Giovanni Della Lunga
Modelli Finanziari nel
Tempo Continuo
6
Prodotti di Volatilità e
Correlazione
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1
Prodotti di Volatilità e Correlazione





Prodotti Path-Dependent
Il metodo Monte Carlo
Opzioni Asiatiche
Il problema multivariato
Alberi Multivariati
2
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Prodotti Path-Dependent

Il valore del prezzo di riferimento o dello strike da utilizzare per il
calcolo del pay-off dipendono dai prezzi del sottostante in un
periodo di tempo

Asiatiche: usano il prezzo medio del sottostante come valore di
riferimento (average rate) o strike (average rate).

Lookback: lo strike è posto al massimo/minimo su un periodo di
riferimento

Ladder: lo strike è aggiornato su una griglia di valori prestabiliti ogni
volta che il sottostante oltrepassa il livello corrispondente in un periodo
di riferimento
3
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Prodotti di Volatilità e Correlazione





Prodotti Path-Dependent
Il metodo Monte Carlo
Opzioni Asiatiche
Il problema multivariato
Alberi Multivariati
4
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Il metodo Monte Carlo

Il metodo Monte Carlo (MC nel seguito) è una tecnica basata
sulla simulazione di un numero elevato di possibili scenari
rappresentativi dell’evoluzione futura delle variabili di rischio
da cui dipende il valore di una generica attività finanziaria;

Infatti tale tecnica si basa sull’idea di approssimare il valore
atteso di una determinata funzione finanziaria calcolando la
media aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle simulazioni
effettuate sul possibile andamento futuro delle variabili da cui
essa dipende.
5
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Il metodo Monte Carlo

Metodo Monte Carlo e Integrazione


L’idea di base del metodo è del tutto generale;
Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere
utilizzata come stimatore di un integrale
1
I   f ( x)dx
0
Questa espressione può essere interpretata come il
valore di aspettazione della funzione f di una variabile
aleatoria a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo
[0, 1]
6
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Il metodo Monte Carlo

Spiegazione dell’affermazione precedente

Il valore di aspettazione di una funzione di una generica variabile
aleatoria con densita g(x) e dominio di valori in  è dato da
E[ f ( x)]   f ( x) g ( x)dx


Se consideriamo una variabile x uniformemente distribuita in [0,1]
otteniamo
0 se x  [0,1]
g ( x)  
1 se x  [0,1]
1
E[ f ( x)]   f ( x) g ( x)dx   f ( x)dx

0
7
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Il metodo Monte Carlo

Diventa così possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una
media aritmetica di n valori di f(xi) dove ciascun xi rappresenta un campione
estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo
affermare che la quantità
~ 1
In 
n
 f (x )
n
i
i 1
 rappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questa
stima risulta pari a:
2
1 n
 1
n
 1
~
2
var( I n )  var   f ( xi )  2 var  f ( xi )    f ( x)  I  dx 
n
 n i 1
 n
 i 1
 n0
1
8
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Il metodo Monte Carlo

l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato come
l’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce
all’aumentare di n come
1/ n


Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del
problema.
E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte
Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In
questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il
valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il
numero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata cresce
con l’aumentare del numero di dimensioni.
9
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Il metodo Monte Carlo
4.6
Monte Carlo Standard
Black & Scholes
4.5
4.4
4.3
4.2
4.1
4
3.9
3.8
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
10
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Il metodo Monte Carlo

Passando dal problema generale al caso più specifico della
determinazione del valore delle opzioni, si consideri il
processo di pricing di un’opzione call di tipo europeo;

Il punto di partenza consiste nella definizione del processo
dinamico seguito dal sottostante;

Nel caso dei derivati su indici azionari o su azioni è comune
assumere che il sottostante segua un processo di tipo
geometrico browniano.
11
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Un processo per i prezzi azionari
dS  Sdt  Sdw
Lemma di Ito
2

 
dt  dw
d ln( S )    
2 

2

S
 
t  z t
 ln( S )  ln( S )  ln( S0 )  ln
   
S0 
2 
12
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Un processo per i prezzi azionari
S 
2 
t  z t
ln
   
S0 
2 
Nota: In queste formule z
rappresenta una variabile
aleatoria estratta da una
distribuzione
normale
standard N(0,1).


