a
a
5 -6
lezione di laboratorio
Laurea Ingegneria CIVILE
Lauree Specialistiche in Ingegneria
CHIMICA, ELETTRONICA,
AMBIENTE
a.a. 2007-2008
1
Come creare un grafico 2-D
Sintassi per disegnare una curva con:
• specifica dei dati nel vettore x e/o y
• specifica del colore e dello stile della linea
plot(x, y, ‘colore_stilelinea’)
Sintassi per disegnare più curve:
plot(x1, y1,’r*’,x2, y2,‘b-’,...)
2
Completamento di un grafico
Per completare un grafico si può aggiungere:
• un titolo: title('Grafico ed …');
• la griglia: grid;
• le label sugli assi:
xlabel('x');ylabel('y')
3
Editore grafico
Uno dei modi per migliorare l’aspetto di un
grafico è il seguente:
selezionare View
e, dal menu che
compare,
scegliere Plot Edit
Toolbar; nella
finestra compare
una seconda
barra.
4
Come operare con l’editor grafico
Le icone indicate dalle linee, consentono di inserire testo,
frecce e linee su una figura.
Cliccando
sull’icona
si ottengono
i tool del
plot che
consentono
di modificare
la grafica
della figura.
5
Come inserire un testo sulla figura
1. Selezionare l’icona
T dalla barra oppure
cliccare su ‘Insert’ e
scegliere TextBox
1. Posizionarsi nel
punto desiderato e
scrivere
2. Scrivere x_3 per
ottenere x3 (opp.
x^3 per x3)
3. cliccare fuori dal
riquadro per
rendere attivo lo
scritto
6
Come inserire una freccia sulla
Selezionare
figura
•
l’icona
oppure dal menu di
Insert selezionare
Arrow
• Posizionarsi nel
punto di inizio della
freccia, trascinare il
mouse tenendo
premuto il suo
tasto sinistro fino al
punto di arrivo della
freccia.
7
Esercizio 1
a - Scrivere un file script che consenta di
disegnare, sull’intervallo [0,4], le funzioni:
y=3*sin(pi*x) e y=exp(-0.2*x)
nella stessa finestra grafica.
Si consideri la partizione x=0:0.02:4.
b - Inserire le label per gli assi x, y ed il
titolo.
c - Usare gtext per indicare i vari punti di
intersezione delle due curve.
d - Memorizzare il file col nome grafico.
8
File grafico.m
clear all
x=0:0.02:4;
y=3*sin(pi*x);
plot(x,y,'r'),xlabel('x');ylabel('y');grid
hold on
y1=exp(-0.2*x);
plot(x,y1,'g')
%osservare il numero delle intersezioni
gtext('x1');gtext('x2');gtext('x3');gtext('x4');
% oppure
%C=strvcat(‘x1’,’x2’,’x3’,’x4’);
%gtext(C)
title('Grafico ed intersezioni di 3*sin(pi*x) e exp(0.2*x)')
hold off
9
Risultato esercizio 1
» title('Grafico ed …')
gtext
etichetta
asse y
»gtext('x3')
» ylabel('y')
etichetta
asse x
» xlabel('x')
10
Esercizio 2
Scrivere un file script che consenta di disegnare,
nell’intervallo [-2,2] e su due “finestre grafiche distinte ”,
il grafico della funzione: f(x)=exp(-x2)cos(20x)
che viene definita nella function fun.
Si utilizzino i due comandi MATLAB:
• plot per la figura 1
• fplot per la figura 2.
N.B. Nell’utilizzare il comando plot si può
considerare la partizione x=[-2:0.1:2] .
11
Soluzione esercizio 2: comando plot
