Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
N – polo e bipolo
+
1
a
2
Bipolo
Terminali
Componente
Poli
elettrico
Nel caso del bipolo interessano:
Morsetti
N -ipolo
una tensione fra
morsetti (funzione del tempo)
va(t)
una corrente entrante
(funzione del tempo)
ia(t)
Il componente
interagisce
elettricamente
Versi
di riferimento
(obbligatori):
con altri
componenti solo
per mezzo
per
la corrente:
tensione:
segno
+ dei morsetti
via
lalacorrente
tensione
entra
del nel
morsetto
morsetto
1è1
o
Le grandezze elettriche di interesse
sono
solo
maggiore
ed esce
di quella
dal
morsetto
del morsetto
2
2
le tensioni e le correnti trelative ailalamorsetti
corrente
tensioneentra
del morsetto
nel morsetto
1è 2
o
minore
ed di
esce
quella
dal morsetto
del morsetto
1 2
1
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Bipolo: versi coordinati
a
+
Bipolo
Caso
21 : il segno
+ della
tensione
si trova
sul morsetto
da cui
Convenzione
della
potenza
uscente:
ililsegno
++della
entrante:
segno
dellatensione
tensione
entra
esce
la
la freccia
freccia
della
della
corrente
corrente
si trova sul
morsetto
da cui
esce
lalafreccia
entra
frecciadella
dellacorrente
corrente
La potenza pa(t) = va(t) ia(t) è potenza uscente
entrante
pa
o
o
la
la potenza
potenza elettrica
elettrica entra
esce
dal
nel bipolo
t
la
la potenza
potenza elettrica
elettrica entra
esce
dal
nel bipolo
tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); potenza in Watt (W)
2
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
3
Resistore ideale
v(t) = R i(t)
Convenzione della potenza entrante
+
equazione di definizione
del componente
R
L’equazione di definizione è legata alla scelta
dei versi coordinati di tensione e corrente
resistenza
+
Convenzione potenza uscente
v(t) = - R i(t)
v, i
Le forme d’onda di tensione e di corrente
seguono lo stesso andamento
tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); resistenza in Ohm (W)
t
M. Salerno
Tor Vergata
Resistore ideale:
proprietà
Componenti – Dominio del tempo
+
R
v(t) = R i(t)
Potenza entrante: p(t) = v(t) i(t) = R i2(t) > 0 , per R > 0
Se R > 0, la potenza entrante non è mai negativa: p(t) > 0
Il resistore (positivo) è un componente dissipativo
(vi è un trasferimento irreversibile di energia elettrica
verso il componente)
Se R < 0 il resistore è detto negativo. Allora risulta p(t) < 0
Il resistore negativo fornisce energia al circuito
4
M. Salerno
Tor Vergata
Resistore ideale:
proprietà
Componenti – Dominio del tempo
+
R
v(t) = R i(t)
Da v(t) = R i(t) si ottiene i(t) = (1/R) v(t), ovvero
i(t) = G v(t), ove G = 1/R è detta conduttanza del resistore
Potenza: p(t) = v(t) i(t) = v2(t) / R = G v2(t)
tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); conduttanza in Mho (W -1)
Da v(t) = R i(t) e i(t) = G v(t) si ha che, istante per istante,
la forma d’onda di tensione su un resistore segue quella di
corrente, e viceversa. Si dice allora che il resistore è un
componente istantaneo (o senza memoria)
5
M. Salerno
Tor Vergata
Componenti – Dominio del tempo
Resistore reale
Resistori reali sono presenti nei circuiti elettrici:
a) come effettivi componenti circuitali
R > 0; la potenza p(t) è dissipata nel resistore come potenza termica
b) come elementi di schemi equivalenti:
in dispositivi elettronici, R >
< 0;
in apparati nei quali la potenza elettrica p(t) è trasformata
in modo irreversibile in altra forma di energia:
esempi: ai morsetti di elementi di illuminazione (energia luminosa)
ai morsetti di apparati di antenna (energia elettromagnetica)
ai morsetti di alcuni tipi di motori elettrici (energia meccanica)
Valori di R : da qualche mW (10-3 W ) a varie centinaia di MW (106 W )
in apparati audio: qualche kW (103 W )
in apparati video: intorno ai 100 W
6
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
7
Resistore reale: alcune cause di
non idealità
v
vmax
corrente massima
imax
tensione massima
vmax
potenza massima pmax
imax
i
Caso IDEALE
v(t) = R i(t)
per
i=0
si ha v(t) = 0
Caso REALE
per
i=0
si ha vr(t) =/ 0
(da pochi mW a
qualche MW)
Il resistore è sempre fornito con l’indicazione
della potenza massima
(Sistema di raffreddamento)
(Tempo massimo di funzionamento)
vr(t) Tensione di rumore
t
La tensione di rumore è funzione di R e della
temperatura (assoluta)
M. Salerno
Tor Vergata
Induttore ideale
d
i(t)
v(t) = L
dt
equazione di definizione
del componente
Dalla equazione di definizione si ottiene:
ove t0 è un istante precedente a t
Componenti – Dominio del tempo
8
Convenzione potenza entrante
+
L
induttanza
t
1
i (t ) =
v(t) dt + i (t0 )
L t
0

