovviamente perché questo non ce lo potremmo
aspettare, ma nemmeno implicitamente, tutte le proprietà del sistema, cioè qualunque sistema di assiomi che
noi poniamo per i numeri interi sarà incompleto, non sarà una descrizione completa, ci saranno sempre delle
verità aritmetiche che non sono né dimostrabili né refutabili all'interno di questo sistema, cioè il testo
aritmetico della matematica non è completo; il che significa che non ci può mai essere la fine della storia,
che la matematica se vogliamo paragonarla per l’appunto a qualcosa di letterario, non è un libro, ma è una
biblioteca che non viene mai terminata perché bisogna sempre continuare ad aggiungere volumi uno dietro
l'altro. Quindi qui vediamo che questa metafora che nel caso della letteratura permetteva alla letteratura di
continuare a vivere, cioè nessun libro era completa, ma questo va bene, il che significa possiamo continuare
a leggere altri romanzi, nel caso della matematica va un po' meno bene, comunque questa è effettivamente la
realtà. Questa era la seconda nostra metafora, mentre la prima era una metafora fisica, il fatto che gli
osservatori non possono ricoprire col loro sguardo, naturalmente non solo fisico, ma anche attraverso i
telescopi l'intero universo, questa seconda metafora è letteraria, cioè nessun testo matematico ci può
raccontare l'intera storia della matematica, ci sarà bisogno non soltanto di tanti testi, ma addirittura di infiniti
testi, nessun numero finito di testi è sufficiente a dirla tutta per così dire.
Bene, passiamo ad un'altra metafora che è ancora più vicina proprio alla dimostrazione del teorema di
Goedel ed è una metafora che ci viene invece dalla filosofia. Questo signore nella slide lo riconoscere tutti, è
ovviamente Kant; ebbene Kant scrisse un opera molto importante verso la fine del ‘700 e questa opera,
come tutti almeno sapete dal titolo, si chiama “la critica della
ragion pura”. Ebbene la critica della ragion pura è ovviamente un
monumento della filosofia contemporanea, è il tentativo di mettere
insieme da una parte il razionalismo di Cartesio, di Spinosa e
dall'altra parte invece l’empiricismo, l'empirismo inglese di Hume e
Locke e così via, cioè è un tentativo di sintesi ed è per questo che
Kant effettivamente è considerato forse il più importante filosofo
del ‘700, ma anche forse il più importante filosofo dell'era
moderna. Ebbene tra le tante cose che si trovano nella “critica della ragion pura” si può guardare, come
vogliamo fare noi adesso in questi brevi istanti, qual'è l'impianto, qual’è l'idea essenziale della critica della
ragion pura. Ebbene l'idea l'ho espressa in questo modo, cioè l’idea di Kant è questa: “se la ragione vuole
essere consistente, non può essere completa”. Cerchiamo di capire meglio che cosa significa questo; Kant
aveva questa idea, che noi ci troviamo di fronte, quando parliamo con noi stessi o con altri, quando
pensiamo alle nostre idee, al problema dell'estensione delle potenzialità della ragione. Ora ci sono in
qualche modo due tensioni quando si parla di ragione, da una parte vogliamo che la ragione sia consistente,
ricorderete, per esempio dalla lezione su Platone, che uno dei principi fondamentali della logica è per
l’appunto il cosiddetto “principio di non contraddizione”, cioè noi possiamo dire una cosa oppure il suo
contrario, ma non certamente possiamo dire la stessa cosa e il suo contrario nello stesso momento, perché
questo sarebbe una contraddizione che è appunto contraria a tutta la storia, a tutto l'impianto della logica
contemporanea e la mancanza di contraddizione è proprio ciò che si chiama consistenza. Quindi questo
sembrerebbe essere una delle richieste fondamentali che noi imponiamo alla ragione, vogliamo che le
ragioni sia consistente. Ebbene l'altra proprietà invece che ci piacerebbe che la ragione avesse, sarebbe la
completezza, cioè riuscire con la sola ragione ad arrivare a capire praticamente tutto ciò che si può capire,
134
cioè ogni verità dovrebbe essere accessibile alla ragione. Questa completezza per l’appunto è l'altra faccia
della medaglia, quindi da una parte la consistenza, la mancanza di contraddizioni, dall'altra parte la
completezza, la possibilità di capire, di arrivare a capire ogni verità. Ebbene l'essenza della critica della
ragion pura è proprio questo, cioè “se la ragione vuole essere consistente non può essere completa”, cioè
queste due caratteristiche, queste due richieste non vanno d'accordo, perché se noi vogliamo avere la
completezza non possiamo avere la consistenza e viceversa. Questo di nuovo è una limitazione della ragione
umana, non si può avere tutto ciò che si piacerebbe avere, soltanto una di queste due possibilità. Vediamo
più da vicino come Kant ha cercato di dimostrare questo suo appunto, ovviamente non possiamo fare in un
minuto la critica della ragion pura, ma l'idea fondamentale di Kant è questa: quando la ragione si spinge ai
suoi limiti estremi, ciò che trova sono le “idee trascendentali”, come lui le chiama.
Le tipiche idee trascendentali sono il “concetto di Dio”, il
Dimostrazione
Le idee trascendentali, ottenute
“concetto di anima”, il “concetto di mondo” e così via. Ebbene
con passaggi al limite,
quando si considerano queste idee trascendentali ottenute come
producono contraddizioni
dicevo con un passaggio al limite, spingendosi oltre le colonne
d'Ercole della ragione, queste idee trascendentali producono delle contraddizioni, cioè una parte della critica
della ragion pura è precisamente la parte delle cosiddette quattro antinomie della ragione, cioè chi arriva a
considerare, chi si spinge oltre i limiti della ragione, perchè si cerca di avere la completezza e in particolare
si vuole poter parlare di Dio, dell'anima, del mondo, si cade nell'inconsistenza, perchè si arriva a dimostrare
delle antinomie, delle contraddizioni. Allora la completezza implica l'inconsistenza, il che significa per “il
principio di contrapposizione” che abbiamo usato già più di una volta e che è stato trovato appunto da
Aristotele, “completezza implica inconsistenza” e significa che,se noi vogliamo la consistenza, allora non
possiamo avere la completezza. Quindi questo è l’impianto della critica della ragion pura ed è proprio ciò
che in realtà poi Goedel fece poi per la matematica. Anche qui dire che un sistema consistente non può
essere completo, è un buon modo di riformulare il teorema di Goedel di cui parleremo tra poco. Bene,
avviciniamoci ancora un pochettino di più e cerchiamo questa volta di vedere la matematica, cioè un modo
di affrontare il teorema di Goedel da un p. di v. matematico. Da un punto di vista matematico il teorema di
Goedel si può dire molto facilmente, basta dire che “la verità è diversa dalla dimostrabilità”, ciò che è vero
Matematica
è un conto, ma ciò che si dimostra è solo una parte di tutto quello
verità ≠ dalla dimostrabilità
che è vero, cioè la verità non coincide con la dimostrabilità, non
.. … ≠
si riesce a dimostrare tutta la verità, ci saranno delle cose vere
∞
≠
1
che non si riesce a dimostrare, questa è l'idea. Come mai? Oggi
certamente non sarebbe poi così complicato convincersi della verità del teorema di Goedel, perché la verità
coinvolge un numero potenzialmente infinito di quantificatori, cioè tutti, nessuno, qualcuno. che aveva già
introdotto Aristotele: naturalmente si possono fare combinazioni a piacere di questi quantificatori e allora la
verità è un qualche cosa la cui complessità è potenzialmente infinita, mentre invece la dimostrabilità è
qualche cosa la cui complessità è molto semplice, cioè dire che una formula, un’affermazione è
dimostrabile, significa dire che dunque esiste un solo quantificatore, esiste una sua dimostrazione. Allora
può anche essere intuitivo questo fatto, che la verità è diversa dalla dimostrabilità, perché infiniti
quantificatori sono diversi da uno, cioè praticamente dal p.di v. matematico il teorema di Goedel si riduce a
questa constatazione, che l’infinito è diverso dal numero 1. Naturalmente questo è un po’ mascherato, ma
questo è uno degli aspetti, l’aspetto matematico del teorema di Goedel. Vediamo più da vicino ancora una
riformulazione matematica, in particolare aritmetica perché come ho già detto prima il teorema di Goedel
riguarda in particolare “il romanzo” dell’aritmetica e quindi è bene guardare queste cose più da vicino.
Aritmetica
Consideriamo qui una proprietà che abbiamo chiamato P, ovviamente
P = per ogni x e y,
in onore di questo signore che era per l’appunto Pitagora; ebbene il
contenuto del teorema di Pitagora, per lo meno del fatto che ci sono dei
x2 ≠ 2x2
¾ P vera se x, y interi
numeri irrazionali, si può esprimere dicendo che per ogni x e y, per
(V2 non è razionale)
ogni numero x e y il quadrato di x è diverso da due volte il quadrato di
¾ P falsa se x, y reali
y, cioè il rapporto tra x e y al quadrato non può essere uguale a 2, questo
(V2 è reale)
è il significato appunto di ciò che Pitagora scoprì come conseguenza del
135
suo famoso teorema, cioè il fatto, oggi diremo, che la radice di 2 è un numero irrazionale. Ebbene
guardiamo allora questa proprietà P, questa proprietà è vera o falsa? Beh, ho appena detto naturalmente che
questa proprietà è vera, se noi supponiamo che i numeri inseriti siano numeri interi, non c’è nessuna coppia
di numeri interi il cui rapporto al quadrato è uguale a 2, quindi abbiamo qui una proprietà che è vera nel
caso dei numeri interi perché la V2 non è un numero razionale; però se invece dei numeri interi noi
considerassimo dei numeri reali, allora la V2 è ovviamente un numero irrazionale e ci sarebbero dei numeri
x e y che hanno questa propriètà e quindi significa che noi abbiamo una proprietà che è vera in un caso
quando noi interpretiamo queste variabili come se fossero dei numeri interi ed è falsa in un altro caso
quando invece interpretiamo queste variabili come se fossero dei numeri reali. Ora com’è possibile che una
proprietà sia vera e falsa? Beh, ovviamente stiamo parlando di ambienti diversi, però da questo fatto che una
stessa proprietà è vera in un caso e falsa nell’altro, possiamo ricavare la seguente conseguenza: questa
proprietà P, che praticamente esprime il fatto che la V2 non
è razionale,
non è né
P non è dimostrabile né
dimostrabile né refutabile in un qualunque sistema i cui assiomi
refutabile in un sistema
siano veri sia per i numeri interi che per i numeri reali. Come mai
i cui assiomi valgano
questo? Supponiamo di metterci in un sistema di assiomi in cui
sia per i numeri interi
gli assiomi siano veri in entrambi i casi, cioè sia che parlino dei
che per i numeri reali
numeri reali e sia che parlino dei numeri interi; per esempio una
proprietà che vale in tutti e due i casi è questa: se prendiamo x e aggiungiamo a x zero, otteniamo ancora x,
x + 0 = x; questo è vero sia che x sia un numero intero, sia che x sia un numero reale. Possiamo mettere una
lista anche infinita di proprietà di questo genere, che sono vere sia per i numeri interi che per i numeri reali.
Ebbene possiamo considerare questa lista come un particolare sistema di assiomi dell’aritmetica, come una
particolare descrizione di questo romanzo dell’aritmetica, però comunque abbiamo qui una proposizione che
non può essere né vera né falsa, cioè non può essere né dimostrabile né refutabile in quel sistema, perché?
Ma perchè è una proposizione che è vera per i numeri interi, ma è falsa per i numeri reali; se gli assiomi
sono veri in entrambi i casi, sia per i numeri interi che per i numeri reali, anche tutte le loro conseguenze
dovranno essere vere sia per gli interi che per i numeri reali, ma qui abbiamo una formula che è vera in un
caso e falsa nell’altro e quindi non è possibile che questa formula sia derivabile da assiomi che sono veri in
tutti e due i casi. Ebbene questo è praticamente, quasi quasi il teorema di Goedel; l’unica differenza è che
Godel riuscì a trovare una proposizione molto simile, fra l’altro, alla proposizione che abbiamo trattato poco
prima, che non è né dimostrabile né refutabile in un qualunque sistema di assiomi in cui gli assiomi siano
veri per i numeri interi, cioè Goedel riuscì a far cadere questo riferimento all’aritmetica dei numeri reali, che
in effetti è qualche cosa che centra poco quando si parla dei numeri interi e questo sembrerebbe un piccolo
miglioramento, in realtà è una grande complicazione da un punto di vista matematico; però l’idea è più o
meno quella che già si ottiene dal teorema di Goedel, cioè ci sono cose che non si riescono né a dimostrare
né a refutare in sistemi di assiomi, i cui assiomi siano veri per i numeri interi.
Quindi siamo ormai arrivati praticamente al dunque. Come fece Goedel a dimostrare il suo teorema che
adesso enunceremo per bene, di cui accenneremo alla dimostrazione. Bene, Goedel fece questo, cominciò a
considerare la storia della logica e si rifece alla famosa antinomia con la quale abbiamo cominciato
praticamente il nostro corso di lezioni, cioè la famosa antinomia del mentitore. Ve la ricordo brevemente, la
nostra lezione si chiamava il naso di Pinocchio per l’appunto, perché era qualche cosa che aveva a che fare
con la verità e con la menzogna. L'antinomia del mentitore che è dovuta ad Epimenide consiste
Epimenide
semplicemente nel considerare una frase che dice “io non sono vera”
“io non sono vera”
oppure considerare una persona, un pinocchio che dice” io sto mentendo”.
Una frase di questo genere, è vera o falsa? Beh, vediamo da vicino che cosa succede: la frase che dice “io
non sono vera” non può essere vera, perché? Perché se fosse vera quello che dice sarebbe vero, ma dice di
dire falso, di non essere vera e allora se fosse vera sarebbe falsa. Questa è una cosa che non può
Non può essere vera
fare e quindi non può essere vera. Cosa succede nel caso contrario?
(altrimenti direbbe il falso)
Vediamo: non può nemmeno essere falsa, perché se fosse falsa, la
frase che dice “io non sono vera”, sarebbe vero il contrario di quello che dice, ma dice di non essere vera, il
suo contrario è essere vera e dunque se fosse falsa sarebbe vera. Sono sicuro che naturalmente la vostra
testa sta girando come succede sempre ogni volta, anche a me tra l'altro, quando parlo di queste antinomie,
136
di questi paradossi, però se provate a farlo ovviamente su un foglio di carta o nell'ambito della vostra mente,
vi accorgerete presto che effettivamente il dire “io non sono vera “ è un qualche cosa che non sta né in cielo
né in terra, perché è una frase che non può essere né vera né falsa. Ora che cosa fece Goedel? Goedel fece
un piccolo cambiamento a prima vista, che però provocò un grande sconquasso, cioè invece di considerare
una frase che dice “io non sono vera” e di ottenere in questo modo un paradosso e quindi non saper bene che
cosa fare, perché poi alla fine quando si ha di fronte a sé un paradosso, i paradossi sono sempre delle cose
un po’ fastidiose, non si sa come risolverli, ebbene Goedel riuscì a fare una modifica del paradosso del
mentitore che non è paradossale, che diventa appunto quello che si chiama il teorema di Goedel. Vediamo
da vicino come arrivò a questa cosa Il cosiddetto primo teorema di incompletezza, perché vedremo presto
che c’è ne un secondo che deriva da esso, ebbene in questo primo teorema di incompletezza, Goedel invece
di considerare la frase che dice "io non sono vera", considera la frase che dice "io non sono dimostrabile",
cioè fa questo passaggio appunto dalla verità alla dimostrabilità. Primo problema: "io non sono vera" è una
Primo teorema di incompletezza
frase punto e basta, perché o si è veri o non si è veri, mentre
“io non sono dimostrabile in F”
invece dire "io non sono dimostrabile" semplicemente non
ha nessun senso, perché essere dimostrabili non è qualche cosa di assoluto, come la verità, ma è qualcosa di
relativo al sistema di assiomi in cui ci si pone. Si può non essere dimostrabili in un certo sistema, ma poi
magari si può diventare dimostrabili in un altro sistema; per esempio, un modo molto semplice per far sì che
una certa formula sia dimostrabile consiste nel prenderla come assioma e certamente se prendiamo una
formula come assioma, poi quella diventa dimostrabile perché l'abbiamo già presa agli inizi, quindi non si
può dire così come si diceva "io non sono vera", non si può dire "io non sono dimostrabile", bensì bisogna
dire "non sono dimostrabile in un certo sistema F ", che abbiamo indicato appunto con F , che sta per
sistema formale. Allora per ciascun sistema formale F ci sarà in realtà una frase di Goedel e su questa
dovremmo ragionare, in altre parole mentre il paradosso del mentitore lavorava in assoluto, valeva in
assoluto, qui ci si riferisce ad un particolare sistema formale F che abbiamo fissato per il momento. Fissato
questo sistema formale F, consideriamo la frase che dice "io non sono dimostrabile in quel sistema formale
F" e vediamo che cosa succede, vediamo se otteniamo magari addirittura un paradosso
analogo a quello del mentitore. Cominciamo subito con la prima parte; la prima parte è effettivamente la
stessa storia del paradosso del mentitore, no? Vediamo questa frase che dice "io non sono dimostrabile", può
essere dimostrabile? Anzi tutto dipende, dipende molto da come è fatto il sistema formale di cui stiamo
parlando, ma supponiamo che il nostro sistema formale F sia un sistema che si chiama in logica " corretto",
cioè un sistema che dimostra soltanto delle verità. Ebbene, se il sistema dimostra soltanto delle verità e se la
frase che dice di se stessa "io non sono dimostrabile" fosse dimostrabile, allora avremo di fronte a noi una
frase che è dimostrabile, che dice di non esserlo, dunque sarebbe falsa, però questo non è possibile perché il
sistema è corretto, dimostra solo verità, quindi questo è lo stesso procedimento del paradosso del mentitore,
sembreremo avviati verso la stessa via e dunque avviati verso gli stessi problemi; però attenzione nel caso
della frase di Goedel le cose cambiano.
¾ Non può essere dimostrabile
Abbiamo già ottenuto questo primo passo, che la frase
se F corretto
che dice "io non sono dimostrabile in un certo sistema
(cioè se F dimostra solo verità)
F", se il sistema è corretto effettivamente non è
Non può essere refutabile
dimostrabile e allora questo che cosa significa? Beh,
(perché, non essendo dimostrabile,
significa semplicemente che questa frase è vera, perché
è vera e allora F non può dimostrare
dice di non essere dimostrabile, non è dimostrabile,
la sua negazione, che è falsa)
dunque è vera. Allora se è vera, la sua negazione è falsa
ovviamente, ma stiamo parlando di un sistema corretto, in un sistema corretto non è possibile dimostrare
delle falsità, dunque la negazione della frase di Goedel non può essere dimostrabile, la frase stessa non può
essere dimostrabile perché il sistema è corretto, dunque è vera, dunque la sua negazione neppure può essere
dimostrabile se il sistema è corretto e allora siamo arrivati di fronte ad una frase che non è dimostrabile, la
sua negazione non è dimostrabile, quindi la frase di partenza non è nemmeno refutabile, siamo arrivati di
fronte ad una frase che il sistema non può descrivere. Abbiamo una frase che è vera, noi sappiamo che
questa frase è vera, ma il sistema non può sapere se questa frase è vera oppure no. Non lo può sapere?
Abbiamo appunto fatto vedere che questa frase non è dimostrabile e ovviamente non può nemmeno
137
dimostrare che questa frase è falsa, cioè la negazione di questa, perchè altrimenti dimostrerebbe una falsità,
quindi con un piccolo cambiamento, piccolo per modo di dire ovviamente, effettivamente Goedel riuscì a
dimostrare che c’è una frase che parla di se stessa, dice di non essere dimostrabile, è vera e non è
dimostrabile e dunque non essendo dimostrabile, ma essendo vera, nemmeno la sua negazione è
dimostrabile, Questo è molto peggio del giramento di testa che viene dopo un paradosso; effettivamente il
teorema di Goedel quando apparve o meglio quando fu annunciato e enunciato da Goedel nel 1930-‘31,
effettivamente fece scalpore, moltissimi non lo capirono, moltissimi continuarono a credere per anni che
effettivamente fosse semplicemente una versione del paradosso, che ci fosse qualche inconsistenza nel
ragionamento di Goedel, eccetera. Goedel aveva all’epoca 24 anni quando scoprì questo teorema, era
praticamente il risultato che ottenne subito dopo la sua tesi di laurea, come abbiamo già detto nella scorsa
lezione, la sua tesi di laurea nel 1930 dimostrò “il teorema di completezza della logica proposizionale e
predicativa” e nel 1931 Goedel dimostra invece “l’incompletezza della aritmetica” e di tutto ciò che poi
estende l’aritmetica, in particolare di qualunque sistema matematico che sia sufficientemente potente e
sufficientemente grande da contenere in particolare l’aritmetica. Benissimo, vediamo allora che cosa si può
dedurre da questo teorema; ebbene, la conseguenza più importante del teorema di Goedel o meglio il modo
di formulare in maniera indipendente da questa formulazione che abbiamo visto prima, cioè da questa frase
il teorema di Goedel, è il seguente: se noi prendiamo un sistema che sia vero matematico, cioè che sia
corretto e abbiamo già visto che cosa significa corretto, lo ripeteremo fra poco, ma comunque brevemente
possiamo dire che dimostra soltanto delle verità e che sia anche sufficientemente potente e su questo ritorno
tra un momentino, allora questo sistema è incompleto. Incompleto significa che non può dimostrare
Un sistema matematico corretto
tutte le verità, cioè ci troviamo di fronte ad una verità, che
e sufficientemente potente
è vera perché appunto è una verità, ma non è dimostrabile;
è incompleto
qual’è questa verità che è vera, ma non dimostrabile? E’
proprio la frase che dice "io non sono dimostrabile". Ora tutto questo l’abbiamo già detto prima, abbiamo
considerato l’ipotesi di correttezza, perché altrimenti non saremmo riusciti a derivare il fatto che la frase di
Goedel non era dimostrabile, abbiamo dedotto l'incompletezza proprio dal fatto che c’è una verità che non è
dimostrabile, non abbiamo parlato di questa aggiunta, il fatto che il sistema debba essere sufficientemente
potente. Beh, qui sta veramente il trucco del teorema di Goedel, perché in realtà quello che abbiamo fatto
noi è praticamente il gioco delle tre palle, cioè abbiamo fatto un pochettino i prestigiatori. Ora però, mentre
nel caso del paradosso di Epimenide non c'era nessun trucco, cioè avevamo considerato la frase che dice "io
non sono vera "oppure "io sono falsa" e poi avevamo visto quali erano le conseguenze di questa frase, nel
caso del teorema di Goedel abbiamo considerato una frase che dice "io non sono dimostrabile in un certo
sistema formale F", però questa è una frase del linguaggio naturale. Nel caso del paradosso del mentitore
per l’appunto stavamo lavorando nel linguaggio naturale, ma nel caso del teorema di Goedel stavamo
lavorando in un sistema formale per la matematica; nei sistemi formali per la matematica abbiamo soltanto
delle formule. Ora come si fa a scrivere una formula che dica "io non sono dimostrabile in un certo sistema
formale", ci sono alcune cose che abbiamo lasciato, per così dire, in sospeso. Il primo problema è questo
fatto, cioè che si possa parlare, all'interno di un sistema formale, di dimostrabilità; in genere i sistemi
formali, soprattutto quelli per i numeri, parlano di proprietà dei numeri, somma, prodotto, uguaglianze e così
via, mentre qui invece abbiamo cercato di parlare di cose che erano al livello metà matematico, cioè non di
cose che stanno dentro il sistema, ma di cose che stanno fuori e che noi guardiamo dall'alto, in particolare la
dimostrabilità. Come possibile questo? Qui sta proprio il trucco della dimostrazione di Goedel, si tratta di
far diventare in maniera molto pitagorica tutto numero, cioè di associare ad ogni parte del linguaggio un
numero, in modo tale che poi alla fine tutto ciò che noi diciamo nel linguaggio si trasformi in numeri e
dunque si possa parlare non delle frasi del linguaggio bensì dei numeri che le rappresentano. Oggi queste
cose sono abbastanza normali, il linguaggio dei computer, come tutti sapete, è semplicemente fatto di zeri e
uni. Voi scrivete sul computer fammi questa figura, per esempio oppure colora di rosso questa fa parte della
figura, però poi il computer in realtà capisce soltanto zeri e uni. Anche prima che ci fosse il computer c'era
questo modo di associare dei numeri a delle cose, per esempio, non so quanti di voi siano mai stati arrestati,
che abbiano mai avuto queste belle foto segnaletiche di fronte al quale c’era un numero che identificava il
carcerato, non so quanti di voi siano poi finiti in galera con un bel numero sullo stomaco che lo identificava
138
per l’appunto, ebbene il sistema di numerazione dei carcerati era precisamente questo: assegnare a ciascuno
carcerato dei numeri, in modo che ci si potesse dimenticare del fatto che erano uomini, della loro identità e
parlare soltanto di numeri. L'idea di Goedel non è molto diversa, cioè si tratta di fare un'enorme prigione,
un enorme sistema carcerario in cui tutto diventa identificato in questo moto, se non vi piace la metafora del
carcerato, perchè naturalmente è un po' fastidiosa, non ci piace pensare che noi potremo essere o siamo stati
carcerati, ebbene pensate per esempio alla vostra automobile; anche quella in realtà la si identifica con una
targa, che è semplicemente un numero oppure anche un sistema con delle lettere, quindi in realtà questo
sistema di associare i numeri a cose, a persone, è un qualche cosa che si fa indipendentemente dal teorema
di Goedel, però Goedel lo sfruttò a fondo e allora questa sufficiente potenza vuol dire proprio questo, cioè
che il sistema che stiamo considerando è qualche cosa che ci permette di parlare dei numeri e dunque ci
permette di fare ragionamenti sul linguaggio, però tramutati, travestiti da numeri. Questa è la prima cosa e la
seconda cosa, il secondo aspetto di questa potenza sufficiente è il fatto che la frase di Goedel non dice
soltanto non dimostrabile in esso, ma dice “io non sono dimostrabile in esso”; questa è una cosa un po' più
complicata, cioè la possibilità di una formula di essere autoreferenziale, per il parlare di se stessi. Questo è
qualche cosa che veramente è nuovo, perché in realtà nel linguaggio naturale si dice io, ma si parla di noi
stessi, mentre invece nel linguaggio formale sembrava una cosa difficilissima riuscire a fare queste
autoreferenze, queste circolarità e il trucco del teorema di Goedel, il trucco tecnico è proprio questo. Non vi
posso spiegare qui, ma naturalmente vedrete sui testi che sono consigliati per queste lezioni, come Goedel
arrivò a fare effettivamente questa autoreferenza. Ecco che allora, un sistema in cui è possibile fare
autoreferenza e in cui è possibile parlare di dimostrabilità, permette di esprimere la frase che dice “io non
sono dimostrabile in questo sistema”, dunque se il sistema è corretto, quella frase è vera e non è
dimostrabile, cioè il sistema è incompleto, questa è l’idea del teorema di Goedel. Che cosa succede allora?
