Esercizi
Due gruppi di studenti effettuano la misura della densità di un oggetto, trovando
rispettivamente i valori 13.7 ± 0.9 g/cm3 e 11300 ± 1300 kg/m3. Si può affermare che i due
valori così trovati sono compatibili con un livello di confidenza del 10%? E del 25%?
Come prima cosa è necessario uniformare le unità di misura per poter confrontare i valori.
Esprimiamo entrambe le densità in g/cm3
kg
103 g
g
11300 3  11300 6 3  11.3 3
m
10 cm
cm
kg
103 g
g
1300 3  1300 6 3  1.3 3
m
10 cm
cm
Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t :
t
13.7  11.3
0.9 2  1.32

2.4
 1.52
1.58
Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=87.15%
Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-87.15%=12.85%
E’ quindi corretto affermare che i valori sono compatibili con un livello di confidenza del 10%,
mentre non sono compatibili con un CL del 25%
Esercizi
Due carpentieri misurano con un metro a nastro la larghezza di una porta. Il primo trova
46.8 cm, il secondo 48.6 cm. Sapendo che l’incertezza su ognuna delle due misure può
essere stimata pari a 5 mm, dire a quale livello di confidenza le due misure sono compatibili
tra loro
Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t :
t
48.6  46.8
0.52  0.52

1.8
 2.55
0.707
Dalla tabella della gaussiana si ricava che la
probabilità corrispondente è: P(t)=98.92%
Il livello di confidenza CL è quindi pari a:
CL=100- P(t)=100%-98.92%=1.08%
Esercizi
I risultati ottenuti da 4 ricercatori circa la misura della velocità di propagazione del suono nell’aria sono:
ricercatore 1: v = 340 ± 8 m/s
ricercatore 2: v = 342 ± 6 m/s
ricercatore 3: v = 330 ± 16 m/s
ricercatore 4: v = 345 ± 3 m/s
Si chiede, quale è la miglior stima della velocità e quale è la sua incertezza. Indicare, inoltre, il grado di
compatibilità tra la misura che ha dato il risultato maggiore e quella che ha dato il risultato minore.
Esercizi
I risultati ottenuti da 4 ricercatori circa la misura della velocità di propagazione del suono nell’aria sono:
ricercatore 1: v = 340 ± 8 m/s
ricercatore 2: v = 342 ± 6 m/s
ricercatore 3: v = 330 ± 16 m/s
ricercatore 4: v = 345 ± 3 m/s
Si chiede, quale è la miglior stima della velocità e quale è la sua incertezza. Indicare, inoltre, il grado di
compatibilità tra la misura che ha dato il risultato maggiore e quella che ha dato il risultato minore.
i
xi
1

2
i
xi
 i2
340
8
0.01562
5.3108
342
6
0.02778
9.50076
330
16
0.00391
1.2903
345
3
0.11111
38.3295
0.15842
54.4314
N

i 1
1
 2.51
X best
best
0.15842
Tenendo conto delle cifre significative: 344  3 m / s
54.4314

 343.6
0.15842
X

I dati da confrontare per il calcolo di CL sono il terzo
e il quarto:
345  330
15
t

 0.92
2
2
16
.
28
3  16
Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità
corrispondente è: P(t)=64.24%
Il livello di confidenza CL è quindi pari a:
CL=100- P(t)=100%-64.24%=35.76%
Esercizi
Si consideri il parallelepipedo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati
della base e l’altezza trovando i seguenti valori:
a =(14 ± 3) cm; b =(10 ± 3) cm; cm; h=(36 ± 3) cm
Calcolare:
1) Il perimetro della base con il suo errore
2) L’area di base con il suo errore
h
3) Il volume del parallelepipedo con il suo errore
1) La base è un rettangolo il cui perimetro è pari a:
p  2a  2b  28  20  48 cm
b
a
Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per somme/differenze:
p 
2 a 2  2 b 2
2) L’area di base è pari a:

2  32  2  32
 72  8.49 cm
p=(48 ± 8) cm
A  a  b  140 cm2
Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per prodotti/rapporti:
   
3 3
  a    b         0.369   A  0.369 140  51.6 cm 2
A
 14   10 
 a  b
A
2
2
2
2
A=(140 ± 50) cm2
Esercizi
Si consideri il parallelepipedo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati
della base e l’altezza trovando i seguenti valori:
a =(14 ± 3) cm; b =(10 ± 3) cm; cm; h=(36 ± 3) cm
Calcolare:
1) Il perimetro della base con il suo errore
2) L’area di base con il suo errore
h
3) Il volume del parallelepipedo con il suo errore
3) Il volume è pari a:
b
V  a  b  h  5040 cm3
a
Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per prodotti/rapporti:
V
     
3 3  3
  a    b    h            0.37797
V
 14   10   36 
 a b  h
2
2
2
2
2
2
V  0.37797  5040  1905 cm3
V=(5000 ± 2000) cm3
Esercizi
Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una
colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di
batteri raddoppia. I tempi registrati sono:
biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giorni
biologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giorni
biologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorni
Trovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza.
Esercizi
Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una
colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di
batteri raddoppia. I tempi registrati sono:
biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giorni
biologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giorni
biologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorni
Trovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza.
Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata.
N
i
xi
1