Le forme d’onda di tensione e di corrente su un induttore
sono differenti e non c’è legame istantaneo. Si dice allora che
l’induttore è un componente con memoria
tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); induttanza in Henry (H)
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Induttore ideale:
potenza assorbita
+
9
L
v(t) = L d i(t) / d t
Potenza entrante: p(t) = v(t) i(t) = L i (t) [d i(t) / d t ] > 0
<
Il segno della potenza dipende dal valore e dall’andamento di i(t)
Esempi
i
i
i
i
p>0
p<0
p>0
t
p<0
t
t
A seconda del segno e dell’andamento della corrente,
l’induttore assorbe o cede potenza al circuito. Pertanto
l’induttore è un componente reattivo
t
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Induttore ideale:
energia
+
10
L
v(t) = L d i(t) / d t
Energia immagazzinata (per L > 0) :
E =

p(t) d t =


L i (t) [d i(t) / d t ] d t = L i d i = _1_L i 2 > 0
2
L’energia immagazzinata in un induttore dipende dalla
corrente e non è mai negativa (per L > 0)
Lo stato energetico di un induttore è funzione della corrente
Nell’induttore, i(t) è una variabile di stato
corrente in Ampère (A); induttanza in Henry (H); energia in Joule (J)
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Induttore ideale:
proprietà
i
t2
L
v(t) = L d i(t) / d t
Energia immagazzinata E1 = 0
o
o
t1
+
o
t3
Energia immagazzinata E2 > 0
t
Energia immagazzinata E3 = 0
Nell’intervallo [t1 , t2 ] l’induttore assorbe dal circuito l’energia E2
Nell’intervallo [t2 , t3 ] l’induttore restituisce al circuito l’energia E2
Nell’induttore vi è un trasferimento reversibile di energia
L’induttore ideale è un
Componente senza perdite energetiche
In questo circuito ideale la corrente è costante
Risulta costante anche l’energia immagazzinata
11
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Induttore ideale:
proprietà
+
12
L
v(t) = L d i(t) / d t
In un induttore ideale non vi sono particolari condizioni
sulla funzione v(t) (che non è una variabile di stato)
Per la funzione i(t) vi sono invece delle limitazioni
Esempio
i
v
i0
+
t0
i0
t0
t
t
All’istante
correntevada
passa
istantaneamente
da piccolissimo,
i0 a zero
Se si suppone
chet0lalacorrente
a zero
in un intervallo
ma non
nullo nell’intorno
t0 , sicon
ottiene
un piccodell’induttore
di tensione
L’andamento
di i(t) dell’istante
è incompatibile
l’equazione
negativa
molto
elevata
extra-tensione
di apertura)
Allo
stesso
istante(detta
l’induttore
cede al circuito
tutta l’energia immagazzinata
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Induttore reale
La principale causa di non idealità degli induttori reali
è la presenza di un componente resistivo indesiderato
posto in serie (resistore parassita)
L
R
per R = 0  induttore ideale
L’induttore reale non è un componente senza perdite
Se l’energia immagazzinata E > 0, allora i =/ 0
Se la corrente i =/ 0, allora vi è potenza dissipata sul resistore parassita
L’energia immagazzinata nell’induttore diminuisce con il tempo
Valori di L : da qualche mH (10-6 H ) a qualche H
13
M. Salerno
Tor Vergata
Componenti – Dominio del tempo
Condensatore ideale
d v(t)
i(t) = C
+
dt
equazione di definizione
del componente
Dalla equazione di definizione si ottiene:
ove t0 è un istante precedente a t
14
Convenzione potenza entrante
C
capacità
t
1
v(t ) =
i(t) dt + v (t0 )
C t
0