Vediamo più brevemente, ma in maniera scritta per lo meno, quali erano queste ipotesi: “corretto” significa
dire che il sistema non dimostra delle falsità, “sufficientemente potente” significa dire che il sistema
permette di esprimere autoreferenze, io e concetti come la dimostrabilità e da ultimo “l'incompletezza” era
semplicemente il fatto di dire che ci sono delle asserzioni non dimostrabili e non refutabili.
¾ Corretto =
Questo è praticamente il teorema di Goedel e un
non dimostra falsità
accenno alla sua dimostrazione, però c'è certamente
¾ Sufficientemente potente =
l'idea fondamentale, questo fatto di considerare la frase
permette di esprimere autoreferenze
che dice "io non sono dimostrabile". C'è un secondo
e concetti come dimostrabilità
teorema di Goedel, che si chiama “secondo teorema di
incompletezza” che cercheremo di enunciare in questi
¾ Incompleto =
ci sono asserzioni non dimostrabili
brevi minuti che ci separano dalla fine della lezione.
e non refutabili
Consideriamo ora, esattamente come prima abbiamo
considerato la frase P che si riferiva a Pitagora, la frase G che Goedel ha inventato, però non possiamo
usare la sola frase G perché ce n'è una per ogni sistema formale, quindi usiamo la frase GF, con un indice
Secondo teorema di incompletezza
che sta ad indicare che stiamo nel sistema formale F,
GF :
ebbene qual'e la frase di Goedel? Dice "io non sono
"io non sono dimostrabile in F"
dimostrabile nel sistema F"; ebbene io sono proprio
ovvero
quella frase di Goedel, che dice semplicemente GF
"GF non è dimostrabile in F"
non è dimostrabile nel sistema F, va bene? Qual’era
Il 1° teorema dice:
il contenuto del primo teorema di Goedel? Il primo
F corretto → GF
teorema di Goedel diceva: se il sistema è corretto, la
frase G con F non è dimostrabile in F, ma dire che la frase G con F non è dimostrabile in F è dire niente
altro che G con F, perché G con F dice proprio questoo. Allora il primo teorema diceva “se abbiamo un
sistema corretto allora vale questa frase”, però attenzione adesso, perché noi sappiamo già che questa
formula non è dimostrabile nel sistema; se fosse possibile dimostrare all'interno del sistema formale corretto
che il sistema formale è corretto, potremo dimostrare l'ipotesi di questa implicazione e dunque potremo
dimostrare anche la sua conclusione, ma la sua conclusione è proprio la frase di cui Goedel ha dimostrato
che non era dimostrabile e allora non è dimostrabile nemmeno il fatto che il sistema sia corretto. Ora questo
139
lo rivediamo, lo riduciamo in una maniera un pochettino più formale, cioè un sistema matematico che sia
corretto, che sia sufficientemente potente e questo l’abbiamo gia visto, in cui vale il teorema di Goedel,
cioè il fatto che se il sistema è formale allora vale quella certa frase in cui il primo teorema di Goedel sia
dimostrabile all’interno del sistema, non può dimostrare di essere corretto. Questo è quello che in qualche
modo fece scalpore perché sfrondato da tutti questi tecnicismi, diciamo così, che possono anche in qualche
Un sistema matematico
modo distrarre dal succo faccenda, il secondo teorema di
¾ corretto
Goedel dice semplicemente che se voi avete di fronte un
¾ sufficientemente potente
sistema corretto, che è quello che volete avere, cioè un
¾ in cui si può dimostrare
sistema che non dimostra delle falsità, ebbene questo
l'implicazione precedente
sistema non può sapere lui di essere corretto, cioè non può
non può dimostrare di essere corretto
sapere che le cose che dimostra sono soltanto verità oppure
se volete, avete di fronte a voi una persona che è l'analogo del sistema formale, questa persona non è fuori di
testa, non è una persona pazza, ebbene se in altre parole ha la consistenza, diciamo così, dentro la sua testa,
non può sapere di essere consistente. Il secondo teorema di Goedel dice semplicemente che le uniche
persone che dicono guarda che “io non sono matto” sono quelle che sono effettivamente matte e in effetti
tutte le scene che voi avete visto nei film e spero soltanto nei film, quando si porta in manicomio qualcuno
in camicia di forza, in genere quello che viene detto da questo qualcuno è proprio la famosa frase “io non
sono matto”. Le frasi frase del tipo “io non sono matto” le possono dire soltanto i matti. Le affermazioni del
tipo “io sono corretto”, cioè non dimostro delle falsità, le possono dire soltanto “i sistemi che non lo sono
corretti”, perché i sistemi che sono corretti non possono avere questa capacità. Questa è una grossa
limitazione perchè significa che non ci può essere questa specie di autoriflessione che i sistemi matematici
possono fare. Che cosa succede dopo Goedel? Questo in parte lo vedremo nelle successive lezioni,
però quello che effettivamente si fece fu di togliere questo riferimento alla correttezza, che in qualche modo
Miglioramento
lega il sistema con il mondo esterno, che dice che le frasi che si
Si sostituisce la
dimostrano dentro il sistema sono vere, mentre vero è qualche
correttezza (esterna)
cosa che si riferisce al mondo, ebbene si sostituì questa ipotesi
con la
di correttezza con la sola consistenza. La consistenza non
consistenza (interna)
fa riferimento all'esterno, ma fa solo riferimento all'interno,
significa che non è possibile dimostrare allo stesso tempo una frase e la sua negazione, non è possibile
ottenere delle inconsistenze. Il teorema di Goedel vale anche sotto questa ipotesi più debole, quindi c’è la
forma più forte del teorema di Goedel, in particolare un sistema consistente non può dimostrare la propria
consistenza. Se ricordate questo era effettivamente quello che era il famoso problema di Hilbert, il tentativo
di Hilbert di fondare la matematica in qualche modo che fosse autofondante, cioè cercare dimostrare la
consistenza dei sistemi all'interno dei sistemi stessi. Questo teorema di Goedel riformulato in questo modo,
riferito alla consistenza, distrusse in qualche modo proprio il programma, il sogno di Hilbert. Bene, io spero
che non vi siate annoiati, che non abbiate avuto paura, questa è stata forse la lezione più tecnica che
abbiamo fatto, ma valeva la pena, in qualche modo, di vedere più da vicino anche che cosa fanno i logici e
anche di capire che effettivamente non si vive di soli aneddoti, perché molte delle nostre lezioni passate e
anche qualcuna delle lezioni future si è un po’ limitata raccontare a grandi linee quello che succede. Oggi
invece, abbiamo cercato di andare un pochettino più a fondo e di vedere effettivamente, perlomeno nel caso
più l'importante della logica moderna, qual'era lo stato delle cose. La prossima volta ripartiremo di nuovo
con qualcuna delle lezioni generali.
140
LEZIONE 17: Risposta a Pilato
Benvenuti ad una lezione su uno dei temi centrali del nostro corso, la logica matematica in generale, anzi
addirittura la logica, anche quella filosofica, cioè il tema della verità. Vi ricorderete siamo partiti dagli inizi
parlando di uno dei paradossi più importanti, quello del mentitore, che oggi riprenderemo brevemente e
abbiamo detto all’epoca, che proprio da questi paradossi, dallo studio della verità era nata la logica prima e
poi la logica matematica in seguito. Oggi cercheremo di tirare le fila, dopo tutto quello che abbiamo gia
detto riguardo ai vari personaggi e introdurremo in particolare uno dei personaggi più famosi della logica
moderna che si chiama Alfred Tarski, che non è considerato forse al livello di Goedel, ma insomma poco
dopo, forse il secondo logico, soprattutto negli anni ‘30, che ha portato un contributo essenziale a questo
studio della logica matematica. La nostra lezione viene intitolata oggi “risposta a Pilato”, come mai?
Sembra quasi una cosa blasfema, ma in realtà c’è un motivo molto preciso che vediamo subito. Nella slide
c’è un'immagine della passione di Cristo che forse qualcuno di voi avrà riconosciuto, è la metà di un famoso
quadro di Piero della Francesca che si chiama “la flagellazione”, manca la seconda parte del quadro, ma
questo non ci interessava in questo momento; ebbene chiunque, anche coloro che non sono religiosi
conoscono la storia di questa faccenda, cioè il fatto che uno dei due a un certo punto subì un processo e tra
le varie traversie, tra le varie stazioni di questa via crucis, come ancora oggi viene chiamata, una di queste
stazioni fu quando Gesù si trovò di fronte a Ponzio Pilato. Ci fu
uno scambio di opinioni tra il governatore romano della Palestina
dell’epoca e Gesù, per l’appunto, il profeta di questa nuova
religione. La cosa che a noi interessa in questo particolare momento
furono queste due frasi riportate qui sulla slide, cioè ad un certo
punto Gesù parlava e disse una delle frasi che ripeteva spesso “io
sono la verità”. Pilato gli chiese, gli domandò che cosa è la verità?
Beh, la risposta ovviamente Pilato non stette ad aspettarla, io non so
se Pilato fosse un logico matematico, se sapesse che la risposta a
Gesù non avrebbe potuto dargliela, non perché non la conosceva, ma perché nessuno la sapeva. La verità
non esiste all'interno del linguaggio, diremmo noi oggi dopo 2000 anni, ma di questo appunto parleremo
quest'oggi. Quindi in altre parole cercheremo di andare a rispondere in maniera ovviamente non religiosa, in
maniera scientifica alla domanda di Pilato che cos'è la verità? Ebbene poniamoci anche noi questa domanda
e cerchiamo di andare a vedere, come abbiano trattato di questa domanda, anzitutto nel periodo passato,
quando ci siamo interessati della logica al tempo dei greci, eccetera e poi anche di venire più vicini a noi e
di vedere qual’è la soluzione al problema su che cosa sia la verità che è stata proposta nei tempi moderni.
Dirò subito, che non c'è una soluzione, qui non c'è la soluzione del problema, ce ne sono tante, quella che a
noi interessa di più, visto che questo è un corso di logica matematica, è la soluzione che diede Alfred Tarski,
cioè la definizione formale della verità nel meta linguaggio e la dimostrazione che una definizione della
verità nel linguaggio non esiste, però accenneremo molto brevemente al fatto che ci sono appunto altre
teorie della verità, che forse sono state anche più influenti, più interessanti per coloro che studiano invece
filosofia del linguaggio, che studiano filosofia in generale. Quindi volevo sottolineare appunto questo fatto,
che noi cercheremo di dare questa risposta alla domanda di Pilato "che cos'è la verità", ma la daremo questa
risposta ovviamente dal nostro p.di v., che è il p.di v. di un logico e di un matematico. Quindi cerchiamo di
tracciare le fila allora di ciò che abbiamo detto finora, di andare a rivedere l'inizio della nostra storia.
Ricorderete che abbiamo fatto questa lezione sul paradosso del mentitore di Eubulide del IV-V secolo a.C.,
che disse ad un certo punto "io sto mentendo". La storia del paradosso del mentitore non la sto a ripetere,
potete andare a vederla in una delle prime lezioni, ma la cosa importante è rivedere qual’è il problema in
Eubulide
questa frase "io sto mentendo". E’una frase che apparentemente non può essere né
(V secolo a. C.)
vera né falsa, come mai? Proviamo a supporre che questa frase "io sto mentendo"
Io sto mentendo
sia vera; ebbene le frasi vere dicono la verità per l’appunto e allora ciò che dice
questa frase, se è vera, dev’essere effettivamente così nel mondo, ma la fase dice “io sto mentendo”, quindi
se è vera la frase che dice "io sto mentendo" dovrebbe anche essere falsa, perché è vero ciò che dice, ma
dice di essere falsa. Quindi questa è un'ipotesi assurda, per così dire, non si può supporre che una frase “io
141
sto mentendo” sia vera, perché altrimenti sarebbe anche falsa. A prima vista uno potrebbe dire, allora sarà
falsa; ebbene però, se noi supponiamo che questa frase sia falsa, allora dovrebbe essere vero il contrario di
ciò che dice, ma poiché dice io sto mentendo, il contrario sarebbe “io sto dicendo la verità”, quindi anche
supponendo che questa frase sia falsa si arriva al suo posto, ad una contraddizione; in altre parole, in breve
se si suppone che la frase sia vera, allora si dimostra che è falsa e se si suppone che la frase sia falsa allora si
dimostra che è vera ed ecco qui che i greci scoprirono un impasse praticamente, scoprirono che c'erano delle
frasi, tra l'altro frasi anche molto semplice come questa, che ha semplicemente soggetto e predicato e
nient'altro, ebbene frasi di questa semplicità che però mettono in forse, mettono in dubbio il cardine
essenziale di quello che è la logica classica, cioè il fatto che le frasi, perlomeno le frasi affermative, cioè
quelle che esprimono un pensiero compiuto debbano essere o vere o false, non tutte e due assieme e questo è
il famoso “principio di non contraddizione” e almeno una delle due dev'essere vera, esattamente una delle
due e questo è ” il principio del terzo escluso”. Quindi questa base, questo fondamento della logica classica,
cioè di basare la teoria della verità praticamente sul fatto che ci siano due soli valori di verità, il vero e il
falso, il fatto che ciascuna frase debba avere uno dei due valori di verità e non tutti e due, cioè ”il principio
del terzo escluso” e “il principio di non contraddizione”, ebbene questa semplice teoria della verità viene
messa in dubbio, viene in qualche modo minata dall’esistenza di un paradosso di questo genere appunto da
una frase così semplice che dice “io sto mentendo”, che non può essere né vera né falsa, perché qualunque
delle due supposizioni porta al suo contrario e dunque porta a una contraddizione. Questo è l'inizio, questo è
il problema della verità, problema che in qualche modo forse poteva essere noto a Pilato, quando chiede a
Gesù appunto che cos'è la verità. Voi direte insomma come potete sapere notizie di questo genere, perché in
realtà ci sono delle testimonianze storiche; per esempio San Paolo nella lettera a Tito cita espressamente il
paradosso del mentitore, lo conosceva, non lo aveva capito molto bene, se andate a rileggere la lettera a
Tito, vi accorgerete subito che fa un po' di pasticci quando lo riprende, quando lo riporta, però certamente
queste erano cose che ormai erano entrate nel saper comune, che risalivano al quinto secolo a. C.; San Paolo
ovviamente e prima di lui Gesù Cristo vivevano nel primo secolo d. C. e quindi insomma qualche cosa si
sapeva e non s’era certamente persa memoria di questi avvenimenti e allora andiamo a vedere che cos'è
successo. Ovviamente prima di Gesù Cristo i filosofi greci incominciarono a cercare di avvicinarsi a
precisare la nozione di verità, una definizione della verità. Il primo che cercò di fare questo fu Platone. Ecco
qui nella slide Platone, lo abbiamo visto più volte nella rappresentazione di Raffaello, questa è l'ultima
volta probabilmente che lo vediamo nelle nostre lezioni, questa è la famosa Scuola di Atene, Platone è colui
che indica il cielo, il mondo delle idee, Aristotele invece è colui che guarda in basso al mondo della natura e
naturalmente quando Raffaello fece questa immagine non aveva in mente quale fosse la figura di Platone,
questo non ve l'ho mai detto, ma molti di voi lo sapranno, questa non è
nient'altro che un'immagine di Leonardo da Vinci, cioè Raffaello si ispiro
a Leonardo, al grande scienziato per rappresentare un grande pensatore
come Platone. Che cosa fece Platone? Platone ovviamente nel campo
della logica fece molte cose, se non ve le ricordate, ritornate alla lezione
che abbiamo dedicato a lui, ma in particolare fece qualche cosa che ha a
che fare con il problema di cui trattiamo oggi, cioè con la definizione di
verità e in questo suo dialogo nel “sofista” diede per la prima volta nella
storia quella che oggi viene considerata, spesse volte in maniera un
pochettino riduttiva, la definizione di verità. Se voi leggete testi filosofici, si pensa quasi che questa sia la
definizione di verità e Tarski in qualche modo fece cattiva propaganda a se stesso quando nel suo lungo
articolo del 1936, un centinaio di pagine, affrontò questo problema della verità e diede poi quella che tra
poco riporteremmo e che ricorderemmo e che divenne per i filosofi, finalmente per i filosofi, quasi la
definizione di verità per antonomasia, ma in realtà non era su questo che Tarski aveva lavorato e vedremo
meglio quali sono i problemi che aveva affrontato lui. La prima parte, quella che in genere viene citata nella
definizione di verità, già risale in realtà al dialogo di Platone "il sofista", per cui prima vediamo meglio
qual’è la definizione che Platone dà della verità. Ovviamente ci sono due parti: la definizione di verità deve
dire quand'è che una frase vera e quand'è che una frase è falsa. Andiamo a vedere la prima parte anzitutto.
Quand'è che qualche cosa è vero? Ci sono due casi e sono i casi, che ho scritto appunto sulla slide, cioè “è
142
vero dire di ciò che è che è e dire di ciò che non è che non è”. Ora questo sembra quasi uno scioglilingua,
cerchiamo di capire meglio, di affrontare meglio il problema. Quand'è che una frase è vera? Una frase è
vera quando ciò che dice effettivamente succede nel mondo, cioè questo significa dire di ciò che è che è;
Definizione di verità
significa che noi stiamo dicendo che qualcosa succede e questo
Vero
effettivamente succede nel mondo oppure il caso contrario,
stiamo dicendo che qualcosa non succede, qualcosa non ha una
= dire di ciò che è che è
certa proprietà e questo non ce l’ha effettivamente nel mondo,
= dire di ciò che non è che non è
cioè in altre parole l’idea di Platone, della definizione di verità basilare, per i fatti atomici perlomeno, come
diremo oggi nel linguaggio logico, cioè la definizione di verità è semplicemente che ci dev’essere
corrispondenza tra ciò che si dice nel linguaggio e ciò che accade nel mondo, cioè un legame tra il
linguaggio da una parte e i fatti e la realtà dall'altra. C'è l'altra faccia della medaglia, cioè dire quando una
cosa è falsa. Ora è chiaro che una volta che si sa quand'è che una frase, un’affermazione è vera, il contrario
varrà per definire quand’è che un'affermazione analoga è falsa; però vediamo anche questo più da vicino,
cerchiamo di capire quand'è che una frase secondo Platone è falsa. Ebbene nella sua formulazione una frase
è falsa quando “è falso dire di ciò che è che non è e dire di ciò che non è che è”. Si tratta semplicemente di
capire che cosa Platone avesse in mente quando intendeva dire queste cose; ebbene “dire di ciò che è che
non è”, significa fare una affermazione nel linguaggio che contraddice ciò che succede nel mondo, cioè si
Falso
dice che una cosa vale, che succede, che accade. quando in realtà
= dire di ciò che è che non è
poi nei fatti succede il contrario oppure si dice che una cosa non
accade quando invece nella realtà essa accade. In altre parole, per
= dire di ciò che non è che è
dirla brevemente, la definizione di verità secondo Platone è semplicemente un accordo, come ho già detto
prima, tra ciò che succede nel linguaggio e ciò che succede nel mondo. Se si afferma qualche cosa nel
linguaggio, quella affermazione è vera se ciò che esprime è vero nel mondo e se si nega qualche cosa nel
linguaggio, ebbene quella negazione è vera se effettivamente ciò che essa nega non accade nel mondo;
viceversa invece, un'affermazione è falsa quando dice, afferma qualche cosa, ma nel mondo succede il
contrario e una negazione è falsa quando invece nel mondo accade ciò che è. Quindi in altre parole ci deve
essere accordo per l’appunto, una specie di isomorfismo avrebbe poi detto Wittgenstein qualche tempo
dopo, un isomorfismo tra ciò che succede nel linguaggio e ciò che succede nel mondo. Ricordatevi però che
Platone parlava a livello praticamente di quelli che abbiamo chiamato i predicati atomici, come
raffigureremo noi oggi queste definizioni? La frase che citavo prima appunto, che poi Tarski ha reso noto
nel suo linguaggio, è questa qui: la frase che dice "la neve è bianca" se e solo se la neve è bianca. Se però io
lo dico a parole, ovviamente la cosa non si capisce assolutamente, perché dire che la neve bianca se e solo
perché la neve è bianca, sembra una tautologia. E’ rosso ciò che
rosso e così via; in realtà, notate nel motto scritto nella slide, la
prima frase “la neve è bianca” è tra virgolette, la seconda frase “la
neve è bianca” è senza virgolette. Che cosa significa questo?
Significa dire che la frase “la neve è bianca “ è vera nel linguaggio
se e solo se effettivamente la neve è bianca. La seconda parte senza
virgolette esprime un fatto, mentre la prima parte tra virgolette
esprime invece una citazione, sta parlando di una frase del
linguaggio. Ecco qui la raffigurazione metaforica di questa frase “la neve è bianca”, abbiamo qualcuno che
scia, ovviamente visto che queste sono cose che succedevano in Grecia, questi sono i campi del monte
Olimpo, dove ovviamente c’è sempre molta neve e dove si scia da dei si potrebbe dire, ma non si scia da
dio. Ebbene, scherzi a parte, comunque bisogna stare attenti, perché in realtà identificare questa con la
definizione di verità sarebbe un errore nuovo. La neve è bianca se e solo se la neve è bianca, cioè la neve
bianca tra virgolette, se e solo se la neve è bianca senza virgolette, è un'affermazione che definisce
effettivamente che cosa vuol dire essere vero, ma lo definisce soltanto per frasi di questo genere, cioè frasi
del tipo la neve è bianca. Ora queste frasi che cosa hanno? Hanno un soggetto, cioè la neve, hanno un
predicato, cioè essere bianchi e la frase “la neve è bianca” è semplicemente un predicato applicato ad un
soggetto. Ebbene queste frasi sono quelle che noi abbiamo chiamato formule atomiche, quando abbiamo
143
parlato di Crisippo agli inizi del caso proposizionale, allora la definizione di Platone era praticamente il
primo passo, cioè diceva che cosa significa essere vero e naturalmente di conseguenza che cosa significa
essere falso, ma soltanto per le formule più semplici, più rudimentali del linguaggio, cioè quelle che per
l’appunto vengono chiamate formule atomiche. Ora il linguaggio in generale, ma soprattutto quello che a
noi interessa il linguaggio matematico, è un linguaggio costruito a strati. Si parte dalle formule atomiche e
per le formule atomiche la definizione di verità sarà questa qui, cioè una forma atomica è vera, se ciò che
essa esprime succede effettivamente nel mondo, se c'è corrispondenza tra il linguaggio e il mondo stesso, fra
il linguaggio e la realtà, ma non bastano le formule atomiche. Se noi parlassimo soltanto con formule
atomiche saremo insomma quasi degli schizofrenici, diremmo la neve è bianca, oggi ho mangiato, eccetera,
senza mai mettere insieme queste frasi, farle diventare delle cose più complicate e soprattutto senza mai
fare dei ragionamenti, perché i ragionamenti fanno coinvolgere le particelle del linguaggio, tipo i connettivi,
in particolare le implicazioni. Allora il secondo livello per la definizione di verità consiste nel dire quand'è
che una frase composta è vera, una volta che noi sappiamo quando le sue componenti, cioè proprio queste
frasi atomiche, sono vere o sono false, si tratta di fare un passo avanti oltre Platone, di non limitarsi soltanto
alle frasi atomiche, ma di cominciare a considerare le frasi più complesse e questo è stato per l’appunto il
secondo livello. Il secondo livello che ovviamente si fece molto in seguito a Platone; in realtà, subito dopo
Platone venne Aristotele, ma anche Aristotele nella metafisica non va oltre la definizione di verità per via di
Platone, molto spesso qualcuno dice che in realtà la definizione di verità la si trova per la prima volta nella
metafisica, cioè si è consci che non fu Tarski a dare questa prima definizione, ma si pensa che Aristotele sia
Aristotele
stato il primo. Ora è vero che nella Metafisica, soprattutto nel quarto libro, nel libro
Metafisica
gamma della metafisica che è quello più logico, di cui abbiamo parlato spesso e
soprattutto nella lezione dedicata ad Aristotele, c’è questa definizione di verità, cioè “è vero dire di ciò che è
che è e di ciò che non è che non è” ed è falso dire di “ciò che è che non è e di ciò che non è che è”, sembra
quasi uno scioglilingua, ma in realtà questo risale a Platone. Stavo dicendo insomma che bisogna salire ad
un secondo livello, bisogna andare oltre e andare oltre significa andare alla logica degli stoici, cioè andare a
fare questa seconda analisi del linguaggio, cioè “l'analisi proposizionale che consiste dei connettivi”. Questa
analisi, come voi sapete, la fece Crisippo, al quale pure a lui abbiamo dedicato un'intera lezione, quindi
vedete stiamo un po’cercando di tirare i fili di ciò che abbiamo detto, però concentrandoci questa volta su
questo problema essenziale della verità, che è il centro, il nucleo della logica moderna ed anche antica.
