DALLA CONGRUENZA
ALLA MISURA
FIGURE UGUALI: quando sono formate dagli stessi punti
FIGURE CONGRUENTI: quando esiste un movimento
rigido che le porta a coincidere
Assumiamo il MOVIMENTO RIGIDO come concetto primitivo
ASSIOMI DELLA CONGRUENZA


Ogni figura è congruente a se stessa (proprietà riflessiva)
Se una figura A è congruente ad una figura B allora B è congruente
ad A ( proprietà simmetrica)
B
A

Se una figura A è congruente a B e B è congruente a C, allora A è
congruente a C (proprietà transitiva)
A
B
C
ASSIOMI DELLA CONGRUENZA
Tutti i punti sono congruenti fra loro.
Tutte le rette sono congruenti fra loro.
Tutte le semirette sono congruenti fra loro
Tutti i piani sono congruenti fra loro.
Tutti i semipiani sono congruenti fra loro.
Dato un segmento AB ed una semiretta r di origine O, esiste unico punto
P appartenente alla semiretta r tale che AB è congruente ad OP
A
B
O
P
ASSIOMI DELLA CONGRUENZA
̂ b e una semiretta a' di origine O' su ognuno dei due
Dato un angolo a O
semipiani generati dalla retta che contiene la semiretta a', esiste unica
̂ b≈ a ' O
̂ b'
semiretta b' tale che a O
b'
b
O
a
O'
a'
b'
DEFINIZIONE
Un POLIGONO che ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti si
dice REGOLARE
QUADRATO
TRIANGOLO
ESAGONO
PENTAGONO
OTTAGONO
GEOGEBRA
GeoGebra è un programma adatto per l'apprendimento di
geometria, algebra e analisi. Sviluppato da Markus
Hohenwarter presso la Florida Atlantic University, per la
didattica della matematica nella scuola, è un sistema di
geometria dinamica con il quale è possibile eseguire
costruzioni con punti, vettori, segmenti, rette, coniche e
funzioni e successivamente modificarle dinamicamente. Ma
GeoGebra può gestire contemporaneamente variabili
numeriche, vettori e punti, calcolare derivate e integrali di
funzioni e dispone di comandi come Radice o Estremo. I due
punti di vista, quello puramente geometrico e quello algebricoanalitico, sono caratteristici di GeoGebra: un'espressione nella
finestra algebra corrisponde a un oggetto nella finestra
geometria e viceversa.
GEOGEBRA
La finestra del software all'avvio
GEOGEBRA
PRIMA ICONA: MUOVI
MUOVI
Consente di trascinare e rilasciare oggetti liberi con il mouse. Dopo aver
selezionato un oggetto in modalità Muovi è possibile eliminarlo premendo il
tasto Canc o muoverlo utilizzando i tasti freccia. La modalità Muovi si attiva
anche premendo il tasto Esc.
Dopo aver selezionato il centro di rotazione, è
possibile ruotare gli oggetti liberi intorno a questo
punto, trascinandoli con il mouse.
Ruota intorno a un punto
GEOGEBRA
SECONDA ICONA: PUNTI
Nuovo Punto
Per creare un nuovo punto, fare clic sul foglio da disegno. Le coordinate del
punto vengono fissate quando il pulsante del mouse viene rilasciato.
Facendo clic su un segmento, una retta, una curva si crea un punto
vincolato su questo oggetto. Facendo clic sull’intersezione di due oggetti si
genera il punto di intersezione.
Intersezione di due oggetti
Punto medio
I punti di intersezione di due oggetti possono essere
determinati in due modi:
- selezionando due oggetti vengono creati tutti i punti
di intersezione (se possibile);
- facendo clic su un’intersezione di due oggetti viene
creato solamente quel punto di intersezione.
Fare clic su: due punti per ottenerne il punto medio;
un segmento per ottenerne il punto medio; una
conica per ottenerne il centro.
GEOGEBRA
TERZA ICONA: SEGMENTI
Selezionando due punti A e B viene tracciata la retta per A e B. Il vettore
direzione della retta è (B-A).
Retta per due punti
Selezionare due punti A e B per creare il segmento di
estremi A e B. Nella finestra algebra viene
visualizzata la lunghezza del segmento.
Segmento
Segmento di
data lunghezza
da un punto
Semiretta
Vettore tra
due punti
Vettore da
un punto
Fare clic su un punto A, primo estremo del segmento.