Le forme d’onda di tensione e di corrente su un condensatore
sono differenti e non c’è legame istantaneo. Si dice allora che
il condensatore è un componente con memoria
tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); capacità in Farad (F)
M. Salerno
Tor Vergata
Componenti – Dominio del tempo
Dualità
Confrontando le equazioni di definizione
dell’induttore e del condensatore si notano delle
analogie. Si dice che i due componenti sono duali
v
d
i
(t)
vi (t) = C
L
dt
1
E= 2 C
L vi 2
Tabella di dualità
v
i
L
C
Il principio di dualità è molto esteso e deriva dalle equazioni
generali dell’elettromagnetismo. L’uso della tabella delle grandezze
duali è molto utile anche a fini mnemonici
15
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Condensatore ideale:
potenza assorbita
+
16
C
i(t) = C d v(t) / d t
Potenza entrante: p(t) = v(t) i(t) = C v (t) [d v(t) / d t ] > 0
<
Il segno della potenza dipende dal valore e dall’andamento di v(t)
Esempi
v
p>0
v
t
p<0
v
p<0
t
v
p>0
t
t
A seconda del segno e dell’andamento della tensione,
il condensatore assorbe o cede potenza al circuito. Pertanto
il condensatore è un componente reattivo
Tutte le considerazioni sulla potenza assorbita dal condensatore ideale si possono
ricavare da quelle relative all’induttore per mezzo del principio di dualità
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Condensatore ideale:
energia
+
17
C
i(t) = C d v(t) / d t
Energia immagazzinata (per C > 0) :

E = p(t) d t =


C v (t) [d v(t) / d t ] d t = C v d v = 1 C v2 > 0
2
L’energia immagazzinata in un condensatore dipende dalla
tensione e non è mai negativa (per C > 0)
Lo stato energetico di un condensatore è funzione della
tensione. Nel condensatore, v(t) è una variabile di stato
tensione in Volt (V); capacità in Farad (F); energia in Joule (J)
Tutte le considerazioni sulla energia immagazzinata dal condensatore ideale si
possono ricavare da quelle relative all’induttore per mezzo del principio di dualità
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Condensatore ideale:
proprietà
v
t2
C
i(t) = C d v(t) / d t
Energia immagazzinata E1 = 0
o
o
t1
+
o
t3
Energia immagazzinata E2 > 0
t
Energia immagazzinata E3 = 0
Nell’intervallo [t1 , t2] il condensatore assorbe dal circuito l’energia E2
Nell’intervallo [t2 , t3] il condensatore restituisce al circuito l’energia E2
Nel condensatore vi è un trasferimento reversibile di energia
Il condensatore ideale è, come l’induttore, un
Componente senza perdite energetiche
+
In questo circuito ideale la tensione è costante
Risulta costante anche l’energia immagazzinata
18
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Condensatore ideale:
proprietà
+
19
C
i(t) = C d v(t) / d t
In un condensatore ideale non vi sono particolari condizioni
sulla funzione i(t) (che non è una variabile di stato)
Per la funzione v(t) vi sono invece delle limitazioni
Esempio
+
v
i
v0
t0
t0
t
t
SeAll’istante
si supponet0che
la la
tensione
tensione
passa
vadaistantaneamente
a zero in un intervallo
da v0 apiccolissimo,
zero
maL’andamento
non nullo nell’intorno
dell’istante t0con
, si l’equazione
ottiene un impulso
di corrente
di v(t) è incompatibile
del condensatore
(negativa)
molto
elevata
Allo stesso
istante
il condensatore cede al circuito tutta l’energia immagazzinata
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
20
Condensatore reale
La principale causa di non idealità dei condensatori reali
è la presenza di un componente resistivo indesiderato
posto in parallelo (resistore parassita)
C
Condensatore ideale per R
R