Crisippo diede come suo contributo massimo, essenziale alla logica, la definizione di cosa significa verità
nel caso della logica proporzionale, delle formule proposizionali. Rivediamo allora brevemente, qual'è l'idea
fondamentale di questa definizione di verità di Crisippo. Anzi tutto dobbiamo rivedere brevemente che cosa
significa logica proposizionale. Abbiamo parlato poco fa di predicati atomici e la logica proporzionale
mette insieme questi predicati atomici attraverso delle particelle del linguaggio che si chiamano appunto i
Crisippo
connettivi. Quali sono i connettivi? I connettivi sono i soliti, li abbiamo
Verità proposizionali
detti tante volte, ormai dovreste averli imparati anche voi che avete
seguito queste lezioni, sono “la negazione”, “la congiunzione”, “la disgiunzione” e “l'implicazione”. In
corrispondenza a ciascuno di questi quattro connettivi fondamentali della logica proporzionale, c'è una
definizione di verità che va a dire quand'è che una negazione è vera o falsa, quand'è che una congiunzione è
vera o falsa, quand'è che una disgiunzione è vera e falsa e quand'è che una implicazione è vera o falsa.
Queste definizioni di verità sono il nucleo centrale della logica proporzionale, così come oggi viene
insegnata attraverso, per esempio, le tavole di verità che risalgono a Wittgenstein, ma che è stata già
introdotta e definita per la prima volta da Crisippo. E allora andiamo a ripassare anche queste nozioni,
vediamo com’è definita la verità a livello proporzionale per i vari connettivi. Primo connettivo è la
negazione: ricordatevi che questi sono i simboli quello logico e quello insiemistico che corrispondono alla
Negazione (¬, –)
negazione (¬, –). Quand'è che una negazione e vera e quand'è che una
negazione è falsa? La negazione è un operatore che inverte il valore
¾ Negazione vera se
negato falso
di verità, tramuta il vero nel falso e il falso nel vero ed ecco che allora
¾ Negazione falsa se
una negazione sarà vera se ciò che viene negato è falso e una negazione
144
negato vero
sarà falsa se ciò che viene negato è vero. In altre parole, la definizione di
verità della negazione si rifà completamente alla verità o falsità di ciò che viene negato; una volta che noi
sappiamo che ciò che viene negato è vero o falso, sappiamo anche se è vera o falsa la sua negazione e in
particolare basta prendere il valore di verità di ciò che viene negato, cambiarlo nel suo contrario, cioè
cambiare il vero nel falso, il falso nel vero e si ottiene la definizione di verità per la negazione. Tutto questo
è abbastanza banale e abbastanza semplice. Il prossimo passo è passare al “connettivo di congiunzione” e
vediamo allora che cosa succede in questo caso Anzitutto abbiamo qui i due simboli quello logico e quello
insiemistico che corrispondono alla congiunzione (^, ∩) ed ecco che abbiamo i seguenti due casi, cioè
Congiunzione (^, ∩)
dobbiamo dire quand'è che una congiunzione è vera e dobbiamo dire
¾ congiunzione vera se
quand'è che una congiunzione è falsa. Nel caso della congiunzione
tutti i congiunti veri
abbiamo anzitutto un qualche cosa che è chiaro dagli inizi, cioè
¾ congiunzione falsa se
stiamo dicendo che è vero questo e quell’altro e allora cosa vuol dire
almeno un congiunto falso
che è vera una congiunzione? Vuol dire che i suoi congiunti, cioè le
due parti che formano la congiunzione sono tutti e due veri ed ecco perché abbiamo scritto da prima qui
nella slide, che una congiunzione è vera se tutti i congiunti sono veri; dico tutti i congiunti perché si possono
fare ovviamente congiunzioni non soltanto con due congiunti, questo e quello, ma con un numero
qualunque, questo e quello e quell’altro e quell’altro ancora, eccetera e comunque una congiunzione, anche
plurima in questo caso, è sempre vera nel caso in cui tutte le sue parti sono vere e allora di conseguenza
abbiamo immediatamente che una congiunzione è falsa se almeno un congiunto è falso. Basta una delle cose
di cui stiamo affermando la congiunzione, basta che una sia falsa per rendere falsa tutta la congiunzione.
Ovviamente anche tutte le altre potrebbero essere vere, ma se noi diciamo è vero questo e quello e quello e
quello e un primo congiunto è già falso, anche se tutti gli altri sono veri, ovviamente l’intera congiunzione
rimarrà falsa. Quindi in questo modo, attraverso questa che praticamente è una forma verbale della tavola di
verità della congiunzione, Crisippo riuscì a decidere che cosa significa verità per i due connettivi principali
negazione e congiunzione. Quindi la negazione scambia fra di loro il valore di verità, vero e falso e la
congiunzione è vera solo in un caso, cioè quando tutti i congiunti sono veri ed è falsa negli altri casi. Notate,
nel caso di due congiunti, i casi sarebbero quattro, perché potrebbero essere tutti e due veri o tutti e due falsi
o il primo vero e il secondo falso o il primo falso ed il secondo vero, ebbene questa definizione di verità dice
che solo il caso in cui tutti e due sono veri rende la congiunzione vera, gli altri tre casi, sono tutti casi che
rendono la congiunzione falsa. Ora non ci sarebbe bisogno di andare oltre, perché si potrebbe definire tutta
la logica proposizionale, anzi si può definire la logica proposizionale usando soltanto i due connettivi
fondamentali, cioè negazione e congiunzione, però naturalmente si possono dare direttamente le definizioni
di verità anche per gli altri connettivi ed quello che adesso facciamo direttamente senza preoccupazioni.
Quand’è che la disgiunzione è vera e quand’è che la disgiunzione è falsa? Innanzi tutto, qui ci sono i due
simboli che si riferiscono alla disgiunzione, come al solito quello logico e quello insiemistico (V, U). Ora
la disgiunzione è praticamente il contrario, cioè si comporta in una maniera che i logici tecnicamente
Disgiunzione (V, U)
chiamano duale rispetto alla congiunzione. Nel caso congiunzione
¾ disgiunzione falsa se
c’era un solo caso in cui la disgiunzione era vera ed era quello in cui
tutti i disgiunti falsi
tutti i congiunti fossero veri, ebbene qui nel caso della disgiunzione
¾ disgiunzione vera se
la cosa è analoga, poiché si comporta al contrario, cioè è analoga al
almeno un disgiunto vero
caso della falsità. Questo significa che una disgiunzione è falsa, quando
tutti i suoi disgiunti sono falsi. Se stiamo dicendo che o questo succede oppure quell’altro oppure quell’altro
oppure quell’altro, c’è un solo caso in cui non è vero quello che stiamo dicendo ed è quando tutte queste
cose, tutte queste alternative che noi stiamo mettendo insieme sono tutte false. Quindi la disgiunzione è falsa
solo in un caso, quando tutti i disgiunti sono falsi e allora in tutti gli altri casi la disgiunzione sarà vera. Ora
però quali sono tutti gli altri casi? Se non è vero che tutti i disgiunti sono falsi, almeno uno di essi sarà vero
ed ecco che la disgiunzione è vera se almeno un disgiunto è vero. Allora in questo modo abbiamo
praticamente data la definizione di verità dei tre connettivi più semplici, più elementari, cioè negazione,
congiunzione e disgiunzione; in particolare siamo riusciti a ridurre verità o falsità della congiunzione, della
disgiunzione e della negazione, alla verità o falsità delle cose che vengono negate o che vengono congiunte
o che vengono disgiunte. Rimane ancora un connettivo, che come ho già detto prima si potrebbe eliminare,
145
perché ovviamente questo connettivo, l'implicazione, si può definire in base a questi altri, cioè in base alla
negazione e alla congiunzione oppure in base alla negazione e alla disgiunzione; però possiamo andare a
vedere direttamente come viene definita la verità per l'implicazione, perché anche questo è istruttivo. Al
solito abbiamo la tabellina, le due forme sintattiche della negazione, i due simboli che corrispondono alla
negazione, il primo è quello logico e il secondo è quello insiemistico(=>, ). Quand’è che una implicazione
è vera o quand'è che un'implicazione è falsa?
Implicazione (=>, )
Qui le cose sono un pochettino più complicate, però ricorderete
¾ implicazione falsa se
dalla lezione di Crisippo, che Crisippo riuscì proprio in questo o
ipotesi vera e conclusione falsa
meglio la Scuola Megarica riuscì più che la Scuola stoica,
¾ implicazione vera se
riuscirono comunque questi greci, a definire il valore di verità
ipotesi falsa o conclusione vera
dell'implicazione, usando soltanto i valori di verità della premessa
e della conclusione di questa implicazione. Come fecero ad arrivare a questa definizione vero funzionale,
l'abbiamo chiamata, dell'implicazione? Ebbene lo fecero appunto andando ad analizzare la definizione di
verità di questa implicazione ed in particolare osservando la prima parte della nostra slide, cioè
“l'implicazione è falsa se l'ipotesi è vera e la conclusione è falsa”. Facciamo un momento di meditazione su
questo, perchè questo è un punto veramente centrale. Cosa significa quando noi partiamo da un'ipotesi vera,
facciamo un ragionamento ed arriviamo alla fine ad ottenere una conclusione falsa? Siamo partiti dal vero,
abbiamo fatto un ragionamento, siamo arrivati al falso ed è chiaro che il ragionamento dev’essere stato
sbagliato, perché se il ragionamento fosse stato corretto e questo è il motivo per cui si ragiona, partendo dal
vero, facendo un ragionamento corretto, saremo arrivati a qualche cosa di vero e invece qualcosa è andato
storto, cioè siamo partiti dal vero, abbiamo fatto un ragionamento e siamo arrivati al falso. Quello che è
andato storto e precisamente l'implicazione. Allora un'implicazione in cui si parta dal vero, cioè la premesse
è vera e si arrivi al falso, cioè a una conclusione falsa, deve essere un ragionamento sbagliato e per questo
abbiamo scritto che un'implicazione è falsa, se l'ipotesi è vera e la conclusione è falsa. Benissimo su questo,
come si dice, non ci piove. Il problema è: gli altri casi come funzionano? Cioè quando si parte, per esempio,
dal vero e si arriva al vero, il ragionamento è corretto? A prima vista ovviamente non c'è nessun motivo di
credere che il ragionamento sia corretto, si potrebbe essere partiti da un'affermazione vera, aver fatto un
ragionamento completamente fuori dal seminato e poi dopo essere arrivati comunque ad una conclusione
vera oppure essere partiti dal vero ed essere arrivati appunto a qualche cosa di diverso. Allora se si parte dal
vero e si arriva ad una conclusione vera, questo non è automaticamente un motivo per credere che il
ragionamento sia corretto, però quello che a noi interessa sono soltanto i valori di verità. Se siamo arrivati
ad una conclusione vera, non c'importa da dove siamo partiti e questa è l'idea per l’appunto fondamentale
della logica stoica, della logica di Crisippo, in altre parole quella condizione che abbiamo visto prima, che è
una condizione necessaria per la verità della implicazione, cioè non può essere vera un'implicazione che
parte da un ipotesi vera e arriva a una conclusione falsa, se questa condizione la si mette a testa in giù e la si
fa diventare una condizione, direbbero i matematici, necessaria e sufficiente, la si fa diventare una
definizione dell'implicazione, allora l'implicazione è falsa soltanto nel primo caso e in tutti gli altri casi è
vera. Allora oltre al primo al caso in cui l’ipotesi è vera e la conclusione è falsa, gli altri casi sono quelli in
cui l'ipotesi è falsa oppure la conclusione è vera. Ed ecco allora che abbiamo la seconda parte della nostra
definizione di verità per l'implicazione: un'implicazione è vera se o l’ipotesi è falsa o la conclusione è vera.
Questa è quella che dall'epoca della Scuola Megarica e della Scuola stoica viene considerata come la
definizione della implicazione. Questo è il campo di implicazione megarica oppure se volete di implicazione
vero funzionale. È un tentativo, riuscito tra l'altro, di completamente dimenticarsi di tutti i connotati
semantici, diciamo così, del ragionamento, limitarsi soltanto al fatto di vedere se l'ipotesi è vera o falsa e se
la conclusione è vera o falsa. In base a queste quattro possibilità, ipotesi vera o falsa, conclusione vera o
falsa, tutte combinate fra di loro, ebbene abbiamo una definizione vero funzionale della implicazione. Bene,
cosa abbiamo fatto finora? Abbiamo ricordato la soluzione di Platone e Aristotele per quanto riguarda la
definizione di verità delle formule atomiche, abbiamo ricordato la definizione vero funzionale delle formule
proporzionali data da Crisippo nella logica stoica. Che cosa rimane? Beh, rimane quello che è stato
introdotto di nuovo nella logica moderna. Ora questo che è stato introdotto di nuovo da Frege in avanti sono
stati i quantificatori praticamente, lo studio di tutti, qualcuno, nessuno. Ora sembrerebbe a questo punto
146
molto semplice estendere la definizione di verità e l'idea sarebbe la seguente che ho indicato però come
problema nella slide, quindi capirete che c'è qualche cosa che non va. Anzitutto cominciamo a considerare,
ricordatevi, la frase famosa: la neve è bianca, tra virgolette, se e solo se la neve è bianca, senza virgolette,
cioè una frase che dice la neve è bianca è vera se e solo se effettivamente succede che la neve sia bianca nel
Problema
mondo.Come si può pensare di risolvere la questione della verità in una frase che
“per ogni x, A(x)”
faccia intervenire un quantificatore, per esempio questo quantificatore universale
se e solo se
“per ogni”. Si potrebbe dire la frase che dice: “per ogni x, A di x” è vero, cioè la
per ogni x, A(x)
frase è vera se e solo se effettivamente nel mondo per ogni x., A di x è vero. Ora
qui però c'è un problema ed è per questo che appunto abbiamo intitolato questa slide problema. Il problema
è che mentre questo trucchetto di Platone e di Aristotele funzionava per quanto riguarda le formule
atomiche, nel caso dei quantificatori la cosa non funziona più, perché? Ma perché la neve è bianca senza o
con virgolette sono due cose che hanno senso indipendentemente; però dire qui “per ogni x, A di x”,
effettivamente questa è una frase che tutta insieme ha senso, ma se noi diciamo “per ogni x, A di x“ e
vogliamo andare a vedere se “A di x è vero”, ecco che questo non ha più nessun senso, perché qui c'è una
variabile, sarebbe come se io vi chiedessi: è vero che x è uguale due? Voi mi direste, ma scusi, che cosa
significa x, perché fino a quando non mi si dice che cosa vuol dire x, allora effettivamente io non posso dire
se x è uguale due oppure no; posso dire se ogni x è uguale a due, questo è chiaramente falso perché ci sono
molti x che non sono uguali a due oppure se qualche x è uguale due, allora questo è certamente vero perché
qualche x in particolare 2 è uguale a 2, ma nel momento in cui io lascio cadere questo quantificatore, lascio
cadere “per ogni” oppure “in qualche caso”, ebbene ecco che rimane qui una frase, rimane una formula tipo
A di x, per esempio x uguale 2 che non ha più nessun senso, perché c'è una variabile. Questo è il vero
problema che i logici hanno dovuto affrontare negli anni ‘30, non il problema che la neve sia bianca oppure
no, che appunto sapevano già risolvere Crisippo e ovviamente anche i filosofi dell'antichità greca. Allora chi
risolse questo problema? Chi risolse questo problema fu Tarski e il modo in cui lo risolse fu anzitutto
introdurre una distinzione tra il linguaggio e il meta linguaggio; non vi posso dire nei dettagli qual’è
effettivamente la soluzione, posso soltanto accennarla e l'idea di Tarski è che effettivamente noi non
possiamo dire che x è uguale 2 è vero o falso, perché dipende da che cosa significa x, però possiamo
Tarski
far finta di non avere delle variabili, cioè possiamo introdurre, possiamo
(1936)
ampliare il nostro linguaggio, mettendoci dentro dei nomi che corrispondono
Linguaggio e
ad ogni oggetto e allora una volta che abbiamo dei nomi che corrispondono a
metalinguaggio
ogni oggetto, dire per ogni x, A di x è vero significherà andare a vedere se è
vero che A vale per ogni cosa di cui abbiamo un nome, cioè poiché, abbiamo dato nome ad ogni cosa,
questo significa precisamente andare a vedere se A è vero per ogni cosa che esiste nel mondo. E’chiaro che
detta così questa soluzione sembrerà assolutamente fumosa, non si può d'altra parte parlare così di fronte ad
una telecamera, raccontare quello che è una definizione, una soluzione piuttosto tecnica. La cosa importante
per noi è comunque ricordarsi anzitutto che Tarski introdusse questa distinzione di livelli tra linguaggio e
metalinguaggio e ciò che riuscì a fare fu questo: anzitutto capire che stiamo cercando di definire la verità in
un certo linguaggio, il linguaggio è ciò di cui trattiamo; per esempio quando stiamo cercando di imparare
una lingua straniera, per esempio l’inglese, andiamo a scuola e ovviamente le prime cose che ci vengono
dette sono in italiano, noi stiamo cercando di imparare l'inglese, ma parliamo fra di noi con la professoressa
o il professore in italiano,; ecco allora che abbiamo due lingue, la lingua di cui si sta parlando, che è
l'inglese e la lingua nella quale si parla di quell'altra lingua che viene chiamata invece metalinguaggio, che è
l’italiano. Ebbene in matematica succede la stessa cosa; la lingua di cui si sta parlando viene chiamata il
linguaggio e la lingua nella quale si parla di quell'altra lingua viene chiamata metalinguaggio e la scoperta di
Tarski fu che queste due cose sono separate fra di loro. La prima parte della scoperta di Taski fu capire che
si può definire la verità nel meta linguaggio, non all'interno del linguaggio stesso.
Definibilità nel metalinguaggio
La verità si definisce nel caso di Tarski per le formule atomiche,
¾ formule atomiche
come faceva Platone ed Aristotele, nel caso dei connettivi come
faceva Crisippo, nel caso dei quantificatori in questo modo che
¾ connettivi
¾ quantificatori
vi ho detto, cioè allargando il linguaggio, introducendo nomi per
tutti gli oggetti che ci sono nel mondo. Questa però è una definibilità della verità nel metalinguaggio. Che
147
cosa succede nel linguaggio? Nel linguaggio succede quello che ci si potrebbe aspettare, cioè succede che il
paradosso del mentitore si può riprodurre, si potrebbe riprodurre all'interno del linguaggio se ci fosse una
definizione di verità che sta dentro al linguaggio e allora il teorema di Tarski dice che questa definizione
Indefinibilità nel linguaggio
che lui ha dato e qualunque altra definizione della verità, si può
Paradosso del mentitore
dare nel meta linguaggio, ma non si può trasferire all'interno del
linguaggio, in altre parole Tarski ha scoperto, esattamente come Goedel, una limitazione del linguaggio
formale, del linguaggio matematico, nessun linguaggio matematico può contenere la propria definizione di
verità, perché se lo potesse fare si potrebbe riprodurre il paradosso del mentitore. Come vi detto prima,
naturalmente queste non sono le uniche teorie del linguaggio che sono state proposte. Ed ecco che allora vi
faccio vedere semplicemente qui le figure di due personaggi, due famosi filosofi, Austin che è questo
signore qui in primo piano e Kripke che è questo signore che gli sta
dietro alle spalle gridacchiandosela.
Sono due filosofi degli anni 50, uno più vicino a noi, ancora tutt’ora in
attività negli anni ‘70-‘80, due fra i tanti, che hanno proposto teorie
alternative a quella di Tarski per la verità. Come mai? Perché quella di
Tarski non funziona? Funziona ovviamente benissimo, però in realtà
funziona per i linguaggi formali, cioè i linguaggi tipo quelli della logica
matematica, i linguaggi della matematica e delle scienze, ciò che Tarski
non riuscì a fare fu quello di dare una definizione di verità per l'intero
campo dei linguaggi; per esempio per l'italiano, per l’inglese, per i
linguaggi soliti che noi usiamo nella vita. Austin e Kripke cercarono di fare questo e in particolare vi dico
soltanto due delle parole essenziali di queste nuove teorie, Austin (qui scherzosamente abbiamo introdotto
invece che la foto di Austin, la foto di un qualcosa che si chiama Austin pure lei, cioè la famosa mini minor,
che era fatta dalla casa automobilistica Austin e si chiamava la Austin mini), ebbene, l'idea della teoria del
linguaggio di Austin, è quella che il linguaggio si riferisce soltanto a situazioni, non c'è una verità
assoluta praticamente nell'empireo, ma ci sono soltanto verità relative
a certe situazioni, ciò che può essere vero in una situazione può essere
falso in un'altra situazione, tutto deve essere riferito alla situazione.
Dunque la teoria del linguaggio di Austin è qualche cosa che non parla di
verità di una frase, ma parla di verità di una frase in una certa situazione,
introduce qualche cosa di più. Invece Kripke fece qualcosa di diverso, nel
1975 fece una teoria che parla di atterraggio; ovviamente quando
parliamo di atterraggio pensiamo ad aerei ed ecco che per questo che
abbiamo messo qui in questa figura. L’idea di Kripke è che le frasi del
linguaggio comune possono essere
anche molto complicate,
ovviamente molto più complicate di quelle del linguaggio formale;
la semplicità del linguaggio formale, rispetto a quello del linguaggio
naturale, è che praticamente noi prendiamo una qualunque frase, la
scomponiamo, togliamo i quantificatori, togliamo i connettivi,
arriviamo alla fine a qualche cosa che sono le formule atomiche,
delle quali formule atomiche la verità è nota, perchè si riferisce
appunto a quel trucchetto di Platone e Aristotele “la neve è bianca se
e solo se la neve bianca”. Kripke dice il linguaggio naturale è
qualcosa di molto più complicato, quindi in generale non è possibile fare questa discesa cioè scomporre le
frasi, diciamo così, in modo da arrivare a delle costituenti atomiche alle quali ci si può riferire per definire la
verità, però dice Kripke in qualche modo bisogna avere appunto un atterraggio, perché ci sono tante frasi
che non hanno nessun valore di verità, proprio perché in qualche modo non riescono mai a discendere dal
livello dell’astrazione fino ad atterrare a livello della concretezza. In altre parole, la teoria di Kripke fa
vedere che è possibile in certe situazioni non assegnare i valori di verità a delle frasi e questo in qualche
modo si ricollega al problema che il paradosso del mentitore già aveva già messo in luce agli inizi di questa
storia, cioè in altre parole le frasi che possono essere dichiarate vere o false effettivamente sono soltanto
148
quelle che prima o poi riescono ad atterrare dall’astrazione nella concretezza e allora riescono a fondarsi sul
mondo reale. Naturalmente non ho preteso in questo modo di riuscire a spiegarvi quale fosse la teoria di
Austin nel caso delle situazioni o la teoria di kripke nel caso dell'atterraggio, però certamente volevo almeno
dirvi che in realtà la soluzione di Tarski che viene considerata più che soddisfacente per quanto riguarda i
linguaggi formali, non è sufficiente per quanto riguarda invece i linguaggi naturali. Per i linguaggi naturali
la storia è un pochettino più complicata e quindi effettivamente bisogna fare qualche cosa di più. Che cosa
bisogna fare di più adesso dal p.di v.nostro? Beh, noi siamo arrivati alla fine di questa lezione, quasi alla
fine ormai del nostro corso sulla verità, comunque ho voluto soffermarmi per un'intera lezione, perché
questo era uno dei punti centrali della nostra storia e in effetti era uno dei punti con i quali siamo partiti.
Abbiamo detto che uno degli scoprì della logica moderna era precisamente quello di arrivare a definire
esattamente quali sono i confini della verità, ebbene credo che vi ho fatto vedere, più o meno, che attraverso
passaggi successivi, attraverso Platone, Aristotele e Crisippo e poi altri si è effettivamente riusciti
Wilde
a risolvere questo problema. Termino questa lezione semplicemente
“chi dice la verità prima
con una battuta, che è una battuta di Oscar Wilde, che riguarda la verità
o poi viene scoperto”
e questo potreste impararlo attenzione, perchè diceva Oscar Wilde: chi
dice la verità prima poi viene scoperto. Ebbene allora vi rilascio con questo gioco di parole e vi do
appuntamento per le ultime lezione del corso di logica che ci rimangono.
.
149
LEZIONE 18: L’enigma dell’informatica
Benvenuti all'ultima lezione sui personaggi della logica. Non è l'ultima lezione del nostro corso, ne faremo
ancora due di seguito, le prossime due, che poi saranno lezioni di ricapitolazione e invece questa è l'ultima
lezione nella quale ci interessiamo di un personaggio, come abbiamo fatto praticamente per tutto il corso.
