Magnetostatica 1
30 ottobre 2012
Magneti
Campo induzione magnetica
Azione della corrente elettrica su un magnete
Azione di un magnete sulla corrente elettrica
Forza su un filo percorso da corrente (seconda formula di
Laplace)
Forza su una carica in moto (forza di Lorentz)
Moto di una carica in un campo B uniforme
Magneti
• Ogni magnete ha due regioni (poli) in cui la forza che
esercita è più intensa
• Nell’interazione tra due magneti, poli omonimi si respingono
e poli eteronimi si attraggono
• L’azione delle forze magnetiche si pensa sia mediata,
similmente al caso elettrico, da un campo, il campo
induzione magnetica, indicato con la lettera B e di natura
vettoriale
• Le linee di campo escono dal polo nord e entrano nel polo
sud
• L’esistenza di un campo induzione magnetica viene rivelata
sperimentalmente mediante l’azione su di un altro magnete
“esploratore”, in genere di forma molto allungata (ago
magnetico) con i poli disposti alle estremità
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Quesito
• Dimostrare che per stabilire la legge “poli
omonimi si respingono e poli eteronimi si
attraggono” occorrono almeno tre magneti
• Con due soli magneti anche la regola
opposta sarebbe possibile
• Naturalmente il “terzo magnete” puo`
essere costituito per noi dalla Terra
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Campo induzione magnetica
• L’intensità del campo varia con la
distanza dal magnete
• Un’indagine quantitativa ha stabilito
che la forza tra poli di aghi molto
allungati, varia come l’inverso del
quadrato della distanza
• La direzione orientata del campo è
quella secondo cui si dispone l’ago
magnetico esploratore
• Il verso del campo è da sud a nord
dell’ago esploratore
B
N
S
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La Terra come magnete
• La Terra è un magnete
naturale con i poli magnetici
vicini ai poli geografici
• Il polo di un magnete che
punta verso il nord terrestre
prende il nome di polo nord
• Similmente il polo che punta
verso il sud terrestre prende il
nome di polo sud
• Quindi il polo nord magnetico
terrestre è in realtà un polo sud
magnetico e viceversa il polo
sud magnetico terrestre è in
realtà un polo nord magnetico
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Magnetostatica
• Parrebbe che si possa introdurre il concetto di
carica magnetica e i poli sarebbero la sede di
queste cariche
• I poli magnetici, come cariche magnetiche,
sarebbero del tutto analoghi alle cariche
elettriche, grazie anche alla dipendenza della
forza tra poli magnetici dall’inverso del quadrato
della distanza
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Magnetostatica
• Vista la legge di forza, in magnetostatica
varrebbero allora le stesse leggi che in
elettrostatica
int
int

(
B
)

4

k
Q
 ( E )  4keQe
e
m
C(E)  0
C ( B)  0
• Differenza tra ‘cariche’ magnetiche e cariche
elettriche: sembra che le ‘cariche’ magnetiche
non si presentino mai singolarmente, ma,
apparentemente, sempre in coppie di tipo
opposto
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Poli e cariche magnetiche
• Se si spezza un magnete, ai due lati della rottura si
crea una coppia di poli (opposti), in modo che
ciascuno dei due pezzi e` un nuovo magnete
completo
• Non è mai stata osservata una carica magnetica
isolata (monopolo). Le equazioni della fisica dei
magneti sono quindi
 ( B )  4k e Qmint  0
C ( B)  0
• Per studiare un campo B si e` quindi costretti ad
usare un magnete esploratore, su cui sono
contemporaneamente presenti entrambi i poli
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Momento agente su un ago in un
campo B esterno
• Un ago magnetico in un campo B esterno è soggetto ad
una coppia il cui momento può essere misurato
• La situazione è analoga a quella di un dipolo elettrico in
un campo E
• Possiamo definire un nuovo ente vettoriale: il momento
magnetico m dell’ago
– direzione e verso sono individuati dal vettore che va dal polo S
al polo N dell’ago
– il modulo m è tale che quando l’ago è posto in un campo B, la
coppia risultante ha momento meccanico
 
  m B

• L’energia dell’ago in un campo esterno è, analogamente
 
al caso elettrico,
E  m  B
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Campo induzione magnetica di
un ago
• In certi sistemi si possono comunque considerare
formalmente i poli magnetici come se fossero cariche
magnetiche
• In particolare questo è vero proprio per il campo
generato da un ago magnetico, che costituisce l’analogo
del dipolo elettrico e viene per questo detto dipolo
magnetico
• I due campi hanno allora la medesima forma: p e` il
momento di dipolo elettrico e m il momento (di dipolo)
magnetico
2cos

