Che cos’è una retta?
CODOGNI GIULIO IVD
A.S. 2004-05
Possiamo definire il
concetto di retta in due
modi:
• A priori
• A posteriori
Metodo a priori
-
• Definiamo la retta
senza far ricorso
all’esperienza
• La definiamo a partire
da altre idee che già
abbiamo in mente
Metodo a posteriori
• Definiamo la retta a
partire dall’esperienza
• Definiamo la retta
come un oggetto che
ha la stessa forma di
un qualcosa di reale
(per esempio gli
spigoli di una stanza)
Possibile definizione a priori:
• Per definire la retta a priori dobbiamo
partire da altri enti geometrici, ma la retta
è il primi ente ad essere definito, insieme
al punto e al piano: non esisto ancora altri
enti geometrici a cui riferirsi!!! Tutti gli altri
enti vengono definiti a partire dal concetto
di retta, e perciò non possono essere usati
nella sua definizione!!!
Perciò:
Una definizione diretta della retta è
impossibile
Ma:
• Possiamo definire la retta a partire
semplicemente dalle sue proprietà (cioè
non “la retta è questo”, ma la retta è
qualunque cosa che goda di queste
proprietà”)
La definizione a priori di retta:
• La retta è un sottoinsieme proprio del
piano
• Per due punti distinti passa una ed una
sola retta
Ma questa definizione dà molti
problemi
Tanti oggetti diversi godono di
queste proprietà:
Due tipi di rette diverse:
Conseguenti pesanti di una
definizione semplice
• In tutte e due le immagini l’oggetto AB,
prima segmento e poi arco di
circonferenza, gode delle proprietà della
retta, quindi è una retta a pieno titolo
• Se noi scegliamo come retta il segmento
la somma degli angoli interni di un
triangolo è di 180 gradi, se scegliamo
l’arco di circonferenza è minore.
Capite cosa vuol dire
questo????
I teoremi della geometria non sono più
verità essolute perciò, per esempio,
non abbiamo più un modo univoco per
dire qual è la distanza tra due punti,
dipenderà anche quella da che idea di
retta scegliamo
Proviamo con la definizione a
posteriori
Forse avremo più fortuna
Allora, dobbiamo scegliere un
oggetto e dire che la retta ha la
sua forma
Potremmo provare dire che le
rette sono come gli spigoli di una
stanza prolungati all’infinito
Quadro di ESCHER
Uhmmm
• Questa litografia di Escher ci dice che
anche gli spigoli di una normalissima
stanza possono essere curvi se li
guardiamo da un punto di vista opportuno,
in questo caso riflessi su una sfera.
Neanche la definizione a posteriori
ci dà tante garanzie
• Baste guardare le cose da un altro punto
di vista che tutte le nostre certezze
crollano e si ricade nello stesso problema
di prima:
Non riusciamo a definire la
retta in maniera univoca
E quindi non abbiamo neanche un
modo univoco per misurare una
distanze
Una delle definizioni di rette più
accettate è:
• La retta è il percorso compiuto da un
raggio di luce (ovvero i raggi di luce si
muovono sempre in linea retta)
Questa definizione è la più
comoda perché la luce gode di
molto proprietà utili
Ma ci pone anche di fronte a tanti
problemi:
I problemi:
• Se un raggio di luce viene visto riflesso su
una sfera è comunque curvo
• Se un raggio di luce passa vicino ad una
massa sufficiente mente grande (per
esempio il sole) si incurva.
• Se cambia mezzo, per esempio se passa
dall’aria ad un diamante, cambia
direzione.
Immagine:Raggio di luce che si
incurva vicino il sole
Immagine: Raggio che si piega
quando passa in un diamante (Pink
Floyd)
Morale della favola:
• Non possiamo più pensare ad una
geometria ma a tante geometrie
• Dobbiamo pensare ad una geometria per
quando la retta è “dritta”, per quando è
“curva”, per quando è “spezzata”, ecc….
• Se cambia la natura dello spazio, per
esempio si passa da uno spazio vuoto ad
uno spazio con una grande massa al suo
interno, dobbiamo cambiare geometria.