Nella finestra che viene visualizzata di seguito
specificare la lunghezza desiderata.
Selezionando due punti A e B viene generata la
semiretta uscente da A e passante per B. Nella
finestra algebra viene visualizzata l’equazione della
retta corrispondente.
Selezionare il punto di applicazione e il punto finale
del vettore.
Selezionare un punto A e un vettore v per creare il
punto B = A + v e il vettore da A a B.
Questi comandi a
noi non
serviranno.
GEOGEBRA
QUARTA ICONA: COSTRUZIONI
Selezionando una retta g e un punto A viene tracciata la retta per A
perpendicolare a g.
Retta
perpendicolare
Retta
parallela
Selezionando una retta g e un punto A viene tracciata la retta per A
parallela a g.
L’asse di un segmento viene tracciato selezionando un segmento s o due
Asse del punti A e B.
segmento
La bisettrice di un angolo può essere tracciata in due modi: selezionando tre
punti A, B, C si genera la bisettrice dell'angolo da essi definito, in cui B è il
Bisettrice vertice; selezionando due rette si generano le due bisettrici degli angoli da
esse formati.
Luogo geometrico
Tangenti
Polare
Questi comandi a
noi non
serviranno.
GEOGEBRA
QUINTA ICONA: POLIGONI
Selezionare almeno tre punti, che saranno i vertici del poligono.
Quindi fare nuovamente clic sul primo punto per chiudere il
Poligono poligono. Nella finestra algebra viene visualizzata l’area del
poligono.
Selezionando due punti A e B e digitando un numero n nel campo
di testo della finestra di dialogo che viene visualizzata, si ottiene un
Poligono poligono regolare con n vertici (inclusi i punti A e B).
regolare
GEOGEBRA
SESTA ICONA: CURVE
Appoggiando il mouse sull'icona viene scritto cosa rappresenta.
SETTIMA ICONA: MISURE
Questo strumento può creare: l’angolo tra tre punti; l’angolo tra due
segmenti; l’angolo tra due rette; l’angolo tra due vettori; tutti gli
angoli interni di un poligono. Se si vuole limitare la misura massima
dell'angolo a 180°, deselezionare nella Finestra delle Proprietà la
voce Permetti angolo concavo.
Angolo
Selezionare due punti A e B e digitare la dimensione dell'angolo
nella casella di testo della finestra che viene visualizzata. Questo
modo genera un punto C e un angolo α, dove α è l'angolo ABC.
Angolo di
data misura
Questo strumento fornisce la distanza tra due punti, tra due rette o
tra un punto e una retta. Inoltre può fornire la lunghezza di un
Distanza o segmento o la misura di una circonferenza.
lunghezza
Pendenza
Questo modo fornisce la pendenza di una retta come testo
dinamico nella finestra geometria.
GEOGEBRA
OTTAVA ICONA: TRASFORMAZIONI
Simmetrico rispetto
a una retta
Simmetrico
rispetto a un punto
Ruota intorno a un
punto di un angolo
Trasla di un vettore
Dilata da un punto
di un fattore
Selezionare l’oggetto di cui si desidera ottenere il simmetrico.
Quindi fare clic sulla retta che funge da asse di simmetria.
Selezionare l’oggetto di cui si desidera ottenere il simmetrico.
Quindi fare clic sul punto che funge da centro di simmetria.
Selezionare l’oggetto che deve essere ruotato, quindi fare clic
sul punto che funge da centro di rotazione. Verrà visualizzata
una finestra in cui si deve specificare l’angolo di rotazione.
Selezionare l’oggetto da traslare, quindi fare clic sul vettore di
traslazione.
Selezionare l’oggetto da dilatare. Quindi fare clic sul punto che
funge da centro di dilatazione. Verrà visualizzata una finestra in
cui si deve specificare il fattore di dilatazione.
GEOGEBRA
NONA ICONA: TESTO
Slider
In GeoGebra uno slider è la rappresentazione grafica di un numero
o di un angolo liberi. Fare clic in una qualunque area libera del
foglio da disegno per creare uno slider relativo ad un numero o ad
un angolo. La finestra che viene visualizzata permette di
specificare l’intervallo [min, max] del numero o dell'angolo, come
pure l'allineamento e l’ampiezza dello slider (in pixel). E' possibile
creare uno slider a partire da qualsiasi numero o angolo liberi già
esistenti, mostrando l'oggetto dal Menu contestuale.