2
i
xi

2
i
11.4
0.6
2.778
31.67
11.8
0.2
25
295
12.2
0.6
2.778
33.89
X best 
xi

i 1
N
best


N
N
i 1
30.556
360.56
360.56
 11.79998
30.556
2
i
1
1

i 1

X best 
1
i 1
X
2
i
X
best
2
i

1
 0.1809
30.556
Tenendo conto delle cifre significative:
(11.8  0.2) giorni
Esercizi
Si consideri una sferetta di massa m=25.40 ± 0.04 g, della quale si vuole determinare la
densità. Qual è la precisione con cui di deve determinare il diametro della sferetta per avere un
errore percentuale sulla densità inferiore all’1% ?
3
La densità della sferetta si esprime come:

m
V
4 d 
V    
m
3 2
 K 3
con
La densità della sferetta si può quindi riscrivere come:
(dove K è una costante che racchiude tutti i termini numerici)
d
E’ richiesto un errore percentuale sulla densità inferiore all’1%, cioè:
2
2



  

  m     3 d   0.01

d 
m 
Risolvendo la disuguaglianza rispetto all’errore relativo
sul diametro si ha:
 m   d 
2
     3   0.01
d 
m 
 0.04    d 
2

    3   0.01
d 
 25.40  
 d 
 0.04 
2



3

0
.
01





d
25
.
40




2
2
2
2
d
9.75 10 5

d
9

d
d
2
2
 
 9   d   9.75 10 5
d 
 0.0033
2
d
d
 0.33%
Esercizi
Un’analisi condotta si 1000 uomini ha rivelato che le altezze sono distribuite normalmente
attorno al valore (1.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attende con:
i) Altezza compresa tra 1.75 e 1.81 m
ii) Atezza maggiore di 1.85 m
iii) Altezza maggiore di 1.65 m
iv) Altezza compresa tra 1.65 e 1.75 m
Esercizi
Un’analisi condotta si 1000 uomini ha rivelato che le altezze sono distribuite normalmente
attorno al valore (1.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attende con:
i) Altezza compresa tra 1.75 e 1.81 m
ii) Atezza maggiore di 1.85 m
iii) Altezza maggiore di 1.65 m
iv) Altezza compresa tra 1.65 e 1.75 m
La distribuzione delle altezze è centrata sul valore medio 1.78 m con deviazione standard pari a:
S x  S x  N  0.005  1000  0.158
i) l’intervallo [1.75-1.81] è simmetrico rispetto al valore medio
Per il calcolo della probabilità associata a tale intervallo si ricava dapprima il valore di t e poi si
guarda la tabella della gaussiana:
0.03
x1  x  t  S x
Vi è quindi una probabilità di circa il
15% che gli uomini abbiano
un’altezza tra 1.75 e 1.78 m.
Essendo il campione composto da
1000 individui, ci si aspetta un
numero pari a:
N  1000 
15
 150
100
x2  x  t  S x
 1.75  1.78  t  0.158  t 
 0.19
0.158
0.03
 1.81  1.78  t  0.158  t 
 0.19
0.158
Esercizi
ii) Atezza maggiore di 1.85 m
ii) Il numero di uomini con altezza maggiore di 1.85 m si trova andando a determinare dapprima il
valore di t corrispondente a 1.85:
t
1.85  1.78
 0.44
0.158
Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=0.44) = 34%
e corrisponde all’a probabilità di avere un altezza tra 1.71 e
1.85 m (area blu). Noi siamo interessati però all’area rosa
che è pari a:
100  P(t ) 100  34
P x  1.85 

 33%
2
2
Essendo il campione composto da 1000 individui,
ci si aspetta un numero pari a:
33
N  1000 
 330
100
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
Esercizi
iii) Atezza maggiore di 1.65 m
iii) Il numero di uomini con altezza maggiore di 1.65 m si trova andando a determinare dapprima il
valore di t corrispondente a 1.65:
t
1.78  1.65
 0.82
0.158
Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=0.82) = 59% circa e
corrisponde all’a probabilità di avere un altezza tra 1.65 e 1.91 m (area
blu). Noi siamo interessati però alla somma dell’area blu e rosa che è
pari a:
P x  1.65  P(t ) 
100  P(t )
100  59
 59 
 79.5%
2
2
3.0
Essendo il campione composto da 1000 individui,
ci si aspetta un numero pari a:
2.5
2.0
N  1000 
1.5
1.0
0.5
0.0
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
79.5
 795
100
Esercizi
iv) Atezza compresa tra 1.65 m e 1.75 m
iv) Si ha a che fare con un intervallo non simmetrico (entrambi gli estremi sono a sinistra del valore
centrale della distribuzione. Si ricavano i corrispondenti valori di t e le probabilità associate,
disegnando le gaussiane.
t1 
3.0
1.78  1.65
 0.82  P(t1 )  59%
0.158
t2 
3.0
2.5
2.5
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
1.78  1.75
 0.19  P(t 2 )  15%
0.158
0.0
P(t1 ) P(t 2 )
P1.65  x  1.75 

 22%
2
2
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
N  1000 
1.9
2.0
2.1
2.2
22
 220
100
2.3
2.4