function y=fun(x)
y=exp(-x.^2).*cos(20*x);
figure(1)
x=[-2:0.1:2];
y=fun(x);
plot(x,y),title('Comando plot')
xlabel('x');ylabel('y');
grid
12
Soluzione esercizio 2: comando fplot
function y=fun(x)
y=exp(-x.^2).*cos(20*x);
figure(2)
I=[-2,2];
fplot('fun',I), grid % Matlab ver.6
% utilizzabile anche nella ver. 7
title('Comando fplot')
xlabel('x');ylabel('y')
figure(3) % metodo alternativo
I=[-2,2];
fplot(@fun,I), grid % Matlab ver.7
title('Comando fplot')
xlabel('x');ylabel('y')
13
Figura 1
14
Figura 2 e 3 (sono uguali)
15
Comandi plot e fplot
E’ possibile utilizzare i comandi plot e fplot,
senza definire un file function esterno:
x=[-2:0.1:2];
y=exp(-x.^2).*cos(20*x);
figure(1)
plot(x,y),grid
%oppure f='exp(-x.^2).*cos(20*x)';%stringa
%y=eval(f);
%crea il vettore di dimensione
% =length(x)
%plot(x,y),grid
f='exp(-x.^2).*cos(20*x)';% stringa
figure(2)
16
fplot(f,[-2,2]),grid
Comando ezplot
Il comando ezplot consente di graficare funzioni date in
forma implicita ed in forma parametrica
figure(1)
ezplot('x.^2-y.^2-1',[-4 4 -4 4])
%forma implicita
17
figure(2)
ezplot('cos(t)','sin(t)') % forma parametrica
18
Più grafici in una finestra grafica
E’ possibile inserire più di un grafico nella stessa
finestra grafica .
1) % Comando fplot
fplot(@(x)[sin(2*x) x.*exp(-x)], [-1 1]) %Matlab7
% Comando plot
x=-1:0.1:1;
2) y1=sin(2*x);
y2=x.*exp(-x);
plot(x,y1,x,y2)
1
0.5
0
-0.5
Alternativamente si può
-1
utilizzare il comando hold on:
-1.5
fplot('sin(2*x)',[-1 1])
hold on
fplot('x.*exp(-x)',[-1 1])
hold off
-2
-2.5
19
-3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Più finestre grafiche in una sola figura:
subplot
%file figure
x=0.1:.1:5;
subplot(2,3,1);plot(x,x);
title('y=x');xlabel('x'); ylabel('y');
subplot(2,3,2);plot(x,x.^2);
title('y= x^2');xlabel('x'); ylabel('y');
subplot(2,3,3),plot(x,x.^3);
title('y= x^3');xlabel('x'); ylabel('y');
subplot(2,3,4),plot(x,cos(x));
title('y=cos(x)');xlabel('x');ylabel('y');
subplot(2,3,5),plot(x,cos(2*x));
title('y=cos(2x)');xlabel('x');ylabel('y')
subplot(2,3,6),plot(x,cos(3*x));
title('y=cos(3x)');xlabel('x');ylabel('y')
% I colori e lo spessore sono stati
% aggiunti utilizzando i tool del plot
20
Risultati file figure
21
Comandi: plot e semilog
Due modi di graficare la funzione y  e x  0,50
x
Scala lineare su
entrambi gli Assi
6
x 10
21
plot
10
5
x=0:0.1:50;
y=exp(x);
subplot(1,2,1);plot(x,
y);
grid;title('plot')
subplot(1,2,2);
semilogy(x,y);
grid;title('semilogy')
10
4
10
25
semilogy
20
15
3
10
10
2
10
1
0
0
20
40
60
10
5
0
0
20
40
Scala logaritmica
sull’Asse Y
60
22
Esercizio 3 (Esame 02/12/2002)
Si considerino i sistemi lineari Ai xi=bi,
i=1,2,3, con i vettori dei termini noti bi,
i=1,2,3, scelti in modo che la soluzione dei
sistemi sia i=[1,1,1,1]T, i=1,2,3.
Supponiamo che:
15 6 8 11
6 6 5 3
i