Conduttanza G= 1/R = 0
Il condensatore reale non è un componente senza perdite
Se l’energia immagazzinata E > 0, allora v =/ 0
Se la tensione v =/ 0, allora vi è potenza dissipata sul resistore parassita
L’energia immagazzinata nel condensatore diminuisce con il tempo
Valori di C : da qualche pF (10-12 F ) a qualche mF (10-3 F )
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Dualità
Sulla base degli schemi equivalenti dell’induttore e del
condensatore reale, la tabella delle dualità può
essere estesa nel modo seguente
L
R
Tabella di dualità
v
i
L
C
Induttore ideale per R = 0
C
serie
R=1/G
Condensatore ideale per G = 0
R
parallelo
G
21
M. Salerno
Tor Vergata
Componenti – Dominio del tempo
22
Componenti reattivi reali
Per l’induttore: corrente massima imax.
Il superamento di imax comporta generalmente l’interruzione della connessione fra i morsetti
Per il condensatore: tensione massima vmax.
Il superamento di vmax comporta generalmente l’instaurazione di una connessione diretta fra i
morsetti (condensatore in corto circuito)
Il condensatore è sempre fornito con
l’indicazione della tensione massima
Attenzione! Valori elevati di capacità, con vmax elevate, possono costituire pericolo per gli
operatori. Esempio: C = 10 mF, con vmax = 1000 V, corrisponde a un’energia E = 0,5 x 10 J =
5 J, sufficiente a creare grave danno. Le condizioni di pericolo possono sussistere anche ad
apparecchiature spente
In aggiunta ai componenti specifici, induttori sono presenti in molti schemi equivalenti di
macchine elettriche, impianti elettrici, ecc. Nel caso di disinserzione rapida, tali dispositivi
sono soggetti a extra-tensione di apertura. Condensatori equivalenti sono presenti fra
conduttori affiancati, in presenza di sensibili differenze di potenziale.
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
23
Generatore ideale di tensione
+
v(t) = vg(t)
equazione di definizione
del componente
vg(t)
tensione impressa
L’equazione di definizione stabilisce un andamento prefissato per la tensione v(t)
Tale tensione segue l’andamento vg(t), indipendentemente dalla corrente che
percorre il componente. Si dice che vg(t) è una grandezza impressa
vg
Esempi vg
vg
vg(t) = 0
V
t
tensione sinusoidale
vg(t) = sin t
t
tensione costante
vg(t) = V
t
equivalente a
tensione nulla
vg(t) = 0
corto circuito
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Generatore ideale
di tensione
+
+
Connessione serie
Tor Vergata
Caso particolare:
generatore di tensione in c.c.
vg(t)
+
vg2(t)
vg1(t)
Connessione parallelo
+
+
vg1(t)
+
vg2(t)
generatore in c.c.
vg1(t) + vg2(t)
Connessione
non valida
per
vg1(t) =/ v0g2(t)
Il parallelo di più generatori ideali di tensione (differenti) non è una connessione valida
poiché più tensioni differenti sono applicate agli stessi morsetti.
Un generatore ideale di tensione (non nullo) non può essere posto in un corto circuito.
24
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Generatore ideale
di tensione: potenza erogata
Convenzione potenza
uscente
La potenza p(t) = vg (t) i(t) è potenza erogata in base alla
scelta dei versi coordinati della tensione e della corrente.
Il segno e il valore di p(t) sono indeterminati, essendo
indeterminato il valore di i(t)
i(t)
+
vg(t)
vg , i
1
il generatore fornisce potenza
al circuito
o
o
2
3
o
o
+
vg(t)
i(t)
4
t
il generatore assorbe potenza
dal circuito
P
Perogata = vg i
R
R
i = vg / R
i
i
P
0


25
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
26
Generatore reale di tensione
Principali cause di non idealità:
a) la potenza erogabile non è infinita
b) la tensione erogata dipende dalla corrente
Si considera lo schema equivalente costituito da un
generatore di tensione ideale in serie a un resistore
C
R
+
i(t)
vg(t)
+
A
v(t)
B
R : resistenza
interna
Generatore
ideale per
R=0
v = vg – R i
icc = vg / R
v = vg
i = icc
per
per
v
caso ideale: R = 0
vg
icc
i
i = 0 (tensione a vuoto)
v = 0 (corrente di corto circuito)
A e B sono i morsetti esterni del generatore reale di tensione (C non è accessibile)
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
27
Potenza erogata dal generatore
Tor Vergata
R
vg
+
p=vi=
= (vg – R i) i
+
i
v
R=0
p
pmax
pmax = vg 2 / 4R
+
+
R
R
vg
+
vg
R
i
icc
icc /2
i
In queste condizioni di chiusura il circuito è
detto adattato ed eroga sul carico la
massima potenza (potenza disponibile).
vg
2
Ru
icc = vg / R
icc /2 = vg /2R
potenza utile
P = i2 R
Rendimento
= Pu / Pe =
(Ru/R)
potenza erogata
=
Pe = i2 (R + Ru )
1 + (Ru/R)
u
u