2 
t  z t 
S  S0 exp   
2 


13
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Un processo per i prezzi azionari
Processi per il Sottostante
Generazione Scenari
Distribuzione probabilistica dei premi
Calcolo della media e dell’errore
14
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Esempio
Programmazione
VBA
Calcolo del Prezzo di un’Opzione con il Metodo Monte Carlo
15
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Prodotti di Volatilità e Correlazione





Prodotti Path-Dependent
Il metodo Monte Carlo
Opzioni Asiatiche
Il problema multivariato
Alberi Multivariati
16
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Opzioni asiatiche

Le opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dalla
media aritmetica dei prezzi dell’attività sottostante, rilevati in date
predeterminate:
average price call:
Pay - off  Max S average  E ,0 
1 m
S average   S (ti )
m i 1

Le opzioni asiatiche sono meno care delle opzioni ordinarie in
quanto il calcolo della media diminuisce di fatto la volatilità del
sottostante.
17
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Opzioni asiatiche



Il problema di gran parte delle opzioni asiatiche è che sono
scritte su medie aritmetiche del sottostante osservato a diverse
date di rilevazione.
Nel modello di Black e Scholes, in cui la distribuzione dei prezzi
è log-normale, questo crea un problema perché la distribuzione
di probabilità di somme di variabili a distribuzione log-normale
non è nota.
Tecniche di valutazione:


Moment matching (Turnbull e Wakeman): la distribuzione della media è
approssimata con una distribuzione log-normale con uguale media e varianza.
Metodo Monte Carlo: vengono generati scenari per le date di campionamento,
calcolati i pay-off per ogni sentiero e ne viene calcolata la media
18
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Rilevazioni nel tempo discreto

Nella pratica dei prodotti di finanza strutturata troviamo che le
opzioni asiatiche utilizzano la rilevazione del sottostante su un
insieme discreto di date.

Spesso la frequenza del piano di campionamento cambia nel
corso della vita del prodotto. Possiamo avere rilevazioni
mensili il primo anno, trimestrali e negli anni successivi e
semestrali negli anni finali

L’aumento della frequenza delle rilevazioni riduce la volatilità
del sottostante e il valore dell’opzione.
19
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Variabile di controllo

Il metodo della variabile di controllo mantiene inalterata la funzione
di distribuzione campionata, il miglioramento dell’efficienza si
ottiene in questo caso ricorrendo ad una funzione ausiliaria v(z)
correlata a k(z) di cui è noto esattamente l’integrale
C   v( z )dF ( z )
Z

Il metodo della variabile di controllo funziona bene quando
quest’ultima ha un elevato grado di correlazione con la variabile
che intendiamo stimare. Una situazione di questo tipo si presenta
quando vogliamo conoscere il prezzo di un’opzione asiatica se
utilizziamo come variabile di controllo il prezzo dell’opzione asiatica
a media geometrica corrispondente.
20
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Variabile di controllo
Definiamo W(, z) come
W (  , z )  k ( z )   v ( z )  C 
E’ facile verificare che
E W (  , z )  Ek ( z )  
2
2
Var W  , z   σ k(z)
 2 βσ k(z),v(z)  β 2σ v(z)
Possiamo scegliere il parametro  in modo da minimizzare
la varianza della funzione W
* 
 k ( z ), v ( z )
 v2( z )
nel qual caso
2
2
2
VarW  , z   σ k(z)
( 1  ρk(z),v(z)
)  σ k(z)
21
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Variabile di Controllo
Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica



Se si assume che il prezzo dell’attività sottostante, S, sia distribuito in modo
log-normale e che Save sia una media geometrica degli S, possiamo
utilizzare delle formule analitiche per valutare le opzioni asiatiche di tipo
europeo.
Ciò dipende dal fatto che la media geometrica di un insieme di variabili
distribuite in modo log-normale è anch’essa log-normale.
Si può dimostrare che in un mondo neutrale verso il rischio il prezzo di
un’opzione asiatica scritta su una media geometrica calcolata su m periodi
temporalmente equidistanziati...
è pari a ...
1/ m


G    St j 
 j 1 
m
1 2
 

CG  exp( rT ) exp  G   G  N (d1 )  KN (d 2 )
2

 

22
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Variabile di Controllo
Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica

dove
1 2T h

 G  ln S 0    r  q   
2  2

 G2   2 h
h T /m
( 2m  1)( m  1)
6m
G  ln( K )   G2
d1 
G
d 2  d1   G
23
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Variabile di Controllo
Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica
Nella simulazione Monte Carlo standard il prezzo dell’opzione
viene calcolato come


C ( i )  e  rT E max( A( i )  K ,0) ,
i  1,  , n
dove A(i) è la media aritmetica discreta campionata
A
(i )
1 m (i )
  S tj
m j 1
calcolata su un insieme discreto di punti
T
,
t0  0,
j  1,2,  , m
m
ed n è il numero di simulazioni. Questo porta allo stimatore
t j  t j 1  h,
h
1 n (i )
ˆ
C  C
n i 1
24
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Variabile di Controllo
Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica
Utilizzando il metodo della variabile di controllo oltre alle
variabili descritte sopra dobbiamo calcolare la media
geometrica per ogni simulazione
G (i )
 m (i ) 
   S t j 
 j 1

1/ m
e il valore campionato dell’opzione asiatica a media geometrica
CG( i )  exp(  rT ) max( G ( i )  K ,0)
Questa volta però utilizzeremo lo stimatore
1 n
ˆ
C   (C ( i )  CG( i )  CG )
n i 1
25
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Variabile di Controllo
Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica
25,00
Asiatica Aritmetica
Europea Black & Scholes
Asiatica Geometrica
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
Volatilità Sottostante
26
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Variabile di Controllo
Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica
35,00
Asiatica Aritmetica
Europea Black & Scholes
Asiatica Geometrica
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Tempo a Scadenza
27
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Variabile di Controllo
Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica
0,8000
MC Standard
MC Controllo
MC Antithetic
0,7000
0,6000
0,5000
0,4000
0,3000
0,2000
0,1000
0,0000
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
Volatilità Sottostante
28
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Variabile di Controllo
Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica
0,8000
MC Standard
MC Controllo
MC Antithetic
0,7000
0,6000
0,5000
0,4000
0,3000
0,2000
0,1000
0,0000
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Tempo a Scadenza
29
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Esempio
Programmazione
VBA
Calcolo del Prezzo di un’Opzione Asiatica
30
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Prodotti di Volatilità e Correlazione





Prodotti Path-Dependent
Il metodo Monte Carlo
Opzioni Asiatiche
Il problema multivariato
Alberi Multivariati
31
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Opzioni multivariate

Basket: il valore del sottostante è calcolato con una
media ponderata di un insieme di titoli

Rainbow: utilizzano funzioni diverse per il calcolo del
pay-off:

opzioni sul massimo o sul minimo di un paniere dei titoli (option
on the max/min)

opzioni che consentono di scambiare un’attività finanziaria con
un’altra (exchange option),

opzioni scritte sulla differenza di valori tra due sottostanti
(spread option),

opzioni con strike diversi per ogni titolo del paniere (multistrike).
32
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Opzioni basket

Per le opzioni basket si pone lo stesso problema che
per le opzioni asiatiche. Da un lato se la media del
basket fosse geometrica l’opzione potrebbe essere
prezzata utilizzando la formula di Black e Scholes
(medie geometriche di variabili log-normali sono lognormali). Dall’altro in gran parte dei casi si utilizzano
medie aritmetiche, nel qual caso la non ne conosciamo
la distribuzione.