A1 
, A i   A1  per i  2, 3.
8 5 7 6


11 3 6 9 
23
Quesito 1
Si determini, mediante MATLAB, il
condizionamento K2(Ai ), i = 1, 2, 3 e si
verifichi che K2(Ai ) = (K2 ( A1 ) )i , i=2, 3.
Si spieghi il motivo di tale relazione e se
ne prevedano le conseguenze.
24
Quesito 2a
Si costruisca un file MATLAB:
Cognome_Nome.m, che una volta
avviato:
a) faccia visualizzare una schermata con i
dati personali (cognome, nome,
matricola, corso di Laurea) ed una
breve presentazione del problema;
25
Quesito 2b
b) mediante un ciclo for, determini i dati Ai , bi
, i=1, 2, 3;
risolva quindi i sistemi Ai x i  b i
applicando il metodo di Gauss con pivoting
parziale;
calcoli l’errore relativo in norma 2;
26
Quesito 2c
c) faccia visualizzare una tabella riassuntiva che riporti:
intestazione: indice iter soluzione errore
e su ogni riga il valore dell’indice i della matrice, il
numero di iterazioni iteri effettuate nel raffinamento,
la soluzione corrispondente x i scritta come vettore
riga e l’errore relativo erri ;
Si utilizzino i seguenti formati di stampa:
1 cifra intera per il valore di i ;
2 cifre intere per il valore di iteri ;
10 cifre decimali e formato virgola fissa per le
componenti di x i ;
2 cifre decimali e formato esponenziale per erri . 27
Soluzione teorica del Quesito 1
Proprietà della matrice A e conseguenze:
1
A1  A1T  A11  A1T
A1
2


  A A1  
T
1
A11
K 2  A1   A1
2
2


 A1 
2

  2  A1     A1 


  A1T A11   A11
1
1 2
A

   A1   A
1
1


max  A1 
min  A1 
28
Soluzione teorica del Quesito 1
Proprietà delle matrici A i , i  2, 3
A 2   A1   A 2  A per la simmetria di A 1 .
2
A2
A
2
1
2 2
T
2
 A      A 
    A  quindi:
A
    A    A 
  A2  

 A
K 2  A2   A 2
1
2
2
2
2
1
2
1
2 2
Analogamente per i = 3.
1
1
1
1
K2(A1)
1
1
29
2
Istruzioni relative al Quesito 1
% file script: punto1.m
clear all
disp('Numero di condizionamento delle matrici Ai')
A1=[15 6 8 11 ; 6 6 5 3 ; 8 5 7 6; 11 3 6 9];
cond_Ai=[];cond_A=[];
for i =1:3
Ai=A1^i;
cond_Ai=[cond_Ai,cond(Ai)]; % vettore dei cond(Ai)
cond_A=[cond_A,cond(A1)^i]; % vettore dei cond(A1)^i
end
disp('cond(Ai)')
disp(num2str(cond_Ai,'%13.3e'))
disp('(cond(A1))^i')
disp(num2str(cond_A,'%13.3e'))
30
Output punto1
>> punto1
Numero di condizionamento delle matrici Ai
cond(Ai)
6.499e+003
4.224e+007
2.746e+011
(cond(A1))^i
6.499e+003
4.224e+007
2.745e+011
Indicheremo con K1, K2, K3 il condizionamento in norma
2 delle matrici A1, A2, A3 rispettivamente.
Conseguenze del numero
di condizionamento grande?
31
Calcolo della soluzione di
 446
199
A2  
 272

 330
199 272 330 
106 131 141 
,
131 174 199 

141 199 247 
A2 x  b 2
1247 
1
1
 577 
 ,  
b2  
1
 776 
 


1
 917 
>> x2=A2\b2 % Operatore \
Numero di cifre significative perse
x2 =
>> nc=log10(K2)
1.00000000037954
nc =
7.6257
0.99999999968201
1.00000000023455
0.99999999948547
>> err2=norm(x2-alpha)/norm(alpha)
10 cifre signific.,
err2 = 3.76e-010=.376e-009