1
.5
1
Ru / R
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
28
Potenza erogata dal generatore
Caso di circuiti di potenza
Interessa garantire alti rendimenti
+
R
vg
+v
i Ru
v
vg
Ru >> R
Ru / R
P
pmax
p << pmax
icc
imax
Caso di circuiti di segnale
Interessa ottenere la max potenza
sul carico (adattamento)
R
1
i << icc
v  vg
vg
i < imax
+

+
v
i R
v
icc /2
i

1
Ru = R
 = 0,5
.5
1
Ru / R
P
i = icc / 2
v = vg / 2
vg
vg /2
i
pmax
p = pmax
icc
i
i
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
29
Generatore ideale di corrente
i(t) = ig(t)
equazione di definizione
del componente
ig(t)
corrente impressa
L’equazione di definizione stabilisce un andamento prefissato per la corrente i(t)
Tale corrente segue l’andamento ig(t), indipendentemente dalla tensione ai capi
del componente. Si dice che ig(t) è una grandezza impressa
ig
Esempi ig
ig
ig(t) = 0
I
t
corrente sinusoidale
ig(t) = sin t
t
corrente costante
ig(t) = I
t
corrente nulla
ig(t) = 0
equivalente a
circuito aperto
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Generatore ideale
di corrente
ig(t)
ig1(t)
Connessione parallelo
ig2(t)
Connessione serie
Caso particolare:
generatore di corrente
aperto
ig1(t)
ig2(t)
generatore aperto
ig1(t) + ig2(t)
Connessione
non valida per
ig1(t) =/ i0g2(t)
La serie di più generatori ideali di corrente (differenti) non è una connessione valida
poiché più correnti differenti devono percorrere lo stesso ramo.
Un generatore ideale di corrente (non nullo) non può essere lasciato aperto.
30
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Generatori ideali
Tor Vergata
ig1(t)
Connessioni
miste
+
+
vg2(t)
vg2(t)
+
ig1(t)
vg2(t)
ig1(t)
Dualità: i generatori di tensione e di corrente sono due componenti duali
+
vg
R
i
+
v
Tabella di dualità
v ------ i
serie ---- parallelo
R ----- G
i
ig
G
+
v
31
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Equivalenza generatori reali
di tensione e di corrente
R
vg
+
+
i
v
v = vg – R i
icc = vg / R
v = vg
i = icc
Gen. reale di corrente
ig
i
G
Condizioni
di equivalenza

+
v
per
per
v
caso ideale: R = 0
vg
i = 0 (tensione a vuoto) icc i
v = 0 (corrente di corto circuito)
i = ig – G v
vca = ig / G
v
vca
caso ideale:
G=0
i
v = vca per i = 0 (tensione a vuoto) ig
i = ig per v = 0 (corrente di corto circuito)
vg = vca = ig / G
ig = icc = vg / R

R=1/G
vg = R ig
Si tratta della
stessa resistenza
32
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Generatori reali
Impianti di alimentazione a tensione costante
+
v (t)
Carico
A
g
Carico
B
Carico
C
La presenza del generatore ideale di tensione fa sì che l’inserzione o la disinserzione di un carico non
influenza il funzionamento degli altri. Se il generatore è reale ciò vale solo in modo approssimato.
Generatori di tensione: pile, accumulatori, prese di corrente, ecc.
Carichi: lampadine, elettrodomestici, motori, ecc.
Es. di trasformazione di un gen. reale di corrente in un gen. reale di tensione
ig
G
Gen. di corrente
ig= 10 mA
R =1/G = 10 MW
Gen. di tensione
vg= .01 x 107 = 0.1 MV
R = 10 MW
+
vg
R
33
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
34
Tor Vergata
Elementi
due-porte
1
3
i1
2
1
i3
Quadripolo
La coppia di morsetti 1, 3 forma una porta se risulta
Anche la coppia di morsetti 2, 4 forma una porta se risulta
i2
i4
2
4
i1 + i 3 = 0
i2 + i 4 = 0
Si ottiene così un elemento (o rete) due-porte, indicato nel modo seguente
+
v1
i1
2
1
i2
+
v2
Rete due porte