Questo personaggio forse è uno tra i più interessanti tra quelli della logica matematica, è un personaggio
ovviamente abbastanza recente, contemporaneo, è vissuto nella prima metà del secolo e si chiama Alan
Turing . La nostra lezione si intitola "l'enigma dell'informatica", come mai? Vediamo anzitutto perché il
termine enigma, in effetti questo personaggio ha avuto una vita che è stata in molti sensi, in molti versi
enigmatica, ma c’è anche un motivo più preciso che dirò al momento opportuno. Inoltre come mai
dell'informatica? Perché, vi ricorderete, abbiamo iniziato la nostra carrellata dei personaggi, la nostra storia
della logica ai tempi della Grecia, ai tempi quindi della filosofia e poi ci siamo accorti pian piano che la
logica stava mutando aspetto, è incominciata come un'analisi filosofica e tra l'altro i primi logici erano per
l’appunto dei filosofi; ricorderete i nomi dei primi grandi logici dei quali abbiamo parlato, Platone,
Aristotele, Crisippo e così via, poi siamo arrivati attraverso il Medioevo, attraverso la Scolastica e poi
nell'800 ci siamo accorti che la logica matematica ha avuto quasi una mutazione genetica, cioè è diventata,
per l’appunto quello che indica l'aggettivo nella seconda parte del suo nome, cioè è diventata parte della
matematica, cioè è partita come un'analisi filosofica del ragionamento, è diventata un'analisi matematica del
ragionamento matematico. Ebbene questa è stata la sua seconda vita, la sua seconda pelle come i serpenti,
ma nell'ultima parte della nostra storia, che è anche poi tra l'altro quella che ci introduce ai tempi moderni,
vedete qui vicino a me appunto un computer, ebbene dicevo nell'ultima parte della sua storia la logica
matematica è stata collegata con l'informatica, collegata addirittura in un senso molto preciso, perché
l'informatica, cioè lo studio dei computer è nata proprio da problematiche logiche ed è nata soprattutto con il
personaggio del quale parliamo oggi che si chiama Alan Turing. Come al solito introduciamo perlomeno i
paletti della sua vita, la data di nascita e la data di morte. Turing è nato nel 1912 ed è morto nel 1954;
noterete subito immediatamente che morto piuttosto giovane, ha 42 anni e spiegheremo anche come mai,
non è morto in maniera naturale, si è suicidato addirittura e vedremo anche
perché si è suicidato.
Ebbene però dobbiamo incominciare a vedere quali sono stati i risultati, le
problematiche che Turing ha studiato nella sua vita e quali sono stati
soprattutto i frutti di questa sua ricerca. Turing è stato veramente un
personaggio singolare, anche perché nella sua vita, nella sue ricerche ha
trattato gli argomenti che hanno spaziato dall'analisi dei primi computer,
dalla invenzione dei primi computer fino a cose completamente slegate
apparentemente da quelle che ho appena detto, come lo spionaggio, lo
studio del DNA e così via; quindi avremo in questa nostra lezione da spaziare in argomenti che sono
abbastanza diversi uno dall'altro. Andiamo a vedere meglio la lista di questi argomenti, la lista di questi
contributi che Turing ha lasciato al pensiero moderno. Questi contributi, come vedete, sono parecchi; noi ci
concentreremo meglio su cinque punti , che sono anzitutto le macchine Turing, quelle che portano il
suo nome; poi parleremo di spionaggio e vedremo come mai, parleremo di informatica, di intelligenza
1. macchine di Turing
artificiale e morfogenesi. Argomenti che, come vi ho detto, non sono
2. spionaggio
completamente legati l'uno all'altro, perchè Turing in realtà come tra
3. informatica
l'altro succede spesso agli scienziati, ha fatto nella sua vita sempre la
4. intelligenza artificiale
stessa cosa, cioè aveva un interesse particolare che era quello di cercare
5. morfogenesi
di capire, di carpire anzi addirittura i segreti che stavano nascosti, scritti
da qualche parte in qualche linguaggio. Ecco che allora, questa idea di carpire i segreti è un po' quello che è
il filo conduttore, diciamo così, di questa sua ricerca, perchè ovviamente la ricerca sulle macchine di Turing
era il tentativo di capire quali sono i segreti della macchina, cioè cercare di vedere che cosa può fare una
macchina, che cosa può pensare una macchina, che cosa può calcolare una macchina. Lo spionaggio, non
c'è bisogno che lo dica, ovviamente lì il carpire segreti è effettivamente la questione centrale, la questione
cruciale. L'informatica è nata per l’appunto da una realizzazione pratica di quelle che sono state le macchine
150
di Turing, che invece erano un modello teorico di calcolatore. L'intelligenza artificiale è cercare di spingere
ai limiti del possibile le potenzialità del computer.Turing è stato colui che ha inventato praticamente, che ha
sognato, non si sa se questo sia un sogno o un incubo e naturalmente se questa è un'attività onirica dipende
dai p.di v. sul quale dei due aspetti sia determinante, comunque Turing è stato il primo che effettivamente ha
sognato di far pensare le macchine, cioè ha cercato di carpire il segreto per l’appunto del pensiero e di
riuscire a metterlo addirittura su una macchina e poi la morfogenesi, cioè il tentativo di capire com’è
possibile creare degli organismi come quelli che sono viventi, dalle piccole cose della vita, dalle piccole
piante eccetera, fino a quelle più grandi, animali, uomo e così via. Com’è possibile creare delle forme che
abbiano altre dimensioni a partire da un'informazione che come tutti sappiamo è codificata nel DNA. Questi
sono le direttive, diciamo così, del pensiero e della ricerca di Turing. Andiamo pian piano a vedere da vicino
che cosa ha fatto effettivamente Turing nella sua vita e ovviamente il suo nome, come ho già detto, è legato
a questa invenzione che si chiama macchina di Turing.
La macchina di Turing, Turing l’ha studiata nel periodo che va dal ‘36 al ‘39. Vi ho detto che Turing è
nato nel 1912, quindi nel 36 aveva 24 anni. La domanda che si pose praticamente per scrivere la sua tesi è:
che cosa si può calcolare meccanicamente, cioè che cos'è possibile far
1. Macchine di Turing
Cha cosa è calcolabile
fare a una macchina dal p.di v. dei calcoli? Ora, anzi tutto, richiamiamo
meccanicamente?
la questione dell’incompletezza di Goedel, perchè qui si ripete la stessa
e storia sattamente, cioè Turing che è nato nel 1912, fa la sua prima grande ricerca, la sua prima scoperta nel
1936, cioè a 24 anni, esattamente l'età che aveva Goedel quando fece la sua tesi di laurea e dimostrò il suo
primo grande teorema di completezza della logica dei predicati e come ricorderete dalle due lezioni che
abbiamo fatto su Goedel, nel 1931 a 25 anni dimostra il suo teorema più noto, quello che gli ha dato la
rinomanza che ancora oggi ha, il famoso teorema di incompletezza, che era il tentativo di far vedere che i
sistemi matematici usuali sono incompleti, cioè ci sono, ricorderete la metafora che abbiamo usato facendo
vedere un immagine di un mafioso, delle verità indimostrabili, ebbene queste due cose di Turing e Goedel
non sono slegate. Ora questo teorema naturalmente all'epoca fece un certo scalpore, la sua dimostrazione era
abbastanza complicata, perlomeno per gli schemi tecnici dell'epoca e allora molte persone cercarono di
studiare questa dimostrazione e di riformularla in una maniera diversa e questo precisamente è quello che
fece Turing nella sua tesi agli inizi, cioè cercare di dire: io vorrei riformulare questi teoremi di Goedel in
una maniera che sia più lontana possibile da questa astrazione legata alla matematica e più vicina possibile
alla concretezza, di quello che oggi noi diremmo dei computer, ma all'epoca ricordiamoci che i computer
non c'erano. In questo tentativo di riformulare l'essenza del teorema di Goedel attraverso un modellino
meccanico Turing arrivò appunto alla progettazione, diciamo così, teorica di quelle che oggi si chiamano le
macchine di Turing. La domanda come ho detto è: che cosa è calcolabile meccanicamente? Ora cerchiamo
di vedere più da vicino che cosa effettivamente fece Turing. Dunque anzitutto voi sapete, lo avete provato
anche voi, perché sarete andati a comprare, a fare la spesa al mercato, in un negozio e così via, avrete
dovuto prima o poi fare dei calcoli e quando si fanno dei calcoli in genere si seguono delle regole, che sono
regole meccaniche, cioè s'insegnano queste regolette ai ragazzi già nelle scuole elementari e fare calcoli,
fare di conto non è una cosa molto complicata, ma appunto l'idea di Turing è che questo fare di conto,
questo fare calcoli, dovrebbe esser qualcosa di talmente poco complicato, che dovrebbe essere possibile
farlo fare direttamente ad una macchina. Ora questa è un'idea vecchia come il mondo ovviamente, non è
stato Turing il primo a pensare di costruire delle macchine che potessero fare i conti. Infatti i primi che
hanno provato al mondo a fare delle vere e proprie macchine calcolatrici, notate macchine calcolatrici e non
un calcolatore, dirò presto qual è la differenza fra queste due
approcci, dicevo, quelli che hanno provato a fare questo primo
tentativo sono questi due signori, che notate sono stati due
filosofi, cioè Pascal, questo signore che sta sulla sinistra e
Leibniz che invece abbiamo già visto più volte nelle nostre lezioni
precedenti, tutti e due vissuti nel secolo diciassettesimo, nel 1600
e la loro risposta perlomeno provvisoria era che è possibile
calcolare meccanicamente perlomeno la somma ed il prodotto di
numeri interi, cioè per esempio fare 3+5 non è complicato, lo può
151
fare certamente una macchinetta, fare 3 x 5 è un pochettino più complicato, ma certamente non è una cosa
così stratosferica da non essere possibile da essere fatta da una macchina. Ora che cosa fece effettivamente
anzitutto Pascal? Pascal costruì un meccanismo che era fatto attraverso delle ruote dentate e questo
meccanismo era la prima macchina, la prima vera e propria macchina calcolatrice della storia, cioè ruote che
giravano in maniera che si potesse impostare sulle varie rotelle le cifre dei numeri che si volevano sommare
e qualcuno di voi forse ricorderà, certamente non i più giovani, ma io ricordo ancora mio padre per
esempio, che aveva una vecchia calcolatrice a manovella, questa manovella appunto girava, si impostavano
i numeri facendo praticamente girare delle rotelle, si faceva girare questa manovella tante volte quanto
serviva e si facevano in questo modo le somme. Io come potete vedere non è che abbia 200 anni, cioè sono
nato del 1950, questo vuol dire che quando io ero bambino ancora negli anni ‘50, negli anni ‘60, questo era
il modo in cui venivano fatti i calcoli in maniera automatica negli uffici normalmente. C'erano già
ovviamente computer a quell'epoca, ma non erano così ubiqui come sono oggi su tutte le scrivanie, anche
dove non dovrebbero essere forse. Ebbene dicevo, l'inizio di questa storia, diciamo così, della
meccanizzazione del calcolo, è per l’appunto la macchinetta di Pascal e poi Leibniz che era un gran
matematico, come vi ho già detto più volte e che è stato colui che ha inventato addirittura anche l'analisi
infinitesimale, il calcolo infinitesimale insieme a Newton, migliorò questa invenzione di Pascal, la migliorò
facendo fare alla macchinetta di Pascal, aggiungendo ovviamente alcune rotelle, cambiando un pochettino il
meccanismo, anche i prodotti. Ora all’epoca si pensava che questa fosse la fine, perché in realtà facendo
girare le rotelle al contrario invece di fare le somme si potevano fare le sottrazioni, facendo girare al
contrario le rotelle della macchinetta di Leibniz, invece di fare i prodotti, si potevano fare le divisioni,
quindi le quattro operazioni fondamentali, quelle che sono per l’appunto la base dell'aritmetica, cioè somma,
prodotto, sottrazione e divisione. Queste quattro operazioni fondamentali dopo Leibniz e Pascal si potevano
meccanizzare, cioè c'erano delle macchinette, le famose macchine calcolatrici, che potevano fare queste
operazioni. Ora per i matematici la storia finisce lì, perché i matematici sanno che tutte le altre operazioni
delle quali si fa uso nella matematica correntemente, vengono definite a partire dalla somma e il prodotto,
anzi addirittura già il prodotto è definito a partire dalla somma, perché il prodotto è, quello che dicono i
matematici, una iterazione della somma e poi iterando via via il prodotto si ottengono le funzioni
esponenziali, tutti gli esponenziali e così via. Quindi praticamente tutte le altre funzioni sono combinazioni
della somma e del prodotto, al punto che quando si dovete dare un'assiomatizzazione della aritmetica,
Peano, Dedekind, Hilbert e così via, cercarono quali erano le verità fondamentali dell'aritmetica e
scoprirono appunto che era necessario dare le proprietà fondamentali di somma e prodotto, il resto seguiva.
Però ovviamente è molto complicato ridurre tutto a somma e prodotto; quindi man mano che crescono le
necessità, man mano che c'è bisogno di calcolare più funzioni, le macchine calcolatrici di una volta
diventavano via via più grosse, si faceva quello che aveva incominciato a fare Leibniz, cioè si potenziava
via via la macchinetta di Pascal e si aggiungevano nuove funzioni. Qualcuno di voi ricorderà che ancora
qualche anno fa, questa volta non nel ‘30-‘40, ma una decina di anni, una quindicina di anni fa
semplicemente, si andava in giro con nel taschino una di queste calcolatrici tascabili, Texas-intrument per
esempio, che avevano alcuni tipi di operazione aritmetiche, cioè c'erano ovviamente la somma e prodotto,
c'erano a volte le radici, gli esponenziali, i logaritmi, le funzione trigonometriche e così via, un certo stock,
una certa quantità di funzioni che queste macchine potevano calcolare. Il problema di quest'approccio è
precisamente che ogni volta che si vuole avere una calcolatrice più potente, bisogna aggiungere delle
funzioni, bisogna aggiungere delle rotelle. Naturalmente queste prime macchine calcolatrici erano fatte per
l’appunto in maniera meccanica, poi pian piano sono diventate macchine elettriche, macchine elettroniche,
si dovevano aggiungere dei circuiti, cioè non ci sarebbe stata mai fine in teoria all’aggiunta di quello che si
poteva mettere in una macchina calcolatrice, ma l'idea fondamentale di Turing, nel 1936, fu di capovolgere
l'intera questione. Turing si pose la domanda che abbiamo detto, cioè “che cos'è che si può calcolare
attraverso la macchina”, diede questa risposta che oggi sarebbe forse una risposta banale, ma che non lo era
perché all'epoca non c'erano i computer, la risposta di Turing è che si può calcolare mediante una macchina
esattamente ciò che può calcolare un computer. Ora cerchiamo meglio di qualificare questa sua risposta,
cioè Turing capii che non si doveva continuare a potenziare via via le macchine calcolatrici facendole
diventare sempre più grandi, sempre più potenti, ma era sufficiente trovare una sola macchina che avesse un
152
minimo di potenza necessaria per leggere quello che oggi si chiamano semplicemente i programmi, cioè si
trattava non di ampliare la macchina, ma di arrivare ad una macchina che fosse in grado di leggere ed
seguire programmi e allora tutto il calcolo sarebbe stato riversato sul programma e la calcolatrice in questo
caso diventa una calcolatrice universale, cioè calcolatore Questa fu un'idea veramente geniale, notate 1936,
prima che s’inventassero quelli che si chiamavano i computer; anzi in realtà fu proprio Turing a capire
che da questa sua invenzione, che appunto era partita da problematiche completamente logiche, cioè il
tentativo di riformulare il teorema di Goedel, sarebbe stata possibile costruire effettivamente una macchina
Turing (1936)
universale in grado di fare praticamente tutti i calcoli possibili. Ebbene
Ciò che può calcolare
vi ricordate, l’ho appena detto poche frasi fa, l’idea Turing era in realtà
un computer
quella di riformulare i teoremi di limitazione che Goedel aveva scoperto
nella sua ricerca e allora il famoso teorema per cui Turing introdusse queste macchine si chiamava “il
problema della fermata”, cioè Turing all’epoca era interessato alle limitazioni del meccanismo del
calcolatore o del computer e solo in seguito poi l'accento venne spostato sulle potenzialità di questa
macchina. E allora come mai e abbiamo messo qui un cartello di stop? Appunto perchè Turing riformulò le
limitazioni dei sistemi formali in termini di macchine e divenne famoso questo problema che lui introdusse,
che si chiama il problema della fermata. In altre parole i computer appunto si programmano, questi
programmi possono essere programmi che a volte danno dei risultati quando li si usa con certi dati e altre
volte invece possono non dare dei risultati, possono entrare in quella che è ormai un'espressione linguistica
inglese, ma che è diventata di uso comune, cioè quella che si
chiama entrare in loop, che significa semplicemente un circolo
vizioso, incominciare a circolare; ebbene le macchine calcolatori
fanno praticamente questo a volte, quando il programma li porta a
fare questo. Allora ci si trova di fronte a due comportamenti diversi
del computer, da una parte un comportamento per cui il computer
lavora per un certo periodo di tempo, magari molto lungo, ma poi
ad un certo punto si ferma con una risposta e che dice la risposta è
questa, il risultato del calcolo è questo oppure c'è questa possibilità che il computer entri in loop ad un certo
punto e che quindi abbia questo comportamento infinito praticamente, non si ferma mai. Allora Turing si
chiese: è possibile distinguere a priori, dal di fuori, quando dato un certo programma e dato un certo input, il
programma su quell'input lì si fermerà oppure no? Questo è quello che appunto viene chiamato il problema
della fermata; la fermata ha a che fare con il fatto che il calcolo prima o poi arriva ad un risultato, dunque si
ferma oppure prosegue all'infinito. Ebbene Turing riuscì a dimostrare che questo problema della fermata è
indecidibile, non c'è nessun modo meccanico, non c'è nessun algoritmo, non c'è nessuno computer che
sappia in generale risolvere questo problema della fermata. Quindi vi accorgerete qui che c’è una
limitazione, un teorema di impossibilità ed è proprio questa la versione che Turing diede dei risultati di
incompletezza, dei risultati di indecidibilità che erano stati scoperti da Goedel e da i suoi seguaci nella
logica matematica. Quindi una versione completamente diversa legata alla macchina. Bene, fatto questo, che
cosa fece Turing? Era passato un pochettino di tempo,
arrivarono gli anni della guerra e Turing nel ‘40 – ‘45
incominciò a lavorare per lo spionaggio inglese. Naturalmente
qui abbiamo messo il simbolo dello spionaggio, cioè il
Pentagono americano; gli inglesi e americani comunque erano
alleati e quello che fecero gli americani e gli inglesi, in
particolare il team di Turing, fu una cosa che ebbe un grande
influsso sulla guerra, cioè i tedeschi usavano ovviamente un
meccanismo per codificare i loro messaggi, lanciavano degli
ordini, ogni mattina si alzavano come tutti naturalmente, però
lanciavano anzi tutto la codifica del linguaggio che avrebbero usato durante la giornata e poi da quel
momento lì in poi davano gli ordini soltanto in questa maniera codificata, che si chiama appunto in gergo
tecnico crittografato, cioè in qualche modo mascheravano i loro ordini, li traducevano in una lingua che non
153
era possibile tradurre per coloro che non avessero a disposizione la macchina di traduzione e qual'è la questa
macchina? Questa macchina si chiamava l’Enigma, eccola qua, questa è una foto ovviamente, si capisce
abbastanza poco da una foto, ma potete vedere comunque un certo numero di rotelle. Non era nient'altro
che una macchina calcolatrice, ma era una macchina che non serviva in
questo caso per fare dei calcoli, serviva bensì per codificare le lettere
dell'alfabeto; in altre parole queste rotelline avevano un certo numero di
dentini, ciascun dentino corrispondeva ad una lettera dell'alfabeto,
venivano piazzate agli inizi della giornata in una maniera che era
completamente casuale e dunque non c'era modo di prevedere come
sarebbe stata la disposizione di queste rotelline e da quel momento in poi e
per tutta la giornata i messaggi venivano codificati scrivendo al posto della
A la lettera che la prima la rotella diceva di scrivere, al posto delle altre
lettere quello che dicevano le altre rotelle e la cosa diventava molto
complicata. Ovviamente è sempre stato molto utile sapere durante la
giornata come venivano codificati i messaggi, perché i tedeschi erano sicuri che nessuno sarebbe riuscito a
decodificare i loro messaggi, a decodificare il loro trucco crittografico e quindi tranquillamente
continuavano a trasmettere senza nessuna preoccupazione i loro ordini. Ebbene lavorando per l’appunto a
questo problema, Turing riuscì effettivamente a decodificare il linguaggio degli Enigma. Agli inizi ci volle
molto tempo, cioè ci volevano alcuni giorni per riuscire a capire come funzionavano i messaggi di una certa
giornata. È chiaro che dal punto di vista bellico non era molto utile sapere una settimana dopo quali erano
stati gli ordini, ma alla fine le cose si affinarono e negli ultimi anni della guerra, pensate voi, i tedeschi
lanciavano questi messaggi, comunicavano tra di loro e senza sapere che effettivamente i comandi alleati
riuscivano a decrittare i loro messaggi praticamente in tempo reale, questo grazie Turing, a lavoro di Turing
che aveva già fatto appunto sulle macchine di Turing e che però riuscì in qualche modo ad applicare anche
alla crittografia e ci furono anche degli episodi piuttosto tragici, poiché non si poteva far capire ai tedeschi
che ormai si era capito quale era il loro linguaggio perché altrimenti avrebbero cambiato il metodo e tutto il
vantaggio se ne sarebbe andato in fumo e quindi molte volte quando la cosa era piuttosto grave allora sì
esitava, si faceva finta di arrivare per caso magari sul luogo del bombardamento, dove i tedeschi avevano
detto la mattina che sarebbero andati e riuscire a fermare le navi, le portaerei, gli aerei e così via. Altre volte
purtroppo quando l'obiettivo magari non era così importante, gli alleati fecero finta di nulla, quindi sapevano
che i tedeschi sarebbero andati a bombardare una città, sarebbero andati magari a distruggere un paese e così
via, stavano zitti, facevano finta di nulla e forse con la morte nel cuore vedevano queste distruzioni.
Comunque questo è un aspetto un po' strano, cioè quest'uso bellico del calcolatore. Che cosa successe negli
anni immediatamente successivi? Beh, successe che proprio queste ricerche arrivarono a produrre quello che
oggi viene chiamato l'informatica.
3. Informatica
Notate, gli anni sono tra i ‘45 e ‘50, quindi immediatamente dopo la fine
(1945-1959)
della guerra e l'informatica non è nient'altro che la costruzione pratica di quelli
Costruzione
che sono effettivamente i computer teorici, che Turing si era inventato nella
del computer
sua tesi di laurea. Ora come mai l'informatica nacque da questi problemi? Ma
perché, proprio da una parte Turing, quando doveva fare questo lavoro di controspionaggio e dall'altra parte
in America, quando gli americani stavano cercando di costruire la bomba atomica, si accorsero che c'era
bisogno di fare un enorme numero di calcoli e questo enorme numero di calcoli, come veniva fatto? Oggi
l'avremmo fatto con i computer, ma all'epoca non c'erano i computer, quindi c'era una schiera di signorine
letteralmente, cioè tante ragazze che venivano arruolate, decine di migliaia, pensate voi, a Los Alamos e poi
in Inghilterra e queste ragazze funzionavano come oggi funzionano tutti i computer, cioè erano dedicate a
fare tutto il giorno sempre la stessa operazione. Qualcuno scriveva un programma e diceva tu fai quello, tu
fai quello, tu fai quell'altro e questa specie di orchestra che aveva ovviamente un direttore, quello che noi
oggi chiameremo il programmatore, faceva questi calcoli enormi. Dopo la guerra, con più tranquillità, sia
Turing da una parte che Von Neumann dall'altra pensarono che forse sarebbe stato meglio automatizzare
questa cosa. L'idea del computer nacque per l’appunto da problemi veri, lo spionaggio da una parte e la
bomba atomica, il nucleare dall'altra. Guardate qui, vi faccio vedere due foto dei primi computer, questo è il
154
computer al quale lavorò Turing in Inghilterra, si chiamava Colossus e come vedete il nome era
perfettamente adeguato. Il computer di oggi, che ha un piccolo hard disk, come quello che abbiamo, per
esempio sul nostro tavolo,
è enormemente più potente di questo Colossus che Turing aveva a disposizione. In realtà oggi questi
computer sono i computer di quelli che all'epoca sarebbero stati supercalcolatori. Guardate come il
computer in realtà prendesse l'intera stanza e poi anche stanze vicine; guardate qui i nastri che giravano
attraverso le rotelle, i famosi loop, che oggi naturalmente sono semplicemente correnti elettriche che
passano dentro il calcolatore. Guardate qui delle valvole che si intravedono e naturalmente i primi computer
venivano programmati in questo modo, cioè si andava col camice bianco e col cacciavite, quando si doveva
aprire un programma non si batteva mica sul tasto della tastiera come si fa oggi, com'è facile fare, ma
bisognava andava a svitare delle valvole, cambiare il posto delle valvole e cambiando le valvole si cambiava
la struttura del computer, lo si riprogrammava. Quindi una cosa completamente diversa e per questo, fino a
quando non furono inventati i computer da tavola, l'informatica era qualche cosa per addetti ai lavori.