32
9 decimali corretti
Oltre che sul numero di cifre significative
che si perdono, come incide il valore grande
di K2(A2)?
>> A2m=A2;
>> A2m(2,2)=A2(2,2)+1e-3; % perturbazione data
% sulla matrice
>>pert=norm(A2-A2m)/norm(A2)
pert =
1.0546e-006 % entità della perturbazione
>> x2m=A2m\b2 % soluzione perturbata
x2m =
2.06050813471394
0.11143302866360
1.65544907516937
-0.43770893706830
>> err2m=norm(x2m-alpha)/norm(alpha)
33
err2m = 1.0501 >100% !!!
Istruzioni relative al Quesito 2a
clear all
disp('Cognome e nome studente: XXXX XXX')
disp('Numero di matricola: XXXX')
disp('Corso di Laurea: XXXX')
disp(' ')
disp('Questo programma calcola e
visualizza la soluzione dei ')
disp('sistemi lineari A_i x_i=b_i,
i =1,2,3, con i vettori b_i tali che sia')
disp('alpha=[1,1,1,1]'',essendo: ')
A1=[15 6 8 11;6 6 5 3;8 5 7 6;11 3 6 9];
disp('A1=');disp(A1)
disp( 'e A_i= A1^i per i=2,3.')
34
Output file Cognome_Nome.m
>> Cognome_Nome
Cognome e nome studente: XXXX XXX
Numero di matricola: XXXX
Corso di Laurea:XXXX
Questo programma calcola e visualizza
la soluzione dei sistemi lineari
A_i x_i=b_i, i =1,2,3, con i vettori
b_i tali che sia alpha=[1 1 1 1]',
essendo:
A1= 15
6
8
11
6
6
5
3
8
5
7
6
11
3
6
9
35
e A_i= A1^i per i=2,3.
Istruzioni relative al Quesito 2b
Istruzioni di Gausspv_r.m
tab=[]; toll=1e-13;
alpha=ones(4,1); % soluzione
for i =1:3
A=A1^i;
b=A*alpha; % vettore termini noti
% [L,U,P]
%La
chiamata =dilu(A);
Gausspv_r è:
[x,iter] = Gausspv_r(A,b,toll)
%y=L\(P*b);
%x=U\y;
%[x,iter]=Raff_iter(A,b,L,U,P,x,toll);
residuo=b-A*x;
norm_residuo=norm(b-A*x);
err=norm(alpha-x)/norm(alpha);
tab=[tab;[i,iter,x',err,norm_residuo]];
36
end
Risultati File Quesito 2b
Tabella Quesito 2c
fprintf('i iter \t\t\t soluzione
\t\t \t\t
errore
residuo\n')
fprintf('%1d %2d %14.10f %14.10f %14.10f
%14.10f %10.2e %10.2e \n',tab');
i iter
1 0 1.0000000000
2 0 1.0000000007
3 0 0.9999998145
soluzione
1.0000000000 1.0000000000
0.9999999994 1.0000000004
1.0000001554 0.9999998854
errore
residuo
1.0000000000 8.17e-015 3.55e-015
0.9999999991 6.81e-010 1.97e-013
1.0000002514 1.84e-007 0.00e+000
Nell’ultimo caso calcolando la stima del numero
di cifre che si perdono, si ottiene:
Numero di cifre significative perse
>> nc=log10(K3)
nc =
11.4386 37
Istruzioni utilizzate in Raff_iter
function [x,iter]=Raff_iter(A,b,L,U,P,x,toll)
%_________________________________________
...
iter=0;
residuo=b-A*x;
while norm(residuo)>toll*norm(b)& iter<100
y=L\(P*residuo);
err=U\y;
x=x+err;
residuo=b-A*x;
iter=iter+1;
end
if iter==100
disp('Raggiunto il numero massimo di iterazioni')
end
38
Esercizio 4
Sia dato il sistema lineare avente la matrice
dei coefficienti ed il vettore dei termini noti
così assegnati:
4 1 0 0 0 0
 3
1 5 2 0 0 0 
 2 