Porta 1: p1 = v1 i1
Potenza entrante
Porta 2: p2 = v2 i2
Non vengono indicate
le correnti i3 e i4
poiché sono rispettivamente uguali
alle correnti - i1 e - i2
Totale: p = v1 i1 + v2 i2
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
35
Induttori accoppiati
d i1(t)
d i2(t)
v1(t) = L1
+M
dt
dt
d i1(t)
d i2(t)
v2(t) = M
+ L2
dt
dt
equazioni di definizione
del componente
Potenza entrante
i1
+
v1
L1
M
i2
L2
+
v2
L1 induttanza primaria
L2 induttanza secondaria
M coeff. di mutua induzione
p = v 1 i1 + v 2 i 2 =
d i1(t)
d i2(t)
d i1(t)
d i2(t) >
_____
_____
_____
_____
0
= L1i1
+ M i1
+ M i2
+ L 2i 2
<
dt
dt
dt
dt
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
36
Induttori accoppiati: passività
Sono passivi i componenti che non hanno fonti di energia interna
Sono passivi i resistori (per R >0), gli induttori e i condensatori (per L > e C > 0)
Sono attivi i componenti che hanno fonti di energia interna (p.es. res. con R<0)
Induttori accoppiati: passivi se l’energia immagazzinata non è mai negativa
 
= L i di + [Mi di +Mi di ]+ L i di



E = p(t) d t = [L1i1
1 1
1
d i1(t)
____
dt
1
+ M i1
2
d i2(t)
____
dt
2
+ M i2
1
1
1
2 + M i i + __
2
= __
L
i
1 1
1 2
2
2 L2 i2 =
1
2 [(L /L ) x 2 + (2 M /L ) x + 1] > 0
= __
L
i
1 2
1
2
2 22
d i1(t)
____
dt
2 2
posto
+ L2i2
2
d i2(t)
____
dt
=
x = i1/i2
( passività )
]dt
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Induttori accoppiati: passività
Per la passività, l’energia immagazzinata deve essere non negativa
E=
__
1
2
L2i22 [(L1/L2) x12 + (2 M /L2) x + 1] > 0
> 0 per
> 0 per
(M /L2)2 - (L1/L2) < 0
L2 > 0
Condizioni
di passività
L1 > 0 ; L2 > 0
M2 < L1 L2
x = i1/i2
M2 = L1 L2
| M| <
L1 L2
per ogni x
x = i1/i2
M2 < L1 L2
Coefficiente di
accoppiamento
k = |M | /
0<k<1
k=1
L1 L2
accoppiamento
perfetto
37
M. Salerno
Tor Vergata
Componenti – Dominio del tempo
38
Trasformatore ideale
i1
v2(t) = n v1(t)
1 i (t)
i2(t) = - __
n 1
equazioni di definizione
del componente
1:n
i2
+
v2
+
v1
1:n rapporto di trasformazione
Le induttanze accoppiate e il trasformatore ideale sono due diverse
approssimazioni dello stesso dispositivo
Le induttanze accoppiate sono componenti con memoria
Il trasformatore ideale è componente senza memoria
Potenza entrante p = v1 i1 + v2 i2 =
= v1 i1 + n v1 [- (1/n) i1] = 0
Il trasformatore ideale
non dissipa e non genera
potenza
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
A
Trasformatore ideale: applicazioni
i1
+
v1
n:1
i2
+
v2
R
B