Un'immagine invece dell'altro computer, il famoso Eniac, che fu costruito negli stessi anni in America da
Von Neumann è questo qui. Anche qui vedete un enorme batteria di aggeggi che venivano usati e questa la
foto di Von Neumann orgoglioso vicino al suo giocattolo, vicino a questo Eniac. L’informatica nacque
precisamente da queste problematiche qui, con la costruzione di queste enormi macchine, di questi
enormi cervelli elettronici. Allora la metafora dei cervelli elettronici fu un qualche cosa che prese in qualche
modo la spinta da queste ricerche e fece arrivare Turing a proporre una domanda che sarebbe stata
abbastanza imbarazzante. Siamo nel 1950, Turing si pone la domanda fatidica. A questo punto le macchine
che noi abbiamo costruito, che io Turing prima ho progettato e poi ho contribuito a realizzare fisicamente,
queste macchine che sanno fare questi calcoli in maniera molto veloce, in maniera molto più “reliable”
direbbero gli inglesi, affidabile, di quanto non potessero fare forse le signorine dell'epoca, ebbene queste
macchine possono addirittura pensare? Cioè è possibile credere
che ad un certo punto le macchine si svilupperanno così tanto da
diventare quasi l'analogo degli esseri umani e del loro cervello?
Questa è la grande domanda di ciò che oggi si chiama il progetto
dell’intelligenza artificiale. Notate che del progetto della
intelligenza artificiale oggi se ne parla parecchio, ma in realtà è
nato di nuovo nella mente di Turing, in un famoso articolo del
1950. Qui abbiamo un esempio di questa intelligenza artificiale,
qui nella slide, tutti voi lo avrete riconosciuto, è una scena de film
"2001 Odissea nello spazio" e lì c'era questo computer che
mandava effettivamente avanti l'intera astronave, questo è uno degli astronauti che vanno a toccare la
memoria del computer; vi ricorderete che mettevano dentro cassette che facevano parte della memoria dei
computer; però questa è fantascienza ovviamente. Questa invece era una domanda scientifica, cioè Turing
voleva scrivere non il copione di un film, ma voleva sapere effettivamente se la sua domanda aveva una
risposta, se era possibile spingersi, a continuare a sviluppare queste macchine fino a quando fossero
diventate intelligenti. Ora il problema è: come si fa capire quando una macchina e intelligente? Beh, si può
fare come nella filosofia, si può dare una definizione di che cosa significhi essere intelligente e poi vedere se
questa macchina si adatta alla definizione. Turing era uno scienziato e non un filosofo, insomma provocò il
dibattito in un altro modo e introdusse quello che fu chiamato il test di Turing: che cos'è il test di Turing? Il
test di Turing è semplicemente un modo operativo per capire se la macchina pensa oppure no. Se l’inventò
155
Turing appunto in quell'articolo che vi ho detto, del 1950; l'idea è la seguente: si tratta di mettere in una
stanza un uomo e in un'altra stanza qualche cosa, non sappiamo se sia un uomo o se sia una
macchina; si comunica attraverso una radio per esempio, attraverso
una tastiera e così via, ci si scrive domande, l'uomo fa domande a ciò
che si trova nell'altra stanza, ottiene delle risposte; ebbene se attraverso
questa conversazione, dopo un certo periodo di tempo, l'uomo non
riesce a capire se dall'altra parte ci sia una macchina oppure ci sia un
uomo, ecco che allora ciò che c'è dall'altra parte è qualche cosa di
intelligente; poi si apre la porta e si va a vedere cosa c'è dall'altra parte;
se c’era un uomo, bene, tanto meglio per lui, ma se invece c'era una
macchina, quella la macchina ha superato il test, è riuscita in qualche modo a simulare il comportamento
mentale di una persona in modo tale che è comprensibile da questa persona ed ecco che allora, si dice che ha
superato il test di intelligenza di Turing e la si può dichiarare intelligente. Finora l'unico computer che abbia
effettivamente superato il test di Turing è questo computer per l’appunto Al nel film "2001 Odissea nello
spazio"; ma che cosa si fa effettivamente nella vita reale, quali sono le realizzazioni di questi sogni?
Andiamo a vedere, effettivamente la realtà è questa: nella slide non c’è un computer, c’è il campione
mondiale di scacchi che si chiama Garry Kasparov, il campione mondiale attualmente in carica, questa è una
partita di scacchi, come vedete qui, qui c'è scritto, Kasparov, qui c'è scritto Deep blue e al posto di Deep
Blue non c'è nessuno, come mai? Perché, come vedete nella slide in realtà sembra che ci sia uno schermo,
Kasparov sta giocando una partita di scacchi contro una macchina, contro un programma. Che cosa è
successo? E’ successo che i programmi per gli scacchi, che furono già
subito un sogno di Turing, che appunto scrisse a mano il primo
programma per scacchi, ma il computer suo era talmente lento
che era più facile simulare il programma a mano che non farlo
giocare dal computer, infatti Turing simulò il suo programma,
giocò una partita di scacchi contro un suo amico, un essere
umano e l'amico vinse subito in 26 mosse, ebbene pian piano
negli anni questi programmi per gli scacchi sono diventati
sempre più complicati, sono diventati sempre più raffinati, ad
un certo punto hanno incominciato a giocare nei tornei, hanno
incominciato a prendere punti, a diventare maestri, a diventare
grandi maestri e ad un certo punto è successo il patatrac, è successo l’irreparabile, cioè in una partita di
scacchi del 1996 Kasparov, campione mondiale in carica, è stato battuto da un computer. Voi direte, va
beh, succede a tutti, è una brutta giornata e così via e in effetti Kasparov all'epoca così la prese. Dopo
qualche anno nel 1998 Kasparov fece un torneo contro questo programma che si chiama deep blue, un
torneo in sei partite, insomma prese due punti e mezzo e come potete immaginare, il computer ne prese il
rimanente, cioè tre punti e mezzo, cioè ci fu, era un giorno fatidico del 1998, la prima sconfitta da parte di
un campione mondiale di scacchi contro un programma. Che cosa succederà domani? Beh, ovviamente
questi programmi diventeranno via via più potenti, ormai battono il campione del mondo, presto neppure
più il campione del mondo potrà giocare contro queste cose, non c'è da preoccuparsi ovviamente, perché
non ci saranno i programmi che diventano campioni mondiali di scacchi, così come l'automobile, così come
i treni non diventano campioni olimpici quando si tratta di correre, cioè le Olimpiadi si continuano a fare tra
gli atleti, che sono degli umani e le macchine vanno si più veloci degli uomini, ma chi se ne importa tutto
sommato, perchè insomma far simulare ad una macchina, una automobile o il treno un'attività umana, come
quella motoria, non è un qualche cosa che mette in dubbio la nostra unicità nel creato, però quando si arriva
invece a questi punti, cioè a far fare al computer qualche cosa che noi credevamo essere tipico dell'uomo,
ecco che allora cominciamo ad essere un pochettino più a disagio. Dove però potranno arrivare i computer?
Beh, questo non è più la realtà, questo è il sogno, quello che ci sta di fronte nella slide e il sogno è quello di
arrivare appunto a costruire degli androidi. Ora la parola androidi, forse qualcuno di voi l’avrà già vista,
perché questo fa parte ancora della fantascienza, non vi preoccupate, questo è un domani chissà quanto
156
lontano;, ebbene qui ci sono due personaggi, questa bellissima signorina che qualcuno di voi riconosce è
Sten Young e questo signore è Harrison Ford agli inizi della sua carriera e questo è un famoso film che si
chiama “Blade runner”. Ebbene il problema di Blade runner era
precisamente questo: il signor Ford era un cacciatore di androidi e gli
androidi sono degli organismi, sono delle macchine che sono
indistinguibili da un essere umano, credo che tutti voi, per lo meno
coloro che sono dei maschietti tra il pubblico, saranno d'accordo che
anche se questa è una macchina insomma andrebbe benissimo a
chiunque di noi; ebbene quando arriviamo a questi punti, a costruire
macchine che non si possono più distinguere da un essere umano,
maschile o femminile, ebbene allora si abbiamo effettivamente superato il limite, siamo arrivati ad un punto
in cui la convergenza tra la macchina e l'uomo è indistinguibile, è completa e questo è appunto il sogno, io
direi in realtà un incubo; non credo che oggi ci dobbiamo preoccupare troppo, però mettendo insieme non
soltanto i progressi dell’intelligenza artificiale, ma anche quelli dell'ingegneria genetica e così via, della
robotica, delle protesi, eccetera, effettivamente si pensa che ci sia questo incubo di fronte a noi, che ci sarà
un giorno un mondo in cui circoleranno degli esseri e non si saprà bene che cosa succede. Nel famoso
racconto di Philip K. Dick che è colui che ha scritto “il libro cacciatore di androidi” da cui è stato tratto
questo film Blade runner, dice che il momento cruciale arriverà il giorno in cui ci sarà una macchina di
fronte ad un uomo, l'uomo sparerà alla macchina e si accorgerà con sua grande sorpresa che la macchina
incomincia a sanguinare. La macchina risponde e si accorgerà, sparando all'uomo, con sua grande sorpresa
che invece dall'uomo esce una nuvoletta di fumo, cioè saremo arrivati al punto in cui credevamo di avere un
uomo contro una macchina e invece esattamente il contrario, cioè non ci si riesce più a distinguere. Questo è
dove siamo arrivati partendo dalle macchine di Turing, con questa evoluzione dei computer.
Problema
Bene, negli ultimi minuti invece della nostra lezione, vogliamo parlare
dal DNA lineare alle
di cose un pochettino diverse, ma non troppo slegate, perché Turing
forme tridimensionali
nell'ultima parte appunto della sua vita, si interessò della morfogenesi.
Nel 1952, praticamente l'anno in cui morì, pubblicò un famoso lavoro in cui la domanda questa volta non
era più come una macchina può pensare oppure che cosa significa fare calcolare una funzione ad una
macchina, bensì come si forma un organismo. Qui nella slide vedete due esempi di organismi, questa è una
conchiglia, il famoso nautilus, di lato invece c’è qualche cosa di
organico, ebbene il problema dell'organismo è che in realtà, come
tutti sapete, l'organismo si forma in base ad una informazione e
notate la teoria dell'informazione e l’informatica non sono poi così
slegate fra di loro, anzi sono due aspetti, due facce di uno stesso
studio, di una stessa medaglia. Ebbene, qual'è il problema però che
sta sotto? Il problema è che l'informazione, come tutti sapete, è
codificata in qualche cosa che si chiama il DNA e poi da questo
DNA si formano delle forme per l’appunto.
Ora il DNA che cos’è? Il DNA è fatto in maniera lineare, è una
striscia praticamente come tutte le cose che noi scriviamo, per esempio prendiamo un libro, questo libro è
Problema
fatto in maniera tridimensionale, ha uno spessore, una larghezza e
Dal DNA lineare alle
un’altezza, però in realtà il libro è semplicemente una grande linea
che comincia dall'inizio e va fino alla fine e tutta l’informazione è
forme tridimensionali
attraverso questa linea, ovviamente la si piega questa linea in modo da farla stare in un dm3, cioè è molto
meglio leggere un libro che sta in un dm³ che non andare a leggere un libro che si lungo un kilometro.
Ebbene il DNA è un qualche cosa di estremamente lungo, naturalmente è intrecciato, come tutti sapete, in
questa cosa che si chiama doppia elica, ma la cosa importante è che è lineare. Ora questa informazione
lineare, cioè messa praticamente su una linea, come fa a produrre un organismo che invece in genere ha tre
dimensioni, cioè come si fa a passare dalla linearità dell'informazione alla tridimensionalità, quindi questo
salto in tre dimensioni degli organismi viventi. Questo è il problema che Turing voleva risolvere, è un
problema che non è stato ancora oggi completamente risolto, la sua soluzione è una soluzione che
157
effettivamente in qualche modo precorre i tempi ed la soluzione che diede appunto Turing, è il fatto che ci
sia un equilibrio instabile nella materia e che questo equilibrio instabile venga rotto.
Soluzione
Che cosa è questo equilibrio instabile? Non vi posso dire ovviamente
Rottura di
nei dettagli, ma lo vedete qui immaginato, per esempio una ballerina che sta
equilibri instabili
sulle sue punte è in equilibrio instabile, se voi andate vicino ad una ballerina
e la toccate, probabilmente questa casca per terra. Ebbene equilibri instabili sono per l’appunto quelle cose,
quelle situazioni, quegli eventi che sranno in equilibrio, ma che però basta un piccolo cambiamento a far
degenerare, a far cadere da una parte o dall'altra. Turing pensava che fosse questa rottura spontanea di
equilibri per l’appunto instabili, che permettesse di passare dal DNA lineare alle forme tridimensionali.
Questo è il percorso che poi è stato ripreso da vari premi Nobel, per esempio Prigogine che ha preso il
premio Nobel per la chimica, Edelman che ha preso il premio Nobel per la medicina, che sono persone che
appunto hanno portato avanti queste ricerche di Turing ed è strano leggere libri di chimica, libri di medicina
e scoprire che uno degli antenati, che questi signori, oggi titolati attraverso premi Nobel, considerano uno
dei loro precursori, che uno di questi precursori è appunto Alan Turing, cioè un logico, un informatico.
Bene, siamo arrivati più o meno alla fine, all'ultimo atto di questa sfida; come vi ho già anticipato dagli
inizi, l'ultimo atto di questa sfida è in realtà una tragedia. Nel 1954 Turing muore, muore suicidato. Come
mai? Qui la cosa è abbastanza pruriginosa in qualche modo, Turing aveva delle abitudini sessuali che non
erano proprio standard, era un omosessuale e nell'Inghilterra di quell'epoca, nell'Inghilterra degli anni 50,
Suicidio(1954)
ma anche più recentemente credo, fino a qualche anno fa e forse ancora adesso,
l'omosessualità in Inghilterra era proibita per legge. Dunque Turing un giorno ospita un ragazzino che aveva
rimorchiato per la strada, come si direbbe oggi, lo ospita in casa sua, fanno delle cose che non è il caso che
vi racconti adesso e la mattina questo ragazzino scappa dalla casa e ruba degli oggetti dalla casa di Turing.
Turing, ingenuo come spesso succede ai matematici, ai filosofi, ai grandi pensatori, va dalla polizia a
denunciare il fatto. Denuncia questo fatto, dice c’è stato un furto in casa mia. La polizia gli chiede,
naturalmente al buio brancolando, ma lei ha un'idea di chi possa essere stato a fare questo furto? E Turing
disse certo che ce l’ho, è stato quel signore che è stato a casa mia. Ma lei lo conosce quel signore? L’ho
rimorchiato ieri sera, come rimorchiato, per fare cosa? Beh, io ho queste tendenze, Turing non pensava che
la cosa sarebbe stata così grave, Ebbene, immediatamente fu arrestato, fu processato, però poiché era un
eroe di guerra, non lo sapeva nessuno, ovviamente non lo sapevano i carabinieri della stazione di polizia,
però immediatamente quando Turing venne arrestato si muovono gli alti comandi che dicono appunto ai
giudici, ai carabinieri che Turing in realtà è un eroe di guerra, perché è stato un eroe del controspionaggio.
Queste cose sul controspionaggio, sull'Enigma che vi ho raccontato, sarebbero poi state rivelate soltanto
molti decenni dopo, negli anni 70-80 e allora come grande gentilezza verso questo grande eroe della patria,
che aveva così contribuito a salvare, anche a far vincere la guerra, che cosa gli si propone? Si propone una
scelta o andare in galera per 10 anni oppure essere curato. Ora come si fa curare una persona dalla
omosessualità? Negli anni 50 si era molto ingenui, gli americani semplicemente castravano gli omosessuali,
ne hanno castrato 50.000 negli anni 60, ebbene gli inglesi fanno una cura di ormoni a Turing, una cura di
ormoni femminili, pensando che questo potesse guarire l'omosessualità, Turing sviluppa addirittura il seno e
gli cadono i capelli e così via e in preda ad una crisi emotiva più che comprensibile, si suicida, si suicida
come? Si suicida mangiando una mela avvelenata perché non voleva che sua madre capisse che era stato un
suicidio. Fin da bambino lui era ossessionato dalla storia di Biancaneve, dalla storia della mela, cantava
sempre l'incantesimo di Biancaneve e della strega ed ecco che usa alla fine della sua vita questo mezzo per
ammazzarsi. Questa è la strana fine per l’appunto, di un personaggio così importante per la storia della
tecnologia ed è anche la fine dei nostri excursus storici biografici sui grandi personaggi della logica.
Abbiamo ancora due lezioni, che sono due lezioni ricapitolative dove parleranno invece di ciò che è
successo in questo secolo, da una parte da un punto di vista della logica, della logica contemporanea, la
logica moderna e dall'altra parte invece dal punto di vista dei fondamenti.
158
LEZIONE 19: Gran finale
Benvenuti alla penultima, purtroppo, lezione del nostro corso di logica matematica. Vedete qui il titolo della
lezione, si chiama gran finale, in realtà questo è il finale nel senso che abbiamo già praticamente esaurito i
personaggi di cui volevamo trattare. Abbiamo praticamente parlato di 16-17 grandi personaggi della storia
della logica, siamo partiti dai greci, siamo passati attraverso la Scolastica e abbiamo finito con un buon
numero di personaggi della modernità, della contemporaneità e ora faremo una specie di carrellata sulla
contemporaneità, cioè su quello che succede oggi nella logica e quello che è successo ieri e l'altro ieri, cioè
molto vicino a noi, poi ci sarà ancora una lezione conclusiva, in cui invece parleremo di ciò che è stata la
logica per quanto riguarda il problema dei fondamenti. Quindi questa lezione di oggi è una specie di
conclusione, una delle possibili conclusioni, poi ce ne sarà una seconda, che sarà veramente l'ultima lezione.
Dicevo che quest'oggi parliamo di ciò che è successo negli ultimi tempi, lo dirò in poche parole e
naturalmente voi non cercherete di capire esattamente tutto quello che dirò, a differenza invece delle altre
lezioni, perché l'idea di questa lezione è soltanto di farvi familiarizzare con alcuni dei termini che sono
diventati quotidiani nella logica matematica contemporanea e anche di dirvi quali sono i personaggi che
sono ancora sulla scena o che l'hanno lasciata da poco e che praticamente stanno facendo la logica in questi
anni. Divideremo la nostra lezione nelle quattro parti in cui si dice oggi che la logica viene divisa; notate che
la logica come l’abbiamo trattata finora è stata un'analisi del processo di ragionamento, soprattutto del
processo di ragionamento matematico e man mano che ci siamo più avvicinati ai giorni nostri, man mano
che siamo entrati soprattutto nel vivo del ‘900, nel vivo del nuovo secolo per la logica matematica, ecco che
questa logica stava prendendo vita, stava diventando matura, acquistava maturità ed è diventata oggi un
qualche cosa di indipendente, è diventata una branca della matematica moderna ed è per questo che oggi si
chiama logica matematica e la si divide in genere in quattro parti che si chiamano: 1) teoria dei modelli, 2)
teoria della dimostrazione, 3) teoria della discorsività, 4) teoria della ricorsività, 5) teoria degli insiemi.
La logica contemporanea
Le origini di ciascuna di queste branche sono ovviamente in ciò
1. teoria dei modelli
che abbiamo già visto nel passato e poi per la contemporaneità,
2. teoria della dimostrazione
vi dirò brevemente, dove sta e quindi vedremo pian piano
3. teoria della discorsività
ciascuna di queste branche. Incominciamo subito con la prima
4. teoria degli insiemi
parte, cioè la “teoria dei modelli".
Naturalmente qui nella slide abbiamo voluto scherzare, quando si parla di modelli ci vengono subito in
mente le passerelle, dove ci sono questi indossatori e poiché io sono
maschietto ovviamente, come si dice, ho preferito invece prendere
delle modelle, quindi questo è soltanto un riferimento, si potrebbe
meglio dire che questa sarebbe una teoria delle modelle. Però scherzi a
parte, che cosa fa la teoria dei modelli? La teoria dei modelli non è
nient'altro che lo studio della semantica; vi ricorderete che quando
abbiamo parlato di linguaggio, a partire da Crisippo e poi pian piano
venendo vicino a noi Frege, Russell, Wittgenstein e così via, molta
parte della logica è stata una teoria del linguaggio. Però ricorderete
anche che il linguaggio praticamente si divide in due parti, da una parte
c'è la sintassi, cioè i segni, ciò che si scrive e dall'altra parte c’è la semantica, cioè il significato, ciò che si
vuole dire. Ebbene “la teoria dei modelli” oggi è diventata lo studio formale, matematico, di questa seconda
parte alla quale ho appena accennato, cioè “la semantica”, invece “la teoria della sintassi”, c'è pure quella, si
chiama oggi in logica matematica la “teoria della dimostrazione”, ne parleremo tra breve. Vediamo allora
meglio, da dove è partita questa teoria dei modelli. E’ partita da un personaggio che abbiamo già visto più
volte, anche recentemente abbiamo dedicata a lui un'intera lezione, che si chiama Tarski e ricorderete, da ciò
che abbiamo fatto, che nel 1936 Tarski introdusse quello che è il suo risultato più importante nella logica
Tarski (1936)
matematica ed è uno anche dei cardini veramente fondamentali della logica
Definizione di verità
matematica moderna ed è quella che abbiamo chiamato “definizione di verità”.
La definizione di verità di Tarski, come ricorderete, è data nel meta linguaggio e una parte del teorema di
Tarski dice, invece, che non esiste nessuna definizione di verità che si possa fare invece a livello del
159
linguaggio. Ebbene questo risultato, per l’appunto del 1936, sottolineatevi questa data, perché stranamente
ci sono delle connessioni quasi numerologiche, cioè il 1935-36 è l'anno in cui praticamente sono nate tutte
queste quattro branche della logica moderna, poi stranamente il 1963 è l'anno cui si sono dimostrati alcuni
dei teoremi più importanti in ciascuna di queste branche, quasi per una specie, come si può dire, di
stravaganza numerica, comunque nel 1936 questo teorema importante di Tarski, mette finalmente sul
terreno quello che è la nozione logica, la nozione precisa, formale della verità. Ricorderete che una delle
nostre prime elezioni, anzi il primo ciclo dedicato ai personaggi, era dedicato appunto al paradosso del
mentitore. Il paradosso del mentitore che, ricorderete tutti, diceva "io mento", in qualche modo si imbatteva
in una antinomia, una frase che non poteva essere né vera né falsa, ebbene dopo 2500 anni praticamente,
questo risultato di Tarski fece intervenire questa nuova definizione di verità e praticamente risolse
perlomeno da un certo p. di v., che è quello che interessa noi come logici matematici, risolse questo
paradosso. La soluzione del paradosso del mentitore è precisamente che il paradosso del mentitore non si
può riprodurre all'interno di un sistema formale, non si può riprodurre all'interno dei sistemi matematici,
perché la frase che dice "io sono falsa" non è possibile scriverla; non è possibile scriverla, non perché si
possa parlare di io, l’autoreferenza, non perché non si possa parlare del non, della negazione, ma perché non
si può parlare della verità all'interno del linguaggio. La verità è qualcosa che sta fuori, sta appunto, come ha
dimostrato Tarski, nel meta linguaggio. Questo è stato l'inizio della cosiddetta teoria dei modelli.
Naturalmente Tarski era negli anni ‘30, ha vissuto fino agli anni 70 e ha continuato a produrre un gran
numero di risultati, ma non è questo che oggi ci interessa, noi vogliamo ora a vedere qualche altro
personaggio che è appartenuto o ha creato questa teoria dei modelli. Uno di questi personaggi è questo
signore dall'aria un po' triste e anche un po' sorniona in qualche modo che si chiama Abraham Robinson (v.
slide); abbiamo messo il nome, in genere non lo facciamo, in genere identifichiamo i nostri personaggi
soltanto col cognome, ma nel caso di Robinson c'era bisogno perché
di Robinson anche nel campo della logica ce ne sono stati tanti. Ce
ne sono stati almeno tre: Raffael, Duia e Abraham, quindi è
necessario distinguerli. Ebbene questo signore Abraham Robinson è
stato negli anni ‘50-‘60 il massimo esponente di questa teoria dei
modelli; Tarski effettivamente ha iniziato questa teoria dei modelli
facendo questo studio fondamentale della verità, che notate, non ve
lo mai detto nelle altre lezioni, era uno studio lunghissimo, cioè il
suo risultato originale era stato scritto all'interno di un lavoro di
centinaia di pagine e questo è molto atipico, perché in genere i lavori della matematica moderna sono di
qualche pagina, molto densi ovviamente, molto difficili anche da leggere, ma in genere molto contenuti,
soprattutto quando riferiscono, quando parlano, quando trattano, quando dimostrano un solo teorema,
ebbene nel caso di Tarski invece c’era un teorema molto lungo, proprio perché il risultato di Tarski che
parlava della verità, aveva che fare con molte speculazioni filosofiche e quindi era qualche cosa di più
ampio respiro. Ebbene, dicevo, il risultato di Tarski è stato poi a posteriori ciò che ha iniziato questa teoria
dei modelli, ma all'epoca la teoria dei modelli non si chiamava teoria dei modelli, si chiamava
semplicemente logica matematica. Tarski era uno di coloro che dimostravano teoremi all'interno della logica
matematica, invece negli anni ‘50-‘60 proprio grazie all'opera di questo signore Abraham Robinson, la
teoria dei modelli si è staccata dal resto della logica, così come le altre branche ed ha acquistato una vita
indipendente, è diventata matura in qualche modo, come i figli di una famiglia che prima vivono tutti
insieme sotto lo stesso tetto e poi ad un certo punto ciascuno se ne va per la sua strada e crea nuove
famiglie. Qualcuno di voi sa che cosa ha fatto Abraham Robinson senza saperlo, perchè in realtà Abrahm
Robinson prima di diventare un logico matematico era un matematico applicato ed è colui che ha inventato
le ali a delta degli aerei. Tutti voi avrete visto, per esempio i caccia americani sopra tutto, che hanno questa
strana forma delle aria a triangolo, ebbene Robinson si interessava appunto durante la guerra, negli anni ‘40‘50 di questi problemi di fluidodinamica e una delle sue invenzioni è stata questa. Dopo di che invece è
diventato un logico matematico ed ha creato però due grandi cose, che sono questi due risultati: anzitutto
quella che si chiama oggi ”l'analisi non standard”. L'analisi non standard sono sicuro che non la conoscerete
perché è una versione appunto, come dice il nome, non standard, dell'analisi infinitesimale.