Casella di controllo
per mostrare
nascondere oggetti
Facendo clic sul foglio da disegno viene creata una casella di
controllo (variabile Booleana) che consente di mostrare o
nascondere uno o più oggetti. Nella finestra di dialogo che viene
visualizzata è possibile specificare quali oggetti devono essere
controllati dalla casella di controllo.
GEOGEBRA
DECIMA ICONA: VISUALIZZAZIONE
Muovi il foglio
da disegno
Zoom
Trascinare e rilasciare il foglio da disegno per spostare l’origine del
sistema di coordinate. E' possibile muovere il foglio da disegno
premendo il tasto Shift e trascinandolo con il mouse. Questo modo
consente anche di modificare la scala di ciascuno degli assi,
trascinandolo con il mouse.
Fare clic in un punto qualsiasi del foglio da disegno per ingrandire.
Mostra/nascondi
oggetto
Mostra/nascondi
etichetta
Copia stile visuale
Gli oggetti geometrici possono essere visualizzati graficamente
(mostra) oppure resi invisibili (nascondi). Per modificarne lo stato si
utilizza lo strumento Mostra / nascondi oggetto o il Menu. L’icona
alla sinistra di ogni oggetto nella finestra algebra mostra lo stato di
visualizzazione corrente ( “mostrato” o “nascosto”).
Le etichette associate a un oggetto geometrico possono essere
nascoste o rese visibili con questo strumento.
Questo strumento permette di copiare le proprietà di
visualizzazione grafica come colore, dimensione, stile, etc. da un
oggetto ad altri. Scegliere l’oggetto le cui proprietà devono essere
copiate, quindi fare clic su tutti gli altri oggetti a cui si desiderano
applicare le stesse proprietà.
Attivare questo strumento e fare clic sugli oggetti da cancellare.
Cancella oggetti
CONGRUENZA E SEGMENTI
Sappiamo che il SEGMENTO ha una sola
dimensione: la LUNGHEZZA. Pertanto
CONFRONTARE DUE SEGMENTI significa
stabilire se essi hanno la stessa lunghezza o
quale tra i due ha la lunghezza maggiore o
minore.
CONFRONTO DI SEGMENTI
Supponiamo di avere i due segmenti AB e CD:
Per poter confrontare i due segmenti e dire se essi hanno o meno la
stessa lunghezza è necessario, innanzitutto, trasportare un segmento
sull'altro. Quindi sovrapponiamo il segmento AB al segmento CD in modo
tale che:
A
D
B
C
il punto A coincida con il punto C;
gli estremi B e D stiano da una stessa parte rispetto ad A.
Una volta trasportato il segmento AB sul segmento CD si possono verifica tre casi diversi:
A≡ C
B≡ D
1) B e D coincidono
2) B precede D
3)
B segue D
A≡ C
B
A≡ C
D
D
B
AB < CD
AB > CD
SOMMA, DIFFERENZA, MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
SOMMA DI DUE SEGMENTI, AB e CD:
TRASPORTIAMO i due segmenti su una retta r in modo che risultino ADIACENTI. Ricordiamo che
si dicono ADIACENTI due SEGMENTI che hanno un estremo in comune e che giacciono su una
stessa retta. Avremo:
Il SEGMENTO AD è il SEGMENTO SOMMA di AB e CD.
Pertanto possiamo scrivere:
AB + CD
AD.
OSS: La lunghezza del segmento
AD è uguale alla somma delle
lunghezze del segmento AB e del
segmento CD.
OSS2: la somma di più segmenti si esegue sommando due segmenti per volta
SOMMA, DIFFERENZA, MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
DIFFERENZA DI DUE SEGMENTI non uguali, AB e CD:
TRASPORTIAMO uno dei due segmenti in modo da farli SOVRAPPORRE in maniera tale che
uno dei loro ESTREMI COINCIDA. Avremo:
Notiamo che il segmento CD è minore rispetto al segmento AB pertanto l'estremo D è interno
rispetto al segmento AB.
Possiamo così individuare un nuovo segmento, che nell'immagine sottostante abbiamo indicato
in VERDE e che rappresenta la differenza tra il segmento AB e il segmento CD.
Quindi possiamo scrivere:
DB = AB – CD
Oss: La lunghezza del segmento DB è uguale alla differenza delle lunghezze del segmento AB
e del segmento CD.