p 
E  ke 3  sin  
r0 

 0 
2cos

m 
B  km 3  sin  
r0 

 0 
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Azione della corrente elettrica su
un magnete
• Le forze magnetiche non
agiscono solo fra magneti
• 1800: Volta inventa la pila
• 1819: Oersted osserva che
una corrente elettrica agisce
cambiando la direzione di un
ago magnetico
• Ciò viene interpretato dicendo
che un circuito percorso da
corrente genera un campo
induzione magnetica nello
spazio circostante
• È l’inizio del processo che
porterà all’unificazione di
elettricità e magnetismo,
ovvero all’elettromagnetismo
Forze di tipo nuovo
• La forza tra magnete e corrente è il primo
esempio di forza non newtoniana
• 1876: l’esperienza di Rowland sottolinea
questa peculiarità, mostrando la
dipendenza della forza dalla velocità
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Azione di un magnete sulla
corrente elettrica
• Viceversa anche un magnete agisce
su una corrente
• Sperimentalmente si trova che la forza
con cui un campo induzione magnetica
uniforme agisce su una corrente in un
filo rettilineo
– È proporzionale all’intensità della corrente i
– È proporzionale alla lunghezza l del filo
immerso nel campo
– È proporzionale al seno dell’angolo tra la
direzione del campo e della corrente
– È perpendicolare sia al campo che alla
direzione della corrente
• Chiamiamo B la costante di
proporzionalità
i
F
B
q
l
F  il sin 
F  Bil sin 
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Campo induzione magnetica
• Quindi la forza si può scrivere così (regola della mano
destra)
  
F  il  B
• Il vettore B definisce completamente il campo induzione
magnetica o, meno precisamente, campo magnetico
• Grazie a questa forza, si può usare anche un circuito
“esploratore” percorso da corrente per rivelare un campo
induzione magnetica
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Seconda formula di Laplace
• Possiamo pensare il filo come un insieme di
tratti infinitesimi
• Su ciascuno agirà una forza infinitesima
 

dF  idl  B
• Possiamo ora generalizzare la legge di forza ad
un filo di forma arbitraria e ad un campo
induzione magnetica qualsiasi
 

F  i  dl  B
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Dimensioni e unità di misura di B
• L’equazione
precedente definisce
implicitamente B
• Le dimensioni di B
sono
• L’unità di misura è il
tesla (T)
• Si usa anche il gauss
(G), ereditato dal
sistema cgs em
  
F  il  B

F  F T
B 

i L QL
Ns
T
Cm
1G  10 4 T
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Principio di sovrapposizione
• Consideriamo diversi magneti o circuiti percorsi
da corrente, ciascuno dei quali genera un
campo induzione magnetica
• Il campo induzione magnetica risultante è dato
dalla somma vettoriale dei singoli campi
n 

Btot   B j
j 1
• Questa proprietà è una verità sperimentale
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Azione di B su una carica in moto
• La forza agente su di un filo si può pensare come risultante delle
forze elementari agenti su ognuna delle cariche in moto che
costituiscono la corrente
• La corrente i può scriversi i  qnAv d
• Siccome in un filo rettilineo l e vd hanno la stessa direzione
possiamo riscrivere
 
 la forza così


F  qnvd Al  B  qnAl vd  B
• E dato che nAl rappresenta il numero di portatori nel volume di

sezione A e lunghezza l
 
F  nAl qvd  B
• Siamo indotti a concludere che su una singola carica agisce la

 
forza (di Lorentz)
f  qv  B
• Mentre B agisce su una corrente elettrica o su una singola carica in
moto, non c’è interazione tra un magnete e una carica ferma
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Forza di Lorentz
• La forza magnetica è sempre
perpendicolare alla velocità della particella
• Quindi non compie lavoro e non fa variare
l’energia cinetica
• Fa variare la direzione della quantita` di
moto, ovvero della velocità, ma non il loro
modulo
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Moto di una carica in un campo B
uniforme
• 1) La velocità iniziale sia ortogonale al
campo
2
mv
• La forza di Lorentz fornisce la forza
 evB
centripeta
r
• r è il raggio di curvatura locale
• Dato che il modulo della velocità è costante,
mv
se B e` uniforme, allora anche r è costante r 
eB
• La traiettoria è quindi un cerchio nel piano
perpendicolare a B
• 2) Se v ha una componente vp parallela al campo,
questa non introduce forze aggiuntive e si ha solo
un moto rettilineo uniforme con velocità vp lungo la
direzione del campo
• La traiettoria risultante è un’elica
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Quesito
• Una particella di massa m, e` inizialmente vincolata da una corda su
una traiettoria circolare di centro C e raggio R1, che percorre con
moto uniforme
• Ad un tempo t la corda urta un piolo inserito a distanza R2 dal centro
• Considerare come variano la forza agente
sulla particella e la velocita` e la traiettoria
della particella per tempi vicini a t e
determinare quali di queste affermazioni e`
vera:
• La forza e` perpendicolare alla velocita`
• La velocita` e` costante
• La velocita` angolare e` costante
• La traiettoria e` circolare
v1
R2
R1
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Differenza tra linee del campo
elettrico e induzione magnetica
• La forza elettrica ha la direzione delle linee di campo
• La forza magnetica ha direzione perpendicolare alle linee
di campo
• Le linee di campo elettrico (statico) originano da cariche
positive e terminano su cariche negative
• Le linee di campo induzione magnetica non originano da
punti né terminano su punti dello spazio, perché non
esistono cariche magnetiche isolate, esse sono invece
dovute alle correnti
• Le linee di campo induzione magnetica sono perciò linee
chiuse e il flusso attraverso una superficie chiusa e`
nullo  ( B )  0 (lo dimostreremo piu` avanti)
• Legge di Gauss per il campo B, ovvero assenza di
cariche magnetiche. E’ la terza equazione dell’e.m.
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Flusso del campo B



 
 B | S   B  dA
• Definizione
S
• Dimensioni fisiche
 B   BL2
• Unità di misura è il weber (Wb)
u( B )  u( B)m2  Tm2  Wb
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