v1(t) = n v2(t) Equazioni trasformatore
1 i (t) (attenzione al rapporto n:1)
i1(t) = - __
2
n
Equazione resistore
v2(t) = - R i2(t) (attenzione ai versi
coordinati)
A’
n2 R
B’
39
v1 = n v2 = - n R i2 =
= - n R (- n i1) = n 2 R i1
I bipoli A B e A’ B’ sono equivalenti rispetto a qualunque circuito a cui essi
siano connessi
Nel bipolo A B tutta la potenza entrante è dissipata sul resistore R.
Il trasformatore ideale permette il transito della potenza dalla porta 1 verso la
porta 2, senza dissipazioni interne
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Trasformatore ideale: applicazioni
i1
+
v1
1:1
i2
+
v2
Trasformatore ideale di rapporto di trasformazione 1 : 1.
Le tensioni e le correnti fra la prima e la seconda porta
non subiscono variazioni
1:1
Esempio di applicazione
La tensione alla porta 1 del circuito
due porte v1 è pari a vA – vB
Il terminale di massa è a tensione
vB rispetto al terminale di terra.
Questi terminali non possono
essere connessi
Circuito due porte
sbilanciato
+
1
vA
+
vB
2
massa
terra
Dopo l’inserzione del trasformatore 1 : 1, la tensione alla porta 1 del circuito due porte v 1 è sempre
pari a vA – vB . Tuttavia ora è possibile connettere a terra il terminale di massa, senza mettere in
corto il generatore vB
40
M. Salerno
Tor Vergata
Componenti – Dominio del tempo
Generatori controllati
vv22(t)
(t)==kkvi11(t)
iv11(t)
(t)==00
equazioni di definizione
del componente
i2(t)
i1(t)
+
v1(t)
+
k
v2(t)
k trans-resistenza ( W )
k(resistenza
guadagno
in tensione
di trasferimento)
Generatore di tensione controllato in tensione
corrente
i1v(t)(t) : corrente
di di
controllo
: tensione
controllo
1
v2v(t)(t) : tensione
controllata
: tensione
controllata
2
I generatori controllati si comportano come i generatori ideali, ma la grandezza
controllata dipende dalla grandezza di controllo e non è una funzione impressa.
Si usano in schemi equivalenti, p.es. in elettronica
41
M. Salerno
Tor Vergata
Componenti – Dominio del tempo
Generatori controllati
i2(t)
i1(t)
i22(t) = k vi11(t)
vi11(t) = 0
equazioni di definizione
del componente
+
v1(t)
+
k
v2(t)
k trans-conduttanza ( W -1)
k guadagno in corrente
(conduttanza di trasferimento)
Generatore di corrente controllato in corrente
tensione
v1i (t)
: tensione di controllo
1 (t) : corrente di controllo
ii2 (t)
: corrente controllata
2 (t) : corrente controllata
La potenza entrante nella porta di controllo è nulla. La potenza uscente dalla
porta controllata dipende dalla tensione e dalla corrente di uscita e può assumere
qualunque valore (> = < 0). I generatori controllati sono componenti attivi
42
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
43
Nullore
Generatore di tensione controllato
in tensione : elementi parassiti
i1
+
v
G
1
i2
+
R
vg
+v
2
vg = k v1 ; i2 indeterminata
Ipotesi
v g = k v1
Caso ideale
Caso ideale
k molto elevato
k infinito
v1 tende a zero
v1 zero
v2 limitato v2 indeterminato
i1 = 0
v2 = vg
la potenza entrante nella
porta 1 è maggiore di zero
Nullore
+
i1(t)
v1(t)
v1 = 0
i1 = 0
G = 0; R = 0
i1 = 0 ; v2 = vg
Guadagni
tensione v2 /v1 = k
corrente i2 /i1 = 
potenza p2 /p1 = 
8
i2(t)
+
v2(t)
v2 indeterminata
i2 indeterminata
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Nullore
Tor Vergata
8
v1 = 0
i1 = 0
nullatore
noratore
amplificatore operazionale
simbolo circuitale
simbolo tecnico
Esempio
R1
+
v
g
i1
A
i1
R1
R2
R2
8
+
massa
i1 = vg / R1 ; v2 = - R2 i1
v2
Ru
v2i1= - (R2 / R1 ) vg+
+
i1 = vg / R1
v
i
1
g
A
v2 = - R2 i1
massa virtuale
44
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
45
Linearità
Resistore, Induttore, Condensatore
Induttori accoppiati,Trasformatore ideale
Generatori controllati, Nullore
e(t)
Circuito lineare
Circuito costituito da
componenti lineari

u(t)
Componenti Lineari
equazioni di definizione lineari
(algebriche o differenziali)
e(t) : eccitazione
generatore
di tensione o
di corrente
u(t) : risposta
una tensione o
una corrente
del circuito
Esistono altri componenti, come il diodo,
cheeccitazione
sono non lineari. Un circuito è non lineare se
Nessuna
contiene anche un solo componente non lineare. Nel presente Correnti
corso nonnulle
saranno
sugliconsiderati
induttori
Energia immagazzinata nulla
componenti
e circuiti
risposte
nulle per
ogni non
t lineari
Tensioni nulle sui condensatori
Circuito a riposo

Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Sovrapposizione degli effetti
e1(t)
e2(t)
Circuito
lineare
a riposo
u21(t)= u1(t) + u2(t)
u(t)
caso a: u1(t) risposta all’eccitazione e1(t)
caso b: u2(t) risposta all’eccitazione e2(t)
caso c: u(t) = u1(t) + u2(t) risposta alle eccitazioni e1(t) e e2(t)
Le
eccitazioni
e1(t) una
e e2(t)
sono
inserire in
punti
dell’altra
circuito,
mentre la
Quando
è presente
sola
eccitazione
(caso
a diversi
o caso b),
è disattivata.
Il principio
di sovrapposizione
degli effetti
persono
ogniprese
circuito
lineare.
risposta
totale u(t),
e le rispostediparziali
u1(t)
+vale
u2(t),
allo
stesso
Per disattivare
un generatore
tensione,
sostituirlo
con un
corto
circuito.
Si può
estendere
facilmente ala caso
diper
un numero
qualsiasi
di eccitazioni.
punto.
Il circuito
inizialmente
riposo
evitare che
risposte
si
Per disattivare
unè generatore
di corrente,
sostituirlo
conulteriori
un circuito
aperto.
sovrappongano a causa della energia iniziale presente nei componenti reattivi
46
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Teorema di sostituzione
i(t)
+
Circuito A
lineare
Circuito A
lineare
v(t)
Circuito B
lineare
a riposo
equivalenza n. 2
1
+
v(t)
i(t)
Ai fini del circuito A, il bipolo B può essere sostituito dal generatore di corrente
tensione v(t)
i(t)
L’equivalenza non vale se il circuito A si riduce a sua volta a un solo
generatore di corrente
tensione
47
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Teorema di Thévenin
circuito A a vuoto
eccitazioni
di tensione
Circuito
Circuito
A
A
disattivato
+
Circuito lineare
a riposo
Circuito
Circuito B
lineare
a riposo
vv(t)
v(t)
0(t)
1
eccitazioni
di corrente
teorema
teorema
di
di sostituzione
sostituzione
generatore
disattivato
eccitazioni dieccitazioni
eccitazione di corrente
circuito
equivalente
Thévenin
eccitazioni
presenti nel
circuito
tensione
a vuoto
sovrapposizione
v0(t)
degli effetti
+
di tensione di corrente
interne al circuito
A
Circuito
A
che sostituisce
il circuito B
+
attivate disattivato
disattivata
disattivate
v(t)
attivata
risposta v(t)
v(t) = v0(t) + v1(t)
Circuito
tensione a B
vuoto v0(t)
lineare
tensione v1(t) su
a riposo
circuito
A disattivato
Teorema di sostituzione (e Teorema di Thévenin)
generatore di
circuito A
in
serie
Circuito
validi
solo seAil circuito A non
coincide
di corrente
tensione
v0(t)con un solo generatore
disattivato
48
Componenti – Dominio del tempo
M. Salerno
Tor Vergata
Teorema di Norton
circuito A in corto circuito
eccitazioni
di tensione
Circuito
Circuito
A
A
disattivato
Circuito lineare
a riposo
ii(t)
(t)
cc(t)
1
eccitazioni
di corrente
eccitazioni dieccitazioni
circuito
equivalente
Norton
eccitazioni
presenti nel
circuito
corrente
di c.c.
sovrapposizione
icc(t)
degli effetti
Circuito
Circuito B
lineare
a riposo
teorema
teorema
di
di sostituzione
sostituzione
generatore
disattivato
eccitazione di tensione
che sostituisce
il circuito B
i(t) = icc(t) + i1(t)
attivate Circuito A disattivatai(t)
disattivate disattivato attivata
Circuito
corrente diBc.c. icc(t)
lineare
corrente i1(t) su
a riposo
circuito
A disattivato
di tensione di corrente
interne al circuito A
risposta i(t)
Teorema di sostituzione (e Teorema di Norton) in
generatore di
circuito A
Circuito
validi
solo seAil circuito A non
coincide
solo generatore
di tensione
corrente
icc(t)con un
disattivato
parallelo
49