160
Robinson Abraham
L'unica cosa che vi posso dire, nel caso poi siate interessati per andare
(anni’50-’60)
a sviluppare, ad approfondire questo risultato e soprattutto questa teoria
Analisi non standard
che Robinson ha creato, ebbene, quello che dicevo, quello che vi posso
Strutture algebriche
dire, è che è una versione dell'analisi f atta come sarebbe piaciuto a
Leibniz, cioè usa gli infinitesimi, usa gli infiniti in una maniera precisa. Gli infinitesimi, soprattutto nel
campo dell'analisi, sono stati rimossi per secoli, praticamente per un bel po' di anni si cercato di non
parlarne, perché erano cose con cui ci si sentiva a disagio, non si capiva bene che cosa potessero essere.
Ebbene la teoria della logica matematica, soprattutto la teoria dei modelli, ha permesso al Robinson di
costruire un'analisi basata su questi concetti e poi il secondo campo di azione di Robinson è stato quello
dello studio delle strutture algebriche, cioè uno studio, attraverso la logica, di ciò che sono le strutture per
l'algebra però, quindi in particolare, ne abbiamo già parlato, ma rivedremo meglio nell'ultima lezione quella
conclusiva della prossima volta, le strutture algebriche introdotte da Burbaki. Ebbene lo studio che
Robinson ne fece fu uno studio da un p.di v. logico, che poi praticamente nel corso dei decenni è andato a
confluire direttamente nella vera e propria matematica. Quindi non ho potuto dire nemmeno uno dei risultati
ormai tra quelli, tanti, che ha dimostrato Robinson, perché ormai queste cose sono troppo tecniche, non sono
più adatte a un corso introduttivo sulla logica matematica come il nostro e anche nel caso del prossimo
personaggio che io conosco tra l’altro personalmente, perché insegna a Cornell, università dove anch’io
insegno parecchio soprattutto d’estate, ebbene questo signore di cui non ho trovato nessuna foto, si chiama
Michel Morley e nel 1963, quella data di cui vi ho già parlato prima, ha dimostrato un famoso teorema di
categoricità. La categoricità, in due parole, è semplicemente lo studio di strutture che sono oppure possono
non essere isomorfe l'una con l'altra. Ebbene Morley ha dimostrato una famosa congettura che aveva a
che fare con questa nozione di categoricità. Come vedete andiamo molto a volo d'uccello soltanto per
Morley (1963)
impratichirci con alcune delle nozioni della logica moderna. Invece il
Categoricità
personaggio forse più importante degli ultimi anni della teoria dei modelli,
nel campo della teoria dei modelli, si chiama Shelah ed è un israeliano e veramente negli anni ‘80, ma anche
negli anni ‘90 praticamente, è stato un po' il re, il personaggio più importante di questa teoria, al punto che
ha sfiorato la vittoria in quella che si chiama la medaglia Fields, che è l’analogo del premio Nobel per la
matematica, perché per la matematica la fondazione Nobel non
assegna il Nobel per motivi che non andremo a toccare
quest'oggi, ebbene però c'è una medaglia che si chiama la
medaglia Fields, di cui parleremo anche a proposito anche di una
altro personaggio verso la fine della lezione, ebbene dicevo questa
medaglia Fields è considerata l'analogo del premio Nobel, il
massimo riconoscimento che viene assegnato ai matematici in
generale, non soltanto i logici. Ebbene Shelah l’ha sfiorata, non
era uscito a ottenerla appunto negli anni ‘80, ma ci è andato molto
vicino e questo dimostra che effettivamente anche i matematici
avevano in qualche modo ormai capito che la teoria dei modelli è la parte, forse, della logica matematica più
vicina al resto della matematica classica. Ciò che Shelah ha fatto, è stato fare grandi teoremi di
classificazione di strutture, cioè queste strutture che servono per modellare la semantica, di cui parla la
teoria dei modelli, ebbene Shelah è riuscito a classificarle in vari modi. Naturalmente le figure che sono qui
sono strutture geometriche che non hanno niente a che vedere con quelle algebriche di cui parla invece la
teoria dei modelli, di cui parla l’algebra, ma ovviamente è più facile fare delle fotografie di strutture
geometriche che non di strutture astratte, ma la cosa importante è sapere questo, che appunto negli anni ‘80,
quindi circa 50 anni dopo il momento in cui Tarski ha iniziato questo studio della semantica, si è arrivati
ormai a dei risultati di classificazione di queste strutture, si sa esattamente quante sono le famiglie di queste
possibili strutture, quali sono esempi di queste strutture e si cerca di fare quello che si fa ormai nel resto
della matematica, cioè i teoremi di classificazione. Questo brevemente quel che è successo dagli inizi, da
Tarski a Shelah nel campo della teoria dei modelli.
2. teoria della dimostrazione
La seconda parte invece, come ho già detto prima, è l'altra faccia
studio della sintassi
della medaglia, cioè se la teoria dei modelli era lo studio della
161
semantica, del significato, lo studio invece della sintassi, dei segni, di ciò che si scrive sulla carta, delle
formule così via, è quello che viene chiamato “la teoria delle dimostrazione”. Dov'è nata questa teoria della
dimostrazione? Ebbene è nata con un personaggio del quale non abbiamo ancora parlato; notate sempre il
1936, questo aspetto numerologico, questo personaggio si chiama Gentzen, è un matematico che è morto
molto giovane purtroppo in campo di concentramento durante la guerra; come vedete i suoi risultati sono
appunto del ‘36, anteriori di poco a lla guerra mondiale, poi Gentzen è morto giovane in un campo di
Gentzen(1936)
concentramento, non ha potuto continuare questa carriera che
Consistenza dell'aritmetica
probabilmente sarebbe stata molto brillante e il problema che
Gentzen ha affrontato è stato il problema della dimostrazione della consistenza dell'aritmetica. Voi direte,
com’è possibile dimostrare la consistenza dell'aritmetica, non era forse quello che diceva il teorema di
Goedel che era impossibile fare? Ebbene certamente la conseguenza del teorema di Goedel dice che
impossibile dimostrare la consistenza dell'aritmetica all'interno dell'aritmetica e questo fa cadere per
l’appunto i sogni su i quali s'era basata forse la logica matematica prima di Goedel, prima del 1931, ma
questo non significa che non sia possibile fare una dimostrazione di consistenza al di fuori dell'aritmetica
della stessa aritmetica, usando altri mezzi che poi ovviamente per forza di cose, grazie o per colpa del
teorema di Goedel dovranno essere più potenti dell'aritmetica. Ebbene la prima dimostrazione di consistenza
dell'aritmetica che è stata data nella storia è proprio quella di Gentzen del 1936 e per coloro che forse hanno
sentito, hanno già orecchiato queste cose, Gentzen usa principio di induzione transfinita; sembrerebbe quasi
strano voler dimostrare la consistenza dell'aritmetica che usa un principio di induzione fino al più piccolo
numero infinito, cioè a omega, usando però un'induzione molto più grande, ma qui insomma ci sono dei
problemi molto sottili, vi posso appunto soltanto dire che certamente si usano induzioni su dei numeri molto
più grandi, però per formule molto più semplici, quindi in qualche modo c'è un aspetto di “trade off” come
si direbbe in inglese, un dare e avere, che permette di dire che questa è una dimostrazione per l’appunto di
consistenza dell'aritmetica dal di fuori, che ci dice qualche cosa di più sull’altimetrica che non sapevamo
prima. Che cosa succede una volta che uno ha dimostrato la consistenza dell'aritmetica? Beh, deve passare
al secondo livello, cioè a quella che viene chiamata, in genere, l'analisi. Vi Ricorderete dalle scorse lezioni,
che abbiamo già parlato di questo fatto, che c'era la “teoria dei numeri interi” che, per l’appunto, si chiama
“aritmetica” e la “teoria dei numeri reali” che invece si chiama “analisi”. Allora, una volta dimostrata la
consistenza dell'aritmetica, il prossimo passo è cercare di dimostrare la consistenza dell'analisi. Qui abbiamo
scherzato ancora una volta , abbiamo messo la targa che Freud, inventore ovviamente di un altro tipo di
analisi, la psicoanalisi, aveva fuori del suo studio a Vienna. Come vedete qui ci sono due nomi, perché
negli anni ‘50-‘60 sono stati questi due signori,
Schutte che era un tedesco e Takeuti che era un giapponese, quasi a voler fare una specie di asse,
continuare l'asse che c'era stato durante la seconda guerra mondiale, ebbene dicevo, sono stati questi due
logici che hanno cercato di dimostrare la consistenza di parti dell'analisi come vedete scritto nella slide.
Come mai soltanto parti? Ma perché si è cercato di estendere i risultati di Gentzen, il teorema di consistenza
dell'aritmetica, cercando di dimostrare nello stesso modo, usando gli stessi mezzi che erano dei mezzi
costruttivi con i quali insomma si lavorava praticamente a mano, la consistenza dell'analisi, cioè della teoria
dei numeri reali. Non si è riusciti come si vede qui nella slide, perché appunto ho scritto consistenza di parti
dell’analisi. Ci sono state delle difficoltà oggettive, però qualcuno, subito dopo, è riuscito effettivamente ad
arrivare a dimostrare la consistenza dell'intera analisi, però, come vedete anche dalla slide, in maniera non
costruttiva e questo signore si chiama già Janin Girard , che negli anni ’80 –‘90 è stato praticamente il
personaggio più importante di questa parte della logica della teoria della dimostrazione. Girard
162
è un francese, molto interessante, molto strano, un personaggio di quelli certamente singolari, è un
personaggio che ogni 4-5 anni inventa una teoria completamente nuova e naturalmente questi logici, tutti
coloro che fanno teoria della dimostrazione, sono lì che gli corrono dietro, cercano di capire questa nuova
teoria, ci mettono in genere mesi, anni, per riuscire a capire quello che lui diceva in certo periodo e nel
momento in cui dicono, ah, finalmente incomincio capire qualche cosa, Girard ha già prodotto un'altra
teoria, altri risultati nuovi e così via, quindi tante Scuole che sono state praticamente iniziate da lui, un vero
piccolo genio effettivamente della logica moderna. Quindi in particolare è Girard che ha identificato il suo
nome con la teoria della dimostrazione degli ultimi anni del secolo, degli anni ‘80-‘90. Girard è riuscito a
dimostrare la consistenza dell'analisi in maniera globale, quindi non soltanto di parti, ma in maniera però
non costruttiva ed ecco che allora il compito della teoria della dimostrazione del XXI, del 2000, degli
anni che seguiranno al 2000 sarà proprio questo, cioè di riuscire a mettere insieme, in qualche modo, le
dimostrazioni costruttive che Schutte e Takeuti hanno dato di parte dell'analisi dal di sotto e la dimostrazione non costruttiva che Girard ha dato dell'intera analisi, quindi dal di sopra. C'è ancora questo gap, questa
forbice, fra questi due tipi di risultati e bisognerà riuscire a colmare il divario. Invece questa logica lineare,
come è indicata qui nella slide, è una di quelle teorie, come ho detto appunto, che Girare inventa a getto
continuo, è un'estensione non soltanto della logica classica, perché quella già ce l’avevamo, ne abbiamo
parlato n el corso della lezione su Brouwer, che aveva inventato la logica intuizionista, ebbene questa
logica lineare è praticamente il passo dopo a quella intuizionista. Si può dire facendo una proporzione,
visto che parliamo di logica matematica, che la logica lineare sta alla logica intuizionista, come la logica
intuizionista sta alla logica classica. E’ un'analisi ancora più sottile, ancora più profonda dei meccanismi
del ragionamento. Questa è più o meno l'avventura della parte della teoria della dimostrazione che è stata
fatta durante questo secolo.
La terza parte, abbiamo detto, del nostro corso, quella che oggi viene chiamata la logica matematica
contemporanea, si chiama invece “teoria della ricorsività”. Questa è qualche cosa di cui più o meno tutti
siamo a conoscenza, in maniera magari inconscia, perché la teoria della ricorsività oggi si può definire
semplicemente dicendo che studia le potenzialità e le limitazioni dei calcolatori. Ora naturalmente all'epoca
quando è nata la teoria della ricorsività i calcolatori non c'erano, ma quando abbiano fatto l'ultima lezione
3. Teoria della ricorsività
su Turing, l'ultima lezione con la quale abbiamo chiuso il nostro
potenzialità e limitazioni
corso, la nostra carrellata sui personaggi, vi ricorderete che
dei calcolatori
Turing nel 1936, tanto per cambiare, sempre lo stesso anno, aveva
inventato la macchina di Turing. Che cosa era la macchina di Turing? Era un tentativo di fare col pensiero,
cercare di catturare col pensiero, costruire un modello, naturalmente un modello astratto, un modello fatto di
carta, di una macchina che fosse in grado di calcolare tutto ciò che è possibile effettivamente calcolare
all'uomo. Ebbene questa macchina di Turing che all'epoca era soltanto un qualche cosa fatto sulla carta, poi
col tempo, negli anni ‘40-‘50 è diventato quello che oggi chiamiamo i computer. Quindi è precisamente il
padre dell'informatica moderna, ma l'informatica moderna, l'informatica teorica, è quello che in logica viene
chiamato appunto teoria della ricorsività e quindi ricorsività è precisamente questo, cioè lo studio delle
potenzialità e delle limitazioni di questa nuova macchina che Turing ha posto sul mercato, nel caso suo delle
idee e poi ovviamente entrata sul mercato anche per l’appunto degli oggetti che si comprano. Allora quali
sono i personaggi che hanno caratterizzato questa teoria della ricorsività? Il personaggio che negli anni ‘40‘50 è stato il dominatore di questa teoria si chiama Stephen Kleene, era un allievo di Goedel, un allievo
Kleene(anni’40-’50)
di Church, quindi uno dei grandi della logica per l’appunto, uno di quei
ricorsività classica
quei personaggi che faceva o parte della ristretta cerchia di logici come
Goedel, Church, Turing e così via, che hanno dato inizio, hanno dato origine a questa nuova avventura di
questa branca della matematica. Ebbene al nome di Kleene è associato praticamente lo studio di quella che
viene chiamata oggi “ricorsività classica”. Che cosa vuol dire classica? Beh, vuol dire calcolare sugli oggetti
più naturali che si possano immaginare, cioè i numeri interi. Ricorderete che l'analisi di Turing era
precisamente questa, ovviamente veniva dopo l'algebra booleana, che era lo studio della calcolabilità, se
così vogliamo dire, sui numeri 0,1. Ebbene Turing ha esteso questo studio, ha dato una definizione di cosa
significa calcolare su numeri interi, ebbene questo studio della calcolabilità sui numeri interi che si chiama
appunto “ricorsività classica” e i teoremi più fondamentali sono stati dimostrati da Kleene. Che cosa
163
succede una volta che si è fatto questo studio sulla ricorsività classica? Beh, ovviamente bisogna guardare
altrove, bisogna guardare ad altre cose e colui che ha fatto queste cose, che ha studiato “la ricorsività
generalizzata” è precisamente questo signore che si chiama Gerald Sacks. E’ un personaggio anche lui
molto singolare, questa è la foto che lui ha messo sulla sua home page, sull’Web ed è una foto che fa vedere
che sta dormendo, in realtà l'impressione, credo, che voglia dare è semplicemente che sta apparentemente
dormendo. E’ uno dei più grandi pensatori, più profondi pensatori
della logica matematica contemporanea e quindi probabilmente è uno
scherzo questo qua che ci sta facendo. Ebbene qui nella slide ho
citato uno dei suoi primi più importanti teoremi, lo citato di nuovo
solo per nome, come nel caso del teorema di Morley sulla
categoricità, non vi posso dire molto su questo, ma che è il teorema
della densità dei gradi cosiddetti ricorsivamente enumerabili, ma è
stato dimostrato, guarda caso, di nuovo nel 1963, quindi questo anno
fatidico esattamente come il 1936, che se notate sono le stesse cifre
però soltanto invertite, ci deve essere qualcosa di miracoloso che ha
fatto sì che questi due anni fossero gli anni effettivamente più
fecondi della logica matematica del secolo. Sempre invece a Sacks si deve lo studio della “ricorsività
generalizzata”, in particolare tanto per capirci, così come Kleene aveva studiato “la ricorsività classica”,
cioè lo studio della calcolabilità dei numeri interi, ecco che Sacks fa lo studio della calcolabilità, sui numeri
reali, quindi l'analogo di ciò che è successo nella teoria della dimostrazione, quando Gentzen dimostra la
consistenza dell'aritmetica, cioè dello studio dei numeri interi e poi Takeuti, Schutte e Girard cercano di
studiare la consistenza dell'analisi, cioè la teoria dei numeri reali. Qui si fa la stessa cosa, però non più dal p.
di v. della consistenza, ma dal p.di v. della possibilità di calcolare con questi oggi. Oggi invece il
personaggio più importante di questa teoria della ricorsività, di questa branca che viene chiamata “teoria dei
gradi”, è questo signore che si chiama Clark Slaman, che è un allievo tra l'altro di Sacks che abbiamo visto
prima. Questa è di nuovo la foto che Slaman ha messo sulla sua home page, vedete che è di fronte a
un'esplosione, un'eruzione di un vulcano e effettivamente credo che l’abbia fatta in maniera metaforica,
perché anche lui con i suoi risultati effettivamente è paragonabile ad
un vulcano, perché precisamente è colui che forse ha dato il maggior
contributo in questi ultimi anni alla teoria della ricorsività. Ed ecco che
arriviamo praticamente alla quarta parte di questa nostra carrellata, che
è la parte relativa alla teoria degli insiemi. Questa è la parte più
classica, diciamo così, della logica matematica. La teoria degli insiemi,
lo sappiamo già, è lo studio degli insiemi. Che cosa sono gli insiemi?
Beh, gli insiemi sono un oggetto matematico, un po' diverso da quelli
soliti dei quali abbiamo parlato anche questo oggi, cioè non i soliti numeri interi o i numeri reali, che sono
qualche cosa di abbastanza concreto, con i quali tutti più o meno abbiamo familiarità fin già dalla scuola,
4. teoria degli insiemi
bensì sono oggetti molto astratti, sono appunto collezioni di oggetti e
studio degli insiemi
in genere nella teoria degli insiemi si fanno collezioni talmente astratte
che non ci sono nemmeno degli elementi dentro, si parte come ricorderete quando abbiamo parlato di Frege,
di Cantor e così via, come ancora ricorderemo nell'ultima lezione conclusiva, si parte praticamente dal
nulla, dall’insieme vuoto che è quello che corrisponde al numero zero e a partire soltanto dall’insieme vuoto
si riescono a costruire insiemi via via più complicati e questo è l'oggetto, diciamo così, questo è l'ambito di
studio della teoria degli insiemi. Perché questi insiemi sono così importanti? Ma perché, quando furono
introdotti per l’appunto da Cantor alla fine dell'800, dal 1870 al 1890, furono studiati proprio perché la
matematica ormai era arrivata a questa necessità, cioè ciò che studiava Cantor, che erano praticamente
funzioni sui numeri reali, avevano bisogno di un uso della teoria degli insiemi, perché queste funzioni si
comportavano in maniera un po' singolare in certi punti e Cantor scoprì che effettivamente era importante
sapere su quanti do questi punti. Ora nel caso di numeri reali è difficile, perché i numeri reali sono tanti,
sono infiniti, non si può soltanto dire su uno, su due, su tre punti, a volte bisogna dire su infiniti punti, ma
bisogna andare anche scavare all'interno di questi infiniti e cercare di fare una gerarchia di infiniti. Il grande
164
risultato di Cantor fu precisamente questo, cioè che riuscì a dimostrare che di infiniti in matematica non c’è
ne uno solo, ma ce ne sono tanti, quanti? Infiniti, però di nuovo appunto poiché ce ne sono tanti,
bisognerebbe essere più precisi. Ora questa teoria degli infiniti è quella da cui poi nacquero tutti i problemi,
cioè i famosi problemi dei paradossi, ricorderete la lezione su Russell, che scoprì il paradosso appunto che
porta il suo nome e che mise in qualche modo in forse la consistenza, anzi in realtà dimostrò l'inconsistenza
della teoria ingenua degli insiemi di Cantor e di Frege. Ebbene la teoria degli insiemi è praticamente qualche
cosa che si era sviluppata indipendentemente dal resto della logica matematica, si può dire che le origine
della logica matematica sono praticamente due nell'800: da una parte la logica algebrica, cioè ciò che
arrivava dalla tradizione di Boole, per cercare di manipolare le proprietà dei connettivi, le proprietà dei
quantificatori attraverso operazioni matematiche, che poi oggi per si chiama algebra booleana e l'altro filone
importante, forse di più ancora di quello dell'algebra booleana fu per appunto quello della teoria degli
insiemi di Cantor e di Frege. Allora non è stupefacente pensare che questa teoria degli insiemi, quest’oggi, è
una delle quattro parti importanti della logica matematica moderna. Chi è stato colui, che da un punto di
vista moderno, ha fatto i risultati più importanti nella teoria degli insiemi? Potete immaginarlo, perché di
nuovo doveva saltar fuori questo suo nome, si chiama come al solito Goedel. Guardate l'anno, non è proprio
Goedel(1938)
quello di prima, cioè il 1936, ma siamo molto vicini, è il 1938. Che cosa
Consistenza dell’ipotesi
fece Goedel? Notate un problema di consistenza anche qui, siamo alle
del continuo
solite, perché ovviamente ad un certo punto stiamo parlando di logica
matematica e quindi i problemi sono sempre quelli. Oggi abbiamo già parlato di consistenza in vari campi,
cioè consistenza della teoria dei numeri interi, cioè l'aritmetica, consistenza dei numeri reali, cioè l'analisi,
ecco che Goedel dimostra o meglio affronta il problema della consistenza dell'ipotesi del continuo. Cosa
significa questo? Anzitutto dobbiamo dire due parole, molto brevemente, su che cos'è la ipotesi del
continuo. L'ipotesi del continuo è molto semplice da dire ed è questo: Cantor dimostrò che i numeri reali
sono infiniti, questo lo sappiamo tutti, non c'è bisogno di Cantor, ma che sono di un infinito maggiore di
quello dei numeri interi, quindi c'è praticamente l'infinito piccolo dei numeri interi e poi c’è l’infinito grande
dei numeri reali; l'ipotesi del continuo è semplicemente la domanda: che cosa c'è in mezzo? E’ possibile
avere un insiemi di numeri reali che sia infinito, ma che abbia un infinito più grande di quello di numeri
interi, ma più piccolo di quello dei numeri reali oppure queste sono le due uniche possibilità, l'infinito dei
numeri interi e l'infinito dei numeri reali, cioè non c'è niente di mezzo? Questa è la famosa ipotesi del
continuo, l'ipotesi del continuo che Cantor cercò disperatamente di dimostrare durante la sua vita, finendo
anche malamente, perché come forse sapete, finì in manicomio addirittura, perché è un problema
difficilissimo, cercò in tutti i modi di trovare questa dimostrazione e alla fine ne andò, insomma, della sua
sanità mentale. Ebbene il problema dell’ipotesi del continuo, tra l'altro come ricorderete da alcune altre
lezioni, era praticamente il primo problema che Hilbert pose nel famoso congresso di Parigi del 1900, cioè
era semplicemente una riformulazione del famoso problema dell'ipotesi del continuo di Cantor, ebbene
questo problema, il primo problema di Hilbert fu risolto in una maniera inaspettata in due parti successive. Il
primo passo è quello appunto a cui stiamo accennando, nel 1938 Goedel dimostrò che l'ipotesi del continuo
è consistente. Cosa significa essere consistenti in questo caso? Significa che non è possibile dimostrare che
è falsa, può anche darsi che lo sia, però non è possibile dimostrarlo, cioè in altre parole ci sono dei mondi,
degli universi matematici, delle strutture come quelle che si studiano in teoria dei modelli per l’appunto,
ebbene ci sono dei mondi matematici in cui l'ipotesi del continuo è vera e quindi non è possibile certamente
refutare, dimostrare che è falsa in assoluto. Però, c'è l'altra faccia della medaglia e l'altra faccia della
medaglia è quella di questo signore, che si chiama appunto Paul
Cohen, che nel 1963, guarda caso, dimostrò che l'ipotesi del continuo
è indipendente. Che cosa significa questo? Ho detto pochi minuti fa
che Goedel ha dimostrato che esistono dei mondi in cui l'ipotesi del
continuo è vera, cioè che effettivamente non c'è nessuna infinito tra
quello dei numeri interi e quello dei numeri reali ; ebbene Cohen ha
dimostrato l’esatto contrario. Non ovviamente la negazione di quello
che ha fatto Goedel, ma ha dimostrato che si sono altri mondi,
ovviamente non quelli di cui parlava Goedel, ci sono altri mondi
165
possibili in cui invece ci sono tanti infiniti, cioè c’è l'infinito dei numeri interi, c'è l'infinito dei numeri
reali e in mezzo ce n'è uno, due, tre, anzi in realtà Cohen ha fatto vedere che se ne possono mettere a
piacere, cioè ci sono mondi in cui succede praticamente di tutto. Questo è cosa vuol dire? Beh, il risultato di
Goedel diceva che non è possibile refutare l'ipotesi del continuo all'interno della teoria degli insiemi, il
risultato di Cohen dice che non è ne meno possibile provarla e allora non è possibile provarla, non è
possibile refutarla, ecco che di fronte a noi abbiamo un esempio di quelle famose proposizioni indecidibili
che Goedel aveva dimostrato esistere in qualunque sistema matematico che avesse un minimo di potenza. Vi
ricorderete la lezione che abbiamo dedicato proprio a questo famoso teorema di Goedel, ebbene però le frasi
di Goedel che non sono né dimostrabili, né refutabili, sono in genere delle frasi costruite ad hoc, sono frasi
che dicono “io non sono dimostrabile all'interno del sistema”, non sono frasi che hanno un interesse
matematico intrinseco, ora nel caso della teoria degli insiemi, ecco che i risultati congiunti di Goedel nel
1938 e di Cohen nel 1963, dimostrano che effettivamente ci sono degli esempi concreti, naturali di queste
proposizioni indecidibili, al punto che addirittura l'ipotesi del continuo, cioè quel problema che Cantor ha
cercato inutilmente di dimostrare prima di rompersi la testa, proprio nel senso letterale e che Hilbert aveva
posto come primo problema nella famosa lista del congresso del 1900, ebbene dicevo, proprio questo
problema è un esempio delle affermazioni goedeliane, cioè di queste affermazioni che non si possono
all’interno della teoria degli insiemi, né dimostrare né refutare. Ho detto prima, quando ho introdotto questa
slide, che Cohen ha dimostrato l'altra faccia della medaglia, era una specie di allusioni sottile al fatto che
Cohen la medaglia Fields riuscì a vincerla, perché con questo risultato del 1963, che risolveva il più
importante problema della lista di Hilbert del congresso di Parigi, la comunità matematica disse che questo
era un risultato di altissimo livello e Cohen è praticamente il logico che è riuscito a prendere la medaglia
Fields facendo questi risultati. Che cosa è successo nella teoria degli insiemi dopo Cohen? Beh, ci sono due
personaggi ai quali accenno brevemente per l’appunto, che sono anzitutto questo signore Solovay, negli anni
‘70. Vedete qui nella scritta do sotto, dei simboli che sembrano quasi esoterici, sulla sx in alto vediamo il
simbolo a otto dell'infinito potenziale, giù in fondo a sx vediamo un omega e che come voi ricorderete,
∞ Solovay
Ω
l’alfa è l’inizio e l’omega è il termine, il fine di cui si parla in teologia,
(anni’70)
ebbene in matematica l'omega viene usata per indicare la fine in questo
Conseguenza di assiomi
caso dei numeri interi, cioè omega è quello che sta oltre i numeri interi
ω dell’infinito
che sono finiti e quindi è quello che si chiama il transfinito. Quindi c’è
l'infinito potenziale, c'è il transfinito e poi c'è in alto a dx della scritta un omegone, un omega maiuscolo
che viene chiamato l'infinito attuale, l'infinito assoluto in qualche modo. Come mai abbiamo messo questi
tre simboli ? Perché i risultati di Solovay, negli anni 70, sono stati precisamente il tentativo di vedere che
cosa succede nella teoria degli insiemi quando si aggiungono ai soliti assiomi di cui si parla regolarmente
nella matematica, gli assiomi che si chiamano appunto assiomi dell'infinito, cioè si chiede via via se
esistono degli infiniti sempre più grandi e quest'ipotesi aggiuntive, che si chiamano appunto assiomi
dell'infinito, hanno delle conseguenze stranamente anche livello molto basso, cioè ci si chiede se esista
qualche cosa di enorme e ci si accorge che l’esistenza di queste cose enormi in realtà poi si ripercuote sulle
cose minime, cioè sui numeri interi. Ebbene questi risultati sono risultati che hanno fatto sì che Solovay
venisse considerato come uno dei più grandi insiemisti, si chiamano così nel gergo, quel periodo. L'ultimo
insiemista invece di cui parliamo si chiama Woodin ed è un signore che ancora oggi direi molto giovane, fra
i 40 e 50 anni. Anche lui è stato uno di quelli che hanno sfiorato la medaglia
Fiele; il motivo per cui poi non ha presa, probabilmente è proprio questo,
perché i n realtà è già stata data alla logica un'altra medaglia Fields per i
risultati di Cohen e quindi forse darne una seconda, sempre nello stesso
campo, forse veniva considerato un qualcosa di troppo. Che cosa ha fatto
invece Woodin? Vi ricorderete Solovay ha cercato di dimostrare le
conseguenze degli assiomi dell'infinito, cioè l’aggiungere assiomi che
riguardano questi numeri molto grandi. Ebbene Woodin ha fatto una
cosa analoga, ha cercato di analizzare quali sono le conseguenze, ma di un
altro tipo di assiomi, che è diventato di moda negli anni ’90 e che si
chiama “assioma di determinatezza”. E’ un po' difficile dire che cosa
166
significa assioma di determinatezza, ma la scacchiera che ci sta sotto cerca di dirlo in maniera metaforica,
cioè la scacchiera, per esempio in questo caso la scacchiera sono gli scacchi , vedete qui che ci sono i
personaggi, le pedine, i testi degli scacchi, ebbene nel caso degli scacchi il gioco è determinato, come si dice
in gergo matematico, cioè si può dimostrare, da un p. di v. matematico, che esiste o una strategia vincente
per il nero o una strategia vincente per il bianco o una strategia che permette, a tutti e due di pareggiare. Il
che non significa dire la cosa più ovvia di tutto, cioè se si è giocato a scacchi o uno vince o uno perde o si
pareggia, non vuol dire questo, vuol dire che è possibile, c'è, esiste, ma non sappiamo quale di queste tre
possibilità esista, un modo che se il nero segue vince sempre oppure un modo che se il bianco segue vince
sempre oppure un modo che tutti e due i giocatori possono seguire per arrivare sempre alla patta. Il motivo
per cui oggi non si sa, quale di queste tre alternative sia quella vera, è che ovviamente la dimostrazione è del
tipo non costruttivo, dice che c’è una di queste possibilità, ma non dimostra quale sia. Ebbene, comunque
aggiungere alla teoria degli insiemi assiomi, che vengono appunto chiamati “assiomi di determinatezza”,
significa fare l’ipotesi che per giochi molto più complicati degli scacchi, molto più complicati nel senso che
le partite degli scacchi durano sempre un numero finito di mosse soltanto, ma anche per giochi matematici
che possono durare all'infinito, ebbene gli assiomi di determinatezza dicono che anche per quei giochi lì
che possono durare all'infinito, succede una cosa come nel caso degli scacchi, cioè uno dei due giocatori
deve avere una strategia vincente. Ebbene questo sembrerebbe avere poco a che fare con la teoria degli
insiemi e infatti per molti anni questi assiomi di determinatezza venivano studiati isolatamente da coloro che
facevano teoria dei giochi. Poi si è scoperto e soprattutto grazie ai di lavori di Woodin negli anni ‘90, che
questi assiomi di determinatezza si possono riformulare in termini insiemistici, sono molto legati agli
assiomi dell'infinito ai quali abbiamo accennato prima, parlando di Cohen e quindi questi sono i grandi
risultati che appunto hanno portato all'ultima parte, di cui abbiamo parlato, di questa logica matematica.