 
0 2 6 3 0 0
 1
A
 b 
 0 0 3 5 1 0 
 1
 0 0 0 1 3 1 
 3


 
0 0 0 0 1 2
 4
39
Quesiti 1 e 2
1. Si studi la convergenza dei metodi di
Jacobi, Gauss-Seidel e Rilassamento in
serie (SOR) per il sistema assegnato.
2. Si dica quale di questi metodi è il più
veloce giustificando teoricamente la
risposta e calcolando, mediante Matlab, i
raggi spettrali delle rispettive matrici di
iterazione ed il valore ottimale del
parametro  per il metodo SOR.
40
Quesito 3a
3. Si costruisca un file MATLAB che:
a) calcoli la soluzione numerica del problema
assegnato applicando il metodo con
convergenza migliore e fissando una
precisione non inferiore a 1.e-4, nmax=20
ed un vettore di innesco pari a
x0=[1 1 1 1 1 1]T;
41
Quesito 3b
b) faccia visualizzare una tabella riassuntiva che riporti:
intestazione: iterazioni soluzione residuo;
e su ogni riga, il numero dell’ iterazione i , la
soluzione approssimata corrispondente
e la norma
xi
del residuo resi ;
Si utilizzino i seguenti formati di stampa:
2 cifre intere per il valore di i ;
5 cifre decimali e formato virgola fissa per la
soluzione approssimata x i ;
1 cifra decimale e formato esponenziale per la
norma del residuo erri .
42
Convergenza dei metodi
Caratteristiche di A:
a) diagonalmente dominante  Jacobi conv.
b) tridiagonale  anche Gauss-Seidel
converge; inoltre:
  BGS    2  BJ   R  BGS   2R  BJ 
c) simmetrica
d) definita positiva perché è a), c) e tutti gli
elementi sulla diagonale principale sono
positivi.
43
Qual è il metodo più veloce?
Per la proprietà d) SOR converge per
 : 0 <  < 2;
è inoltre il metodo più veloce se si assume:
   ott 
2
1  1    BGS 
.
44
Istruzioni relative al Quesito 2
I0=[4 5 6 5 3 2];I1=[1 2 3 -1 1];
A=diag(I0)+diag(I1,-1)+diag(I1,1)
D=diag(diag(A)); [n,m]=size(A);
B_J=eye(n)-inv(D)*A;
% metodo di Jacobi
rho_J=max(abs(eig(B_J)))
R_J=-log(rho_J)
omega=1;
% metodo di Gauss-Seidel
OE=omega*tril(A,-1);
B_GS=eye(n)-omega*inv(D+OE)*A;
rho_GS=max(abs(eig(B_GS)))
R_GS=-log(rho_GS)
omega_ott=2/(1+sqrt(1-rho_GS)) % metodo SOR
OE=omega_ott*tril(A,-1);
B_r=eye(n)-omega_ott*inv(D+OE)*A;
rho_r=max(abs(eig(B_r)))
45
R_r=-log(rho_r)
Risultati file Quesito 2
rho_J
=
0.7196
R_J
=
0.3290
rho_GS =
0.5179
R_GS =
0.6580
omega_ott =
rho_r
=
1.1804
0.1804
R_r
=
1.7126
46
Istruzioni relative al Quesito 3
b=[3 -2 1 -1 3 4]';K=cond(A,inf);
precisione=input('precisione = '); % 1.e-4
toll=precisione/K
% toll = 9.3310e-006
x0=ones(n,1);omega=omega_ott;nmax=20;
[x,iter,res,rho]=Gauss_Seidel_ril(A,b,x0,omega,nmax,toll);
it=[0:iter]';tab=[it x res];
s='--------------------------------------------';
disp(s)
fprintf('iter
soluzione
errore\n')
fprintf('%2d %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f
%9.1e\n',tab');
47
Risultati file Quesito 3
iter
soluzione
errore
-----------------------------------------------------------------0
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
2.5e+000
1
0.40980 -1.22145 -0.09326 -0.11434
0.56155
1.84897
1.1e+000
2
1.17181 -0.48443
0.47164 -0.41692
0.18755
1.91655
4.2e-001
3
0.81686 -0.80030
0.67260 -0.59295
0.15916
1.92112
1.3e-001
4
0.97411 -0.87533
0.76977 -0.63672
0.14526
1.92850
3.4e-002
5
0.96788 -0.90620
0.79022 -0.64659
0.14099
1.92969
8.7e-003
6
0.97811 -0.91270
0.79491 -0.64914
0.14028
1.92989
1.1e-003
7
0.97819 -0.91376
0.79599 -0.64961
0.14015
1.92993
3.4e-004
8
0.97849 -0.91415
0.79622 -0.64972
0.14011
1.92995
5.1e-005
9
0.97855 -0.91421
0.79627 -0.64974
0.14010
1.92995
1.3e-005
10
0.97855 -0.91422
0.79628 -0.64975
0.14010
1.92995
2.5e-006
Si invitano gli studenti a determinare la soluzione con precisione = 1.e-8 e
riportare le componenti della soluzione approssimata con 10 cifre e48
virgola fissa.
Esercizio 5 (Esame 05-12-05)
Sia data la seguente matrice:
 6.36091
0