Anche in questo caso le alternative sono due

Moment matching

Simulazione Monte Carlo
33
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Misure di co-dipendenza

Distribuzioni Marginali

Data la distribuzione congiunta di due variabili x ed y la
funzione di densità marginale di x è definita come
 x ( x) 
 ( x, y)dy
D( y)

E, analogamente,
 y ( y) 
 ( x, y)dx
D( x)
34
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Misure di co-dipendenza

Indipendenza

Due variabili x ed y si dicono indipendenti se la loro
funzione densità congiunta si fattorizza nel prodotto
delle densità marginali
x, y
indipenden ti   ( x, y )   x ( x) y ( y )
35
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Misure di co-dipendenza

Correlazione Lineare

Ricordiamo la definizione di correlazione lineare tra due
variabili x ed y
 x, y 

cov( x, y )

 ( x) ( y )
 xy ( x, y)dxdy   x ( x)dx  y ( y)dy
( x)dx   x ( x)dx   y  ( y )dy   y
x
x
2
2
x
x
y
2
y
y
( y )dy

2
36
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Misure di co-dipendenza

Correlazione Lineare

Spesso si ritiene che la conoscenza del coefficiente di
correlazione lineare unitamente alla specificazione delle
distribuzioni marginali, permetta di determinare la distribuzione
di probabilità congiunta.

In realtà questo è vero solo per certe classi di distribuzioni tra
cui la distribuzione normale.

In generale quindi l’inferenza
 x ( x), y ( y ),  x , y   ( x, y )
Non è valida
37
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Misure di co-dipendenza

Oltre l’indice di correlazione lineare


La correlazione lineare è un buona misura di co-dipendenza per variabili
normali. Per distribuzioni che non sia allontanano troppo dalla “normalità”
continua a fornire indicazioni utili ma all’allontanarsi da queste condizioni
(in molti casi soltanto ideali) l’indice di correlazione lineare fornisce risultati
sempre più fuorvianti!
L’indice di correlazione lineare non è invariante rispetto a trasformazioni
non lineari delle variabili.
A differenza degli stimatori non-parametrici, l’indice di correlazione lineare
può non coprire l’intero range da – 1 a + 1, rendendo problematica
l’interpretazione del grado di dipendenza
38
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Variabili Normali Multivariate

Cholescky Decomposition


Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle
quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianzacovarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n  n.
Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set
di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di
matrice di varianza-covarianza assegnata .
Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come
combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone
Y  AX

Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di
dimensione n n tale che
AA  
t
39
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Variabili Normali Multivariate
N
N
j 1
j 1
yi   aij x j  yi   aij x j  0
Y  AX
 ( yi )  y
2

2
i
N
 yi
a
j 1
2


   aij x j 
 j 1

N
 yi
2
2

x2 a a( x xj ) x 1 
x

 ij ik j k
ij
j
2
2
2
j
2
jk
N
N
  aij2 x 2j  2 aij aik x j xk  a ij2
j 1
j k
x j xk  cov( x j , xk )  0
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j 1
40
Variabili Normali Multivariate

Cholescky Decomposition

La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che
esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno
come risultato . Se la matrice  è definita positiva il metodo più
efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema
consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky.