Bene siamo arrivati alla fine di queste lezioni, come vi ho detto, la prossima volta invece parleremo degli
influssi, da un punto di vista fondazionale della logica e allora per concludere questa carrellata di personaggi
ai quali abbiamo dedicato o una lezione intera o una recente oppure come nel caso di oggi una specie di volo
d'uccello, abbiamo fatto una foto di gruppo, semplicemente facendovi vedere come il termine logica è un
acronimo che si riferisce ad alcuni dei personaggi di cui abbiamo trattato,cioè la L a Leibniz, la O a Ocram,
la G a Godel, la I non sapevamo a chi metterla, è il milite ignoto in qualche modo, il logico ignoto che
abbiamo indicato con un punto interrogativo e la C a Crisippo e la A ad Aristotele. Quindi con questo
terminiamo la nostra carrellata di personaggi, vi do ancora appuntamento alla prossima volta, per l'ultima
lezione sui fondamenti della matematica. Vi ricordo, comunque come sempre, di ritornare al sito internet del
Nettuno e di rivedere le slide di questa lezione anche per capire meglio, anche perché quest’oggi abbiamo
cercato di fare questo volo d'uccello, siamo andati molto velocemente, quindi alla prossima lezione.
LEZIONE 20: Un secolo di fondamenti
Benvenuti allora all'ultima lezione del nostro corso; in realtà
l'argomento l'abbiamo concluso la scorsa volta, abbiamo
visto una carrellata degli ultimi risultati degli ultimi
personaggi della logica matematica, ma quest’oggi vogliamo
finire, non so se in bellezza, ma certamente parlando di un
aspetto della logica matematica che non abbiamo toccato o
perlomeno al quale abbiamo accennato più volte nel corso del
nostro corso, ma che non abbiamo sviscerato in qualche
modo ed è l'aspetto della logica matematica come
“fondamento della matematica”. Vi ricorderete la prima volta
che abbiamo parlato di logica matematica, abbiamo detto che
la logica era la scienza del ragionamento, ma la logica matematica era la scienza del ragionamento
matematico e uno degli aspetti del ragionamento matematica è proprio questo che costituisce una
fondazione dell'intero edificio e allora la logica, nel corso dei secoli e soprattutto nel corso del ‘900, ma già
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prima al tempo dei greci, come presto vedremo, è stata il tentativo, ovvero ci sono stati parecchi tentativi di
cui questo uno, di fondare la matematica su basi certe, su basi che fossero anche oltre che certe complete.
Ebbene quindi finiamo allora questo nostro corso parlando di questo aspetto e poi ci saluteremo. Allora
questo secolo di fondamenti naturalmente sarà introdotto, come abbiamo fatto spesso, guardando
all’indietro, cioè cercando di andare a vedere quali sono stati anzitutto i fondamenti classici della
matematica. Ce ne sono stati parecchi, ma qui accenneremo brevemente ad alcuni personaggi di cui
abbiamo già parlato, cioè Pitagora, Euclide, e Dedekind, quindi una breve carrellata di 2000 anni di storia.
Fondamenti classici
A Pitagora, ricorderete, abbiamo dedicato un'intera lezione e i
¾ Pitagora (Aritmetica)
fondamenti della matematica secondo Pitagora erano in realtà
l'aritmetica, cioè i numeri interi. Il famoso motto di Pitagora
¾ Euclide (Geometria)
¾ Cartesio (Analisi)
“tutto è numero” voleva dire precisamente proprio questo, cioè
¾ Dedekind(Aritmetica)
il fatto che l'intera matematica si poteva ridurre in essenza al
concetto di numero, tutto il resto veniva derivato. Che cosa successe ai tempi di Pitagora lo sappiamo, lo
abbiamo ricordato in quella lezione dedicata a lui, cioè successe ad un certo punto che Pitagora scoprì il suo
famoso paradosso, cioè questa scoperta degli irrazionali, il fatto che ci fossero delle quantità geometriche, in
questo caso in particolare la diagonale di un quadrato, che non erano commensurabili con altre quantità
geometriche, in questo caso in particolare il lato del quadrato, cioè due grandezze così semplici, così
naturali, come il lato e la diagonale del quadrato non potevano essere espresse attraverso numeri interi
usando una stessa unità di misura. Ed ecco che questo provocò una crisi proprio dei fondamenti, cioè la vera
crisi pitagorica fu una crisi di fondamenti, cioè capire che l'aritmetica non poteva essere sufficiente come
fondamento della matematica. Questo ovviamente generò una contro crisi, si guardò esattamente al
contrario e Euclide nel terzo secolo avanti Cristo costruì questo suo monumento che durò per più di 2000
anni, cioè gli "elementi di matematica", gli elementi di Euclide in 13 libri e l'idea di Euclide fu di ribaltare
la costruzione, cioè se Pitagora aveva cercato di fondare la matematica sui numeri interi e quindi
sull’aritmetica e non era riuscito, per la crisi degli irrazionali, ebbene Euclide cercava di fare il contrario,
cioè di fondare l'intera matematica sulla geometria. Cosa ci sta a fare però l’aritmetica? Naturalmente
fondare la matematica non significa buttare via dei pezzi, cioè l'aritmetica doveva rimanere come parte della
Euclide
matematica, però non doveva essere più la parte fondamentale. Ridurre
(secolo III a. C.)
l'aritmetica alla geometria era qualche cosa che ancora oggi noi facciamo;
Geometria
per esempio pensate all’idea di sommare due numeri usando però due
rappresentazioni geometriche, quindi mettendo uno dietro l'altro due segmenti e misurando quindi i numeri
attraverso due segmenti . Per il prodotto dei numeri per esempio, anche qui si prendono i due segmenti che
ancora corrispondono ai due numeri e poi si considera un rettangolo che abbia come lati quei due
segmenti,cioè si considera l'area del rettangolo. L'area del rettangolo è appunto la figura, diciamo così, il
concetto geometrico che corrisponde al prodotto di due numeri. Se ci fosse il prodotto di tre numeri, si
dovrebbe fare una figura che praticamente è un parallelepipedo e il volume del parallelepipedo
corrisponderebbe a tre numeri e così via. Ed ecco che su questa base, naturalmente questi sono soltanto gli
inizi di questa fondazione, su questa base Euclide riuscì praticamente a ridurre l'intera matematica alla
geometria. Se voi leggete gli elementi di Euclide, si parla solo di geometria, però alcuni libri sono
effettivamente dedicati ai numeri primi, ai numeri interi e così via, quindi alle solite costruzione aritmetiche,
però viste sotto l'ottica geometrica. Questa fu la seconda fondazione che andò avanti a lungo e non ci fu una
crisi immediata di questa fondazione e nemmeno al momento di Cartesio nel secolo diciassettesimo, il 1637;
in particolare quando Cartesio scrisse "il discorso di un metodo " non c’era un problema, una questione di
fondamenti, non c'era tanto una crisi, non c'era bisogno di sostituire la geometria con qualche cos’altro, non
Cartesio
c'era bisogno, ma si poteva fare e l'idea geniale di Cartesio fu appunto di introdurre
(secolo XVII)
quella che noi oggi chiamiamo la “geometria cartesiana”. Quindi vedete è ancora
Analisi
la geometria che è al centro dell'attenzione, però la geometria cartesiana è una
geometria molto diversa da quella Euclide, mentre nella geometria euclidea, gli enti geometrici sono
rappresentati fine a se stessi, in qualche modo si studiano i triangoli, si studiano i cerchi eccetera, perché li si
vuole studiare in quel modo lì, ebbene nella geometria cartesiana si continua a studiare questi enti però in
168
maniera indiretta. L'idea geniale, fondamentale di Cartesio fu quella di associare agli enti geometrici delle
quantità numeriche, ovviamente non delle quantità intere, questo lo si sapeva già appunto dalla crisi
pitagorica che gli interi non erano sufficienti, quello che Cartesio fece fu di associare, per esempio ai punti,
le coordinate cartesiane che si rappresentano con numeri reali. Allora la geometria fu fondata questa volta,
perlomeno si poté ricostruire la geometria sulla base dell'analisi dei numeri reali. Abbiamo parlato
abbastanza lungo di questo problema, quando abbiamo dedicato una lezione a Hilbert, perché poi di lì
nacque un altro tipo di crisi dei fondamenti, che portò poi ai risultati dei teoremi di Goedel e così via, però
ora ci stiamo interessando soltanto ai fondamenti della matematica e questo di Hilbert era un modo di
sostituire la geometria euclidea praticamente con la teoria dei numeri reali. Poi finalmente in qualche modo
il cerchio si chiude con Dedekind, nel secolo diciannovesimo, che riesce a ricostruire l'intera fondazione di
nuovo ritornando all'aritmetica. Con l’aritmetica ovviamente c’era il problema di Pitagora, non è che si
Dedekind
fosse risolto, gli irrazionali rimanevano e allora scoperta di Dedekind
(secolo XIX)
fu un qualche cosa che metteva insieme da una parte i numeri interi,
cioè l’aritmetica e dall'altra parte la teoria dell'infinito. L’idea oggi è
Aritmetica
talmente naturale che sembra quasi strano che ci sia voluto qualcuno che la introducesse, in realtà l'idea è
semplicemente la seguente: un numero reale, per esempio radice di due, che sia irrazionale, che quindi non
si possa esprimere come rapporto diretto di due numeri interi, si può ciò nonostante esprimere mediante una
successione infinita di interi, che è semplicemente il suo sviluppo decimale. Una successione infinita di
numeri, compresi fa zero e nove, ripetuti infinite volte ed ecco che allora la teoria dell'infinito più
l'aritmetica, permettono appunto di chiudere questo cerchio e di ritornare all'aritmetica come fondamento
della matematica.
Ed eccolo qua il triangolo, quindi siamo partiti dall’aritmetica con Pitagora, poi abbiamo visto la crisi dei
fondamenti, la matematica viene fondata da Euclide sulla geometria, Cartesio scopre che la geometria si
può fondare su un'analisi e poi finalmente Dedekind scopre
che anche l'analisi si poteva fondare sull'aritmetica, mancava a
Pitagora un ingrediente essenziale che era appunto quello che
mancava poi in realtà non soltanto a lui, ma a tutti i greci,
la cioè capacità di considerare l'infinito come qualche cosa
di attuale, come qualche cosa di esistente; fino a quando si
considerava all'infinito come qualche cosa di potenziale, non
era possibile prendere l'aritmetica a fondamento, ma dal
momento in cui invece,si permette la considerazione
dell'infinito, ecco che successioni infinite di numeri interi
permettono di rappresentare anche i numeri reali e dunque i
punti della geometria e in quel modo lì tutta l'intera matematica. Questo è a grandi linee ovviamente, a
grandissime linee, a volo d'uccello, il percorso dei fondamenti della matematica praticamente dagli inizi
della matematica greca, dal sesto secolo a. C., fino alla fine circa dell'800, con il lavoro di Dedekind del
1888. A questo punto che cosa succede? Ci fu veramente una crisi, la crisi veramente dei fondamenti.
Quella che viene identificata come crisi dei fondamenti nella storia della logica, nella storia della
matematica avvenne alla fine dell'800, anzi in realtà agli inizi del ‘900 con quel famoso paradosso di Russell
di cui abbiamo parlato più volte, a cui abbiamo dedicato un intera azione, ma poi l’abbiamo citato anche
quando abbiamo parlato di Frege e così via. E allora cosa successe? Successe di nuovo che ci fu il bisogno
di fare quello che era successo ai tempi di Pitagora, cioè di ricostruire le fondamenta di questo edificio della
matematica in modo tale da permettere di rifondarlo, in modo da dare appunto una fondazione solida
all'intero edificio e nel ‘900 in realtà ci furono parecchi tentativi e di questi appunto voglio accennare in
questa lezione. I fondamenti moderni, che più o meno corrispondono a un cambiamento di moda, un
cambiamento di interessi ogni vent'anni nel secolo. Verso gli anni ’20 ci fu questo tentativo di fondare la
matematica sulla “nozione di insieme” e sulla“relazione di appartenenza”.
Ovviamente questo è un tentativo che viene da lontano,che risale già a Frege, 1879, ebbene anche di questo
parleremo brevemente, l'idea comunque fu la nozione centrale di insieme. Negli anni ‘40 si propose invece
questa nuova nozione di “struttura”, cioè “insieme con operazioni”. Negli anni “60 si passò a considerare
169
Fondamenti moderni
1. Anni’20: nozione di insieme/relazione di appartenenza
2. Anni ’40: insieme con operazioni o struttura/relazione di appartenenza
3.Anni’60: nozione di funzione/relazione di composizione
4. Anni’80: nozione di funzione/applicazione di una funzione ad un argomento
“non più la nozione di insieme”, ma la “nozione di funzione” e “non più la relazione di appartenenza”,
bensì quella di “composizione” e negli anni ‘80, “sempre la nozione di funzione” e una nuova relazione che
“non è quella di composizione”, ma quella di “applicazione di una funzione ad un argomento”.
Naturalmente non pretendete, nemmeno io pretendo di avervi insegnato in una slide quali sono stati i
fondamenti e adesso andiamo a vedere uno per uno quali sono stati i concetti essenziali di queste quattro
fondazioni della matematica degli anni ’80, di cui finora ho detto soltanto i nomi e poi concluderemo il
nostro sguardo su come la logica è stata applicata in queste cose. Ebbene cominciamo allora dalla prima
fondazione degli anni ’20, la cosiddetta teoria degli insiemi. Notate che benché ci sono state altre tre
fondazioni in successione, in realtà la teoria degli insiemi è ancora oggi considerata dai matematici come un
fondamento sufficientemente adeguato per l'intera matematica. Oggi non ci sono più questi grandi sogni che
c'erano una volta, quella di avere un fondamento unico, un fondamento completo per l'intera matematica,
come mai? Perché ormai dopo un corso di logica matematica, dopo 20 lezioni certamente lo saprete anche
voi, perché c'è stato Goedel, ci sono stati i suoi teoremi, si è capito che la matematica è inerentemente
incompleta, non ci può essere un unico fondamento, perché nessun fondamento è sufficiente e quindi
nessuna area della matematica può essere sufficiente a fondare su di sé l'intero edificio. Quindi questo è il
motivo per cui oggi forse si sente di meno il bisogno, dal 1931 in avanti, di fondare la matematica su un
unico argomento; però in realtà i matematici, diciamo così, i lavoratori matematici, coloro che fanno la
matematica effettivamente, gli analisti, i geometri, coloro che studiano la teoria dei numeri eccetera, si
accontentano diciamo così della fondazione insiemistica. Quindi questa è rimasta un pochettino la
soluzione, anche se questa, come tutte le altre soluzioni, sono appunto soggiacenti alle limitazioni del
teorema di Goedel, cioè il fatto che nessuna fondazione è completa. Dov'è nata questa teoria degli insiemi?
Lo abbiamo detto poc'anzi, in realtà è nata verso la fine dell'800 in due maniere abbastanza differenti, una
maniera che è quella logica di cui abbiamo parlato in un'intera lezione dedicata Frege e l'altra maniera
invece una maniera più matematica, cioè Cantor, che è arrivato a questa fondazione della teoria degli
insiemi per motivi completamente differenti; non era interessato né particolarmente a problemi logici, né a
1. Insiemi
problemi fondazionali, era interessato all’analisi, solo che le cose che lui studiava, che
Cantor-Frege
si chiamavano in analisi serie, erano molto complicate, si trattava di andare a vedere
quando queste serie convergevano oppure no, quali erano i punti di convergenza e così
(fine ottocento)
via via Cantor fu condotto a considerare degli insiemi sempre più complicati dei punti di convergenza e alla
fine capì che si stava in qualche modo allontanando un pochettino dalla matematica, andava a mettersi in
campi che erano un pochettino le sabbie mobili, campi perigliosi e allora cera il bisogno per lui, come
matematico, di costruire una teoria solida con cui potesse lavorare nell'analisi. Fu proprio per questo motivo
che Cantor incominciò a costruire la teoria degli insiemi, in maniera indipendente da Frege che invece aveva
i suoi bisogni logici e le sue caratteristiche erano differenti. Però la teoria che sia Cantor che Frege
produssero fu più o meno lo stesso genere di teorie ed era basata, fondata su due assiomi che noi già
conosciamo. Adesso li ripetiamo brevemente, anche perché c'è un motivo, questo oggi li rivedremo in un
altra luce, in un'altra forma, quando parleremo della quarta fondazione, cioè del calcolo lamda.
¾ Estensionalità
Vi ricordo brevemente i due assiomi sui quali Frege e Cantor
due insiemi sono uguali
fondavano la loro teoria intuitiva degli insiemi. Il primo assioma
se hanno gli stessi elementi
era il cosiddetto “assioma di estensionalità”, cioè il fatto che due
insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi, cioè il fatto che due insiemi non si possono distinguere uno
dall'altro se non per le cose che ci stanno dentro, cioè gli elementi, ebbene due insiemi indistinguibili l'uno
dall'altra, cioè che hanno gli stessi elementi devono essere lo stesso oggetto, devono essere lo stesso
insieme. Questo “principio di estensionalità” è per l’appunto una forma, una versione del famoso “principio
di identità degli indiscernibili”, un parolone dovuto a Leibniz, cioè l'identità degli indiscernibili vuol dire
170
proprio questo, cioè due cose che non si possono discernere, che non si possono separare l'una dall'altra
attraverso proprietà caratteristiche, devono essere identiche e devono essere la stessa cosa. Quindi il
principio di estensionalità è qualche cosa di lapalissiano, bisogna certamente accettarla. Il secondo principio
è diverso ed è quello precisamente su cui Frege fondò la sua teoria degli insiemi, si chiama “principio di
comprensione”. E’ un modo di legare da una parte la logica, cioè le proprietà e dall'altra parte la
matematica, cioè gli insiemi.