 1.6685
A
 0.9371
0

 2.5369
1.6685 0.9371 0
2.5000 0
0
0
0
3.4695 0
0
0
0
0
0
0
0
1.8615
2.5369 

0

1.8615 

4.6653 0
0.8399 

0
2.0000 0

0.8399 0
5.8043 
e vettore b tale che la soluzione del sistema Ax  b
sia
  [1 1 1 1 1 1]' .
49
Quesiti 1, 2 e 3
1 - Dopo aver determinato con MATLAB gli autovalori, si
deduca motivando la risposta, la caratteristica fondamen_
tale della matrice;
2 - si determini il condizionamento in norma 2 e si dica,
sempre motivando la risposta, se il sistema è ben condi_
zionato calcolando, inoltre, il numero di cifre significative
che si perdono, rispetto alle 16 del MATLAB, risolvendo il
sistema;
3 - Si costruisca un file MATLAB:
Cognome_NomeStudente.m che, una volta avviato:
50
Quesiti a), b) e c)
a- faccia visualizzare una schermata con i dati personali
e una breve presentazione del problema;
b- calcoli la soluzione numerica del sistema assegnato
con il metodo di Gauss e raffinamento iterativo con una
tolleranza di 1e-14 e calcoli l’errore relativo;
calcoli anche, sempre con lo stesso metodo, la soluzione
del sistema che ha la stessa matrice dei coefficienti e
vettore termini noti perturbato, rispetto a quello dato,
nel termine b(4) della quantità 10 4 ;
c- faccia visualizzare una tabella in cui si riporti:
intestazione: iterazioni soluzione errore,
il numero di iterazioni eseguite nel raffinamento,
la soluzione ottenuta e l’errore relativo nel primo e nel
51
secondo caso
Quesito 4
utilizzando i seguenti formati di stampa:
3 cifre e formato intero per il numero dell’
iterazione,
6 cifre decimali e virgola fissa per le soluzioni
nei due casi,
2 cifre decimali e formato floating point per
l’errore nel primo caso.
4- Si confrontino e si commentino i risultati.
52
Istruzioni relative al quesito 1
clear all
clc
% Costruzione della matrice
d=[6.36091 2.5 3.4695 4.6653 2 5.8043];
n=length(d);
d1=zeros(1,n-1);
d2=[-1.6685 0 0 -0.8399];d3=[-0.9371 0 1.8615];
d4=zeros(1,n-4);d5=2.5369;
A1=diag(d1,1)+diag(d2,2)+diag(d3,3)+diag(d4,4)+diag(d5,5);
A2=A1';
A=(A1+A2+diag(d))
alpha=ones(n,1);b=A*alpha
Simmetria=(A==A');
if Simmetria==1
disp('A e'' simmetrica')
end
autovalori=eig(A)
if autovalori>0
disp('A e'' definita positiva')
53
end
Istruzioni relative ai quesiti 2 e 3
K2=cond(A)
% stima cifre perse
cifre_perse=round(log10(K2))
toll=1e-14;
[x,iter]=Gausspv_r(A,b,toll);
err_rel=norm(x-alpha)/norm(alpha);
bp=b;
bp(4)=b(4)+1e-4;pert=norm(b-bp)/norm(b)
[x1,iter1]=Gausspv_r(A,bp,toll);
err_rel1=norm(x1-alpha)/norm(alpha);
tab=[[iter;iter1] [x';x1'] [err_rel;err_rel1]];
st='%3d';
for i=1:n
st=[st,' %10.6f '];
end
st=[st,'%10.2e \n'];
fprintf('iter
\t\t\t\t
soluzione
\t\t\t\t\t\t errore \n\n')
fprintf(st,tab')
54
Risultati quesito 1
A =
6.3609
0
-1.6685
-0.9371
0
2.5369
b =
6.2922
2.5000
3.6625
2.8883
2.0000
9.3628
format short
0
2.5000
0
0
0
0
-1.6685
0
3.4695
0
0
1.8615
A e' simmetrica
A e' definita positiva
-0.9371
0
0
4.6653
0
-0.8399
0
0
0
0
2.0000
0
2.5369
0
1.8615
-0.8399
0
5.8043
autovalori =
1.0000
2.0000
2.5000
4.3000
6.0000
9.0000
55
Tabella dei risultati
iter
soluzione
0 1.000000
0 1.000002
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000022
errore
1.000000
1.000000
1.000000 1.11e-016
1.000002 9.21e-006
pert=7.9240e-006
K2 =
9.0001
Quindi:
cifre_perse =
Il condizionamento K2 di A è buono.
A piccole perturbazioni sui dati corrispondono
piccole variazioni sui risultati.
1
56