Il
punto
chiave
di
tale
metodologia
consiste
nel
ricercare A nella forma di una
matrice triangolare inferiore,
ovvero una matrice in cui tutti gli
elementi sopra la diagonale
sono nulli,
 A11

 A21
A


A
 n1
0 

0 
  

 Ann 
0 
A22 

An 2
41
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Variabili Normali Multivariate

Cholescky Decomposition

Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi
di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative
i 1
aii   ii   aik2
k 1

i 1
1 

a ji    ij   aik a jk 
aii 
k 1

Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo
0
 1


A
   1   2 
2
 2

42
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Esempio
Programmazione
VBA
Cholesky Decomposition
43
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Prodotti di Volatilità e Correlazione





Prodotti Path-Dependent
Il metodo Monte Carlo
Opzioni Asiatiche
Il problema multivariato
Alberi Multivariati
44
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Alberi Binomiali in più dimensioni

E’ relativamente semplice costruire un albero in tre
dimensioni per rappresentare i movimenti di due variabili
non correlate;

Dapprima si costruisce separatamente un albero a due
dimensioni per ciascuna delle due variabili;

quindi si combinano i due alberi in un solo albero a tre
dimensioni.

Le probabilità relative ai rami del nuovo albero sono pari
al prodotto delle probabilità dei corrispondenti rami degli
alberi a due dimensioni.
45
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Alberi Binomiali in più dimensioni

Si supponga ad esempio che le variabili siano date dai prezzi
S1 ed S2.

Ciascuna di queste due variabili può essere rappresentata in
due dimensioni da un albero binomiale CCR;

supponiamo che p1 sia la probabilità che S1 aumenti e 1-p1 la
probabilità che diminuisca, analogamente con p2 e S2;

nell’albero a tre dimensioni ci saranno quindi quattro rami
che vengono generati da ciascun nodo con le seguenti
probabilità

p1p2
S1 aumenta, S2 aumenta

p1(1-p2)
S1 aumenta, S2 diminuisce

(1-p1)p2
S1 diminuisce, S2 aumenta

(1-p1)(1-p2)
S1 diminuisce, S2 diminuisce
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Alberi Binomiali in più dimensioni



Il caso più interessante è naturalmente quello in cui le variabili
siano correlate;
Rubinstein ha suggerito un modo di costruire un albero a tre
dimensioni disponendo i nodi secondo un approccio
binomiale;
Dal nodo (S1, S2) si può
passare ad uno dei seguenti
nodi con probabilità 0.25 (albero
con probabilità uguali lungo i
rami, tipo JR):
( S1u1 ; S 2 A)
( S1u1 ; S 2 B)
( S1 d 1 ; S 2 C )
( S1 d 1 ; S 2 D )
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Alberi Binomiali in più dimensioni
u1  e
( r  q1  12 / 2 ) t  1 t
d1  e
Ae
Be
C e
( r  q1  12 / 2 ) t  1 t
( r  q2  22 / 2 ) t  2 t    1  2 


( r  q2  22 / 2 ) t  2 t    1  2 


( r  q2  22 / 2 ) t  2 t    1  2 


De
Deriva dalla
“Cholesky
Decomposition”
( r  q2  22 / 2 ) t  2 t    1  2 


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Opzioni con due sottostanti: Alcuni Esempi

Spread Options





max(0,max(Q1S1,Q2S2)-X)
max(0,X-max(Q1S1,Q2S2))



call
put
max(0, (Q1S1+Q2S2)-X)
max(0,X-(Q1S1+Q2S2))
Exchange Options

max(0,Q2S2-Q1S1)
call
put
max(0,min(Q1S1,Q2S2)-X)
max(0,X-min(Q1S1,Q2S2))
Dual Strike Options



call
put
Portfolio Options
Opzione sul minimo


max(0, Q1S1-Q2S2-X)
max(0,X+Q2S2-Q1S1)
Opzione sul massimo


call
put

call
X2))
put
Q2S2))
max(0,(Q1S1-X1),(Q2S2max(0,(X1-Q1S1),(X2-
Reverse Dual Strike Options


call
Q2S2))
put
X2))
max(0,(Q1S1-X1),(X2max(0,(X1-Q1S1),(Q2S249
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Esempio
Programmazione
VBA
Albero Binomiale con Correlazione
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