¾ Comprensione
Il principio di comprensione dice semplicemente che “ogni proprietà
ogni proprietà di insiemi
di insiemi determina un insieme”, cioè ogni volta che noi vogliamo
determina un insieme
costruire un insieme, basta che diciamo qual’è la proprietà che determina
i suoi elementi, ebbene una volta determinata la proprietà, viene automaticamente determinato l’insieme,
che per il principio di estensionalità dovrà essere unico, quindi ciascuna proprietà determina uno e un solo
insieme. Su questa fondazione Frege pensava di essere riuscito a fondare l'intera matematica. Che cosa
successe lo sappiamo, perché su questo abbiamo parlato a lungo; successe che nel 1902 arrivò Beltrand
Russell che produsse il suo famoso paradosso, il paradosso di Russel1 che dimostrò che alcuni concetti
riferiti alla teoria degli insiemi, in particolare il concetto di “insieme di tutti gli insiemi” oppure il concetto
di “insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi ” erano concetti fastidiosi, perché in particolare
Paradosso di Russell (1902)
quest'ultimo erano contraddittori. Non vi ripeto per l’ennesima
L’insieme degli insiemi
volta la dimostrazione o per lo meno l’accenno del fatto che
non appartengono a se stessi
“l'insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi non può
è contraddittorio
né appartenere, né non appartenere a se stesso”, è la stessa cosa del
paradosso del mentitore, della frase di Goedel e così via, sono questi i circoli viziosi che comunque nel 1902
provocarono questa crisi dei fondamenti. Che cosa successe? Questo l’abbiamo già visto una volta, oggi
stiamo soltanto ripetendo, perlomeno in questo momento, cose che abbiamo già visto, ebbene la soluzione
che i matematici accettarono, notate non la soluzione che diede Russell con la sua teoria dei tipi logici e così
via, non quella che diede Frege, che in realtà non riuscì all'epoca a dare una soluzione, ma quella che oggi
viene comunemente accettata è la cosiddetta “teoria assiomatica degli insiemi” che fu proposta da questi due
signori: Zermelo nel 1904, diede la prima lista di assiomi per la teoria degli insiemi, qualche cosa rimase
fuori di importante, fu aggiunto da Fraenkel nel 1921, naturalmente anche vari altri contribuirono a questa
Soluzione
lista e oggi c'è una lista di assiomi che si chiama teoria
Zermelo (1904)
Fraenkel(1921)
degli insiemi di Zermelo e Fraenkel che prende il nome
assiomi
da questi due signori. Notate, attenzione, perché il teorema
di Goedel dice precisamente che ha lista degli assiomi di Zermelo e Fraenkel non è completa, ci sono
moltissime proprietà degli insiemi che sono vere e che non si possono dedurre da questa lista di assiomi;
però abbiamo oggi dopo Goedel che questo non è un problema della lista di Zermelo e Fraenkel, ma è un
problema della matematica in generale. Qualunque altra lista anche più lunga, anche diversa, certamente
avrebbe lo stesso problema, perché il teorema di Goedel è un teorema universale, che dice appunto che ci
sono queste limitazioni in generale. Però gli assiomi di Zermelo e Fraenkel sono quelli che i matematici
hanno scoperto essere sufficienti per le cose che fanno o perlomeno che facevano fino ad un certo punto;
quindi questo è il motivo per cui oggi si continua più o meno a tenere la lista degli assiomi di Zermelo e
Fraenkel, perchè sono sufficienti per la maggior parte, perlomeno per una buona parte della matematica
moderna, una parte quindi non significa Ovviamente ci sono delle parti della matematica in cui questo
approccio, sia l'approccio insiemistico, che la lista particolare degli assiomi di Zermelo e Fraenkel non sono
sufficienti e questo è il motivo per cui ci sono altre fondazioni della matematica. In particolare vorrei parlare
della seconda fondazione, degli anni ’40, alla quale invece non abbiamo mai accennato e quindi è bene che
oggi ne parliamo in maniera un po’ più diffusa. La seconda fondazione è quella che si chiama delle
“strutture”, cioè invece di basare la matematica su insiemi soltanto, su insiemi che in qualche modo solo
collezione di oggetti, ebbene viene basata la matematica sulla nozione di struttura. La struttura è
semplicemente un insieme con operazione o meglio con una o più operazioni, in altre parole si considera la
nozione di insieme non sufficiente a caratterizzare quello che è l'essenza dell'oggetto matematico,
soprattutto della matematica moderna e si è pensato, verso gli anni ’40, che fosse necessario considerare
insiemi in qualche modo vestiti, non nudi, così si dice nel gergo matematico, cioè non semplicemente
171
insiemi senza nessun’altra proprietà, ma insiemi che hanno in più delle operazioni e adesso faremo subito
degli esempi. Prima volevo dirvi chi è che ha introdotto praticamente quello che ha reso famosa questa
seconda fondazione, ebbene questo personaggio è Bourbaki, che ha cominciato dal 1939, ispirandosi
ovviamente ad Euclide, a scrivere una grandissima opera, grande proprio nel senso di fisico, tantissimi
volumi, 39 volumi finora, quella che si chiama “gli elementi di matematica”. Vedete che, anche nel titolo,
c'è un tentativo di rimpiazzare l'opera di Euclide, come fondazione. Gli elementi di matematica di Bourbaki
incominciarono nel ‘39 e come vi ho detto ci furono, guarda caso 39 volumi e poi fu sospesa semplicemente
per esaurimento dei suoi autori, dico dei suoi autori e non del suo autore, perché questo Bourbaki è
semplicemente uno pseudonimo, in realtà Bourbaki è il nome di un generale di Napoleone Bonaparte, che
ad un certo punto si sparò perché non riuscì a farsi obbedire dai suoi commilitoni. Questo sembra un modo
un po' strano per essere un matematico, infatti Bourbaki non era affatto un matematico, è semplicemente lo
pseudonimo che alcuni studenti all'epoca, il ‘39, che poi naturalmente divennero grandi matematici, presero
come loro pseudonimo, come gruppo di ricerca. Uno di questi studenti è questo signore che vedete nella
slide, molto noto, forse uno dei più grandi matematici della metà del secolo, che si chiama Andrè Weil;
qualcuno di voi forse conosce la sorella che si chiama Simone Weil, una filosofa, molto nota, religiosa, che
poi alla fine morì molto giovane e della quale sono pubblicati moltissimi libri. Andrè Weil è meno noto
ovviamente al grande pubblico, perché le sue opere che sono opere certamente molto più profonde di quelle
della sorella, sono in realtà molto complicate, molto difficili, di
altissima matematica, la matematica moderna e quindi però volevo
almeno farvi vedere un membro della famiglia Weil e soprattutto un
membro della famiglia Bourbaki. Dicevo che le strutture sono non
insiemi nudi, ma insiemi rivestiti, cioè insiemi con più operazioni.
Facciamo degli esempio per rendere un pochettino più chiara questa
nozione. Prendiamo ad esempio l’insieme dei numeri reali, che come
abbiamo visto ad un certo punto, da Cartesio in avanti potevano essere
considerati come la fondazione della matematica. Ora coi numeri reali
si possono fare tante cose, per esempio si possono fare delle somme, somme che ancora appartengono
all’insieme dei numeri reali, allora l’insieme dei numeri reali con l’operazione somma sono un esempio di
Esempi
una struttura che Bourbaki chiama monoide, però naturalmente
numeri reali con
oltre alla somma si possono fare anche differenze, cioè sottrarre
due numeri, differenze che ancora appartengono all’insieme dei
Somma: monoide
Differenza: gruppo
numeri reali ed ecco che l’insieme dei numeri reali con le
Prodotto: anello
operazioni di somma e differenza sono un esempio di quello che
Quoziente: campo
viene chiamato un gruppo e la struttura di gruppo è una delle
Radici di polinomi: campo alg. chiuso parti essenziali di quella che oggi è l'algebra moderna, ma
naturalmente con i numeri reali si può fare di più, per esempio si può fare il prodotto. Allora un gruppo in
cui si possono fare somme e differenze, ma che insieme alla somma e differenza permette anche di fare dei
prodotti, prodotti che ancora appartengono all’insieme dei numeri reali, ma che inoltre tra di loro si
comportano come si dovrebbero comportare, per esempio che sono associative, distributive e così via, cioè
che hanno le solite proprietà della somma e del prodotto quando li si usa sui numeri interi e sui reali, si
chiama un anello. Esattamente come prima, quando si faceva la somma e poi si diceva che si poteva anche
fare cioè la differenza, cioè l’inverso della somma, anche nel caso del prodotto si può fare l'inverso del
prodotto, cioè il quoziente e allora un anello in cui si possono fare quozienti, con quozienti che ancora
appartengono all’insieme dei numeri reali, si chiama campo. Naturalmente questa non è la fine della storia,
su campi si possono per esempio fare delle radici, radici che ancora appartengono all’insieme dei numeri
reali, inoltre si può andare a cercare le radici di polinomi ed ecco che un campo che abbia le radici di tutti i
polinomi, in cui i coefficienti di questi polinomi sono scelti in questo campo si chiama campo
algebricamente chiuso. Vedete che lo stesso esempio dell’insieme dei numeri reali, lo stesso insieme in
realtà può essere visto da molti p.di v. diversi a seconda che si consideri solo la somma, la somma con la
differenza, la somma e la differenza con il prodotto, la somma, la differenza e il prodotto con il quoziente
oppure tutte queste operazioni insieme più le radici di polinomi e così via, l'insieme è sempre lo stesso, però
172
questi sono p.di v. differenti ed ecco perché è utile considerare delle strutture, perché mentre l’insieme non
cambia, possono cambiare però altre cose che sono altrettanto importante. Questa è l'idea fondamentale.
Quanti tipi di strutture sono stati proposti da Bourbaki? Beh, tantissime, però in generale le tre famiglie più
importanti sono le seguenti: le famiglie cosiddette pure e poi ci sono varie combinazioni.
Tipi di strutture
La prima famiglia è quella che abbiamo identificato poco tempo fa, cioè la
(pure e miste)
famiglia delle cosiddette strutture algebriche, cioè gruppi, insiemi di
¾ algebriche
elementi sui quali si possono fare le solite operazioni, somma, prodotto e le
loro inverse e così via. Ci sono poi strutture d'ordine, per esempio sempre
¾ d'ordine
l’insieme dei numeri reali, ora dimentichiamoci della somma, del prodotto
¾ topologiche
e così via, ora i numeri reali si possono per esempio confrontare fra di loro, cioè presi due numeri, ad
esempio П ed е oppure П e radice di 2, si può andare a vedere qual’è più piccolo, qual’è più grande; questo
qual'è più piccolo e quale più grande è una relazione che si chiama “relazione d'ordine” ed ecco allora che
ci sono vari tipi di strutture d'ordine, in cui la cosa importante non è fare delle operazioni sopra, bensì
guardare delle relazioni e poi ci sono strutture topologiche, sempre l’insieme dei numeri reali; per esempio i
numeri reali hanno la possibilità di essere usati in analisi, per fare i limiti per esempio, la cosa interessante è
guardare cosa succede nei dintorni dei numeri reali, non tanto confrontarne fra di loro due oppure sommare
o moltiplicare o dividere o sottrarre due numeri ed ecco che allora, quando si guarda ai dintorni dei numeri
reali, si ha una struttura che si chiama struttura topologica. Allora ci sono tre tipi quindi di strutture pure:
le strutture algebriche, le strutture d'ordine, le strutture topologiche, ma naturalmente si può guardare ad
una struttura algebrica, per esempio un gruppo, che abbia anche una relazione d'ordine e così via, quindi si
considerano strutture miste. Questo è quello che effettivamente si fa spesso in certe parti della matematica,
soprattutto l'algebra, la geometria, la geometria algebrica e così via. Ed è per questo che in questi particolari
campi soprattutto, la fondazione della matematica che oggi viene preferita, non è tanto la teoria degli
insiemi, che viene considerata un po' poverella e poi soprattutto che si basa su nozioni come gli assiomi che
non interessano molto i matematici, ma è più che altro questo tipo di fondazione, cioè la fondazione
strutturale, perché è proprio quella che isola, enuclea in qualche modo le proprietà essenziali che interessano
agli algebrici che studiano strutture di questo genere. Ebbene questo è il secondo tipo di fondazioni.
C’è un terzo tipo di fondazioni, che prosegue in questo processo di successiva astrazione, siamo partiti degli
insiemi, poi abbiamo aggiunto agli insiemi delle operazioni, il terzo passo è la cosiddetta fondazione delle
3. Categorie
categorie, che cominciò ad essere di moda verso gli anni ’50-‘60.
Insiemi
strutture
Che cos'è una categoria? Per fare l'esempio di una categoria
----------= ----------possiamo fare questa proporzione: gli insiemi stanno alle funzioni
funzioni
morfismi
come le strutture ai morfismi, cioè insiemi che si possono collegare
x+y
x
y
= 2 ·2
fra di loro attraverso le funzioni, sono un analogo di quello che
2
succede quando si considerano le strutture e le si collega non più soltanto con funzioni che sono cose che
mandano un elemento in un elemento, bensì con cose che chiamiamo in matematica morfismi, cioè i
morfismi sono funzioni che preservano la struttura. Ed ecco che allora le nozioni fondamentali della
matematica che nel caso insiemistico erano semplicemente insiemi , cioè collezioni di oggetti e funzioni,
cioè modi di mettere in relazione tra di loro queste collezioni, nel caso delle strutture diventano cose un po'
più complicate, perché non ci sono solo più insiemi, ma si sono insiemi con operazioni e allora non ci
saranno più soltanto funzioni che collegano degli insiemi, ma ci saranno funzioni che preservano delle
strutture. Vi faccio un esempio qui: 2 elevato ad x per 2 elevato ad y, sapete tutti che quando si fa la
moltiplicazione con una stessa base gli esponenti si sommano e 2 elevato ad x per 2 elevato ad y diventa 2
elevato ad x+y. Guardate che cosa è successo sulla destra: 2 elevato ad x per 2 elevato ad y, per una
proprietà dell’operazione prodotto, sulla sinistra l’operazione di prodotto è diventata un'operazione di
somma. Questo è un tipico morfismo, un morfismo che manda dei numeri reali in numeri reali e che però
trasforma i prodotti in somme. Ed ecco che allora quello che in realtà era lo stesso insieme, cioè numeri
reali, diventa un qualche cosa di diverso; qui sulla sinistra ci sono numeri reali col prodotto, qua sulla destra
ci sono numeri reali con la somma, cioè due strutture diverse, lo stesso insieme, ma con strutture diverse,
differenti. Allora, viene naturale introdurre questa nuova nozione appunto introdotta da questi due signori
173
Eilenberg e MacLane verso il 1945. La figura di questo baldo giovine che abbiamo nella slide è in realtà
Maclane esattamente quando era giovane, oggi MacLane ha novant'anni, io lo ho visto qualche anno fa e
non era più così, comunque questo era quello che succedeva 55 anni fa. La nozione che Eilenberg e
MacLane introdussero appunto nel ‘45 si chiama categoria. La categoria è una classe, un grande insieme di
strutture che sono collegate da morfismi che appunto preservano la struttura, cioè in altre parole nel
momento in cui la nozione per esempio di gruppo, isola l'idea di un insieme con un'operazione di somma e
sottrazione, ci si può poi chiedere che cosa c'e in comune fra tutti i vari gruppi, cambiano gli elementi
ovviamente, cambia l’insieme che ci sta sotto, però l'idea è sempre la stessa, la struttura è sempre la stessa e
allora l'idea di MacLane é quella di dire prendiamo tutti i possibili esempi di gruppi e cerchiamo di vedere
come li si può collegare uno con l'altro mediante funzioni che preservano la struttura. Ebbene tutti questi
esempi di gruppo vengono appunto a costituire quella che oggi viene chiamata una categoria. La teoria delle
categorie si può addirittura fondare senza parlare più di insiemi e senza parlare più di strutture.
Questa è stata la scoperta di Eilenberg e Maclane che invece di dire che la struttura è un insieme con
(dimenticando gli insiemi e le strutture) certe operazioni e poi di considerare un insieme di strutture
Categoria
che hanno certe relazioni fra di loro che si chiamano morfismi,
classe di morfismi che
l'idea è quella di considerare soltanto i morfismi, dimenticarsi
si compongono associativamente
degli insiemi che ci stanno sotto e considerare soltanto le
che ammettono identità
relazioni tra queste strutture.
Ecco allora, che “la definizione di categoria diventa una classe di
morfismi”, non più di strutture che si compongono in maniera
associativa e che ammettono identità. Non pretendo ovviamente che
si capisca che cosa questo significa in due parole, però la cosa
importante è questa, cioè che non c'è più bisogno nel momento in cui
si parla di categorie di parlare anche di insiemi, di parlare di quello
che era l'altra fondazione, mentre sembrava che la teoria degli
insiemi fino a due minuti fa fosse la vera fondazione della
matematica, in realtà si scopre che le categorie possono essere
fondate indipendentemente senza più parlare degli insiemi.
Effettivamente questo è quello che successe, l’identità o meglio la proporzione che abbiamo trovato prima
tra insiemi e funzioni, tra strutture e i morfismi, si può estendere addirittura, si può trovare una nozione più
generale di morfismo, che si chiama funtore e naturalmente sorge il problema esattamente come per la
teoria degli insiemi, cioè che cosa corrisponde “all’insieme di tutti gli insiemi”, che in questo caso diventa
“alla categoria di tutte le categorie”? E’ chiaro che questo sarà un concetto contraddittorio, esattamente
come nel caso del paradosso di Russell, ma c’è stata una soluzione.
insiemi
strutture
categorie
Fra le varie soluzioni che sono state considerate,
--------- = ------------ = ------introdotte nell'arco degli anni, anzitutto ci fu questa
funzioni
morfismi
funtori
idea di considerare soltanto le categorie piccole, cioè
quelle che si potrebbero considerare come piccoli
Problema
insiemi, però questa è una limitazione che in matematica
Categoria di tutte le categorie?
è risultata poco utile e allora questo signore, che vedete
nella slide, che sembra quasi uno marine, in realtà è un matematico, si chiama Grothendieck, uno dei grandi
matematici del secolo, che prese la medaglia Fields l'analogo del premio Nobel, fu quella di considerare
degli universi, cioè delle categorie enormi, che in realtà, dal p.di
v. della teoria degli insiemi, sarebbero state contraddittorie e dal
p.di v. della teoria delle categorie rimangono in qualche modo
autosufficienti. Un'altro modo invece che è stato proposto da
questo signore che si chiama Lawvere, è stato quello di proporre
un’assiomatizzazione della nozione di categoria, esattamente
come Zermelo e Fraenkel avevano proposto una
assiomatizzazione della teoria degli insiemi. Quindi vedete, la
“teoria delle categorie” è diventata qualche cosa di
174
autosufficiente, che ha cercato di sostituire, dal p.di v. della matematica, quella che era la nozione di
insieme. Quanto ci sia riuscito, questo è naturalmente qualche cosa che si dibatte, alcuni matematici
continuano a ritenere che la teoria degli insiemi sia sufficiente, che non ci sia bisogno di fare altro, molti
altri matematici soprattutto quelli che come questo signore qui, Grothendieck, fanno geometria algebrica, si
interessano di certe aree piuttosto complessa della matematica, ritengono che la teoria delle categorie sia
più adatta invece come fondamento della matematica. A noi, che siamo dei logici, la cosa va benissimo in
ogni caso, perché queste sono tutte parte di cui la logica poi si interessa, quindi a noi interessa essere utile a
tutti e non certamente essere monopolisti. Ma c'è un quarto tipo di fondazione che è stato introdotto, come
vedete nel 1933, da questo signore che si chiama Church, che era un grande logico, uno dei discepoli di
Goedel, uno di quelli che capì immediatamente i risultati di Goedel negli anni ’30 e che anzi li estese e così
via; però la cosa interessante è che questa teoria fondata da Church, di cui adesso dirò poche parole, in realtà
divenne importante verso gli anni ‘80. Come mai?
4. Lambda calcolo
Vediamo anzi tutto com’è fondata questa teoria del lambda calcolo;
Church
beh, l'idea è un po' l'uovo di colombo, la “teoria del lambda calcolo”
(1933)
è fondata esattamente come la teoria degli insiemi ingenua, cioè
esattamente come la teoria di Frege e di Cantor. Solo che invece di fondarla sulla nozione di insieme la si
fonda sulla nozione di funzione. Che cosa corrisponde all'elemento di un insieme? Corrisponde l'argomento
di una funzione. Che cosa corrisponde all'appartenenza ad un insieme? Corrisponde al fatto di applicare la
funzione al suo argomento. Cosa corrisponde all’astrazione, cioè al processo che data una descrizione degli
elementi di un insiemi determina l’insieme stesso? Corrisponde quello che Churchl chiamava per l’appunto
la lambda astrazione, cioè invece di definire gli insiemi attraverso le proprietà, si definiscano le funzioni
attraverso le descrizioni dei valori. E allora sembrerebbe però che una fondazione della teoria del lambda
insieme
‫ ׀‬funzione
calcolo, data esattamente come la fondazione ingenua
della
elemento
‫ ׀‬argomento
teoria degli insiemi, provochi gli stessi problemi;
anzitutto
cominciamo a vedere che cosa succede nel caso di
appartenenza ‫ ׀‬applicazione
questa
astrazione
‫ ׀‬lambda astrazione
fondazione. Vi ricordate che il primo assioma della teoria
degli insiemi era il cosiddetto assioma di estensionalità, cioè due insiemi che hanno gli stessi elementi
devono essere uguali. Cosa succede per l’estensionalità nel caso del lambda calcolo? Più o meno la
stessa cosa, cioè due funzioni che abbiano gli stessi valori sono uguali per “il principio di
comprensione”, che diceva nel caso degli insiemi, che un insieme viene determinato dalle proprietà dei suoi
¾ Estensionalità
elementi, mentre ora il principio di comprensione diventa più o meno la
due funzioni sono uguali se
stessa cosa, cioè una funzione viene determinata da una descrizione dei
hanno gli stessi valori
suoi valori. Allora sembrerebbe d’aver messo in piedi una teoria delle
¾ Comprensione
funzioni ingenua, molto analoga, molto simile alla teoria ingenua degli
ogni decisione di valori
insiemi, basata sugli stessi principi, basata su una analogia. C'è un unico
determina una funzione
dubbio però, che ci viene in mente e il dubbio è: ma il paradosso di
Russell? Cioè se c'era un paradosso nel caso della teoria degli insiemi, se questa teoria del lambda calcolo è
stata fondata nello stesso modo della teoria degli insiemi, succederà di nuovo un patatrac, cioè il paradosso
di Russell verrà riformulato in un paradosso analogo per il lambda calcolo? C'è un unico problema però e il
problema è questo, cioè quando si faceva il paradosso di Russell, che ho citato poco tempo fa, ebbene il
paradosso di Russell parlava di insiemi che non appartengono a se stessi. Ora insieme, va bene, perché
questa è parte della teoria degli insiemi, appartenere o no a se stessi, questa è di nuovo parte della teoria
degli insiemi, perché l’appartenenza è la relazione fondamentale della teoria degli insiemi, ma c'è questa
negazione che dà fastidio, perché la negazione nel caso della teoria degli insiemi è qualche cosa che viene
inglobata nella teoria, la negazione è un predicato logico, ma qui nel lambda calcolo si parla soltanto di
funzione, non c'è nessuna cosa che corrisponda alla negazione e allora non c'è la possibilità di usare la
logica, il lambda calcolo in qualche modo è immune dalle cose che derivano dalla logica e allora questa
175
fu la scoperta di Church, cioè il paradosso di Russell diventa un teorema, il famoso teorema del punto fisso
di Curry, quindi non c'è problema ed è per questo che la teoria della lampada calcolo è un qualche cosa
di dimostrabilmente consistente. Questo diventò una fondazione della matematica che ai matematici
il paradosso di Russell
interessò poco per molti anni, ma che però negli anni 80 è diventata
diventa
importante perché è diventata la fondazione dell'informatica teorica,
il teorema del
in particolare il teorema del punto fisso è praticamente la fondazione
punto fisso di Curry
in informatica di quello che si chiama oggi la programmazione
ricorsiva. Bene, io non credo di essere riuscito, ovviamente soltanto nel giro di un'ora, a darvi un'idea di
quelli che sono stati i fondamenti della matematica in questo secolo, però quello che volevo dire era appunto
che la logica non è stata soltanto, in questi due millenni che abbiamo più o meno percorso a volo d’uccello
in queste 20 lezioni, una problematica che ha interessato la filosofia, che ha interessato l'informatica e la
matematica da un p.di v. puramente logico, cioè puramente di analisi del linguaggio, analisi del
ragionamento, è stata anche e soprattutto questo ed è su questo che ci siamo concentrati ovviamente, ma
questo è stato quello che ho cercato di dimostrare o perlomeno di dire, di accennare in quest'ultima lezione,
la logica è stata anche un tentativo di dare una fondazione, una possibile fondazione salda, sicura, certa alla
matematica. Bene, siamo comunque arrivati più o meno alla fine di queste lezione, vi ricordate abbiano
introdotto la logica come scienza del ragionamento, abbiamo fatto 18 lezioni dedicate ai grandi personaggi
della logica, non soltanto di questo secolo ovviamente, ma dell'intera storia, siamo partiti molto alla lontana,
da Pitagora, Platone, Aristotele, Crisippo e poi ci siamo avvicinati piano piano ai giorni nostri, passando
attraverso la Scolastica; abbiamo parlato soprattutto dei grandi logici tipo Frege, tipo Russell, Wittgenstein e
soprattutto ovviamente Goedel, Turing che ha fondato l'informatica e abbiamo scoperto che la logica in
realtà è qualche cosa che coinvolge e interessa perlomeno tre campi del sapere, cioè la filosofia, perché
questa è stata la sua origine, la matematica, perché questo è il suo oggetto fin dagli inizi e l'informatica,
perché di lì, proprio dalla logica, è nata l'informatica. Bene, a questo punto non mi resta altro che invitarvi a
continuare lo studio della logica, andando a vedervi i testi che vi suggerisco nelle indicazioni
bibliografiche, perché questo non può essere stato altro che semplicemente un invito alla lettura, alla
conoscenza della logica. Io finisco in maniera manzoniana, spero che comunque non lo sia stato troppo
noioso e se in qualche modo siamo riusciti ad annoiarvi, credete che non s’è fatto apposta.
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