SOMMA, DIFFERENZA, MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
SOMMIAMO tra loro più segmenti uguali ad AB, ad esempio sommiamo tra loro 5 segmenti uguali
ad AB. Avremo:
MULTIPLI
Il SEGMENTO CD è pari a 5 volte il
segmento AB. Quindi possiamo dire
che CD è MULTIPLO di AB secondo il
numero 5 e possiamo scrivere:
CD = 5AB
che si legge
CD è uguale a 5 volte AB.
SOTTOMULTIPLI
Allo stesso modo possiamo dire che
AB è la 5° parte di CD. Quindi
possiamo dire che AB è
SOTTOMULTIPLO di CD secondo il
numero 5 e possiamo scrivere:
AB = 1/5CD
che si legge
AB è uguale a 1/5 di CD.
ANGOLI
Supponiamo di avere DUE ANGOLI:
l'angolo aÔb;
l'angolo a'Ô'b'.
Ora vogliamo CONFRONTARE i due ANGOLI per vedere se essi sono uguali o, in caso contrario,
quale dei due è maggiore rispetto all'altro.
Per CONFRONTARE i due angoli TRASPORTIAMO uno di essi in modo da far COINCIDERE i
rispettivi VERTICI e UN LATO di ciascuno dei due angoli.
Nel nostro esempio TRASPORTIAMO l'angolo a'Ô'b' in modo tale che:
il punto O' coincida con il punto O;
il lato O'a' coincida con il lato Oa.
A questo punto si possono verificare tre casi diversi:
1) Anche il lato O'b' e il lato Ob
coincidono.
2) Il lato O'b' e il lato Ob non coincidono. I due angoli
NON SONO UGUALI.
In particolare notiamo che il lato O'b' si trova
all'esterno rispetto all'angolo aÔb . Questo significa che
l'angolo a'Ô'b' ha un'ampiezza maggiore dell'angolo
aÔb.
a'Ô'b' > aÔb.
3) Il lato O'b' e il lato Ob non coincidono. I due angoli
NON SONO UGUALI.
In particolare notiamo che il lato O'b' si trova
all'interno rispetto all'angolo aÔb . Questo significa che
l'angolo a'Ô'b' ha un'ampiezza minore dell'angolo aÔb.
a'Ô'b' < aÔb.
SOMMA DI ANGOLI
Per prima cosa dobbiamo TRASPORTARLI uno di seguito all'altro in modo da renderli
CONSECUTIVI. Ricordiamo che due angoli sono CONSECUTIVI quando hanno lo stesso
vertice O e uno dei lati è comune ad entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati si trovano
dalla parte opposta rispetto al lato comune.
aÔb + cÔ'd = aÔd.
DIFFERENZA DI ANGOLI
Supponiamo di avere DUE ANGOLI:
l'angolo aÔb;
l'angolo cÔ'd.
Tali che
aÔb > cÔ'd.
Per prima cosa dobbiamo TRASPORTARE il secondo angolo sul primo in maniera tale che il
lato O'c coincida con il lato Oa e che i due angoli si trovino da una stessa parte rispetto a tale
lato
La DIFFERENZA dei due ANGOLI aÔb e
cÔ'd è l'angolo dÔb
aÔb - cÔ'd = dÔb.
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
Dato un segmento, si dice PUNTO MEDIO del segmento il punto che lo divide in due
segmenti congruenti
BISETTRICE DI UN ANGOLO
Si dice BISETTRICE di un angolo quella semiretta, avente origine nell'origine
dell'angolo, che divide l'angolo in due angoli congruenti
MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
Disegniamo l'ANGOLO aÔb
:
SOMMIAMO tra loro più
angoli uguali ad aÔb, ad
esempio sommiamo tra loro 3
angoli uguali ad aÔb.
Avremo:
MULTIPLI
L'ANGOLO aÔd è pari a 3 volte
l'angolo aÔb. Quindi possiamo dire che
aÔd è MULTIPLO di aÔb secondo il
numero 3 e possiamo scrivere:
aÔd = 3aÔb
che si legge
aOd è uguale a 3 volte aOb.
SOTTOMULTIPLI
Allo stesso modo possiamo dire che aÔb
è la 3° parte di aÔd. Quindi possiamo
dire che aÔb è SOTTOMULTIPLO di
aÔd secondo il numero 3 e possiamo
scrivere:
aÔb = 1/3aÔd
che si legge
aOb è uguale a 1/3 di aOd.